3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

Transcript

1 Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου Σύχρονη διατύπωη της Αρχής των Ήρωνος-Fermat. Η Αρχή του Σταίμου Χρόνου - Φρατική διατύπωη της Αρχής του Σταίμου Χρόνου ανομοιονή μέα - Μαθηματική διατύπωη της Αρχής του Σταίμου Χρόνου ανομοιονή μέα - Αναλλοιωτότητα του υναρτηιακού του χρόνου ως προς την παραμτροποίηη των ακτίνων - Πρώτη μταβολή του υναρτηιακού του χρόνου όταν το πδίο c ίναι λίο. Συνθήκη ταιμότητας Διαφορικές ξιώις ακτίνων - Απλά πορίματα των ξιώων των ακτίνων Συνθήκη ταιμότητας του υναρτηιακού χρόνου όταν το πδίο c μφανίζι αυνέχις Επίλυη των ξιώων των ακτίνων τις δύο διατάις πδίο μ κυλινδρική υμμτρία. Εφαρμοές την πριβαλλοντική ακουτική - Γραμμική κατανομή της ταχύτητας διάδοης, c z az+ c - Γνικό προφίλ ταχύτητας διάδοης cz - Η πρίπτωη c z Acosh [ B z z ] Εφαρμοές των ξιώων των ακτίνων την μλέτη διάδοης πιφανιακών κυματιμών βαρύτητας ρηχή θάλαα Γνικοί κώδικς πιλύως των διαφορικών ξιώων των ακτίνων Ειδική βιβλιοραφία πί της Αρχής του Ήρωνος-Fermat και της θωρίας ακτίνων C:\users\Taks\maths\documents\Sarafoglou\Kmatka Fermat_contents.doc Fanomena\_Theory\Chapter3\3_3 Heron-

2 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat, ή Αρχή του Σταίμου Χρόνου, αποτλί την πρώτη ιτορικά μταβολική αρχή της Φυικής, και ιχύι ια κάθ ίδους κύματα, υπό την προϋπόθη ότι το μήκος κύματος ίναι μικρό ως προς τις χαρακτηριτικές διατάις των ανομοιονιών του πδίου. Η διατύπωη και η αξιοποίηή της αρχής ια τον προδιοριμό των ακτίνων διάδοης της κυματικής διαταραχής δν προϋποθέτι τη λπτομρή νώη των φυικών νόμων που διέπουν το ξταζόμνο κυματικό φαινόμνο. Το μόνο τοιχίο που χριαζόμθα ίναι η τοπική ταχύτητα διάδοης της κυματικής διαταραχής. Στη υνέχια, τα δύο πρώτα υποδάφια του παρόντος δαφίου, θα διατρέξουμ ένα τμήμα της ιτορίας της ανάπτυξης αυτής της αρχής, και κατόπιν θα αχοληθούμ μ τη ύχρονη διατύπωή της και οριμένς φαρμοές της. Στη ύχρονη μορφή της, η αρχή των Ήρωνος-Fermat διατυπώνται μ τη λώα του λοιμού των μταβολών, και οδηί την παραωή διαφορικών ξιώων μ τη βοήθια των οποίων προδιορίζονται οι ακτίνς διάδοης. Στο τλυταίο υποδάφιο του παρόντος δαφίου οι ξιώις των ακτίνων πιλύονται διάφορς ιδικές πριπτώις, οι οποίς παρουιάζουν ιδιαίτρο νδιαφέρον χέη μ κυματικά φαινόμνα το θαλάιο πριβάλλον ακουτικά κύματα την υδάτινη μάζα, και πιφανιακά υδάτινα κύματα ρηχή θάλαα H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου Ο Ήρων ο Αλξανδρύς 3, ύρω το 5 π.χ., απέδιξ, τα Κατοπτρικά του, την ακόλουθη πρόταη: "Οταν μια ακτίνα φωτός ανακλάται ένα κάτοπτρο 4 η πραματική διαδρομή που ακολουθί πηή Π κάτοπτρο k μάτι παρατηρητή Δ ίναι υντομότρη ως προς οποιαδήποτ άλλη δυνατή διαδρομή της ανακλώμνης ακτίνας". Yourgau & andelstam 968/979 Η υνθήκη αυτή υνάται από τη λπτομρή μλέτη των δυναμικών ξιώων των διαφόρων κυματικών φαινομένων, απ' όπου προκύπτι ότι η θωρία ακτίνων μπορί να θωρηθί ως υψίυχνη αυμπτωτική προέιη των πλήρων δυναμικών ξιώων. 3 Ο Ήρων έζη την Αλξάνδρια, το τέλος του πρώτου και τις αρχές του δυτέρου αιώνα μ.χ.. Ακριβή τοιχία χτικά μ τον τόπο και το χρόνο της ννήως του δν ίναι νωτά. Θωρίται όμως βέβαιο ότι υπήρξ διυθυντής του "Πολυτχνίου" την Αλξάνδρια. Οπως προκύπτι από τα διαωθέντα έρα του, ο Ήρων υπήρξ μάλος μαθηματικός και φυικός και, ταυτόχρονα, ξαιρτικά ιδιοφυής μηχανικός, αλλά και πολυραφώτατος υραφύς. Τα πουδαιότρα από τα ωζόμνα έρα του ίναι τα ξής: "Μτρικά", όπου πριέχται πλήθος Γωμτρικών προτάων, ήδη νωτών ή πρωτοτύπων, καθώς και μέθοδοι υπολοιμοί της ττραωνικής και της κυβικής ρίζας, και πίλυης της δυτοβάθμιας ξίωης. "Πνυματικά", όπου πριέχονται οι θωρίς του Ήρωνος πρί του κνού, του αέρος, και της πιέως του αέρος, του νρού και του ατμού, και πριράφονται χτικά πιράματα και υτήματα που κινούνται μ την πίη του ατμού. "Κατοπτρικά", όπου πριέχται η θωρία του Ήρωνος ια την ανάκλαη του φωτός, ιάται η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου, η οποία αποτλί τον πρώτο μταβολικό φυικό νόμο που διατυπώθηκ ποτέ 5 πρίπου αιώνς πριν από τον δύτρο!, και μλτώνται υτήματα κατόπτρων. "Μηχανικά", όπου ξτάζονται υτήματα μ οδοντωτούς τροχούς και φαρμοές αυτών, η κίνηη κκλιμένο πίπδο, το κέντρο βάρους, και η ανάλυη δυνάμων και ταχυτήτων υνιτώς. "Πρί Αυτοματοποιητικής", όπου μλτώνται υτήματα αυτοματιμού ια τις κηνές των θάτρων. "Διόπτρα", όπου πριράφται η θωρία και η κατακυή οπτικού οράνου, παρομοίου μ τον ημρινό θοδόλιχο. Τα βιβλία του Ήρωνος, μταφραμένα και τα λατινικά και αραβικά, λιτούρηαν, μαζί μ τα Στοιχία του Ευκλίδη και οριμένα έρα του Αρχιμήδη, ως θμλιώδη υράμματα αναφοράς ως το τέλος του 7 ου αιώνα! 4 Επίπδο ή φαιρικό 5//8 :7 P

3 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. Ο Ήρων απέδιξ την ανωτέρω πρόταη ξκινώντας από το νωτό πιραματικά ββαιωμένο ονός ότι η ωνία προπτώως θ n και η ωνία ανακλάως θ rfl μιας ακτίνας ίναι ίς μταξύ τους: θ n θ rfl. Βλ Σχήμα. Π * θ θ rfl Δ k Σχήμα 3.3.: Ανάκλαη πίπδο κάτοπτρο Η ανωτέρω πρόταη παρουιάζι μια νή νικότητα. Επί παραδίματι, έχι νόημα ια κάτοπτρο κάθ χήματος π.χ., καμπυλόραμμο κάτοπτρο, καθώς και ια την πρίπτωη πολλαπλών ανακλάων ύτημα κατόπτρων. Επί πλέον, ίναι ξαιρτικά απλή, και διατηρί την απλότητά της ακόμη και όταν φαρμόζται πολύπλοκα υτήματα. Έτι, ο Ήρων, υνχίζοντας τη φιλοοφική παράδοη του Πυθαόρα, του Πλάτωνα και του Αριτοτέλη, ύμφωνα μ τους οποίους η κατανόηη της δομής και των νόμων της φύως μπορί και πρέπι να ίνται μ τη βοήθια "απλών" "τλίων" αρχών και χημάτων, θώρη την πρόταη αυτή ως μια "Ερμηνύουα Αρχή" των πιραματικών δδομένων. Μ αυτόν τον τρόπο, υνόψι τη φυική της ανάκλαης του φωτός την "Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου", την οποία θα αναφέρουμ πίης και ως "Αρχή του Ήρωνος": "Το ανακλώμνο φως ακολουθί διαδρομές λαχίτου δρόμου μήκους". Η λαχιτοποίηη πρέπι να νοίται μταξύ των διαδρομών μ ίδια αρχή, ίδιο πέρας, και ίδιο αριθμό ανακλάων κάθ κάτοπτρο. Πρέπι δώ να ημιωθί ότι ο τρόπος κέψης του Ήρωνος αποτλί ένα ημαντικό βήμα πρόοδου ως προς τους προηούμνους μάλους Έλληνς φιλοόφους, οι οποίοι δν υνέδαν, κατά κανόνα, τις Κομολοικές και Φυικές απόψις τους μ μπιρικά ή πιραματικά δδομένα. Επί παραδίματι, κατά τον Αριτοτέλη, η Γη ίναι φαιρική, πιδή η φαίρα ίναι το "τέλιο" τρό. Συνδέοντας, ο Ηρων, μια "απλή αρχή" μ πιραματικά δδομένα, ιήα τη θώρηη Πιραματικό ονός a Ερμηνύα Αρχή b Γνίκυη της Ερμηνύουας Αρχής ως νικού νόμου c Εκαθίδρυη "απόδιξη" του νικού νόμου μ φαρμοή και παλήθυή του και άλλα πιραματικά ονότα η οποία αποτλί το μθοδολοικό βάθρο των φυικών πιτημών ήμρα. Το βήμα c ίναι υνήθως πίπονο και μακροχρόνιο, και απαιτί τη υώρυη κτταμένης νώως/

