ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G Μονάδες Β Έστω η συνάρτηση ηµ Ν δείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο ΙR κι ισχύει συν Μονάδες 8 Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Αν η συνάρτηση είνι ορισµένη στο [,β] κι συνεχής στο,β], τότε η πίρνει πάντοτε στο [,β] µί µέγιστη τιµή Μονάδ β Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισµού της, είνι γνησίως µονότονη Μονάδ γ Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο κι lim, τότε lim δ Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο ΙR, τότε ε Αν lim >, d d Μονάδ Μονάδ ΒΠουρνάρς τότε > κοντά στο Μονάδ

ΘΕΜΑ ο Έστω ένς µιγδικός ριθµός κι ν i ν, ν IN* Ν δείξετε ότι 8 8 β Αν ρ κι Arg θ, ν δείξετε ότι ρ γ Αν κι Arg π π συν θ iηµ θ Μονάδες 7 Μονάδες 8 π, ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου µε κορυφές τ σηµεί του µιγδικού επιπέδου που είνι εικόνες των µιγδικών ριθµών, κι Μονάδες ΘΕΜΑ ο Έστω οι συνρτήσεις, g µε πεδίο ορισµού το ΙR ίνετι ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είνι - Ν δείξετε ότι η g είνι - Μονάδες 7 β Ν δείξετε ότι η εξίσωση: g - g - έχει κριβώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Έστω δύο συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, β] Ν ποδείξετε ότι ν h > g γι κάθε [, β], τότε κι β β hd > gd Μονάδες β ίνετι η πργωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση, που ικνοποιεί τις σχέσεις:, ΙR κι ι Ν εκφρστεί η ως συνάρτηση της ιι Ν δείξετε ότι, < < Μονάδες 5 γι κάθε > Μονάδες ιιι Αν Ε είνι το εµβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, κι τον άξον, ν δείξετε ότι ΒΠουρνάρς 4 < E < Μονάδες 6

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί πόδειξη σελ 5 σχολ βιβλίου Β Θεωρί σελίδες 4-5 σχολ βιβλίου Β Λ β Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο 8 8 i i 8 i i 8 i i i 4 i 6 i i 9 - i - 6 i - 9 - i i - β ρ, Arg θ Γι ν έχουµε: i i 6 i - 6 i i Επειδή ο µιγδικός έχει µέτρο ρ κι πρωτεύον όρισµ θ, θ έχει την κόλουθη τριγωνοµετρική µορφή: συνθ i ηµθ ρ συνθ iηµθ Η τριγωνοµετρική µορφή του µιγδικού ριθµού i είνι: π π συν i ηµ Εποµένως ο µιγδικός ριθµός i γράφετι: π π συν i ηµ ηµθ π π ρ συν θ i ηµ θ π π ρ συν θ i ηµ θ [ ρ συνθ i ] γ Σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ κι γι ρ, θ π έχουµε: συν π iηµ π, iέτσι ν Α η εικόν του στο µιγδικό επίπεδο, η εικόν Β του i προκύπτει πό στροφή της δινυσµτικής κτίνς π Α του κτά ΒΠουρνάρς

Επειδή το τρίγωνο ΑΟΒ είνι ορθογώνιο στο Ο µε µήκη κάθετων πλευρών, θ έχει εµβδόν τετργωνικές µονάδες ΘΕΜΑ ο Επειδή η είνι συνάρτηση έχουµε ότι γι κάθε g g ή g o g o, R µε g g έπετι Επειδή όµως η o g είνι - στο R προκύπτει πό την ότι Έτσι δείξµε ότι:, R µε g g προκύπτει Άρ η g είνι - β Έχουµε: Επειδή η g είνι - στο R, προκύπτει ότι: g g Θεωρούµε την συνάρτηση: h -, R H h είνι πργωγίσιµη ως πολυωνυµική µε: h' - - - H µονοτονί της h φίνετι στον πρκάτω πίνκ: ΒΠουρνάρς ή ή 4

Η h στο διάστηµ [-, -] ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Bolano, φού: Η h συνεχής στο [-, -] ως πολυωνυµική κι h- h- - - < Άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε h Eπειδή η h στο -, -] είνι γνησίως ύξουσ η πρπάνω ρίζ είνι µονδική στο -, -] Έχουµε h κι h - Επειδή η h είνι συνεχής στο [, ] κι h h - - < προκύπτει ότι στο διάστηµ, η h έχει µι τουλάχιστον ρίζ Επειδή κόµ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο [-, ], προκύπτει ότι η ρίζ υτή είνι µονδική στο [-, ] Έχουµε h - κι h Επειδή η h είνι συνεχής στο [, ] κι h h - - < προκύπτει ότι στο διάστηµ, η h έχει µι τουλάχιστον ρίζ Επειδή κόµ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο [,, προκύπτει ότι η ρίζ υτή είνι µονδική στο [, Επειδή: -, - είνι <, είνι >, είνι > Έτσι η h έχει κριβώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ στο R ΒΠουρνάρς 5

ΘΕΜΑ 4ο Θεωρούµε τη συνάρτηση φ h - g [, β] Η φ είνι συνεχής στο [, β] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Επειδή είνι h > g γι κάθε [,β] προκύπτει ότι Φ > γι κάθε [,β] Σύµφων τώρ µε το θεώρηµ σελίδ σχολ βιβλίου έχουµε: β d > a Άρ β φ ή - g β a h d g d > β a β h d > ή d gd > a βi Αφού η είνι πργωγίσιµη στο R έχουµε: ' Άρ - - - ή - ή [ - ] ή, φού - γι κάθε R ' µε R βii Επειδή είνι η ζητούµενη νίσωση < < γι > γράφετι: < - < ή < < ' Η στο [,] ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ άρ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ,: ' ξ Τότε όµως ρκεί ν δειχθεί < ξ < ή < ξ < ή a ΒΠουρνάρς β a 6

ΒΠουρνάρς 7 < ξ <, µε < ξ < Έτσι ρκεί ν δειχθεί ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο [, ] Υπολογίζοντς την έχουµε: [ ] R γι κάθε ' ' ' > Άρ γνησίως ύξουσ στο R άρ κι στο [,] βiii Από βii είνι > > κι επειδή η είνι συνεχής ως πργωγίσιµη στο R άρ κι στο [,], θ είνι d E Οι συνρτήσεις,, είνι συνεχείς στο R, οπότε µε βάση το ερώτηµ πό < < είνι: [ ] < < < < d E 4 d d d 4 E E < < Έτσι 4 < E κι Ε < E < Οπότε τελικά 4 < E <

ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Ν ποδείξετε ότι, ν µί συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σ έν σηµείο, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό Β Τι σηµίνει γεωµετρικά το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού; Μονάδες 8 Μονάδες 7 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση _ Αν ένς µιγδικός ριθµός κι ο συζυγής του, τότε ισχύει Μονάδες β Έστω µί συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι δύο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι κυρτή στο γ Γι κάθε συνάρτηση, πργωγίσιµη σε έν διάστηµ, ισχύει d c, c IR Μονάδες Μονάδες δ Αν µι συνάρτηση είνι κυρτή σε έν διάστηµ, τότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο του βρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση Μονάδες ε Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η είνι πργωγίσιµη στο κι, τότε η προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ ο _ ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί βi, όπου, β IR κι w i 4 όπου είνι ο συζυγής του Ν ποδείξετε ότι Rw β 4 Ιmw β Μονάδες 6 β Ν ποδείξετε ότι, ν οι εικόνες του w στο µιγδικό επίπεδο κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y, τότε οι εικόνες του κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y Μονάδες 9 γ Ν βρείτε ποιος πό τους µιγδικούς ριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y, έχει το ελάχιστο µέτρο ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση 5 Μονάδες Ν µελετήσετε την ως προς την µονοτονί κι τ κοίλ κι ν ποδείξετε ότι η έχει ντίστροφη συνάρτηση β Ν ποδείξετε ότι γι κάθε IR Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της στο σηµείο, είνι ο άξονς συµµετρίς των γρφικών πρστάσεων της κι της Μονάδες 5 δ Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον των κι την ευθεί µε εξίσωση ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες 8 Έστω µι συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ [,β] που έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο,β Αν ισχύει β κι υπάρχουν ριθµοί γ,β, δ,β, έτσι ώστε γ δ <, ν ποδείξετε ότι: Υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης στο διάστηµ,β β Υπάρχουν σηµεί ξ, ξ,β τέτοι ώστε ξ < κι ξ > γ Υπάρχει έν τουλάχιστον σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΒΠουρνάρς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o Θεωρί: Θεώρηµ σελ 7 σχολικού βιβλίου β Θεωρί: Η πάντηση βρίσκετι στη σελ 47 του σχολικού βιβλίου γ -Σ β-σ γ-σ δ-λ ε-λ ΘΕΜΑ o Είνι: w i 4 βi i βi 4 βi i β 4 β 4 β i Έτσι Rw - β 4 κι Imw β - 4 β Οι εικόνες του w στο µιγδικό επίπεδο είνι τ σηµεί Μ-β4, β-, όπου, β R Αφού νήκουν σε ευθεί µε εξίσωση y - είνι: β - - β 4-4β - 4-8 β - - β - Από την τελευτί συνάγετι ότι τ σηµεί Ν,β που είνι οι εικόνες του στο µιγδικό επίπεδο νήκουν στην ευθεί µε εξίσωση y - γ Από τις εικόνες των µιγδικών ριθµών, των οποίων οι εικόνες κινούντι στην ευθεί ε: y -, ελάχιστο µέτρο έχει εκείνος του οποίου η εικόν Κ είνι τέτοι ώστε ΟΚ κάθετη στην ε Έτσι: λ ΟΚ - κι ΟΚ: y - Λύνοντς το σύστηµ: y -, y - προκύπτει, y - ηλδή το σηµείο Κ έχει συντετγµένες,- Άρ ο µιγδικός µε το ελάχιστο µέτρο πό υτούς που κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y - είνι ο - i ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ ο Η συνάρτηση 5 είνι ορισµένη κι πργωγίσιµη φορές σε όλο το R µε: 5 5 4 κι 5 4 6 Επειδή είνι 5 4 > γι κάθε R, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το R 6 εφόσον > γι κάθε R Εποµένως η είνι: κοίλη στο διάστηµ -, ] κι κυρτή στο διάστηµ [, Επειδή η συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη στο R θ είνι - σε υτό κι συνεπώς η είνι ντιστρέψιµη στο R β Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο R ερώτηµ Προκειµένου ν δείξουµε ότι γι κάθε R, ρκεί ν δείξουµε ότι: γι κάθε R Πράγµτι, θεωρούµε τη συνάρτηση g -- στο R, η οποί είνι πργωγίσιµη σ υτό µε g - Από την εξίσωση g έχουµε - Έχουµε: ελάχ g Εποµένως g g γι κάθε R ή -- γι κάθε R κι άρ: γι κάθε R γ Η εφπτοµένη της C στο σηµείο, έχει εξίσωση y- - ή y- - ή y που είνι η διχοτόµος της πρώτης κι τρίτης γωνίς των ξόνων Επειδή τώρ η είνι ντιστρέψιµη ερώτηµ προκύπτει ότι υπάρχει η - ή οποί λόγω πρότσης σελ 55 σχολ βιβλ έχει C - συµµετρική την C ως προς άξον συµµετρίς την ευθεί y δ Γι κάθε [,] είνι: κι επειδή η - είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό *, θ είνι - - - φού - ** ΒΠουρνάρς Έτσι το εµβδόν του ζητουµένου χωρίου ισούτι µε: Θέτουµε - y y ιφορίζοντς την λµβάνουµε: dyd[] d κι E ydy 4

y 5 5 6 5 6 4 4 ***, άρ 5 5 5 E 'd ' d 5 d 5 d d 5 5 τ µ 6 4 Αιτιολογήσεις γι το ερώτηµ δ του ου θέµτος: d * H - είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη στο R, σύµφων µε την πρότση που λέει ότι ν η είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη σε διάστηµ τότε υπάρχει η ντίστροφή της η οποί είνι επίσης συνεχής στο κι διτηρεί το ίδιο είδος µονοτονίς µε την Η πρότση υτή, όµως, δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο κι νφέρετι γι λόγους µθηµτικής πληρότητς Έτσι, η µη νφορά σε υτήν πό κάποιο µθητή δεν έχει βθµολογικές πώλειες ** Ισχύει ότι: - Πράγµτι γι έχουµε: - y - y y y 5 y y yy 4 y y *** Η εξίσωση 5 έχει µονδική λύση την γιτί η είνι - στο R κι εποµένως κάθε οριζόντι ευθεί, οπότε κι η y, τέµνει την C σε µονδικό σηµείο Η εξίσωση 5 έχει µονδική λύση την, γιτί 4, φού 4 > γι κάθε R ΘΕΜΑ 4ο Αφού η είνι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ γ, δ κι γ δ <, εφρµόζετι το θεώρηµ Bolano πό το οποίο συνάγετι ότι υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ που νήκει στο νοιχτό διάστηµ µε άκρ γ, δ ώστε β Χωρίς βλάβη της γενικότητς υποθέτουµε ότι γ < δ κι γ >, δ <, οπότε < γ < < δ <β i Στο διάστηµ [, γ] είνι:, γ >, άρ < γ κι επειδή είνι < γ συνάγετι ότι: γ > γ Όµως πό το θεώρηµ µέσης τιµής ΘΜΤ γι την στο διάστηµ [,γ], υπάρχει κ,γ γ ώστε κ κι λόγω της κ > γ ΒΠουρνάρς ii Εργζόµενοι οµοίως, στο διάστηµ [γ, ] έχουµε: γ >, άρ γ > κι επειδή είνι γ < συνάγετι: γ γ < 5

Από το ΘΜΤ γι την στο διάστηµ [γ, ] έχουµε ότι υπάρχει κ γ, ώστε κι λόγω της είνι κ < κ γ γ iii Γι το διάστηµ [, δ] όµοι έχουµε ότι υπάρχει κ,δ ώστε δ κ < δ iv Γι το διάστηµ [δ,β] όµοι έχουµε ότι υπάρχει κ 4 δ,β ώστε β δ κ 4 > β δ v Είνι κ >, κ < άρ κ > κ κι επειδή κ < κ, είνι: κ κ κ κ < Όµως γι την εφρµόζετι το ΘΜΤ στο διάστηµ [κ,κ ], οπότε υπάρχει ξ κ,κ ώστε κ κ ξ κ κ < vi Είνι κ <, κ 4 >, άρ κ < κ 4 κι επειδή κ < κ 4 είνι κ κ 4 > κ κ 4 Όµως γι την εφρµόζετι το ΘΜΤ στο διάστηµ [κ,κ 4 ], οπότε υπάρχει ξ κ,κ 4 ώστε κ κ4 ξ > κ κ 4 είξµε έτσι ότι υπάρχουν ξ, ξ,β ώστε ξ < κι ξ > γ Από το β ερώτηµ µε βάση το θεώρηµ Bolano γι την στο κλειστό διάστηµ µε άκρ ξ, ξ προκύπτει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σηµείο ξ που νήκει στο νοικτό διάστηµ µε άκρ ξ, ξ ώστε ξ Το σηµείο ξ θ ήτν σηµείο κµπής της συνάρτησης εφόσον η άλλζε πρόσηµο εκτέρωθεν υτού Όµως κάτι τέτοιο δεν εξσφλίζετι πό τ δεδοµέν του θέµτος β τρόπος λύσης γι το θέµ 4β: Από το θεώρηµ µέγιστης-ελάχιστης τιµής γι την που είνι συνεχής στο [,β] εξσφλίζετι ότι υπάρχουν δύο σηµεί, [,β] µε < ώστε γι κάθε [,β] Εφόσον η πίρνει µί τουλάχιστον ρνητική τιµή κι µί τουλάχιστον θετική πράγµ που συνεπάγετι πό την δοσµένη σχέση γ δ <, η ελάχιστη τιµή θ είνι ρνητική, ενώ η µέγιστη τιµή θ είνι θετική Η είνι πργωγίσιµη στο,β άρ κι στ εσωτερικά σηµεί,, που επειδή είνι θέσεις κρόττων πό το θ Frma συνάγετι ότι ΒΠουρνάρς Στο διάστηµ [, ] η δεν µπορεί ν είνι η στθερή µηδενική διότι τότε η θ ήτν στθερή κι άρ ή ma min άτοπο διότι υπάρχουν τ δοσµέν γ,δ γι τ οποί ισχύει πό υπόθεση γ δ < Συνεπώς υπάρχει σηµείο, ώστε > ή < Έστω πχ > Τότε 6

