ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ = Ο. 3) Αν Α, Β, Γ Μ n (R) και AA = ΓΓ = Ι n, να δείξετε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και Α 1 = Β = Γ. 4) Έστω A, Β Μ n (R). (i) Αν AA = ΒΒ και ο Β αντιστρέφεται, τότε AΒ 1 = Β 1 Α (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται 5) Έστω A, Β Μ n (R). Αν A, Β, Α + Β είναι αντιστρέψιμοι, να δειχθεί ότι : A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A 6) Έστω A Μ n (R) με A m = O. Να δείξετε ότι ο Ι n Α αντιστρέφεται. 1 α α 7) Έστω Β = 1 1 0 Μ 3 (R). 1 0 1 Να δείξετε ότι: i. (Β + Ι 3 ) 3 = Ο ii. O Β αντιστρέφεται και να βρείτε τον αντίστροφό του iii. Να υπολογίσετε τον Β m για κάθε m N 0 0 i 8) Έστω J = i 0 0 Μ 3x3 (C). Να υπολογίσετε τον J n, για κάθε n N 0 1 0 9) Αν A, Β Μ n (R), να δείξετε ότι : (i) (ΑΑ) Τ = Β Τ Α Τ. (ii) Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος και συμμετρικός τότε ο Α 1 είναι συμμετρικός.
10) Έστω A, Β Μ n (R) με A 2 = Ο και AΒ = ΒΒ. Να δείξετε ότι για κάθε m N (Α + Β) m+1 = Β m (B + (m + 1)A). 11) Αν ο πίνακας A Μ n (R) είναι συμμετρικός, να δείξετε ότι A 2 = O A = O. 12) Έστω A, Β Μ n (R). Να δειχθεί ότι TT(AA) = TT(ΒΒ). ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ α 1 1 1) Να υπολογιστεί η ορίζουσα 1 α 1. 1 1 α 1 α ββ 1 1 1 2) Να δειχθεί ότι 1 β γγ = α β γ. 1 γ αα α 2 β 2 γ 2 1 + α 1 + x a + x x α 1 3) Να δειχθεί ότι 1 + β 1 + y β + y = 2 y β 1. 1 + γ 1 + z γ + z z γ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ-ΥΠΟΧΩΡΟΙ 1. Να εξεταστεί αν είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος το σύνολο R + των θετικών πραγματικών αριθμών, εφοδιασμένο με τις πράξεις " + " και ". " που ορίζονται ως εξής: x + y = xx και λ. x = x λ, για κάθε x, y R + και κάθε λ R. 2. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το R και έστω U ένα μη κενό υποσύνολο του V. Να δειχθεί ότι το U θα είναι υποχώρος του V αν και μόνο αν ισχύει : u, v U και λ, μ K λu + μv U 3. Να δειχθεί ότι οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο U {0}, ενός διανυσματικού χώρου V, δεν είναι υποχώρος του. 4. Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι R -υποχώροι του R 3. Α = {(x, y, z) R 3 x + y = 0, z = 1}
Β = {(x, y, z) R 3 x + y z} Γ = {(x, y, z) R 3 x + 2y z = 0} 5. Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι R -υποχώροι του Μ 2 (R). V = {Α Μ 2 (R) dddd 0} U = {Α Μ 2 (R) dddd = 0} W = {Α Μ 2 (R) AA = 0}, όπου Μ Μ 2 (R). 6. Να δειχθεί ότι το σύνολο V = {(x 1, x 2,..., x n ) R n 2x 1 3x 2 = 4x n } είναι R-υποχώρος του R n. a a β β 7. Να δειχθεί ότι το σύνολο V = {Α Μ 2x3 (R) Α = } είναι α + β α α R-υποχώρος του Μ 2x3 (R). ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ/ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ 1. Να δείξετε ότι τα διανύσματα (1,2,0), ( 2,3,1), (0,1, 1) του R 3 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 2. Να δείξετε ότι τα διανύσματα v 1 = (1,0,3), v 2 = (2,1,1), v 3 = ( 3, 2,1) του R 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένα και να βρείτε τη σχέση που τα συνδέει. 