ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 7--, 9:-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :...... ΑΡ. ΜΗΤΡ :....... ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση είναι με κλειστά βιβλία. Δέσμευση: όλες οι ασκήσεις να επιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στο τέλος των θεμάτων. ΘΕΜΑ ο (. μον.) Nα συνταχθεί το μητρώο δυσκαμψίας (δυστένειας) του τριγωνικού δικτυώματος του σχήματος στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ. ΘΕΜΑ ο (. μον.) Δίνεται το εξ οπλισμένου σκυροδέματος τρισδιάστατο πλαίσιο του σχήματος, μορφής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Ολες οι διαστάσεις είναι σε m. Στον κόμβο επισυνάπτεται το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ. Οι συνδέσεις των κόμβων είναι μονολιθικού τύπου. Τα υποστυλώματα Κ--- είναι τετραγωνικής διατομής πλευράς cm και οι δοκοί Δ--- ορθογωνικής διατομής cm, με τη διάσταση των cm παράλληλη στον άξονα Ζ. Επί πλέον του ιδίου βάρους των στοιχείων, οι δοκοί του πλαισίου φορτίζονται κατά τον άξονα Ζ με τα τριγωνικά κατανεμημένα φορτία του σχήματος, με φορές όπως φαίνονται σε αυτό και mx τιμές p = ΚΝ/m και p = ΚΝ/m. Η επίλυση του πλαισίου έδωσε τις ακόλουθες μετακινήσεις και στροφές των κόμβων του, αναφορικά με το απόλυτο σύστημα ΧΥΖ. α/α κόμβου ux (m) uy (m) uz (m) θx (rd) θυ (rd) θζ (rd). - -.89 - -. - -. -. -.7 -.7 - -. - -. - -. -.7-7 -.7 - -. -. -. -.7-8 -. -.89 - -. -. - -. -.7 -
Αριθμητικά δεδομένα επίλυσης & παραδοχές: Ε = GP, ειδικό βάρος σκυροδέματος γc = KN/m. Για όλα τα γραμμικά στοιχεία: (α) αγνοούνται οι διατμητικές παραμορφώσεις, (β) μειώνονται οι δυστρεψίες G J στο % της ελαστικής και (γ) μειώνονται όλες οι δυσκαμψίες Ε Ι στο % των αντίστοιχων ελαστικών. Ζητούνται: (α). μον.: Επί της εκφώνησης, κυκλώστε στον δοθέντα πίνακα των μετακινήσεων τους πακτωμένους βαθμούς ελευθερίας. Επίσης, αναφέρατε τις διαστάσεις n n των μητρώου δυσκαμψίας Κ της κατασκευής καθώς και του υπομητρώου Κff το οποίο χρησιμοποιείται στο πρόβλημα υπολογισμού των αγνώστων μετακινήσεων. (β). μον.: Προκειμένου να υπολογισθούν τα διαγράμματα των εσωτερικών δράσεων Ν--M των δοκών σε τοπικό επίπεδο xy, παράλληλο στο επίπεδο ΧΖ για τις δοκούς Δ- ή στο ΥΖ για τις Δ-, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μητρώο Κ της επόμενης σελίδας; Τεκμηριώστε την απάντησή σας σε - γραμμές. (γ). μον.: Ανεξαρτήτως της απάντησής σας στο (β) ερώτημα, υπολογίστε και σχεδιάστε τα διαγράμματα που αναφέρονται στο ερώτημα αυτό για τις δοκούς που σας αντιστοιχούν βάσει του τελευταίου ψηφίου του αριθμού μητρώου σας και χρησιμοποιώντας το μητρώο Κ της επόμενης σελίδας. Δοκοί Δ- για τελευταίο ψηφίο ίσο με,,,, 8. Δοκοί Δ- για τελευταίο ψηφίο ίσο με,,, 7, 9. ΘΕΜΑ ο (. μον.) (α). μον.: Nα υπολογισθούν οι αντιδράσεις των άκρων των μελών του επιπέδου φορέα του σχήματος. Τα μέλη θεωρούνται αβαρή, ενώ μοναδική φόρτιση είναι η εξαναγκασμένη επικόμβια στροφή του στερεού κόμβου κατά γνωστή γωνία θ με φορά όπως στο σχήμα. (β). μον.: Σχεδιάστε τα διαγράμματα των εσωτερικών εντατικών μεγεθών Ν--M. (γ). μον.: Να υπολογισθεί η ισοδύναμη εξωτερική επικόμβια φόρτιση που θα έπρεπε να εφαρμοσθεί στο στερεό κόμβο προκειμένου να προκληθεί η στροφή του κατά γωνία ίση με θ. Η εν λόγω στροφή να θεωρηθεί ως η μοναδική μετακίνηση που προκαλείται από τη ζητούμενη φόρτιση στον εν λόγω κόμβο.
