ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΘΕΜΑ Α. Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αοδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 Αάντηση Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Θεωρήστε τον αρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής στο, είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον αραάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας στο ερώτημα α.(μονάδες ) Μονάδες Αάντηση α. Ψ β. Θα αοδείξουμε τον αραάνω ισχυρισμό αραθέτοντας ένα αντιαράδειγμα. Έστω η συνάρτηση, f ()., Ισχύει ότι f() lim f() lim Άρα η f είναι συνεχής στο. Έειτα έχουμε: f() f() lim lim και
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 f() f() lim lim Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Α. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα α,β; Μονάδες Αάντηση Σχολικό βιβλίο σελίδα 7. Α. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: RR και g: RR, αν lim f() και lim g(), τότε limf() g(). β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με εδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f (A) B. γ) Για κάθε συνάρτηση f: RR ου είναι αραγωγίσιμη και δεν αρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f () για κάθε R. δ) Αν < α <, τότε lim. ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσου μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Αάντηση (α) Λάθος (β) Σωστό (γ) Λάθος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 (δ) Σωστό (ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f() ln, > και g(),. B. Να ροσδιορίσετε την f g. Μονάδες 5 Αάντηση Το εδίο ορισμού της f g είναι: D f g Dg / g() Df Έχουμε: ( ) (,) Συνεώς (,) D f g. Είναι: ( f g)() f(g()) ln, (,). B. Αν () (f g)() ln h, (,), να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 Αάντηση Για (,) έχουμε: h() ln ln ln( ). ln Έστω, (,) με: ln ln ()
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: ln ln( ) ln ln( ) h( ) h( ). Συνεώς η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο στο (,), οότε και -, άρα ορίζεται η αντίστροφη της h. Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο (, ) ως ράξεις σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και γνησίως αύξουσα, οότε το σύνολο τιμών της είναι: lim h(), lim h() h (,) Είναι: lim h() lim ln Έχουμε: < >. Οότε lim( ) Άρα lim ln. Είναι: lim h() lim ln Έχουμε: lim. Άρα lim ln. Άρα το σύνολο τομών της h είναι το (, +) R. Συνεώς το εδίο ορισμού της h είναι το R. Για τον τύο της h έχουμε: h() ln ( ) ( ) Συνεώς h (), R.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 B. Αν ( ) h (), R, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως ρος την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμής. Μονάδες 7 Αάντηση ( ) Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R. Τότε η φ δεν έχει ακρότατα στο R. Έειτα ( ) ( )( () ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ) ( έχουμε: ) ( ( ) ) Τότε: ( ) () ( ) Είναι: () φ () φ() Οότε: σ.κ Η φ είναι κυρτή στο (, και κοίλη στο, ). Έχει σημείο καμής το Α,. Β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό). Μονάδες 7 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Αάντηση Είναι: lim (). Άρα η φ έχει οριζόντια ασύμτωτη την στο. Είναι: lim () lim D.L.H Άρα η φ έχει οριζόντια ασύμτωτη την στο. Η γραφική αράσταση της φ φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ημ, [,] και το σημείο Α[, ] Γ. Να αοδείξετε ότι υάρχουν ακριβώς δύο εφατομένες (ε), (ε) της γραφικής αράστασης της f ου άγονται αό το Α, τις οοίες και να βρείτε. Αάντηση Μονάδες 8 Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στον, με f (). Έστω (, f()) σημείο της Cf και (ε): f() f ()( ), η εφατομένη στο σημείο (, f()). Έχουμε: ημ συν( ). 6
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Όμως το σημείο Α, (ε). Άρα έχουμε: Θεωρώ την συνάρτηση () g,,. Η g είναι συνεχής στο, ως ράξεις συνεχών συναρτήσεων. Η g είναι αραγωγίσιμη στο (,) ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με: g () Είναι: g() g(), ροφανείς ρίζες. Είναι: g () ή ή ή, εφόσον,. Είναι, για κάθε (,). Οότε: g () g() Τ.Ε Η g αρουσιάζει τοικό ελάχιστο στο,. Είναι g (), για κάθε, και g () για κάθε, Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο για κάθε αύξουσα στο,., και γνησίως Δηλαδή για g() g() g() g και για g() g( ) g() g Άρα η g έχει μοναδικές ρίζες τις και. 7
