ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ] με τύους f() ηµ e =. e = κι g() i. Μελετήστε τις συνρτήσεις f,g στο [, ] ως ρος την κυρτότητ κι τ σημεί κμής. ii. Αοδείξτε ότι οι γρφικές ρστάσεις των f,g δέχοντι κοινή εφτομένη στο σημείο κμής της C f. i. Η f είνι δύο φορές ργωγίσιμη (άρ κι συνεχής) στο [, ] με: ηµ ηµ ηµ e συν e ηµ συν ηµ f () = = = = e e e e συν ηµ ( συν ηµ ) e ( συν ηµ )(e ) f () = = = e e ( ηµ συν) e ( συν ηµ ) e ηµ συν συν + ηµ συν = =. e e e Είνι: ( ) e ( e ) = συν = = φού [, ] f () e, f () > συν > συν <, ( ) >
Εομένως: Η f στρέφει τ κοίλ κάτω ( κοίλη) στο διάστημ [, ] φού η f είνι συνεχής στο [, ] κι η f () είνι ρνητική στο εσωτερικό του. Η f στρέφει τ κοίλ άνω ( κυρτή) στο διάστημ [, ] φού η f είνι συνεχής στο [, ] κι η f () είνι θετική στο εσωτερικό του. Η Cf ρουσιάζει σημείο κμής στo = φού f =.Τo σημείο κμής είνι A(,e ). Η g είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο [, ] με g () = ( e = ) = e e κι το ρόσημο της f () λλάζει εκτέρωθεν του = = = > γι κάθε (, ). e g () e e κι ( ) Εομένως η C g στρέφει τ κοίλ άνω (κυρτή) στο [, ] φού η g είνι συνεχής στο [, ] κι η g () είνι θετική στο εσωτερικό του. Η C g δεν ρουσιάζει σημείο κμής στο [, ]. ii. Τo σημείο A(,e ) είνι κοινό γι τις γρφικές ρστάσεις των f, g φού f( ) = g( ) = e. Ειλέον f ( ) = g ( ) = e Οότε οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f,g δέχοντι κοινή εφτομένη στο σημείο κμής A(,e ) της γρφικής ράστσης της f.
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Ν μελετήσετε ως ρος την κυρτότητ κι τ σημεί κμής τη συνάρτηση f με τύο + f() = + + 4 3 Πρέει 4 3 + + ( + ). Άρ ρέει κι. = D = (, ), (, + ). Δηλδή ( ) f Ο τύος της συνάρτησης ισοδύνμ γίνετι : f() = + ( + ). H f είνι δυο φορές ργωγίσιμη στο ως ράξεις ργωγισίμων (άρ κι συνεχής) με ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + f () = = = 4 ( ) + ( + ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + + + + = = 4 4 + + =. 3 3 3 + 3 + ( + ) ( + ) 3 3 3 3 + 3 + ( 6 + 3)( + ) 3( 3 + 3 + )( + ) ( + ) f () = = = 3 6 ( ) + ( + ) 3 3( + )( + ) 3(3 + 3 + )( + ) ( + ) 6 = ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( 3 + 3 + ) 6 ( + ) 6 = 3
( )( ) ( + ) ( + ) + ( + )( + + ) 6 = 6. Είνι. Εομένως 4 4 + + > γι κάθε φού = 4< κι f () = + = = 4 ( + ) > γι κάθε ( + )( + + ) f () < 6 < + <,, 4 + ( ) <, (, ) (, ) Άρ η f είνι κυρτή σε κθέν ό τ διστήμτ [,) κι (, + ) κι κοίλη σε κθέν ό τ διστήμτ (, ) κι (, ]. Προυσιάζει σημείο κμής το A(,f ( )) δηλδή A(,). 4
