Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται αρκετά συχνά στα υπολογιστικά μαθηματικά και έχει καθιερωθεί ως μονάδα μέτρησης των πράξεων στους αλγορίθμους. Αντιπροσωπεύει τον χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεση της πράξης y a y Οι πράξεις που γίνονται είναι: i. η εύρεση και ανάσυρση των σταθερών α,, y, από την μνήμη του υπολογιστή. ii. ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση του δεύτερου μέλους. iii. αποθήκευση της νέας τιμής της μεταβλητής y. Έτσι το σχήμα Horer για τον υπολογισμό της τιμής σε ένα σημείο ενός πολυωνύμου p βαθμού Ν απαιτεί Ν lops. α. Βιβλίο Ν. Μ. Βραχάτη σελ. 7, Άσκηση. k -7. -7. -79.83-79.8 738 7.3 3 7.7 -.3 9 8 -.7 3
β. Βιβλίο Ν. Μ. Βραχάτη σελ. 7, Άσκηση. a) Στρογγυλοποίηση σε 3 σημαντικά ψηφία: k 3-9397. -939 3.833.833 3 -.87.877 3.73.7 3 -.837.838 b) Στρογγυλοποίηση σε 3 δεκαδικά ψηφία: k 3-9397. -9397. 3.833.83 3 -.87 -.88 3.7.7 3 -.837 -.838 γ. Βιβλίο Ν. Μ. Βραχάτη σελ. 8, Άσκηση.) Δίνεται η συνάρτηση 3. Η ακριβής τιμή είναι. 37 ενώ η προσεγγιστική τιμή με στρογγυλοποίηση σε τρία σημαντικά ψηφία είναι. 3. Σφάλμα αποκοπής: g. 37. 37. 3. 8. 9 Σφάλμα διάδοσης: g g. 3. 37. 7738. 3. 8 Παραχθέν σφάλμα: π g g. 3. 3. 3. 7738. 8 Ολικό σφάλμα:
. 8. 8. 9. 9 3. Οι ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης. είναι.73 και. 839. Στην παραπάνω εξίσωση b ac και ο υπολογισμός του προϋποθέτει την αφαίρεση ανάμεσα σε περίπου ίσους αριθμούς. Έστω ότι οι υπολογισμοί γίνονται σε Η/Υ που αποθηκεύονται σημαντικά ψηφία. Να βρεθούν τα και και να υπολογισθεί το σχετικό σφάλμα. Στην συνέχεια να υπολογισθούν πιο ακριβή αποτελέσματα εφαρμόζοντας b b ac τον αναγωγικό τύπο a b b ac Οι ακριβείς λύσεις της εξίσωσης είναι: 73 και 839.. Οι ρίζες του πολυωνύμου δίνονται από την σχέση... b D., a δηλαδή προκύπτει ότι και 9.... Τα σχετικά σφάλματα για τις δύο προσεγγιστικές ρίζες αντίστοιχα είναι:. 73.. 87. 73 και. 839. 9 9. 8. 839 Κάνοντας χρήση του εναλλακτικού τύπου b b ac a b b ac για την ρίζα προκύπτει. od.. ενώ το σχετικό σφάλμα od. 7. 73. 73... 7 3
. Η εξίσωση 3 έχει μια ρίζα στο διάστημα [,]. Να υπολογισθεί η ρίζα της εξίσωσης με ακρίβεια 7 σημαντικών ψηφίων εφαρμόζοντας τις μεθόδους: i. Διχοτόμηση ii. iii. γραμμικής παρεμβολής απλής αντικατάστασης με αναγωγικούς τύπους 3 / 3 / / 3 3 8 iv. Newto v. τέμνουσας. Η εξίσωση 3 έχει μια ρίζα στο διάστημα παράσταση απεικονίζεται στο Σχήμα.,. Η γραφική της 3 -... 3 Σχήμα : Γραφική παράσταση πολυωνύμου στο [,].
