Matematika, 003, Jilid 19, bil., hlm. 11 138 c Jabatan Matematik, UTM. Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid Liau Lin Yun & Tahir Ahmad Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknologi Malasia 81310 UTM Skudai Johor Darul Takzim Malasia Abstrak Dalam makalah ini dipaparkan pembinaan homeomorfisma dari sfera berunit satu; S ke elipsoid berunit satu pada satah- serta berkutub di z dan z ; E melalui struktur permukaan Riemann. Pembuktian secara pembinaan dan percanggahan diketengahkan. Katakunci Permukaan Riemann, homeomorfisma Abstract In this paper, we present the construction of homeomorphism from unit sphere; S to ellipsoid which is one unit in -ais and its poles are at z and z ; E through Riemann surface structures. Proving techniques b construction and contradiction are highlighted. Kewords Riemann surface, homeomorphism 1 Pengenalan Sfera dan elipsoid merupakan dua bentuk geometri ang sering kita temui bukan sahaja secara formal dalam pengajian kalkulus, bahkan di alam sekeliling kita. Contohna, sebutir telur adalah lebih hampir berbentuk elipsoid daripada sfera. Walau bagaimanapun, keduadua bentuk tersebut adalah setara jika dilihat dari kaca mata topologi [11]. Dengan kata lain, wujudna homeomorfisma iaitu pemetaan ang bijeksi, terbuka dan selanjar antara sfera dan elipsoid. Dalam makalah ini, kita akan binakan homeomorfisma antara sfera dan elipsoid. Pembuktian Permukaan Riemann E Teori permukaan Riemann sudah berkembang sehingga ke tahap hipermukaan Riemann dan klasifikasi permukaan Riemann, tetapi penggunaana masih ke belakang lagi. Secara formalna, konsep ini ditakrifkan seperti berikut:
1 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Takrif 1 [] Suatu permukaan Riemann ialah suatu ruang topologi; dengan famili fungsi serta memenuhi sarat-sarat berikut: 1) E ialah Hausdorff ang terkait. ) Setiap α i ialah homeomorfisma dari domain E i ke subset terbuka D i pada C satah kompleks). 3) {E i : i I} ialah tudung terbuka untuk E. ) Fungsi transisi t 1 : α E 1 E ) α 1 E 1 E ) ang ditakrifkan adalah holomorfi. Sebelum kita membuktikan bahawa E lihat Rajah 1) ialah suatu permukaan Riemann, terlebih dahulu natakan E sebagai E {,, z) R 3 : + + z 1} 1) Kita akan buktikan bahawa E ialah sebuah permukaan Riemann. Jalan pembuktian ang berpandukan Takrif 1 akan diambil. Pembuktian ini termasuklah: menunjukkan bahawa E ialah ruang topologi Hausdorff ang terkait, menunjukkan bahawa setiap α i ialah homeomorfisma dari domain E i ke subset terbuka D i pada C satah kompleks) untuk [i :1, ], menunjukkan bahawa set {E i : i I} ialah tudung terbuka untuk E menunjukkan bahawa fungsi transisi t 1 : α E 1 E ) α 1 E 1 E ) bersifat holomorfi lihat Rajah ) Teorem 1 E {,, z) R 3 : + + z 1} ialah permukaan Riemann. Bukti Pertimbangkan E 1 E {0, 0, )} dan E E {0, 0, )} lihat Rajah 3) serta dua fungsi akni, α 1,, z) + i 1 z untuk E 1 dan α,, z) i 1+ z untuk E. Takrifkan set terbuka v pada E dalam bentuk v θ E dengan θ ialah set terbuka bagi R 3. Sekarang kita akan tunjukkan bahawa E ialah sebuah permukaan Riemann. Bukti: Hausdorff Takrif [9] Biarkan χ, τ) suatu ruang topologi. χ, τ) dipanggil suatu ruang T atau suatu ruang Hausdorff jika dan hana jika dengan p q mengimplikasikan wujudna jiranan tidak bercantum U dan V bagi p dan q masing-masing iaitu, U V ). Sekarang, kita akan buktikan bahawa E ialah ruang topologi Hausdorff dengan menggunakan pembuktian secara percangghan. Teknik pembuktian ini sama seperti ang dilakukan oleh Ahmad [,3].