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού στο επίπεδο Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y + x j + y m +θ i s = sinθ c = cosθ +Χ AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c K= AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s c c + EI EI EI EI EI EI s c s c Αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού Καλή σας Επιτυχία!
ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, από το δοθέν μητρώο δυσκαμψίας Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες (στροφικοί βαθμοί ελευθερίας) και τίθεται ΕΙ =. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου Κ για δικτύωμα σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, όπου οι εναπομείναντες ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (,,, ) έχουν επαναριθμηθεί ως (,,, ). K m = AE cs s cs s c cs c cs cs s cs s c cs c cs () Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται προτεινόμενες αριθμήσεις κόμβων, μελών και βαθμών ελευθερίας στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. Περαιτέρω, για κάθε μέλος σημειώνονται οι γωνίες θ του τοπικού του άξονα x με τον απόλυτο Χ άξονα για τις δύο εναλλακτικές θετικές φορές του x, σημειωμένες ως και b (στα επόμενα αναφέρονται ως «Σήμανση» και «Σήμανση b»). Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο (εσωτερικές γωνίες ίσες με π/ = ο ). Ετσι, προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές γωνιών. π Μέλος : π 7 π π x θ = π = =, x b θ b= π = = π π π π π π Μέλος : x θ = = =, x b θ b= π + = = 9 π π Μέλος : 7 π π π π x θ = π + = =, x b θ b= π + = = 7 Βάσει αυτών των τιμών συντάσσεται ο ακόλουθος πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων s και c, αντίστοιχα.
Θετικές φορές τοπικών αξόνων x - Σήμανση Θετικές φορές τοπικών αξόνων x - Σήμανση b α/α i θi si ci α/α i θi si ci π/ = ο / =.77 / =.77 7π/ = ο / =.77 / =.77 π/ = ο ( ) / =.9 7π/ = ο ( + ) / =.9 + / =.9 / =.9 π/ = 9 ο ( ) / =.9 ( + ) / =.9 π/ = 7 ο ( + ) / =.9 / =.9 Mε εφαρμογή των παραπάνω τιμών των s και c στη σχέση () προκύπτουν τα παρακάτω μητρώα Κ των τριών μελών στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. Για σήμανση Για σήμανση b AE K= K AE = ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) AE K = + / + ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) AE K= ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) AE K = + + ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) AE K= Τα παραπάνω μητρώα βασίζονται στις σημάνσεις και b οι οποίες χαρακτηρίζονται από το ότι οι θετικές φορές των τοπικών αξόνων x των τριών μελών σχηματίζουν αντίστοιχα αριστερόστροφη ή δεξιόστροφη φορά. Ετσι, οι γωνίες της σήμανσης b διαφέρουν από αυτές της κατά π = 8 ο. Επομένως, καθ όσον είναι sin(π+α) = -sinα και cos(π+α) = -cosα, οι όροι s, c και cs για τα μητρώα των δύο σημάνσεων θα ταυτίζονται, οπότε κατ επέκταση θα ταυτίζονται και τα αντίστοιχα μητρώα, κατόπιν κατάλληλων αντιμεταθέσεων γραμμών και στηλών προκειμένου οι σειρές αρίθμησης βαθμών ελευθερίας των δύο σημάνσεων να είναι συμβατές. Αρα, όπως έχει επισημανθεί και στη θεωρία, η επιλεγείσα θετική φορά των τοπικών αξόνων x των μελών δεν επηρεάζει τα μητρώα Κi. Από την υπέρθεση των παραπάνω μητρώων Κi, όμοια και για τους δύο τύπους σήμανσης, προκύπτει το ζητούμενο μητρώο Κ.