πό ΘΜΤ γι την στο [, ], υπάρχει ξ, ώστε: ξ > πό ΘΜΤ γι την στο [, ], υπάρχει ξ, ώστε: ξ < Αν υποθέτµε < θ προέκυπτε ξ <, ξ > ΒΠουρνάρς 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν ποδείξετε ότι Μονάδες Β Πότε µι συνάρτηση λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Η δινυσµτική κτίν του θροίσµτος δύο µιγδικών ριθµών είνι το άθροισµ των δινυσµτικών κτίνων τους Μονάδες β l, ν κι µόνο ν lim lim l lim Μονάδες γ Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: g ' g Μονάδες δ Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες ε Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε β d Gβ G Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑο ίνετι η συνάρτηση µε τύπο ln ΘΕΜΑ ο Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, ν µελετήσετε την µονοτονί της κι ν βρείτε τ κρόττ Μονάδες β Ν µελετήσετε την ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σηµεί κµπής Μονάδες 8 γ Ν βρείτε το σύνολο τιµών της Μονάδες 7 ίνετι η συνάρτηση g, όπου συνάρτηση πργωγίσιµη στο R κι Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο ξ, τέτοιο ώστε ξ-ξ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο β Εάν -, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ γ Ν βρείτε το όριο lim Ι I gd, R Μονάδες 8 Μονάδες 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R τέτοι ώστε Αν γι κάθε R, ισχύει όπου βi C, µε, β R*, τότε: g d, Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R κι ν βρείτε τη g Μονάδες 5 β Ν ποδείξετε ότι ΒΠουρνάρς γ Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµτος β ν ποδείξετε ότι R Μονάδες 8 Μονάδες 6

δ Αν επιπλέον >, β κι >β, ν ποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε Μονάδες 6 ΒΠουρνάρς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Θεώρηµ Frma σελ 6 σχολ βιβλίου Β Ορισµός σελ σχολ βιβλίου Γ β γ δ ε Σ * Λ Λ Σ * Η πάντηση στο ερώτηµ Γ β µπορεί ν χρκτηρισθεί Σωστό µόνο εφ όσον η συνάρτηση είνι ορισµένη σε σύνολο της µορφής a,, Όπως είνι διτυπωµένη, σωστό είνι µόνο το ΘΕΜΑο β ντίστροφο ηλδή ν lim lim l lim l, φού γι την περίπτωση του ευθέως µπορεί ν θεωρηθούν ως σύνολ ορισµού της κι τ µεµονωµέν σύνολ a, ή, β Εποµένως πό υστηρή µθηµτική άποψη, η πάντηση είνι Λάθος Πρέπει > Άρ A, H είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, συνρτήσεων σ υτό µε ln ' ln ' ' ln ' ln ln ln Έχουµε: ' ln Οπότε:, A πορρίπτετι φού ή ln ln ως γινόµενο πργωγίσιµων ΒΠουρνάρς Εποµένως η συνάρτηση είνι:

Γνησίως φθίνουσ στο, ], φού είνι συνεχής στο, ] κι ισχύει ότι < στο, Γνησίως ύξουσ στο [,, φού είνι συνεχής στο [, κι ισχύει ότι > στο, Άρ προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι το ln β Η είνι κι η φορά πργωγίσιµη στο, ως γινόµενο δις πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό µέ '' ln ' ln ln Έχουµε: '' ln ln ln Εποµένως η συνάρτηση είνι: κοίλη στο, ] κυρτή στο [, Άρ προυσιάζει σηµείο κµπής το Μ, γ Είνι: ln lim o 4 lim lim lim o o o 4 D L' Hospial lim ln lim o o ΒΠουρνάρς

lim lim ln Επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο διάστηµ, ], είνι, ] [, Επειδή η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο διάστηµ [, είνι [, [, Έτσι, το τοπικό κρόττο πο το ερώτηµ, µπορεί ν χρκτηριστει κι ως ολικό ελάχιστο Άρ το σύνολο τιµών της είνι, [, [, [, ΘΕΜΑ ο Αφού πργωγίσιµη στο R, τότε κι η g είνι πργωγίσιµη στο R ως γινόµενο πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό Άρ η g είνι κι συνεχής στο R Έτσι η g είνι συνεχής στο, R κι πργωγίσιµη στο, R µε g' ' Επίσης είνι g g άρ g g Οπότε πό θεώρηµ Roll υπάρχει έν τουλάχιστον Όµως ξ άρ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν β Αφού - είνι ξ -ξ Ι gd d d ΒΠουρνάρς [ ] ' d [ ] 4 d [ ] ξ, ώστε ξ, ώστε 4 d [ ] [ 4 ] 4 ' d

[ ] [ 4 ] 4d [ ] [ 4 ] 4[ ] 4 4 4 4 4 4 7 4 - - 4-7 7 7 Άρ Ι 7-7 7, R 7 7 γ Είνι γι <, Ι 7 a a a 7 7 κι lim Άρ lim Ι 7 7 Έχουµε lim lim lim lim ΘΕΜΑ4ο Η συνάρτηση g γράφετι: g d Επειδή η είνι συνεχής στο R, η συνάρτηση φ ΒΠουρνάρς d είνι πργωγίσιµη σ υτό Ακόµ, η συνάρτηση h είνι πργωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική F d φ h είνι πργωγίσιµη στο R ως Έτσι η συνάρτηση σύνθεση των πργωγίσιµων συνρτήσεων h κι φ στο R, µε F' Ακόµ η συνάρτηση l είνι πργωγίσιµη στο R µε l' Εποµένως η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε g'