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 13
1 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Ambil p 1,p 1 E dengan p 1 p serta p i i, i,z i ). Seterusna, takrifkan jiranan P i bagi i 1, sebagai Np i,ε i ){p R 3 :[ i )+ i )+z z i )] 1/ <ε i } dan N 0 p i,ε i )Np i,ε i ) E. Kedua-dua set ini digambarkan dalam Rajah berikut. Biarkan dp 1,p )[ 1 ) +z 1 z ) ] 1/ ε 3 ialah metrik ruang Euklidean ang biasa serta ε min{ε i : i 1,, 3}. Takrifkan set terbuka V i sebagai V i Np i, ε ) E bagi i 1,. Seterusna, kita akan tunjukkan bahawa V 1 dan V tidak bercantum. Katakan V 1 V, maka wujud p 3 V 1 V dengan dp 1,p 3 ) < ε dan dp,p 3 ) < ε. Menggunakan ketaksamaan segitiga, ε 3 dp 1,p ) dp 1,p 3 )+dp 3,p ) < ε + ε ε. Sehubungan itu, didapati ε 3 <εtetapi ε min{ε i : i 1,, 3}, akni suatu percanggahan. Justeru itu, V 1 V. Lantas E ialah ruang topologi Hausdorff menggunakan Takrif. Bukti: Terkait Takrif 3 [8] Suatu ruang topologi X, ditulis sebagai X, τ), dikatakan terkait secara lintasan jika setiap dua titik p 1,p X dapat disambungkan dengan suatu lintasan dalam ruang topologi tersebut. Teorem [8] Jika X, τ) terkait secara lintasan, maka X, τ) terkait. Sekarang, kita akan buktikan bahawa E terkait. Takrif 3 dan Teorem diperlukan untuk membuktikan bahawa E terkait. Pembuktian secara pembinaan dan koordinat sfera bagi E digunakan untuk membina lintasan tersebut. Teknik pembuktian ini adalah sama seperti ang dilakukan oleh Ahmad [,3]. Takrifkan komponen koordinat P ρ,θ,φ) dengan ρ jarak dari P ke asalan θ sudut dari paksi- positif ke garis OQ φ sudut dari paksi-z positif ke garis OP ) dengan ρ 0, 0 θ π dan 0 φ π lihat Rajah 5). Sekarang, kita akan tentukan ρ bagi kes E. Dari Rajah 5, didapati r ρ sin φ, θ θ dan z ρ kosφ, tetapi diketahui r kosθ, dan r sin θ. Justeru itu, kita boleh tulis Gantikan 3 ke dalam 1, didapati ρ sin φ kosθ, ρ sin φ sin θ, z ρ kosφ. 3) + + z 1 ρ sin φ kosθ) +ρsin φ sinθ) ρ kosφ) + 1 ρ sin φ kos θ + ρ sin φ sin θ + ρ kos φ 1 ρ 3 sin φ +1. )
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 15
16 Liau Li Yun & Tahir Ahmad ) ) Biarkan P a 3,θ a,φ a dan P b sin φ a+1 3,θ b,φ b sebarang dua titik pada sin φ b +1 E. Takrifkan fungsi f :[0, 1] R 3 dengan f n), 1 n) θ a + nθ b, 1 n) φ a + nφ b. 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 Masalahna sekarang untuk menunjukkan bahawa f n) E untuk setiap n [0, 1]. Dengan menggunakan 3 dan serta takrifan f n), didapati sin [1 n) φ a + nφ b ] kos [1 n) θ a + nθ b ], 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 sin [1 n) φ a + nφ b ] sin [1 n) θ a + nθ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 dan kos [1 n) φ a + nφ b ] z. 5) 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 Lihat bahawa f n) E kerana + + z sin [1 n) θ a + nθ b ] kos [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 + sin [1 n) θ a + nθ b ] sin [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 + ) kos[1 n)φ a+nφ b ] 3 sin [1 n)φ a+nφ b ]+1 3 sin [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 + sin [1 n) φ a + nφ b ]+kos [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 1. Dengan menggunakan Takrif 3, E terkait secara lintasan. Lantas E terkait mengikut Teorem. Bukti: Domain E i dinamakan domain jika ia terbuka dan terkait untuk i 1, [,3]. Dalam seksen ini, dipaparkan pembuktian E i terbuka untuk i 1, dituruti dengan pembuktian E i terkait untuk i 1,. Kita tahu bahawa E 1 E {0, 0, )}. Pilih k E 1. Jelas k 0, 0, ) dan d k, 0, 0, )) r dengan r>0. Kemudian, kita dapati N k, r) { p E : d k, p) <r } E 1 6)
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 17 kerana jika 0, 0, ) N k, r) maka d k, 0, 0, )) <r. Ini adalah suatu percanggahan. Justeru itu, E 1 terbuka. Dengan cara ang sama seperti di atas, kita dapat tunjukkan bahawa E E {0, 0, )} terbuka. Seterusna kita akan tunjukkan bahawa E 1 adalah terkait. Kita akan gunakan langkah ang sama seperti pada E tetapi dengan sedikit ubah suaian. Menggunakan dan 3 serta takrifkan ρ,0 θ π, 0<φ<π supaa P ρ,θ,ϕ) 0, 0, ). Kemudian 3 sin φ+1 takrifkan semula } E 1 E {0, 0, )} {,, z) R 3 : + + z 1 dan z. Seterusna menggunakan f n) dan 5, kita dapat tunjukkan 6. Masalah kita cuma untuk menunjukkan bahawa z. Katakanlah z, maka kos [1 n) φ a + nφ b ]±1. Oleh sebab z, maka kos [1 n) φ a + nφ b ]1. Ini membawa erti 1 n) φ a + nφ b kos 1 10, π. Jika 1 n) φ a + nφ b 0, maka 1 n) φ a nφ b. Tetapi 0 n 1 ang memberikan 1 1 n 0 atau dengan kata lain 1 n adalah sentiasa positif. Kita juga sedia maklum bahawa 1 n) φ a nφ b jika dan hana jika φ a φ b 0. Ini adalah suatu percanggahan kerana φ i > 0 untuk i a, b. Jika itulah keadaanna, maka 1 n) φ a +nφ b 0. Kita tahu bahawa kos 0 kos π 1 dan oleh sebab 1 n) φ a + nφ b 0, kita boleh membuat kesimpulan bahawa 1 n) φ a + nφ b π. Jadi, kos [1 n) φ a + nφ b ] 1. Oleh ang demikian, kos 1 n) φ a + nφ b ) z. 3sin 1 n) φ a + nφ b )+1 Justeru itu, f n) E 1, n [0, 1]. Dengan menggunakan Takrif 3, E 1 terkait secara lintasan. Lantas, E 1 terkait menggunakan Teorem. Sekarang kita akan gunakan takrif dan teorem berikut untuk menunjukkan bahawa E terkait. Takrif [1] Fungsi f : D R p R q dikatakan selanjar pada titik a D jika untuk setiap ε>0, wujud δ>0 sehingga f ) f a) <εapabila D dan a <δ. Fungsi f dikatakan selanjar pada suatu set s D jika f selanjar pada semua titik dalam S. Teorem 3 [7] Jika A adalah terkait dan f : A B adalah selanjar, maka f A) adalah terkait. Takrifkan f : E 1 E seperti berikut: akni refleksif relatif terhadap satah-. f,, z),, z),,, z) E 1
