1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ= α β αέναντι κάθετη υοτείνουσα συνβ= α γ ροσκείµενη κάθετη υοτείνουσα εφβ= γ β αέναντι κάθετη ροσκείµενη κάθετη γ σφβ= β ροσκείµενη κάθετη αέναντι κάθετη Σε ένα σύστηµα O τοοθετώ µία γνία έτσι ώστε ο άξονας O να είναι η αρχική λευρά της γνίας. Η άλλη λευρά της λέγεται τελική λευρά της. Έστ Μ(,) σηµείο τυχαίο της τελικής λευράς της ου αέχει αό το αόσταση ρ. Β ψ M(,) ρ ρίζ: ηµ= ρ συν= ρ O εφ= ( 0) σφ= ( 0) γ. Προσανατολισµός γνίας Στο καρτεσιανό σύστηµα ορίζεται θετική και αρνητική γνία ανάλογα αν η τελική λευρά της κινείται αντίθετα αό την κίνηση τν δεικτών του ρολογιού ή κατά τη φορά της κίνησής τους.
.χ. O θετική O αρνητική δ. Γνίες µεγαλύτερες τν 360 ο Αν η τελική λευρά της γνίας συµληρώσει µια εριστροφή (360 ο ) και εριστραφεί ειλέον κατά γνία, τότε η γνία είναι µεγαλύτερη αό 360 ο. Είναι φ =360 ο +. Γενικά για κ εριστροφές (θετικές ή αρνητικές) σχηµατίζονται οι γνίες φ =κ.360 ο +, κ Ζ. Για αυτές ισχύει: ηµ(κ.360 ο +)=ηµ συν(κ.360 ο +)=συν εφ(κ.360 ο +)=εφ σφ(κ.360 ο +)=σφ ε. Τριγνοµετρικός κύκλος (ορισµός) Αυτός έχει: - Κέντρο την αρχή τν αξόνν O. - Ακτίνα ίση µε την µονάδα (ρ=1) - Φορά θετική την αντίθετη της κίνησης τν δεικτών του ρολογιού - Ε αυτού τοοθετούνται γνίες ρος υολογισµό τν τριγνοµετρικών τν αριθµών. Ισχύουν: -1 ηµα 1-1 συνα 1 Η Ε αξ. ηµιτόνν Σ αξ. συνεφατοµένν αξ. συνηµιτόνν αξ. εφατοµένν στ. Το ακτίνιο και η µοίρα είναι µονάδες µέτρησης γνιών Συµβολισµός: 1 rad, 1 ο (µοίρα) Σχέση rad και ο (µοίρας) Έστ γνία µ ο και α rad. Ισχύει η σχέση: α µ =. 180
3 ζ. Πίνακας γνστών τριγνοµετρικών αριθµών Γνία Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε µοίρες σε rad ηµ συν εφ σφ 0 ο 0 0 1 0-30 ο /6 1/ 3 / 3 /3 3 45 ο /4 / / 1 1 60 ο /3 3 / 1/ 3 3 /3 90 ο / 1 0-0 180 ο 0-1 0-70 ο 3/ -1 0-0 360 ο 0 1 0 - η. Τριγνοµετρικές ταυτότητες ηµ +συν =1 ηµ εφ= συν εφ.σφ=1 συν 1 = 1+ εφ σφ= συν ηµ ηµ εφ = 1+ εφ θ. Αναγγή στο 1 ο τεταρτηµόριο 1. Γνίες αντίθετες: Για τις γνίες και - ισχύουν: ηµ(-)=-ηµ συν(-)=συν εφ(-)=-εφ σφ(-)=-σφ. Γνίες µε άθροισµα ( και - ): ηµ( -)=συν συν( -)=ηµ εφ( -)=σφ σφ( -)=εφ 3. Γνίες µε διαφορά ( και + ): ηµ( +)=συν συν( +)=-ηµ εφ( +)=-σφ σφ( +)=-εφ 4. Γνίες µε άθροισµα ( και - ): ηµ( -)=ηµ συν( -)=-συν εφ( -)=-εφ σφ( -)=-σφ 5. Γνίες µε διαφορά ( και + ):
