Νικόλαος Ατρέας Aρµονική Ανάλυση ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 2015/2016-1 -
Περιεχόµενα Περίληψη 4 Βιβλιογραφία 6 Κεφάλαιο 0: Χώροι L 01 Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών 15 02 Ασκήσεις 17 Κεφάλαιο 1: Σειρές Fourier 11 Eισαγωγή 17 12 Συντελεστές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων 19 L T 26 13 Σειρές Fourier στον ( ) 2 14 Θεώρηµα Ηausdorff-Youg Παρεµβολή Riesz-Thori 31 15 Προσεγγιστικές µονάδες και σύγκλιση 34 16 Ο µετασχηµατισµός Hilbert Σύγκλιση κατά νόρµα σειρών Fourier στον ( ) L T 39 17 O τελεστής Hilbert ως ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής 46 18 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχ Hilbert 48 19 Ασκήσεις 52 Κεφάλαιο 2: Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές 21 Εισαγωγή 58 22 Το Θεώρηµα Marcikiewicz 59 23 Μεγιστική συνάρτηση των Hardy-Littlewood 64 24 Προσεγγιστικές µονάδες και µεγιστικοί τελεστές 67 25 Ασκήσεις 72 Κεφάλαιο 3: Ολοκλήρωµα Fourier 31 Εισαγωγή 76 32 Ο µετασχηµατισµός Fourier ολοκληρ συναρτήσεων 78 L 85 33 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον 2 ( ) 34 Ο Μετασχηµατισµός Fourier στον L ( ) Γενικευµένες συναρτήσεις 91-2 -
35 Θεώρηµα αντιστροφής µέσω προσεγγιστικών µονάδων 98 36 Ο µετασχηµατισµός Hilbert Ανάλυση Caldero-Zygmud 101 37 Σύγκλιση ολοκληρωµάτων Fourier στον L ( ) ( 1< < ) 106 38 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχ Hilbert 109 39 Xώροι Paley-Wieer 111 310 Τελεστές Caldero-Zygmud 115 311 Ασκήσεις 119 Κεφάλαιο 4: Aνάλυση χρόνου/συχνότητας 41 Εισαγωγή 125 42 Ο συνεχής µετασχηµατισµός Gabor 126 43 Ο µετασχηµατισµός Fourier βραχέος χρόνου 131 44 Aρχή αβεβαιότητας 134 45 ιακριτοποίηση 136 46 Ο συνεχής µετασχηµατισµός κυµατιδίων 139 47 ιακριτοποίηση 146 L 148 49 Ασκήσεις 160 48 Πολυδιακριτή Ανάλυση του ( ) 2 Παράρτηµα Α Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου και Ολοκλήρωσης 162 Παράρτηµα Β Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης 176 Παράρτηµα Γ 190-3 -
Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια εισαγωγή στην Αρµονική Ανάλυση στην πραγµατική ευθεία Αφορµή για τη συγγραφή αυτών ήταν η ανάθεση διδασκαλίας του µαθήµατος «Αρµονική Ανάλυση» του προγράµµατος µεταπτυχιακών σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΠΘ γαι το Ακαδηµαϊκό έτος 2015/16 Στόχος των σηµειώσεων είναι να καταλάβει ο φοιτητής πώς δοµείται η βασική θεωρία της Αρµονικής Ανάλυσης όσον αφορά τόσο το θεωρητικό όσο και το εφαρµοσµένο κοµµάτι αυτής και να διαπιστώσει τον τρόπο µε τον οποίο η Αρµονική