1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραολή µε κορυφή το σηµείο Κ, α α όπου = αγ και άξονα συµµετρίας την ευθεία = α Αν > 0 η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα των σε δύο σηµεία Αν = 0 η γραφική παράσταση έχει µε τον άξονα των ένα κοινό σηµείο και Αν < 0 η γραφική παράσταση δεν έχει µε τον άξονα των κοινά σηµεία 3. Μέγιστο ελάχιστο της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Αν α > 0, το «άνοιγµα» της παραολής είναι προς τα πάνω και η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιµή την y = όταν = α α Αν α < 0, το «άνοιγµα» της παραολής είναι προς τα κάτω και η συνάρτηση παίρνει µέγιστη τιµή την y = όταν = α α ΣΧΟΛΙΑ: 1. Σχεδίαση της γραφικής Για να σχεδιάσουµε την γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 φτιάχνουµε πίνακα τιµών άζοντας στην θέση του την τιµή =, τρείς α µεγαλύτερες αυτής καθώς επίσης και τις συµµετρικές τους ως προς την = α. Γραφική επίλυση της εξίσωσης α + + γ = 0 : Ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι οι τετµηµένες των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της παραολής y = α + + γ µε τον άξονα των
3. Λύση ανίσωσης γραφικά : Αν y = α + + γ, α 0 είναι µία παραολή τότε λύσεις της ανίσωσης α + + γ > 0 είναι τα διαστήµατα των τιµών του στα οποία η παραολή ρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα των, ενώ λύσεις της ανίσωσης α + + γ < 0 είναι τα διαστήµατα των τιµών του στα οποία η παραολή ρίσκεται χαµηλότερα από τον άξονα των. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Η παραολή y = (λ + 1) 5 + 3 έχει µέγιστο Λ ) Η παραολή y = 1 έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία = 1 Λ γ) Η παραολή y = 3 3 + 6 + 3 έχει ελάχιστο το = Λ δ) Η παραολή y = + + 3 δεν τέµνει τον άξονα των Σ ε) Η συνάρτηση y = ( 1) έχει γραφική παράσταση παραολή Σ στ) Η παραολή y = 9 + έχει µέγιστο το Λ Επειδή για κάθε τιµή του λ είναι λ + 1 > 0, η παραολή έχει ελάχιστο. Άρα η πρόταση είναι λάθος. Θεωρία 3 ) Η παραολή γράφεται y = 0 + 0 1 µε = = 0 Θεωρία α Συνεπώς άξονας συµµετρίας της παραολής είναι η ευθεία = 0. Άρα η πρόταση είναι λάθος γ) Τo ελάχιστο ή το µέγιστο της συνάρτησης αναφέρεται στο y και όχι στο. Άρα η πρόταση είναι λάθος. δ) Είναι = αγ = 1 1= 11 < 0 οπότε η παραολή δεν τέµνει τον άξονα των. Άρα η πρόταση είναι σωστή. ε) Η συνάρτηση γράφεται y = + 1 µε γραφική παράσταση προφανώς παραολή. Άρα η πρόταση είναι σωστή στ) Αφού α = 1 < 0, η συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή την y = = 9 α Άρα η πρόταση είναι λάθος. Θεωρία
3. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση Η συνάρτηση y = (λ 3) 3λ + έχει ελάχιστο, άρα για το λ ισχύει Α. λ > 0 Β. λ < 0 Γ. λ = 3. λ > 3 Ε. λ < 3 ) Η παραολή y = + α + 3 έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία Α. = α B. = Γ. = α. = α Ε. = 0 γ) Η παραολή y = + α + γ διέρχεται από το σηµείο Ο(0, 0), άρα Α. α = 0 Β. α = 1 Γ. γ > 0. γ < 0 Ε. γ = 0 δ) Η παραολή y = + λ τέµνει τον άξονα των σε δύο σηµεία, άρα Α. λ = 1 Β. λ = 0 Γ. λ =. λ > Ε. λ < Για να έχουµε ελάχιστη τιµή, θα πρέπει λ 3 > 0 δηλαδή λ > 3 Οπότε σωστό είναι το ) Ο άξονας συµµετρίας έχει εξίσωση την = = α α = α Οπότε σωστό είναι το γ) Πρέπει να ισχύει 0 = 0 + 0 + γ, άρα γ = 0. Οπότε σωστό είναι το Ε δ) Πρέπει > 0 δηλαδή 16 + λ > 0 άρα λ >. Οπότε σωστό είναι το
3. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις παραολές y =, y =, και να ρεθεί το µέγιστο ή το ελάχιστο αυτών. Άξονας συµµετρίας της πρώτης παραολής είναι η ευθεία = = α = 1 και της δεύτερης η = 1 Σχόλιο 1 Πίνακας σχεδίασης y = 1 0 1 3 y 8 3 0 1 0 3 8 y = 3 1 0 1 y 16 6 0 0 6 16 y 8 Σχεδιάζουµε τις γραφικές παραστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχήµα. Tο ελάχιστο της y = προκύπτει γα = 1 και είναι ίσο µε y = 1 Tο µέγιστο της y = προκύπτει γα = 1 και είναι ίσο µε y = - - Ο -5 y = - y = - - -10 3. Nα ρεθεί το µέγιστο ή το ελάχιστο των παραολών y = + + 1 και y = + 8 + 9. Για την πρώτη παραολή, επειδή α =, έχουµε ελάχιστο ίσο µε Θεωρία 3 αγ 1 y = = = = 1 α α Για τη δεύτερη παραολή, επειδή α =, έχουµε µέγιστο ίσο µε αγ 8 ( ) 9 y = = = = 17 α α ( ) -16 y
5. Έστω η συνάρτηση y = (λ 3λ) + Να δικαιολογήσετε γιατί έχει ελάχιστη τιµή για κάθε τιµή του λ. ) Αν η ελάχιστη τιµή προκύπτει για = 1, να ρείτε τις τιµές του λ. γ) Για τη µεγαλύτερη τιµή του λ του () ερωτήµατος, να ρείτε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης Επειδή α = 1 > 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιµή για κάθε τιµή του λ. ) Η ελάχιστη τιµή ως γνωστόν προκύπτει για = άρα = 1 α α λ 3λ = 1 = 1 > 0 και ρίζες λ = 1, λ = γ) Για λ = η παραολή γίνεται y = + + µε = Και εποµένως ελάχιστη τιµή y = = 1 α λ 3λ + = 0 5. Να ρείτε τις τιµές των α και ώστε η συνάρτηση y = + α +, για = να έχει µέγιστη τιµή το 6. Θα πρέπει να ισχύουν = και α α = και ( 1) = 6 α α + = 6 ( 1) α = 8 και = 10
6 6. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς και y ισχύει + y = 5, να ρείτε τη µέγιστη τιµή της παράστασης Α = y +5 και τις τιµές των και y για τις οποίες αυτή προκύπτει. + y = 5 άρα y = 5 (1) Εποµένως A = (5 ) + 5 = + 5 + 5 Η µέγιστη τιµή της παράστασης είναι η Α = = α ( ) 5 + 0 = 8 5 η οποία προκύπτει για = = = 5 α ( ) Από την (1) θα είναι y = 5 5 = 5 5 ( )5 = = 65 8 7. Έστω η παραολή y = λ + λ+1. Να ρείτε το λ ώστε η κορυφή της να ρίσκεται στην ευθεία + y = 0. Κορυφή της παραολής είναι το σηµείο Κ, Θεωρία α α Όµως = λ α και λ (λ+ 1) λ + (λ+ 1) = = α Για να είναι το Κ στην ευθεία + y = 0 πρέπει να την επαληθεύει λ + λ + (λ+ 1) = 0 δηλαδή λ + 5λ = 0 απ όπου προκύπτει λ = 1 ή λ = 8. Έστω οι συναρτήσεις y = (3λ 6) + 3 + 8 και y = (1 λ) + + 01. είξτε ότι, αν η πρώτη έχει ελάχιστη τιµή τότε η δεύτερη έχει µέγιστη τιµή. Αφού η πρώτη παραολή έχει ελάχιστη τιµή, θα ισχύει 3λ 6 > 0 άρα λ >. Τότε η παράσταση 1 λ είναι αρνητική και εποµένως η δεύτερη συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή.
