Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ IFR ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ217-224 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ IFR ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ MΒ Κούτρας και ΠE Μαραβελάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτό το άρθρο ασχολούμαστε με συστήματα αξιοπιστίας τα οποία μπορούν να περιγραφούν μέσω μιας πεπερασμένης Μαρκοβιανής αλυσίδας (Συστήματα εμφυτεύσιμα σε Μαρκοβιανή αλυσίδα) και ερευνούμε αν διατηρούν την ιδιότητα της αύξουσας βαθμίδας αποτυχίας (IFR) Συγκεκριμένα βρίσκουμε μια ικανή συνθήκη ώστε ο χρόνος ζωής ενός συστήματος να έχει την ιδιότητα IFR όταν αποτελείται από ισόνομες και ανεξάρτητες μονάδες που έχουν αυτή την ιδιότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία αξιοπιστίας ερευνά το συμπεριφορά ενός συστήματος που αποτελείται από μονάδες που βρίσκονται σε λειτουργία ή μη λειτουργία Εκτός από το πρόβλημα της εύρεσης της συνάρτησης αξιοπιστίας ενός συστήματος, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη ιδιοτήτων γήρανσης είτε στις μονάδες είτε στο σύστημα Ένας τρόπος με τον οποίο εκφράζεται είναι με τη βοήθεια της συνάρτησης βαθμίδας αποτυχίας Στην πιο απλή περίπτωση, όταν δεν υπάρχει γήρανση έχουμε σταθερή βαθμίδα αποτυχίας που αντιστοιχεί στην εκθετική κατανομή Μια μεγάλη κλάση που περιλαμβάνει και αρκετές από τις πιο γνωστές κατανομές είναι η κλάση των κατανομών που έχουν αύξουσα βαθμίδα αποτυχίας (IFR distributios) Κάθε κατανομή που ανήκει στην κλάση αυτή έχει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση της συμπεριφοράς του συστήματος Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει μια συλλογή κάποιων παλιότερων τεχνικών στον τομέα αυτό στο κλασσικό βιβλίο των Barlow ad Proscha (1981) και στο άρθρο των Esary ad Proscha (1963) Δυστυχώς, η δομή ενός μονότονου συστήματος με ανεξάρτητες IFR μονάδες, δεν εξασφαλίζει πάντοτε ότι και ο χρόνος ζωής του συστήματος θα είναι IFR Συνεπώς, ακόμα και αν χρησιμοποιήσουμε IFR μονάδες, δεν μπορούμε να εκμεταλλευθούμε τις ιδιότητες της οικογένειας IFR για το σύστημα, εκτός εάν χρησιμοποιήσουμε - 217 -

κατάλληλες συνθήκες που να εξασφαλίζουν τη μεταφορά αυτής της ιδιότητας σε όλο το σύστημα Καταλήγουμε λοιπόν ότι θα ήταν αξιόλογο να ορίσουμε κατάλληλες ικανές συνθήκες κάτω από τις οποίες ένα σύστημα που αποτελείται από μονάδες που διατηρούν την ιδιότητα γήρανσης IFR, να έχει και αυτό χρόνο ζωής IFR Σε αυτό το άρθρο ασχολούμαστε με μια κλάση συστημάτων αξιοπιστίας που μπορούν να περιγραφούν με τη χρήση πεπερασμένων Μαρκοβιανών αλυσίδων, Koutras (1996) Όπως αναφέρεται σε αυτή τη δημοσίευση, σε πολλά συστήματα είναι δυνατό να μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά της αξιοπιστίας τους με το να αντικαταστήσουμε τις 2 πιθανές καταστάσεις με N < 2 καταστάσεις και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε μια κατάλληλη Μαρκοβιανή αλυσίδα για να υπολογίσουμε τη συνάρτηση αξιοπιστίας Όταν το N είναι μικρό σε σύγκριση με το 2, αυτή η προσέγγιση μας δίνει ένα χρήσιμο εργαλείο όχι μόνο για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας ενός συστήματος αλλά και