Ανάλυση φτάνει να αλληλεπιδρά µε άλλους κλάδους της Ανάλυσης και όχι µόνον Προφανώς υπάρχουν τµήµατα θεωρίας που δεν καλύπτουν οι σηµειώσεις, όπως πχ η θεωρία των πολλαπλασιαστών και η θεωρία Littlewood-Paley Επίσης η θεωρία ιδιαζόντων τελεστών στον και γενικότερα η θεωρία για τον Η ενασχόληση µε την πραγµατική ευθεία έγινε για δυο λόγους: για να διευκολυνθεί ο φοιτητής και για να µπορέσει πιο ώριµα να γενικεύσει στον κατανοώντας και αναγνωρίζοντας καλύτερα τις διαφορές µε τον Για παράδειγµα, στον κατ ουσίαν υπάρχει ένας µόνον ιδιάζον τελεστής, ο τελεστής Hilbert, αλλά η θεωρία των ιδιαζόντων τελεστών στον είναι πολύ πιο εκτεταµένη, πχ βλέπε δυναµικά Riesz κλπ Η δοµή του συγγράµµατος είναι η εξής: Στο Κεφάλαιο 0 παραθέτουµε µια σύντοµη σύνοψη των χώρων L Στο Κεφάλαιο 1 παραθέτουµε τη θεωρία των σειρών Fourier σε χώρους L Μέσω αυτής βλέπουµε τη χρήση της παρεµβολής Riesz-Thori και το φυσικό τρόπο µε τον οποίο προκύπτει ο τελεστής Hilbert ως συνδετικός κρίκος µε τους χώρους H ( T ) της µιγαδικής ανάλυσης Στο Κεφάλαιο 2 ορίζουµε και µελετούµε µεγιστικές συναρτήσεις και τελεστές Παραθέτουµε το Θεώρηµα παρεµβολής Marcikiewicz ως βασικό εργαλείο µελέτης (και) τέτοιων τελεστών Αναφέρουµε κλάσεις µεγιστικών τελεστών και αναδεικνύουµε το ρόλο τους όσον αφορά τη σύγκλιση σχεδόν παντού σε χώρους L -4 -
Στο Κεφάλαιο 3 µελετούµε το µετασχηµατισµό Fourier σε χώρους L ( ) ως γενίκευση των σειρών Fourier Βλέπουµε πώς προκύπτει µε φυσικό τρόπο η θεωρία των γενικευµένων συναρτήσεων, ο ιδιάζον τελεστής Hilbert, οι χώροι H και οι χώροι Paley-Wieer µε το Θεώρηµα δειγµατοληψίας του Shao Eπίσης παίρνουµε µια πρώτη γεύση της θεωρίας ιδιαζόντων τελεστών ως φυσική γενίκευση του τελεστή Hilbert Στο Κεφάλαιο 4 βλέπουµε πώς οι αδυναµίες του µετασχηµατισµού Fourier µας ωθούν να ορίσουµε νέους µετασχηµατισµούς οδηγώντας µας στην ανάλυση χρόνου/συχνότητας Μελετούµε κυρίως τον ολοκληρωτικό µετασχηµατικό Fourier βραχέος χρόνου και το µετασχηµατισµό κυµατιδίων και κάνουµε µια πολύ σύντοµη εισαγωγή σε διακριτούς µετασχηµατισµούς µέσω της πολυδιακριτής ανάλυσης κυµατιδίων που χρησιµοποιείται ευρύτατα σε πλήθος εφαρµογών της σύγχρονης τεχνολογίας επικοινωνιών -5 -
