Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 013-014 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση 1: υο ευθείες [ɛ 1 : y = m 1 x + a 1,ɛ 1 : y = m x + a ], τέµνονται και σχηµατίζουν γωνία θ (ϐλέπε Σχήµα). είξτε ότι ισχύει η σχέση tan(θ) = m m 1 1+m m 1 Σχήµα 1: Οι δύο ευθείες ɛ 1,ɛ Λύση : Γνωρίζουµε ότι φ 1 +(180 φ )+θ =180άρα θ = φ φ 1 tan(θ) =tan(φ φ 1 )= tan φ tan φ 1 1+tanφ 1 tan φ = m m 1 1+m m 1 Άσκηση : Να καθοριστεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων y 1 = 1 log (x), y = 1 x + log ( ) x,y3 = x 6+ 9 x. x x 1 Λύση : (α) Το πεδίο ορισµού της y 1 ορίζεται από τη σχέση 1 log x 0 και είναι 0 <x. (ϐ) Για την συνάρτηση y ϑα πρέπει ταυτόχρονα να επαληθεύονται οι σχέσεις 1 x 0 και ( x)x >0. Οι ανισότητες αυτές συναλυθεύουν όταν το 0 <x 1. (γ) Θα πρέπει να συναλυθεύουν οι σχέσεις 3 x 3 και x ±1 άρα D [ 3, 1) ( 1, 1) (1, 3]. 1

Άσκηση 3: Να ϐρεθούν οι αντίστροφες συναρτήσεις των y 1 =3 5 x,y = 3 1+ 1 x 3 + 3 1 1 x 3 Λύση : (α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y 1 παρουσιάζεται στο Σχ. 1 και έχει 1 1.0 0.5 0.5 1.0 1 Σχήµα : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y 1 πεδίο ορισµού ολόκληρο τον άξονα των πραγµατικών αριθµών x R. Ηαντίστροφησυνάρτηση υπολογίζεται εύκολα ότι είναι log 5 (1/(3 x)) και έχει πεδίο ορισµού <x<3. (ϐ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το 0 x 1 και στη περιοχή αυτή η συνάρτηση y είναι αµφιµονοσύµαντη (Βλέπε Σχ. ).0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Σχήµα 3: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y Ορίζουµε δύο νέες συναρτήσεις A(x) =1+ 1 x 3 και B(x) =1 1 x 3 και η συνάρτηση y = A 1/3 + B 1/3. Επειδή ισχύουν οι σχέσεις A + B =,AB = x 3 έχουµε y 3 = A +3A3/ B 3/ +3A 1/3 B 1/3 + B y 3 =3A1/3 B 1/3 (A 1/3 + B 1/3 ) y 3 =3xy και εύκολα καταλήγουµε στην Ϲητούµενη αντίστροφη συνάρτηση f 1 = x3 3x. Το πεδίο ορισµού της αντίστροφης συναρτησης είναι x [ 3, ] Άσκηση 4: Τα άτοµα κανονικού άνθρακα (άνθρακας-1 ή 1 C)περιέχουν6πρωτόνια και 6 νετρόνια. Ο άνθρακας-14 ( 14 C)είναιέναϱαδιενεργόισότοπότουπουπεριέχει οκτώ νετρόνια στον ατοµικό του πυρήνα. Τα ποσοστά των επιµέρους ισοτόπων σχετικά µε το συνολικό αριθµό ατόµων άνθρακα είναι (στους Ϲώντες οργανισµούς) 1 C -98.89%, 13 C - 1.11% και 14 C - 0.00000000010%. ηλαδή έχουµε 1 άτοµο άνθρακα-14 για κάθε τρισεκατοµµύριο ατόµων άνθρακα-1. Ο άνθρακας-14 σχηµατίζεται στην ανώτερα