3. Να δειχθεί ότι οι πίνακες 1 0 1 3 0, 2, 1, 1 είναι γραμμικώς 2 1 0 1 2 0 0 1 ανεξάρτητοι. 4. Αν τα v 1, v 2, v 3 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, να δειχθεί ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και τα w 1 = v 1 +v 2, w 2 = v 1 +v 2 + v 3, w 3 = v 3 v 2. 5. Αν τα διανύσματα v 1, v 2,..., v n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε οποιαδήποτε από αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 6. Αν τα διανύσματα v 1, v 2,..., v n είναι γραμμικώς εξαρτημένα, τότε και τα v 1, v 2,..., v n, v είναι γραμμικώς εξαρτημένα. ΒΑΣΗ και ΥΠΟΧΩΡΟΙ Να δείξετε ότι τα διανύσματα (1,2,0), ( 2,3,1), (0,1, 1) αποτελούν μια βάση του R 3. Να δειχθεί ότι τα διανύσματα (1,0, 1), (1,1,0), ( 1,1,1) παράγουν τον R 3. Να δειχθεί ότι το σύνολο W = {(x, y, z) R 3 x + 2y z = 0} είναι υποχώρος του R 3 και να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του.
Δίνεται ο πίνακας Μ = 0 1. Να δειχθεί ότι το σύνολο 1 2 V = {A M 2 (R): AA = MM} είναι υποχώρος του M 2 (R) και να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του. Να δειχθεί ότι το σύνολο Β = {1 + x 2, 2x x 2, 1 + x + x 2 } είναι μια βάση του R 2 [x]. Να δείξετε ότι αν U είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου V και dddd = dddd = n, τότε U = V. Θεωρούμε τον R- διανυσματικό χώρο V και τα διανύσματά του x, y. Να δειχθεί ότι < x, y >=< 3x 2y, 5x + y >. Θεωρούμε τα διανύσματα του R 3, v 1 = (2,3, 1), v 2 = (1, 1, 2), w 1 = (3,7,0), w 2 = (5,0, 7). Να δείξετε ότι < v 1, v 2 >=< w 1, w 2 >. Να εξεταστεί αν το σύνολο Β = {(1,0,0,0), (0,2,0,0), (1,2,3,0), (2,4,3,4)} είναι μια βάση του R 4. x y Να δειχθεί ότι το σύνολο V = { z w M 2(R) x + 2w = 0, x y 2z + w = 0 } είναι υποχώρος του M 2 (R) και να βρεθεί μια βάση του. 1 2 2 0 8 4 Να δειχθεί ότι οι πίνακες 0 3, 1 1, 3 3 του M 3x2 (R) είναι 1 1 3 4 7 14 γραμμικώς εξαρτημένοι και να βρεθεί η σχέση που τους συνδέει. Να εξεταστεί αν τα x 2 + 2x + 3, x 2 1, x 2 x + 1 παράγουν τον χώρο R 2 [x]. Να βρεθεί μια βάση του R 4 που να περιέχει τα διανύσματα (1,2,3,4), (0,0,1,2). Aν V =< (1,0,0), (0,1,1) > και W =< (2,1,0), ( 1,0,1) >, να οριστεί ο υπόχωρος V W, να βρεθεί μια βάση του η οποία και να επεκταθεί σε μια βάση του R 3. 1 2 3 1 Να βρεθεί η βαθμίδα του πίνακα Α = 5 5 2 1 1 2 2 1 0 1 4 1. 1 2 1 3 ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 1. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3, όπου V = {(x, y, z) R 3 : x y = z}
W = {(x, y, z) R 3 : x + z = 2y} Να δειχθεί ότι V + W = R 3. Ισχύει V W = R 3 ; 2. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3, όπου V = {(x, y, z) R 3 : x = y = z} W = {(x, y, z) R 3 : z = 0} Να δειχθεί ότι V W = R 3. 3. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3, όπου V = < (1,1,0), (3,1,3) > W = < (0,1,1), (2,1,2) > Να δειχθεί ότι V + W = R 3. 4. Έστω Α, Β υποχώροι του διανυσματικού χώρου V. Αν Β Α, να δειχθεί ότι Α + Β = Α. 5. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3 [x], όπου V = < 1 x 2x 3, 1 + x 3, 1 + x + 4x 3 > W = < 1 x 2x 3, 1 + x 3, 1 + x + 4x 3, x 2 > Να βρεθεί ο υποχώρος V + W. 6. Έστω Β = {e 1, e 2,..., e n } μια βάση του διανυσματικού χώρου V. Αν V 1 =< e 1 >, V 2 =< e 2 >,..., V n =< e n >, να δειχθεί ότι V = V 1 V 2... V n. 7. Θεωρούμε τους συμπληρωματικούς υποχώρους U, W του διανυσματικού χώρου V (δηλαδή U W = V). Αν Α = {a 1, a 2,..., a κ }, Β = {β 1, β 2,..., β n } με κ < n, είναι βάσεις των U, W αντίστοιχα και Μ =< α 1 + β 1, α 2 + β 2,..., α κ + β κ, β κ+1,..., β n >, να δειχθεί ότι οι υποχώροι U, Μ είναι συμπληρωματικοί (δηλαδή U Μ = V). ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω απεικονίσεις είναι γραμμικές i. f: R 2 R 3 με f(x, y) = (x + y, y x, 0) ii. f: R 3 R 2 με f(x, y, z) = (xx, z) iii. f: M 2 (R) R 4 με f α β = (α + 1, β, γ, δ) γ δ 2. Αν f: V W γραμμική απεικόνιση και Α = {x 1, x 2,..., x n } V και Β = {f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n )}, να δειχθεί ότι : i. Αν Β είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, τότε και το Α είναι γραμμικώς ανεξάρτητο. ii. Αν είναι γραμμικώς εξαρτημένο, τότε και το Β είναι γραμμικώς εξαρτημένο. 3. Έστω η γραμμική απεικόνιση f: R 2 R 3 με f(x, y) = (x y, y, 2x + y). Να βρεθούν ο πυρήνας και η εικόνα της f.
4. Έστω η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 2 με f(x, y, z) = (x + y, z x). Να βρεθούν ο πυρήνας και η εικόνα της f. 5. Να βρεθούν ο πυρήνας και η εικόνα της γραμμικής απεικόνισης f: R 3 R 3 με f(x, y, z) = (x y + z, y, x + y + z ). 6. Αν f: R 2 [x] R 2 [x] με f(p) = P xx + (1 x 2 )P, όπου P και P είναι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος του P, είναι γραμμική, να βρεθούν o KKKK και η III, καθώς και από μια βάση τους. 7. Να οριστεί ο α R έτσι, ώστε η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 3 με f(x, y, z) = (αα + y, x z, y z) να είναι ισομορφισμός. 8. Να δειχθεί ότι η γραμμική απεικόνιση f: R 2 [x] R 3, f(p) = (P(1), P(0), P( 1)), είναι ισομορφισμός. 9. Αν δύο ενδομορφισμοί f, g του χώρου V είναι τέτοιοι, ώστε i. f g = f και g f = f, τότε έχουν την ίδια εικόνα. ii. f g = g και g f = g, τότε έχουν τον ίδιο πυρήνα. 10. Αν f είναι ένας ενδομορφισμός του χώρου V, να δειχθεί ότι : III KKKK = {0} KKKf 2 KKKK 11. Έστω f: R 3 R 3 γραμμική απεικόνιση με f(x, y, z) = (x y, x + y, z). Να δειχθεί ότι ο f είναι ισομορφισμός και να βρεθεί ο f 1. 12. Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση f: V W και V 1 V, W 1 W. Να δειχθεί ότι f(v 1 ) W και f 1 (W 1 ) V. (Εικόνα του V 1 λέμε το σύνολο f(v 1 ) = {f(v) v V 1 }. Αντίστροφη εικόνα του W 1 λέμε το σύνολο f 1 (W 1 ) = {v V f(v) W 1 }.) 13. Έστω η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 2 με f(x, y, z) = (x + y, z). Να βρεθούν : i. Ο πυρήνας KKKK της f, ii. Η εικόνα f(v), όπου V ο υποχώρος του R 3, V = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0}, iii. Η αντίστροφη εικόνα f 1 (W), όπου W ο υποχώρος του R 2, W = {(x, y) R 2 2x = y} ΠΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ 1. Να βρεθεί ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f: R 3 R 2, f(x, y, z) = (2x y, z). ως προς τις κανονικές βάσεις των R 2, R 3.