18 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Pembuktian kita seterusna berbeza dan lebih terperinci daripada apa ang telah diambil oleh Ahmad [,3]. Biarkan 1, 1,z 1 ) E 1. Kita akan tunjukkan bahawa f selanjar di 1, 1,z 1 ). Biarkan ε>0, kita hendak carikan δ>0 sehinggakan f,, z) f 1, 1,z 1 ) <ε apabila,, z) 1, 1,z 1 ) <δdan,, z) E 1. Oleh sebab f,, z) f 1, 1,z 1 ),, z) 1, 1, z 1 ),, z) 1, 1,z 1 ), maka dengan memilih δ ε apabila,, z) 1, 1,z 1 ) <δ, kita memperolehi f,, z) f 1, 1,z 1 ),, z) 1, 1,z 1 ) <δ ε. Daripada keputusan ini, jelaslah bahawa f selanjar di 1, 1,z 1 ). Oleh sebab 1, 1,z 1 ) dipilih sebarangan, maka f selanjar di setiap titik dalam E 1. Justeru itu, f selanjar apabila Takrif digunakan. Seterusna kita akan tunjukkan bahawa f meneluruh. Untuk sebarang a, b, c) E ang diberi, maka wujudna suatu a, b, c) E 1 sehinggakan f a, b, c) a, b, c)) a, b, c). Justeru itu, f meneluruh. Jelas f selanjar lagi meneluruh dan dengan menggunakan Teorem 3, f E 1 )E terkait. Bukti: Julat Terbuka Ingat α i : E i D i dengan α i i, i,z i ) i+ii C untuk i 1,. Jelas D 1 zi i C untuk i 1,. Kita sedia maklum bahawa C adalah terbuka kerana untuk sebarang p C dan untuk sebarang r > 0, Np, r) C kerana setiap unsur dalam N p, r) berbentuk a+ib. Bukti: Homeomorfisma Kita memerlukan takrif-takrif berikut untuk menunjukkan bahawa α i ialah homeomorfisma untuk i 1,. Takrif 5 [6] Suatu pemetaan f : X Y antara ruang-ruang topologi adalah terbuka jika imej fu) bagi setiap subset terbuka U dalam X adalah terbuka dalam Y, dan tertutup jika imej fe) bagi setiap subset tertutup E dalam X adalah tertutup dalam Y. Teorem [6] Suatu pemetaan f : X Y dari suatu ruang topologi X ke suatu ruang topologi Y adalah selanjar jika dan hana jika imej songsangan f 1 V ) bagi setiap subset terbuka V dari Y adalah terbuka di dalam X. Korolari 1 [5] Suatu homeomorfisma ialah suatu pemetaan ang bijeksi, terbuka dan selanjar. Teorem 5 [6] Pemetaan identiti i : X X untuk sebarang ruang topologi X ialah suatu homeomorfisma i : X X. Jika f : X Y ialah suatu homeomorfisma, maka songsanganna f 1 : Y X ialah suatu homeomorfisma. Jika f : X Y, g : Y Z ialah homeomorfisma, maka gabungan mereka g f : X Z ialah suatu homeomorfisma.
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 19 Pertama, kita akan tunjukkan bahawa α 1 adalah bijeksi. Ambil a α 1 E 1 ), maka ) a α 1,, z) 1 z, 1 z C. Lantas α 1 E 1 ) C. Untuk akasna, ambil b C, maka b A + ib. Kita boleh ungkapkan b dalam bentuk seperti berikut, b 1 z + i 1 z, untuk suatu,, z) E 1 + i 1 z. Nilai-nilai, dan z untuk suatu,, z) E 1 ditentukan dengan menelesaikan tiga persamaan berikut: 1 z A, untuk suatu,, z) E 1, 1 z B, untuk suatu,, z) E 1 dan + + z 1, untuk suatu,, z) E 1. Jadi α 1 E 1 ) C. Justeru itu α 1 E 1 )C. Lantas α 1 adalah meneluruh. Seterusna kita akan tunjukkan bahawa α 1 adalah satu ke satu. Pertimbangkan k α 1,, z) + i ) 1 z 1 z, 1 z untuk suatu,, z) E 1. Kita akan ungkapkan z dalam sebutan k. Perhatikan bahawa ) [ k ) 1 z, 1 z 1 z + 1 z Oleh sebab,, z) E 1, maka + + z k 1 z ) 1 z ) ] 1 1 dan z. Jadi, ) ) ) 1+ z 1 z 1+ z ) ) 1 z 1 z 1 z ). Jadi, z k 1). Maka k +1 ) k α 1,, z) 1 z, 1 z 1 k 1 k +1 ) k +1, k +1., 1 k 1 k +1 + ) 1 z.