i) Μέθοδος διχοτόμησης Κώδικας της διχοτόμησης: progra NuAal_i iplicit oe real(8)::,,3,,3,d,tol iteger::aiter,i prit,'give let ad right liits' read,, tol=.e-9 aiter= 3=(+)/ d=abs(-) do i=,aiter =3+()- 3=33+(3)- i (3<) the =3 3=(+3)/ else i (3>) the =3 3=(+3)/ else prit,3 eit ed i d=abs(-) write(,)i,,3, i (abs(.-/3)<=tol.ad.abs(.-/)<=tol) eit ed do orat(i,,'=',f.8,3,'3=',f.8,3,'=',f.8) ed Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι Αριθ. Διχοτομ. X X X 3........37. 3..3.37.3.337.37.337.3937.37.3937.3787.37 7.3937.338.3787 8.338.3338.3787 9.338.378.3338.378.379.3338.379.3993.3338.3993.33.3338
3.33.3733.3338.3733.338.3338.338.39.3338.39.37.3338 7.37.33.3338 8.37.38.33 9.38.39.33.39.338.33.39.398.338.398.399.338 3.399.33.338.399.3999.33.3999.33.33.33.33.33 7.33.33.33 8.33.33.33 9.33.33.33 3.33.33.33 ii) Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής Ο κώδικας που προκύπτει για την μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής παρατίθεται παρακάτω: progra NuAal_ii iplicit oe real(8)::,,3,,,3,d,tol iteger::i,aiter prit,'give let ad right liits' read,, aiter= tol=.e-9 do i=,aiter =3+()- =3+()- 3=-(((-))/(-)) d=abs(-3) 3=33+(3)- i (3<) the =3 write(,)i,,3, else i (3>) the write(,)i,,3, =3 else prit,3 eit ed i i (abs(.-/3)<=tol.ad.abs(.-/)<=tol) the eit edi ed do orat(i,,'=',f.8,3,'3=',f.8,3,'=',f.8) ed progra NuAal_ii Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι
Αριθ. παρεμβ. X X X 3..3789..3789.338878. 3.338878.383..383.337..337.3873..3873.337. 7.337.333. 8.333.333. 9.333.3833..3833.399..399.399..399.3999. 3.3999.33..33.33..33.33..33.33. 7.33.33. 8.33.33. 9.33.33..33.33..33.33..33.33. 3.33.33..33.33..33.33..33.33. iii) Απλή αντικατάσταση με αναγωγικούς τύπους Για την σύγκλιση της συγκεκριμένης μεθόδου θα πρέπει να ισχύει ' σε ένα οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο του διαστήματος [,]. Επιλέγουμε τον υπολογισμό της Έτσι: ' σε ένα ενδιάμεσο σημείο του διαστήματος, πχ στο.. A. Αν 3 F και F '. 7. 7 ότι δεν αναμένεται η μέθοδος να συγκλίνει στο διάστημα [,]. / B. Αν F. Αυτό σημαίνει και F '.. 7. Αυτό σημαίνει ότι επίσης δεν αναμένεται η μέθοδος να συγκλίνει στο διάστημα [,]. F '.. τύπος αναμένεται να συγκλίνει στο διάστημα [,]. 3 / C. Αν F και. Ο αναγωγικός 7