Άσκηση. i. Ν μελετήσετε ως ρος την κυρτότητ κι τ σημεί κμής τη συνάρτηση f () = ln + 4 +,. ii. Ν βρείτε το ώστε η εφτομένη της γρφικής ράστσης της f στο σημείο κμής ν διέρχετι ό την ρχή των ξόνων. i. Η f ορίζετι στο A = (, + ) κι είνι δύο φορές ργωγίσιμη ως ράξεις ργωγισίμων σ υτό με: f () = ( ln + 4 + ) = ln + + 4 = ln + +, > f () = (ln + + ) = - =, > f () = = = f () < < <, > <, > < < (,) Εομένως: Η f είνι κοίλη στο (,] φού είνι συνεχής σ υτό κι f () < στο εσωτερικό του. Η f είνι κυρτή στο [, + ) φού είνι συνεχής σ υτό κι f () > στο εσωτερικό του. Η γρφική ράστση της f ρουσιάζει σημείο κμής στο =, φού f () = η f () λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του. Το σημείο κμής είνι A(, 4 + ). ii. Η εφτομένη (ε) της C f στο σημείο κμής της A(, 4 + ) έχει εξίσωση y f () = f ()( ) y 4 = 3( ) y = 3 3 + 4 + y = 3 + + κι γι ν διέρχετι ό την ρχή των ξόνων ρέει κι ρκεί += =. 5
Άσκηση 3. Ν μελετήσετε ως ρος την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σημεί κμής γι τη συνάρτηση f με τύο 3 3 f() = 3 ( ) + 3 ν ν > Η f έχει εδίο ορισμού το Α= D =.Έχουμε: f Αν < τότε Αν > τότε =. f () Στο = έχουμε: f () = ( ). 3 f() f() lim lim 3 3 + + = = lim = 3 ( )( ) ( ) κι + + ( ) + f() f() 3 3 + lim = lim = 3 + ( ) ( ) ( ) 3 ( ) + + lim =. 3 3 ( ) ( ) Οότε η f είνι ργωγίσιμη κι στο =. Έτσι η f είνι ργωγίσιμη (άρ κι συνεχής) στο με τύο, f () = ( ), > οότε η C f δέχετι εφτομένη σε κάθε σημείο της M(,f()),. Γι κάθε < :f () =, οότε f () = = κι f () > > < < Γι κάθε > : f () = ( ), οότε f () = = κι f () > > > 6
Ο ίνκς μετβολών της f ως ρος την κυρτότητ είνι: Εομένως η f : στρέφει τ κοίλ κάτω στο διάστημ (,] φού είνι συνεχής σ υτό κι f () < στο εσωτερικό του. στρέφει τ κοίλ άνω στο διάστημ [,] φού είνι συνεχής σ υτό κι f () > στο εσωτερικό του. στρέφει τ κοίλ κάτω στο διάστημ [, ] φού είνι συνεχής σ υτό κι f () < στο εσωτερικό του. στρέφει τ κοίλ άνω στο διάστημ [, + ) φού είνι συνεχής σ υτό κι f () > στο εσωτερικό του. Προυσιάζει σημεί κμής στις θέσεις =, = κι = φού η f () λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν υτών, f () =,f () = κι ορίζετι εφτομένη της C f στο σημείο A (, f () ) (Η f είνι ργωγίσιμη στο ). 7
Άσκηση 4. i. Αοδείξτε ότι + γι κάθε > κι ότι η ισότητ ισχύει μόνο γι =. ii. Αοδείξτε ότι η συνάρτηση f με τύο κμής. f() e e = + ηµ, με, δεν έχει σημεί > i. Είνι: + + + ( ). Η τελευτί νισότητ ισχύει ροφνώς γι κάθε με την ισότητ ν ισχύει μόνο ότν =. Εομένως το ίδιο ισχύει κι γι την ρχική ισοδύνμή της. ii. H f είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο, ως ράξεις ργωγισίμων στο, με f () = e e συν κι f () = e + e + ηµ, (). Αό το i. ερώτημ κι γι = e > έχουμε ότι e + e + e, (), με την e ισότητ ν ισχύει μόνο ότν e = =. Ειλέον έχουμε ότι ηµ, (3). Με ρόσθεση κτά μέλη έχουμε: e + e + ηµ >, δηλδή f () > γι κάθε *. Είσης f () = >, οότε f () > γι κάθε, άρ η γρφική ράστση της f δεν έχει σημείο κμής. 8
