αυτοσυσχέτιση
Παράδειγμα: e ) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: Cov Cov 2) Έλλειψη Δυναμικής Πληρότητας: 2 e 2 (προφανώς αφού έχουμε δείξει ότι Δ.Π. Υ5 ) ~ AR(2) 2
Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση με τη στατιστική (Ασυμπτωτικός)... Έστω k k Γραμμ/τητα (Υ) X Αυστηρή Εξωγένεια (Υ2) Όχι υστερήσεις της Πρόσθετες υποθέσεις για τα σφάλματα e Var 2... 2 e Vare e 2... n e ΑR() Σφάλματα (ένα είδος) Εξωγένειας (Υ2) Ομοσκεδαστικότητα (Υ4) 3
Η : Όχι αυτοσυσχέτιση ρ = Η : Αυτοσυσχέτιση ρ (ή ρ > όταν πιστεύουμε ότι ρ ) Δυσκολία ελέγχου οφείλεται στο ότι τα σφάλματα δεν παρατηρούνται. Όμως: Ασυμπτωτικά Η : ρ = Η : ρ στο υπόδειγμα: ˆ ˆ Οπότε μπορούμε να κάνουμε έναν ισοδύναμο έλεγχο σε υπόδειγμα για τα κατάλοιπα (τα οποία παρατηρούνται) 4
Υπόδειγμα με πεπερασμένο αριθμό υστερήσεων (finie diribed lag): ()=β()+β()z()+β(2)z(-)+β(3)z(-2) ~ (FDL 2oυ βαθμού) ) () () ~ (FDL q βαθμού) ( z( ) q k k z k Ερμηνεία παραμέτρων 5
Ερμηνεία παραμέτρων (q=2): i. Συνέπειες προσωρινής μεταβολής z: => β(k) μετράει το αναμενόμενο αποτέλεσμα της μοναδιαίας προσωρινής μεταβολής του z() στο (+k-) 3 * 2 * 2 * * () * * * * c z c z 6
ii: Συνέπειες μόνιμης μεταβολής z Άρα (β()+β(2)+β(3)) μετράει τον αναμενόμενο μακροπρόθεσμο αντίκτυπο στο () ως αποτέλεσμα μιας μοναδιαίας μόνιμης μεταβολής του z() 2 3 2 () * * * * * l l c z c z iii. Για β(2) = β(3) =...= β(q) = έχουμε το στατικό υπόδειγμα (υποπερίπτωση) 7
Χρήση όταν πιστεύουμε ότι το z() επηρεάζει το (+k) Παράδειγμα : (): Βαθμός τεκνοποίησης z(): επιδοτήσεις / φοροαπαλλαγές σε οικογένειες με παιδιά Παράδειγμα 2: (): ΑΕΠ z(): Δαπάνες επενδύσεων 8
Διαδικασία ελέγχου: i. Βρίσκουμε τα κατάλοιπα από παλινδρόμηση:... k k ii. Παλινδρομούμε: ˆ ˆ βρίσκοντας iii. Κάνουμε τον έλεγχο û ˆ ˆ 9
Παρατηρήσεις: Οι πρόσθετες υποθέσεις είναι περιοριστικές Αν Corr( - ) = (αλλά π.χ. Corr( -2 ) ) ο έλεγχος δεν θα παρατηρήσει υπαρκτή αυτοσυσχέτιση Ως ασυμπτωτικός έλεγχος εφαρμογή για «μεγάλο n» σημαίνει ότι όποιες απορρίψεις μπορεί να μην έχουν οικονομική σημασία
Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης Drbin-Waon (για μικρά δείγματα) Η στατιστική DW ορίζεται ως: DW n 2 ˆ n ˆ ˆ 2 2 και έχει γνωστή κατανομή υπό Υ-6 (μειονέκτημα σε σχέση με έλεγχο ) ακόμα και σε μικρά δείγματα (πλεονέκτημα σε σχέση με έλεγχο παραδείγματος καμπύλης Φίλιπς)
) Μπορούμε να δείξουμε ότι: ˆ DW 2 DW 2 ˆ ˆ DW 2 2) (Περίπλοκη) κατανομή στατιστικής DW εξαρτάται από: N k ύπαρξη σταθερού όρου αλλά και Χ 3) Υπάρχουν όμως διαστήματα [d L d U ] ανεξάρτητα του Χ τέτοια ώστε: DW d L Απορρίπτουμε Η σε dα% επ.σ.σ. L DW d U d Δεν ξέρουμε U DW Δεν απορρίπτουμε 2
Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης χωρίς ΑΕ (πχ (-) στο υπόδειγμα) i. Βρίσκουμε τα κατάλοιπα από παλινδρόμηση: ii. Παλινδρομούμε: ˆ ˆ βρίσκοντας Η στατιστική (όχι ΑΕ-Υ2) ˆ û (με υστερήσεις όλων των μεταβλητών) ˆ έχει ασυμπτωτικά κατανομή ακόμη και όταν Cov j Συμπεριλαμβάνοντας γ λαμβάνουμε υπ όψιν ότι Cov j πράγμα που δε γίνεται με τον απλό έλεγχο βάση της στατιστικής Πρέπει όμως να υποθέσουμε ότι Var( - )=σ^2 ˆ 3
Προσέγγιση: Γενίκευση ελέγχων πρώτου βαθμού Υποθέσεις: Η : Όχι αυτοσυσχέτιση ρ = ρ 2 = = ρ q = Η : Αυτοσυσχέτιση ρ i (για κάποιο i) 2 2 2 2 2...... 2...... q e q q Var e Var e Var e n e 4 Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης υψηλότερου βαθμού