/ D. Αν F και F '.. 7 αναμένεται να συγκλίνει στο διάστημα [,]. 3 3 8 E. Αν F και F '.. 8 τύπος αναμένεται να συγκλίνει στο διάστημα [,].. Ο αναγωγικός τύπος. Ο αναγωγικός Τα αποτέλεσμα που προκύπτουν για τις περιπτώσεις C, D, E είναι: C D E.3.39 3.38.397.38.38 7.33 8.33..8938 3.8.38.3773.39 7.3787 8.33887 9.397.3878.3.3378 3.377.39.3.337 7.3333 8.38 9.339.39.33..389 3.33.33.33 iv) Μέθοδος Newto Εάν θέλουμε να εξετάσουμε την σύγκλιση του σχήματος αρκεί να υπολογίσουμε το λόγο '' ' για =.. Τότε θα παρατηρήσουμε ότι σε ένα ενδιάμεσο σημείο του διαστήματος [,] πχ ''. '.. 3. Αυτό σημαίνει ότι η μέθοδος Newto αναμένεται να συγκλίνει στο διάστημα [,]. Ο κώδικας που προκύπτει για την μέθοδο Newto παρατίθεται παρακάτω: progra NuAal_iv iplicit oe real::old,ew,tol, iteger::iter,aiter 8
paraeter(tol=.e-) prit,'give iitial value betwee <<' read,old aiter= do iter=,aiter ew=old-f(old)/df(old) i(abs(.-(old/ew)).le.tol)the goto edi old=ew eddo prit,'the root is =',ew prit,'i',iter,' iteratios' cotais real uctio F() result(y) real, itet(in):: Y=(3)+.()-. ed uctio F real uctio DF() result(y) real, itet(in):: Y=3.()+8. ed uctio DF ed progra NuAal_iv Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι Αριθμός επαναλήψεων Ρίζα εξίσωσης..37333333.33 3.399.399 iv) Μέθοδος τέμνουσας Ο κώδικας που προκύπτει για την μέθοδο τέμνουσας παρατίθεται παρακάτω: progra NuAal_v iplicit oe real(8)::,,,d,tol iteger::i,aiter aiter= tol=.e-9 prit,'give ad ' read,, do i=,aiter =-((3+-)/(((3+-)& -(3+-))/(-))) d=abs(-) write(,)i, i (abs(.-/)<=tol) eit = 9
= ed do orat(i,,'=',f.8) Ed Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι: Συμπεράσματα Αριθμός επαναλήψεων Ρίζα εξίσωσης.3789.338878 3.339.39.33.33 7.33 Συγκρίνοντας τις παραπάνω μεθόδους παρατηρούμε ότι η μέθοδος που συγκλίνει ταχύτερα είναι η μέθοδος Newto, ενώ αντίθετα πιο αργή είναι η μέθοδος της διχοτόμησης. Επίσης όλες οι μέθοδοι συγκλίνουν στο διάστημα [,] εκτός από τους αναγωγικούς τύπους Α και B.. Βρείτε αριθμητικά τις ρίζες του πολυωνύμου P 3 3 Οι ρίζες του συγκεκριμένου πολυωνύμου είναι οι =, =, 3 =3 και =, όπως προκύπτει από το Σχήμα.. 7.. - Σχήμα : Γραφική παράσταση πολυωνύμου.
Θα εφαρμόσουμε την μέθοδο Newto, για την οποία ισχύει η παρακάτω επαναληπτική διαδικασία: ' 3 όπου P και ' 3 7 είναι ο παρακάτω:. Ο κώδικας σε FORTRAN 9 progra NuAal_ iplicit oe real::old,ew,tol iteger::iter,aiter prit,'give iitial value>' read,old tol=.e- aiter= do iter=,aiter ew=old-f(old)/df(old) i(abs(.-(old/ew)).le.tol)the goto edi old=ew eddo prit,'the root is =',ew prit,'i',iter,' iteratios' cotais real uctio F() result(y) real, itet(in):: Y=()-.(3)+3.()-.+. ed uctio F real uctio DF() result(y) real, itet(in):: Y=.(3)-3.()+7.-. ed uctio DF ed progra NuAal_ Δίνοντας διαφορετικές αρχικές συνθήκες μπορούν να προκύψουν οι τέσσερεις παραπάνω ρίζες. Έτσι για κριτήριο τερματισμού του σχετικού σφάλματος προκύπτουν: Εάν τότε προκύπτει η ρίζα = σε επαναλήψεις.. Εάν.. 3 τότε προκύπτει η ρίζα = σε επαναλήψεις.