4 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής μπιρίας, από μάλο αριθμό πριπτώων. Ενα ντυπωιακό παράδιμα του βήματος αυτού αποτλί, κατ' ουίαν, η "Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου" του Fermat που αναπτύται το πόμνο υποδάφιο, η οποία μπορί να θωρηθί ως νικώτρη "Ερμηνύουα Αρχή", η οποία πριλαμβάνι την αρχή του Ήρωνος και, ταυτόχρονα, καλύπτι και άλλα πιραματικά ονότα, πέραν του νόμου της ανάκλαης. Απόδιξη της "Αρχής του Ήρωνος" από το νόμο της ανάκλαης: Θα δώουμ τώρα μια ωμτρική απόδιξη της πρόταης: "άν οι ωνίς πρόπτωης και ανάκλαης ίναι ίς, τότ το μήκος της αντίτοιχης ακτίνας ίναι λάχιτο, ύκριη μ το μήκος κάθ άλλης διαδρομής που υνδέι την πηή μ το δέκτη και υφίταται ανάκλαη το ίδιο κάτοπτρο". Η πρόταη αυτή, η οποία, αποδικνύται πολύ ύκολα. Κατ' ουίαν δν ίναι παρά μια άκηη Ευκλίδιας Γωμτρίας. Ας υμβολίουμ μ βλ. Σχήμα Α A B Β Δ k Α: Την πηή του φωτός, Δ: το δέκτη, δηλ. το μάτι του παρατηρητή, ΑΒΔ: Την πραματική πορία της ανακλώμνης ακτίνας, ΑΒ Δ: μια οποιαδήποτ άλλη διαδρομή που υνδέι την πηή Α μ το δέκτη Δ και υφίταται ανάκλαη. Α' Σχήμα 3.3.: Απόδιξη της Αρχής του Ελαχίτου Δρόμου Φέρουμ την ΑΑ k και προκτίνουμ την ΔΒ. Έτω Α'ΑΑ ΔΒ, δηλ. το ημίο τομής των υθιών ΑΑ και ΔΒ. Τότ Aˆ BA Δ Bˆ B λόω της ιότητας των ωνιών πρόπτωης και ανάκλαης και άρα τα τρίωνα A B και A' B ίναι ία. Ως κ τούτου, το ημίο Α' ίναι υμμτρικό του Α ως προς το κάτοπτρο, και ΑΒΑ'Β. Αρα Μήκος ανακλώμνης ακτίνας ΑΒ+ΒΔΑ'Β+ΒΔΑ'Δ. Όμως, ια κάθ B k ιχύι πίης ΑΒ Β Α' και άρα ΑΒ +Β ΔΑ'Β +Β Δ. Από το Δ A Δ A τρίωνο A' Δ Δ B βλέπουμ ότι, αν B B, A'Δ AB + BΓ < AB Δ A B B Δ + B + μήκος ανακλώμνης μήκος οποιαδήποτ άλλης ακτίνας διαδρομής από A Δ, που υφίταται ανάκλαη. Αποδίξαμ, δηλαδή, ότι το μήκος της ανακλώμνης ακτίνας ίναι μικρότρο από το μήκος οποιαδήποτ άλλης διαδρομής που υνδέι την πηή Α μ το δίκτη Δ και υφίταται ανάκλαη το κάτοπτρο k. Ο Ήρων απέδιξ μ παρόμοιο τρόπο την ανωτέρω αρχή και ια φαιρικό κάτοπτρο κυρτό ή κοίλο. 5//8 :7 P

5 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Η αντίτροφη πρόταη, δηλαδή ότι από την Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου έπται η ιότητα των ωνιών πρόπτωης και ανάκλαης, ια πίπδο κάτοπτρο ίναι πίης ύκολη, και αφήνται ως άκηη τον ανανώτη. Η νικώτρη όμως πρόταη, ότι από την Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου προκύπτι ο νόμος της ανάκλαης θ n θ rfl ια καμπυλόραμμο κάτοπτρο οποιουδήποτ χήματος, ίναι δύκολη και απαιτί τη χρήη αναλυτικών μθόδων. Η πρόταη αυτή θα αποδιχθί αρότρα.

6 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου Στα μέα του 7 ου αιώνα, η διάθλαη του φωτός ίχ ήδη μλτηθί αρκτά, και ο "νόμος του ημιτόνου" ή "νόμος του Snell", όπως τον ονομάζουμ ήμρα, ίχ ίνι νικά αποδκτός. Στη Γαλλία, οι νόμοι της διάδοης του φωτός μλτήθηκαν διξοδικά ια τα δδομένα της ποχής, βέβαια από τον Descartes τα βιβλία του "Le onde, ou Traté de la Lumère" και "Doptrcs". Ο Fermat δν ίχ, κατ' αρχήν, κάποιο οβαρό νδιαφέρον ια την Οπτική. Η αρχική υμβολή του, το 637, ήταν μια κριτική των πιχιρημάτων του Descartes, τα οποία δν ύρικ καθόλου πιτικά. Ο Fermat πανήλθ τη μλέτη του προβλήματος της διάθλαης το 657, μ αφορμή ένα ράμμα του artn Cureau de la Chambre. Ο τλυταίος του ζητού να διαβάι και να χολιάι το βιβλίο του "La Lumère", το οποίο ιήα την λληνική, όπως ίδαμ ιδέα των μταβολικών νόμων "η φύη νρί πάντοτ κατά βέλτιτο τρόπο", και φάρμοζ την Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου του Ήρωνος ια να παράι το νόμο της ανάκλαης. Ο Fermat νδιαφέρθηκ κυρίως ια το μαθηματικό μέρος της Αρχής του Ελαχίτου Δρόμου, και αποφάι να την χρηιμοποιήι ια να δώι μια απόδιξη και ια το νόμο της διάθλαης. Ο κοπός του ήταν να παράι μια απόδιξη λύθρη από τα κοτινά ημία που ίχ η O Perre de Fermat ννήθηκ τη νότια Γαλλία το 6, πιθανότατα την πόλη Beaumont-de-Lomagne, όπου και πέρα την παιδική του ηλικία. Ο πατέρας του ήταν ένας υκατάτατος έμπορος δρμάτων. Σπούδα νομικά, και ράθηκ ως δικηόρος και αρότρα ως δικατής. Υπήρξ, πίης, νομικός ύμβουλος του Κοινοβουλίου της Toulouse. Η ναχόληή του μ τα μαθηματικά υπήρξ έντονη, αλλά ντλώς ραιτχνική. Οι ιτορικοί των μαθηματικών τον αποκαλούν "ο Πρίκηψ των Εραιτχνών"!. Αυτό δν ίναι, πάντως, κάτι αυνήθιτο ια την ποχή του, την οποία δν υπήρχ το πάλμα του μαθηματικού μ οποιαδήποτ πίημη έννοια ή ανανώριη. H δύναμη της ιδιοφυίας του Fermat ήταν τόη, ώτ να βάλι τη φραίδα του πολλές πριοχές των μαθηματικών, αλλά και τη φυική, κυρίως την οπτική, όπου η ομώνυμη Αρχή αποτλί πλέον ένα νικό ραλίο μλέτης της κυματικής κίνηης. Τότ δν υπήρχαν ακόμα ούτ ακαδημίς πιτημών, ούτ πιτημονικά πριοδικά. Οι διάφοροι φίλοι της πιτήμης, κορπιμένοι δώ κι κί, ίτ αλληλοραφούαν άμα, ίτ έτλναν ράμματα κάποιον λάτρη της πιτήμης το Παρίι, που τα αντέραφ και τα έτλν άλλους πιτήμονς. Ετι, ο Fermat διατύπων τις υναρπατικές κέψις και ιδές του ράμματα τους φίλους του, όπως ο Descartes Καρτέιος, ο Pascal, ο Roberval, ο Desargue, και άλλοι. Και όλοι αυτοί τον θωρούαν ως τον μέιτο μαθηματικό της Ευρώπης. Ο Fermat, κτός από τα ράμματα και τις ραίς των φίλων του, μλτού πίης τα μάλα έρα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, όπως τα Κωνικά του Απολλωνίου, από το οποίο μπνύτηκ τις ιδές του ια την Αναλυτική Γωμτρία, και τα Αριθμητικά του Διόφαντου, το πριθώριο του οποίου έραψ το πρίφημο "Τλυταίο Θώρημα" του Fermat. Ως νωτόν το "Τλυταίο Θώρημα" του Fermat, βαάνι τους μαθηματικούς όλου του κόμου ια τρις αιώνς και αποδίχθηκ μόλις το από τον Andrew Wles. Οι υμβολές του τα μαθηματικά πριλαμβάνουν, μταξύ άλλων: Σύτημα αναλυτικής ωμτρίας, πριν από τον Descartes και πιο ολοκληρωμένη μορφή. Ανάπτυξη μθόδων ια τον προδιοριμό των μίτων και των λαχίτων υναρτήων, καθώς και των φαπτομένων καμπύλς, δηλαδή μια πρώτη μορφή του διαφορικού λοιμού, πριν από τον Newton. Πραιτέρω ανάπτυξη της μθόδου του Αρχιμήδη ια τον υπολοιμό μβαδών, όκων και μηκών καμπυλών, δηλαδή μια μορφή του ολοκληρωτικού λοιμού, πίης πριν από τον Newton. Ουιώδη υμβολή τη θμλίωη της θωρίας των πιθανοτήτων, μαζί μ τον Pascal. Και, κυρίως, ημαντικό και βαθύ έρο τη θωρία των αριθμών, την οποία μπορί να θωρηθί ο αδιαφιλονίκητος Πρώτος, μέχρι ήμρα. Οι υμβολές του τη φυική ήταν μάλλον πριταιακές, και αναφέρονται τη ωτατική, τη μηχανική, και την οπτική. Σημαντικώτρη ίναι η υμβολή του την οπτική, όπου διτύπω την "Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου", βαική αρχή της ύχρονης κυματικής, η οποία αναπτύται κτνώς το κυρίως κίμνο. Μάλο μέρος από το έρο του Fermat πριέχται ράμματα προς τους φίλους του, μ τα οποία απαντού χτικά ρωτήματά τους. Ας ημιωθί ότι λάχιτα από τα έρα του δημοιύθηκαν όο ζού, και αυτά μτά από πίμονη απαίτηη των φίλων του. Την πρώτη υλλοή και έκδοη των έρων του πιμλήθηκ ο ιος του Samuel Fermat, μτά το θάνατό του. Ο Perre de Fermat πέθαν το //8 :8 P