130 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Sekarang katakanlah bahawa k α 1,, z) +i 1 z 1 z, ) k +1, k +1 1 z 1 z ), 1 z k +1, k +1 ) α 1,,z )k C. Oleh kerana k k, maka ) ) k +1 k +1, ) ) k +1 k +1 dan ) ) k 1 k 1 k +1 k +1 z z. Jika itulah keadaanna maka kita dapati bahawa α 1 adalah satu ke satu. Lantas α 1 adalah bijeksi. Seterusna, kita akan gunakan Takrif 5 untuk membuktikan bahawa α 1 terbuka. Ambil sebarang a, b) α 1 A) dengan A sebarang set terbuka pada E 1. Pertimbangkan α 1 A) {α 1,, z) :,, z) A}. Oleh sebab α 1 adalah bijeksi, maka wujud satu dan hana satu,, z) A sehingga α 1,, z) a, b). Untuk tujuan ringkasan, kita maksudkan N,, z) N,, z);r) E 1 ) bagi suatu r > 0. Oleh sebab A terbuka, maka N,, z) A wujud. α 1 N,, z)) {α 1,,z ):,,z ) N,, z)}. Jelas Pertimbangkan a, b) α 1,, z) α 1 N,, z)). Ambil sebarang p α 1 N,, z)). Oleh sebab α 1 adalah bijeksi, maka wujud satu dan hana satu,,z ) N,, z) sehingga α 1,,z )p. Oleh sebab N,, z) A, maka,,z ) A. Oleh itu, p α 1,,z ) α 1 A) dan ini mengimplikasikan α 1 N,, z)) α 1 A). Oleh sebab a, b) α 1 A) dipilih sebarangan, maka a, b) α 1 N,, z)) α 1 A) untuk setiap a, b) α 1 A) dengan suatu,, z) A ang sepadan. Justeru itu, α 1 A) adalah terbuka. Oleh sebab A dipilih sebarangan, maka α 1 A) adalah terbuka dalam D 1 untuk setiap set terbuka A pada E 1. Lantas α 1 terbuka.
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 131 Seterusna, kita akan buktikan bahawa α 1 selanjar dengan menggunakan Teorem. Dengan menggantikan α 1,E 1,D 1 dan set terbuka A dalam pembuktian α 1 terbuka dengan α 1 1,D 1,E 1 dan set terbuka B masing-masing, kita dapat buktikan bahawa α 1 1 B) terbuka dalam E 1 untuk setiap set terbuka B pada D 1. Lantas α 1 selanjar. Kita telah buktikan bahawa α 1 ialah suatu pemetaan dari ruang topologi E 1 ke ruang topologi D 1 ang bijeksi, terbuka dan selanjar. Dengan menggunakan Korolari 1, α 1 ialah suatu homeomorfisma. Begitu juga dengan songsangan α 1, iaitu α 1 1 : D 1 C E 1 ang ditakrifkan seperti berikut, α 1 1, ), ) +1,, ) +1, ), ) 1, ),, ) D 1 +1 ialah suatu homeomorfisma apabila Teorem 5 digunakan. Dengan langkah ang sama kita dapat tunjukkan bahawa α adalah suatu homeomorfisma. Bukti: Tudung Terbuka Berdasarkan sarat 3) dalam Takrif 1, kita harus buktikan bahawa {E i : i 1, } ialah tudung terbuka untuk E. Kita sudah buktikan bahawa E i terbuka untuk i 1,. Kita juga sedia maklum bahawa i1 E i E, lantas {E i : i 1, } ialah tudung terbuka untuk E. Bukti: Holomorfi Berdasarkan sarat ) dalam Takrif 1, kita harus buktikan bahawa setiap fungsi transisi ang ditakrifkan adalah holomorfi. Kita akan gunakan teknik pembuktian ang telah dilakukan oleh Ahmad [,3]. Pertama sekali, kita takrifkan ) fungsi t 1 : α E 1 E ) α 1 E 1 E ) sebagai fungsi transisi dengan t 1 α 1 α 1. Kita dapat lihat bahawa ) ) + i i α 1,, z)α,, z) 1 z 1+ z + 1 ) z 1 ) z 1 ) z 1 1 memberikan α 1,, z) α dan α 1,,z),, z) α. Dengan kata lain, α 1,,z) 1 dan α merupakan salingan antara satu sama lain. Jelas bahawa t 1 ialah pemetaan pada C {0} dengan s 1 s. Akan tetapi, kita sedia maklum bahawa s a + ib, lantas ) t 1 s) α α 1 1 1 s) a + ib 1 a + ib u + iv. ) a ib a ib a ib a + b a a + b + i b a + b serta holomorfi sekirana ia memuaskan sarat Cauch-Riemann. Lihat bahawa Jelas bahawa u u a b a a + b ) ; u b a v b ab a + b ) ; v a ab a + b ) ; v b b a a + b ). dan u b v a. Oleh itu, t 1 adalah holomorfi.