Άσκηση 5. Δίνετι η συνάρτηση f με τύο f () = ln ln,. Ν ροσδιορίσετε το ώστε η γρφική ράστση της f ν έχει κριβώς έν σημείο κμής. Ποι είνι η κμύλη στην οοί κινείτι το σημείο κμής κθώς το μετβάλλετι στο * ; Η f ορίζετι ότν = Df =, +. Η f είνι δύο φορές ργωγίσιμη ως ράξεις ργωγισίμων συνρτήσεων κι έχουμε : > δηλδή το εδίο ορισμού της συνάρτησης είνι το ( ) f () = ( ln ln ) = ln + = ln + = ( ln ), > f () = ( ln ) = ( ) =, >. Εειδή η f είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της, ιθνές θέσεις σημείων κμής είνι οι λύσεις της εξίσωσης f () = = = με >. Αν < η εξίσωση f () = είνι δύντη (φού (, + ) ). Άρ γι < η f δεν ρουσιάζει σημείο κμής. Αν > η εξίσωση f () = έχει μονδική λύση = (Πιθνή θέση σημείου κμής) > Ειλέον: f () < < < > > f () > > > <. 9
Δηλδή η f () λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του = κι ειλέον ορίζετι εφτομένη στο = φού η f είνι ργωγίσιμη στο >. Συνεώς η γρφική ράστση της f έχει σημείο κμής το Μ (,f ( )). Δηλδή το Μ (, 3 ) με >. Εομένως η f ρουσιάζει σημείο κμής στ σημεί Μ (, f ( )) του γρφήμτός της γι κάθε >. Κθώς το μετβάλλετι στο (, + ) η το σημείο Μ (, 3 ) ικνοοιεί τις εξισώσεις =, y= 3 με >, ό τις οοίες με λοιφή του ροκύτει η εξίσωση y = 3, >. Δηλδή το σημείο κμής της f κινείτι στο τμήμ της ρβολής με εξίσωση y = 3 το οοίο βρίσκετι στο ημιείεδο ου ορίζουν οι ημιάξονες O( > ) κι Oy (y < ) όου O(,).
Άσκηση 6. Αν f () = ln(e + ). i. Ν μελετήσετε την f ως ρος την κυρτότητ. ii. Ν βρείτε την εφτομένη της C f στο σημείο με τετμημένη =. iii. Ν οδείξετε ότι ισχύει (e + ) ln, γι κάθε. i. Η f ορίζετι στο φού e + >,γι κάθε κι είνι δύο φορές ργωγίσιμη σ υτό, ως ράξεις ργωγισίμων, με = e +, f () e e (e + ) e e f () = = < ( e + ) ( e + ) γι κάθε. Εομένως η f στρέφει τ κοίλ κάτω στο. ii. Αν (ε) είνι εφτομένη της C f στο = τότε (ε): y f () = f ()( ) y + ln = y = ln iii. Η γρφική ράστση της f στρέφει τ κοίλ κάτω όως οδείξμε στο i. ερώτημ. Εομένως θ βρίσκετι κάτω ό οοιδήοτε εφτομένη της με εξίρεση το σημείο εφής. Εομένως γι την εφτομένη (ε) στο M(, ln ) θ ισχύει f () ln ln(e + ) ln (e + ) ln(e + ) ln ln