7 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat * Π θ n Β θ rfr Σχήμα 3.3.: Διάθλαη του φωτός πίπδη διπιφάνια Δ "απόδιξη" του Descartes. Το κύριο πρόβλημα που ίχ να αντιμτωπίι ήταν προφανές. Βλ. Σχήμα. Ο δρόμος ΠΒΔ, που ακολουθί η διαθλώμνη ακτίνα, δν υμμορφώνται προς την Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου. Εδώ ακριβώς έκιται η μάλη υμβολή του Fermat. Διαιθάνθηκ ότι η ιχύς της Αρχής του Ελαχίτου μπορί να αποκαταταθί αν πιλέξουμ ένα άλλο μέθος προς λαχιτοποίηη. Μην ξχνάμ ότι ο Fermat ήταν τότ ο μόνος ίως μαθηματικός που μπορού να υπολοίζι ακρότατα υναρτήων!. Το πιχίρημά του ήταν ότι ο δρόμος ΒΔ, που διανύι η ακτίνα το δύτρο μέο, πρέπι να "αναχθί" ιοδύναμο δρόμο το πρώτο μέο, πολλαπλαιάζοντάς τον μ το λόο των "οπτικών αντιτάων" των δύο μέων. Θωρώντας τις "οπτικές αντιτάις" αντιτρόφως ανάλος προς τις ταχύτητς διάδοης του φωτός τα δύο μέα, οδηήθηκ ουιατικά το να αντικατατήι το μήκος του δρόμου που διανύι η φωτινή ακτίνα, από το χρόνο που απαιτίται ια να διαδοθί το φως από την πηή Π το δέκτη Δ. Στη υνέχια, βρίκοντας τη υνθήκη λαχιτοποίηης της ποότητας αυτής, κατέληξ το "νόμο του ημιτόνου" ια τη διάθλαη. Οι υπολοιμοί του ανακοινώθηκαν μ υπρηφάνια τον artn Cureau, μ ράμμα του την Ιανουαρίου του 658. Σύμφωνα μ τα παραπάνω, μπορούμ να υνοψίουμ την "Αρχή του Fermat" ή "Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου", ως ξής: "Το διαθλώμνο φως ακολουθί διαδρομές λαχίτου χρόνου". Η Αρχή του Fermat νέχι τους χαρακτήρς της νούς νικότητας και απλότητας που πιημάναμ και ια την Αρχή του Ήρωνος, και μάλιτα μαλύτρο βαθμό. Και τούτο διότι: Αν και διατυπώθηκ ως νόμος της διάθλαης, πριέχι και την Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου ως ιδική πρίπτωη, όταν έχουμ διάδοη ένα μόνο μέον. Αρα ιχύι τόο ια την ανάκλαη όο και ια τη διάθλαη. Διατηρί την απλότητά της αλλά και την ιχύ της! και πιο πολύπλοκα υτήματα, τα οποία υμβαίνουν πολλαπλές ανακλάις και διαθλάις. Γνικύται άμα και ιχύι και την πρίπτωη ανομοιονών μέων, δηλαδή μέων τα οποία η ταχύτητα διάδοης του φωτός μταβάλλται κατά νικό τρόπο από θέη θέη. Τα ανωτέρω υνοψίζονται την ακόλουθη διατύπωη: "Κάθ ακτίνα που υνδέι μια φωτινή πηή Π μ ένα δέκτη Δ, ακολουθί κίνο το δρόμο, δια του οποίου ο χρόνος που χριάζται το φως ια να φθάι από την πηή το δέκτη καθίταται λάχιτος", ή, ακόμη πιο υνοπτικά, "Το φώς ακολουθί διαδρομές λαχίτου χρόνου". Ουιατικά τη υνθήκη ταιμότητας. Ας ημιωθί ότι οι μταβολικές αρχές δν ίναι πάντοτ αρχές λαχίτου ή μίτου. Σήμρα ξέρουμ ότι πολλές πριπτώις ίναι απλώς υνθήκς ταιμότητας νός κατάλληλα πιλμένου υναρτηιακού. C:\users\Taks\maths\documents\Sarafoglou\Kmatka Fanomena\_Theory\Chapter3\3_3 a_heron- Fermat_refracton.doc

8 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Στις ανωτέρω διατυπώις δν αναφέρται τίποτ ια ανακλάις, διαθλάις ή ια τις ιδιότητς των μέων δια των οποίων διαδίδται το φως. Αυτό δν αποτλί παράλιψη ή λλιπτικό λόο. Οφίλται το ονός ότι η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου ιχύι ια κάθ δυνατή οπτική διάταξη οπτικό ύτημα. Ας ημιωθί ότι, μ αυτή τη νικότητα, η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου δν αποδίχθηκ ούτ ξτάθηκ από το Fermat. Είναι αποτέλμα που παληθύθηκ, πιραματικά και θωρητικά, πολύ αρότρα. Η μόνη πρόνοια που πρέπι να ληφθί φαρμόζοντας την ανωτέρω αρχή ίναι ότι η υνθήκη λαχιτοποίηης πρέπι να νοίται ως προς ιτονικές μταξύ τους διαδρομές, οι οποίς πρνούν από τα ίδια μέα και παρουιάζουν τον ίδιο αριθμό ανακλάων και διαθλάων. Αναζητούμ δηλαδή τα τοπικά ακρότατα ή ημία ταιμότητας του υναρτηιακού του χρόνου. Ενα ξαιρτικά νδιαφέρον ονός, το οποίο τηρίζι πραιτέρω την Αρχή του Fermat ως νικό νόμο, ίναι το ότι διαφορτικά τοπικά ακρότατα ή ημία ταιμότητας του υναρτηιακού του χρόνου, αντιτοιχούν διαφορτικούς δρόμους διάδοης, οι οποίοι όντως λαμβάνουν χώρα τη φύη! Απόδιξη του νόμου της διάθλαης από την Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου: Θα δώουμ τώρα την απόδιξη του νόμου του Snell από την Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου, ακολουθώντας ουιατικά τη ραμμή κέψης του Fermat, αλλά χρηιμοποιώντας ύχρονη μαθηματική ορολοία. Θωρούμ δυο μέα και, τα οποία χωρίζονται από μια πίπδη διπιφάνια δ. Οι ταχύτητς διάδοης του φωτός της κυματικής διαταραχής, νικώτρα τα δύο μέα ίναι c και c, αντιτοίχως. Βλ. Σχήμα. Ετω AB Δ η διαθλώμνη ακτίνα, και A, Δ οι προβολές της πηής A και του δέκτη Δ πάνω τη διπιφάνια δ. Θέτουμ βλ. και Σχήμα και A Δ, d AA, d ΔΔ, A B. Προφανώς, ο προδιοριμός της ακριβούς διαδρομής της διαθλώμνης ακτίνας ιοδυναμί μ τον προδιοριμό του μήκους. Ο χρόνος διάδοης της διαταραχής από την πηή A το δέκτη Δ κφράζται από τη χέη: t t AB c BΔ d + d c c c Α d A θ θ θ n θ n B Δ c δ θ rfr θ d c θ θ rfr Σχήμα 3.3.: Εφαρμοή της Αρχής του Ελαχίτου Χρόνου τη διάθλαη του φωτός. Δ 5//8 :8 P

9 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Παραωίζοντας ως προς, η ανωτέρω χέη μας δίδι t' c d + c d +. Η υνθήκη ταιμότητας του χρόνου t t ως προς ίναι t'. 3 c + d c d + Η υνθήκη 3, μ τη βοήθια και του Σχήματος, ράφται πίης τη μορφή c A B c, 4 AB BΔ BΔ snθ c snθ c snθ n snθ rfr c c η οποία δν ίναι παρά ο νόμος του Snell! Βλέπουμ λοιπόν ότι η υνθήκη ταιμότητας του υναρτηιακού του χρόνου ίναι ιοδύναμη μ το νόμο του Snell. Άρα, δν ίναι η υνθήκη λαχιτοποίηης, αλλά η υνθήκη ταιμότητας του χρόνου διάδοης, η οποία νδιαφέρι, προκιμένου να καταλήξουμ το νόμο της διάθλαης. Αυτό ίναι μια νικότρη παρατήρηη, η οποία οδηί τη νίκυη της Αρχής του Ελαχίτου Χρόνου, ως Αρχής του Σταίμου Χρόνου. Ας ημιωθί ότι υπάρχουν πράματι πριπτώις όπου η ακτίνα διάδοης δν αντιτοιχί διαδρομή λαχίτου χρόνου, πάντοτ όμως αντιτοιχί διαδρομή ταίμου χρόνου. Μλτώντας τη δύτρη παράωο του t, μπορούμ να αποδίξουμ ότι, την προκιμένη πρίπτωη, το ημίο ταιμότητας που αντιτοιχί το νόμο του Snell ίναι ημίο λαχίτου του υναρτηιακού του χρόνου. Πράματι, παραωίζοντας τα δύο μέλη της χέης, βρίκουμ d d t + 3 / 3 / c d + c d + >, ια κάθ [, ], 5 πράμα που αποδικνύι ότι το ημίο ταιμότητας, δηλαδή η λύη της ξίωης t', ίναι ημίο λαχίτου του υναρτηιακού του χρόνου. Επί προθέτως, η χέη 5 ξαφαλίζι ότι η υνάρτηη άρα η λύη ως προς της ξίωης 3 ίναι μοναδική. t' ίναι αυτηρώς αύξουα, και Άκηη: Έτω ότι τη διάταξη του Σχήματος νωρίζουμ τις αποτάις d, d,, και τις ταχύτητς διάδοης c, c. Να προδιοριθί η ακτίνα που υνδέι την πηή A μ το δέκτη Δ. Υπόδιξη: Δδομένου ότι τα τμήματα ΑΒ και ΒΔ της ακτίνας ίναι υθύραμμα, αρκί να προδιορίουμ το ημίο Β. Υψώνοντας το ττράωνο τα δύο μέλη της 3 φθάντ μια πλήρη ξίωη ττάρτου βαθμού. Εναλλακτικά, μπορίτ να θέτ y και να οδηηθίτ ένα ύτημα ως προς και y. Ο δύτρος τρόπος διυκολύνι τη ραφική πίλυη. C:\users\Taks\maths\documents\Sarafoglou\Kmatka Fermat_refracton.doc Fanomena\_Theory\Chapter3\3_3 a_heron-