Βιβλιογραφία 1 Joh Beedetto, Harmoic Aalysis ad Alicatios, CRC Press, 1997 2 Igrid Daubechies, Te Lectures o Wavelets, CBMS Regioal Coferece series i Alied Mathematics Philadelhia, 1992 3 Javier Duoadikoetxea, Fourier Aalysis, Graduate Studies i Mathematics, Vol 29, AMS, 2001 4 H Dym ad H P McKea, Fourier series ad Itegrals, Academic Press, 1992 5 Loukas Grafakos, Classical Fourier Aalysis, Third editio, Sriger 6 Karlheiz Grocheig, Foudatios of Time-Freuecy Aalysis, Birkhauser, Bosto 2001 7 Christoher Heil, Itroductio to Harmoic aalysis, Sriger, 2010 8 Yitzhak Katzelso, A Itroductio to Harmoic aalysis, Dover Publicatios, Ic New York, Secod Editio 9 Steve Kratz, Exloratios i Harmoic Aalysis with alicatios to Comlex Fuctio Theory ad the Heiseberg Grou, 2007 10 W Rudi, Real ad Comlex aalysis, McGraw-Hill, 3 rd Editio,1987 11 E Stei ad R Shakarchi Fourier Aalysis: A Itroductio, Priceto Uiversity Press, 2003 12 E Stei Harmoic Aalysis: Real variable methods, Orthogoality ad Oscillatory Itegrals 13 E C Titchmarch, Itroductio to the theory of Fourier Series ad Itegrals, Oxford uiversity Press, Secod Editio -6 -
Kεφάλαιο 0 Xώρoι L 01 Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών Εστω ( X,, µ ) είναι χώρος µέτρου Συµβολίζουµε µε (, ) L X µ, 1 < το χώρο Baach όλων των µετρήσιµων ολοκληρώσι- µων συναρτήσεων f : X µε νόρµα Με L ( X, µ ) L ( ) 1/ f = f dµ X συµβολίζουµε το χώρο όλων των µετρήσιµων και ουσιωδώς φραγµένων συναρτήσεων f : X, δηλαδή { : : 0: ( ) µ-σχεδον παντου στο } L = f X C > f x C X, µε νόρµα f = if C > 0 : f x C µ-σχεδον παντου στο X L { ( ) } Σηµείωση (α) Στο εξής όταν ο χώρος µέτρου είναι σαφής γράφουµε απλά L ή L ( X ) αντί L ( X, µ ) Επίσης πολλές φορές θα χρησιµοποιούµε για απλότητα και το συµβολισµό : = όταν L αυτός δε δηµιουργεί παρανοήσεις (β) Αν X είναι το πολύ αριθµήσιµο σύνολο µε το σύνηθες µέτρο αθροισιµότητας (βλ Παράρτηµα 1, ενότητα Α1) χρησιµοποιούµε X L X ) µε συνήθως το συµβολισµό ( ) (αντί ( ) f ( ( ) ) ( ) 1/ f 1 < X = su { f : X} = Για λόγους οµοιογένειας, πολλές φορές θα συνεχίσουµε να γράφου- L X, µ έστω κι αν το σύνολο X είναι το πολύ αριθµήσιµο, µε ( ) -7 -
έχοντας όµως κάθε φορά στο µυαλό µας τη σωστή ερµηνεία της νόρµας (γ) Αν X είναι µη αριθµήσιµο σύνολο, κάθε στοιχείο f L είναι στην πραγµατικότητα ένας αντιπρόσωπος µιας κλάσης ισοδυναµίας που περιλαµβάνει όλες τις συναρτήσεις που είναι µ σχεδόν παντού ίσες µε την f στο X Για απλότητα θεωρούµε τον L ( X, µ ) ως χώρο συναρτήσεων αντί χώρου κλάσεων ισοδυναµίας Ετσι λοιπόν γράφουµε f L έχοντας όµως στο µυαλό µας ότι η γραφή αυτή υπονοεί όλες τις συναρτήσεις που είναι µ σχεδόν παντού ίσες µε την f (δ) Με βάση τα όσα είπαµε παραπάνω εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο ( X ) είναι ο χώρος όλων των φραγµένων ακολουθιών στο X Επίσης κάθε φραγµένη συνάρτηση f είναι αντιπρόσωπος µιας κλάσης ισοδυναµίας στο χώρο L Με άλλα λόγια, αν η f είναι