Άσκηση 7. Αν η f είνι κυρτή κι γνησίως ύξουσ στο οδείξτε ότι: i. Υάρχει ξ τέτοιο ώστε f( ξ ) >. ii. lim f() = +. + i. Θεωρώ τυχί, στο με <. Η f ως κυρτή στο είνι ργωγίσιμη στο άρ κι συνεχής στο οότε κι στο [, ] Η f είνι ργωγίσιμη στο άρ κι στο (, ). Εομένως η f ικνοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.M.Τ στο [, ]. f( ) f( ) Άρ υάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε f( ξ ) = () Όμως η f είνι γνησίως ύξουσ στο κι εομένως γι < f( ) < f( ) () Αό τις () κι () ροκύτει ότι f( ξ ) >. ii. Η εφτομένη στο Αξ (,f ( ξ)) Cf έχει εξίσωση (ε): y f( ξ ) = f ( ξ)( ξ) y= f ( ξ )+ f( ξ) ξf ( ξ ). Εειδή η f είνι κυρτή στο θ έχει γρφική ράστση η οοί θ βρίσκετι ό οοιδήοτε εφτομένη της κι άνω δηλδή κι ό την (ε). Εομένως θ ισχύει f() f ( ξ )+ f( ξ) ξf ( ξ ), γι κάθε,(3) Αν g() = f ( ξ )+ f( ξ) ξf ( ξ ) είνι ( ) ( ) lim g() = lim f ( ξ )+ f( ξ) ξf ( ξ ) = lim f ( ξ ) = + + + + φού f ( ξ ) > κι lim = +. + Άρ g() > γι κάθε κοντά στο +.
Εομένως θ είνι lim = κι ό την (3) ίρνουμε: g() + f() g() > < f() g() γι κάθε κοντά στο +. Αό το κριτήριο της ρεμβολής θ έχουμε ότι φού f() > γι κάθε κοντά στο +. lim = limf() = +. f() + + 3
ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. - f () - f ()= + e + γι κάθε. Ν οδείξετε ότι η γρφική ράστση της f δεν ρουσιάζει σημείο κμής. Γι την δύο φορές ργωγίσιμη στο συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ) Υοθέτουμε ότι η f ρουσιάζει σημείο κμής σε κάοιο Df =. Τότε, φού η f είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο θ ισχύει f ( ) = (). Όμως ργωγίζοντς τ δύο μέλη της δεδομένης ισότητς έχουμε: ( ) ( ) - f () - f () e f ()f () f () e = + + = ( + )e + f ()f () f () = e + () κι γι = έχουμε f ( )f ( ) f ( ) = e + e + = = e e = () Όμως θεωρώντς τη συνάρτηση g με τύο g () = e. g() = e, έχουμε < < > > >. g () e e ln > > < < <. g() e e ln Δηλδή H g είνι γνησίως φθίνουσ στο [, + ) φού ως ργωγίσιμη είνι συνεχής σ υτό κι g () < στο εσωτερικό του. Οότε ν > τότε g( ) < g() () e < < Άτοο H g είνι γνησίως ύξουσ στο (,] φού ως ργωγίσιμη είνι συνεχής σ υτό κι g () > στο εσωτερικό του. Οότε ν < τότε g( ) < g() () e < < Άτοο Προφνώς γι = είνι g( ) = g() e = = Άτοο. () 4
Έτσι σε κάθε ερίτωση οδηγούμστε σε άτοο κι συνεώς η ρχική υόθεση ότι η f ρουσιάζει σημείο κμής σε κάοιο είνι λνθσμένη. Εομένως η f δεν ρουσιάζει σημείο κμής στο. 5
Άσκηση. 4 3 Δίνετι η συνάρτηση f με τύο f () = + ( ) + 3 6 + 4, με. Βρείτε τις τιμές γι το ώστε έν ό τ σημεί κμής της γρφικής ράστσης της f ν έχει τετμημένη =. Η f είνι δύο φορές ργωγίσιμη ως ολυωνυμική στο με : 3 f () = 3( + ) + 6 6 κι f () = 6 6( + ) + 6 = 6[ ( + ) + ] Η C f θ έχει σημείο κμής με τετμημένη =, όντς δύο φορές ργωγίσιμη σ υτό, ν κι μόνο ν ισχύουν τυτόχρον οι ρκάτω συνθήκες : f () = () κι Το ρόσημο της f () λλάζει