2. Έστω {e 1, e 2, e 3 } η κανονική βάση του R 3 και f: R 3 R 3 γραμμική απεικόνιση για την οποία f(e 1 ) = (2,1,0), f(e 2 ) = (1,0,1), f(e 3 ) = (0, 1,1). Να βρεθούν : i. Ο πίνακας της fως την κανονική βάση. ii. Το f(2,1,0). iii. Ο τύπος της f. 3. Να βρεθεί η γραμμική απεικόνιση f: R 2 R 3 της οποίας ο πίνακας ως προς τις 1 2 κανονικές βάσεις είναι ο Α = 0 1. 1 1 4. Να βρεθεί ο ενδομορφισμός 2f g του R 3, αν οι πίνακες των ενδομορφισμών f, g του R 3 ως προς τη βάση e 1 = (1,1,0), e 2 = (0,1,1), e 3 = (0,0,1), είναι οι 1 0 0 1 0 1 Α = 1 1 0, Β = 1 1 0 αντίστοιχα. 1 1 1 2 0 1 5. Δίνονται οι γραμμικές απεικονίσεις f: R 3 R 3, g: R 3 R 2, με πίνακες ως προς τις 2 1 0 κανονικές βάσεις των R 3, R 2, Α = 0 1 1, Β = 1 1 0 αντίστοιχα. 1 0 2 1 0 1 Να βρεθεί ο τύπος της g f. 6. Να δειχθεί ότι η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 3, με f(x, y, z) = (x + 3y + 2z, y + 4z, z) είναι ισομορφισμός και να βρεθεί η αντίστροφή της. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ 1. Αν ο πίνακας μετάβασης από τη βάση {v 1, v 2, v 3 } με v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), 2 1 1 v 3 = (1, 0, 0), στη βάση {u 1, u 2, u 3 }, είναι ο P = 0 0 1, να βρεθεί η βάση 0 1 0 {u 1, u 2, u 3 }. 2. Αν ο πίνακας μετάβασης από τη βάση {v 1, v 2, v 3 } στη βάση {u 1, u 2, u 3 } με 2 1 1 u 1 = (2, 2, 0), u 2 = (2, 1, 0), u 3 = (0, 1, 1), είναι ο P = 0 0 1, 0 1 0 να βρεθεί η βάση {v 1, v 2, v 3 }. 3. Έστω {e 1, e 2, e 3 } η κανονική βάση του R 3 και B = {u 1, u 2, u 3 } η βάση του R 3 με u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (0, 1, 1) και u 3 = (0, 0, 1). i. Να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης από την βάση {e 1, e 2, e 3 } στην βάση B. ii. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του α = (2,1, 4) ως προς τη βάση B.