φραγµένη στο X τότε { ( ) } f = su f x : x X L (ε) Για κάθε 0< < 1, οι χώροι L δεν είναι χώροι Baach ως προς την, αλλά είναι οιονεί χώροι Baach (uasi Baach saces) d f g = f g είναι πλήρεις µετρικοί χώροι εν θ ασχοληθούµε µε τέτοιους χώρους Στα παρακάτω θεωρούµε πάντα 1 Θεωρώντας ως µετρική την (, ) Oρισµός 01 Εστω 1, Οι, καλούνται συζυγείς ή δυϊκοί εκθέτες αν 1 1 + = 1 Ας θυµηθούµε ορισµένες χρήσιµες ανισότητες στους χώρους L Πρόταση 01 (Aνισότητα Ηolder) Εστω 1, και είναι συζυγείς εκθέτες Αν f L ( X, µ ) ( Χ, ) τότε fg L ( X µ ) και g L µ 1, -8 -
fg f g 1 Απόδειξη Θα δείξουµε την Πρόταση για 1 <, < Η περίπτωση = 1, = (ή =, = 1) αφήνεται ως άσκηση Η απόδειξη βασίζεται σε µια γενίκευση της ανισότητας αριθµητικού/γεωµετρικού µέσου: Αν ab, 0 και 0 θ 1 τότε θ 1 θ ab a b ( 1 θ ) θ + (1) (για θ = 1/2 παίρνουµε τη συνήθη ανισότητα αριθµητικού/γεω- µετρικού µέσου) Χωρίς περιορισµό της γενικότητας θεωρούµε f 0 και g 0, οπότε αρκεί να δείξουµε ότι οι συναρτήσεις f F = και f g G = ικανοποιούν την ανισότητα FG 1 Θέτουµε g 1 a= F, b= G και θ = 1/ 1 θ = 1/ στην (1), οπότε 1 1 FG F G + Με ολοκλήρωση προκύπτει το ζητούµενο Σηµείωση Στο χώρο µέτρου (,,dx) έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1/ 1/ f x g x dx f x dx f x dx Στο χώρο µέτρου (,,µ ) έχουµε: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ f g f f Πρόταση 02 (Aνισότητα Μikowski) Αν 1 και f, g L ( X, µ ), τότε: f + g f + g -9 -
Απόδειξη Θα δείξουµε την Πρόταση για 1 < Η περίπτωση f + g L X, µ Εστω = αφήνεται ως άσκηση Προφανώς ( ) είναι ο συζυγής εκθέτης του όπως στον ορισµό 01 Τότε 1 1 = και ( f + g) L ( X, µ ) Απ την άλλη µεριά: 1 1 1 f + g = f + g f + g f f + g + g f + g (2) Εφόσον ( ) 1 f + g L, ολοκληρώνοντας και τα δυο µέλη της (2) και εφαρµόζοντας την ανισότητα Holder και στους δυο όρους του δεξιού µέλους της (2) για τους συζυγείς εκθέτες,, παίρνουµε Αλλά ( ) ποσότητα ( ) ( ) 1 1 f + g f f + g + g f + g 1 / f + g = f + g ιαιρώντας και τα δυο µέλη µε την f / + g παίρνουµε το ζητούµενο Σηµείωση (α) Η ανισότητα Mikowski δεν ισχύει για 0< < 1 (β) Στο χώρο µέτρου (,,dx) έχουµε: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1/ 1/ 1/ f x + g x dx f x dx + f x dx ενώ στο χώρο µέτρου (,,µ ) έχουµε: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1/ 1/ 1/ f + g f + f Η ανισότητα Mikowski έχει και την ακόλουθη «εκδοχή» που f L X, µ, καλούµε ολοκληρωτική ανισότητα Mikowski: Aν ( ) g L ( Y, ν ), τότε: ( ) ( ) 1/ 1/ f ( xyd, ) ν ( y) dµ ( x ) f( xy, ) dµ ( x) dν y X Y Y X, - 10 -