β Αφού g γι κάθε R κι g, η δοσµένη νισότητ γράφετι: g g γι κάθε R Έτσι όµως η g στο προυσιάζει ελάχιστο κι επειδή είνι πργωγίσιµη σε υτό συνεπάγετι πο θ Frma ότι g Όµως g κι επειδή βρίσκουµε ότι g Αφού g, έπετι γ Επειδή είνι, προκύπτει ότι _ R R δ Είνι a β i β β i οπότε R ερωτήµτος γ έχουµε: a β ή β β Επειδή >β προκύπτει ότι β <, οπότε β < < ΒΠουρνάρς a β κι λόγω του Έτσι γι την συνάρτηση η οποί είνι συνεχής στο R άρ κι στο [,] είνι: > κι β<, οπότε < Συνεπώς, εφρµόζοντς το θεώρηµ Bolano γι την στο διάστηµ [,], συµπερίνουµε ότι υπάρχει a, τέτοιο ώστε β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΘΕΜΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A στω µι συν ρτηση, η οποί είνι ορισµ νη σε έν κλειστό δι στηµ [, β] Αν: η είνι συνεχής στο [, β] κι β δείξτε ότι γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι β υπάρχει ένς, τουλάχιστον, β τέτοιος, ώστε η Μονάδες 9 Α Πότε η ευθεί y λ β λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης στο ; Μονάδες 4 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Αν η είνι συνεχής στο [, β] µε < κι υπάρχει ξ, β ώστε ξ, τότε κτ νάγκη β > Μον δες lim g, τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ β Αν υπάρχει το lim κι lim g Μονάδες γ Αν η έχει ντίστροφη συνάρτηση - κι η γρφική πράστση της έχει κοινό σηµείο Α µε την ευθεί y, τότε το σηµείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της - Μονάδες δ Αν lim κι > κοντά στο, τότε lim Μονάδες ε Αν η είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε ισχύει d a γι κάθε a Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ στ Αν µι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι δε µηδενίζετι σ υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε ή είνι ρνητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ Μονάδες ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί,, µε 9 είξτε ότι: β είξτε ότι ο ριθµός είνι πργµτικός γ είξτε ότι: ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση µε τύπο λ, λ > είξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 Μονάδες β είξτε ότι η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της, η οποί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, είνι η y λ Βρείτε τις συντετγµένες του σηµείου επφής Μ Μονάδες 7 γ είξτε ότι το εµβδόν Ελ του χωρίου, το οποίο περικλείετι µετξύ της γρφικής πράστσης της, της εφπτοµένης της στο σηµείο Μ κι του άξον y y, είνι E λ λ Μονάδες 8 λ E λ δ Υπολογίστε το lim λ ηµ λ Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ 4 Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη στο τέτοι, ώστε ν ισχύει η σχέση γι κάθε κι Ν δειχθεί ότι: ln β N βρεθεί το: d lim ηµ γ ίδοντι οι συνρτήσεις: 7 5 h d κι g 7 είξτε ότι h g γι κάθε δ είξτε ότι η εξίσωση, Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 5 d έχει κριβώς µί λύση στο 8 Μονάδες 6 ΒΠουρνάρς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Θεώρηµ ενδιάµεσων τιµών Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [, β] Αν: η είνι συνεχής στο [, β] κι β τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι β υπάρχει ένς, τουλάχιστον, β τέτοιος ώστε η Α Β Λ, β Λ γ Σ δ Σ ε Λ στ Σ ΘΕΜΑ Η ευθεί y λ β λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ν lim [ λ β ] Από τη σχέση έχουµε: 9 9 9 β Αρκεί * ν δειχθεί ότι: 9 9 9 Όµως,, φού Άρ 9 9 ΒΠουρνάρς 9 9 * Ισχύει ότι IR γιτί ν βi τότε βi άρ βi

ΒΠουρνάρς Έτσι IR β γ ' τρόπος Είνι: 9 9 9 9 9 7 9 9 β' τρόπος Είνι: 9 9 9 8 8 8 9 9 9 9 9 8 9 Η τελευτί ισχύει προφνώς, άρ κι η ρχική ΘΕΜΑ H είνι πργωγίσιµη στο ως σύνθεση πργωγισίµων συνρτήσεων σ' υτό, µε λ λ λ λ λ, Είνι λ >, λ > γι κάθε, οπότε > γι κάθε Άρ γνησίως ύξουσ στο β Έστω, οι συντετγµένες του σηµείου Μ Τότε η εξίσωση της εφπτοµένης στο Μ είνι ε: λ y y λ λ Γι ν διέρχετι η ε πό την ρχή των ξόνων πρέπει κι ρκεί:

γ λ λ λ λ λ Έτσι η ε γίνετι: y λ y λ λ Οι συντετγµένες του Μ είνι: M, λ ' B, O y y' A, λ M, λ Το ζητούµενο εµβδόν όπως φίνετι πό το σχήµ ισούτι µε: OAMB OAM λ λ d λ λ λ λ ΒΠουρνάρς ε λ λ λ λ λ δ Είνι Γι κάθε λ > είνι: ηµλ ηµλ ηµλ < λ λ λ Όµως lim lim, οπότε µε βάση το κριτήριο πρεµβολής είνι λ λ λ λ ηµλ ηµλ lim, ενώ > λ λ λ Έτσι lim κι φού > προκύπτει τελικά ότι λ ηµλ λ λ Eλ lim λ ηµλ Πρτήρηση: Γι την εύρεση του εµβδού του χωρίου Ε λ είνι δυντόν ν µη χρησιµοποιηθεί το σχήµ ως εξής: Γι την λ είνι λ λ κι λ λ > γι κάθε λ

Έτσι η είνι κυρτή στο οπότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο της, βρίσκετι κάτω πό τη γρφική πράστση µε εξίρεση το σηµείο επφής Σχόλιο σελ 74 σχολικού βιβλίου Έτσι λ λ γι κάθε Η συνάρτηση g λ είνι συνεχής ως διφορά συνεχών συνρτήσεων στο, λ οπότε το ζητούµενο εµβδόν ισούτι µε: λ λ λ λ λ λ Ελ λd λd λ K λ ΘΕΜΑ 4 Από τη δοσµένη σχέση ή ή ή ή C, C Γι έχουµε: C η οποί λόγω του ότι γράφετι: C C C γι κάθε έχουµε: Οπότε: Άρ: ln β Θέτουµε u ιφορίζουµε την τελευτί κι βρίσκουµε du d Επιπλέον γι είνι u, ενώ γι είνι u Έτσι: d ΒΠουρνάρς u du Εποµένως: u du

d u du lim lim ηµ ηµ Η είνι συνεχής στο, οπότε η u du u du είνι πργωγίσιµη στο µε Επειδή η u du είνι πργωγίσιµη στο θ είνι κι συνεχής σ' υτό u du u du Εποµένως: lim lim lim ηµ ηµ συν συν Η είνι πργωγίσιµη στο, άρ είνι κι συνεχής σ' υτό γ Είνι h 5 d 5 d 5 d ΒΠουρνάρς 5 d Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση φ 5 η h γράφετι: h φd φd 5 d Η φ 5 είνι συνεχής στο, άρ η συνάρτηση κ φd είνι πργωγίσιµη στο µε κ φ 5, όπως επίσης είνι πργωγίσιµη κι η συνάρτηση κ φd ως σύνθεση των πργωγισίµων, κ, µε κ φ φ Εποµένως h κ κ φ φ 5 5 5 5 5 5 ln ln ln ln 5 5 5 5 ln ln ln Ακόµ η 7 6 g είνι πργωγίσιµη στο µε g 7 7 7 Επειδή h g γι κάθε είνι h g c, c Όµως γι είνι h g, άρ c Εποµένως h g γι κάθε 6 6