13 Liau Li Yun & Tahir Ahmad 3 Homeomorfisma Dari S Ke E Dua homeomorfisma dari S ke E dapat dibina melalui struktur permukaan Riemann bagi S dan E. Dalam makalah ini, kita hana paparkan pembinaan salah satu homeomorfisma dari S ke E. Teorem 6 S E. Bukti. Pertimbangkan ruang topologi S {,, z) R 3 : + + z 1 }, U 1 S {0, 0, 1)}, C 1 C dengan set terbuka U pada S adalah dalam bentuk U θ S dengan θ ialah set terbuka dalam R 3 serta fungsi akni γ 1,, z) + i 1 z untuk,, z) U 1 dengan γ 1 ialah suatu homeomorfisma dari U 1 ke subset terbuka C 1 pada C [,3]. Pertimbangkan juga ruang topologi } E {,, z) R 3 : + + z 1 E 1 E {0, 0, )}, D 1 C dengan set terbuka V pada E adalah dalam bentuk V θ E dengan θ ialah set terbuka dalam R 3 serta fungsi akni, α 1,, z) + i 1 z untuk,, z) E 1 dengan α 1 ialah suatu homeomorfisma dari E 1 ke subset terbuka D 1 pada C. Pembinaan homeomorfisma dari S ke E dirangka khas supaa dibahagikan kepada tiga peringkat, iaitu pembinaan homeomorfisma dari C 1 ke D i, pembinaan homeomorfisma dari U 1 ke E 1 dan pembinaan homeomorfisma dari S ke E. Sekarang kita akan binakan homeomorfisma dari S ke E melalui struktur permukaan Riemann bagi S dan E. Bukti: Homeomorfisma Dari C 1 Ke D 1 Dalam seksen ini, kita akan binakan suatu homeomorfisma f 1 : C 1 D 1 lihat Rajah 6). Pertama sekali, kita akan takrifkan f 1 : C 1 D 1. Pertimbangkan set-set U 1 {,, z) R 3 : + + z 1 dan z 1 }, } E 1 {,, z) R 3 : + + z 1 dan z, { C 1, ) R : 1 z, } 1 z,γ 1,, z), ),, z) U 1, { D 1, ) R : 1 z, } 1 z,α 1,, z), ),, z) E 1
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 133 serta dua fungsi akni, γ 1,, z) + i 1 z,,, z) U 1 dan α 1,, z) + i 1 z,,, z) E 1. Ambil sebarang, ) C 1, maka dan serta γ 1,, z), ) untuk suatu,, z) U 1. Kita akan petakan, ) C 1 ke suatu, ) D 1 dengan 1 z dan 1 z serta α 1,, z), ) untuk suatu,, z) E 1. Secara umumna, 1 z, untuk suatu,, z) U 1 melalui pendaraban dengan 1 z, iaitu 1 z 1 z untuk suatu,, z) U 1 dan 1 z untuk suatu,, z) U 1 melalui pendaraban dengan 1 z, iaitu 1 z 1 z, untuk suatu,, z) ) U 1. Katakah a, b) 1 z, 1 z untuk suatu,, z) U 1. Oleh sebab α 1 adalah bijeksi, maka wujud satu dan hana satu,, z) E 1 sehingga α 1,, z) a, b). Jadi, a, b) D 1. Oleh itu, kita mentakrifkan f 1 : C 1 D 1 seperti berikut, f 1, ) 1 z, ),, ) C 1 dengan suatu z ang sepadan serta memenuhi + + z 1 dan z 1. Sekarang, kita akan buktikan bahawa f 1 adalah bijeksi. Ambil a f 1 C 1 ), maka a f 1, ), untuk suatu, ) C 1 1 z ) 1 z 1 z,, untuk suatu,, z) U 1 ) 1 z 1 z, 1 z α 1,, z) D 1, untuk suatu,, z) E 1 kerana α 1 adalah bijeksi Jadi, f 1 C 1 ) D 1. Untuk akasna, ambil b D 1, maka