K = AE / + ( )/ /+ / / / ( )/ / /+ / / + (+ )/ / / / (+ )/ / / / + (+ )/ /+ / (+ )/ / / / / / / / / / + + ( )/ / (+ )/ / (+ )/ + ( )/ /+ / / (+ )/ / ( )/ /+ / ( )/ + (+ )/ K = AE ( + + ) + ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) K = AE.7....7.......9.....9.....7..7.7..9.....9..7.. Για την επίλυση της άσκησης αρκεί μία αρίθμηση μελών, κόμβων και βαθμών ελευθερίας καθώς επίσης και ο καθορισμός μίας θετικής φοράς του τοπικού άξονα x κάθε μέλους (π.χ. είτε κατά είτε κατά b ). Διευκρινίζεται ότι η προηγηθείσα απόδειξη περί ισότητος των Κi λόγω διαφορετικών σημάνσεων δεν απαιτείται.
ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα α/α κόμβου ux (m) uy (m) uz (m) θx (rd) θυ (rd) θζ (rd). - -.89 - -. - -. -. -.7 -.7 - -. - -. - -. -.7-7 -.7 - -. -. -. -.7-8 -. -.89 - -. -. - -. -.7 - Είναι προφανές ότι οι κόμβοι,,, είναι πλήρως πακτωμένοι. Επί πλέον, οι κόμβοι και 7 είναι πακτωμένοι μόνο κατά τη διεύθυνση Χ. Διαστάσεις μητρώου δυσκαμψίας Κ της κατασκευής: 8 8 Διαστάσεις υπομητρώου δυσκαμψίας Κff της κατασκευής: (β) ερώτημα Καθ όσον οι διατομές των δοκών του πλαισίου είναι ορθογωνικές με κεντροβαρικούς-τοπικούς άξονες των διατομών τους y (κατακόρυφος) και z (οριζόντιος), οι άξονες αυτοί θα είναι ταυτόχρονα και κύριοι. Αρα τα τοπικά επίπεδα xy και xz είναι και κύρια επίπεδα. Γνωρίζουμε ότι το μητρώο δυσκαμψίας τρισδιάστατου στοιχείου εκφρασμένου σε κύριους άξονες δεν συσχετίζει τις εντός των κύριων επιπέδων xy και xz εντάσεις. Αρα προκειμένου και μόνο για τις εσωτερικές δράσεις Ν--M σε τοπικό κατακόρυφο επίπεδο xy μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μητρώο Κ της επόμενης σελίδας ως το υπομητρώο που προκύπτει κατόπιν διαγραφής των γραμμών και στηλών του μητρώου του τρισδιάστατου στοιχείου (δεν δίδεται) οι οποίες αναφέρονται στις εντάσεις του οριζόντιου κύριου επιπέδου xz. (γ) ερώτημα Καθ όσον δίνονται οι μετακινήσεις των κόμβων των άκρων των δοκών και είναι γνωστά τα κατανεμημένα φορτία που φέρουν (ίδιο βάρος + τριγωνικό), κάθε δοκός μπορεί πλέον να επιλυθεί μεμονωμένα στο τοπικό της κατακόρυφο επίπεδο xy με αναφορά στο οποίο θα συνταχθούν τα διαγράμματα των εσωτερικών εντατικών μεγεθών Ν--M. Το μητρώο δυσκαμψίας K σε τοπικό επίπεδο xy προκύπτει από το δοθέν για γωνία θ =, άρα s = και c =. Ετσι προκύπει: AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI K= AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI
Δοκός Δ = m, A =.. =. m, I =.. / =. - m, E = 7 KN/m, AE =. 7 =.7 KN, EI =. 7. - =.9 KN m Mείωση δυσκαμψίας Βάσει αυτών των τιμών το μητρώο δυσκαμψίας K της δοκού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων της xy προκύπτει ως:.7. 7 8.7. 8.7... 78 =.7.7 8.7. 8.7.. 