Aς εστιάσουµε τώρα στους χώρους L( X) : L( X, m) Μιλώντας µη αυστηρά, ο χώρος 1( ) = όπου X L των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων περιλαµβάνει (µεταξύ άλλων) και συναρτήσεις µε «τοπικά απότοµες µεταβολές» (φραγµένες ή µη) που µπορεί να φθίνουν ή και να µη φθίνουν στο µηδέν όταν x Απ την άλλη µεριά ο χώρος L ( ) περιλαµβάνει πιο «οµαλές» συναρτήσεις µε την έννοια ότι παραµένουν πάντα (ουσιωδώς) φραγµένες Ετσι για 1 <, υπό µια έννοια µετακινούµαστε σταδιακά από τις τοπικά απότοµες προς τις πιο οµαλές περιπτώσεις Αν µ ( X ) <, τότε L ( X) L1 ( X), οπότε διαισθητικά αναµένουµε ότι ο L1 ( X ) θα πρέπει να περιέχει όλους τους «ενδιάµεσους» L ( ) Πράγµατι ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 03 Eστω X µε µ ( X ) < Για κάθε 1 < έχουµε X χώρους και ( ) ( ) ( ) ( ) L X L X L X L X ( ) 1/ 1/ f µ X f 1 Aπόδειξη Εστω f L ( X, µ ) Θεωρούµε F = f, G = χ X και εφαρµόζουµε την ανισότητα Holder για συζυγείς εκθέτες 0, 0 µε 0 = > 1 Τότε: 1 0 0 ( ) 1 / χ X µ FG = f F = f X Αν X = ή X = µε το µέτρο αθροισιµότητας µ, τότε για κάθε < η ποσότητα x ( x ) 1/ 1 υπονοεί ότι x 0 = <, άρα η x = ( x ) είναι φραγµένη κι έτσι διαισθητικά νιώθουµε ότι όλοι οι χώροι θα πρέπει να είναι µέσα στον Πράγµατι έχουµε: - 11 -
Πρόταση 04 Aν X = ή X = και 1 <, τότε: ( X) ( X) ( X) ( X) 1 Aπόδειξη Εστω x ( X ) Τότε su x x Απ την άλλη µεριά x = x x su x x x x = x x x Aν µ ( X ) = τότε η Πρόταση 03 δεν ισχύει Με παραδείγµατα µπορούµε να δούµε ότι κανένας χώρος L ( ) δεν περιέχεται αυστηρώς εντός κάποιου χώρου L ( ) και το αντίστροφο Ισχύει όµως η ακόλουθη: Πρόταση 05 Εστω 1 < r < Τότε: και ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) L L L L L r θ 1 θ ( ) f f f, θ 0,1 r Απόδειξη Εστω f L ( ) L ( ) µοναδικό ( 0,1) Εφόσον 1 1 1 > >, υπάρχει r θ έτσι ώστε 1 θ 1 θ = + Μάλιστα r θ = 1 1 r 1 1 και 1 θ = 1 1 r 1 1 Παρατηρούµε ότι ( 1 ) rθ r θ 1 = +, άρα οι, rθ r εκθέτες Τότε από την ανισότητα Holder έχουµε ( 1 θ ) είναι συζυγείς - 12 -
( ) 1/ r θ 1 θ rθ r 1 θ rθ θ / r(1 θ) (1 θ)/ = = r r 1 /( rθ ) /( r(1 θ )) f f f f f f f Aπ την άλλη µεριά έστω f L r ( ) και A x f ( x) θ 1 θ = f f { : 1} = Τότε Και A ( ) ( ) f = fχ x + f x = g + h χ A ( ) χ ( ) ( ) χ ( ) = < r r r g f χa x f A x f g f g L r r r r h = f χ A x f A x f h f < h L r Τέλος, υπενθυµίζουµε ορισµένα χρήσιµα θεωρήµατα προσέγγισης στους χώρους L που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια Πρόταση 06, όπου 1 < Τότε υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα έτσι ώστε Εστω f L ( X, µ ) φ f 0, Με άλλα λόγια ο χώρος των φραγµένων απλών συναρτήσεων πάνω L X, µ σε φραγµένο φορέα είναι πυκνός στον ( ) Απόδειξη Η f είναι εξ ορισµού µετρήσιµη Οπως ήδη έχουµε δείξει στο Πόρισµα Α1 του Παραρτήµατος 1, υπάρχει ακολουθία φ απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε { } φ φ + 1 f και limφ = f σηµειακά Απ την άλλη µεριά: 1( ) φ f 2 f L X, µ Aπ το Θεώρηµα Κυριαρχούµενης σύγκλισης προκύπτει ότι φ f 0, - 13 -