Εάν. 7 3. τότε προκύπτει η ρίζα 3 =3 σε επαναλήψεις. Εάν 3. 7 τότε προκύπτει η ρίζα = σε 8 επαναλήψεις.. Βιβλίο Ν. Μ. Βραχάτη σελ. 3, Άσκηση.3) το πηλίκο Για την μελέτη της σύγκλισης της μεθόδου Newto θα πρέπει να υπολογιστεί '' '. Πράγματι ισχύει ότι ' και '' 3 '' 3 ' και Για να είναι η παράσταση πάντα μικρότερη της μονάδας θα πρέπει το να ισούται ή. Βιβλίο Ν. Μ. Βραχάτη σελ. 3, Άσκηση.) Εάν η ρίζα είναι τάξης τότε ισχύει ότι ' και Από το ανάπτυγμα Taylor της ' ξ!. γύρω από την ρίζα προκύπτει ότι! ξ για κάποιο μεταξύ και. Ανάλογα για την πρώτη παράγωγο προκύπτει '! ξ γράφεται στην μορφή: ' για κάποιο μεταξύ και. Συνεπώς η σχέση!
3!! li ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 7α. Η εξίσωση που περιγράφει την παραμόρφωση μιας ελαστικής δοκού που παραλαμβάνει ένα γραµµικά μεταβαλλόμενο φορτίο είναι EI w y 3 Να βρεθεί το σημείο μέγιστης παραμόρφωσης και στην συνέχεια η τιμή της (Ε=. kn/c, I=3. c, = c, w =.7 kn/c). Για την εύρεση του σημείου μέγιστης παραμόρφωσης αρκεί να βρεθούν οι ρίζες που μηδενίζουν την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης παραμόρφωσης y. Έτσι 3 EI w EI w y () Η Εξ. () αποτελεί μια διτετράγωνη εξίσωση και για την αναλυτική επίλυση της θέτουμε όπου. Τότε η Εξ. () γράφεται EI w y () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της Εξ. () προκύπτει 3 και οι ρίζες τις Εξ. () είναι, και Οι ρίζες της Εξ. () που προκύπτουν είναι
, και 3, Για η παραμόρφωση είναι y ενώ για η παραμόρφωση είναι y. c. Για την αριθμητική επίλυση της Εξ. () χρησιμοποιούμε την μέθοδο Newto. Παραθέτουμε μόνο τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται διότι το κυρίως πρόγραμμα είναι το ίδιο με την Άσκηση. Το κριτήριο τερματισμού είναι. real uctio F() result(y) real, itet(in):: Y=-.()+.()()-() ed uctio F real uctio DF() result(y) real, itet(in):: Y=(-.)(3)+.() ed uctio DF real uctio Aal_F() result(y) real, itet(in):: real::w,e,i paraeter(e=.e+,i=3.e+,w=.7) Y=(w/(EI))(-+()(3)-()) ed uctio Aal_F Τα αποτελέσματα είναι: Αρχική εκτίμηση Ρίζα Επαναλήψεις Παραμόρφωση. -. - -.. - - 7β. Η συγκέντρωση του οξυγόνου σε ένα ποτάμι κατάντη του σημείου εξόδου αστικών λυμάτων δίδεται από την σχέση c e. e. 7 όπου η απόσταση από το σημείο εξόδου. Να προσδιοριστεί σε ποια απόσταση η συγκέντρωση του οξυγόνου είναι c=.