7 9. Ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει µήκος 1cm. Με ένα σηµείο Μ χωρίζουµε το ΑΒ σε δύο τµήµατα ΑΜ = cm και ΜΒ = 1 cm. Με πλευρές ΑΜ και ΜΒ κατασκευάζουµε τετράγωνα. Να ρείτε το ώστε το άθροισµα των εµαδών των δύο τετραγώνων να είναι ελάχιστο. Το άθροισµα των εµαδών των τετραγώνων είναι Ε = + ( 1 ) = Η συνάρτηση Ε έχει ελάχιστη τιµή για = = α Τότε το Μ είναι το µέσο του AB. = + 1 = 6 10. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ) Με τη οήθεια της γραφικής παράστασης να ρείτε τις τιµές του για τις οποίες ισχύει 0 y Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήµα ) Η ανίσωση 0 σηµαίνει ότι y 0. πράγµα που ισχύει όταν 0 ή Σχόλιο 3 O y
8 11. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 5 + 6. ) Με τη οήθεια της γραφικής παράστασης, να ρείτε τις τιµές του για τις οποίες ισχύει 5 + 6 < 0 γ) Αν Α, Β, Γ είναι τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες, να υπολογίσετε το εµαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Άξονας συµµετρίας της παραολής είναι η ευθεία = = 5 α =,5 Πίνακας για τη σχεδίαση y = 5 + 6 1,5 3 y 0 0,5 0 Σχόλια1-3 Σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση η οποία φαίνεται δίπλα ) 5 + 6 < 0 σηµαίνει y < 0. Εποµένως περιοριζόµαστε στο τµήµα της γραφικής παράστασης που είναι κάτω από τον άξονα των. Όπως φαίνεται στο σχήµα, τα σηµεία αυτού του τµήµατος έχουν τετµηµένες που ικανοποιούν τη σχέση < < 3. Εποµένως λύσεις της ανίσωσης 5 + 6 < 0 είναι οι < < 3. γ) Τα σηµεία τοµής µε τον άξονα των είναι τα Β(, 0) και Γ( 3, 0), ενώ το σηµείο τοµής µε τον άξονα των y είναι το Γ(0, 6). ΒΓ ΑΟ 1 6 (ΑΒΓ) = = = 3 τετραγωνικές µονάδες 6 y Α O 1 Β Γ
9 1. Αν y = + + λ, να ρείτε το λ ώστε η παραολή να διέρχεται από το σηµείο Α(1, 0) ) Αν λ = 5 και 5 1, να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της παραολής και να ρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής µε τους άξονες Θα πρέπει να ισχύει 0 = 1 + + λ άρα λ = 5 ) Αν λ = 5, η παραολή είναι η y = + 5 Πίνακας για τη σχεδίαση 5 3 1 0 1 y 0 5 8 9 8 5 0 Σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση που φαίνεται δίπλα. Τα σηµεία τοµής µε τους άξονες είναι τα ( 5, 0), (1, 0) και ( 0, 5) -5 1-5 - -3 - -1 O - - -6-8 -5 y -9 13. Αν η παραολή y = α + + γ, α 0 έχει κορυφή το σηµείο (1, ) και τέµνει τον άξονα των y στο (0, 1), να υπολογίσετε τις τιµές των α, και γ Με άση την υπόθεση ισχύουν = 1 και = α α και 1 = 0 + 0 + γ δηλαδή = α και = 16α και γ = 1 = α και αγ = 16α και γ = 1 = α και α α = 16α = α και α + 1α = 0 = α και α(α + 3) = 0 = α και α = 0 απορρίπτεται ή α = 3 = 6 και α = 3 και γ = 1
10 1. Να ρείτε την τιµή του λ ώστε το ελάχιστο της συνάρτησης y = 3 (λ 1) λ + 1 να είναι το µέγιστο δυνατόν. Έχουµε ότι = αγ = (λ 1) 3( λ + 1) = = λ λ + 1 + 1λ 1 = =13λ λ 11 13λ +λ+11 Εποµένως η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης είναι η y = = α 1 Η παράσταση αυτή γίνεται µέγιστη όταν γίνει µέγιστη η ποσότητα 13λ + λ+ 11 αυτό συµαίνει όταν λ = = = 1 α 6 13 15. Να ρείτε τον τύπο της παραολής του y διπλανού σχήµατος. 3 Έστω y = α + + γ, α 0 η ζητούµενη παραολή. Αφού κορυφή της παραολής είναι το σηµείο Ο (, 3) και η παραολή διέρχεται από την αρχή των αξόνων ισχύουν : y = και = 3 και 0 = 0 + 0 + γ δηλαδή α α = α και = 1α και γ = 0 = α και αγ = 1α και γ = 0 = α και 16α = 1α = α και 16α + 1α = 0 = α και α(α + 3) = 0 = α και α = 0 απορρίπτεται ή α = = 3 και α = 3 Εποµένως η παραολή είναι η y = 3 + 3 3