4. Αν B = {v 1, v 2, v 3 } είναι μια βάση του R 3 και u 1 = 2v 1 v 2 v 3, u 2 = v 2, u 3 = 2v 2 + v 3, να δειχθεί ότι και το σύνολο B = {u 1, u 2, u 3 } είναι μια βάση του R 3. Κατόπιν να βρεθούν τα στοιχεία του R 3 που έχουν τις ίδιες συντεταγμένες ως προς τις δύο βάσεις. 5. Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Ρ = 1 0 1 0 1 2 1 1 0 6. Να βρεθεί ο ενδομορφισμός f του R 3, που ο πίνακάς του ως προς τη βάση 1 0 0 e 1 = (1,0,1), e 2 = (0,1,1), e 3 = (0,0,1), είναι ο B = 1 1 0. 1 1 1 7. Ο πίνακας του ενδομορφισμού f: R 3 R 3 ως προς την κανονική βάση είναι ο 1 0 2 Α = 0 0 0. 2 0 4 i. Να βρεθεί ο ενδομορφισμός f ii. Να βρεθεί ο πίνακας Β του f στη βάση {ε 1 = (1,0, 2), ε 2 = (0,1,0), ε 3 = (2,0,1)} iii. Να βρεθεί αντιστρέψιμος πίνακας Ρ έτσι ώστε Β = Ρ 1 ΑΑ. iv. Να υπολογιστεί ο πίνακας Α n για κάθε n 1. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ (Συμπλήρωμα). 1. Αν για τον πίνακα Α Μ n (R), με n = 2κ + 1, κ N, ισχύει Α 3 +Α 2 + Α + Ι n = O και Α < 0, να υπολογιστούν οι ορίζουσες : i. Α, A 1 ii. Α 2 + Α + Ι n iii. Α + Ι n 2. Αν Α Μ n (R) και Α = 2, aaaα = 8, να βρεθεί ο n. 3. Αν Α Μ n (R) και Α 2 + 2Α + 4Ι n = O, να δειχθεί ότι Α = Α + 2Ι n = 4. 4. Αν Α, Β Μ n (R) και ΑΑ αντιστρέψιμος, τότε και οι Α, Β είναι αντιστρέψιμοι. 1 1 2 5. Να δειχθεί ότι ο πίνακας Α = 0 1 2 αντιστρέφεται και να βρεθεί ο Α 1. 2 0 1 6. Αν Α, Β Μ n (R) και Α, Β αντιστρέψιμοι, τότε aaaaa = aaaa. aaaa. 7. Αν Α Μ n (R) να δειχθεί ότι aaaa = A n 1. 8. Αν Α 3Ι n και Α 2 = 9Ι n, να δειχθεί ότι Α + 3Ι n = 0.
1 0 2 9. Να δειχθεί ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α = 3 1 4. 1 2 1 1 0 1 0 1 1 0 0 10. Να βρεθεί η βαθμίδα του πίνακα Α = 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Να λυθούν τα συστήματα x + y z + t = 3 x t = 1 y + 2t = 1 x 2z = 3 x1 + x2 3x3 = 3 2x1 x2 3x3 = 3 x1 + 2x2 = 0 3x y = 1 x + λy = 2 2x 3y = 3, λ R μx + y + z = 0 x + μy + z = 0, x + y + μz = 0 μ R x + y + z = 1 λx + λy + z = λ + 1, λx + 2y + 2z = 2 λ R ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ/ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ 1. Να βρεθούν οι δυνατές ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης f: V V σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις : i. f 2 = I V ii. f 2 = f iii. f 2 = 0 2. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδομορφισμού f: R 3 R 3, με f(x, y, z) = (4x + y, x + y + 2z, x + 3z). 3. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδομορφισμού f: R 2 [x] R 2 [x], με f(ax 2 + βx + γ) = ax 2 + γx + β. 4. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδομορφισμού f: Μ 2 (R) Μ 2 (R) με f a β γ δ = 2α 2β + γ. 5β + 2γ 2δ 1 1 2 5. Έστω Α = 1 α 1 Μ 3 (R). 2 1 3 1 i. Να βρεθεί ο α έτσι, ώστε το διάνυσμα Χ = 2 Μ 3x1 (R) να είναι ένα 0 ιδιοδιάνυσμα του Α.