10 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Παρατήρηη: Οπως βλέπουμ από τα ανωτέρω, το πρόβλημα του προδιοριμού της ακτίνας που υνδέι την πηή μ ένα δδομένο δέκτη ιδιοακτίνα, egenray, ίναι δυκολότρο από το πρόβλημα του προδιοριμού της πορίας μιας ακτίνας που ξκινάι από την πηή μ δδομένη κατύθυνη. Αυτό υμβαίνι τις πριότρς πριπτώις, και αντιμτωπίζται υνήθως ως ξής: χδιάζουμ μια δέμη ακτίνων και πιλέουμ κίνη που πρνά κοντά από το δέκτη. Το ημίο αυτό θα υζητηθί ν κτάι αρότρα. Πρόβλημα: [Διάδοη μέω διάθλαης άλλο μέο refracton arrval paths]. Ας θωρήουμ το ύτημα που ικονίζται το Σχήμα 3. Τώρα, η πηή Α και ο δέκτης Δ βρίκονται τον ίδιο ημίχωρο, όπου η ταχύτητα διάδοης του κύματος έχι τιμή c, και απέχουν αποτάις d AA και d ΔΔ, αντιτοίχως από τη διπιφάνια δ. Η ταχύτητα διάδοης του κύματος τον ημίχωρο ίναι c > c. Επί παραδίματι, μπορούμ να θωρήουμ ότι το διαδιδόμνο κύμα ίναι ακουτικό, τον ημίχωρο υπάρχι αέρας c 33 m / sec, και τον ημίχωρο υπάρχι νρό θάλαα, c 5 m / sec. Προφανώς, η κυματική διαταραχή μπορί να φθάι το δέκτη Δ μ δύο τρόπους μέω δύο ακτίνων: διάδοη απ υθίας, ακτίνα A Δ, διάδοη μέω ανάκλαης τη διπιφάνια δ, ακτίνα ΑΒΔ. Αν υποθέουμ ότι δν υπάρχουν άλλοι τρόποι ακτίνς διάδοης, τότ, αν τοποθτήουμ μταξύ της πηής Α και του δέκτη Δ ένα ηχοαπορροφητικό διάφραμα, όπως αυτό που ικονίζται το Σχήμα 3, θα μποδίζται η λήψη του ακουτικού ήματος το δέκτη Δ, τουλάχιτον άν το μήκος κύματος ίναι πολύ μικρότρο από το ύψος του διαφράματος, ώτ να μη υμβαίνι πρίθλαη. Κάτι τέτοιο δν υμβαίνι όμως την πραματικότητα! Το ήμα λαμβάνται και όταν υπάρχι διάφραμα, κτός άν αυτό βρίκται πολύ κοντά την πηή ή πολύ κοντά το δέκτη. Πώς μπορούμ να ξηήουμ αυτό το φαινόμνο? Λύη: Στο Σχήμα 4 φαίνται ένας άλλος πιθανός τρόπος πιθανή ακτίνα διάδοης: Το κύμα ιέρχται, κάποια θέη B το μέο, οδύι το μέον αυτό ως το ημίο B, και τη υνέχια διαθλάται και πάλι, ιέρχται ξανά το μέον, και φθάνι το δέκτη Δ. Δύο αλληλένδτα ρωτήματα προκύπτουν, ν προκιμένω: Μπορούμ να προδιορίουμ τα ημία B και B? Προβλέπται η ακτίνα AB B Δ από την αρχή του Fermat? Διάφραμα Δ Α d d c A Β Δ c Σχήμα : Πηή και δέκτης πάνω από διπιφάνια: διάδοη απ υθίας, ακτίνα A Δ, διάδοη μέω ανάκλαης τη διπιφάνια, ακτίνα ΑΒΔ. 5//8 :8 P

11 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3- Για να ξτάουμ τα ρωτήματα αυτά θα μλτήουμ το χρόνο διάδοης t, y που αντιτοιχί την ακτίνα AB B Δ, ως υνάρτηη των ανώτων μηκών και y B Δ : Άρα AB BB BΔ AB t, y + + c c c + BΔ BB + c c d + + d + y + y t, y, α c c. όπου A Δ. Παραωίζοντας τη χέη α ως προς και y, και μηδνίζοντας τις πρώτς παραώους, βρίκουμ τη υνθήκη ταιμότητας: t c d + c, β. t c d y + y c. β. Μ τη βοήθια και του Σχήματος 4, βλέπουμ ότι οι χέις β., β. ράφονται, ιοδυνάμως, τη μορφή c sn θ, c c sn θ.., c Άρα, φ όον c / c <, υπάρχουν πράματι οξίς θ, θ, οι οποίς ορίζουν την ακτίνα AB B Δ, και οι οποίς καθιτούν το υναρτηιακό του χρόνου τάιμο. Επί πλέον, μλτώντας τις δύτρς παραώους του υναρτηιακού της υνάρτηης t, y, ύκολα διαπιτώνουμ ότι Δ A θ d A B B + y y θ d Δ δ c c Σχήμα : Πηή και δέκτης πάνω από διπιφάνια: Διάδοη μέω ακτίνας που οδύι ια ένα διάτημα κάτω από τη διπιφάνια.

12 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3- t t t, >, και, δ y y κ των οποίων προκύπτι ότι το ημίο ταιμότητας ίναι και ημίο λαχίτου. Τέλος, την πρίπτωη αυτή, βλέπουμ ότι η κατακυή της ιδιοακτίνας AB B Δ ίναι άμη, ίτ μ τη βοήθια των ωνιών θ, θ, ίτ υπολοίζοντας τα μήκη και y, από τις ξιώις β. και β.. Διρύνηη:. Εύκολα διαπιτώνουμ ότι αν το ηχοαπορροφητικό διάφραμα τοποθτηθί πολύ κοντά την πηή A ή πολύ κοντά το δέκτη Δ ακριβέτρα, απόταη < από την πηή, ή απόταη < y από το δέκτη, τότ και αυτή η ακτίνα θα προκρούι το διάφραμα και θα απορροφηθί.. Για να έχι νόημα η ανωτέρω λύη/κατακυή, θα πρέπι + y >. Υπολοίζοντας τα και y από τις χέις β.,, η ανωτέρω υνθήκη παίρνι τη μορφή: c c c d + d >. 5//8 :8 P

13 ΚΕΦ.3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Σύχρονη διατύπωη της Αρχής των Ήρωνος-Fermat. Η Αρχή του Σταίμου Χρόνου Παρά το ότι τόο ο Ήρων όο και ο Fermat διτύπωαν τις ομώνυμς Αρχές Ελαχίτου αχολούμνοι μ προβλήματα οπτικής, η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου, νικυμένη ως Αρχή του Σταίμου Χρόνου, ιχύι πολύ νικότρα, κάθ πρίπτωη κυματικής κίνηης όπου ορίζται έχι νόημα η ακτίνα διάδοης του κύματος. Αυτό υμβαίνι όταν το μήκος κύματος ίναι πολύ μικρότρο από τις διατάις των μποδίων και, ταυτόχρονα, οι ιδιότητς του μέου δια του οποίου διαδίδται το κύμα μταβάλλονται αρά ως προς το μήκος κύματος. Η ιχύς της Αρχής του Σταίμου χρόνου ια τα διάφορα ίδη κυμάτων π.χ., ακουτικά, υδάτινα, λατικά, ηλκτρομανητικά μπορί να αποδιχθί ξκινώντας κάθ φορά από τις υκκριμένς ξιώις που διέπουν τα αντίτοιχα φαινόμνα π.χ., τις ξιώις του Euler ια τα ακουτικά και υδάτινα κύματα, τις ξιώις του awell ια τα ηλκτρομανητικά κύματα, κ.λπ.. Μ αυτό τον τρόπο μπορούμ να δούμ μ αφήνια τις ακριβίς προϋποθέις, υπό τις οποίς ιχύι η Αρχή αυτή υψίυχη πριοχή ή, ιοδυνάμως, χτικώς μικρά μήκη κύματος, όπως αναφέρθη ανωτέρω. Από την άλλη μριά, η Αρχή του Σταίμου Χρόνου μπορί να διατυπωθί και να αξιοποιηθί ια την παραωή ξιώων που ορίζουν τις ακτίνς διάδοης των κυμάτων, ανξαρτήτως του ίδους των κυμάτων και των υκκριμένων δυναμικών ξιώων που τα διέπουν. Μ την έννοια αυτή η Αρχή του Σταίμου Χρόνου έχι ένα αυτόνομο χαρακτήρα και μια νικότητα που υπρβαίνι τις πί μέρους μαθηματικές μοντλοποιήις των διαφόρων κυματικών προβλημάτων. Είναι μια νική "Ερμηνύουα Αρχή", που της αξίζι το status νός νικού νόμου της κυματικής. - Φρατική διατύπωη της Αρχής του Σταίμου Χρόνου ανομοιονή μέα Στο υποδάφιο αυτό θα ξκινήουμ από τη νική φρατική διατύπωη της Αρχής του Σταίμου Χρόνου, ύμφωνα μ την οποία "Τα κύματα οδύουν ακολουθώντας διαδρομές ταίμου χρόνου", και θα καταλήξουμ, φαρμόζοντας τχνικές του Λοιμού των Μταβολών, τις διαφορικές ξιώις που ορίζουν τις ακτίνς διάδοης των κυμάτων. Η όλη ανάπτυξη θα ίνι κατά τέτοιο τρόπο, ώτ τα αποτλέματά μας να ιχύουν ια κάθ ίδους κύμα. Μόνη προϋπόθη ίναι η έννοια της ακτίνας να έχι νόημα. Ετω D μια πριοχή του χώρου την οποία διαδίδται μια κυματική διαταραχή. Στην πριοχή D υποτίθται ότι υπάρχι το κατάλληλο μέο δια του οποίου διαδίδται το θωρούμνο κύμα. Ας μην ξχνάμ βέβαια ότι τα ηλκτρομανητικά κύματα διαδίδονται και το κνό. Το μέον μπορί να ίναι ομονές, ή ανομοιονές μ υνχώς ή αυνχώς κατανμημένς παραμέτρους. Η μοναδική παράμτρος που μας νδιαφέρι δώ ίναι η τοπική ταχύτητα διάδοης της κυματικής διαταραχής c c, κάθ ημίο,, του χωρίου D. 3 Ας θωρήουμ ότι η κυματική διαταραχή ξκινάι ή πρνάι από το ημίο βλ. Σχήμα και, μτά από κάποιο χρόνο, φθάνι το ημίο. Η Αρχή του Σταίμου Χρόνου ξιδικύται ια τη διάδοη μταξύ των ημίων και ως ξής: "Η κυματική διαταραχή οδύι από το ημίο το ημίο μέω κίνου του δρόμου ο οποίος καθιτά τάιμο το χρόνο διάδοης"

