Εργατηριακές Σημιώις Ανλατική Κάμψη Μταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανπιτημιακός Υπότροφος) Ειαγωγή Δοκός καθαρή κάμψη (λατική υμπριφορά) Τρόπος που παραμορφώνται η δοκός λόγω κάμψης (κινηματική υπόθη) Τρόπος που χτίζονται οι παραμορφώις μ τις τάις (κατατατικός νόμος) Ιορροπία μταξύ ξωτρικών φορτίων και ωτρικών δυνάμων (υνθήκη τατικής ιορροπίας) - Τι γίνται όμως όταν ξπράουμ το όριο διαρροής? 1
Ειαγωγή Όταν φορτία που νργούν δοκό προκαλούν τάις > δοκός καταπονίται την ανλατική πριοχή. Ή αλλιώς: Ανλατική κάμψη παρουιάζται όταν z > υγκκριμένη τιμή () που αντιτοιχί την μφάνιη τάης > από το όριο διαρροής. Δομικό τοιχίο όταν διαρρέι, μπορί να αντέξι τάις > του ορίου διαρροής, αλλά αυτές οι τάις υνοδύονται από πολύ μγάλς παραμορφώις. Γι αυτό το λόγο την πλατική ανάλυη χρηιμοποιούμ αν όριο των αναπτυόμνων τάων το όριο διαρροής του υλικού που ξτάζουμ H πλατική ανάλυη διυκολύνται κάνοντας την παραδοχή ιδατούς καμπύλης - - /4 Ειαγωγή - x - x?? + x + x /4 2
Παραδοχές Υλικό ομογνές (δν μταβάλται η δομή του) ιότροπο (ιδιότητς του δν ξαρτώνται από την διέυθυνη φόρτιης) Υλικό ανλατικό (ίδια ιδατή καμπύλη - φλκυμό/θλίψη) Παραμορφώις μταβάλλονται γραμμικά από ουδέτρο άξονα Διατομές δοκού πίπδς και κάθτς τον διαμήκη άξονα πριν τη φόρτιη, παραμένουν πίπδς και κάθτς και μτά την φόρτιη (υπόθη Bernoulli) Δοκός κάμπτται μ μικρή γωνία τροφής (μικρές μτατοπίις και τροφές άξονα δοκού ) - Ειαγωγή Κατανομή τάων προκύπτι μ βάη κατανομή παραμορφώων και κατατατικό νόμο υλικού Διατομή (άξονας υμμτρίας ) Στην γνική πρίπτωη ανλατικής κάμψης ο Ουδέτρος Άξονας δν ίναι κντροβαρικός (προκύπτι από ιορροπία δυνάμων) z 5 4 1 1 5 4 5 4 1 3 2 1 3 2 2 3 2 3 5 4 1 2 3 4 5 3
Ειαγωγή Ορθογωνική Διατομή (άξονς υμμτρίας και z) Ίδιος κατατατικός νόμος φλκυμό/θλίψη z Συμμτρική κατανομή ως προς ουδέτρο άξονα Ειαγωγή Η κατάταη πλατικής παραμόρφωης θα παρουιατί την διατομή που έχι μγαλύτρη καμπτική ροπή (κρίιμη διατομή). z Σ άλλς διατομές της δοκού μπορί να υπάρχι κατάταη λατο-πλατικής παραμόρφωης (έννοια Μήκους Πλατικοποίηης). Η Διατομή πλατική κατάταη λιτουργί αν ωτρική άρθρωη την δοκό. (παύι να αντιτέκται την πραιτέρω αύξηη της καμπτικής ροπής πόμνος υμπριφέρται αν άρθρωη). /4 Όταν φορέα δημιουργηθούν αρκτές πλατικές αρθρώις, τμήματα μταξύ αρθρώων υμπριφέρονται αν μηχανιμοί κατάρρυης. 4
Τάις διατομή δοκού από λατοπλατικό υλικό Ας δούμ τι υμβαίνι /4 Στην αρχή για μικρές φορτίις < όριο διαρροής (λατική υμπριφορά) -> Μz -> -> (-) Τάις διατομή δοκού από λατοπλατικό υλικό /2-0 0 0 /2-0 /4 Τιμή z ώτ max ακραία θλιβόμνη/φλκυόμνη ίνα > Ακραίς πριοχές: > / τάις παντού = Μαία πριοχή: < / (Hooke). Πριοχή Ελατική Πριοχή -> Μz -> -> (-) 5
