4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah nasopa več neznanih funkcij ise neodvisne spremenljivke Neodvisno spremenljivko bomo sedaj označevali s črko (v konkrenih primerih je o običajno kar čas), neznane odvisne spremenljivke pa x, y, z, ali pa x, x,, x n Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: dx dx =, =, d d Sisem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko: ( n) = h, x, x,, x = h, x, x,, x = h, x, x,, x n n n n Takšen sisem imenujemo normalni sisem diferencialnih enačb V njem so x, x,, x n neznane funkcije, h, h,, h n pa so dane funkcije n+ spremenljivk V normalnem sisemu je enačb enako mnogo ko neznanih funkcij, v vsaki enačbi je le en prvi odvod Rešiev sisema je n-erica akšnih funkcij x, x,, xn nekem inervalu (, ) idenično zadoščajo sisemu, ki na 73
4 Sisem linearnih diferencialnih enačb Sisem diferencialnih enačb imenujemo linearen, če je vsaka od funkcij hk (, x, x,, xn) linearna funkcija odvisnih spremenljivk xk, k =,,, n Linearni sisem diferencialnih enačb ima orej obliko: () n n () () () () = a x + a x + + a x + f = a x + a x + + a x + f n n () () () () = a x + a x + + a x + f n n n nn n n i k Pri em predposavimo, da so koeficieni aik,, =,,, n in funkcije fi (), i =,,, n zvezne funkcije spremenljivke na nekem inervalu Če uvedemo dve vekorski funkciji: x () () () x x = xn () in mariko koeficienov:, f () = () f f fn () a a a a a a A = a a a n n n nn n lahko sisem linearnih diferencialnih enačb zapišemo v marični obliki: () = () () + A x f () Če je funkcija f enak nič, poem je sisem diferencialnih enačb homogen v naspronem primeru je sisem nehomogen 74
V konkrenih problemih iščemo rešive sisema diferencialnih enačb, ko imamo podane začene pogoje: x = x 0 0 Za reševanje naloge s podanimi začenimi pogoji je pomemben naslednji izrek: Če so elemeni marike A in komponene vekorja f funkcije, definirane na neskončnem ali končnem inervalu in so am omejene, poem ima dani sisem linernih diferencialnih enačb skupaj z začenim pogojem na obravnavanem inervalu eno samo rešiev Oglejmo si sedaj homogeni sisem linearnih diferencialnih enačb: () ()() z = A z Da se pokazai, da ima zgornji sisem enačb n linearno neodvisnih rešiev z k, k =,,, n, zao ima splošna rešiev homogenega sisema () obliko () () () n n() k k() z = C z + C z + + C z = C z, n k = pri čemer so C k poljubne konsane Če definiramo mariko Z ko in vekor c ko [ ] () (), z (),, z Z = z n [,,, ] c = C C, C n T poem lahko rešiev homogenega sisema zapišemo udi v marični obliki z () Z() = c Da določimo vrednos vekorja c, vsavimo zgornjo rešiev v začeni pogoj Na a način dobimo 75
x0 = Z 0 c c= Z 0 x 0 Rešiev homogenega sisema linearnih diferencialnih enačb s podanim začenim pogojem ima orej obliko: () = () ( ) z Z Z 0 x 0 Rešiev nehomogenega sisema enačbe poiščemo z meodo variacije konsan : x() = Z() u(), kjer je u() nova neznana vekorska funkcija Če a izraz vsavimo v nehomogeno enačbo, dobimo d d Zu = Zu + Zu = AZu+ f Ker pa je Z= AZ, imamo: Zu = f Gornjo enačbo inegriramo, pa dobimo: u = Z τ f τ dτ+ c 0 Če zgornji izraz vsavimo v prvoni nasavek, dobimo rešiev nehomogenega sisema v obliki: () = () ( τ) ( τ) dτ+ () x Z Z f Z 0 Vekor c dobimo ako, da v gornjo enačbo vsavimo dobimo: ( ) = 0 0 c Z x c = 0 Na a način 76
Če definiramo mariko = K Z Z, 0 0, lahko končno obliko rešive problema začenih vrednosi zapišemo v obliki () = ( τ) ( τ) dτ+ ( ) x K, f K, 0 x 0 0 4 Sisem linearnih diferencialnih enačb s konsannimi koeficieni Nehomogen sisem linearnih diferencialnih enačb ima obliko: () () () = Ax + f Vsi elemeni marike A so konsane Pripadajoč homogen sisem linearnih diferencialnih enačb je: x () Ax() = Rešiev nehomogenega sisema dobimo z meodo variacije konsan, ki je opisana v prejšni očki, rešiev homogenega sisema pa poiščemo z nasavkom x = ae λ, kjer je a še neznani vekor s konsannimi komponenami, λ pa neznani skalar Rešiev homogenega sisema bomo dobili, ko bomo izračunali vekor a in skalar λ Izračunajmo v a namen najprej odvod: = λae λ in dobljeni izraz vsavimo v levo sran homogenega sisema enačb, ako da dobimo: 77