11 16. Έστω η παραολή y = + (λ+ ) + λ +. Να ρείτε τις τιµές του λ έτσι ώστε η παραολή Να έχει µε τον άξονα των ένα µόνο κοινό σηµείο ) Να τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (3, 0) γ) Να έχει ελάχιστη τιµή για = 5 δ) Να έχει ελάχιστη τιµή το 8 ε) Να τέµνει τον άξονα των y στο σηµείο (0, 6) στ) Να έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία = Πρέπει = 0 άρα (λ + ) (λ + ) = 0 (λ + ) [(λ + ) ] = 0 (λ + ) (λ ) = 0 απ όπου λ = ή λ = ) Πρέπει 0 = 3 + ( λ + )3 + λ + δηλαδή λ + 17 = 0 άρα λ = γ) Πρέπει = 5 α δηλαδή λ+ = 5 απ όπου λ = 1 δ) = 8 δηλαδή = 3α α (λ + ) (λ + ) = 3 λ = 36 λ = 6 ή λ = 6 ε) Πρέπει 6 = 0 + 0 + λ + άρα λ = στ) Πρέπει = α δηλαδή λ+ = απ όπου λ = Θεωρία 17
1 17. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις παραολές y = + και y = +3 ) Με τη οήθεια του (, να ρείτε τις λύσεις της εξίσωσης + = +3 γ) Με τη οήθεια του (, να λύσετε την ανίσωση + > + 3 Άξονας συµµετρίας της πρώτης παραολής είναι η ευθεία = = α και της δεύτερης η = 1 Πίνακας τιµών y = 1 0 1 + y 0 0 y = 1 0 1 + 3 y 3 3 0 5 ) Η εξίσωση + = +3 έχει λύσεις τις τετµηµένες των κοινών σηµείων των δύο γραφικών παραστάσεων, δηλαδή τις τετµηµένες των Α και Β οι οποίες είναι το 5 και το 1 αντίστοιχα A - 5 y Ο y 1 1 B y = + - y = - - + 3 γ) Η ανίσωση + > +3 αληθεύει για εκείνες τις τιµές του που η γραφική παράσταση της y = + (κόκκινη) είναι ψηλότερα από την γραφική παράσταση της y = +3 (µαύρη) Όπως λέπουµε στο σχήµα αυτό συµαίνει όταν < 5 ή > 1
13 18. Στο διπλανό σχήµα, τα τετράπλευρα ΑΒΓ και ΕΖΗΘ είναι τετράγωνα.η πλευρά του ΑΒΓ είναι m. Να υπολογίσετε την πλευρά του ΕΖΗΘ συναρτήσει του και να δείξτε ότι το εµαδό αυτού είναι Ε() = +. Για ποια τιµή του αυτό το εµαδόν γίνεται ελάχιστο και ποια είναι η ποιο µικρή τιµή του εµαδού; Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΖ είναι ΒΖ = και ΕΒ = Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε ΕΖ = ΕΒ + ΒΖ = ( ) + = = + + = = + Εποµένως (ΕΖΗΘ) = ΕΖ = + δηλαδή Ε() = + Η συνάρτηση Ε(), επειδή α = > 0, έχει ελάχιστη τιµή για = την Ε min = = α = τετραγωνικές µονάδες A Θ Ε Η = α = 1 Β Ζ Γ 19. Σ ένα τρίγωνο η άση του είναι m. Το άθροισµα της άσης αυτής και του αντιστοίχου ύψους είναι m. Να εκφράσετε το εµαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του και να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του εµαδού για 0 6. Από την υπόθεση έχουµε + υ = οπότε + υ = υ = Το εµαδόν Ε του τριγώνου είναι ίσο µε Ε = υ ( ) = = 16 + 96 = = = 8 + 8 Ε 7 6 0 Πίνακας τιµών 0 1 3 5 6 Ε() 0 0 6 7 6 0 0 Ο 1 3 5 6 Σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση που λέπουµε στο διπλανό σχήµα
1 0. Εν ορθογώνιο έχει περίµετρο 100m. Αν το πλάτος του είναι m, να εκφράσετε το µήκος σαν συνάρτηση του. Ακόµα να ρείτε το εµαδό συναρτήσει του και να προσδιορίσετε την τιµή του για την οποία το εµαδό γίνεται µέγιστο. Αν y είναι το µήκος, τότε αφού η περίµετρος είναι 100, ισχύει + y = 100 άρα + y = 50 y = 50 Το εµαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = y = (50 ) = + 50 Επειδή α = 1 < 0, η συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή για = = 50 = 5 α