Παράγωγοι ΚΑΤΕ Κώστας Γλυκός Κατεύθυνση κεφάλαιο Μέρος Β 7 ασκήσεις και τεχνικές και θεωρία με ερωτήσεις & αποδείξεις σε 45 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Τα πάντα είναι παράγωγοι Μέρος Β Εφαρμογές μονοτονίας 9. Να μελετήσεις τη μονοτονία της f.αν π/>a>b> να αποδείξεις ότι : χε[,π/].να μελετήσεις τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. b a b > a 9. Αν α>β να αποδείξεις ότι : ημα-ημβ<α-β 9. ν.δ.ο. στο (,π) αν α<β τότε : 9. Για ποιες τιμές του α η f() = - +α -6+7 είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. 94. Να υπολογίσεις το α, αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f() = -α+5 είναι γνησίως φθίνουσα μόνο στο διάστημα [-,]. 95. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( ln ), να μελετήσεις μονοτονία και επιπλέον αν α>β>e ν.δ.ο. α β <β α
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 a a 96. e.ν.δ.ο. αν α>β> τότε 97. Δίνεται η συνάρτηση f() =.Αν α>β>eν.δ.ο. α β <β α 98. Δίνεται συνάρτηση f :[,],() f m ln, m, 99. Δίνεται η να βρεις μονοτονία και ν.δ.ο. m m ln Α Ν Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ Ν.δ.ο. ισχύει μονή ανίσωση με έναν άγνωστο : τα φέρνεις όλα στο πρώτο μέλος ορίζεις συνάρτηση f και χρησιμοποιείς τα ακρότατά της Ν.δ.ο. ισχύει μονή ανίσωση με αγνώστους α,β : διαχωρίζεις τα α με τα β, ορίζεις συνάρτηση κοιτώντας το ένα μέλος και χρησιμοποιείς τη μονοτονία της συνάρτησης σε συνδυασμό με τη σχέση των α,β π.χ. α<β Ν.δ.ο. ισχύει διπλή ανίσωση με έναν άγνωστο : σπάσε την ανίσωση σε δύο και κάνε δύο φορές ότι και στην μονή ανίσωση με έναν άγνωστο. Ν.δ.ο. ισχύει διπλή ανίσωση με αγνώστους α,β : Θα χρειαστείς να εφαρμόσεις Θ.Μ.Τ. στη συνάρτηση που φαίνεται στο μέσο της διπλής ανίσωσης, στο διάστημα α,β.αν είσαι πιο προσεκτικός θα δεις ότι στο μέσο βρίσκεται ή μπορείς να εμφανίσεις την ποσότητα f ()() f a a ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΥ ΙΣΧΥΕΙ ΑΝΙΣΩΣΗ : τότε εφαρμόζεις Fermat, δηλαδή, τα φέρνεις όλα στο πρώτο μέλος, ορίζεις συνάρτηση f(), οπότε έχεις f()>, τη μετατρέπεις σε f()>f(k) οπότε f (k)= f () ln, να βρεις μονοτονία και ν.δ.ο. v v v v v ( ),. Να συγκρίνεις τα ζεύγη : e e, &, 9. Αν ln( ) f (), Ν.δ.ο. ( )ln( ),., 9. Ν.δ.ο. να βρεις μονοτονία και ν.δ.ο. e e, 9. Ν.δ.ο. ln 9. Ν.δ.ο., 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 94. Ν.δ.ο. ln( ), 95. Ν.δ.ο. e e, 96. Δίνεται η συνάρτηση f () 7, να βρεις το μέγιστό της και να συγκρίνεις τους αριθμούς a 5, b 4 ln 97. Δίνεται η συνάρτηση f (), να βρεις το μέγιστο και να συγκρίνεις τους αριθμούς 5,5 Εφαρμογές ακροτάτων 98. Να δείξεις ότι για κάθε χ ε(,+) ισχύει : e + ln(+) > 99. Να δείξεις ότι χ ημχ, όταν χε [,π/].επιπλέον ν.δ.ο. η συνάρτηση g()= + συνχ είναι γνησίως αύξουσα στο ίδιο διάστημα. 94. Να δείξεις ότι χημχ +συνχ> για κάθε χ που ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο 94. Να δείξεις ότι για κάθε χ : ημχ χ χ /6 94. Να δείξεις ότι : χ χ / <ln(+) <, χ> 94. Να βρεις τα α,β όταν η συνάρτηση f() = a b ( )( 4) έχει στο ακρότατο το a b 944. Αν η f()= e παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο, να βρεις το α-β 945. Να δείξεις ότι η συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι : χ + χ = e f() +f() δεν παρουσιάζει ακρότατο. 946. Να δείξεις ότι e + 947. Να δείξεις ότι για κάθε χ> : >ln 948. Αν η f()= e /, με <χ<ψ, τότε e ψ-χ > ψ/χ 949. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : f()=- +7.Η διαφορά g()-f() γίνεται ελάχιστη όταν χ=.να δείξεις ότι οι εφαπτομένες των συναρτήσεων στο = είναι παράλληλες. 95. Έστω η συνάρτηση f () a,είναι γνησίως αύξουσα για κάθε χεr.ν.δ.ο. 9 a 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 95. Ν.δ.ο. ln( ), ln 95. Δίνεται η f (), να μελετήσεις μονοτονία και να συγκρίνεις e, e 95. Δίνεται η συνάρτηση f () a, a R, a,. Να βρεις μονοτονία, σύνολο τιμών. Ν.δ.ο. η εξίσωση 4 έχει ακριβώς μία ρίζα. 954. Δίνεται η συνάρτηση ln f (),, αν <α<β ν.δ.ο. Εφαρμογές μονοτονίας και ακροτάτων 955. Ν.δ.ο. είναι γνησίως μονότονη η συνάρτηση f a a a a (), 956. Να βρεις τις τιμές του α ώστε να είναι γνησίως αύξουσα η f a () 7 957. Να βρεις τις τιμές του α ώστε να είναι γνησίως αύξουσα η 958. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη με 959. Δίνεται η συνάρτηση f () a 4 f () () f 5() f 5 e, να βρεις μονοτονία ln ln b ln b f () ln, a b e ln ln a ln a 96. Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,) με f ''(), f'() f'() f'(). Επιπλέον ν.δ.ο. f ()() f 96. Δίνεται παραγωγίσιμη για την οποία g '(),(4)() 6 g g 96. Δίνεται f () e e, να βρεις το πρόσημο των αριθμών f, f, 4
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 να συγκρίνεις τους αριθμούς f 5, f, f 5 96. Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο f (), a, f ''(),() f,() h h 964. Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, f ''(), να συγκρίνεις : f ()( )()( f ) f f 965. Δίνεται συνάρτηση f () a b, η οποία μηδενίζεται στο χ= και παρουσιάζει ακρότατο στο χ=. Να βρεις το είδος και την τιμή του ακρότατου 966. Να βρεις τα α,β για τη συνάρτηση που παρουσιάζει ακρότατο στο Α(,-) : f () 967. Να εξετάσεις αν παρουσιάζει ακρότατα ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f () a b c d, b a 8 968. Δίνεται 969. 4 ln a e.επιπλέον ν.δ.ο. : e a f (),( a ) e a a y, y, y y 97. Να βρεις την τιμή του χ ώστε ο ρυθμός μεταβολής να γίνεται ελάχιστος για την a b f () 6 8 97. Να βρεις σύνολο τιμών για τις συναρτήσεις : 4 f () ln 7,() g 4 6, e e f (),() g e e, h(),, 97. Δίνεται συνάρτηση f () ln, να βρεις τα ακρότατα και για a b a b ln a ln b, 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Προβλήματα μεγιστοποίησης και ελαχιστοποίησης 97. Μία βιομηχανία παράγει χ μονάδες ενός προιόντος το μήνα, με κόστος που δίνεται από τύπο K () ευρώ. Η τιμή πώλησης κάθε μονάδας είναι 5-χ ευρώ. Να βρεις την ποσότητα που πρέπει να παράγει η βιομηχανία για μέγιστο κέρδος 974. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς που το γινόμενό τους είναι ίσο με 6 και το άθροισμά τους ελάχιστο 975. Να βρεις το σημείο της γραφικής παράστασης της f () e που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το Α(,) 976. Να βρεις την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των συναρτήσεων: f () 5,() g 9 5 977. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από Α(,4) και σχηματίζει με θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδό 978. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα. Να βρεις τα μήκη των κάθετων πλευρών του ώστε το τρίγωνο να έχει μέγιστο εμβαδό και αντίστοιχα για μέγιστη περίμετρο 979. Με συρματόπλεγμα μήκους μέτρων θα περιφράξουμε περιοχή σχήματος κυκλικού τομέα ακτίνας ρ και γωνίας φ. Να βρεις διαστάσεις ώστε να περιφράξουμε το μέγιστο εμβαδό. 98. Κυκλικός τομέας ακτίνας ρ έχει περίμετρο μ.να βρεις την τιμή του ρ για την οποία το εμβαδό του τομέα γίνεται μέγιστο.ποια η κεντρική γωνία τότε. 98. Πρόκειται να κατασκευαστεί ένα ορθογώνιο γήπεδο με μία ημικυκλική περιοχή σε κάθε άκρο.μία πίστα δρόμου 4 μ. Θα αποτελέσει την περίμετρο του γηπέδου.βρείτε τις διαστάσεις του γηπέδου ώστε το ορθογώνιο μέρος να έχει το μέγιστο εμβαδό. 98. Δίνεται η συνάρτηση f () και το σημείο Α(9/, ).Να βρεις το σημείο Μ της γραφικής παράστασης που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση. 98. Δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκος α=6, β=8.ποια η τιμή της περιεχόμενης γωνίας ώστε να έχουμε μέγιστο εμβαδό για το τρίγωνο. 984. Ένα ανοιχτό από πάνω κυλινδρικό δοχείο έχει σταθερό εμβαδό Ε.Να βρεις τη σχέση μεταξύ ύψους h του δοχείου και της ακτίνας R της βάσης του για την οποία το δοχείο έχει τον μέγιστο όγκο. 985. Η ταχύτητα μιας αντίδρασης δίνεται από τον τύπο u=k(a-),όπου α η αρχική ποσότητα σε mole, χ η ποσότητα και κ η σταθερά ταχύτητας.για ποιες τιμές του χ η ταχύτητα γίνεται μέγιστη. 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 986. Ένα ορθογώνιο διαστάσεων χ,ψ με περίμετρο 6, περιστρέφεται γύρω από την πλευρά ψ και γράφει κύλινδρο.ποιες οι διαστάσεις ώστε ο κύλινδρος να έχει μέγιστο όγκο. 987. Αν χ,ψ τα μήκη των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα 5, να βρεις τη μέγιστη τιμή της περιμέτρου πολυγώνου που είναι χ+ψ 988. Το Σεπτέμβρη αποθηκεύω το κρασί μου σε κυλινδρικά δοχεία χωρητικότητας lt.ποιες οι διαστάσεις των δοχείων για να έχουν τη μικρότερη δυνατή επιφάνεια 989. Σύρμα μήκους m κόβεται σε δύο κομμάτια.το ένα λυγίζεται και σχηματίζεται τετράγωνο, ενώ με το άλλο σχηματίζεται ισόπλευρο τρίγωνο.πως να κοπεί το σύρμα ώστε το άθροισμα των επιφανειών να είναι ελάχιστο. 99. Πρόκειται να κατασκευάσω μία αφίσα διαφημιστική για τα γραφεία που να περιέχει 5cm τυπωμένη ύλη και περιθώρια 4cm το καθένα πάνω και κάτω και cm στις πλευρές.ποιες οι διαστάσεις της αφίσας, ώστε να χρειάζεται το λιγότερο δυνατό χαρτί. 99. Σ ένα τριγωνικό οικόπεδο ΑΒΓ η πλευρά ΒΓ= και απέχει από την κορυφή Α απόσταση 6.Πρόκειται να κτιστεί σ αυτό το μεγαλύτερο δυνατό οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου.να βρεις τις διαστάσεις του και την ακριβή του θέση.(γίνεται πιο εύκολο αν θεωρήσεις το ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ). 99. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=,ΒΓ=6 όπου το Α είναι το σπίτι μας και Γ το σχολείο μας.επίσης το ΒΓ παριστάνει ένα κανάλι νερού το οποίο το χειμώνα παγώνει και πρέπει να το διασχίσουμε για να φτάσουμε από το σπίτι στο σχολείο.περπατάμε με ταχύτητα 4 και πατινάρουμε με ταχύτητα 8.Να βρεις τον ελάχιστο χρόνο για το σχολείο. 99. Ο πληθυσμός μιας πόλης ύστερα από t έτη θα είναι f () t 8 t χιλιάδες κάτοικοι.ποιος είναι σήμερα ο πληθυσμός της πόλης και ποιος θα είναι ύστερα από χρόνια.τι θα συμβεί στον πληθυσμό ύστερα από πολλά έτη.πόσο θα μεταβληθεί ο πληθυσμός κατά το 5 ο και 6 ο έτος από σήμερα.ο πληθυσμός θα αυξάνεται ή θα μειώνεται 994. Ένας πεζοπόρος ξεκινά από τους Αγίους στις 7 το πρωί και φτάνει στο Ρέντη στις. Μια άλλη μέρα ξεκινά τη διαδρομή από Ρέντη στις 7 και φτάνει Αγίους στις.ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο σημείο του δρόμου μεταξύ των Αγίων και Ρέντη στο οποίο θα βρεθεί την ίδια ώρα και τις δύο μέρες 995. Μια εταιρεία κατασκευάζει κυλινδρικά δοχεία που είναι κλειστά και από τις δύο βάσεις.κάθε δοχείο κατασκευάζεται από φύλλο λαμαρίνας εμβαδού 5π.Να βρεις τις διαστάσεις του ώστε να έχει το μέγιστο όγκο. 996. Ο ρυθμός μεταβολής ως προς το χρόνο t του πληθυσμού μιας πόλης είναι ανάλογος του πληθυσμού.αν σήμερα είναι κάτοικοι και ύστερα από 5 χρόνια,ποιος ο πληθυσμός σε χρόνια. 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 997. Παρατηρήθηκε ότι όταν μια σφαίρα χτυπήσει ένα σώμα τότε η επιβράδυνσή της είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα της ταχύτητας.να βρεις το χρόνο που χρειάζεται για να σταματήσει η σφαίρα αν γνωρίζεις ότι τη στιγμή της εισόδου στο σώμα η ταχύτητά της είναι. 998. Ο ρυθμός με τον οποίο δύει ο ήλιος τη χρονική στιγμή που οι ακτίνες του με το έδαφος σχηματίζουν γωνία 6 ο είναι 9 ο ανά ώρα.να βρεις το ρυθμό μεταβολής της σκιάς του Λευκού Πύργου ύψους μέτρων την ίδια χρονική στιγμή. 999. Κήπος έχει σχήμα κυκλικού τομέα με μήκος και ακτίνα χ.να βρεις το χ ώστε να έχουμε μέγιστο εμβαδό. Να δεις την άσκηση με το παράθυρο που μπαίνει φως.. Σε δοσμένο ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ=R, να εγγράψεις ισοσκελές τραπέζιο με μεγάλη βάση την ΑΒ έτσι ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδό.. Η τιμή πώλησης ενός προιόντος μειώνεται συνεχώς με ρυθμό ανάλογο της τιμής του. Η τιμή σήμερα είναι ενώ ύστερα από 5 έτη είναι 9.Να βρεις την τιμή ύστερα από χρόνια.. Ένα κομμάτι πάγου γλιστρά σε κατηφορικό δρόμο μήκους μέτρων με επιτάχυνση. Να βρεις την αρχική ταχύτητα και την τελική ταχύτητα του πάγου.σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο τέλος του δρόμου. 4. Ένας γεωργός φυτεύει 6 δέντρα σε κάθε στρέμμα και κάθε δέντρο του αποδίδει κατά μέσο όρο 4 κιλά φρούτα.αποφασίζει να φυτέψει μερικά δέντρα ακόμα γνωρίζοντας ότι για κάθε επιπλέον δέντρο στο στρέμμα η απόδοση του δέντρου μειώνεται κατά μισό κιλό.πόσα δέντρα να φυτέψει για να έχει τη μέγιστη απόδοση. 5. Ένα πλοίο Π βρίσκεται 5 μίλια ανατολικά ενός πλοίου Π.Το Π πλέει δυτικά με ταχύτητα 5 ενώ το Π πλέει νότια με ταχύτητα.να υπολογίσεις την απόσταση των πλοίων σε t ώρες.να βρεις το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των πλοίων σε μισή ώρα.σε πόσο χρόνο η απόστασή τους γίνεται ελάχιστη και να εξετάσεις αν το ένα πλοίο βλέπει το άλλο αν η ορατότητα στην περιοχή είναι στα 7 μίλια. Fermat 6. Να βρεις το α ώστε α χ χ+ 7. Να βρεις τη σχέση των α,β όταν α χ + β χ 8. Να βρεις το α ώστε -αln 9. Αν χ> και a a με α>,ν.δ.ο. α=e. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση παράγωγο της συνάρτησης στο f :( f ) e FERMAT Έστω συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σημείο τότε f '() o για κάθε χεr,f()=e.να βρεις την o 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g ώστε f()=g(), f()-g()>, να εξετάσεις αν οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,g στο είναι παράλληλες.. Για μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη ισχύει f ()()() f f6 με ν.δ.ο. η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα και να εξετάσεις αν αντιστρέφεται. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει : f () e,ν.δ.ο. η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Α(,) 4. Δίνεται η συνάρτηση f :(,),() R ln f. Να βρεις την κυρτότητά της και την εφαπτομένη της στο (ε,). Ν.δ.ο. ln e, 5. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη.έστω g()f ()=f().αν η f στο έχει σημείο καμπής,ν.δ.ο. η g είναι παραγωγίσιμη και g ()= 6. Δίνονται f, g :,()() f g4,()(), f ''() g ''()()() f g 4 f g f (),() f ln,, '() f 7. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση με 8. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση με f (),() f, ln() (), f f '() f a 9. Αν, a, a a e. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο :( ),() '() f e f e f e. Αν παραγωγίσιμες f, g :()(),()() f g f, g '() '() f g. Δίνεται η συνάρτηση f () a, b b, να βρεις πεδίο ορισμού και τα α,β αν γνωρίζεις ότι η συνάρτηση έχει ακρότατα στα σημεία - και 6 Σύνολο τιμών και πλήθος ριζών Να βρεις σύνολο τιμών και πλήθος ριζών στις συναρτήσεις :. f () 4,() f 4, 9
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 4. 5. f (),() f, f () 6,() f, 6. f () e,() f ln 7. 8. f (),() f,() f, f () 4,() f 9 f () 9.. f () f e. (). f () ln. f () ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ Φτιάχνεις τον πίνακα μεταβολών προσήμου της f συμπληρώνεις τις τιμές της συνάρτησης για όλα τα χ είτε ορίζονται (υπολόγισε f( )),είτε όχι (υπολόγισε lim() f ) ακόμα και στο (υπολόγισε... lim() f ). Απομένει να διαβάσεις τον πίνακα. Το σύνολο τιμών είναι το διάστημα με τη μικρότερη τιμή, τη μεγαλύτερη τιμή.αν το πεδίο ορισμού διακόπτεται σε κάποιες τιμές του χ τότε το σύνολο τιμών είναι η ένωση των επιμέρους συνόλων τιμών. Το πλήθος ριζών υπολογίζεται πολύ εύκολα βλέποντας πόσες φορές ισχύει Bolzanoσε κάθε διάστημα στο πινακάκι.το νου σου, μην ξεχάσεις να προσθέσεις και τις έτοιμες ρίζες (τα χ τα οποία τα f()=). Το πρόσημο συνάρτησης είναι απαραίτητο να βρεις τις ρίζες (εφόσον υπάρχουν) ακόμα και με το μάτι ώστε να διαβάσεις σωστά τον πίνακα. 4. f () 5. f () e 6. 7. 8. 9. 4. f () f a a (), e f () e f () 4,,,, f () 4 Να λυθεί η εξίσωση δημιούργησε συνάρτηση φέρνοντας όλα στο πρώτο μέλος. Για τη συνάρτηση ακολούθησε τα βήματα για να βρεις πλήθος ριζών και στη συνέχεια βρίσκεις τις ρίζες με το μάτι. 4. Δίνεται η f () e, να βρεις το σύνολο τιμών της. Επιπλέον ν.δ.ο. η εξίσωση f()= είναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση f()= έχει ακριβώς δύο λύσεις 4 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :() f ln,() g, να βρεις τα κοινά τους σημεία 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :() f,() e g, να βρεις πόσα κοινά σημεία έχουν.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 44. Δίνεται η συνάρτηση f () a, a, να βρεις μονοτονία και να λύσεις την εξίσωση : 4 a ( )( 4) 45. Δίνεται η συνάρτηση να βρεις μονοτονία, σύνολο τιμών, f () e e, την f () 46. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: f ()() f e, να βρεις τη μονοτονία, την αντίστροφη συνάρτηση και να λύσεις την ανίσωση : f ()( ) f 47. Δίνεται η συνάρτηση 48. Δίνεται η συνάρτηση f () ln,να μελετήσεις τη μονοτονία της. f ()( 4)ln 6, να μελετήσεις τη μονοτονία της 49. Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη με κοίλα άνω.ν.δ.ο. f(+)<f()+f(+) 5. Δίνεται η συνάρτηση f () ln Να βρεις πεδίο ορισμού, μονοτονία, σύνολο τιμών,. f () 5. Να βρεις τα ακρότατα της f () 5. Μία συνάρτηση f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με a f ()() a f f,ν.δ.ο. υπάρχει πιθανό σημείο καμπής για τη συνάρτηση f 5. Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο f ( )( f ) (,), f,... :() f