4 ηµ( +)=-ηµ συν( +)=-συν 6. Γνίες µε διαφορά ( και + ): ηµ( +)=-ηµ συν( +)=-συν εφ( +)=εφ σφ( +)=σφ εφ( +)=εφ σφ( +)=σφ 3 7. Γνίες µε άθροισµα ( 3 και - ): 3 3 ηµ( -)=-συν εφ( -)=σφ 3 3 συν( +)=-ηµ σφ( -)=εφ 3 8. Γνίες µε διαφορά ( 3 και + ): 3 3 ηµ( +)=-συν εφ( +)=-σφ 3 3 συν( +)=ηµ σφ( +)=-εφ Σηµείση: Για ιο εύκολη αοµνηµόνευση τν σχέσεν αυτών ισχύουν οι εξής κανόνες: α. Όταν έχ 90 ο ή 70 ο ο τριγνοµετρικός αριθµός αλλάζει. Έτσι το ηµ γίνεται συν, η εφ γίνεται σφ και αντίστροφα. β. Όταν έχ 180 ο ή 0 ο ή 360 ο ο τριγνοµετρικός αριθµός δεν αλλάζει. γ. Για να βρ το ρόσηµο εξετάζ σε οιο τεταρτηµόριο τελειώνει η γνία ου θέλ να ανάγ στο α τεταρτηµόριο. []. ι τριγνοµετρικές συναρτήσεις ρισµός: Η συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το Α ΙR λέγεται ΠΕΡΙ ΙΚΗ, αν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ>0, τέτοιος, ώστε για κάθε A, να ισχύει: α. +T, -T A β. f(+t)=f(-t)=f() O T λέγεται ΠΕΡΙ Σ της f. Σηµείση: έλεγχος ς ρος την εριοδικότητα µίας συνάρτησης θα γίνεται εδώ εµειρικά αό τη γραφική της αράσταση..χ. f(-t)=f()=f(+t) f -T +T T
5 α. Η συνάρτηση f()=ηµ / Α=IR - Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιατί ισχύει ηµ(-)=ηµ(+)=ηµ. - Είναι εριττή γιατί: ηµ(-)=ηµ. - Πίνακας µεταβολών: 3 ηµ 1-1 ma min - Γραφική αράσταση 1-3 - - T= β. Η συνάρτηση f()=συν / Α=IR - Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιατί συν(-)=συν(+)=συν. - Είναι άρτια γιατί: συν(-)=συν. - Πίνακας µεταβολών: συν - -1 3 0 3 1-1 ma 1 min ma - Γραφική αράσταση 1-3 - - 3-1 ηµ γ. Η συνάρτηση f()=εφ=, συν T= συν - Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιατί εφ(+)=εφ(-)=-εφ. - Είναι εριττή γιατί: εφ(-)=-εφ. -
6 - Η γραφική της αράσταση έχει ασύµττες ευθείες = και =- και ερνάει αό την αρχή τν αξόνν (0,0) γιατί εφ0=0. - Γραφική αράσταση Σχόλιο Γενικά σε µια συνάρτηση της µορφής f()=ρηµ, όου ρ,>0: i) το ρ είναι η µέγιστη τιµή της και το ρ η ελάχιστη τιµή της. ii) το καθορίζει την ερίοδο της συνάρτησης ου είναι ίση µε Τ=. Τα ίδια συµεράσµατα ισχύουν και για τη συνάρτηση της µορφής f()=ρσυν. Είσης σε µια συνάρτηση της µορφής f()=κ+ρηµβ, η µέγιστη τιµή της είναι κ+ρ και η ελάχιστη κ-ρ. Η ερίοδός της είναι Τ=. [3]. βασικών τριγνοµετρικών εξισώσεν ηµ = α ηµ = ηµθ = κ+ θ, κ Ζ 1 α 1, θ [,], = κ+ θ συν= α συν = συνθ = κ+ θ, κ Ζ 1 α 1, θ [,], = κ θ εφ = α εφ = εφθ = κ+ θ, κ Ζ α ΙR θ [, ], σφ = α σφ = σφθ = κ+ θ, κ Ζ α ΙR θ [, ],
7 Παραδείγµατα τριγνοµετρικών εξισώσεν: 1. Να λυθεί η εξίσση: ηµ Έχ ηµ 3 + =ηµ + 6 4 3 3 + =ηµ + =κ++ (1) και 6 6 4 + 4 3 + =κ+-(+ ) () κ Ζ 6 4 7 (1) =-κ-, κ Ζ 1 κ () = +, κ Ζ 3 36.. Να λυθεί η εξίσση: συν 5 =ηµ. συν συν 5 =ηµ 3 + 3 5-3 =κ+ 6 + 3 + 3 5- =κ- 3 (1) = 4κ 4 + 9 7 4κ () =, κ Ζ 11, κ Ζ συν (1) κ Ζ () κ Ζ 3 3 6 5 =συν συν 6 5 = 3 3. Να λυθεί στο [0,] η εξίσση εφ(- )= 3. 6 εφ(- )= 3 εφ( κ )=εφ - =κ+ = +, κ Ζ 6 6 3 6 3 4 5 4. Να λυθεί η εξίσση σφ =σφ σφ = 5 =σφ + 8 κ 3 +, κ Ζ 7 8 5 +. 8 =κ++ 8 -- 5 =- +κ+ 8