5 δ Η εξίσωση d λόγω του ερωτήµτος γ γράφετι ισοδύνµ 8 7 8 7 7 7 8 Θεωρούµε τη συνάρτηση P 8 7 7, [, ] Η P είνι συνεχής στο, άρ κι στο [, ] ως πολυωνυµική P 7 < κ' P > Εποµένως, σύµφων µε το θεώρηµ Bolano υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε P Επιπλέον η P είνι πργωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, άρ κι στο [, ] µε P 8 7 6 Είνι P > γι κάθε, οπότε η P είνι γνησίως ύξουσ στο, Άρ η P έχει κριβώς µί ρίζ στο, ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 6 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Αν < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες Α Έστω µι συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο ; Μονάδες 5 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Γι κάθε µιγδικό ριθµό ισχύει β Αν υπάρχει το lim >, τότε > κοντά στο Μονάδες Μονάδες γ H εικόν ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς κι µη στθερής συνάρτησης είνι διάστηµ Μονάδες δ Ισχύει ο τύπος ', γι κάθε R Μονάδες ε Ισχύει η σχέση β β β g' d [ g ] ' g d, όπου,g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, β] Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τη συνάρτηση µε Ν ποδείξετε ότι η είνι - Μονάδες 6 β Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση - της κι ν βρείτε τον τύπο της Μονάδες 8 γ i Ν βρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων κι - µε την ευθεί y Μονάδες 4 ii Ν υπολογίσετε το εµβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι - Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί µε,, µε κι ΘΕΜΑ 4ο Ν ποδείξετε ότι: i ii 4 κι R Μονάδες 9 Μονάδες 8 β Ν βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, στο µιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που υτές σχηµτίζουν Μονάδες 8 ίνετι η συνάρτηση ln Ν βρείτε το πεδίο ορισµού κι το σύνολο τιµών της συνάρτησης Μονάδες 8 β N ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει κριβώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της Μονάδες 5 γ Αν η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g ln στο σηµείο A,ln µε > κι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της β συνάρτησης h στο σηµείο B β, µε β R τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης Μονάδες 9 δ Ν ιτιολογήσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g κι h έχουν κριβώς δύο κοινές εφπτόµενες Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σχολ βιβλίο σελ 5 Α Ορισµός Σχολ βιβλίο σελ 7 Β Λ β Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, Η είνι πργωγίσιµη στο [, µε ' > γι κάθε, Άρ γνησίως ύξουσ στο [, κι εποµένως είνι κι - β Αφού η είνι - υπάρχει η - ντίστροφη συνάρτηση της µε - : A R Αφού η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο Α [, έπετι ότι A, lim, [ [ Τώρ ν y y - y - - Επειδή -, y -, έχουµε y, [,, y [, ή y, [,, y [, ή y y, y [, Τελικά, [, ΒΠουρνάρς

ΒΠουρνάρς 4 γ i Έχουµε y y y y y y y y ή y y y y y y y y y ή y y Τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την y είνι τ Α,, Β, ii Οι συνρτήσεις κι - είνι συνεχείς άρ κι η διφορά τους είνι συνεχής ] [ ] [ Πρ οκύπτει ή ή ηλδή τ κοινά τους σηµεί είνι τ Α,, Β, Επειδή - Επίσης είνι γι [,] Άρ - - γι [,] Οπότε το εµβδόν του ζητούµενου χωρίου είνι τµ d d E

ΒΠουρνάρς 5 ΘΕΜΑ ο i Από τη σχέση έχουµε ισοδύνµ Θ δείξουµε ότι Πράγµτι η λόγω της γράφετι ισοδύνµ: 4 4 Η τελευτί σχέση είνι ληθής λόγω της υπόθεσης, άρ κι η Με νάλογο τρόπο δείχνουµε ότι Από τις κι προκύπτει ότι Άρ ii Είνι: Άρ Οπότε 4 Τότε: R R 4 4 4 4 4 4 β Επειδή προκύπτει ότι οι εικόνες των µιγδικών Γ, B, A βρίσκοντι σε κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν

ρ Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο πρπάνω κύκλος Λόγω τώρ της σχέσης προκύπτει ότι οι κορυφές A, B, Γ ποτελούν κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου στον πρπάνω γεωµετρικό τόπο ΘΕΜΑ 4ο Πρέπει > κι Άρ A,, Η είνι πργωγίσιµη στο Α ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων, µε ' < γι κάθε A Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ σε κάθε έν πό τ διστήµτ, κι, Επειδή τώρ lim, lim κι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο, είνι, R Επίσης επειδή lim, lim κι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο,, είνι, R Έτσι συνολικά το σύνολο τιµών της είνι,, R β Επειδή, R έπετι O, δηλδή υπάρχει, ωστε Η ρίζ υτή είνι µονδική στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Οµοίως επειδή, R έπετι O δηλδή υπάρχει, ώστε Η ρίζ υτή είνι επίσης µονδική στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Έτσι η έχει κριβώς ρίζες γ Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της g ln στο σηµείο A,ln, > είνι: y ln a ε Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της β B β,, β R είνι: y Οι ε, ε τυτίζοντι ν κι µόνο ν β β β β ln κι ln β Τότε η γράφετι: β β β β ε στο σηµείο ΒΠουρνάρς 6

ln ln ln ln ln ln ln δ Από το 4γ προκύπτει ότι οι γρφικές πρστάσεις των g, h έχουν κοινή εφπτόµενη στ σηµεί τους Α, ln κι Ββ, β ντίστοιχ ν κι µόνον ν: β ln Επειδή η έχει δύο δικεκριµένες ρίζες, κι, προκύπτουν δύο εφπτόµενες οι ε : y ln ε : y ln Οι εφπτόµενες υτές είνι κριβώς δύο δικεκριµένες φού έχουν δύο δικεκριµένους συντελεστές διεύθυνσης, ντίστοιχ,,, ΒΠουρνάρς 7

ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Αν, είνι µιγδικοί ριθµοί, ν ποδειχθεί ότι: Α Πότε δύο συνρτήσεις, g λέγοντι ίσες; Μονάδες 8 Μονάδες 4 Α Πότε η ευθεί y l λέγετι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο ; Μονάδες Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν συνάρτηση συνεχής στο διάστηµ [, β] κι γι κάθε [, β] ισχύει τότε d > β Μονάδες β Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο τότε > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Μονάδες γ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g ο είνι συνεχής στο Μονάδες δ Αν είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε g d ' g g ' µε την προϋπόθεση ότι τ χρησιµοποιούµεν σύµβολ έχουν νόηµ Μονάδες ΒΠουρνάρς ε Αν > τότε lim a Μονάδες

ΘΕΜΑ ο ίνετι ο µιγδικός ριθµός i µε a i Ν ποδειχθεί ότι η εικόν του µιγδικού νήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν ρ Μονάδες 9 β Έστω, οι µιγδικοί που προκύπτουν πό τον τύπο ai a i γι κι ντίστοιχ i Ν βρεθεί η πόστση των εικόνων των µιγδικών ριθµών κι Μονάδες 8 ιι Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: ν ν γι κάθε φυσικό ριθµό ν ΘΕΜΑ ο ίνετι η συνάρτηση: ηµ θ π όπου θ µι στθερά µε θ κπ, κ Μονάδες 8 Ν ποδειχθεί ότι η προυσιάζει έν τοπικό µέγιστο, έν τοπικό ελάχιστο κι έν σηµείο κµπής Μονάδες 7 β Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει κριβώς τρεις πργµτικές ρίζες Μονάδες 8 γ Αν, είνι οι θέσεις των τοπικών κροτάτων κι η θέση του σηµείου κµπής της, ν ποδειχθεί ότι τ σηµεί Α,, B, κι Γ, βρίσκοντι στην ευθεί y ηµ θ Μονάδες δ Ν υπολογισθεί το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης κι την ευθεί y ηµ θ Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ 4ο Έστω µι συνεχής κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει > ίνετι επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει g > γι κάθε [, ] Ορίζουµε τις συνρτήσεις: F gd, [, ], G gd, [, ] Ν δειχθεί ότι F > γι κάθε στο διάστηµ, ] β Ν ποδειχθεί ότι: G > F γι κάθε στο διάστηµ, ] γ Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: F F G G γι κάθε στο διάστηµ, ] δ Ν βρεθεί το όριο: lim gd g d ηµ d 5 Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 4 ΒΠουρνάρς Μονάδες 7