εκτέρωθεν του = () Αό την () έχουμε f () = 6[ ( + ) + ] = η οοί είνι τυτότητ ως ρος. Εομένως γι κάθε έχουμε f () =. Πρέει ειλέον ν ικνοοιείτι κι (), δηλδή η f () ν λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του =. Είνι f () = 6( ( + ) + ) = 6( + ) = 6( ( ) ( )) = 6( )( ) (3) Πρτηρούμε ότι η f () είνι ρώτου βθμού γι = κι δευτέρου βθμού γι Έτσι νγκζόμστε ν δικρίνουμε τις ρκάτω εριτώσεις γι την ράμετρο : η Περίτωση : = Τότε f () = 6( ) κι ροφνώς λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του = οότε η τιμή = ικνοοιεί τις ιτήσεις της άσκησης (δεκτή τιμή) η Περίτωση : Τότε η f () έχει ως ρίζες ρ =, ρ = κι Αν = = ή =, τότε f () = 6( ) > γι κάθε οότε η f δεν ρουσιάζει σημείο κμής στο =. Δηλδή οι τιμές = ή = ορρίτοντι. 6
Αν δηλδή κι τότε η f () θ είνι ρνητική στο διάστημ εντός των ριζών ρ = κι ρ = κι θετική στ διστήμτ (,) κι (, + ) (, ) κι (, + ). Δηλδή η f () θ λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του = ή (κι του = ) οότε η C f θ ρουσιάζει σημείο κμής στο = (κι στο = ). Συνεώς οι τιμές υτές ικνοοιούν την ίτηση της άσκησης. Συνοψίζοντς: Η C f ρουσιάζει σημείο κμής στο = ν κι μόνο ν κι. 7
Άσκηση 3. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύο ράστση έχει σημείο κμής. i. Ν οδείξτε ότι >. f () = ln, της οοίς η γρφική ii. Ν μελετήσετε την f ως ρος την κυρτότητ κι ν βρείτε το σημείο κμής. iii. Αν Α (,f( )) σημείο κμής της γρφικής ράστσης της f ν δείξετε ότι υτό δεν μορεί ν είνι κάτω ό την ευθεί y=. i. Η f είνι ορισμένη κι δύο φορές ργωγίσιμη στο (, + ), ως ράξεις ργωγισίμων, με f () = ln = ln +, > κι f () = =, >. ii. Αν A(,f( )) σημείο κμής της C f, κι εειδή είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο, θ είνι f ( ) = = = = = Εειδή Df = (, + ), θ είνι = > οότε > > Είνι: f () = = = = = () > > f () > > > < <, > () Η f στρέφει τ κοίλ άνω στο f συνεχής στο,., φού είνι f () > στο εσωτερικό του κι 8
Η f στρέφει τ κοίλ κάτω στο κι f συνεχής στο, +., + φού είνι f () < στο εσωτερικό του Η C f ρουσιάζει σημείο κμής στο = ου είνι το ln Α,. Α,f( ) δηλδή το iii. Αρκεί ν οδείξουμε ότι > ln + ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύο g() = ln, >, η οοί είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο (, + ) με (, + ). Η εφτομένη της g () = κι g () = < δηλδή είνι κοίλη στο C g στο B(, g()) είνι (ε): y ln= ( ) y=. Η g στρέφει τ κοίλ κάτω στο (, + ) κι εομένως η γρφική της ράστση θ βρίσκετι κάτω ό οοιδήοτε εφτομένη της οότε κάτω κι ό την εφτομένη της στο Β, δηλδή θ ισχύει g() ln + γι κάθε > οότε κι ln +, γι κάθε >. Ημερομηνί τροοοίησης: /9/ 9