14 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής ή, ιοδυνάμως, "Η ακτίνα που υνδέι τα ημία, ίναι κίνη η διαδρομή που καθιτά το χρόνο διάδοης τάιμο". Η ταιμότητα ξτάζται ως προς ιτονικές μταξύ τους διαδρομές. Προοχή! Μπορί να υπάρχουν πολλές ακτίνς που ικανοποιούν την Αρχή του Σταίμου Χρόνου! Το υτυχές αυτό ονός θα υζητηθί κτνώς τη υνέχια. - Μαθηματική διατύπωη της Αρχής του Σταίμου Χρόνου ανομοιονή μέα Ας δούμ τώρα πως "μταφράζται" μαθηματικά ή ανωτέρω αρχή. Το πρώτο βήμα ίναι, προφανώς, να κφράουμ μαθηματικά την ποότητα η οποία πρέπι να ταιμοποιηθί, δηλαδή το χρόνο διάδοης της κυματικής διαταραχής. Ετω μια οποιαδήποτ καμπύλη που υνδέι τα ημία και, παραμένουα διαρκώς μέα το χώρο διάδοης D. Αν ds ίναι το τοιχιώδς μήκος τόξου πί της και dt ίναι ο χρόνος τον οποίο η διαταραχή διατρέχι το ds, τότ προφανώς dt ds / c. Ο χρόνος που απαιτίται ώτ η κυματική διαταραχή να διαδοθί από το ημίο o έως το ημίο, αν υποθέουμ ότι η διάδοη ίνται δια της καμπύλης, υπολοίζται αθροίζοντας τους χρόνους dt, δηλαδή ολοκληρώνοντας κατά μήκος της καμπύλης : ds τ. c o Αν θωρήουμ διάφορς καμπύλς που υνδέουν τα ημία και, το ολοκλήρωμα θα μας δώι διαφορτικές τιμές ια το χρόνο διάδοης. Προοχή! Οι διαφορές αυτές δν οφίλονται μόνο τη διαφορά του μήκους των διαδρομών, αλλά και το ονός ότι η ταχύτητα διάδοης έχι διαφορτικές τιμές πάνω διαφορτικές διαδρομές. s ds s D Σχήμα 3.3.3: Διαδρομές που υνδέουν τα ημία και. 5//8 :9 P

15 ΚΕΦ.3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Η χέη ορίζι μία απικόνιη μ πδίο οριμού ένα κατάλληλο ύνολο καμπυλών, και πδίο τιμών τους θτικούς αριθμούς: κάθ καμπύλη αντιτοιχίζται η πραματική τιμή τ. Μ άλλα λόια, η χέη ορίζι ένα υναρτηιακό functonal, το οποίο θα ονομάζουμ και υναρτηιακό του χρόνου ή υναρτηιακό του Fermat. Πριν προχωρήουμ, ίναι κόπιμο να πριράψουμ μ αφήνια το "κατάλληλο" ύνολο των διαδρομών τ. Το ύνολο αυτό καμπυλών πί του οποίου ορίζται το υναρτηιακό του χρόνου πρέπι να ίναι αρκτά νικό, ώτ να πριλαμβάνι όλς τις φυικά νδιαφέρους πριπτώις, αλλά και καταλλήλως πριοριμένο, ώτ να έχι νόημα το ολοκλήρωμα. Οριμός [Πδίον οριμού του υναρτηιακού του χρόνου]: Δοθέντων: νός χωρίου D ντός του οποίου υποτίθται ότι λαμβάνι χώρα η κυματική διάδοη, και δύο ημίων, D, θωρούμ το ύνολο των κατά τμήματα λίων καμπυλών οι οποίς κίνται ξ ολοκλήρου ντός του D D D, και έχουν ως ακραία ημία αρχή, πέρας τα,. Το ύνολο αυτό, το οποίο θα υμβολίζουμ ως D D;, ; SectonallyC, λαμβάνται τίθται ως το πδίου οριμού του υναρτηιακού του χρόνου τ, ξίωη. Παρατήρηη : Το υναρτηιακό μπορί να οριθί και υρύτρο ύνολο καμπυλών π.χ. τις καμπύλς των οποίων η κλίη ίναι υνάρτηη φραμένης κυμάνως. Η πέκταη αυτή δν θα θωρηθί δώ ιατί δν παρουιάζι ιδιαίτρο νδιαφέρον από φυική άποψη. Παρατήρηη : Δδομένου ότι το υναρτηιακό τ, ξίωη, ξαρτάται και από το πδίο ταχύτητας c, ίναι προφανές ότι, ια να ίναι καλώς οριμένο, απαιτίται και ο καθοριμός υνθηκών λιότητας ια το πδίο c. Η υνήθης υνθήκη, η οποία καλύπτι c ίναι κατά τις φυικά νδιαφέρους πριπτώις, ίναι ότι το πδίο ταχύτητας τμήματα C το D. Παρατήρηη 3: Στα πλαίια της μαθηματικής μλέτης του υναρτηιακού του χρόνου ίναι υχνά ημαντικό να διακρίνουμ την πρίπτωη των λίων διαδρομών διάδοης της κυματικής διαταραχής από την πρίπτωη των κατά τμήματα λίων διαδρομών. Για το λόο αυτό θωρούμ πίης το ακόλουθο νήιο υπούνολο του D D;, ; SectonallyC, πί του οποίου θα πριορίζουμ το υναρτηιακό του χρόνου οριμένς πριπτώις: { Sectonally ιναιλια } D D;, ; C D D;, ; C :. Strctly Παρατήρηη 4: Σημιώνουμ δώ ότι την πρίπτωη των λίων διαδρομών, δηλαδή όταν το υναρτηιακό τ θωρίται οριμένο το D D;, ; StrctlyC, το πδίο ταχύτητας c θωρίται κατά κανόνα λίο: c C D. Η απαίτηη αυτή υνδέται μ το φυικό ονός της διάθλαης, ύμφωνα μ την οποία ακτίνς που προπίπτουν πλαίως όχι κάθτα πιφάνις αυνέχιας της c χάνουν τη λιότητά τους. Έχοντας ορίι μ αρκτή αυτηρότητα το υναρτηιακό του χρόνου τ και το πδίο οριμού του, προχωρούμ το πόμνο βήμα ια τη μαθηματικοποίηη της Αρχής του Σταίμου Χρόνου, το οποίο ίναι να κατανοήουμ την έννοια της ταιμότητας του τ. Ας θωρήουμ, προς τιμήν, ότι η καμπύλη D D;, ; SectonallyC, πριράφται μ τη βοήθια ππραμένου πλήθους παραμέτρων, έτω των a n, n,,.., N. Τότ η

16 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής ποότητα τ τ a, a a, a,..., a, μπορί να νοηθί ως μια υνάρτηη N ϕ ϕa τ a, των N μταβλητών a, a,..., a N. Στην πρίπτωη αυτή, η έννοια της ταιμότητας ίναι ήδη νωτή από το Διαφορικό Λοιμό υναρτήων πολλών μταβλητών. Υπνθυμίζουμ δύο χδόν ιοδύναμους οριμούς: Οριμός : Η υνάρτηη ϕ ίναι τάιμη τη θέη a αν και μόνον αν ια κάθ a ~ ιτονικό του a, δηλαδή τέτοιο ώτ η απόταη d a~, a a ~ a να ίναι παρκώς μικρή, ιχύι η χέη ϕ a ϕ a + O a a. α Ιοδύναμος μ τον ανωτέρω οριμό ίναι ο ακόλουθος, υπό την προϋπόθη ότι η υνάρτηη ϕ ίναι παραωίιμη. Οριμός ': Η παραωίιμη υνάρτηη ϕ ίναι τάιμη τη θέη a αν και μόνον αν ϕ a ϕa, n,,..., N. β a n Πώς όμως πρέπι να νοηθί η ταιμότητα του τ τη νική πρίπτωη μιας καμπύλης που ξαρτάται από απίρου πλήθους παραμέτρους? Είναι φανρό ότι ια να προχωρήουμ ν προκιμένω πρέπι να ιάουμ μια κατάλληλη μαθηματική δομή το ύνολο των καμπυλών που μας νδιαφέρουν, έτι ώτ να μπορούμ να ποοτικοποιήουμ τις μταβολές του τ που προκύπτουν από μικρές μταβολές της καμπύλης. Αυτό το βήμα υνδέται τνά και μ την ιαωή μιας κατάλληλης έννοιας παραώου κλίως, gradent του υναρτηιακού τ ως προς. Αρχίζουμ μ τον οριμό των ιτονικών καμπυλών. Οριμός 3: Δύο καμπύλς, D D;, ; SectonallyC θα λέονται ιτονικές άν παρουιάζουν τον ίδιο αριθμό αυνχιών και άν, ταυτόχρονα, μπορί να οριθί μια αμφιμονοήμαντη αντιτοιχία μταξύ των ημίων τους τέτοια ώτ: οι αποτάις των αντιτοίχων ημίων να ίναι μικρές, και τα μοναδιαία φαπτόμνα διανύματα αντίτοιχα ημία να ίναι ιτονικά. Ιδιαιτέρως, άν οι καμπύλς,, D D;, λίς ιτονικές. ίναι και οι δύο λίς, δηλαδή όταν, ίναι ; StrctlyC και ιχύουν τα,, ανωτέρω, θα λέμ ότι οι Στο Σχήμα φαίνονται διάφορς διαδρομές που υνδέουν τα ημία και. Εξ αυτών, οι, ίναι ιτονικές διαδρομές, οι 3, 4 ίναι λίς ιτονικές διαδρομές, νώ οι 5, 6 δν ίναι ιτονικές διαδρομές, διότι η 5 έχι δύο αυνέχις διαθλάις, νώ η καμία. 6 Κάθ καμπύλη D D;, ; SectonallyC ξίωη της μορφής ή, ιοδυνάμως, μπορί να πριραφί παραμτρικά από μια 5//8 :9 P