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί, σελίδ 98 σχολ βιβλίου Α Θεωρί - Ορισµός, σελίδ 4 σχολ βιβλίου Α Θεωρί - Ορισµός, σελίδ 8 σχολ βιβλίου Β Λ β Λ γ Λ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο i i i 4, Άρ i i i 4 Άρ η εικόν του µιγδικού νήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν ρ β Γι έχουµε: Γι έχουµε: i i i i i i i i i Αν Α, Β οι εικόνες των, ντίστοιχ, τότε η πόστσή τους είνι d A, B i i i i ν ν ν ν ii Είνι: ΘΕΜΑ ο -i - - H είνι πργωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, µε Οπότε ή - - - ν ΒΠουρνάρς Από τον πίνκ µετβολών της προκύπτει ότι η έχει τοπικό µέγιστο στο, το συν θ > κι έχει τοπικό ελάχιστο στο, το ηµ θ 4

Επίσης είνι: 6 Οπότε 6 - - Προκύπτει ότι η έχει σηµείο κµπής στο, το ηµ θ β i Επειδή, συν θ κι γνησίως ύξουσ κι lim > συνεχής στο, ], προκύπτει:, ], συν θ] Επειδή, ], υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι µονδική στο, ], φού η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό ii Επειδή συν θ >, ηµ θ < κι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο [, ] προκύπτει: [, ] [ ηµ θ, συν θ] Επειδή [, ], υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι µονδική στο [, ], φού η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό iii Επειδή ηµ θ <, lim κι η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο [, προκύπτει: [, [ ηµ θ, Επειδή [,, υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι υτή µονδική στο [,, φού η είνι γνησίως ύξουσ Άρ η εξίσωση έχει κριβώς ρίζες στο γ Έχουµε Α, συν θ, Β, ηµ θ, Γ, ηµ θ Α ε φού: συν θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ Β ε φού: ηµ θ ηµ θ ή ηµ θ ηµ θ ΒΠουρνάρς 5

Γ ε φού: ηµ θ ηµ θ ή ηµ θ ηµ θ δ Βρίσκουµε τ κοινά σηµεί των C, ε: y ηµ θ ηµ θ ή ή Εποµένως το ζητούµενο εµβδόν Ε του χωρίου είνι: * E y d d - - -d -d τµ - * > γι, < γι, ΘΕΜΑ 4ο Αφού, g συνεχείς στο [, ] η F είνι πργωγίσιµη στο [, ] µε F g Όµως g > στο [, ] πό υπόθεση, ενώ φού γνησίως ύξουσ στο [, ] έχουµε: >, άρ > στο [, ] Συνεπώς g > στο [, ] κι εποµένως F > στο [, ] Οπότε F γνησίως ύξουσ στο [, ] Έτσι γι, ] είνι > F > F F> gd F > β Είνι: µε, ] Αφού γνησίως ύξουσ στο [, ] έχουµε οπότε γι κάθε, ] Ακόµη g > στο, ] άρ κι g [ ] γι κάθε, ] κι γι κάθε [, ] Η ισότητ ισχύει µόνο ότν Ακόµη η g [ ] συνεχής στο [, ] µε, ] Άρ g[-]d > µε, ] Εποµένως γι κάθε, ] έχουµε: gd gd > gd > gd G> F ΒΠουρνάρς γ Είνι γι κάθε, ] κι γι κάθε [, ]: g > Επίσης g συνεχής στο [, ] άρ η G gd είνι πργωγίσιµη κι θετική γι κάθε, ] 6

Έτσι µπορούµε ν θεωρήσουµε τη συνάρτηση κι πργωγίζετι στο, ] µε F H που ορίζετι G F'G-FG' gg-fg H' G G g G F > στο, ] ιότι πό το ερώτηµ β είνι G G F> Άρ η συνάρτηση Η είνι γνησίως ύξουσ στο, ] κι εποµένως γι F F, ] έχουµε: Η H δηλδή G G δ Θεωρούµε τη συνάρτηση K g d gd ΒΠουρνάρς ηµ d 5 γι κάθε, ] Αφού οι F, G πργωγίσιµες στο [, ] είνι κι συνεχείς σε υτό άρ: Συνεπώς: Άρ lim lim F F lim G G g d F lim gd G F' lim lim G' LH συνεχής στο [,] Η φ ηµ είνι συνεχής στο κι η είνι πργωγίσιµη στο Ακόµη άρ η στο Συνεπώς ηµ d είνι πργωγίσιµη στο κι άρ είνι συνεχής lim ηµ d ηµ d lim 5 7

' ηµ d 4 4 ηµ d ηµ ηµ lim lim lim lim 5 LH 5 4 4 ' 5 5 5 Εποµένως: lim K lim lim gd ηµ d 5 gd ΒΠουρνάρς 8

ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση ln, * είνι πργωγίσιµη στο * κι ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µι συνάρτηση λέµε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [,β]; Μονάδες 5 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν µι συνάρτηση :A είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση ισχύει:, A κι y y, y A Μονάδες β Μι συνεχής συνάρτηση διτηρεί πρόσηµο σε κθέν πό τ διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισµού της Μονάδες γ Ότν η δικρίνουσ της εξίσωσης β γ µε, β, γ κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των µιγδικών Μονάδες δ Αν µι συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει > γι κάθε πργµτικό ριθµό Μονάδες ε Aν η είνι συνεχής σε διάστηµ κι, β, γ τότε ισχύει β d d γ γ d ΒΠουρνάρς β Μονάδες

ΘΕΜΑ o Αν γι τους µιγδικούς ριθµούς κι w ισχύουν: τότε ν βρείτε: 6 i κι w i w i το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγδικών ριθµών β το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγδικών ριθµών w γ την ελάχιστη τιµή του w δ την ελάχιστη τιµή του w ΘΕΜΑ o ln, > ίνετι η συνάρτηση, Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες β Ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί τη συνάρτηση κι ν βρείτε το σύνολο τιµών της Μονάδες 9 γ Ν βρείτε το πλήθος των διφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης γι όλες τις πργµτικές τιµές του Μονάδες 6 δ Ν ποδείξετε ότι ισχύει >, γι κάθε > ΒΠουρνάρς Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 4o Έστω µι συνάρτηση συνεχής στο γι την οποί ισχύει Ν ποδείξετε ότι d 45 6 45 Μονάδες 8 β ίνετι επίσης µι συνάρτηση g δύο φορές πργωγίσιµη στο Ν ποδείξετε ότι g' g' h g'' lim h h Μονάδες 4 γ Αν γι τη συνάρτηση του ερωτήµτος κι τη συνάρτηση g του ερωτήµτος β ισχύει ότι g h g g h lim 45 h h κι g g', τότε: i ν ποδείξετε ότι g 5 ii ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι Μονάδες Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σελ 5 σχολ βιβλίου Α Θεωρί Σελ 9 σχολ βιβλίου Β Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ ο Η ισότητ i 6, γράφετι ισοδύνµ: i 6 8 6 6 Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγδικών ριθµών είνι ο κύκλος µε κέντρο την ρχή των ξόνων Ο, κτίν ρ κι εξίσωση c: y β Η δοσµένη σχέση γι τους µιγδικούς ριθµούς w περιγράφει τη µεσοκάθετο του τµήµτος Γ, όπου Γ, κι, Πιο νλυτικά ν µιγδικοί ριθµοί που ικνοποιούν τη δοσµένη σχέση, έχουµε: w i w i yi i yi i w yi οι y i y i y y y y 6 9 y 6y 9 4 4y 6 y 4 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μw είνι τ σηµεί της ευθείς ε µε εξίσωση: y 4 γ Η ελάχιστη τιµή του w είνι η πόστση του σηµείου Ο πό την ευθεί ε: y 4, δηλδή: 4 4 4 d O, ε ΒΠουρνάρς 4