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 f ()() a f 54. Μία συνάρτησηfείναι κοίλη στο [α,β].αν ξ είναι ρίζα της συνάρτησης ν.δ.ο. a 55. Δίνεται η συνάρτηση f () e, να βρεις ακρότατα. Ν.δ.ο. e για κάθε χεr, f ()( e ) f για κάθε. Επιπλέον ν.δ.ο. ότι η εξίσωση e έχει μοναδική λύση. 56. Ν.δ.ο. e ln e k 57. Δίνεται η συνάρτηση f () ln, k Ν.δ.ο. κ=-, να βρεις μονοτονία και ακρότατα, να λύσεις την εξίσωση f (),. με τιμές στο και 5 να λύσεις την ανίσωση : ln a n a 5 a a 58. Δίνονται οι συναρτήσεις να βρεις τα σύνολα τιμών τους, τη σχετική τους θέση. f () ln,() g ln 59. Δίνεται η συνάρτηση f ()( ), e να βρεις μονοτονία και ακρότατα., Αν k η εξίσωση ( ) e k έχει ακριβώς λύσεις. e 6. Δίνεται η a f (), b b να βρεις πεδίο ορισμού,, να βρεις τα α,β ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία - και 6 6. Δίνονται οι συναρτήσεις : () ln( ),() g, ν.δ.ο. οι f γραφικές παραστάσεις τους έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο και να βρεις.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Ν.δ.ο. η συνάρτηση f () e, είναι -. Να λύσεις την εξίσωση e e 6. Δίνεται η συνάρτηση () ln, f a a, να βρεις το α ώστε να είναι γνησίως φθίνουσα στο 64. Δίνεται η συνάρτηση f () a b, a, a, b. Ν.δ.ο. είναι γνησίως φθίνουσα, να βρεις σύνολο τιμών και ν.δ.ο. η εξίσωση a b a έχει ακριβώς μία ρίζα 65. Δίνεται f () e ln() Να βρεις μονοτονία, ακρότατα, σύνολο τιμών, πλήθος ριζών για τη συνάρτηση. Να λυθεί η εξίσωση : 66. Να λύσεις την εξίσωση : e 5 ln e e 4 e 4 67. Ν.δ.ο. για κάθε α η εξίσωση 5 8 a a έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (,) 68. Ν.δ.ο. η εξίσωση e έχει ακριβώς μία λύση στο, 69. Ν.δ.ο. η εξίσωση 4 4 6 δεν έχει πραγματικές ρίζες Ανισώσεις 7. Ν.δ.ο. ln( ), 7. Ν.δ.ο. e ( ), 7. Ν.δ.ο. e, και επιπλέον έχει μοναδική λύση η εξίσωση : 7. Ν.δ.ο., o, 4 e 4 7 74. Ν.δ.ο.,
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 75. Ν.δ.ο. e, 76. Ν.δ.ο. ln, 77. Ν.δ.ο. : ln( ) 78. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει f () ln( ), ν.δ.ο. η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων 79. Δίνεται παραγωγίσιμη g :() g () g 8. Αν ln a, a 8. Ν.δ.ο. η γραφική παράστασή της f ()( ) ln( ) ln, δε δέχεται σε κανένα σημείο εφαπτομένη που να την διαπερνά Κυρτότητα και σημεία καμπής Να βρεις κυρτότητα και σημεία καμπής : 8. 84. 85. () 86. 87. 88. f () ln f () f e f 5 4 () 4 5 f () f () e 89. f () ln Κυρτότητα και σημεία καμπής Υπολογίζεις την f (χ)= και φτιάχνεις το πινακάκι της. Η κυρτότητα διαβάζεται από το πρόσημο,δηλαδή, για τα χ όπου το πρόσημο είναι θετικό έχω κυρτή και για τα χ όπου είναι αρνητικό έχω κοίλη. Στα σημεία όπου αλλάζει το πρόσημο έχω τα σημεία καμπής. Κυρτότητα και εφαπτομένη(y=α+β) αν η συνάρτηση είναι κυρτή τότε f () y, ενώ αν η συνάρτηση είναι κοίλη τότε f () y 9. f () 9. Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f g()() f a b b 9. Έστω η συνάρτηση f () e, b, να βρεις το β ώστε να δέχεται ολικό μέγιστο στο, να βρεις κυρτότητα και σημεία καμπής. 9. Δίνεται η συνάρτηση f () aln b, να βρεις τα α,β ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει καμπή στο χ= και η εφαπτομένη της στο χ=e είναι // στην y 4
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 94. Δίνεται η συνάρτηση f () a b, όπου διέρχεται από το σημείο Α(,), έχει ελάχιστο στο χ= και σημείο καμπής στο.να βρεις τα α,β,γ 95. Δίνεται η συνάρτηση f () ln k, να βρεις τα ακρότατα και τα σημεία καμπής καθώς και το Γ.Τ. των εικόνων των σ.κ. 96. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη, f () e f (), με τιμές στο f () e, f '(), να βρεις μονοτονία και κυρτότητα. f () 97. Δίνεται η συνάρτηση f :[ a, ] R,()() f a 7, f δύο φορές παραγωγίσιμη, κοίλη.ν.δ.ο. f () 7 a 98. Δίνεται η συνάρτηση f κυρτή στο πεδίο ορισμού της ν.δ.ο. f ()() a f f 99. Δίνεται η συνάρτηση f : R R,() f ae,α>. Να βρεις τα διαστήματα κυρτότητας. Νδ.ο. η συνάρτηση έχει ένα σημείο καμπής το οποίο για κάθε α> κινείται σε μία παραβολή,. Να βρεις σημεία καμπής της f () 4,. Να βρεις το α ώστε να είναι κοίλη η συνάρτηση f ()( ) a 4 6 4 5a.. Να βρεις τα α,β για να έχει σημείο καμπής το Α(,) η f a b 4 (). Δίνεται η συνάρτηση a f () 6 e, να βρεις το γεωμετρικό τόπο του σημείου καμπής 4. Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, ν.δ.ο. μεταξύ δύο διαδοχικών ακρότατων υπάρχει τουλάχιστο ένα πιθανό σημείο καμπής 5. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή ν.δ.ο. f '()( )() f '( f ) f Συνάρτηση πολλαπλού τύπου Μονοτονία και ακρότατα Εξετάζω τη συνέχεια της συνάρτησης στα σημεία που αλλάζουν οι κλάδοι.προσοχή δεν είναι απαραίτητο να εξετάσεις την παραγωγισιμότητα της f σ αυτά τα σημεία.βρίσκουμε την παράγωγο κάθε κλάδου και λύνουμε τις εξισώσεις =.Κατασκευάζεις πίνακα μεταβολών προσήμου ο οποίος συνδυάζει τους πίνακες προσήμων όλων των κλάδων. Από τον ενιαίο πίνακα βλέπω ξεκάθαρα τη μονοτονία.για τα ακρότατα θα πρέπει να προσέξω ότι ακρότατο θα έχω όπου η συνάρτηση είναι συνεχής και αλλάζει η μονοτονία. Αξίζει να αναφερθεί ότι σε περιπτώσεις ασυνέχειας ακόμη και αν δεν αλλάζει η μονοτονία μπορώ να έχω ακρότατο, το οποίο το διαπιστώνεις με υπολογισμό των πλευρικών ορίων. Κυρτότητα και σημεία καμπής Εξετάζω τη συνέχεια της συνάρτησης στα σημεία που αλλάζουν οι κλάδοι. Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο για κάθε κλάδο και φτιάχνουμε το πινακάκι.ενώνω τα επιμέρους πινακάκια οπότε από το πρόσημο διαβάζω την κυρτότητα. Για τα σημεία καμπής δεν αρκεί μόνο η συνέχεια και η αλλαγή προσήμου της f, θα χρειαστώ να εξετάσω αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στα σημεία αυτά 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Ερωτήσεις θεωρίας 9. Κυρτότητα : f συνεχής στο Δ και παραγωγίσιμη στο Δ f στρέφει κοίλα άνω (κυρτή), αν f ' είναι γν. αύξουσα (δηλ. f ''() ) f στρέφει κοίλα κάτω (κοίλη), αν f ' είναι γν. φθίνουσα (δηλ f ''() ) 4. Σημεία καμπής :f παραγωγίσιμη στο (α,β) f κυρτή (α,χο) και κοίλη στο (χο,β), έχει εφαπτομένη στο χ=χο ή f ''() 4. Κατακόρυφη ασύμπτωτη χ=χο : ένα τουλάχιστο από lim(), f lim() o o 4. Οριζόντια ασύμπτωτη y=λ : αν ισχύει lim() f lim() ή f f είναι ή 4. Πλάγια ασύμπτωτη y=λχ+β : αν ισχύει lim() f lim() ή f o o 44. Κανόνας De l Hospital : Αν lim() f, lim() g και υπάρχει το όριο lim f () f'() lim lim. Ομοίως για την περίπτωσης που lim() f, lim() o g() o g'() o o 45. Μελέτη συνάρτησης : Πεδίο ορισμού, συνέχεια,για f ', f '' πίνακα προσήμων με τα συμπεράσματα για o g f '() g '() μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα,σημεία καμπής, οριακές τιμές, ασύμπτωτες, πίνακα μεταβολών f και τέλος γραφική παράσταση. Αποδείξεις θεωρίας Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f'() = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ,τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (Θέμα 9) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει f() = f( ).