17 ΚΕΦ.3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-6,, 3 3 3, όπου η παράμτρος [, ], και. Το τοιχιώδς μήκος της καμπύλης δίδται από τη χέη ds ds d + d + d + + d, όπου d / d,,, 3. Δδομένου ότι c c,, 3, το υναρτηιακό του χρόνου ράφται, μ τη βοήθια της 4, τη μορφή: ή τ d c c,, 3 L d d, 5α τ, L,, 3,,, 3 d. 5β Η ολοκληρωτέα υνάρτηη τις ανωτέρω χέις, δηλαδή η υνάρτηη L,, 6 c c,, 3 ονομάζται Langrangan υνάρτηη ή, απλούτρα, Langrangan του προβλήματος Σχήμα 3.3.3: Γιτονικές και μη-ιτονικές διαδρομές που υνδέουν τα ημία,. Μ τη βοήθια της αναλυτικής αναπαρατάως 3 της καμπύλης, μτατρέψαμ το πικαμπύλιο ολοκλήρωμα που μφανίζται το δξιά μέλος της, ένα υνηθιμένο ολοκλήρωμα το διάτημα [, ], όπως φαίνται το δξιά μέλος των χέων 5. Αυτό διυκολύνι την ανάλυη που ακολουθί, ιάι όμως ένα πρόθτο ρώτημα. Δδομένου

18 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής ότι μια καμπύλη μπορί να παραμτροποιηθί μ πολλούς άπιρους τρόπους, μήπως η πιλοή μιας υκκριμένης παραμτροποίηης πηράζι την τιμή του υναρτηιακού του χρόνου τ, όπως αυτή κφράζται από τα ολοκληρώματα των χέων 5? Ευτυχώς, όπως θα αποδίξουμ τη υνέχια, μια τέτοια, απαράδκτη από φυική άποψη, κατάταη δν υμβαίνι! - Αναλλοιωτότητα του υναρτηιακού του χρόνου ως προς την παραμτροποίηη των ακτίνων Η παραμτροποίηη 3 των ξιώων των ακτίνων ίναι, κατ' αρχήν, αυθαίρτη. Μια οποιαδήποτ άλλη πιτρπτή παράμτρος u θα μπορού να χρηιμοποιηθί αντί της παραμέτρου, η οποία θα οδηού διαφορτικές παραμτρικές ξιώις της ίδιας καμπύλης: 3 u,,,, u, u. 7 Υπνθυμίζουμ ότι δύο πιτρπτές παραμτροποιήις μιας και της αυτής καμπύλης, μέω των παραμέτρων και u, οφίλουν να ικανοποιούν την ακόλουθη υνθήκη: C > ια κάθ u [ u,u ] Υπάρχι υνάρτηη ϕ u, τέτοια ώτ ϕ u, ϕ u, και ϕ u. 8 Η υνθήκη αναλλοιωτότητας του υναρτηιακού του χρόνου κάτω από πιτρπτές αλλαές της παραμτροποίηης των ξιώων των ακτίνων διατυπώνται λοιπόν ως ξής: L d d d d d d 3,, 3,,, d u d u d u d3 u 3 L du du du u, u, u,,, du, u η οποία θα ράφται υνοπτικότρα τη μορφή: u u d d u L, d L u, du. 9 d du Στη υνέχια θα αποδίξουμ ότι η υνθήκη αναλλοιωτότητας 9 ιχύι ια κάθ πιτρπτή αλλαή παραμέτρου, δηλαδή ια κάθ αλλαή παραμέτρου u η οποία ικανοποιί τις υνθήκς 8. Είναι προφανές ότι η ιχύς της υνθήκης 9 ξαρτάται από τις ιδιότητς της Lagrangan υνάρτηης L, και δν αναμένται να ιχύι πάντοτ. Η καθοριτική ιδιότητα της Lagrangan, η οποία ξαφαλίζι την ιχύ της 9 ίναι η ακόλουθη: 5//8 :9 P

19 ΚΕΦ.3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat L L,a a,, ια κάθ a RI, δηλαδή ότι η υνάρτηη L ίναι ομονής πρώτης τάξως ως προς, 3,,. Η ιχύς της υνθήκης προκύπτι αμέως, από τη μορφή 6 της Lagrangan του προβλήματος. Το ακόλουθο Θώρημα απαντά πλήρως το ρώτημα αν και πότ ιχύι η υνθήκη αναλλοιωτότητας 9. Θώρημα [Weerstrass]: Η υνθήκη αναλλοιωτότητας 9 ιχύι αν και μόνον αν η Langrangan L, ίναι ομονής υνάρτηη πρώτης τάξως ως προς, 3,,, δηλαδή αν και μόνον αν ιχύι η υνθήκη. Απόδιξη: Θα αποδίξουμ μόνο την κατύθυνη 9 η οποία μας νδιαφέρι δώ. Έτω ϕ u μια πιτρπτή αλλαή παραμτροποίηης των ξιώων των ακτίνων, η οποία ικανοποιί τις υνθήκς 8. Στη νέα παραμτροποίηη οι ξιώις των ακτίνων παίρνουν τη μορφή και, άρα Τότ, έχουμ ϕ u u,,, 3, du d d u d u d du d du ϕ u d ό Λ ω, d L d u d της L du λόω της η οποία αποδικνύι το ζητούμνο. u u u u. u, ϕ u ϕ u du d L du ϕ ϕ, u u du u d, d L u, du u

20 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Πρώτη μταβολή του υναρτηιακού του χρόνου όταν το πδίο c ίναι λίο. Συνθήκη ταιμότητας Προχωρούμ τώρα τον υπολοιμό της μταβολής του υναρτηιακού του χρόνου, τ ~ τ, που προκύπτι από τη μταβολή ~, όταν οι δύο καμπύλς : και ~ : ~ ~ ίναι ιτονικές. Βλ. Σχήμα 3. Σ πρώτη φάη θα υποθέουμ ότι οι καμπύλς αυτές ίναι λίς ιτονικές, δηλαδή ότι οι παράωοι και ~ ορίζονται ια κάθ [ ],, και ιχύι, οπότ το υναρτηιακό του Fermat θωρίται οριμένο το ύνολο D D;, ; StrctlyC. Επί προθέτως, υποθέτουμ ότι και το πδίο c c,, 3 ίναι λίο, τουλάχιτον την πριοχή του χώρου απ όπου διέρχονται οι καμπύλς και ~, δηλαδή μια ιτονιά της καμπύλης. Η παραμτροποίηη των δύο καμπυλών μπορί να ίνι μ την ίδια παράμτρο, το ίδιο διάτημα [, ], φ όον υπάρχι αμφιμονοήμαντη αντιτοιχία μταξύ των ημίων τους. Τότ έχουμ βλ. Σχήμα 3 ~ + δ και ~ + δ, όπου οι ποότητς δ και δ μπορούν να θωρηθούν ως απιροτά πρώτης τάξως, φ όον οι καμπύλς και ~ ίναι ιτονικές. Ας δούμ κατ αρχήν πως μταβάλλται η Langrangan L του προβλήματος λόω της μταβολής ~. Εάν L ~ ίναι η Langrangan που αντιτοιχί την καμπύλη ~, τότ ~ L L ~, ~ L + δ, + δ. 3 ~ δ s ~ + δ s~ s + δ s Σχήμα : Λίς ιτονικές διαδρομές υνδέους τα ημία,. 5//8 :3 P

21 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3- Υποθέτοντας ότι η ίναι δύο φορές παραωίιμη ως προς τις έξι μταβλητές της L,3,,,, δώ χριάζονται οι απαιτήις λιότητας που θωρήαμ ανωτέρω, και αναπτύοντας κατά Taylor την δ δ + +, L, ύρω από το ημίο,, παίρνουμ: 3 3 δ δ + +,,, ~ L L L L + δ δ, O +. 4 Άρα, η μταβολή του υναρτηιακού του χρόνου που αντιτοιχί τη μταβολή ~ :, τ τ δτ d L L ~ ~ κφράζται, μ τη βοήθια της 4, ως ξής: δ δ δ δ δτ d O d, L L. 5 Ο δύτρος όρος μέα την ακύλη του πρώτου ολοκληρώματος, ανωτέρω, μπορί να μταχηματιτί ως ξής: d d d d δ δ δ L L L. Χρηιμοποιώντας την τλυταία, και κάνοντας παραοντική ολοκλήρωη το δύτρο όρο του πρώτου ολοκληρώματος της 5, οδηούμθα τη χέη., δ δ δ δ δτ d O δ d d L L L 6 Όμως, τα ημία και της καμπύλης δν μταβάλλονται. Άρα 3,,, δ δ, οπότ η 6 ίνται., ~ + 3 δ δ δ τ τ δτ d O d d d L L 7