για τη μελέτη και άλλων ιδιοτήτων του όπως την ασυμπτωτική του συμπεριφορά, γεννήτριες συναρτήσεις, τον υπολογισμό φραγμάτων αξιοπιστίας κα Μια από τις πρώτες δημοσιεύσεις σε αυτόν τον τομέα είναι του Fu (1986) Αργότερα, μια σειρά άρθρων των Chao και Fu (1989, 1991) και των Fu και Lou (1991), εφάρμοσε την μέθοδο για την μελέτη των συστημάτων k-από-, συνεχόμενα k-από- και συγκεκριμένων επισκευάσιμων συστημάτων Όλα αυτά τα συστήματα πρώτα εμφυτεύτηκαν σε μια μη ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα (ορισμένη σε πεπερασμένο χώρο καταστάσεων με κατάσταση απορρόφησης) και στη συνέχεια αναλύθηκαν εξετάζοντας την εργοδικότητα του πίνακα μετάβασης Ο Koutras (1996) πρότεινε ένα ολοκληρωμένο πλαίσιο για την ανάλυση συστημάτων αξιοπιστίας που μπορούν να περιγραφούν με πεπερασμένες Μαρκοβιανές αλυσίδες Ο επίσημος ορισμός τέτοιων δομών που έχουν ονομαστεί Μαρκοβιανά εμφυτεύσιμα συστήματα (MIS) δίνεται στην παράγραφο 2 μαζί με όλους τους απαραίτητους ορισμούς και αναγκαίο υλικό Στην παράγραφο 3 δίνεται μια ικανή συνθήκη για το χρόνο ζωής ενός MIS ώστε να έχει αύξουσα βαθμίδα αποτυχίας όταν αποτελείται από όμοιες, ανεξάρτητες μονάδες που έχουν αυτή την ιδιότητα 2 ΟΡΟΛΟΓΙΑ Έστω ένα σύστημα αξιοπιστίας που αποτελείται από ανεξάρτητες μονάδες Σε κάποια συγκεκριμένη στιγμή κάθε μονάδα είτε λειτουργεί είτε δεν λειτουργεί Η κατάσταση του συστήματος (λειτουργία/μη λειτουργία) καθορίζεται αποκλειστικά από την κατάσταση των μονάδων του και από τη συνάρτηση δομής του Ας ορίσουμε με I το σύνολο των μονάδων του συστήματος και ας ορίσουμε για κάθε μονάδα a I, μια δίτιμη τυχαία μεταβλητή X a που δηλώνει αν η μονάδα είναι σε λειτουργία (X a =1) ή όχι (X a =0) Τότε, η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται από την τιμή της συνάρτησης δομής φ=φ(x a, a I) (φ=1 αν το σύστημα είναι σε λειτουργία και φ=0 αν το σύστημα δεν είναι σε λειτουργία) Ένας εναλλακτικός τρόπος περιγραφής μονότονων δομών αξιοπιστίας είναι με την καταγραφή των ελαχίστων συνόλων - 218 -

διακοπής (C I είναι ένα σύνολο διακοπής αν η αποτυχία όλων των μονάδων a C καταλήγει στην κατάσταση μη λειτουργίας του συστήματος) Όπως αναφέραμε στην εισαγωγή, αυτό το άρθρο εστιάζεται σε μια ευρεία κλάση δομών αξιοπιστίας που η αποτυχία τους μπορεί να εκφραστεί με καταστάσεις απορρόφησης σε πεπερασμένες Μαρκοβιανές αλυσίδες Πιο συγκεκριμένα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό (Boutsikas ad Koutras (2000)) Ορισμός 21 Μια ακολουθία μονότονων δομών με σύνολο μονάδων J και αντίστοιχη οικογένεια ελαχίστων συνόλων διακοπής C, =0,1,2, θα ονομάζεται Μαρκοβιανή αλυσίδα εμφυτεύσιμη σε σειρά αν a J J +1, και C C +1, για =0,1,2, b υπάρχει Μαρκοβιανή αλυσίδα {Y, =0,1,} ορισμένη σε πεπερασμένο χώρο καταστάσεων S={s 0, s 1,, s N }, με την ακόλουθη ιδιότητα: Y =s N αν και μόνο αν το -οστό σύστημα της σειράς αποτύχει, δηλαδή αν C C ( 1 i C( 1 Xi)) = 0 Τα μέλη μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας εμφυτεύσιμης σε σειρά θα ονομάζονται Μαρκοβιανά εμφυτεύσιμα συστήματα (MIS) Είναι φανερό από την συνθήκη (a) του παραπάνω ορισμού ότι η κατάσταση s N είναι κατάσταση απορρόφησης για την Μαρκοβιανή αλυσίδα {Y, =0,1,} Ας ορίσουμε με Λ = [ P ( Y = s j Y 1 = si )] i, j= 0,1,, N, =1,2, τον πίνακα μεταπήδησης για την Μαρκοβιανή αλυσίδα και με π 0 = (P(Y 0 =s 0 ), P(Y 0 =s 1 ),, P(Y 0 =s N )) N+1 το διάνυσμα αρχικών πιθανοτήτων Τότε, η συνάρτηση αξιοπιστίας του -οστού MIS μπορεί να εκφραστεί ως εξής (Koutras (1996)) h N + 1 0 ( Λ ), i u u = (1,,1,0) R i= 1 = P( Y sn ) = π (21) Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με την ειδική περίπτωση που οι πιθανότητες μεταπήδησης P(Y =s j Y -1 =s i ) δεν εξαρτώνται από το, δηλαδή P ( Y = s Y 1 = s ) = p για όλα τα i, j = 0,1,, και Λ =Λ 1 για όλα τα =1,2, j i ij (ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα εμφυτεύσιμη σε σειρά ή απλά ομογενής MIS) Αυτή η συνθήκη ισχύει συνήθως για συστήματα αποτελούμενα από μονάδες που είναι όμοιες και δουλεύουν ανεξάρτητα Αν ορίσουμε με p την κοινή πιθανότητα επιβίωσης των μονάδων τότε η αξιοπιστία του συστήματος h θα είναι μια συνάρτηση του p, δηλαδή h = h ( = π 0Λ1u Επειδή η κατάσταση s N είναι κατάσταση απορρόφησης, ο πίνακας μεταπήδησης Λ = Λ 1, = 1,2, μπορεί να διασπαστεί ως εξής Λ b Λ = Λ1 = 0 1 όπου Λ είναι ένας N N τετραγωνικός πίνακας και b, 0 Ν είναι διανύσματα στήλες Η -οστή δύναμη του Λ = Λ1 μπορεί τώρα να γραφεί (Taylor ad Karli (1984)) - 219 -

1 Λ ( I + Λ + + Λ ) b Λ1 = 0 1 και αντικαθιστώντας στον τύπο (21) έχουμε την εναλλακτική έκφραση h ( = π Λ 1 όπου το π N αποτελείται από τις πρώτες N καταχωρίσεις του π 0 και 1 =(1,1,,1) N Στη συνέχεια θα υποθέτουμε ότι το h ( δεν είναι σταθερό για =1,2, 3 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ IFR ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ MIS Σε αυτή την παράγραφο υποθέτουμε ότι η δομή αποτελείται από όμοιες και ανεξάρτητες μονάδες Για υπολογιστική ευκολία ας υποθέσουμε ότι J i = { 1,2,, i} και ας ορίσουμε με I= J = { 1,2,, } το σύνολο των μονάδων του συστήματος Αν σε κάποια συγκεκριμένη στιγμή t κάθε μονάδα έχει πιθανότητα επιβίωσης p=p τότε η αξιοπιστία του -οστού συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως R = h ( p( t)) Η από κοινού βαθμίδα αποτυχίας r των μονάδων δίνεται από p( t) d r = = [ l p( t) ] p( t) dt ενώ η βαθμίδα αποτυχίας του συστήματος είναι R d rs = = [ l R ] R dt Οι Esary και Proscha (1963) υπολόγισαν ένα πολύ ενδιαφέροντα τύπο που συνδέει τα r S και r, και θα τον χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια Συγκεκριμένα, απέδειξαν ότι r S = r( t) g( p( t)) (31) h ( d = (32) h ( Όπου g( p = p [ l h ( ] Η έκφραση (31) δίνει μια απλή ικανή συνθήκη για να διατηρεί τη μονότονη βαθμίδα αποτυχίας ένα σύστημα που αποτελείται από ανεξάρτητες όμοιες μονάδες IFR Συγκεκριμένα μπορούμε εύκολα να επιβεβαιώσουμε ότι: a Αν r είναι μια αύξουσα συνάρτηση του t και η g( είναι μια φθίνουσα συνάρτηση του p, τότε η r S είναι μια αύξουσα συνάρτηση του t b Αν όλες οι μονάδες έχουν σταθερή βαθμίδα αποτυχίας (δηλαδή η κατανομή του χρόνου ζωής είναι εκθετική) τότε η βαθμίδα αποτυχίας του συστήματος r S έχει τόσες αλλαγές ως συνάρτηση του t, όσες έχει και η g( ως συνάρτηση του p και αυτές οι αλλαγές εμφανίζονται στην αντίστροφη σειρά Συνεπώς, αν η g είναι - 220 -

