Acustică. Sistemul auditiv Undele elastice reprezintă modalitatea de comunicare poate cel mai frecvent întâlnită în lumea animală. Acest capitol îşi propune în primul rând să prezinte mărimile şi legile specifice acestui capitol al fizicii. În al doilea rând, sunt prezentate noţiunile fundamentale de acustică şi o prezentare a sistemului auditiv uman.
1. UNDE. DEFINIŢII ŞI CLASIFICARE Mişcarea oscilatorie imprimată unor particule ale unui mediu elastic se propagă din aproape în aproape în toate punctele sale, iar procesul de propagare a oscilaţiei poartă numele de undă. Particulele mediului elastic efectuează numai oscilaţii în jurul poziţiilor de echilibru, perturbaţia transmiţându-se de la particulă la particulă şi propagându-se pe o anumită distanţă. Altfel spus, fenomenul de propagare a undelor elastice comportă existenţa a două procese distincte: deplasările efectuate de fiecare particulă în jurul poziţiei de echilibru şi propagarea deformaţiei de la o particulă la alta, datorită acţiunii forţelor elastice care se exercită între particulele mediului. Perturbaţia Ψ care se propagă în spaţiu este în general funcţie de locul din spaţiu şi de timp, adică (x, y, z,t) = (r,t), (1) această mărime purtând denumirea de funcţie de undă.
Locul geometric al punctelor care oscilează cu aceeaşi fază la un moment dat se numeşte suprafaţă de undă sau front de undă, adică, suprafaţa de undă este mulţimea punctelor din spaţiu în care perturbaţia (adică Ψ) are la un moment dat aceeaşi valoare constantă. (x, y, z,t) = const. () După forma suprafeţei de undă avem: unde sferice, cilindrice şi plane. Intr-un mediu elastic şi omogen, oscilaţiile produse într-un punct se propagă uniform în toate direcţiile, astfel că suprafeţele de undă sunt suprafeţe sferice concentrice (unde sferice). Direcţia de propagare, normală la suprafaţă, se numeşte rază (Fig.1) La distanţe mari de sursă, curbura suprafeţei devine mică şi se consideră fronturile de undă ca fiind plane paralele între ele (unde plane) (Fig.). Fig.1 Fig.
O altă clasificare a undelor se poate face după modul în care au loc vibraţiile particulelor mediului faţă de direcţia de propagare a undelor: - unde transversale care se caracterizează prin aceea că direcţia de oscilaţie a particulelor este perpendiculară pe direcţia de propagare a undei. De exemplu, când o coardă vertical tensionată (Fig. 3) este obligată să oscileze sub acţiunea unei perturbaţii perpendiculare pe direcţia ei, produsă la unul din capete, de-a lungul ei se va propaga o undă transversală, deoarece în timp ce perturbaţia se propagă în lungul corzii, particulele care o compun vibrează perpendicular pe direcţia de propagare a perturbaţiei. Acest tip de unde se întâlneşte numai în solide. Fig.3. Undă transversală
- unde longitudinale caracterizate prin aceea că direcţia de oscilaţie a particulelor coincide cu direcţia de propagare a undei. De exemplu, dacă un resort vertical este obligat să oscileze în sus şi în jos la un capăt, atunci de-a lungul său se va propaga o undă longitudinală (Fig.4). Asemenea unde se întâlnesc în lichide, gaze şi solide. (a) (b) (c) (d) direcţia de propagare Fig.4. Unda longitudinală. (a) particulele în repaus; (b) orientarea vitezei de deplasare a particulelor sub acţiunea undei; (c) poziţia particulelor sub acţiunea undei; (d) reprezentarea grafică a undei longitudinale
Undele reprezintă numai un transport de mişcare, deci de energie, nu şi de substanţă. O mărime caracteristică undelor este lungimea de undă λ care reprezintă drumul parcurs de undă într-o perioadă: = v T (3) unde v este viteza de propagare a undei, iar T perioada. Lungimea de undă mai poate fi definită ca distanţa dintre două maxime sau minime succesive în acelaşi sens (Fig. 5). O altă mărime caracteristică undelor este frecvenţa n, reprezentând numărul de oscilaţii efectuate în unitatea de timp, fiind dată de relaţia: 1 v = T = (4) unde s-a ţinut seama de relaţia (3). Fig. 5