ii. Να βρεθεί ο ιδιοχώρος που περιέχει το Χ. 6. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3 0 0 i. Α = 0 2 5 Μ 3 (R). ii. Α = 1 i i 1 Μ 2(C). 0 2 2 7. Αν λ 0 είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α Μ n (R), τότε ο Α είναι ιδιοτιμή του πίνακα aaaa. 8. Αν ο λ είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α Μ n (R), τότε ο λ κ, κ N, κ > 1, είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α κ. λ 9. Ο λ 0 είναι ιδιοτιμή του αντιστρέψιμου πίνακα Α Μ n (R), αν και μόνο αν ο λ 1 είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α 1. 10. Να δειχθεί ότι ο πίνακας Α Μ n (R) και ο ανάστροφός του Α Τ έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. 11. Ο πίνακας Α Μ n (R) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο 0 δεν είναι ιδιοτιμή του. 12. Να δειχθεί ότι οι πίνακες ΑΒ, ΒΒ Μ n (R) έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ- ΘΕΩΡΗΜΑ Cayley-Hamilton 1. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης πάνω από το R και f, g ενδομορφισμοί του τέτοιοι, ώστε f g = g f. Αν ο f έχει απλές ιδιοτιμές, να δειχθεί ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα του f είναι και ιδιοδιάνυσμα του g. 2. Ο πίνακας ενός ενδομορφισμού f του R 3 ως προς την κανονική βάση είναι ο πίνακας 1 2 2 A = 0 3 0. Να βρεθεί βάση του R 3 ως προς την οποία ο πίνακας του f να είναι 0 0 3 διαγώνιος. 3. Δίνεται ο ενδομορφισμός f: R 2 [x] R 2 [x], f(p) = (x + 1)Ρ για κάθε P R 2 [x]. Να δειχθεί ότι ο f διαγωνιοποιείται. 4. Αν A είναι ο πίνακας του ενδομορφισμού f: R 2 R 2, f(x, y) = (2x + 2y, x + 3y), ως προς την κανονική βάση, i. Να βρεθεί βάση ως προς την οποία ο f διαγωνιοποιείται καθώς και ο διαγώνιος πίνακας B στη βάση αυτή. ii. Nα βρεθεί ο πίνακας Α n, όπου n θετικός ακέραιος.
1 0 0 5. Να εξεταστεί αν ο πίνακας A = 0 0 1 είναι διαγωνιοποιήσιμος 2 2 0 i. πάνω από το R ii. πάνω από το C 6. Να οριστούν οι πραγματικοί α, β, γ, δ έτσι, ώστε να διαγωνιοποιείται ο πίνακας 1 α β 1 Α = 0 1 0 γ 0 0 2 δ 0 0 0 2 2 2 2 7. Δίνεται ο πίνακας A = 0 2 4. Να βρεθεί διαγώνιος πίνακας Β τέτοιος, ώστε 0 2 4 Α = ΡΡΡ 1. 3 2 0 8. Δίνεται ο πίνακας A = 6 1 0 Μ 3 (R). Να δειχθεί ότι ο M 3x1 (R) είναι το 0 0 3 ευθύ άθροισμα των ιδιοχώρων του A. 1 1 0 9. Να δειχθεί ότι ο πίνακας A = 1 0 0 αντιστρέφεται και να βρεθεί ο Α 1. 2 0 1 10. Αν για τον πίνακα A Μ n (R) ισχύει Α n+1 = O, τότε Α n = O. 2 4 3 11. Αν A = 0 0 0, να δειχθεί ότι Α 2015 2Α 3015 + Α = Ο. 1 5 2 1 0 0 12. Δίνεται ο πίνακας A = 1 0 1. Να δειχθεί ότι Α 19 = 9A 2 + Α 9Ι n. 0 1 0 1 1 2 13. Δίνεται ο 3x3 πραγματικός πίνακας A = 0 2 0. 2 3 1 i. Να βρεθεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο. ii. Να δειχθεί ότι ο A αντιστρέφεται και να βρεθεί ο αντίστροφός του. iii. Να βρεθεί ο πίνακας Α n, όπου n θετικός ακέραιος. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 1. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση <, > R 2 xr 2 R, που ορίζεται με τη σχέση < x, y > = x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + 4x 2 y 2, για κάθε x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρου R 2. Κατόπιν να βρεθεί ο δ ώστε, τα διανύσματα x = (1, 2), y = (3, δ) να είναι ορθογώνια. 2. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση <, > R n [x]xr n [x] R, που ορίζεται με τη σχέση