φθίνουσα, τότε η r S είναι αύξουσα (το σύστημα διατηρεί την ιδιότητα IFR) ενώ, αν η g είναι αύξουσα τότε η r S είναι φθίνουσα (το σύστημα έχει την ιδιότητα DFR) Βασισμένοι στα σημεία που αναφέρονται παραπάνω, η συμπεριφορά της g ως συνάρτηση του p μπορεί να καθορίσει τη διατήρηση της ιδιότητας IFR από τη μονάδα στο σύστημα Στη συνέχεια θα διατυπώσουμε κατάλληλες συνθήκες που θα εξασφαλίζουν την μονοτονία της g όταν το σύστημα που διερευνούμε ανήκει στην οικογένεια MIS Αρχικά γνωρίζουμε ότι οι πιθανότητες μετάβασης p ij = P( Y = s j Y 1 = si ), i,j=0, 1,,N-1 παίρνουν τιμές από το σύνολο { 0, p,1 p}, δηλαδή οι τιμές του πίνακα Λ= [ p ij ] N N =Λ( που είναι διάφορες του μηδενός είναι ίσες με p ή 1-p Επομένως, η παράγωγος του Λ( ( ij Λ = = N N θα περιέχει μόνο τριών ειδών τιμές (0, 1 ή 1) και δεν θα εξαρτάται από το p Για να διερευνήσουμε τη μονοτονία της g( (σχέση (32)), είναι απαραίτητο να βρούμε μια κατάλληλη έκφραση για την ποσότητα d h ( = ( π Λ ( 1) Το πρώτο βήμα σε αυτή την κατεύθυνση είναι η επόμενη πρόταση Πρόταση 31 Αν υπάρχει c R τέτοιο ώστε Λ Λ = cλλ (33) τότε 1 1 h ( = (1 + c + + c ) π Λ Λ 1 (34) Απόδειξη Θα αποδείξουμε πρώτα ότι κάτω από την υπόθεση (33) ισχύει η ακόλουθη ισότητα για όλα τα =1, 2, ( 1 1 = (1 + c + + c ) Λ Λ (35) Η ισότητα ισχύει προφανώς για =1 Ας υποθέσουμε ότι η ισότητα ισχύει για =k δηλαδή k ( k 1 k 1 = (1 + c + + c ) Λ Λ (36) Τότε, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα γινομένου για την παραγώγιση πινάκων (Lutkepohl (1997)) - 221 -

d db( da( k για A(= Λ (, B(=Λ( μπορούμε να γράψουμε ότι Αντικαθιστώντας το σχέση (33) έχουμε k+ 1 ( = Λ k [ A ( B( ] = A( + B( k + 1 ( k = Λ ( Λ k ( ( Λ + (1 + c+ + c k ( + Λ( με τη βοήθεια της σχέσης (35) και χρησιμοποιώντας τη k 1 ) Λ k 1 Λ Λ k = Λ ( Λ + (1 + c+ + c k k = (1 + c+ + c ) Λ Λ Δηλαδή η (34) ισχύει για =k+1 Συνεπώς, λόγω επαγωγής καταλήγουμε ότι η σχέση (34) ισχύει για όλα τα =1,2, Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει εύκολα με απευθείας αντικατάσταση της (34) στην έκφραση d ( h ( = [ π Λ ( 1] = π 1 g Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στην περίπτωση c=1 (δηλαδή όταν ΛΛ = Λ Λ ), η h ( παίρνει την πιο οικία μορφή 1 h ( ) = π Λ p Λ 1 Πριν διατυπώσουμε το κύριο αποτέλεσμα για την μονοτονία της g( και την διατήρηση της ιδιότητας IFR σε δομές MIS, πρέπει να δώσουμε κάποια επιπλέον ορολογία Έστω ότι A = { s j S : P( Y = sn Y 1 = s j ) = q} είναι ένα σύνολο καταστάσεων από τις οποίες είναι δυνατή με ένα βήμα η μεταπήδηση στην κατάσταση απορρόφησης και B = { s j S : P( Y = sn Y 1 = s j ) = 0} είναι το σύνολο των καταστάσεων από τις οποίες η κατάσταση απορρόφησης δεν είναι προσβάσιμη απευθείας Είναι φανερό ότι ο χώρος καταστάσεων S μπορεί να διαμεριστεί σε τρία υποσύνολα ως εξής Επιπλέον, ας ορίσουμε με ( A) R S = A B { s N } ( B) k 1 ) Λ ( = P( Y A), R ( = P( Y B), = 1,2, k 1 ΛΛ - 222 -