Διαδικασία ελέγχου i. Βρίσκουμε τα κατάλοιπα από παλινδρόμηση: ii. (με επιθυμητές υστερήσεις μεταβλητών) Παλινδρομούμε: ˆ ˆ 2ˆ 2... ˆ q Υπολογίζοντας στατιστική F για από κοινού σ.σ. ρ i û q Η στατιστική θα έχει την επιθυμητή κατανομή ασυμπτωτικά ακόμη και χωρίς ΑΕ-Υ2 Αν ισχύει ΑΕ-Υ2 μπορούμε να μην συμπεριλάβουμε γ Εναλλακτικά χρησιμοποιούμε ότι ασυμπτωτικά: LM = (n-q) R 2 ~ χ 2 q Έλεγχος Brech - Godfre 5
Διορθώσεις αυτοσυσχέτισης με Αυστηρή Εξωγένεια Αν στόχος είναι ένα δυναμικά πλήρες υπόδειγμα πρέπει να επαναπροσδιοριστεί συνολικά Αν στόχος είναι επαγωγή για παραμέτρους υποδείγματος με αυστηρή εξωγένεια υπάρχουν πιο απλές λύσεις 6
BLU Εκτιμήσεις με AR() σφάλματα Υ-4 Αντί για Υ5: =ρ - +e -ρ - =(-ρ)β +β ( ρ - ) +e * =(-ρ)β +β * +e > * = - ρ - * = - ρ - ημιδιαφορισμένες παρατηρήσεις (qai-differenced daa) =β +β + Cov( e )= Όμως Var( )= σ^2/(-ρ^2) > σ^2=var(e ) Οπότε ορίζουμε * = (-ρ^2)^.5 * = (-ρ^2)^.5 * = (-ρ^2)^.5 7
Χρησιμοποιώντας: * =(-ρ)β +β * +e >= Έχουμε: ΕΕΤ σε αυτή την παλινδρόμηση Γενικευμένο Εκτιμητή Ελαχίστων Τετραγώνων στην αρχική (GLS) Υ-5 για την νέα παλινδρόμηση Επαγωγή μπορεί να γίνει ΓΕΕΤ είναι BLU (μετασχηματισμός διατηρεί γραμμικότητα) 8
Εφικτός ΓΕΕΤ Το ρ γενικά δεν είναι γνωστό Μπορεί όμως να αντικατασταθεί στον ΓΕΕΤ από μια συνεπή εκτίμηση Διαδικασία Εφικτής ΓΕΕΤ ) Παλινδρόμηση με ΕΕΤ για προσδιορισμό καταλοίπων 2) Παλινδρόμηση σε κατάλοιπα για εκτίμηση ρ 3) Εκτίμηση ΓΕΕΤ βασισμένη σε εκτίμηση για ρ Ως αποτέλεσμα των σφαλμάτων εκτίμησης του ρ Ο Εφικτός ΓΕΕΤ μπορεί να είναι μεροληπτικός Ασυμπτωτικά επαγωγή γίνεται κανονικά Εφικτός ΓΕΕΤ ασυμπτωτικά αποτελεσματικότερος από OLS 9
Παραλλαγές διαδικασίας Επέκταση: 4) Επιστρέφουμε στο βήμα 2 όπου χρησιμοποιούμε τώρα τα κατάλοιπα από ΕΓΕΕΤ Οι επιπτώσεις αυτής της επέκτασης δεν είναι γνωστές Cochrane-Orc (χωρίς την πρώτη παρατήρηση) Prai-Winen (με) 2
Σύγκριση ΕΕΤ και ΕΓΕΕΤ 2
Σύγκριση ΕΕΤ και ΕΓΕΕΤ ΕΓΕΕΤ απαιτεί Υ -4 και ότι Cov( - + + )= Πχ ρ γνωστό εκτίμηση Cochrane-Orc απαιτεί σύγχρονη εξωγένεια μετασχηματισμένων δεδομένων Σύγχρονη εξωγένεια στην μετασχηματισνένη παλινδρ. Ε[( -ρ - )( ρ - ) ] = -ρ[( - )+ ( - ) ] = [( - + + ) ]= Η επιπλέον υπόθεση μπορεί να παραβιάζεται Οπότε και οι ΕΕΤ μπορεί να είναι προτιμητέες 22
Παράδειγμα 2.5 (Παράδειγμα.): Καμπύλη Phillip : πληθωρισμός : ανεργία ΗΠΑ ετήσια στοιχεία (948-996) Με Ε.Ε.Τ καταλήγουμε στο υπόδειγμα: ΠΛΗΘ() =.42 +.468ΑΝ() (.72) (.289) CO 7.58 -.665 (2.38) (.32) Αποτελέσματα πολύ πιο θεωρητικά βάσιμα n = 49 R 2 =.53 R 2 =.33 n = 48 R 2 =.86 ρ^=.774 (.9) 23
Συχνά η διαφόριση μειώνει δραστικά την αυτοσυσχέτιση Π.χ. 2... e e 24 Διαφόριση και Αυτοσυσχέτιση
ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΛΗΡΗ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ (Δ.Π.) 25
Το υπόδειγμα: l j k k z συμπεριλαμβάνει... είναι Δ.Π. αν: z z z z......... 26 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΛΗΡΗ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ (Δ.Π.)
Ερμηνεία έννοιας:. Επιπλέον υστερήσεις είναι άχρηστες 2. Δ.Π. δεν όμως Υ5' ισχύει Y5'........ 2 z z 27
Παράδειγμα (από κεφάλαιο 2) e e 2 ~AR(2) ) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: 2) Έλλειψη Δυναμικής Πληρότητας: Cov Cov (προφανώς αφού έχουμε δείξει ότι Δ.Π. Υ5 ) 2 28