Ecuaţia undei plane progresive este: = A sin t - kx Asin (5) unde A este amplitudinea, ω pulsaţia, elongaţia undei, iar j reprezintă faza undei. k = numărul de undă, Ψ reprezintă Din ecuaţia (5) se poate înţelege bine semnificaţia noţiunii de puncte care oscilează în concordanţă de fază (sin fază) sau în opoziţie de fază. Astfel, două puncte de pe direcţia de deplasare, de coordonate x 1 şi x, sunt în concordanţă de fază, dacă fazele undei în aceste puncte diferă prin n, adică: de unde rezultă: t - kx - t - kx = k x x = n 1 1 (6) x x 1= n ; n= 0, 1,, 3,... (7)
Cele două puncte sunt în opoziţie de fază dacă: - = (n + 1 1) adică: x - x1 = (n+1) ; n = 0,1,,3,... (8) (9) Aşa cum s-a spus, pe lângă undele plane, care se propagă într-o singură direcţie, se mai întâlnesc şi undele sferice. Deoarece energia transportată de unda sferică corespunde unor suprafeţe sferice din ce în ce mai mari (Fig. 1), amplitudinea undelor sferice variază invers proporţional cu distanţa de la centrul de oscilaţie până în punctul de oscilaţie. Astfel ecuaţia undei sferice poate fi scrisă: A = t - kr r (10) sin unde r este distanţa de la S la suprafaţa de undă la momentul t.
.INTERFERENŢA UNDELOR. UNDE STAŢIONARE Prin interferenţă se înţelege fenomenul de suprapunere a două sau mai multe unde coerente, obţinându-se o undă rezultantă a cărei amplitudine depinde de defazajul dintre cele două unde. Două unde sunt coerente dacă oscilaţiile surselor care le emit au aceeaşi frecvenţă şi diferenţa de fază constantă în timp. Fig.6 Considerăm două surse S 1 şi S (Fig. 6) care emit unde pe direcţia distanţei dintre ele. Dacă cele două unde coerente care se propagă de la S 1 şi S la un punct P sunt reprezentate prin ecuaţiile: = A sin t - kx 1 1 = A sin t - kx atunci unda rezultantă în punctul P va avea aceeaşi pulsaţie şi o amplitudine dată de relaţia: (1) A= A + A +A A - 1 1/ 1 1 cos 1 (11)
In funcţie de valoarea defazajului, în punctul de suprapunere P se obţine amplitudinea maximă (A 1 + A ) sau minimă ( A 1 - A ). Ţinând seama că fazele iniţiale sunt: - kx ; -kx (13) 01 1 0 rezultă că maxime de interferenţă se obţin pentru: sau: 1 1 = k x x = n (n= 0,1,,... ) (14) x x = n (n= 0,1,,... ) iar minime de interferenţă se obţin pentru: adică pentru: (15) = k x x 1 = n+ 1 (n= 0,1,,... ) (16) x x 1= n+ 1 (n= 0,1,,... ) (17) In cazul în care undele care interferă au aceeaşi amplitudine (A 1 = A = A), rezultanta undelor date de ecuaţiile (11) este: = (18) 1 sau: k x x k x x 1 1 = A cos sin t - (19)
Unde staţionare. Un caz particular de interferenţă îl constituie compunerea a două unde coerente de amplitudini egale, care se propagă în sensuri contrare, în urma căreia apar undele staţionare. Fie o undă de amplitudine A care se propagă de la o sursă O în direcţia OM, unde se reflectă fără pierdere de în M şi se întâlneşte cu unda incidentă (Fig.7). Ecuaţia undei incidente în N este: 1 1 = Asin t - kx (0) iar a undei reflectate este: = Asin t - kx (1) unde: x = d + x= d - x 1 () Elongaţia rezultantă a punctului N va fi: sin = = Asin t - kx + A t - kx = 1 1 x - x x x = A cos sin t - 1 1 (3)
Folosind notaţiile: x x x = d 1 x = x 1 (4) rezultă pentru Ψ expresia: = A cos kx sin t - kd (5) care arată că punctul N oscilează cu aceeaşi frecvenţă şi că amplitudinea A depinde de x. Amplitudinea undei staţionare este: a = Acos kx (6) Punctele cu amplitudine maximă (a = A) se numesc ventre şi corespund valorilor lui x pentru care: cos kx = 1 (7) adică: kx= p, (p = 0,1,,3,...) (8) de unde rezultă: p x v = p (9)
Distanţa dintre două ventre vecine este: v v 1 p1 p x - x = p+ - p = (30) adică o semiundă. Punctele pentru care amplitudinea are valoarea minimă (a = 0) se numesc noduri şi corespund acelor valori ale lui x pentru care: cos kx= 0, (31) kx = p+ 1 (p = 0,1,,3,...) adică: x n = p+ 1 (p = 0,1,,3,...) 4 p sau: (3) (33) Distanţa dintre două noduri este tot,iar distanţa dintre un nod şi un ventru, cel mai apropiat, este. In cazul reflexiei undelor cu pierdere de punctele de 4 maxim devin puncte de minim şi punctele de minim devin puncte de maxim. Undele staţionare pot fi transversale şi longitudinale.
