Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1
Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2
Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Μοντέλο Κατάστρωση εξισώσεων Μη-γραμμικές εξισώσεις κίνησης Συνάρτηση Μεταφοράς Απόκριση Συχνότητας Γραμμικοποίηση Γραμμικές εξισώσεις κίνησης Αναλυτική Επίλυση Προσομοίωση Χρονική απόκριση
Γραμμικοποίηση: Γενική Ιδέα Γενικά, οι εξισώσεις κίνησης είναι μη-γραμμικές: Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonlin + ξ Ισχύει q, q Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις περιγράφουν την δυναμική ενός συστήματος γύρω ένα σημείο ισορροπίας Μ q + C q + K q = ξ Ισχύει όταν τα q και q παίρνουν τιμές γύρω από κάποιο ζεύγος τιμών (q 0,q 0) (σημείο ισορροπίας) 4
Σημεία Ισορροπίας Υπολογισμός σημείων ισορροπίας σε 3 βήματα: 1. Περιγραφή δυναμικού συστήματος σε μορφή μεταβλητών κατάστασης x = φ x, ξ 2. Θεωρώ σταθερές τιμές για τις διεγέρσεις ξ = ξ 0 Συνήθως ξ 0 = 0 3. Τα σημεία ισορροπίας είναι οι λύσεις x 0 του συστήματος εξισώσεων 0 = φ x 0, ξ 0 Κάθε λύση αντιστοιχεί σε μια μόνιμη απόκριση (steady state) που μπορεί να προκύψει από τις διεγερσεις ξ 0 5
Σημεία Ισορροπίας 3 τρόποι επίλυσης του συστήματος φ x 0, ξ 0 1. Αναλυτική λύση = 0 Πρακτικά μόνο σε ορισμένα προβλήματα μικρού μεγέθους 2. Αριθμητική λύση Μοναδική επιλογή σε προβλήματα μεγάλου μεγέθους Προσοχή στην αριθμητική λύση, ψάξιμο λύσεων 3. Γραφική λύση (περίπτωση 2 μεταβλητών κατάστασης): τα σημεία ισορροπίας είναι οι τομές των καμπυλών φ 1 x 0, ξ 0 = 0 και φ 2 x 0, ξ 0 = 0, όπου φ x 0, ξ 0 = φ 1 x 0, ξ 0 φ 2 x 0, ξ 0 6
Γραμμικοποίηση Η μη-γραμμική εξίσωση μεταβλητών κατάστασης φ x, ξ γύρω από ένα σημείο ισορροπίας γράφεται (ανάπτυξη Taylor) ως: x = x 0 + δx ξ = ξ 0 + δξ x = φ x, ξ = φ x 0, ξ 0 + φ x x0,ξ 0 δx + φ ξ x0,ξ 0 δξ δx = φ x x0,ξ 0 δx + φ ξ x0,ξ 0 δξ Ιακωβιανοί πίνακες Η δυναμική της απόκλισης δx από την θέση ισορροπίας περιγράφεται από ένα σύστημα γραμμικών ΣΔΕ της μορφής δx = A δx + Β δu 7
Ευστάθεια Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δx από το σημείο ισορροπίας, το σύστημα θα επιστρέψει στο σημείο ισορροπίας (καθώς t τότε δx 0) Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δx από το σημείο ισορροπίας, το σύστημα αποκλίνει ακόμα περισσότερο όσο περνά ο χρόνος (καθώς t τότε δx αυξάνεται) Η ευστάθεια είναι ιδιότητα του συστήματος και μπορεί να διαφέρει για κάθε σημείο ισορροπίας 8
Σημεία Ισορροπίας σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Το ακόλουθο γραμμικό σύστημα δx = A δx έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το δx 0 = 0 Ισοδύναμα, το γραμικοποιημένο σύστημα Μ δq + C δq + K δq = 0 έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το δq 0 = δq 0 = 0 9
Ευστάθεια σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Στο δυναμικό σύστημα x = A x η εύστάθεια του μοναδικού σημείου ισορροπίας δx 0 = 0 εξαρτάται από τις ιδιοτιμές του πίνακα A: ασυμπτωτικά ευσταθές αν όλες οι ιδιοτιμές του A έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη ασταθές, αν έστω και μια ιδιοτιμή του A έχει θετικό πραγματικό μέρος 10
Ευστάθεια σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Η ευστάθεια του σημείου ισορροπίας x 0 του μηγραμμικού συστήματος x = φ x, ξ, μπορεί να υπολογιστεί από την ευστάθεια του μοναδικού σημείου ισορροπίας δx 0 = 0 του γραμμικοποιημένου συστήματος δx = A δx, όπου A = φ x x0,ξ 0 Ασυμπτωτικά ευσταθές αν όλες οι ιδιοτιμές του A έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη Ασταθές αν έστω και μια ιδιοτιμή του A έχει θετικό πραγματικό μέρος Δεν μπορεί να βγει συμπέρασμα με αυτή τη μέθοδο αν υπάρχουν καθαρά μιγαδικές ιδιοτιμές 11