στρώµατα της ατµόσφαιρας, όταν νετρόνια της κοσµικής ακτινοβολίας µεταλλάσσουν το άζωτο σε άνθρακα-14 µέσω της : 14 N + n 14 C + p Τα ϕυτά προσλαµβάνουν από την ατµόσφαιρα και τις δύο µορφές άνθρακα, και έτσι οάνθρακας-14εισέρχεταιστηντροφικήαλυσίδα. Οτανέναςοργανισµόςπεθαίνει,παύει να απορροφά άνθρακα. Επειδή, όµως, ο άνθρακας-14 είναι ασταθής, µετασχηµατίζεται αργά και σταθερά σε άζωτο µέσω ϱαδιενεργού διάσπασης : 14 6 C 14 7 N + e + ν e Οχρόνος«χρόνοςηµιζωής»τουϱαδιενεργούισοτόπουείναιt 1/ =5.730 ± 40 χρόνια, γεγονός που αξιοποιούµε για να χρονολογήσουµε οστά, ξύλο και άλλα οργανικά υλικά µε τη µέθοδο του άνθρακα 14. Για να εφαρµοστεί η µέθοδος πρέπει όµως να υπάρχει στο δείγµα µια ορισµένη ελάχιστη ποσότητα 14, και γιά αυτό µπορεί να εφαρµοστεί σε ευρήµατα ηλικίας το πολύ µέχρι 60.000 ετών περίπου. Η ακρίβειαχρονολόγησης διαφέρει και συναρτάται µε την ηλικία του δείγµατος. Αν το δείγµα έχει ηλικία µικρότερη των 10.000 ετών, µπορεί να χρονολογηθεί µε προσέγγιση 10-0 ετών. 1. ιαβάστε προσεκτικά τα εισαγωγικά.. Ποιά συνάρτηση χαρακτηρίζει την ϱαδιενεργό διάσπαση 3. Βρείτε την τιµή του ϱυθµού διάσπασης,r, του 14 C. 4. Βρείτε την ηλικία µιας Αιγυπτιακής µούµιας της οποίας ο ξύλινος σαρκοφάγος ϐρέ- ϑηκε να έχει 1 άτοµο 14 C ανά 1.71 10 1 άτοµα 1 C. 5. Σε ποια περίοδο του Αιγυπτιακού πολιτισµού έζησε ο µουµιοποιηµένος Αιγύπτιος, ποια η πρωτεύουσα του την περίοδο αυτή Τι το περίεργο έχουν οι πυραµίδες αυτής της περιόδου (προαιρετική όλη η ερώτηση 4). 6. Εστω ότι ανακαλύπτεται µια απρόσµενη ϕυσική διαδικασία εµπλουτισµού των νεκρών ιστών µε 14 C,ηοποίαγίνεταιενεργήαµέσωςµετάτηναποκάλυψη/εκσκαφή της σαρκοφάγου, και η οποία την µολύνει µε 14 C σε ποσοστό 6% επί του αµόλυντου ποσοστού του. Παίρνοντας υπόψιν σας αυτό το γεγονός επανεκτιµήστε την πραγµατική ηλικία της µούµιας. Λύση : 1. Η συνάρτηση που χαρακτηρίζει την ϱαδιενεργό διάσπαση είναι η συνάρτηση εκθετικής µείωσης : f(t) =f(0) exp( rt) όπου f(t) οαριθµόςατόµωντου 14 C, r οϱυθµόςδιάσπασηςτου 14 C και t οχρόνος. 3

. Βρίσκουµε τον ϱυθµό διάσπασης χρησιµοποιώντας το χρόνο ηµιζωής για τον οποίο f(t 1/ )=f(0)/, εποµένως: f(0) = f(0) exp( rt 1/ )= ln(1/) = 5730r = r =0.00011 3. Αφού η κανονική περιεκτικότητα ατόµων 14 C σε σχέση µε αυτά του 1 C είναι 1/10 1 ενώ ϐρήκαµε ότι το ξύλο της σαρκοφάγου περιέχει 1/1.71 10 1 άτοµα 14 C,έχουµε ότι : 1 1.71 10 = 1 exp( 0.00011t) = t =4434 years 1 101 4. Στο Παλαιό Βασίλειο (686-181 πχ.) που πρωτεύουσα είχε την Μέµφιδα. Είναι ϐαθµιδωτές πυραµίδες µε χαρακτηριστική αυτή του ϐασιλιά Ζοζέρ. 5. 6% µόλυνση σηµαίνει ότι το τελικό ποσοστό 14 C που µετράµε είναι (1/1.17 10 1 ) είναι κατά 6% µεγαλύτερο από το αµόλυντο ποσοστό που αντιστοιχεί στην διαδικασία διάσπασης του 14 C,πουσηµαίνειότιπρέπεινατοδιαιρέσωµε1.06γιαναϐρωτο αµόλυντο ποσοστό 14 C µε το οποίο µπορώ τελικά να κάνω την ορθή χρονολόγηση : 1 1 1.71 10 1 1.06 = 1 exp( 0.00011t) = t =4915 years 101 Άσκηση 5: ίδεται µια δεξαµενή, αρχικά γεµάτη, από την οποία εκρέει νερό έτσι ώστε το ποσό του νερού που παραµένει στη δεξαµενή συναρτήσει του χρόνου δίδεται από την : f e (t) =300(0 t) liters επίσης το ύψος του νερού που παραµένει µέσα στη δεξαµενή σαν συνάρτηση του χρόνου δίδεται από την : f h (t) =0(1 t/0) meters Ζητούνται τα εξής : 1. Πόσο το αρχικό συνολικό ποσό νερού στη δεξαµενή, ποιες είναι οι διαστάσεις της δεξαµενής και ποιος ο συνολικός χρόνος εκροής νερού µέχρι να αδειάσει η δεξαµενή. Πόσο γρήγορα χύνεται το νερό στο τέλος των πρώτων 15 λεπτών και ποιος είναι ο µέσος ϱυθµός εκροής του νερού σε λίτρα κατά το πρώτο 15λεπτο 3. Ποιος είναι ϱυθµός µείωσης του ύψους του νερού µέσα στη δεξαµενή, ποια η αρχική ταχύτητα µείωσης του ύψους και ποια η ταχύτητα στο τέλος των πρώτων 15 λεπτών 4. Η κλίση της καµπύλης ύψους νερού είναι ϑετική ή αρνητική 4