3. EFECTUL DOPPLER Experienţa arată că dacă o sursă de unde şi un receptor sunt în mişcare relativă unul faţă de altul, receptorul înregistrează o frecvenţă diferită decât cea emisă de sursă. Acest fenomen a fost descoperit de C. Doppler în anul 184. Considerăm o sursă S care are viteza u s şi emite unde ce se propagă cu viteza v, precum şi un receptor care are viteza u R. Mişcarea relativă a sursei S şi a receptorului R se face pe direcţia distanţei dintre ele. Se pot deosebi mai multe cazuri: a) Receptorul este în mişcare, iar sursa în repaus (u R 0; u S = 0). Când receptorul se apropie de sursă, numărul de oscilaţii înregistrate de aceasta în unitatea de timp este mai mare decât numărul de oscilaţii emis de sursă în unitatea de timp, situaţia fiind similară cu aceea în care receptorul este fix şi unda se propagă cu viteza v + u R. Frecvenţa înregistrată de receptorul R (numărul de oscilaţii înregistrate pe unitatea de timp) este: t (v+ u ) numarul de unde = = R t t (34)
şi deci:, v+ ur v+ ur v+ ur ur = = = = (1+ ) v.t v v (35) unde n este frecvenţa care este înregistrată în cazul în care u R = 0 şi u S = 0. Dacă receptorul se îndepărtează de sursă, frecvenţa înregistrată este mai mică, fiind dată de expresia:, v- ur v- ur ur = = (1- ) vt v = (36) Ultimele două relaţii pot fi contopite într-o singură relaţie:, ur v ur ( 1 ) = ( ) v v = (37)
b) Receptorul este în repaus, iar sursa în mişcare (u R = 0; u S 0). Dacă sursa se deplasează spre receptor cu viteza u S, în timpul t ea va parcurge distanţa u S.t (Fig. 8) şi va emite vt sunete care se vor găsi în spaţiul vt-u S t. Lungimea de undă aparentă este dată de raportul dintre lungimea totală în care se găsesc undele emise în timpul t şi numărul de unde: vt- u S t v- us (38) = = t Frecvenţa n' înregistrată de receptor Fig.8 este deci:, v v- u S = =, (39) Dacă sursa se îndepărtează de receptor, se înlocuieşte u S cu -u S şi se găseşte: v = (40) v+ u S Contopind cele două cazuri într-o singură relaţie, se poate scrie: = v v u S (41) semnul minus fiind considerat pentru apropierea sursei, iar semnul plus pentru îndepărtarea ei.