δ Σύµφων µε το πρκάτω σχήµ, όπου νπριστώντι γεωµετρικά οι γεωµετρικοί τόποι των εικόνων c, ε ντίστοιχ των µιγδικών ριθµών κι w βρίσκουµε ότι, η ελάχιστη τιµή του ΘΕΜΑ ο w είνι το µήκος του τµήµτος ΑΒ: AB OB OA ρ - c ln lim lim ln lim ln lim lim - y -4 lim A D l' Hospial Επίσης Συνεπώς συνεχής στο β Η είνι συνεχής στο, ως γινόµενο συνεχών κι συνεχής στο λόγω του Άρ η είνι συνεχής στο [, B ΒΠουρνάρς 4 ε Γι > : ln ln ln ln ln 5

ln ln Έχουµε τον πρκάτω πίνκ µετβολών: - Στο, η είνι γνησίως φθίνουσ άρ:, lim,, Στο, η είνι γνησίως ύξουσ άρ:,, lim, Εποµένως: [,,,, γ a Επειδή >, γι κάθε, γι την εξίσωση προκύπτει ο περιορισµός, Με τον περιορισµό υτό η εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: a a ln ln ln ln a a, > Επειδή το σύνολο των τιµών της βρέθηκε, προκύπτουν οι περιπτώσεις: i Αν a, η είνι δύντη ΒΠουρνάρς a a 6

ii Αν a, η τιµή Έτσι η έχει την ρίζ είνι η ελάχιστη τιµή της την οποί πίρνει µόνον γι iii Αν a,, επειδή,, κι η είνι γνησίως φθίνουσ στο, προκύπτει ότι, η έχει κριβώς µί ρίζ στο, που είνι θετική Επίσης επειδή,, κι η είνι γνησίως ύξουσ στο, προκύπτει ότι η έχει κριβώς άλλη µί ρίζ στο, που είνι επίσης θετική iv Αν a η γίνετι ln πορρίπτετι ή ln Μί ρίζ θετική v Αν a, επειδή,,, ύξουσ στο είνι θετική ΒΠουρνάρς κι η γνησίως,, προκύπτει ότι η έχει κριβώς µί ρίζ στο,, που δ Είνι > γι κάθε > Άρ γνησίως ύξουσ στο, Η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [, ], γι κάθε > Άρ υπάρχει ξ, : ξ ξ Όµως ξ γν ύξουσ < ξ < < 7

ΒΠουρνάρς 8 hu h u ΘΕΜΑ 4ο Το d είνι πργµτικός ριθµός Έτσι µπορούµε ν θέσουµε R k d Τότε 45 k κι άρ : [ ] d k d 45 9 46 9 6 4 45 4 4 k k k k Από τις, προκύπτει ότι: k 46 k - 9 k Οπότε τελικά: 45 6 45 β Έστω Έχουµε: h g h g h h g g h h ' ' lim ' ' lim u g u g u ' ' lim '' ' ' lim g u g u g u, φού ή g πό υπόθεση είνι δύο φορές πργωγίσιµη γ i Έχουµε: [ ] ' lim H DL lim ' h h g g h g h h g g h g h h h h g h g h h g h g h h ' ' lim ' ' lim h g h g g h g h ' ' ' ' lim [ ] ' ' ' ' ' ' ' ' lim g g h h g g h g h g h '' '' g g Οπότε g 6 45 45 6 45 H g 6 γράφετι: 4 4 5 6 4 c g g

4 Γι έχουµε: g c Οπότε g 5 4 Η g 5 τώρ γράφετι: g 5 Γι έχουµε: g c 5 Άρ g 5 5 5 g c ii H g 5 ως πολυωνυµική, είνι πργωγίσιµη στο µε g 5 4 Όµως g 5 4 > γι κάθε, οπότε η g είνι γνησίως ύξουσ στο, άρ κι ' ' ΒΠουρνάρς 9

ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει, ν ποδείξετε ότι η είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Μονάδες Β Πότε µί συνάρτηση λέγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν, είνι µιγδικοί ριθµοί, τότε ισχύει: Μονάδες β Μί συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, ότν γι κάθε A Μονάδες συν γ lim Μονάδες δ Κάθε συνάρτηση συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό Μονάδες ε Αν µί συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ [, β] κι ισχύει < γι κάθε [, β], τότε το εµβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, β κι τον άξον είνι: ΘΕΜΑ ο E Ω β d Θεωρούµε τους µιγδικούς ριθµούς: λ λ i, λ Μονάδες ΒΠουρνάρς Α Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς πάνω στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των µιγδικών ριθµών, γι τις διάφορες τιµές του λ Μονάδες 9

β Από τους πρπάνω µιγδικούς ριθµούς ν ποδείξετε ότι ο µιγδικός ριθµός i έχει το µικρότερο δυντό µέτρο Μονάδες 8 Β Ν βρεθούν οι µιγδικοί ριθµοί w οι οποίοι ικνοποιούν την εξίσωση w w όπου ο µιγδικός ριθµός που νφέρετι στο προηγούµενο ερώτηµ ΘΕΜΑ ο ίνετι η συνάρτηση: όπου > κι ln, >, A Αν ισχύει γι κάθε > ν ποδείξετε ότι Β Γι, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι κυρτή Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 5 β ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, Μονάδες 6 γ ν β, γ,,, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση: ΘΕΜΑ 4ο β έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο, γ Έστω µί συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει: Ορίζουµε τις συνρτήσεις: H d, [, ], H d, G 6 lim, d Μονάδες 6 ΒΠουρνάρς, ]

Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] Μονάδες 5 β Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, κι ότι ισχύει: H G', < < Μονάδες 6 γ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός, τέτοιος ώστε ν ισχύει Η Μονάδες 7 δ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός ξ, τέτοιος ώστε ν ισχύει: ξ a d ξ a d Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί - Θεώρηµ σελίδ 5 σχολ βιβλίου Β Θεωρί - Ορισµός σελίδ σχολ βιβλίου Γ Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ ο Α Έστω yi κι Μ, y η εικόν του Τότε yi λ λ i Άρ λ κι y λ Έτσι όµως y y ηλδή οι εικόνες των µιγδικών βρίσκοντι στην ευθεί ε : y β Ο µιγδικός µε το µικρότερο µέτρο έχει εικόν το σηµείο Μ γι το οποίο είνι ΟΜ ε - y O y M : ε y- ΒΠουρνάρς Αφού ΟΜ ε λ λ ε λ λ OM OΜ OΜ Άρ η εξίσωση της ΟΜ είνι: y 4

Οι συντετγµένες του Μ σηµείου τοµής των ΟΜ, ε προκύπτουν πό τη λύση του συστήµτος των εξισώσεων y, y Εποµένως M : y y y y Άρ Μ, κι i Β Έστω w y i, µε, y R Η εξίσωση w w γράφετι y y i i y y i i y κι y κι y 4 ή κι y Άρ w 4 i ή w i ΘΕΜΑ ο Α Ισχύει ότι γι κάθε > ηλδή ln γι κάθε > Όµως, οπότε γι κάθε > Εποµένως η προυσιάζει στη θέση ολικό, άρ κι τοπικό ελάχιστο το Ακόµη η είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων Άρ σύµφων µε το θεώρηµ Frma είνι Όµως B a ln a, οπότε ln Γι είνι ln Η είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο διάστηµ, µε ΒΠουρνάρς κι > γι κάθε, Άρ η είνι κυρτή β Αφού η είνι κυρτή στο, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,, µε προφνή ρίζ που είνι κι µονδική φού η είνι γνησίως ύξουσ Έτσι ν < < <, ενώ ν > > ηλδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, β γ γ Η δοσµένη εξίσωση ισοδύνµ γράφετι: 5