22 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3- Το τλυταίο ολοκλήρωμα τη χέη 7 ίναι απιροτό δυτέρας τάξως ως προς τη μταβολή ~ της καμπύλης. Πρβλ. Σχέη α! Κατά υνέπια, και κατ αναλοία μ την έννοια της ταιμότητας μιας υνάρτηης N μταβλητών, η υνθήκη ταιμότητας ια το υναρτηιακό του χρόνου τ παίρνι την ακόλουθη μορφή: Οριμός 4 και Θώρημα: Το υναρτηιακό τ, οριμένο πί του μ c C D, ίναι τάιμο την καμπύλη ακτίνα, αν και μόνον αν D D;, ; StrctlyC όροι δυτέρας τάξως 3 7 L d L τ τ + ως προς τη μταβολή δ d, d ια κάθ λία καμπύλη ~ που ίναι ιτονική της και έχι μ αυτήν τα ίδια άκρα. Η υνθήκη ταιμότητας, 3 L d L δ d, 8 d ιοδυναμί μ τις ακόλουθς διαφορικές ξιώις d d L, L,,, 3. 9, [, ] Η απόδιξη της ανωτέρω ιοδυναμίας ίναι ύκολη και αφήνται ως άκηη τον ανανώτη. Οι ξιώις 9 ονομάζονται ξιώις Euler-Lagrange του υναρτηιακού, και αποτλούν την κατάλληλη νίκυη της υνθήκης ταιμότητας β την πρίπτωη του υναρτηιακού D D;, ; C, μ c C τ, οριμένου πί του υνόλου Strctly D. Η νίκυη της υνθήκης ταιμότητας του τ όταν D D;, ; SectonallyC και c ίναι κατά τμήματα C το D, θα αναπτυχθί πόμνο δάφιο. Οι διαφορικές ξιώις 9 προέκυψαν υπό την προϋπόθη ότι και, Υποδίξις: Η κατύθυνη 9 8 ίναι προφανώς ττριμμένη. Η κατύθυνη 8 9 αποδικνύται μ απαωή άτοπο, αξιοποιώντας τη υνέχια της ολοκληρωτέας και το ονός ότι οι υναρτήις δ ίναι αυθαίρτς υνχίς υναρτήις υποκίμνς, βέβαια, τη υνθήκη δ δ, η οποία δν έχι πίπτωη δώ. 5//8 :3 P

23 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3- όπου, ίναι δύο προκαθοριμένα ημία του χωρίου D. Το πρόβλημα 9, ίναι ένα πρόβλημα υνοριακών τιμών two-pont boundary-value problem, η λύη του οποίου ορίζι την ακτίνα που υνδέι το ημίο μ ημίο ιδιοακτίνα, egenray. Στην πρίπτωη που έχουμ πολλές λύις, αυτό ημαίνι ότι η κυματική διαταραχή οδύι από το ημίο το ημίο μέω πολλαπλών διαδρομών. Αυτό πράματι αυμβαίνι πολλές πριπτώις τη φύη, και προβλέπται θαυμάια από την Αρχή του Σταίμου Χρόνου ή θωρία ακτίνων. Το πρόβλημα υνοριακών τιμών 9, ίναι, κατά κανόνα, δύκολο να λυθί απ' υθίας. Γι' αυτό το λόο διατυπώνουμ και πιλύουμ ένα πρόβλημα αρχικών τιμών ια τις ξιώις ακτίνων 9, από το οποίο προδιορίζουμ τις ακτίνς που ξκινούν από το αρχικό ημίο, μ προκαθοριμένη κατύθυνη. Το πρόβλημα αρχικών τιμών θα διατυπωθί και θα χολιαθί τη υνέχια. 3 3 Παρατήρηη 5: Το ονός ότι η Langrangan L, ίναι ομονής ως προς, έχι μια ακόμη υνέπια: Οι τρις ξιώις 9, ανωτέρω, δν ίναι ανξάρτητς μταξύ τους. Εάν ιχύουν οι δύο ξ αυτών, τότ ιχύι και η τρίτη. Το ονός αυτό δν μας δημιουρί κανένα πρόβλημα τις φαρμοές, όπου δύο ξιώις αρκούν ια τον προδιοριμό των ακτίνων. Συνήθως, ξ άλλου, αναζητούμ τις ακτίνς μ τη βοήθια καρτιανών ξιώων της μορφής, π.χ., f, g, δηλαδή, πιλέουμ ως παράμτρο τη μια υντταμένη, οπότ η τρίτη ξίωη καθίταται πριττή.

24 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Διαφορικές ξιώις ακτίνων Όπως αναπτύχθηκ το προηούμνο δάφιο, η Αρχή του Σταίμου Χρόνου οδηί τις ξιώις Euler-Lagrange, ξιώις 9 του δαφίου 3.3.3, ως προς τις παραμτρικές υναρτήις, 3,,, που ορίζουν την καμπύλη. Είναι αφές ότι οι λύις των ξιώων αυτών, μας δίδουν καμπύλς ακτίνς, οι οποίς καθιτούν το χρόνο διάδοης της κυματικής διαταραχής τάιμο. Στο παρόν δάφιο θα μλτήουμ πραιτέρω τις ξιώις 9 του προηούμνου δαφίου, και θα ξάουμ οριμένα πρώτα νικά υμπράματα ια τις λύις τους, δηλαδή ια τις ακτίνς δια των οποίων διαδίδται η κυματική διαταραχή. Λαμβάνοντας υπ όψιν τη υκκριμένη μορφή της Langrangan ια το υναρτηιακό του χρόνου, οι ξιώις 9 του δαφίου 3.3.3, οδηούν τις d / d c,,, 3. c Εάν θωρήουμ τώρα ότι η παράμτρος ταυτίζται μ το μήκος της καμπύλης δηλαδή, μήκος τόξου, τότ s ίναι το μοναδιαίο φαπτόμνο διάνυμα της καμπύλης, οπότ οι ανωτέρω ξιώις παίρνουν τη μορφή d s μήκος τόξου,,, 3, α d c c πί της ακτίνας ή, διανυματική ραφή, d s μήκος τόξου,. β d c c πί της ακτίνας Οι ανωτέρω ξιώις ονομάζονται διαφορικές ξιώις ακτίνων, και υχνά ράφονται την φαινομνικά απλούτρη μορφή s c d d, 3α c ή, διανυματικά, d s d c c d s c + d c c. 3β, Οι ξιώις 3 πρέπι, πάντως, να νοούνται όπως οι, δηλαδή ως ξιώις που ιχύουν πάνω τις ακτίνς διάδοης, οι οποίς δν ίναι κατ αρχήν δδομένς, αλλά θα προκύψουν από τη λύη αυτών ακριβώς των ξιώων. 5//8 :39 P

25 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Αναλύοντας την παράωο ακτίνων: d s d c παίρνουμ μια ακόμη παραλλαή των ξιώων των d s d s d + s. d c d c d c Ομως c c,,, άρα 3 d d c 3 d s c d c c c s. Βάι των δύο τλυταίων ταυτοτήτων, η 3 παίρνι τη μορφή: d s c s s c, 3δ d c η οποία κφράζι απ υθίας το ρυθμό μταβολής του μοναδιαίου φαπτομνικού διανύματος κάθ ημίο, της ακτίνας, υναρτήι της κατύθυνης s της ακτίνας και της κλίης gradent c της ταχύτητας διάδοης το ίδιο ημίο. Θέτοντας s /c ξ, οι ξιώις 3 ράφονται ως ύτημα δύο διανυματικών ξιώων, οι οποίς ονομάζονται κανονικές διαφορικές ξιώις ακτίνων d c d ξ, dξ d c c, 4α,β όπου ίναι η παραμτρική μορφή των ακτίνων. Οι ξιώις 4 αποτλούν ένα ύτημα διαφορικών ξιώων πρώτης τάξως, το οποίο πιλύται μονοημάντως μ τη ξ. Οι κατάλληλς βοήθια αρχικών υνθηκών ια τις άνωτς υναρτήις και από μαθηματική άποψη αρχικές υνθήκς ίναι οι τιμές και ξ των ανώτων υναρτήων το ημίο αφτηρίας της ακτίνας. Από φυική άποψη, ύλοα αρχικά δδομένα ίναι το ημίο αφτηρίας της ακτίνας, έτω, και η αρχική κατύθυνη αρχικό μοναδιαίο φαπτόμνο διάνυμα της ακτίνας, έτω s βλ. και Σχήμα. Από τα και s λαμβάνουμ αμέως τις αρχικές τιμές ξ : και s Σχήμα 3.3.4: Αρχικές υνθήκς των ξιώων των ακτίνων, /c ξ s. 5α,β Οι ξιώις 4, 5 υνθέτουν το πρόβλημα αρχικών τιμών το οποίο υνήθως πιλύουμ ια τον προδιοριμό των ακτίνων διάδοης νικό ανομοιονές πδίο. c c

26 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Απλά πορίματα των διαφορικών ξιώων των ακτίνων Πόριμα : Εάν η ταχύτητα διάδοης c ίναι ανξάρτητη μιας υντταμένης, έτω της, δηλαδή c c, 3, τότ, κάθ ακτίνα που κίται πί του πιπέδου [ 3 ] την πριοχή νός ημίου της, παραμένι διαρκώς π αυτού. d s Απόδιξη: Εφαρμόζοντας την ξίωη 3α ια, παίρνουμ, φ d c c όον c c, 3. Άρα, κατά μήκος της ακτίνας η υνιτώα s του μοναδιαίου φαπτομνικού διανύματος s παραμένι ταθρή. Έτι, άν ένα ημίο της ακτίνας ίναι s, θα ίναι s κάθ ημίο αυτής. Αρα, η τλυταία παραμένι διαρκώς πί του πιπέδου [ 3 ]. Πόριμα : Σ ομονές μέο οι ακτίνς ίναι υθίς. d s Απόδιξη: Σ ομονές μέο έχουμ c ταθρό. Αρα, η ξίωη 3β δίδι και, d c d s πραιτέρω,. Δηλαδή, το μοναδιαίο φαπτόμνο διάνυμα κάθ ακτίνα ίναι d ταθρό κάθ ημίο της. Αυτό μπορί να υμβαίνι μόνο όταν οι ακτίνς ίναι υθίς. Πόριμα 3: Σ ανομοιονές μέο χώρο οι ακτίνς τρέφονται προς πριοχές μιούμνης ταχύτητας διάδοης. Απόδιξη: Το ρώτημα που ξτάζουμ πώς τρέφται η ακτίνα ίναι, προφανώς, τοπικό. Έτι, θα τιάουμ την προοχή μας ένα ταθρό ημίο, έτω, πάνω μια ακτίνα ds διάδοης. Αναλύουμ το διάνυμα b, που κφράζι το ρυθμό μταβολής του d φαπτομνικού διανύματος s το θωρούμνο ημίο της ακτίνας, δύο υνιτώς: την b, παράλληλη προς το διάνυμα c υπολοιζόμνο το ίδιο ημίο, πίης και την b, κάθτη το c βλ. και Σχήμα : ds b b + b d Σύμφωνα μ την ξίωη 3δ, ανωτέρω, έχουμ. b c s s c + b c. α ds Εάν c, τότ b. Δηλαδή, η κατύθυνη της ακτίνας δν μταβάλλται την d πριοχή των ημίων ταιμότητας του πδίου της ταχύτητας διάδοης c c,, 3. Θωρούμ τώρα c, και πολλαπλαιάζουμ ωτρικά τα δύο μέλη της χέως α πί c, οπότ παίρνουμ: c s c b c. β c 5//8 :39 P

27 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Όμως c s c, μ την ιότητα να ιχύι μόνον όταν c s φ όον c. Εξ αυτού και της β υνάται αμέως ότι ds b c < b αντίρροπο c, d κτός άν η διύθυνη ανξαρτήτως φοράς της ακτίνας ίναι παράλληλη μ την κλίη του πδίου της ταχύτητας διάδοης, οπότ c b b b d s d c Σχήμα 3.3.4: Μταβολή της διύθυνης ακτίνας ανομοιονές μέο s b c b. δ Σύμφωνα, λοιπόν, μ τη χέη, ανωτέρω, η υνιτώα της μταβολής του μοναδιαίου φαπτομνικού διανύματος Δs b Δ, πάνω τον φορέα του διανύματος c ίναι αντίρροπη προς c, ίναι δηλαδή όπως φαίνται το Σχήμα 5. Δδομένου ότι το διάνυμα c κατυθύνται προς πριοχές αυξανόμνης ταχύτητας c, υνάουμ ότι οι ακτίνς κάμπτονται προς πριοχές μιούμνης ταχύτητας διάδοης.