13 Liau Li Yun & Tahir Ahmad b, ), ) untuk suatu, ) D 1,, untuk suatu,, z) E 1 1 z 1 z α 1,, z),) untuk suatu,, z) E 1 1 z, 1 z, untuk suatu,, z) U 1 kerana α 1 adalah bijeksi ) 1 z, f 1, ) f 1 C 1 ). Jadi, D 1 f 1 C 1 ). Justeru itu, f 1 C 1 )D 1. Lantas f 1 adalah surjeksi. Sekarang, kita akan gunakan teknik pembuktian ang sama seperti ang ambil dalam [, 3] untuk membuktikan bahawa f 1 adalah injeksi. Katakanlah bahawa f 1 f1 dan f 1, ) 1 z, ) 1 z ) 1 z, 1 z ),, )f 1 z 1 z 1, ) untuk, ),, ) C 1 dengan z dan z ang sepadan serta memenuhi + +z 1 dan z 1. Dengan menggunakan Teorem.6 dalam [3], maka ) ) J f 1 ) 1 z 1 z ) ) 1 z 0 J f1 ) 1 z 1 z 1 z Dari 3.1), kita mendapati 1 z ) ) 1 z) z z. 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z ) ) 0 1 z ) ) ) 1 z 0 1 z 0 1 z. Dari komponen-komponen matriks Jakobian di atas, bolehlah dirumuskan bahawa Oleh itu, 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z dan z z. 1 z 1 z 1 z. 1 z 7)
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 135 Jika itulah keadaanna maka kita dapati bahawa f 1 adalah injeksi. Seterusna, dengan menggantikan α 1, E 1, D 1 dan set terbuka A dalam pembuktian α 1 terbuka lihat Seksen ) dengan f 1, C 1, D 1 dan set terbuka E masing-masing, kita juga dapat buktikan bahawa f 1 terbuka. Seterusna, kita akan buktikan bahawa f 1 selanjar. Dengan menggantikan α 1, E 1, D 1 dan set terbuka B dalam pembuktian α 1 1 B) terbuka dalam E 1 untuk setiap set terbuka B pada D 1 lihat Seksen ) dengan f 1, C 1, D 1 dan set terbuka F masing-masing, kita dapat buktikan bahawa f 1 1 F ) terbuka dalam C 1 untuk setiap set terbuka F pada D 1. Lantas f 1 selanjar. Oleh kerana f 1 adalah bijeksi, terbuka dan selanjar, menggunakan Korolari 1 ia adalah suatu homeomorfisma. Bukti: Homeomorfisma Dari U 1 Ke E Dalam seksen ini, kita akan binakan suatu homeomorfisma dari U 1 ke E 1 lihat Rajah 7). Pertimbangkan γ 1 : U 1 C 1 γ 1,, z) + i,,, z) U 1, 1 z f 1 : C 1 D 1 f 1, ) 1 z 1 z, ),, ) C 1 dengan suatu z ang sepadan serta memenuhi + + z 1 dan z 1, dan α 1 1 : D 1 E 1 α 1 1, ) ), ) +1,, ) 1, ) +1,, ),, ) D 1. +1 Ahmad [, 3] telah buktikan bahawa γ 1 : U 1 C 1 ialah suatu homeomorfisma. Kita telah buktikan bahawa f 1 : C 1 D 1 dan α 1 1 : D 1 E 1 masing-masing ialah suatu homeomorfisma. Dengan menggunakan Teorem 5, f 1 γ 1 : U 1 C 1 ialah suatu homeomorfisma dan seterusna α 1 1 f 1 γ 1 ):U 1 E 1 juga ialah suatu homeomorfisma.