c) Receptorul şi sursa sunt în mişcare faţă de mediu (u R 0; u S 0). In acest caz prin contopirea formulelor (37) şi (41) rezultă: v ur = (4) v u S Dacă receptorul sau sursa se deplasează sub un unghi θ R, respectiv θ S, faţă de direcţia dintre ele, atunci: v ur cos R = (43) v u cos S S Atunci când u R şi u S devin comparabile cu v, formulele date mai sus pentru efectul Doppler nu mai sunt valabile. O aplicaţie posibilă a efectului Doppler este măsurarea vitezei sângelui în vasele de dimensiuni mari aflate în vecinătatea pielii. Dacă notăm cu v viteza unui fascicol ultrasonor trimis asupra unui vas de sânge şi cu u viteza sângelui, au loc următoarele fenomene: mai întâi, sângele recepţionează semnalul, corespunzător situaţiei în care receptorul se mişcă faţă de sursă cu viteza u. Undele ultrasonore se reflectă apoi către suprafaţa corpului, sângele transformându-se în sursă, iar dispozitivul de ultrasunete în receptor (Fig.9). În această situaţie, sursa se mişcă faţă de receptor cu viteza u. Frecvenţa semnalului care se întoarce la sursa de ultrasunete este dată deci de relaţia (4), scrisă sub forma: v u = (44) v u
de unde viteza sângelui este: ' v ' u (45) sondă emiţător receptor pastă (adaptor de impedanţă) piele ţesut vas Fig.9. Schema de măsurare a vitezei sângelui prin efect Doppler Cunoscând viteza ultrasunetelor în corpul uman v = 1500 m/s şi că la o frecvenţă a undelor emise de 1 MHz s-a obţinut un semnal receptat cu o frecvenţă de 1.05 MHz, pentru viteza sângelui rezultă o valoare u = 36.6 m/s. Datorită faptului că măsurarea este practic instantanee, se poate măsura variaţia în timp a vitezei sângelui determinată de curgerea pulsatilă a acestuia.
4.UNDE SONORE O categorie importantă de unde elastice o constituie acele unde care sunt capabile să producă senzaţii auditive, numite sunete sau unde sonore. Undele sonore fiind unde elastice vor suferi fenomenele de reflexie, refracţie, interferenţă, difracţie, etc. supunându-se aceloraşi legi ca şi undele în general. Pentru a putea fi percepută de urechea omenească o undă sonoră trebuie să aibă o anumită frecvenţă şi o anumită intensitate. Vibraţiile sonore cu frecvenţa cuprinsă între 0 şi 0 Hz nu sunt percepute de urechea omenească şi se numesc infrasunete. Vibraţiile sonore cu frecvenţe cuprinse între 0 Hz şi 0 khz sunt percepute de urechea omenească şi se numesc sunete. Vibraţiile sonore cu frecvenţa mai mare ca 0 khz, de asemenea nu sunt percepute de om şi se numesc ultrasunete.
Regiunea din spaţiu în care se propagă unde sonore se numeşte câmp sonor. Fiecare particulă a câmpului sonor va efectua oscilaţii, în jurul poziţiei de echilibru, descrise de ecuaţiile: = Asin t - kx v p = = u = Acos( t- kx) = u m cos( t- kx) t a = = - Asin( t- kx) t unde A este amplitudinea oscilaţiei, a acceleraţia, v P = u - reprezintă viteza de oscilaţie a particulei, iar u m - valoarea maximă a acesteia. O mărime care caracterizează câmpul sonor în fiecare punct al său este presiune sonoră P S, care reprezintă presiunea excedentară creată de prezenţa undelor sonore în acel punct, adică: = p - p P 0, (46) S (47) unde p este presiunea în acel punct în prezenţa undelor sonore, iar p 0 este presiunea în acelaşi punct în absenţa undelor sonore.