28 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής Συνθήκη ταιμότητας του υναρτηιακού χρόνου όταν το πδίο c μφανίζι αυνέχις. Διάθλαη και ανάκλαη Θα μλτήουμ τώρα τη υνθήκη ταιμότητας του υναρτηιακού του χρόνου ds τ c, όταν το πδίο c c της ταχύτητας διάδοης της κυματικής διαταραχής παρουιάζι αυνέχις κατά μήκος της διαδρομής καμπύλης. Στην πρίπτωη αυτή η ακτίνα η οποία καθιτά τάιμο το υναρτηιακό χάνι τη λιότητά της μφανίζι ωνιακό ημίο όταν υναντήι την αυνέχια του πδίου c. Το ονός αυτό αντιτοιχί τα φαινόμνα της διάθλαης και της ανάκλαης του κύματος διπιφάνις, τα οποία και ρμηνύι κατά τον πρέποντα τρόπο, δηλαδή παράοντας τους νόμους της διάθλαης Snell και της ανάκλαης. Ας θωρήουμ κατ αρχήν την κατάταη που μφανίζται το Σχήμα. Εντός του χώρου διάδοης υπάρχι μια πιφάνια,y,z D: ϕ,y,z, πί της οποίας το πδίο D { } c παρουιάζι αυνέχια. N θ D D θ y P δ Q N D Σχήμα 3.3.5: Διαδρομή διάδοης :, η οποία τέμνι την διπιφάνια πί της οποίας το πδίο c παρουιάζι αυνέχια Η πιφάνια μπορί ββαίως να κφραθί και μ τη βοήθια παραμτρικής αναπαράταης. 5//8 :5 P

29 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Μ άλλα λόια, ο χώρος διάδοης κοινό ύνορο D D D διαμρίζται δύο υποχωρία D,D, μ, έτι ώτ το πδίο c C D D ίναι δυο φορές υνχώς παραωίιμο τύπου τα ανοικτά χωρία και, νώ την πιφάνια ίναι αυνχές. Παρά ταύτα, τα μονόπλυρα όρια του πδίου c και της κλίης του c, όταν το ημίο τίνι την πιφάνια, θωρούνται καλώς οριμένα. Εάν Q βλ. Σχήμα, τα ανωτέρω μονόπλυρα όρια όταν το ημίο Q προίζται από την πλυρά του χωρίου, θα υμβολίζονται ως D c Q lm c P και c Q lm c P, P P δ D όπου δ ίναι οποιαδήποτ καμπύλη του χωρίου Q c αντιτοίχως. P P δ D, η οποία πρατούται το D, αλλά δν φάπτται μ την το. Τα μονόπλυρα όρια των c και Q, όταν το ημίο προίζται από την πλυρά του χωρίου D, ορίζονται Q Από φυική άποψη η πιφάνια αποτλί διπιφάνια μταξύ δύο μέων διάδοης μ διαφορτικές ιδιότητς. Αναφέρουμ οριμένα παραδίματα: Παράδιμα : Διάδοη ακουτικών ή ηλκτρομανητικών κυμάτων D : Ατμόφαιρα, D : Θάλαα, : Η διπιφάνια μταξύ αέρα και θάλαας η οποία δν ίναι υθύραμμη την πρίπτωη κυματιμένης θάλαας. Παράδιμα : Διάδοη ακουτικών κυμάτων D : Θάλαα, D : Υλικό του πυθμένα, : Η διπιφάνια μταξύ θαλαινού νρού και τρού πυθμένα. Μτά από αυτήν την ιαωική πριραφή της ωμτρίας και της φυικής του προβλήματος της κυματικής διάδοης χώρο μ αυνέχια της ταχύτητας διάδοης c, πανρχόμθα τη μλέτη του μαθηματικού προβλήματος, δηλαδή τη μλέτη της υνθήκης ταιμότητας του υναρτηιακού του χρόνου. - Το πρόβλημα της διάθλαης Θα ξτάουμ κατ αρχήν την πρίπτωη όπου το ημίο αφτηρίας πομπός, πηή της κυματικής διαταραχής βρίκται το χωρίο D, και το καταληκτικό ημίο Τα χωρία D,D, νοούνται ως τοπολοικώς ανοικτά ύνολα, δηλαδή δν πριέχουν τα υνοριακά τους ημία. Υπνθυμίζουμ ακόμη ότι μ D,D, υμβολίζουμ τα κλιτά πριβλήματα των D,D, δηλαδή την ένωη των ανοικτών χωρίων μ τα υνοριακά τους ημία.

30 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής δέκτης, ημίο μέτρηης της διαδδομένης διαταραχής βρίκται το χωρίο D. Αυτό ίναι το πρόβλημα της διάθλαης διαδιδόμνης κυματικής διαταραχής ήχου, φωτός, κ.λπ., όταν αυτή διέρχται από διπιφάνια όπου οι χτικές φυικές ταθρές παρουιάζουν αυνέχια. Έτω μια διαδρομή καμπύλη που υνδέι τα ημία και, και τέμνι τη διπιφάνια. Η καμπύλη : αποτλί το όριμα του υναρτηιακού τ, ξίωη. Θα πριορίουμ τις θωρήις μας ιοδυνάμως, το πδίο οριμού του υναρτηιακού! καμπύλς οι οποίς τέμνουν τη διπιφάνια ένα και μόνο ημίο 3. Κάθ τέτοια καμπύλη : αποτλίται από δύο τμήματα: το τμήμα :, το οποίο βρίκται ξ ολοκλήρου το χωρίο D, και το τμήμα :, το οποίο βρίκται ξ ολοκλήρου το χωρίο D. Η υποτίθται κατά τμήματα λία, μ πιθανό ωνιακό ημίο το ημίο. Το ημίο, κοινό άκρο των,, μταβάλλται, νικώς, όταν μταβάλλται η. Το ύνολο των καμπυλών που ικανοποιούν τις ανωτέρω προϋποθέις θα το υμβολίζουμ ως D D D ; ;, Sectonally D C. Το ανωτέρω ύνολο αποτλί πλέον το πδίο οριμού του υναρτηιακού του χ ου τ. ρόν Θα αναζητήουμ τώρα κίνη τη διαδρομή :, η οποία καθιτά τάιμο το υναρτηιακό του χρόνου ως προς όλς τις ιτονικές μ αυτήν διαδρομές :. Στο η μίο αυτό, ο ανανώτης παραπέμπται τον Οριμό 3, του δαφίου 3.3.3, όπου πριράφται μ πληρότητα η έννοια των ιτονικώ ν διαδρομών. - Μταβολές της μ ταθρό Το ύνολο όλων των ιτονικών της διαδρομών πριλαμβάνι, μταξύ άλλων, το ύνολο των διαδρομών N ; Μ ταθ. { D;, ; Sectonally C D ίναι ιτονική : της και τέμνι την διπιφάνια το ίδιο ημίο }. 3 Ο πριοριμός αυτός δν ίναι ουιώδης. Είναι απλώς βολικός. Στη υνέχια θα τον αναιρέουμ. Η κατάταη αυτή, δηλαδή να μαιρύουμ καταλλήλως το πδίο οριμού του υναρτηιακού μας, προκιμένου να τιαθούμ τη μια ή την άλλη όψη του προβλήματος που ξτάζουμ, ίναι τυπική τις μταβολικές διατυπώις και αποτλί τοιχίο της ομορφιάς και της νικότητας των μταβολικών αρχών. 5//8 :5 P

31 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Μ α D Μ D Μ Μ β D Μ Μ D Μ Σχήμα 3.3.5: Γιτονικές διαδρομές της :. Το ωνιακό ημίο μπορί να κρατίται ταθρό α, ή να κινίται πί της β Βλ. Σχήμα α. Πριοριζόμνοι, προς τιμήν, το ανωτέρω ύνολο των ιτονικών δ ιαδρομών οι οποίς πρνούν όλς από το ίδιο, παρατηρούμ ότι το υναρτηιακό του χρόνου ράφται ως τ ds ds τ + τ c c +, κ αι κάθ ένας από τους δύο όρους τ, τ, έχι ταθρά άκρα. Επί πλέον, το πδίο c ίναι λίο κατά μήκος των τμημάτων και της καμπύλης, τα οποία αποτλούν τα ορίματα των πί μέρους υνα ρτηιακών τ και τ, αντιτοίχως. Κατά υνέπια, την πρίπτωη αυτή φαρμόζται η χέη 6 του δαφίου 3.3.3, ξχωριτά το κάθ ένα υναρτηιακό τ, τ, κ της οποίας υμπραίνουμ ότι ιχύουν οι υνθήκς 3 3 L d L δ d d L d L δ d d, 3α, 3β ια αυθαίρτς μταβολές και, [, ], δ δ δ, 4α, [, ], δ δ δ, 4β