Παράδειγμα Παράδειγμα: Να γραμμικοποιηθούν οι εξισώσεις κίνησης εκκρεμούς γύρω από τα σημεία ισορροπίας του. Έστω m = L = c T = 1 Εξισώσεις κίνησης: Λύση c T m L 2 θ + c T θ + m g L sin θ θ τ(t) g L m = τ(t) Οι μεταβλητές κατάστασης είναι: x = θ θ Οι αντίστοιχες εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης είναι: d dt θ θ = θ 1 m L 2 (τ(t) c T θ m g L sin θ ) = φ θ, θ, τ 12
d /dt [rad/sec] Παράδειγμα Τα σημεία ισορροπίας (για τ 0 = 0), προκύπτουν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων φ 1 x = 0 θ = 0 φ 2 x = 0 θ = m g L/c T sin θ = 0 Υπάρχουν 2 λύσεις 2 σημεία ισορροπίας x 0,1 = 0 0 x 0,2 = π 0 10 5 2 =0 0 1 =0-5 -10-6 -4-2 0 2 4 6 [rad] 13
Παράδειγμα Υπολογίζονται οι αναγκαίοι Ιακωβιανοί πίνακες Α, Β για την γραμμικοποίηση: = Α = φ x x0,τ 0 = φ 1 θ φ 2 θ 0 1 g/l cos θ c T m L 2 x 0,τ 0 = φ 1 θ φ 2 θ x 0,τ 0 = 0 1 g/l cos θ 0 c T m L 2 Β = φ ξ x0,τ 0 = φ 1 τ φ 2 τ x 0,τ 0 = 0 1 x0,τ 0 = 0 1 14
Παράδειγμα Γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας Πίνακας Α Α = 0 1 g/l cos 0 c T m L 2 = Γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης γύρω από το x 0,1 d δθ dt δθ = 0 1 g 1 Aντιστοιχούν στο σύστημα x 0,1 = 0 0 0 1 g/l c T = 0 1 m L 2 g 1 δθ δθ + 0 1 δτ(t) m L 2 δθ + c T δθ + m g L δθ = δτ(t) οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι λ 1,2 = 0.5 ± 3.09j. Επειδή Re(λ 1,2 )<0, το x 0,1 είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας του μη-γραμμικού συστήματος 15
Παράδειγμα Γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας Πίνακας Α Α = 0 1 g/l cos π c T m L 2 = x 0,2 = π 0 0 1 g/l c T = 0 1 m L 2 g 1 Γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης γύρω από το x 0,2 d δθ dt δθ = 0 1 δθ g 1 δθ + 0 1 δτ(t) Aντιστοιχούν στο σύστημα (ελατήριο αρνητικής σταθεράς!) m L 2 δθ + c T δθ m g L δθ = δτ(t) οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι λ 1 = 2.67, λ 2 = 3.67. Επειδή Re(λ 1 )>0, το x 0,2 είναι ασταθές σημείο ισορροπίας του μη-γραμμικού συστήματος 16
Πρωτοβάθμια Μηχανικά Συστήματα που Περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης Τάξης 17
Πρωτοβάθμιες ΣΔΕ σε Μηχανικά Συστήματα Σε συστήματα 1 Β.Ε., όταν δεν υπάρχει ελαστηκότητα (δυνάμεις επαναφοράς), η απόκριση της ταχύτητα του σώματος μπορεί να περιγραφεί ως μια ΣΔΕ πρώτης τάξης m x + c x = F(t) m u + c u = F(t) Εξίσωση κίνησης που περιγράφει την απόκριση της ταχύτητας μάζας m που κινείται λόγω δύναμης F(t) παρουσία της απόσβεσης c I θ + c T θ = τ(t) I ω + c T ω = τ(t) Εξίσωση κίνησης που περιγράφει την απόκριση της γωνιακής ταχύτητας αδράνειας I που περιστρέφεται από ροπή τ(t) παρουσία της απόσβεσης c T 18
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης Γενικά, μια ΣΔΕ 1 ης τάξης αδιαστατοποιείται ως x + τ x = f(t) η παράμετρος τ (σταθερά απόσβεσης / αδράνεια) έχει μονάδες χρόνου και ονομάζεται σταθερά χρόνου Σε αυτή την εξίσωση x(t) είναι η μεταβλητή ενδιαφέροντος (π.χ. ταχύτητα), όχι αναγκαστικά θέση ή ένας βαθμός ελευθερίας Η χρονική απόκριση στην πιο γενική περίπτωση είναι η λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών x + τ x = f t x 0 = x 0 19