Πράγματι Αν =, τότε προφανώς f( ) = f( ) Αν <, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει τέτοιο ξ ε (, ), ώστε f '() f ()() f Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, f'(ξ) =,οπότε, είναι f( ) = f( ). Αν <, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f ( ) = f( ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f( ) = f( ). Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f'() = g'() για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f()=g()+c Η συνάρτηση f - g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει f g ' f '() g'() Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f - g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει f()-g() = c, οπότε f() = g()+c. τότε 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f'() > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f'() < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. (Θέμα 6) Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f'() >. Έστω με. Θα δείξουμε ότι f ()() f. Πράγματι, στο διάστημα, η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f ()() f f '() οπότε έχουμε f ()() f '()() f.επειδή f'(ξ)> και - >, έχουμε f ( ) - f ( ) >, οπότε f() < f( ). Στην περίπτωση που είναι f'() < εργαζόμαστε αναλόγως. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( ) (Θέμα 4 και ) y f( ) O δ +δ Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ ( τέτοιο, ώστε δ, δ) Δ και f ( ) f ( ), για κάθε ( δ, δ). () Επειδή, επιπλέον, η f είναιπαραγωγίσιμη στο, ισχύει f ( ) lim f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ). Επομένως, αν δ, ), f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε f ( ) lim ( f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (, δ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε f ( ) lim. Έτσι, από τις () και () έχουμε f ( ). Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.. Αν 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. i) Αν f ( ) στο α, ) και f ( ) στο (, β), τότε το f ) είναι τοπικό μέγιστο της f. (Σχ. 5α) ( ii) Αν f ( ) στο α, ) και f ( ) στο (, β), τότε το f ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. (Σχ. 5β) ( ( ( iii) Aν η f () διατηρεί πρόσημο στο α, ) (, ), τότε το f ) γνησίως μονότονη στο ( α, β). (Σχ. 5γ) ( β ( δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι i) Eπειδή f ( ) για κάθε ( α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, ]. Έτσι έχουμε f ) f ( ), για κάθε α, ]. () ( ( Επειδή f ( ) για κάθε (, β) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β). Έτσι έχουμε: f ) f ( ), για κάθε [, β). () ( ( Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f ) f ( ), για κάθε ( α, β),που σημαίνει ότι το ( f ( ) είναι μέγιστο της f στο ( α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ii) Εργαζόμαστε αναλόγως. iii) Έστω ότι f ( ), για κάθε α, ) (, ). ( β Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ( α, ] και [, β). Επομένως, για ισχύει f ( ) f ( ) f ( ). Άρα το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β). Πράγματι, έστω, ( α, β) με. Αν ( α, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, ], θα ισχύει f ) f ( )., ( ( Αν [, ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, β), θα ισχύει f ) f ( )., β Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε f ( ) f ( ) f ( ). ( Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ) f ( ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β). ( Ομοίως, αν f ( ) για κάθε α, ) (, ). ( β 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Ασύμπτωτες 6. Να βρεις τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : f () g() h() ln 5 f () ln g() e h() f () g () 5 4 h() 4 7. Να βρεις τις ασύμπτωτες των συναρτήσεων : f () f () e 6 9 Α Σ Υ Μ ΠΤ Ω Τ Ε Σ Οριζόντια : αν lim() f a τότε έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη την y=α Κατακόρυφη : αν lim() o o f τότε έχουμ κατακόρυφη την Πλάγια : έχει τη μορφή y=λ+β όπου θα πρέπει lim(), f lim() f και λ,β ε R. Παρατηρήσεις Στην οριζόντια και πλάγια μπορώ να έχω διαφορετικές ασύμπτωτες στο,. Αν μία ευθεία είναι ασύμπτωτη τότε η f μπορεί να την τέμνει. Μία συνάρτηση συνεχής σε κλειστό διάστημα δεν έχει ασύμπτωτες. Αν έχω οριζόντια ασύμπτωτη τότε δεν έχω πλάγια Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις με βαθμό έχουν ασύμπτωτη τον εαυτό τους ενώ αυτές με βαθμό δεν έχουν ασύμπτωτη. Οι ρητές συναρτήσεις f () g() : αν έχουν κατακόρυφη θα είναι σε χ που δεν ορίζεται ο παρονομαστής, αν ο βαθμός αριθμητή βαθμό παρονομαστή έχουν οριζόντια ασύμπτωτη και όχι πλάγια, αν ο βαθμός αριθμητή = βαθμό παρανομαστή + τότε δεν έχουν οριζόντια αλλά έχουν πλάγια, αν ο βαθμός αριθμητή βαθμό παρανομαστή + τότε δεν έχουν ούτε οριζόντια, ούτε πλάγια. f () e 8. Να βρεις το α ώστε να έχει μία μόνο κατακόρυφη ασύμπτωτη η f () a Να βρεις τις ασύμπτωτες των: 9. f () 5. f () 9
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88... f () f () f () 4. 5. f () f () 6. f () 7. f () ln 8. f () e 9. Αν η συνάρτηση f έχει ασύμπτωτη στο : y, να υπολογίσεις : f () lim, lim() f af () 6 και αν το lim a ; f () 5 4. Αν για μία συνάρτηση ισχύει 4() f,να βρεις τις πλάγιες ασύμπτωτές της. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : f()-g()=-4.αν η ευθεία y=-7 είναι ασύμπτωτη της f στο g, να βρεις : ()() lim, lim g, την πλάγια ασύμπτωτη της gστο f (). Δίνεται η συνάρτηση στο : y a b f (),, να βρεις α,β ώστε να έχει πλάγια ασύμπτωτη. Δίνεται η συνάρτηση g() f,, f παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο, f()=, όπου ασύμπτωτη της g : y 4, να βρεις την εφαπτομένη της f στο. 4. Έστω ευθεία y 5 ασύμπτωτη της f στο f ()() 4 mf lim ;, lim() f ;, lim ; f () f () 5. Αν ασύμπτωτη της f στο : y lim, lim() f ;