Εάν θέσουμε.. 7 c στην εξίσωση c e e τότε προκύπτει. 7. e e () 8 - - 8 Σχήμα 3: Γραφική παράσταση Εξ. (). Από το Σχήμα 3 παρατηρούμε ότι η Εξ. () έχει δύο ρίζες, οι οποίες μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά με την μέθοδο Newto. Παραθέτουμε μόνο τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται διότι το κυρίως πρόγραμμα είναι το ίδιο με την Άσκηση. Το κριτήριο τερματισμού είναι real uctio F() result(y) real, itet(in):: Y=-(ep(-.)-ep(-.7)) ed uctio F real uctio DF() result(y) real, itet(in):: Y=-(-.ep(-.)+.7ep(-.7)) ed uctio DF real uctio Aal_F() result(y) real, itet(in):: Y=-(ep(-.)-ep(-.7)) ed uctio Aal_F Τα αποτελέσματα είναι τα εξής:. Αρχική εκτίμηση Ρίζα [] Επαναλήψεις..3.873
7γ. Στη μηχανική ρευστών ο συντελεστής τριβής δίδεται από τη εξίσωση log Re. Υπολογίστε τον συντελεστή τριβής και Re=3.. Η επίλυση θα γίνει με την μέθοδο Newto. Παραθέτουμε μόνο τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται διότι το κυρίως πρόγραμμα είναι το ίδιο με την Άσκηση. Το κριτήριο τερματισμού είναι real uctio F() result(y) real, itet(in):: Y= / -og(re)+. ed uctio F real uctio DF() result(y) real, itet(in):: Y=-(/) - / ed uctio DF real uctio Aal_F() result(y) real, itet(in):: Y=. + /Sqrt() -og(sqrt()re) ed uctio Aal_F Το αποτέλεσμα είναι το εξής:. Αρχική εκτίμηση Ρίζα Επαναλήψεις..7979 7 7δ. Η παρακάτω εξίσωση εφαρμόζεται στον υπολογισμό της ειδικής θερμότητας του αέρα. Να βρεθεί η θερμοκρασία που αντιστοιχεί σε c p =.KJ/(KgK). c p 8 3. 993. 7 9. 7 9. 838. 9 Η γραφική παράσταση του συγκεκριμένου πολυωνύμου απεικονίζεται στο Σχήμα.
.. - - 3 -. Σχήμα : Γραφική παράσταση πολυωνύμου. Παρατηρούμε ότι έχει μία ρίζα στο =.. Η επίλυση θα γίνει με την μέθοδο Newto. Παραθέτουμε μόνο τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται διότι το κυρίως πρόγραμμα είναι το ίδιο με την Άσκηση. Το κριτήριο τερματισμού είναι. real uctio F() result(y) real, itet(in):: Y=.7e-+9.7e-8()-9.838e-(3)+.9e-& ()-.97 ed uctio F real uctio DF() result(y) real, itet(in):: Y=.7e-+.93e-7-.87e-()+7.88e-(3) ed uctio DF Το αποτέλεσμα είναι το εξής: Αρχική εκτίμηση Ρίζα Επαναλήψεις. 7ε. Η τροχιά ενός βλήματος καθορίζεται από την εξίσωση g y ta 8 u cos. Να βρεθεί η γωνία θ, ώστε για u /s η θέση του βλήματος να είναι στο και y 7
Η εξίσωση που πρέπει να επιλυθεί αντικαθιστώντας τα δεδομένα του προβλήματος είναι 9. ta. 8 () cos Η γραφική παράστασή της απεικονίζεται στο Σχήμα. Παρατηρούμε ότι έχει δύο ρίζες, η μια κοντά στο.7 και η δεύτερη κοντά στο.9.....8 - - - Σχήμα : Γραφική παράσταση Εξ. (). Η επίλυση θα γίνει με την μέθοδο Newto. Παραθέτουμε μόνο τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται διότι το κυρίως πρόγραμμα είναι το ίδιο με την Άσκηση. Το κριτήριο τερματισμού είναι. progra NuAal_7e real uctio F() result(y) real(8), itet(in):: Y=Dta()-(9./(Dcos()))+.8 ed uctio F real uctio DF() result(y) real(8), itet(in):: Y=/(Dcos())-39.Dta()/(Dcos()) ed uctio DF Τα αποτελέσματα είναι: Αρχική εκτίμηση Ρίζα [] Επαναλήψεις..39 7.3.98 8