Τάις διατομή δοκού από λατοπλατικό υλικό /2-0 0 0 /2-0 /4 Ολοένα πριότρς ίνς (απόταη από z) μγάλς παραμορφώις ( > / τάις παντού = ) Πριοχή Ελατική Πριοχή -> Μz -> -> (-) Τάις διατομή δοκού από λατοπλατικό υλικό Η παραμόρφωη ίναι τόο μγάλη, που τάις έχουν φθάι το ύνολο της διατομής την /4 -> Μz -> -> (-) Πλατικοποίηη Διατομής Πριοχή Ελατική Πριοχή 6
Τάις διατομή δοκού από λατοπλατικό υλικό /2-0 /2-0 /2-0 /2-0 0 0 0 0 Ελατική πριοχή Ελατική πριοχή Ροπή Ελατική πριοχή Ελατική πριοχή Όταν παραμόρφωη ίναι τόο μγάλη, που τάις έχουν φθάι το ύνολο της διατομής την, η διατομή έχι υποτί πλατικοποίηη. Ροπή που αντιτοιχί τέτοια κατάταη: ροπή έγιτη ροπή που μπορί να αναπτυχθί διατομή, όταν τάις όλα ημία υλικού έχουν φθάι μέγιτη τιμή τους Ο αντίτοιχος Ο.Α. ονομάζται πλατικός Ο.Α., χαρακτηριτικές ιδιότητς διατομής Ανάλογς του, ξαρτούνται από γωμτρικά χαρακτηριτικά διατομής /: Συντλτής χήματος 7
ροπή & Ροπή Διαρροής - Υπολογιμός Ροπής Διαρροής Μ βάη το τύπο ορθών τάων x καθαρή κάμψη H ορθή τάη τη διαρροή = όριο διαρροής, ροπή & Ροπή Διαρροής - C /4 /4 T C=T=f (/2) Υπολογιμός ς Ροπής. Εύρη Ουδτέρου Άξονα διατομής Κατανομή τάων και υπολογιμός ωτρικών υνιταμένων δυνάμων Υπολογιμός ροπών ως προς οποιαδήποτ ημίο της διατομής 8
ροπή & Ροπή Διαρροής - C /4 /4 T C=T=f (/2) Συντλτής χήματος Ικανότητα διατομής, από τιγμή που δημιουργήθηκ πλατική παραμόρφωη, να αντέξι μέχρι να μτατραπί πλατική άρθρωη Ροπή Αντίταης Ελατική θωρία κάμψης Z el max Ελατική ροπή αντίταης Ανλατική θωρία κάμψης Z f 4 2 ροπή αντίταης 9
Ανάλυη Δοκού Καθοριμό οριακών (μέγιτων) φορτίων που μπορί να παραλάβι κατακυή, θωρώντας ότι παραμορφώις τα υλικά φθάνουν τις μέγιτς τιμές τους. Φορτία που προκαλούν πλατικές αρθρώις και ντοπιμό των πλατικών αρθρώων Προδιοριμός πριοχής όπου κατά ατοχία θα έχουν αναπτυχθί πλατικές παραμορφώις Ετιάζουμ το ημίο της διατομής που καταπονίται ντονότρα (μέγιτη καμπτική ροπή). Μmax = Ανάλυη Δοκού Για κάποια τιμή φορτίου (φορτίο διαρροής ) καμπτική ροπή z (max) = ροπή διαρροής Μ μέγιτη τάη την ακραία ίνα διατομής μόλις που φθάνι τάη διαρροής Για > (z>), μφάνιη πλατικής πριοχή την πάκτωη (τάις = ) Μέγιτη τιμή φορτίου (φορτίο ατοχίας ή κατάρρυης u) όταν πέλθι πλήρης πλατικοποίηη την πάκτωη (z = = u ). Τάις παντού (την υγκκριμένη διατομή) = (Μz) Μmax = Επέκταη διαρροής υλικού κατά ατοχία, όχι μόνο το ύψος κρίιμης διατομής αλλά και γιτονικές Μ = Μ = u Βαθμός πλατικοποίηης ξαρτάται από Μz 10