78. K Στο ίδιο σύστημα, οι μετακινήσεις των άκρων της δοκού προκύπτουν από τον δοθέντα πίνακα ως ακολούθως, με τις πραγματικές φορές σημειωμένες στο διπλανό σχήμα. u () u X. u () uz. () u u Y. U = = = () u ux () u u. Z () uy. u m m rd m m rd Η δοκός καταπονείται από τις ακόλουθες φορτίσεις: Ιδιο βάρος: q = g = A γc =. =. ΚΝ/m, ιβ = q / =. / =. KN, Mιβ = q / =. / =. KNm Tριγωνικό φορτίο: q = p = ΚΝ/m, p = q / = / =. KN, Mp = q /9 = /9 =. KNm + Kατόπιν επαλληλίας των φορτίσεων, σε κάθε άκρο της αμφίπακτης δοκού η τέμνουσα και η καμπτική ροπή είναι ίσες με: q = g =. KN/m q = g + p =. + = 8. KN/m q(x) = q + (q-q)x/ =. + x KN/m qb(x) = (q-q) - (q-q)x/ =. - x KN/m =. +. = 8. KN, Μ =. +. =.8 KNm. Eτσι, το μητρώο P παίρνει τη μορφή: P [ 8..8 8..8] = T
Τέλος, τα εντατικά μεγέθη στα άκρα της δοκού προκύπτουν ως ακολούθως, με τις πραγματικές φορές σημειωμένες στο διπλανό σχήμα..7.7. 8.7. 8.7.. 8... 78..8 P= K U+ P = +. 7.7 8.7. 8.7.. 8.. 78...8 p. KN p 8. KN p 7.7 KNm p. KN p 8. KN 7. 7 p KNm P = = Διαγράμματα Ν--M N( x) = N = p N( x) =. KN, x = i k, / x k x x i 8.. k k, / 8.. / KN, / x = q x dx = p q x dx = + x dx x = + x+ x x = k, / /( / ) x k x x. k k, / b / ( x) =. x x / KN, / = x = x = x = q x dx = q x dx = x dx k,, / x k x k x x i i k k k, k, M x = M + x + x q x dx q x xdx = p + p x + x q x dx q x xdx = x x = 7.7 + 8.x + x. + x dx. + x xdx / 7.7 8.. / M x = + x x x x ( ) KNm, x / = k x k, x k, x x / /( / ).7 k k k, k, / b / b M x = M x = + x q x dx q x xdx = + x q x dx q x xdx = x =.7 + x. x dx. x xdx M/ ( x) =.7 x. x x / +. x x / KNm, / = x = [N] [] [M]
Δοκός Δ Για τη δοκό Δ η μόνη διαφοροποίηση αφορά το μητρώο των μετακινήσεων U. Αυτό διαφέρει από το αντίστοιχο της Δ μόνο ως προς τους όρους u = (7) u X = και u = (8) u X = -. -. Οταν στη συνέχεια εφαρμόζεται η σχέση P= K U+ P και πάλι προκύπτει μητρώο P της Δ πανομοιότυπο με αυτό της Δ. Επομένως, για τοπικό σύστημα xy της Δ ομόφορο με αυτό της Δ (δηλ. κόμβοι αρχής-τέλους οι 7-8 αντίστοιχα), οι αναλυτικοί υπολογισμοί και τα διαγράμματα N--M της Δ θα ταυτίζονται με αυτά της Δ. Δοκός Δ = m, λοιπά στοιχεία όμοια με αυτά της δοκού Δ, δηλ. AE =.7 KN, EI =.9 KN m Βάσει αυτών των τιμών το μητρώο δυσκαμψίας K της δοκού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων της xy προκύπτει ως: 7. 7. 79.7 97. 79.7 97. 97. 8 97. = 7. 7. 79.7 97. 79.7 97. 97. 97. 8 K Στο ίδιο σύστημα, οι μετακινήσεις των άκρων της δοκού προκύπτουν από τον δοθέντα πίνακα ως ακολούθως, με τις πραγματικές φορές σημειωμένες στο διπλανό σχήμα. u () u.89 m Y u () u. m Z () u u. rd X U = = = (7) u u.7 m Y (7) u u. m Z ( 7) u. rd u X Αντίστοιχα με τη δοκό Δ, η δοκός Δ καταπονείται από τις ακόλουθες φορτίσεις: Ιδιο βάρος: q = g = A γc =. =. ΚΝ/m, ιβ = q / =. / = 7.8 KN, Mιβ = q / =. / =. KNm Tριγωνικό φορτίο: q = p = ΚΝ/m, p = q / = / =. KN, Mp = q /9 = /9 =. KNm + Kατόπιν επαλληλίας των φορτίσεων, σε κάθε άκρο της αμφίπακτης δοκού η τέμνουσα και η καμπτική ροπή είναι ίσες με: q = g =. KN/m q = g + p =. + =. KN/m q(x) = q + (q-q)x/ =. + x KN/m qb(x) = (q-q) - (q-q)x/ =. - x KN/m = 7.8 +. =. KN, Μ =. +. = 9. KNm.