Σηµείωση Αν X = µε το µέτρο Lebesgue, η παραπάνω πρόταση ισχύει αν αντί απλών συναρτήσεων χρησιµοποιήσουµε φραγµένες κλιµακωτές συναρτήσεις πάνω σε φραγµένο φορέα Eπειδή η χαρακτηριστική συνάρτηση σε φραγµένο σύνολο προσεγγίζεται από µια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ισχύει η ακόλουθη Πρόταση 07 Εστω f L ( ), όπου 1 < Τότε υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων { g } πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε g f 0, Τέλος υπενθυµίζουµε την ακόλουθη σηµαντική πρόταση που σχετίζεται µε τη δυϊκότητα των χώρων L : Θεώρηµα 01 Εστω 1 < και, είναι συζυγείς εκθέτες όπως στον ορισµό 01 Τότε ο δυϊκός του χώρου L ( X, µ ) είναι ο χώρος L ( X, µ ) Με άλλα λόγια * L = L µε την ακόλουθη έννοια: για κάθε φραγµένο συναρτησιακό υπάρχει µοναδικό στοιχείο g L τέτοιο ώστε * Λ L Επιπλέον: µ X Λ f = fg d f L g = = Λ { fgdµ } su1 X f = Παρατήρηση 2 Ο δυϊκός χώρος του L δεν είναι ο L 1-14 -
02 Ασκήσεις 1 είξτε τη γενικευµένη ανισότητα Holder: Aν r,, [ 0, + ] µε 1 1 1 + =, τότε: r fg f g (, µ ) (, µ ) (, µ ) L X L X L X r Υπόδειξη: Σχηµατίστε συζυγούς εκθέτες και εφαρµόστε την ανισότητα Holder 2 Για 1, < δείξτε την ολοκληρωτική ανισότητα Mikowski: Aν f L ( X, µ ), g L ( Y, ν ), τότε: ( ) ( ) 1/ 1/ f ( xyd, ) ν ( y) dµ ( x ) f( xy, ) dµ ( x) dν y X Y Y X Yπόδειξη: Xρησιµοποιήστε την έννοια της δυϊκότητας (βλέπε Θεώρηµα 01 παραπάνω) 3 ώστε παράδειγµα συνεχούς συνάρτησης f L 1 ( ) µε lim f ( x) 0 x + 4 Εστω f : 5 Εστω ab, µε a L ab, L ab, είναι οµοιόµορφα συνεχής είξτε ότι f L 1 ( ) f ( x) lim = 0 x + [ ] [ ] Mε άλλα λόγια ο L [, ] του L [ ab, ] < b και 1 < είξτε µε παράδειγµα ότι ab είναι γνήσιο υποσύνολο 6 Βρείτε συνάρτηση f L ( ) έτσι ώστε f L ( ) 1 < 7 Εστω 1, f, f L ( X, µ ) < και lim f f = 0 lim f = f f για κάθε f σηµειακά είξτε ότι - 15 -
8 Αν f f στον L ( X, µ ) και g g στον L ( X, µ ), όπου, συζυγείς εκθέτες, δείξτε ότι fg fg στον L ( X µ ) 1, 9 Εστω 1 1 + + = 1, k είξτε ότι 1 k όπου i f f f f, (, µ ) L ( X µ ) k (, µ ) 1 k L X 1, L X 1 1 f είναι µετρήσιµες συναρτήσεις στον L (, ) k i X µ αντιστοίχως 10 Αν είναι µια νόρµα σε γραµµικό χώρο V, δείξτε ότι για κάθε f, g V ισχύει f g f g - 16 -