136 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Bukti: Homeomorfisma Dari S Ke E Dalam seksen ini, dipaparkan pembinaan homeomorfisma dari S ke E menerusi struktur permukaan Riemann bagi S dan E lihat Rajah 8). Ahmad [, 3] telah buktikan bahawa γ 1 : U 1 C 1 dengan C 1 C ialah suatu homeomorfisma. Kita telah buktikan bahawa f 1 : C 1 D 1 dan α 1 1 : D 1 E 1 dengan D 1 C masing-masing ialah suatu homeomorfisma. Hujah bagi pemetaan dari E ke C mengekalkan homeomorfisma α 1 adalah sama dengan hujah ang telah digunakan oleh Rao dan Stetkaer [10] bagi pemetaan dari S ke C. Hujah ang sama boleh digunakan untuk homeomorfisma f 1. Dengan menggunakan Teorem 5, pemetaan dari C ke E juga merupakan suatu homeomorfisma. Pemetaan-pemetaan ini dipaparkan secara terperinci dalam Rajah 9. Secara formal, { γ1 : S C γ1,, z) γ1,, z) +i untuk,, z) U 1 untuk,, z) 0, 0, 1), f 1 : C C untuk, ) C dengan suatu z f1, f ) 1, ) 1 z, ) ang sepadan serta memenuhi + + z 1 dan z 1 untuk, ) dan α 1 1 : C E α 1 1, ) ) α 1 1, ),,, ) 1) untuk, ) C, ) +1, ) +1, ) +1 0, 0, ) untuk, ). Oleh sebab γ1 : S C, f1 : C C dan α 1 1 : C E masing-masing ialah suatu homeomorfisma, menggunakan Teorem 5, f1 γ 1 : S C ialah suatu homeomorfisma dan seterusna α 1 1 f1 γ 1 ):S E juga ialah suatu homeomorfisma. Hasil pembuktian seksen ini dirumuskan dalam Rajah 10. Penutup Makalah ini memaparkan pembinaan homeomorfisma dari S ke E melalui struktur permukaan Riemann bagi S dan E. Hasil dari kajian ini amatlah penting bagi aplikasi dalam pemprosesan imej dan khususna isarat Magnetoencephalograph MEG) bagi otak manusia. 5 Penghargaan Penulis merakamkan penghargaan kepada sokongan kewangan melalui anugerah penelidikan IRPA Vot 7303.
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 137
138 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Rujukan [1] I. Abdullah, Analisis Nata, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur, 1995. [] T. Ahmad, The Riemann Surface: S, Disertasi Sarjana, California State Universit, 1989. [3] T. Ahmad, Permukaan Riemann: S, Matematika. 91). 9-17, 1993. [] A. F. Beardon, A Primer on Riemann Surfaces, Cambridge Universit Press, London, 198. [5] D. E. Christie, Basic Topolog, Estate of Dan E. Christie, USA, 1976. [6] M. Eisenberg, Topolog, Holt, Rinehart and Winston, New York, 197. [7] J. E. Marsden, Elementar Classical Analsis, W. H. Freeman, San Francisco, 197. [8] A. O. Md. Tap, Topologi, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur, 1989. [9] T. O. Moore, Elementer General Topolog, Prentice-Hall, Englewood Cliffs N. J, 196. [10] M. Rao and H. Stetkaer, Comple Analsis An Invitation, World Scientific Publishing, Singapore, 1991. [11] A. L. Samian, Sejarah Matematik, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur, 199.