1 < P, Q > = P(t)Q(t)dd, για κάθε P, Q R 0 n [x], είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρου R n [x]. 3. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση <, > Μ n (R)xΜ n (R) R, που ορίζεται με τη σχέση < A, B > = TT(AB T ), για κάθε A, B Μ n (R), είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρουμ n (R). Κατόπιν να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων Α = 1 1 2, Β = 0 1 1 2 0 Μ 2(R) ως προς το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο. 4. Στον R 4 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο δίνονται τα διανύσματα x = (1,1,1,1), y = (0,1,0,0), z = (1,2, 1,0) i. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων x, y. ii. Να βρεθεί η ορθογώνια προβολή του x στο z. 5. Στον R 4 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, i. Να δειχθεί ότι τα e 1 = (1,1,0,0), e 2 = (0, 1,0,2), e 3 = (0,0, 2,1) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ii. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του υποχώρου V που παράγεται από τα e 1, e 2, e 3. 6. Στον R 3 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο να κατασκευαστεί μια ορθοκανονική βάση από τη βάση X 1 = (1, 1,0), X 2 = (0, 1,1), X 3 = ( 3, 0,1). 7. Στον R 3 εφοδιασμένο με το εσωτερικό γινόμενο Χ. Υ = (x 1 2x 2 )(y 1 2y 2 ) + x 2 y 2 + (x 2 + x 3 )(y 2 +y 3 ) για κάθε Χ, Υ R 3, όπου Χ = (x 1, x 2, x 3 ), Υ = (y 1, y 2, y 3 ), ξεκινώντας από την κανονική βάση, να προσδιοριστεί με τη διαδικασία Gram-Schmidt μια ορθοκανονική βάση. 8. Στον R 4 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, να βρεθεί το ορθογώνιο συμπλήρωμα του υποχώρου W που παράγεται από τα διανύσματα v 1 = (1,1,1,1), v 2 = (3, 1,3, 1). 9. Να βρεθεί ο μικρότερος ακέραιος κ ώστε η απεικόνιση <, > R 2 xr 2 R, που ορίζεται με τη σχέση < x, y > = x 1 y 1 3x 1 y 2 3x 2 y 1 + κκ 2 y 2, για κάθε x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), να είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρου R 2. Κατόπιν να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του R 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1. Να βρεθεί ορθογώνιος πίνακας που οι πρώτες δύο στήλες του είναι 1, 2, 2 και 2, 1, 2 2 3 3 3 3 3 1 α 2. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε ο πίνακας 2 να είναι ορθογώνιος. β γ 3. Έστω f: V V ένας ενδομορφισμός του ευκλείδειου χώρου V. Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας του f σε μια ορθοκανονική βάση είναι αντισυμμετρικός, τότε και σε κάθε άλλη ορθοκανονική βάση θα είναι αντισυμμετρικό
ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΙ ΧΩΡΟΙ 1. Στον ερμιτιανό χώρο C 2 ως προς το συνηθισμένο ερμιτιανό γινόμενο, να βρεθεί ο προσαρτημένος ενδομορφισμός f του ενδομορφισμού f: C 2 C 2, με f(z, w) = (2z + 3ii, ii + (1 i)w). 2. Να εξεταστεί αν είναι αυτοπροσαρτημένος ο ενδομορφισμός f: C 2 C 2, με f(z, w) = (2z + (1 3i)w, (1 + 3 i)z + 5w). 3. Να βρεθεί ορθοκανονική βάση στην οποία ο πίνακας του ενδομορφισμού f: C 3 C 3, που ορίζεται από τον τύπο f(x, y, z) = (2x + 2ii, 2ii + y 2ii, 2ii + z), να είναι διαγώνιος.