τις πιθανότητες ότι η Μαρκοβιανή αλυσίδα βρίσκεται (στο χρόνο ) στις καταστάσεις A, B αντίστοιχα Είμαστε τώρα έτοιμοι να διατυπώσουμε το κύριο αποτέλεσμα αυτής της παραγράφου Πρόταση 32 Έστω μια Μαρκοβιανή αλυσίδα εμφυτεύσιμη σε σειρά τέτοια ώστε να ισχύει η συνθήκη (33) Αν η ισότητα ( B) R 1( G( = ( A) pr 1( είναι αύξουσα συνάρτηση του p, τότε το -οστό μέλος της οικογένειας διατηρεί την ιδιότητα IFR = a0, a1,, an 1 a ένα διάνυσμα δείκτης για τον πίνακα A, δηλαδή 1 αν si A ai = 0 αλλιώς (σημειώστε ότι η κατάσταση απορρόφησης s N έχει αφαιρεθεί από το διάνυσμα) Μπορούμε απευθείας να αποδείξουμε ότι Λ1 = 1 qa = 1 ( 1 a και συνεπώς ότι Λ 1 = a Δηλαδή, η συνάρτηση αξιοπιστίας h ( μπορεί να γραφεί ως εξής 1 1 1 h ( = π Λ ( Λ1) = π Λ 1 (1 π Λ a ενώ η (, χρησιμοποιώντας την Πρόταση 31, μπορεί να πάρει την μορφή Απόδειξη Έστω ότι ( ) h 1 1 h ( = (1 + c + + c ) π Λ a Με τη χρήση των δύο τελευταίων σχέσεων ο τύπος (32) γίνεται 1 1 pπ Λ a g (1 + c + + c ) 1 π Λ ( 1 a) + p π Λ και μπορεί να πάρει την ισοδύναμη μορφή 1 1+ c + + c g ( = 1 π Λ ( 1 a) 1+ 1 p π Λ a ( = 1 Όμως το 1 a = b είναι το διάνυσμα δείκτης για το B και ισχύουν οι σχέσεις π Λ 1 ( B) 1 b = P( Y B) = R (, π Λ a = P( Y 1 1 1 1 a A) = R ( A) 1 ( 1+ c + + c οπότε, g( = G( + 1 και το συμπέρασμα που διατυπώνεται στην εκφώνηση είναι τώρα προφανές g - 223 -

Αν χρησιμοποιήσουμε την ορολογία ( j) R ( = P( Y = s j ), j = 0,1,, N 1 ( ) μπορούμε να εκφράσουμε το R B ( ως εξής ( B) ( j) R ( = R ( s j B και το επόμενο πόρισμα προκύπτει άμεσα από την πρόταση 32 Πόρισμα 31 Έστω μια Μαρκοβιανή αλυσίδα εμφυτεύσιμη σε σειρά τέτοια ώστε να ισχύει η συνθήκη (33) Αν οι ποσότητες ( j) R 1( ( A) pr 1( είναι αύξουσες συναρτήσεις ως προς p για όλα τα j B, τότε το -οστό μέλος της οικογένειας διατηρεί την ιδιότητα IFR ABSTRACT I the preset article, we cosider a class of reliability structures which ca be efficietly described through a fiite Markov chai (Markov chai imbeddable systems) ad ivestigate its closeess with respect to the icreasig failure rate (IFR) property More specifically we derive a sufficiet coditio for system s lifetime to have icreasig failure rate whe the idetical ad idepedet compoets comprisig it ow this property ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barlow, RE, ad Proscha, F (1981) Statistical Theory of Reliability ad Life Testig, To Begi with (Silver Sprig, MD) Boutsikas, M V ad Koutras, MV (2000) Reliability approximatio for Markov chai imbeddable systems, Methodology ad Computig i Applied Probability 2, 393-411 Chao, MT, ad Fu, JC (1989) A limit theorem for certai repairable systems, A Ist Statist Math 41, 809-818 Chao, MT, ad Fu, JC (1991) The reliability of a large series system uder Markov structure, Adv Applied Probability 23, 894-908 Esary, J D ad Proscha, F (1963) Relatioship betwee system failure rate ad compoet failure rates, Techometrics 5, 183-189 Fu, JC (1986) Reliability of cosecutive k-out-of-: F systems with (k-1)step Markov depedece, IEEE Tras Reliability 35, 602-606 Fu, JC, ad Lou, WY (1991) O reliabilities of certai liearly coected egieerig systems, Statistics & Probability Letters 12, 291-296 Koutras, MV (1996) O a Markov chai approach for the study of reliability structures, J Applied Probability 33, 357-367 Lutkepohl, H (1997) Hadbook of Matrices (Joh Wiley & Sos, New York) Taylor, HM, ad Karli, S (1984) A Itroductio to Stochastic Modelig (Academic Press, Florida) - 224 -