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Οι εφατομένες της στα σημεία αυτά είναι: Για : f() και f () Οότε: (ε): ( ) Για : f() και f () Οότε: (ε): Γ. Αν (ε): = και (ε): = - είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ τότε να σχεδιάσετε τις (ε), (ε) και τη γραφική αράσταση της f και να Ε αοδείξετε ότι, όου: Ε 8 Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τις ευθείες (ε), (ε), και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τον άξονα. Μονάδες 6 Αάντηση 8
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Το κοινό σημείο των (ε), (ε) είναι: Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι: (ΟΑΒ) Είναι: E d d Οότε: ( ) 8 Δηλαδή: 8 8 Γ. Να υολογίσετε το όριο f() lim. f() Μονάδες Αάντηση Είναι f() lim lim f() Έχουμε: lim( ) ( > ) και lim( ). για κάθε,, άρα η f είναι κυρτή στο, Όμως f (). Συνεώς η Cf, θα βρίσκεται συνεχώς άνω αό την εφατομένη της, εκτός του σημείου εαφής της, το. Άρα f() f() και για, f(). Συνεώς lim Συνολικά έχουμε: lim ( ) Γ. Να αοδείξετε ότι d f(). Μονάδες 7 9
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Αάντηση Αό Γ η f είναι κυρτή στο,, οότε:, f() f() Άρα: d ln f() d d f() f() ΘΕΜΑ Δ. Δίνεται η συνάρτηση, f() ημ, [,) [,] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [-, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Αάντηση Είναι Μονάδες 5 f(), [,) η οοία είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών. Έχουμε lim f() lim. Είναι f()= ημ, (,] η οοία είναι συνεχής στο (,] ως γινόμενο συνεχών. Έχουμε lim f() lim ημ f(). Όοτε, εφόσον, lim f() lim f(), η f είναι συνεχής στο και συνεώς η f είναι συνεχής στο διάστημα [,]. Η f είναι αρ/μη στο [-,) ως σύνθεση αρ/μων με f()= ( ) ( ) ( ) ( ) H f είναι αρ/μη στο (,] ως γινόμενο αρ/μων f()= ημ- συν.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Εξετάζουμε την αραγωγισιμότητα της f στο. Είναι για : f() f() lim lim lim lim lim ( ) lim ( ) f() f() ημ ημ Για : lim lim lim * Εομένως δεν υάρχει το f() άρα η f δεν είναι αρ/μη στο =. Είσης, για (,], f= (ημ+συν)= = ή ημ+συν= Είναι =, αδύνατη και συν= ημ συν=συν( ) κ, κ Z κ κ κ κ. (αδύνατη ή κ Όμως (,], άρα κ=. Δηλαδή = =. κ 5 κ Συνολικά η f έχει δύο κρίσιμα σημεία, και. 5. Όμως κζ άρα Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Αάντηση Είναι για κάθε [,), f() ( ), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-,) Είναι για κάθε (,], f()= (ημ+συν)f()= (ημ+συν)=,για κάθε R ημ+συν=, αό ερώτημα Δ. Μονάδες 6
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Είναι f() (ημ+συν) ημ+συν ημσυν ημ για καθε (,) σφσφ( σφ ) ) - f() ( ) f() (ημ+συν) + f() + f Οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ], γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-,) και [,]. αρουσιάζει τοικά μέγιστα τα f( ), f()= και τοικά ελάχιστα τα f()= και f(). Το ολικό ελάχιστο είναι το μικρότερο ακρότατο, δηλαδή το και ολικό μέγιστο το μεγαλύτερο, δηλαδή το, αφού, ου ισχύει αφού. Για το σύνολο τιμών έχουμε, εφόσον η f είναι συνεχής, f([,) (lim f(),f( )] (,) f([,] [f(),f( )] [, f([, ]) [f(),f( )] [, ] p Άρα f(a)=[, ]
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τη γραφική αράσταση της g, με g()= 5, R, τον άξονα και την ευθεία =. Μονάδες 6 Αάντηση Ε ημ 5 d ημ Είναι ημ και για έχουμε ημ (). Είσης ισχύει, για κάθε R, άρα (). Προσθέτοντας κατά μέλη τις (),() έχουμε: d ημ ημ Άρα: ημ ημ. Οότε : Ε ( ημ)d 5 d ημd Είναι: 5 d [ 5 5 ] 5 5 5 Θέτω ημd ( Ι= συνd ) ημd [ ( Άρα Ι= ΙΙ Ι ημ] ) συνd [ τ.μ συν] ημd Ι. Tέλος, Ε(Ω) 5 5 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Δ. Να λύσετε την εξίσωση 6 f() ( ) 8 Αάντηση Μονάδες 8 Είναι: 6 f() () ) 8 6f() ( ) 8 ( ) f() 6 f() f( ) ) f9) ( ) f( ) Όμως αό Δ η f αρουσιάζει μέγιστο το f( ). Άρα: f() f( ) f() f( ) για [,] Όμως ( ), για κάθε R συνεώς η ισότητα ισχύει μόνο για f() f( ) = και ( ) Άρα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Τα σημερινά θέματα είναι σαφή, καλύτουν αρκετό μέρος της ύλης και είναι ααιτητικά. Ειδικότερα: Ααιτούν γνώσεις ροηγούμενων τάξεων, ιδίως της Τριγωνομετρίας. Είναι μεγάλα σε έκταση, συνεώς ολλοί μαθητές δεν είχαν χρόνο να διαραγματευτούν όλα τα ερωτήματα. Υάρχει εανάληψη όμοιων ερωτημάτων(..όως αυτό της χάραξης γραφικής αράστασης, εύρεση μονοτονίας-ακροτάτων-συνόλου τιμών..). Ααιτούν ολύ καλό χειρισμό της Άλγεβρας, καθώς υήρχαν ολλές ράξεις. Αουσιάζουν τα υαρξιακά θεωρήματα για ακόμη μια χρονιά. Τα ερωτήματα Γ, Δ και Δ θα δυσκολέψουν την λειονότητα των υοψηφίων. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Πρόκειται για ένα ιδαίτερα ααιτητικό διαγώνισμα, σαφώς δυσκολότερο αό το αντίστοιχο ερσινό ου αευθύνεται σε ολύ καλά ροετοιμασμένους μαθητές με καθαρό μυαλό. ΕΚΤΙΜΗΣΗ Το οσοστό των υψηλών βαθμολογιών θα είναι σε αρκετά μεγάλο βαθμό μειωμένο σε σχέση με το ερσινό. 5