5. Βρείτε τη σχέση µεταξύ του ϱυθµού µείωσης του ποσού του νερού µέσα στη δεξαµενή και του ϱυθµού µείωσης του ύψους του νερού. Είναι γραµµική ή όχι η σχέση αυτή Λύση : 1. Το αρχικό συνολικό ποσό νερού στη δεξαµενή δίδεται από την πρώτη εξίσωση για τον αρχικό χρόνο t =0,δηλαδή10000λίτρα,δηλαδή10τόνους,δηλαδή10κυβικά µέτρα. Το ύψος της δεξαµενής δίδεται από την δεύτερη εξίσωση για τον αρχικό χρόνο t =0,δηλαδή10µ. Άραοιδιαστάσειςτηςδεξαµενήςείναι3.46 3.46 10 µ. Ο συνολικός χρόνος εκροής είναι αυτός που αντιστοιχεί σε f e (t) =f h (t) =0,δηλαδή t = 0 min.. Χρειάζοµαι την ταχύτητα εκροής, άρα την πρώτη παράγωγο της f e : v e (t) = df e dt = 600(0 t) liters/min οπότε στο t = 15 min: v e (t =15)= 3000 liters/min. Οµέσοςϱυθµόςεκροήςτου νερού σε λίτρα κατά το πρώτο 15λεπτο είναι : f e t = f e(15) f e (0) 15 = 7500 liters/min 3. Ο ϱυθµός µείωσης του ύψους του νερού δίδεται από την παράγωγο της ης εξίσωσης : v h (t) = df h dt = t 0 1 m/min Ηαρχικήταχύτηταµείωσηςτουύψουςδίδεταιαπότηνπαραπάνωστοt =0,δηλαδή : v h (0) = 1 m/min και στο τέλος των πρώτων 15 λεπτών είναι : v h (15) = 0.5 m/min. 4. Αρνητική. 5. Λύνοντας ως προς t την v h (t) και αντικαθιστώντας στην v e (t) ϐρίσκουµε Εποµένως ναι, είναι γραµµική η σχέση. v e (t) =1000v h (t) Άσκηση 6: Αν η κίνηση ενός σώµατος καθορίζεται από τις παραµετρικές εξισώσεις : x(t) =t 1, y(t) =t 3 t µε t>0. Να ϐρείτε τα σηµεία της τροχιάς στα οποία η εφαπτόµενη είναι παράλληλη µε τον άξονα Ox. 5

Λύση : Πρώτα υπολογίζουµε την εξίσωση της τροχιάς του λύνοντας ως προς την πρώτη και αντικαθιστώντας στην δεύτερη : t = 1+x = y(t) =(1+x) 3/ (1 + x) 1/ Η παράλληλη εφαπτόµενη προς τον άξονα των x είναι αυτή για την οποία η κλίση της συνάρτησης έχει τιµή 0. Εποµένως υπολογίζω τηνκλίσητηςεφαπτόµενηςτηςσυνάρτησης y: m = dy dx = 3 (1 + x)1/ 1 (1 + x) 1/ και την µηδενίζω : m =0= m = και ϐρίσκω ότι µηδενίζεται για x = /3. 3x + =0 (1 + x) 1/ 6