Presiunea sonoră maximă are expresia: P S max = va = v u m (48) unde r este densitatea mediului în care se propagă unda, iar v este viteza de propagare a undei, v = /k. O altă mărime caracteristică câmpului sonor este presiunea sonoră eficace (P ef ), definită prin relaţia: Pef = P max = va va = T (49) fiind: Rezistivitatea acustică a mediului în care se propagă sunetul se defineşte ca RS = v (50) Cu această notaţie, relaţia (48) devine: P S S m max = R u (51)
4.1. Calităţile sunetului Prin calităţile unui sunet se înţeleg acele mărimi care îl deosebesc de un alt sunet: intensitatea, înălţimea şi timbrul. 4.1.1 Intensitatea sunetului In cazul sunetelor se deosebesc două feluri de intensităţi şi anume: intensitatea sonoră (sau acustică) şi intensitatea auditivă. Intensitatea sonoră (I S ) reprezintă energia transportată în unitatea de timp pe unitatea de suprafaţă de către unda sonoră. Valoarea acesteia este: 1 1 I S = A = um v (5) şi poate fi exprimată cu ajutorul presiunii sonore maxime (48), astfel: I S 1 PS = R max S Această relaţie arată că intensitatea sonoră (I S ) este invers proporţională cu rezistivitatea acustică a mediului (R S ). (5)
Există o valoare minimă a intensităţii unui sunet de o anumită frecvenţă, care poate fi percepută de om, numită prag de audibilitate, şi o valoare maximă, numită prag al senzaţiilor dureroase. Aceste valori de prag depind de frecvenţa sunetului. In Fig.10 este reprezentat domeniul de percepţie auditivă accesibil unei urechi omeneşti normale. Datorită gamei de valori largi pentru intensitatea sonoră s-a convenit să se definească mărimea denumită nivel sonor (N S ) prin relaţia: N S = log I S I 0 unde I 0 = 10-1 W/m este intensitatea sonoră de referinţă, care reprezintă intensitatea sonoră de pe pragul de audibilitate al sunetului normal (n = 1000Hz). Conform relaţiei (53), nivelul sonor variază de la 0 la 14. Unitatea de măsură a nivelului sonor (N S ) este belul (B). In practică se foloseşte decibelul (1dB = 0,1B) şi relaţia (53) devine: N S (53) Fig. 10 S (db)= 10 lg I (54) I 0 Sunetele audibile au nivelul sonor cuprins între valorile 0 şi 140 db.
Nivelul sonor nu poate depăşi 191 db, deoarece în acest caz se produce fenomenul de cavitaţie (ieşirea din domeniul de elasticitate a aerului), aerul neputând suporta peste această valoare, propagarea undelor elastice. Intensitatea sonoră maximă, ce poate fi atinsă în aer este deci 1.10 6 W/m. Pentru o mai bună clarificare a valorilor normale ale mărimilor studiate, în tabelul de mai jos se găsesc presiunile sonore şi nivelele sonore corespunzătoare pentru diferite sunete. Nr.crt. P s (N/m ) N s (db) Exemple de sunete 1 0,0000 0 Pragul absolut inferior 0,000 0 Şoapte, la 1. m de ureche 3 0,00 40 Zgomotul oraşului, noaptea 4 0,0 60 Conversaţie 5 0, 80 Trafic intens 6,0 100 Nituire, la 10 m de ureche 7 0,0 10 Disconfort auditiv 8 00,0 140 Prag absolut superior 9 000,0 160 Leziuni ale urechii interne Tabelul 1. Presiunea sonoră şi nivelul sonor pentru diferite tipuri de sunete
Deoarece urechea omului percepe două sunete care au aceeaşi intensitate sonoră, dar frecvenţe diferite, ca două sunete de tărie diferită, a fost necesară introducerea unei noi mărimi denumită intensitate auditivă (I a ). Prin definiţie, intensitatea auditivă a unui sunet este egală cu intensitatea sonoră a sunetului normal (n = 1000Hz) care produce aceeaşi senzaţie auditivă ca şi sunetul dat: I a = I s (n = 1000Hz). Corespunzător se defineşte nivelul auditiv (N a ): N a = 10 lg I I a 0 (55) Nivelul auditiv se măsoară în foni. Nivelul auditiv al unui sunet este de un fon, dacă intensitatea auditivă este de 1,6 ori mai mare decât intensitatea auditivă de referinţă I a0. Este evident că valoarea nivelului auditiv exprimat în foni coincide cu valoarea nivelului sonor exprimat în decibeli.
4.1.. Înălţimea sunetului Înălţimea sunetului este calitatea sunetului de a fi mai grav sau mai ascuţit. Această calitate este determinată de frecvenţa sunetului respectiv: sunetele ne par cu atât mai "înalte" cu cât au o frecvenţă mai mare. Determinarea înălţimii unui sunet se face prin comparaţie cu frecvenţa unui sunet de referinţă (de frecvenţă cunoscută). Metoda se bazează pe fenomenul de bătăi: = - (56) b r Pentru a determina frecvenţa unui sunet necunoscut (n) se emite acel sunet în acelaşi timp cu sunetul de frecvenţă variabilă cunoscută (n r ), produs de un generator de audiofrecvenţă. Variind frecvenţa generatorului până la dispariţia bătăilor (n b = 0), se determină frecvenţa sunetului necunoscut (n = n r ).