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις : f, g :,()() f g 4, 7y ασύμπτωτη της f g()() g στο lim, lim ; f () και επιπλέον ν.δ.ο. ασύμπτωτη της g y Μελέτη συναρτήσεων 7. Να κάνεις τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων : f () 4 f () f () f () ln Μελέτη συνάρτησης Εξετάζω τα παρακάτω βήματα : Πεδίο ορισμού Περιοδική Συμμετρίες(άρτια ή περιττή) Συνέχεια Παραγωγισιμότητα Σημεία τομής με άξονες Μονοτονία Ακρότατα Κυρτότητα Σημεία καμπής Πίνακας μεταβολών f ', f '', f Γραφική παράσταση Ν.δ.ο. είναι σταθερή : αρκεί ν.δ.ο.,() f e f () e f () ln f () ln f () e f () e f () ln 8. 9..... Nα γίνει η μελέτη των συναρτήσεων 5 (),(),() 4 f f f f () 5 f () f () f () f () 4 f ' Μελετά για την f Μονοτονία Ακρότατα Σύνολο τιμών Πλήθος ριζών f '' Μελετά για την f Κυρτότητα Σημεία καμπής Μελετά για την f Μονοτονία Ακρότατα Σύνολο τιμών Πλήθος ριζών
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 4. f () 5. f () e 6. f () ln( ) f () 7. 8. f () Διάφορα θέματα Εκφράσεις : Η συνάρτηση έχει τ.ε. στο χ= Η συνάρτηση έχει τ.μ. στο χ=- Η συνάρτηση έχει ακρότατο στο χ= Η συνάρτηση έχει τ.μ. στο Α(,) Η συνάρτηση έχει τ.ε στο με τιμή 5 Η συνάρτηση έχει σ.κ. στο χ= Η συνάρτηση έχει σ.κ. στο Α(,5) Το f (χ)> Το f (χ)< Άρα : f '(),()() f f f '( ),()( f ) f f '() f '(),() f,() f f '(),() f 5,() f 5 f ''() f ''(),() f 5 f ', f f '', f ' 9. Δίνεται η f () a b, η οποία διέρχεται από το Α(,), έχει ελάχιστο στο χ= και σημείο καμπής για χ=. Να βρεις τα α,β,γ και τη μέγιστη τιμή στο διάστημα [,]. 4. Έστω η ευθεία y=+5 είναι ασύμπτωτη της f, f () να υπολογίσεις : lim,lim() f και mf () 4 να βρεις τον αριθμό m : lim f () 4. Δίνεται η συνάρτηση f () ln k, k, να βρεις ακρότατα και σημεία καμπής καθώς και το γ.τ.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 f () 4. Έστω συνάρτηση να βρεις τη μονοτονία της και τα κοίλα της. f :,,,() e, f f παραγωγίσιμη, 4. Δίνεται η συνάρτηση f () aln b, να βρεις α,β ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει σημείο καμπής στο χ= και η εφαπτομένη στο σημείο =e να είναι παράλληλη στη διχοτόμο ου, ου τεταρτημορίου. 44. Αν g() f,() f, f παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο και η ευθεία y=+ είναι ασύμπτωτη της g στο, να βρεις την εφαπτομένη της f στο χ=. b 45. Αν f () e, b με ολικό μέγιστο στο σημείο χ=, να βρεις το β. Επιπλέον να βρεις κυρτότητα,σ.κ. 46. Δίνεται η συνάρτηση f () a ln( ), a, να βρεις το α ώστε να είναι παντού γνησίως φθίνουσα. g()(), e: f, f,() '() f f 47. Δίνεται η συνάρτηση,f()=, ν.δ.ο. η g είναι σταθερή και να βρεις τη μονοτονία της f. 48. Ν.δ.ο. οι παρακάτω συναρτήσεις οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό κοινό σημείο και να βρεθεί. f () ln( )( ),() g 49. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση -, με πρώτη παράγωγο συνεχή και -, με f ()=, f f έχει ακρότατο στο, να βρεις την τιμή f (). 5. Δίνεται η συνάρτηση f () ln, να βρεις το μέγιστό της, να συγκρίνεις τους αριθμούς 5,5 5. Δίνεται συνάρτηση φορές παραγωγίσιμη ώστε f () e f '() e.αν παρουσιάζει ακρότατο στο o, να το βρεις. 5. Δίνεται η συνάρτηση τα α,β. a b f (),, y η πλάγια ασύμπτωτη στο, να βρεις 5. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη f :,()() f f,
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 να βρεις μονοτονία, το πρόσημό της, ν.δ.ο. έχει μοναδικό σημείο καμπής, να βρεις την αντίστροφη συνάρτηση. 54. Δίνεται η συνάρτηση f () a b.να βρεις α,β ώστε η εφαπτομένη της στο Μ(,5) να έχει κλίση 55. Να βρεις α,β,γ ώστε να υπάρχει κοινή εφαπτομένη στο Α(,) για τις f () a,() b g f () 56. Αν f συνεχής στο α με lim y εφάπτεται στην f στο χ=α. a a 57. Αν f άρτια και παραγωγίσιμη με f (), f '() 5 f '( ) ;, f '() ; 58. Δίνεται συνάρτηση f () ln,,, να βρεις μονοτονία και ν.δ.ο. ln,,, 59. Δίνεται η συνάρτηση g()(), e, f f παραγωγίσιμη με f () f'(), ν.δ.ο. η συνάρτηση gείναι σταθερή και να υπολογισθεί αν f (), ν.δ.ο. g είναι γνησίως αύξουσα. 6. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη, -, με συνεχή, - πρώτη παράγωγο με f '().Αν η συνάρτηση f f έχει ακρότατο στο χ=, να βρεις την τιμή f () 6. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :,()() f f τότε ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, να βρεις το πρόσημό της, ν.δ.ο. έχει μοναδικό σημείο καμπής, να βρεις την αντίστροφή της Ασκήσεις επανάληψης 6. Να εξετάσεις αν είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση : 4 f (),,
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Ομοίως για τη συνάρτηση,() g 4 4 64. Αν 65. Αν () f () ;, '() f ; f 4 f (), f ή f'() ; 66. Αν συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο, f g f g f g, : '() '() 67. Αν f (),, g(),() f '() f '() g 68. Αν συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο, f, g :()() f g,()() f g'() '() f g 69. Αν συνάρτησηfείναι παραγωγίσιμη στο και η g είναι παραγωγίσιμη στο, f, g() f'() f, 7. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, να βρεις α,β όταν f () a b,, f () 7. Αν συνάρτηση συνεχής στο με lim,() g () f '() g; 7. Αν f () () f f (), f '() lim ; a f ()() f a 7. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο α, υπολόγισε lim ; a f () 74. Αν συνάρτηση συνεχής στο με lim f '() ; f a h f a h 75. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο α, υπολόγισε lim ; h h h 76. Αν f (8)(9) f f (), f '() lim ; f ()() f 77. Αν f (),() g, f'() 4, f'() 8, g'() f g ' ; () g f ' ; () 78. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 79. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, f e e f '() e ; 4, f f '(), f '() ; 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 8. Αν f () 4 f'() ; 8. Αν συνάρτηση άρτια, να βρεις το είδος της πρώτης παραγώγου 8. Αν συνάρτηση περιττή, να βρεις το είδος της πρώτης παραγώγου 8. Δίνεται συνάρτηση f () e, ν.δ.ο. αντιστρέφεται, να βρεις f 84. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη, f ()()() y f'() ; f y f 85. Δίνεται 86. Δίνεται f () f (),,, να βρεις την εφαπτομένη στο χ=, ' ; εφαπτομένη στο σημείο Μ με τετμημένη χ=α, η οποία τέμνει τους άξονες στα Α,Β, ν.δ.ο. το Μ είναι μέσο του ΑΒ και ότι το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό 87. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,()() f a f a, ν.δ.ο. η εφαπτομένη στο χ=α είναι κάθετη στη διχοτόμο του ου τεταρτημορίου 88. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη με f (ln) ln, να βρεις το εμβαδό που δημιουργεί η εφαπτομένη στο χ= με τους άξονες 89. Έστω συνάρτηση / / y y / / ' ' 4 f 9. Αν f () ln (), να βρεις το την εφαπτομένη που είναι, να βρεις την οριζόντια εφαπτομένη της f, f ' 9. Αν f () 4,(, A ), να βρεις την εφαπτομένη στο Α 9. Αν τρίγωνο με εμβαδό Ε 6 f (), E, να βρεις την εφαπτομένη της συνάρτησης που σχηματίζει με άξονες 9 9. Ν.δ.ο. από κάθε σημείο M ( a, ) f () 8 94. Έστω στο Μ(-,) μπορείς να φέρεις εφαπτόμενες κάθετες προς τη συνάρτηση f () a, b y, a b ; ώστε η ευθεία να εφάπτεται της συνάρτησης 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 95. Αν ο άξονας είναι εφαπτομένη της a f () a ; 96. Να βρεις α,β ώστε να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη οι συναρτήσεις f () a,() g b 97. Η θέση κινητού πάνω στον οριζόντιο άξονα δίνεται από τη συνάρτηση () t t 6 t 5, t,. Ποια η ταχύτητα του μετά από 4 sec. Ποια χρονικά διαστήματα κινείται προς τα δεξιά και ποια προς τα αριστερά ; Πόσο το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το κινητό; Ποια η επιτάχυνση του κινητού ; 98. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ η μία πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό ενώ πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό, να βρεις το ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου και το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού όταν ΑΒ= και ΒΓ=6 99. Σε οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ=ΑΓ= και ΒΓ να αυξάνει με ρυθμό, να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού τη χρονική στιγμή που αυτό είναι ισόπλευρο.. Σκάλα μήκους 5μ είναι στερεωμένη σε τοίχο πλάγια και αρχίζει να ολισθαίνει το κάτω μέρος με ταχύτητα τη χρονική στιγμή που απέχει μ. Να βρεις το ύψος στο οποίο είναι στερεωμένη η σκάλα, το ρυθμό μεταβολής του πάνω άκρου, το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού που δημιουργεί η σκάλα με τοίχο και δάπεδο, το ρυθμό μεταβολής της γωνίας μεταξύ σκάλας και τοίχου. Αντεστραμμένο κωνικό δοχείο ύψους 8μ και ακτίνα βάσης 4 είναι γεμάτο με νερό. Από την κορυφή του κώνου αρχίζει να φεύγει νερό με ρυθμό. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής της στάθμης του νερού όταν το ύψος είναι 6.. Δίνεται συνάρτηση f () ln,( M,ln) a a σημείο της, να βρεις την εφαπτομένη στο Μ. Για ποια τιμή του α η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων ; Αν το Μ απομακρύνεται από κατακόρυφο άξονα με ταχύτητα να βρεις το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ όταν αυτό διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. Τυχαίο σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f (). Τη χρονική στιγμή που η κλίση στο Μ είναι 5 και η τετμημένη αυξάνεται με ρυθμό, να βρεις την τετμημένη του Μ και το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ. 4. Τυχαίο σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f (). Η τετμημένη κινείται με σταθερό ρυθμό πάνω στον ημιάξονα Οχ, να βρεις μία σχέση που να συνδέει τη γωνία θ που σχηματίζει η εφαπτομένη με χχ και την τετμημένη χ.να βρεις ρυθμό μεταβολής του θ τη χρονική στιγμή που η εφαπτομένη είναι // y. 5. Να εξετάσεις αν ισχύει Rolle στην f (), 4, 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f εφαπτομένη // χχ () f 7. Αν συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο υπάρχουν δύο τουλάχιστον, a, b: f '' f '', ν.δ.ο. υπάρχει σημείο όπου η a, b,()(), f a '() f b '() f a f b, ν.δ.ο. 4 8. Ν.δ.ο. η εξίσωση 5 8 a a έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (,) () f 9. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη, ν.δ.ο. υπάρχει : f '(). Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη με f ()() a f b, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστον ένα a, b : f '() ()& f '() f () f. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο f (), : ln f '(). Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,, f '(),() f, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα f (),,() f,() f ln,() lnf e, : '() f e,, : f '(). Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 4. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,,()(), :() '() a b af b bf a c a b f c cf c f f f a f a a. Ν.δ.ο. 5. Συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,,()(), '(), : '() c, : f '() c c 6. Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες στο (,) : 4 8 6a 4 7. Ν.δ.ο. η εξίσωση δε μπορεί να έχει παραπάνω από ρίζες : a b, a 8. Να εξετάσεις αν εφαρμόζεται ΘΜΤ για τη συνάρτηση f (),, 9. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο a, b,() f a,() b f b a, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξ που ανήκει στο (α,β) στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην y. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,,() f,() f,,, : '() f '() f '() 6 f 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 a, b,()() f a f b,, : a'() b f'() f. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο,, ''(),(),() '() '()(), : '()() ''() a b f f f a f b f a f b c a b f c f c f c. Δίνεται f () t, να εφαρμόσεις το ΘΜΤ στα διαστήματα [,4] & [5,6]. Επιπλέον να λύσεις την εξίσωση 4 5 6 4. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο a b a, b,()() f a f b f, c: ''() a b f c 5. Αν συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με (),(), :() f a b f b a c a b f c c, επιπλέον ν.δ.ο. υπάρχουν m, n a, b : f '() m '() f n f f a f a, επιπλέον 6. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,,(),(), :() ν.δ.ο. υπάρχουν b c,, : f '() b f'() c 7. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη: f '(),() f 5 () 7f 8. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,, f '( )() f '()()( f ), f f f 9. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο a, b,() f a,() f b'() ( f b,): ''() c a b f c. Να βρεις το α ώστε να είναι πάντα γνησίως αύξουσα η συνάρτηση f a () ( ) 5. Να βρεις σύνολο τιμών των συναρτήσεων f () ln g(). Να βρεις πλήθος ριζών της f 4 () 4 4. Να βρεις σύνολο τιμών της f (), a a f () 4 9. Να βρεις το πλήθος ριζών της εξίσωσης
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 4. Να βρεις e σύνολο τιμών της f () πλήθος ριζών της εξίσωσης ae, a 5. Να βρεις το πλήθος ριζών της εξίσωσης a, a 6. Να λύσεις την εξίσωση : e 7. Να λύσεις την εξίσωση : e ln( ) 8. Να λύσεις την εξίσωση : e e e 9. Δίνεται η συνάρτηση a f (), a a e f. Επιπλέον ν.δ.ο. e a 4. Δίνεται η συνάρτηση 4. Ν.δ.ο., a 4 a ln( ) ln f (), ln( ) ln( ) ln 4. Ν.δ.ο. e 6 4. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με f (),()() f f e, να βρεις μονοτονία και πρόσημό της. 44. Αν συνάρτηση είναι φορές παραγωγίσιμη στο a, b, a, f ''(),() g '()() f f g. Αν επιπλέον f () f () a f'() a,() h h 45. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με f () f () c, : f '() c. Επιπλέον ν.δ.ο. αν η πρώτη παράγωγός της είναι γνησίως αύξουσα το ίδιο ισχύει και για τη f () συνάρτηση g(),
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 46. Αν συνάρτηση με ()(), ''(),,() f a f b f a b f 47. Αν f () ln, να βρεις Μονοτονία Πρόσημο να λύσεις την εξίσωση : ln 48. Δίνεται η συνάρτηση f (),,, να βρεις τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και τα κρίσιμα σημεία της. 49. Δίνεται η, να βρεις τις τιμές του α για να έχει κρίσιμα σημεία f ()() e 5 a e a 5. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με κρίσιμο σημείο f () () f e, ν.δ.ο. έχει ακριβώς ένα 5. Αν 5. Αν f () ( a ) 6 a, να βρεις το α ώστε να παρουσιάζει ακρότατο στο χ=- bln f () a, να βρεις τα α,β ώστε στο χ= να έχει ακρότατο με τιμή - 5. Να βρεις το α> ώστε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης a a f () e,, να γίνεται ελάχιστη 54. Να βρεις την ελάχιστη τιμή του 4 a : 4 a, 55. Να βρεις πλήθος ριζών της εξίσωσης, a a 56. Αν για κάθε : a a a ; 57. Αν a b a b ; 58. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με f ()() f (), f, ν.δ.ο. f ()() f και επιπλέον ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα στον οριζόντιο άξονα, : η εφαπτομένη της f στο ξ να είναι παράλληλη 59. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με f () () f () f 5, ν.δ.ο. η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατα 6. Να βρεις το α ώστε να μην παρουσιάζει ακρότατα η συνάρτηση f () a 4 a
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Ν.δ.ο. ln, 6. Ν.δ.ο. e, 6. Αν f () ln, να βρεις μονοτονία, ακρότατα και ν.δ.ο. ln e 64. Αν f () v v e e, να βρεις μονοτονία, ακρότατα και ν.δ.ο. e, v a 65. Αν a, a, a ; v v 66. Αν f () ln, να βρεις το σημείο της συνάρτησης με την ελάχιστη κλίση 67. Αν f () να βρεις το πλησιέστερο σημείο της συνάρτησης στο Α(,) 68. Οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου με μία πλευρά φτιαγμένη από πέτρινο τοίχο, θα περιφραχτεί με σύρμα μήκους 6 μέτρων. Να βρεις τις διαστάσεις του για να έχει μέγιστο εμβαδό 69. Σε ημικύκλιο ακτίνας, να εγγράψεις ορθογώνιο το οποίο να έχει το μέγιστο εμβαδό 7. Κοινωνία μικροβίων έχει πληθυσμό P() t e e 7t t5 όπου t ο χρόνος σε ώρες, ν.δ.ο. ο πληθυσμός συνεχώς ελαττώνεται, να βρεις σε πόσες ώρες θα έχει αφανιστεί, να βρεις ποια χρονική στιγμή ο ρυθμός μείωσης του πληθυσμού γίνεται μέγιστος 7. Να εξετάσεις κυρτότητα και σημεία καμπής των συναρτήσεων : e f () e,() g ln,() h,(),() k m ln e 7. Ν.δ.ο. οι εφαπτόμενες στα σημεία καμπής είναι κάθετες για την f 4 () 7. Αν συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες f, g : f, g, f f g 74. Αν η συνάρτηση έχει ακρότατο στο χ=- και σημείο καμπής στο (,-) να βρεις τα α,β,γ όταν f () a b c 75. Αν 4 a f (), f a ; 6 76. Να βρεις το γεωμετρικό τόπο του σημείου καμπής της () f a e 77. Αν η συνάρτηση έχει σημείο καμπής, 4 f () a b a 8 b
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 78. Αν f () ln e ln e, να βρεις κυρτότητα, εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη και ν.δ.ο. 79. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, με ακρότατο στο χ=4, f ' f '(6) f '() 8. Να βρεις τις ασύμπτωτες των συναρτήσεων : f () 5 6 f () 4 5 8. Να βρεις πλάγια ασύμπτωτη για τη συνάρτηση : () f 8. Να βρεις πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης f () 5e e 8. Αν πλάγια ασύμπτωτη είναι η ευθεία 84. Αν () f 8 y 4, lim ; f ()() f 4 a b 5 f (),, y c είναι ασύμπτωτες, να βρεις τη συνάρτηση a 85. Αν η συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη f () a ; 86. Δίνονται συναρτήσεις : ασύμπτωτη της g εφάπτεται στην f 87. Να βρεις τις ασύμπτωτες των συναρτήσεων : f () e 88. Αν g() ln f () ln ln, να βρεις 4 f (),() a g, να βρεις το α όταν η πλάγια μονοτονία ακρότατα σύνολο τιμών πλήθος ριζών
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 ασύμπτωτες και το lim f () 89. Να γίνει μελέτη των συναρτήσεων : f () () g e h(), να βρεις 9. Αν f (),, μονοτονία ακρότατα κοίλα σημεία καμπής ασύμπτωτες γραφική παράσταση και το πλήθος ριζών της εξίσωσης : a, a 4