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης Η αρχή της επαλληλίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε το γενικό πρόβλημα να σπάσει σε δύο (αρχικές συνθήκες, εξωτερική διέγερση) x + τ x = f t x 0 = x 0 x + τ x = 0 x 0 = x 0 x + τ x = f t u 0 = 0 x i (t) x f (t) x t = x i t + x f t 20
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Αρχικές Συνθήκες Παράδειγμα: Απόκριση του συστήματος x + x = 0 (τ = 1) σε αρχικές συνθήκες x 0 = 1 Λύση Η συνολική λύση ταυτίζεται με ομογενή λύση: x t = c 1 e λt Χαρακτηριστικό πολυόνυμο: λ + τ = 0 λ = τ = 1 Η σταθερά c 1 υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη: c 1 = x 0 Αποτέλεσμα: x t = x 0 e t τ = e t 21
x u t Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Αρχικές Συνθήκες Η απόκριση x t = e t παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 time [sec] Η χρονική παράγωγος την στιγμή 0 είναι μη μηδενική. Η ασύμπτωτη για μικρούς χρόνους (t<<τ) τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο τ. Η απόκριση έχει φτάσει το 99% της τελικής τιμής σε t=4τ 22
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Βηματική/Κρουστική Διέγερση Παράδειγμα: Απόκριση του συστήματος x + x = f(t) σε βηματική είσοδο f t = u s t για x 0 = 0. Λύση Η συνολική λύση αποτελείται από την ειδική και την ομογενή Αναζητείται ειδική λύση της μορφής x p t = K. Η σταθερά K υπολογίζεται αντικαθιστώντας την x p t στην ΣΔΕ ως K = 1 Συνολική λύση: x t = x h t + x p t = c 1 e t τ + 1 Η σταθερά c 1 υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη ως c 1 = 1 : x t = 1 e t τ = 1 e t Η απόκριση σε κρουστική είσοδο είναι h t = d dt 1 e t τ = 1 τ e t τ = e t 23
f Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Σύνθετη Διέγερση Υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος x + x = f(t) στο προφίλ του σχήματος (x 0 = 0) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 time [sec] 24
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Σύνθετη Διέγερση Λύση Η απόκριση μπορεί να εκφραστεί σαν: f t = u r t u r t 1 u r t 10 + u r t 11 Όπου u r t είναι η διέγερση «ραμπα» (το ολοκλήρωμα της βηματικής) u r t t 0 = u s w t 0 dw Η απόκριση h r t του συστήματος στην f = u r t είναι το ολοκλήρωμα της απόκρισης σε βημαρτική: h r t = 1 e w τ dw 0 t 0 t = 0, t < t 0 t t 0, t t 0 = t + τ e t τ 1 = t + e t 1 25
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Σύνθετη Διέγερση Οπότε η απόκριση του συστήματος στην διέγερση f t = u r t u r t 1 u r t 10 + u r t 11 Υπολογίζεται μέσω επαλληλίας ως: x t = h r t h r t 1 h r t 10 + h r t 11 Η γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται στο επόμενο σχήμα: 1 u x 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 time [sec] 26
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Αρμονική Διέγερση Υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος x + x = f(t) σε αρμονική διέγερση f t = f 0 cos (Ωt) (x 0 = 0) Λύση Η συνολική λύση αποτελείται από την ειδική και την ομογενή. Αναζητείται ειδική λύση της μορφής x p t = X 0 cos (Ωt + φ). Αντικαθιστώντας την f t και όπου x t = x p t προκύπτει ότι X 0 = f 0 (Ω 2 + τ 2 ) 0.5 και φ = tan 1 ( Ω τ). Συνολική λύση: x t = x h t + x p t = c 1 e t τ + X 0 cos (Ωt + φ). Η σταθερά c 1 υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη ως c 1 = X 0 cos (φ). Η συνολική λύση είναι τελικά: x t = X 0 ( e t τ cos (φ) + cos Ωt + φ ) 27