4.1.3. Timbrul sunetului Timbrul sunetului este acea calitate care permite să fie deosebite două sunete de aceeaşi intensitate şi frecvenţă, dar emise de două surse diferite. Această calitate se datorează faptului că, în general, sunetul emis de o sursă sonoră nu este un sunet simplu, ci este compus din mai multe sunete simple de frecvenţe,, 3,.... Sunetul cu frecvenţa cea mai joasă se numeşte sunet fundamental, iar cele corespunzătoare unor frecvenţe egale cu multiplii întregi ai frecvenţei sunetului fundamental se numesc armonice superioare. Numărul armonicelor, precum şi distribuţia energiei între ele, diferă de la o sursă la alta, determinând timbrul sunetului. Reprezentând grafic intensitatea (respectiv amplitudinea) armonicelor funcţie de frecvenţa lor, se obţine un spectru acustic (Fig.11). Fig.11
Sunetele formate din sunetele fundamentale şi armonicele sale superioare formează un sunet muzical. El este cu atât mai plăcut cu cât conţine un număr mai mare de armonice superioare. Sunetele la care frecvenţele nu se află într-o relaţie de multiplicitate simplă, ci formează un spectru continuu de frecvenţe sunt numite zgomote. Zgomotele au o acţiune dăunătoare asupra organismului, diminuând capacitatea de muncă. Pentru atenuarea aşa numitei poluări acustice, este necesar să se cunoască spectrul sonor al zgomotelor pentru a suprima armonicele mai dăunătoare.
4.. Atenuarea şi absorbţia sunetului Dacă o sursă sonoră de intensitate constantă în timp, I 0, este înconjurată de o suprafaţă S = 4r, atunci intensitatea sunetului la distanţa r este dată de relaţia: I r I 0 = 4 r adică intensitatea undelor sonore sferice scade invers proporţional cu pătratul distanţei de la sursă. De aceea, la transmisia sunetului pe distanţe mari este de dorit concentrarea lui într-o direcţie dată; aşa se explică de ce pentru a ne face auziţi mai bine, aplicăm palmele la gură sau folosim un cornet. Slăbirea intensităţii sunetului odată cu creşterea distanţei după (57), adică datorită unor cauze pur geometrice se numeşte atenuare. La propagarea undelor sonore printr-un mediu, pe lângă fenomenul de atenuare mai apare şi fenomenul de absorbţie. Undele sonore pierd treptat din energia lor, aceasta transformându-se în căldură. Absorbţia sunetului depinde foarte mult de frecvenţa lui, sunetele mai înalte (n mai mare) fiind mai puternic absorbite decât cele joase. Absorbţia sunetului depinde şi de vâscozitatea mediului în care se propagă; datorită frecării interne pe care o suferă particulele mediului la trecerea undei sonore, energia undei se transformă în căldură. De asemenea, absorbţia sunetului depinde de conductibilitatea termică a mediului, datorită căreia se produce o absorbţie suplimentară din energia sunetului pe seama schimbului de căldură. (57)
Indiferent de cauzele care o produc, absorbţia intensităţii sonore în timpul propagării undei pe o porţiune de mediu dx este proporţională atât cu intensitatea însăşi I cât şi cu distanţa dx (Fig. 1.), adică: di = - I dx (58) unde α este aşa numitul coeficient de absorbţie sonoră a mediului. Integrând ecuaţia (58) între limitele I 0 şi I, respectiv zero şi x, se obţine: I = I 0 e - x (59) unde I 0 este intensitatea sunetului pentru x = 0. Aşa cum se observă, intensitatea sunetului scade exponenţial cu spaţiul străbătut x. Fig. 1 Pentru diferite materiale, coeficientul de absorbţie are valorile: 0,45 pentru beton 0,0 pentru sticlă 0,05-0,1 pentru lemn 1 pentru fereastra deschisă.