Eτσι, το μητρώο P παίρνει τη μορφή: P [. 9.. 9.] = T Τέλος, τα εντατικά μεγέθη στα άκρα της δοκού προκύπτουν ως ακολούθως, με τις πραγματικές φορές σημειωμένες στο διπλανό σχήμα. 7. 7..89 79.7 97. 79.7 97... 97. 8 97.. 9. P= K U+ P = + 7. 7..7 79.7 97. 79.7 97... 97. 97. 8. 9. P p p p p p p = =.7..9. 7..97 KN KN KNm KN KN KNm Διαγράμματα Ν--M N( x) = N = p N( x) =.7 KN, x = i k x k, x x / i.. k k, /.. KN, /. x = q x dx = p q x dx = + x dx x = + x+ x x = k x k, x x / /( / ). k k, / b. / ( x) =. x. x. KN, / =. x = x = x = q x dx = q x dx = x dx k,, / x k x k x x i i k k k, k, M x = M + x + x q x dx q x xdx = p + p x + x q x dx q x xdx = / x =.9 +.x + x. + x dx. + x xdx M ( x) =.9 +. x. x x x x / KNm, x / =. k x k, x k, x x / /( / ).9 k k k, k, / b / b M x = M x = + x q x dx q x xdx = + x q x dx q x xdx = x =.9 + x. x dx. x xdx.. M/ ( x) =.9 x. x. x. +. x. x. / KNm, / =. x =
[N] [] [M] Δοκός Δ Για τη δοκό Δ η μόνη διαφοροποίηση αφορά το μητρώο των μετακινήσεων U. Αυτό διαφέρει από το αντίστοιχο της Δ μόνο ως προς τους όρους u = () u Y =.7 - και u = (8) u Y =.89 -. Οταν στη συνέχεια εφαρμόζεται η σχέση P= K U+ P και πάλι προκύπτει μητρώο P της Δ πανομοιότυπο με αυτό της Δ. Επομένως, για τοπικό σύστημα xy της Δ ομόφορο με αυτό της Δ (δηλ. κόμβοι αρχής-τέλους οι -8 αντίστοιχα), οι αναλυτικοί υπολογισμοί και τα διαγράμματα N--M της Δ θα ταυτίζονται με αυτά της Δ.
ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Η στροφή θ του κόμβου στον οποίο συμβάλουν τα γραμμικά μέλη είναι κοινή για τα μέλη αυτά. Επί πλέον, πρόκειται για τη μοναδική φόρτιση της κατασκευής. Επομένως κάθε μέλος μπορεί να επιλυθεί ξεχωριστά και απ ευθείας στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του (βλ. παραπάνω σχήμα) για το οποίο είναι: s = θ = c = Στην παραπάνω σχέση θ είναι η γωνία του τοπικού άξονα x κάθε μέλους με τον απόλυτο Χ (βλ. γωνία θ στο σχήμα του δοθέντος μητρώου Κ, διαφορετική της επιβληθείσας φόρτισης στον κοινό κόμβο των μελών όπου και αυτή αναφέρεται ως θ). Περαιτέρω, τα τοπικά συστήματα συντεταγμένων των δοκών και έχουν επιλεγεί με φορές όπως στο σχήμα, με συνέπεια οι υπολογισμοί που θα ακολουθήσουν να είναι κοινοί για τις δοκούς αυτές. Λόγω της παραπάνω σχέσης, το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας K κάθε μέλους προκύπτει ως ακολούθως. AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI K= AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI Δοκοί & Τα μητρώα K,, P,, P, και U, διαμορφώνονται ως: A A I I I I K E I I I I = K = A A I I I I I I I I K ff, K fs [ u ] U = U = u u u u U= U= = u s= s= u U U u θ θ f f
P [ ] = = p Pf Pf R p R R p R = = P= = R p R s= s= R p R P P R R p R, P P p Pf = P f = [ ] p p p p = = = p s= s= P P Οι ανιδράσεις R, R και R της πλασματικής πάκτωσης του δεξιού άκρου του μέλους (και αντίστοιχων θεωρούμενων στο αριστερό άκρο του μέλους αλλά και στην κορυφή του μέλους ) θα ισοδυναμούν με την εσωτερική αξονική δύναμη, τέμνουσα δύναμη και καμπτική ροπή, αντίστοιχα. Υπολογισμός άγνωστης μετακίνησης u Εφαρμόζεται η σχέση f ff f fs s f u = u = u = u = και p =, i =,. P = K U + K U + P στο μέλος ή, λαμβάνοντας υπ όψη ότι u i EI EI θ R = = k u + k u u + ( θ ) = u = > = θ, Στο σχήμα σημειώνονται οι πραγματικές φορές αναφορικά με τα τοπικά συστήματα xy και x y των μελών και αντίστοιχα. Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων Καθ όσον είναι u = u = δεν υπάρχουν αξονικές παραμορφώσεις, επομένως οι αξονικές αντιδράσεις R και P= K U+ P. Από R θα είναι μηδενικές. Εναλλακτικά, αυτό προκύπτει και από την εφαρμογή της σχέσης την εφαρμογή της σχέσης αυτής ανά συνιστώσα προκύπτουν οι τιμές των λοιπών αντιδράσεων R i, λαμβάνοντας υπ όψη ότι u = u = u = u =, u = θ /, u i = θ και p =, i =,. EI θ EI (,) EI R = k u + k u + ( θ) R = R = θ < EI θ EI (,) EI R = k u + k u ( θ) R = R = θ > EI θ EI (,) EI R = k u + k u + ( θ) R = R = θ < Υποστύλωμα Αντίστοιχα με τις δοκούς, τα μητρώα K, P, P και U διαμορφώνονται ως: K A A I I I I I I I I I I I I E I I I I = A A, u u u u u u θ U = =, p p p R R R P = =, p R p p R R p p p P = = p p p
Καθ όσον είναι u = u = οι αξονικές αντιδράσεις R και R του υποστυλώματος θα είναι επίσης μηδενικές. Η εφαρμογή της σχέσης P= K U+ P δίνει τις λοιπές αντιδράσεις του υποστυλώματος ως ακολούθως. EI () EI R = k u ( θ) R = R = θ < EI () EI R = k u ( θ) R = R = θ < EI () EI R = k u ( θ) R = R = θ > EI () EI R = k u ( θ) R = R = θ < Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι πραγματικές φορές των αντιδράσεων, αναφορικά με τα τοπικά συστήματα συντεταγμένων των τριών μελών. (β) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών (,) () (,) (,) EI () EI (,) EI ( x) = R = θ >, ( x) = R = θ >, M ( x) = R x= θ x< () () () () EI EI EI M( x) = R + R x= θ + θ x M ( x) = θ ( x ), μηδενισμός για x= / EI θ EI θ EI θ EI θ EI θ EI θ (γ) ερώτημα Στη γενική περίπτωση, η ισοδύναμη-ζητούμενη εξωτερική επικόμβια φόρτιση θα αποτελείται από εντατικά μεγέθη (εδώ δυνάμεις και ροπή για επίπεδο πρόβλημα) τα οποία προκύπτουν από ισορροπία με τα αντίστοιχα εσωτερικά μεγέθη στα άκρα των μελών που συμβάλουν σε κοινό κόμβο. Η εν λόγω ισορροπία μεγεθών εκτελείται μόνο ανά ενεργό (μή πακτωμένο) βαθμό ελευθερίας. Για μή ενεργό (πακτωμένο) βαθμό ελευθερίας το EI θ
τυχόν αντίστοιχο επιβληθέν εντατικό μέγεθος (δύναμη ή ροπή) δέν εντείνει τα μέλη που συμβάλουν στον κοινό κόμβο. Αρα δεν έχει έννοια η επιβολή επικόμβιου εντατικού μεγέθους σε αντίστοιχο μή ενεργό βαθμό ελευθερίας. Βάσει των παραπάνω, από τα δεδομένα της παρούσας άσκησης είναι προφανές ότι η ζητούμενη εξωτερική επικόμβια φόρτιση θα αποτελείται μόνο από μία ροπή Μ με φορά όμοια με αυτή της επιβληθείσης στροφής κατά γωνία θ, καθ όσον ο εν λόγω στροφικός βαθμός ελευθερίας είναι ο μοναδικός ενεργός. Οι λοιποί δύο βαθμοί ελευθερίας του κοινού κόμβου (μεταθέσεις κατά Χ και Υ, αντίστοιχα) είναι μή ενεργοί (πακτωμένοι), καθ όσον η άσκηση ορίζει σαφώς ως μοναδική μετακίνηση του κόμβου τη στροφή του κατά γωνία θ. Ετσι, στο απόλυτο σύστημα ΧΥ// xy (βλ. σχήμα προηγούμενης σελίδας), η εξισορρόπηση της ζητούμενης ε- ξωτερικής ροπής Μ με τις εσωτερικές των τριών μελών στα άκρα τους στον κοινό κόμβο δίνει την τιμή της ως: (,) () EI EI Eθ M = R + R = θ + θ M = ( I+ I) <