λ ae λ = Aae λ in od od: λ ( A λi) ae = 0 Ker e λ 0 in ker iščemo nerivialno rešiev a 0, bo zgornja enačba izpolnjena pri pogoju: ( I) de A λ = 0 Dobljeno enačbo imenujemo karakerisična enačba homogenega sisema diferencialnih enačb V razvii obliki predsavlja karakerisična enačba polinom sopnje sisema enačb n glede na skalar λ Koreni polinoma λ, λ,, λ n so orej ravno lasna vrednos marike A Za vsako vrednosi λ λ dobimo iz sisema enačb a k = k A I a = 0 λ k k vekor, ki je lasni vekor marike A Parikularne rešive homogenega sisema enačb so orej funkcije x = a e, k k λk splošna rešiev pa je linearna kombinacija parikularnih rešiev: () n x = C a e k = k k λk Gornja rešiev velja v primeru, če so vsi koreni karakerisičnega polinoma med seboj različni V primeru, ko pri reševanju karakerisične enačbe nasopajo večkrani koreni, pa poiščemo parikularne rešive v obliki: () () x = p e, k pri čemer je k λk manjše ko je sopnja korena Primer 4: p k () polinom spremenljivke, ki ima sopnjo za eno λ k 78
Rešimo sisem enačb: = x + 6x = x 5x REŠITEV: Dani sisem enačb zapišimo v marični obliki: 6 x = 5 x in poiščimo rešiev z nasavkom: x a x b e = λ Odvod bo: a b e = λ λ Vsavimo oboje v prvono enačbo in jo uredimo, pa dobimo: λ 6 0 5 a = λ b 0 Od od sledi karakerisična enačba: λ 6 5 λ = 0 Ko gornjo deerminano izračunamo, dobimo enačbo: λ + 3λ+ =0 79
Gre za preproso kvadrano enačbo z rešivama: λ = in λ = ) Pri λ =, se naš sisem glasi: 3 6 0 4 a = b 0 Enačbi sa linearno odvisni, zao je a+ b= 0 Če izberemo b =, dobimo lasni vekor a =, ki usreza lasni vrednosi λ ) Ko je λ =, pa ima sisem obliko: 4 6 0 3 a = b 0 Enačbi sa linearno odvisni, zao je a+ 3b= 0 Če izberemo b =, 3 dobimo lasni vekor a =, ki usreza lasni vrednosi λ Od od ugoovimo, da je splošna rešiev danega sisema akšen vekor: λ x() = Ca e λ 3 + C a e = C e + C e, pri čemer sa C in C poljubni konsani Rešiev sisema, zapisana s komponenama, se orej glasi: () () = + x = Ce 3C e x Ce C e Primer 4: Rešimo sisem enačb: 80
REŠITEV: = x x = x+ 3x Karakerisična enačba: λ 3 λ da enačbo: = 0 λ 4λ+ 4=0 ki ima dvojno ničlo: λ, = Rešiev zao iščemo v obliki: x = a+ b e x = c+ d e Kjer so a,b,c in d konsane, ki jih je porebno določii Če gornji nasavek vsavimo v izhodni sisem enačb, dobimo: a+ b+ b = a+ b c d S primerjavo koeficienov pri enakih poencah dobimo: d = b c= a b pri čemer osanea konsani a in b poljubni Označimo i konsani z C C, pa dobimo splošno rešiev sisema: in x() = ( C+ C) e () = ( + + ) x C C C e 8
43 Naloge Reši naslednje siseme diferencialnih enačb: x= x x = x+ x x= x 3x x = x + x 3 x = x x x x x = + 3 4 x= x = 3x + x 5 x= x x = x3 x = 6x 5 3 x 3 6 x = 3x x + x 3 x = x+ 5x x 3 x3 = x x + 3x3 7 x= 3x+ x 4x 3 x = x 3x + x 3 x3 = x x + 6x 3 8 x = x x x 3 x = x 4x x 3 x3 = 4x+ x + 5x 3 9 x = x+ x = x + x + sin 8
Določi parikularno rešiev ob začenih pogojih: x 0 = 3, x 0 = 4 0 x = 4x x 3 x = x+ x +x 3 x = 8x 3 3 x 3 Določi parikularno rešiev ob začenih pogojih: x 0 =, x 0 =, x 0 = 5 3 x = 3x x x = x x Določi parikularno rešiev ob začenih pogojih: x 0 =, x 0 = x= x + x 3 x = x3 x3 = x+ x 3 Določi parikularno rešiev ob začenih pogojih: x( 0) =, x( 0) =, x3( 0) = 3 x = x+ x + x 3 x = x x + x 3 x 3 = x + x + x 3 Določi parikularno rešiev ob začenih pogojih: x 0 =, x 0 = 0, x 0 = 0 3 4 x= x + x 3 x = x+ x3 x = x + x 3 Določi parikularno rešiev ob začenih pogojih: x 0 =, x 0 =, x 0 = 0 3 83
44 Rešive = + ( ) x Ce C e x = Ce + C e = + x = Ce 3C e x Ce C e = + x Ce C e 3 = + ( ) x Ce C e 3 3 = 3 4 x = Ce + C e x Ce C e 5 x e 3 = + e 3 x = 4e 3e 3 x = 8e + 9e 3 = + 3 + 3 6 = 3 3 6 3 = + 3 + 3 6 6 x Ce C e C e x C e C e x Ce C e C e = 8 3 3e 3 = + 3 + 3 3 3 = + 7 + 3 3 3 7 x Ce C e C x Ce C e C e x Ce C e C e 3 8 x = C + C e + C e x = 3C C e 3 3 3 x = C + C e +C e 84
9 x sin 3 = + 4 7 3 4 3 7 3 e + + e 4 3 3 3 x ( ) e 3 4 7 3 7 3 = sin + cos + + e 8 8 + 7 7 0 x 7 = + e 7 + e 7 7 + 7 7 x e 7 = + e 7 e 7 7 x 3 5 = 3 7 34 + 7 7 e 5 + + 3 7 34 e x = ( ) = ( ) e x e x = cos x = ( sin + cos ) x3 = ( sin cos ) 3 x ( e = e e ) 6 + 3 + x = ( e e e ) 6 3 + x3 = ( e + e ) 3 4 x = e x = x 3 = 0 e 85