Ανάλυη Δοκού Μήκος Πλατικοποίηης Κατά ατοχία, διαρροή υλικού κτός από πριοχή που έχι πλατικοποιηθί πλήρως, έχι πκταθί και γιτονικές διατομές όπου > (ανάλογα μ τιμή ροπής). Όταν κρίιμη διατομή έχι πλατικοποιηθί πλήρως, κοντινές αυτήν διατομές ίναι κατάταη ανλατικής υμπριφοράς. Γιτονικές διατομές λατοπλατική κατάταη Πλήρως πλατικοποιημένη διατομή 1 2 3 1 2 3 Ελατική πριοχή Μ (Μz) Μmax = Μ =: δν υφίταται πλατική πριοχή, =: πλήρης πλατικοποίηη διατομής (3) <<: λατοπλατική πριοχή (1, 2) Ανάλυη Δοκού Μήκος Πλατικοποίηης Κατά ατοχία, διαρροή υλικού κτός από πριοχή που έχι πλατικοποιηθί πλήρως, έχι πκταθί και γιτονικές διατομές όπου > (ανάλογα μ τιμή ροπής). Όταν κρίιμη διατομή έχι πλατικοποιηθί πλήρως, κοντινές αυτήν διατομές ίναι κατάταη ανλατικής υμπριφοράς. Υπάρχι δηλαδή ένα υγκκριμένο μήκος (μήκος πλατικοποίηης) από όπου αρχίζουν να μφανίζονται τάις, έως την πλήρως πλατικοποιημένη διατομή (όπως αυξάνται το ). 1 2 3 1 2 3 Ελατική πριοχή (Μz) Μmax = Μ Μ 11
Ανάλυη Δοκού Μήκος Πλατικοποίηης Μ Μ Μ 2 2 2 1 Παράδιγμα Να υπολογιθί η τιμή του οριακού φορτίου που προκαλί κατάρρυη. A B 2 m C 50 mm 75 mm Τιτάνιο Ti-8 n, = 800 a /4 2 f 4 4 u 2 f 6 4 12
Παράδιγμα Να υπολογιθί η τιμή του οριακού φορτίου που προκαλί κατάρρυη. Στατικά αόριτη δοκός A B C p ( ροπή το Β) B C R 4 c p p 0 Rc 4 /4 R C 3/4 /4 p U B C 4 p A F 0 RA 0 C R A R 4 C p RA B R C C 0 RA p U 0 4 Στις υπράριθμς αντιδράις καμπτικών ροπών δίνουμ τη τιμή Μ 20 p U μτατρέποντας την υπρτατική δοκό ιοτατική. 3 Στα ημία των μγίτων καμπτικών ροπών θέτουμ τη τιμή Μ μ κοπό να δημιουργίουμ ένα κινηματικά αποδκτό μηχανιμό κατάρυης. U Πλατικές αρθρώις τον Αντιιμικό Σχδιαμό Κατακυών Σχηματιμός πλατικών αρθρώων (υπό προϋποθέις) πιθυμητός ( ιμούς πολύ μγάλης ένταης). Πρόβλψη απόκριης κατακυής υπό ιμικά φορτία Ικανότητα κατακυής για απορρόφηη νέργιας μέω απόβης, λόγω ανλατικής υμπριφοράς τοιχίων δυκαμψίας (πλατιμότητα) Διαθέιμη πιθυμητή πλατιμότητα, υγκκριμένα ημία της κατακυής, μέω κατάλληλης μόρφωης και υγκκριμένων κατακυατικών λπτομρών. Πριοριμός απαιτήων πλατιμότητας μέω ικανοτικού χδιαμού (μέθοδος διαταιολόγιης) Τι πτυχαίνουμ Απορρόφηη νέργιας κατά διάρκια ιμού πριορίζται προπιλγμένς πριοχές Ανάπτυξη μγάλων παραμορφώων ίναι φικτή χωρίς απομοίωη φέρουας ικανότητας Ξκάθαρη ιράρχηη μηχανιμών ατοχίας 13
Πλατικές αρθρώις τον Αντιιμικό Σχδιαμό Κατακυών Πως πιτυγχάνται (ικανοτικός χδιαμός) Επιλογή θέων για δημιουργία πλατικών αρθρώων Πριοχές πλατικών αρθρώων χδιάζονται και διαμορφώνονται κατακυατικά για ανάπτυξη παρκής πλατιμότητας Στις υπόλοιπς πριοχές ξαφαλίζται παρκής αντοχή (για να παραμίνουν λατικές) Εργατηριακή Άκηη 14
(kn) (kn) 1/11/2016 Εργατηριακή Άκηη 45 max => 40 35 30 => 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 d (mm) /4 C T Εργατηριακή Άκηη Από διάγραμμα -d 50 40 30 20 10 -> u -> λ exp 0 0 20 40 60 d (mm) Από αναλυτικές χέις (,t) λ exp λ calc?? (f,, t) (f,, t) λ calc (, t)??? u??? 15