Θεωρούµε τη συνάρτηση g β γ, µε [, ] H g είνι συνεχής στο R ως πολυωνυµική άρ κι στο [, ] g β β β <, διότι ολικό ελάχιστο της κι β, g γ γ >, επίσης διότι ολικό ελάχιστο της κι γ *Πιο νλυτικά είνι β < διότι: Αν β, επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β < β > β < Αν β,, επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β > β Οµοίως προκύπτει γ > Άρ g g <, οπότε λόγω του θεωρήµτος Bolano υπάρχει, ώστε g β γ β Άρ η δοσµένη εξίσωση έχει µι τουλάχιστον ρίζ στο, *Πρτήρηση: Θέτοντς χάριν συντοµίς β κ > κι γ λ > θ µπορούσν ν δοθούν κι οι πρκάτω λύσεις: κ λ Η συνάρτηση h µε πεδίο ορισµού το, έχει όρι κι ντίστοιχ ότν κι ενώ ποδεικνύετι πολύ εύκολ ότι είνι κι γνησίως κ λ φθίνουσ στο,, διότι h < γι κάθε,, άρ έχει lim σύνολο τιµών το h, h, κι άρ το µηδέν περιέχετι στο σύνολο lim τιµών της δηλδή η h έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο, Επίσης ενλλκτικά πό το ότι η h έχει όρι κι ντίστοιχ ότν κι ΒΠουρνάρς, προκύπτει ότι υπάρχουν ριθµοί γ, δ ώστε < γ < δ < µε γ > κι δ < οπότε λόγω του θεωρήµτος Bolano στο διάστηµ γ, δ υπάρχει ρίζ της εξίσωσης h 6

ΒΠουρνάρς 7 β Αλγεβρική λύση: Θέτοντς, λ κ, προκύπτει λ κ κ λ κ λ κ λ λ κ λ κ Η τιµή υτή είνι ποδεκτή ως ρίζ της εξίσωσης φού < < λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ κι είνι µάλιστ µονδική ρίζ ΘΕΜΑ 4 ο Η συνεχής στο [, ] άρ κι η είνι συνεχής στο [, ] Εποµένως η συνάρτηση H είνι πργωγίσιµη στο [, ], άρ είνι κι συνεχής Η συνάρτηση d είνι πργωγίσιµη στο [, ] φού η είνι συνεχής στο [, ] Άρ η G είνι συνεχής στο, ] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Εξετάζουµε τη συνέχει της συνάρτησης G στη θέση Είνι d lim H, διότι: ' ' d d DLH lim lim lim H lim είνι lim, φού η είνι συνεχής στο [, ], κι d d lim διότι η συνάρτηση είνι συνεχής, άρ η d πργωγίσιµη άρ κι συνεχής Επίσης 6lim 6lim G 6 6lim 6lim Οπότε lim G G

Άρ η συνάρτηση G είνι συνεχής κι στο Εποµένως η G είνι συνεχής στο [, ] β Στο διάστηµ, είνι: η συνάρτηση Η πργωγίσιµη φού η είνι συνεχής, µε Η η συνάρτηση πργωγίσιµη ως πολυωνυµική µε Άρ κι η συνάρτηση µε: H H H H είνι πργωγίσιµη ως πηλίκο πργωγισίµων συνρτήσεων d ΒΠουρνάρς d Επίσης στο ίδιο διάστηµ, φού η είνι συνεχής συνάρτηση θ είνι πργωγίσιµη κι η συνάρτηση d µε d Άρ η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε: G d H, < < γ Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο,, µε G πό το β ερώτηµ H Βρίσκουµε την τιµή της G στη θέση : G d Όµως d d d d d H d Έτσι λόγω της είνι d G d G Ισχύουν εποµένως γι τη συνάρτηση G οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ [, ], άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε G H Όµως πό β ερώτηµ G Άρ είνι Η 8

ΒΠουρνάρς 9 δ Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο, Άρ ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµένως υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, : d a H H H a G a G G ξ ξ ξ ξ ξ d d ξ ξ d d *β τρόπος: Αρκεί ν δειχθεί ότι υπάρχει ρίζ στο,, µε, γι την εξίσωση: d d d d H H d a G d G Θεωρούµε τη συνάρτηση a G P d ρχική της d G, γι την οποί έχουµε : είνι συνεχής στο [, ως άθροισµ της συνεχούς G πό το ερώτηµ κι της πολυωνυµικής d β είνι πργωγίσιµη στο, ως άθροισµ της πργωγίσιµης G πό το β ερώτηµ κι της πολυωνυµικής, d µε d G P γ Ρ Ρ διότι Ρ G κι d d d a H H G P

Έτσι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll κι άρ υπάρχει ξ, ώστε P ξ P ξ G ξ d, δηλδή ποδείχθηκε ότι η εξίσωση έχει ρίζ ξ, ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν F είνι µι πράγουσ της στο, τότε ν ποδείξετε ότι: όλες οι συνρτήσεις της µορφής G F c, c είνι πράγουσες της στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο πίρνει τη µορφή G F c, c Μονάδες 6 A Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Μονάδες 4 A Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο ; Μονάδες 5 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Η δινυσµτική κτίν της διφοράς των µιγδικών ριθµών β i κι γ δ i είνι η διφορά των δινυσµτικών κτίνων τους β Έστω συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν η είνι γνησίως ύξουσ στο, τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του γ Αν µι συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστηµ, β, τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµ υτό είνι το διάστηµ Α, Β, όπου A lim κι B lim β δ συν ηµ, ε Αν lim <, τότε < κοντά στο Μονάδες ΒΠουρνάρς

ΘΕΜΑ Β ίνετι η εξίσωση, όπου C µε B Ν βρείτε τις ρίζες κι της εξίσωσης B Ν ποδείξετε ότι B Αν γι τους µιγδικούς ριθµούς w ισχύει w 4 i Μονάδες 7 Μονάδες 6 τότε ν βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγδικό επίπεδο Μονάδες 7 B4 Γι τους µιγδικούς ριθµούς w του ερωτήµτος Β, ν ποδείξετε ότι w 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ίνετι η συνάρτηση ln, Γ Ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί τη συνάρτηση Γ Ν λύσετε την εξίσωση: ln 4 Μονάδες 5 ΒΠουρνάρς Μονάδες 7 Γ Ν ποδείξετε ότι η έχει δύο σηµεί κµπής κι ότι οι εφπτόµενες της γρφικής πράστσης της στ σηµεί κµπής της τέµνοντι σε σηµείο του άξον ψ ψ Μονάδες 6 Γ4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ I d Μονάδες 7

ΘΕΜΑ ίνετι η συνεχής συνάρτηση : η οποί γι κάθε ικνοποιεί τις σχέσεις: d Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο µε πράγωγο, Μονάδες 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g,, είνι στθερή Μονάδες 7 Ν ποδείξετε ότι 4 Ν ποδείξετε ότι 9, d < d, γι κάθε Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρί, θεώρηµ, σελίδ 4 σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, ορισµός, σελίδ 79 σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, ορισµός, σελίδ 7 σχολικού βιβλίου Α4 ΘΕΜΑ Β β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ Β Είνι: i i Άρ i, i Β Είνι: 5 5 i i i i 5 5 i i 5 5 5 5 i i i i η λύση: Είνι: Β Είνι 5 5 i i i i i i i [ ] i i i 5 5 5 5 i i 5 5 5 5 i i i i i i w 4 i i i i Έστω w ψ i, τότε i ψ i 4 i 4 ψ i 4 ψ 4 ΒΠουρνάρς Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είνι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ 4, κι κτίν ρ 4

Β4 Το w είνι η πόστση της εικόνς Μ w πό την ρχή Ο,, δηλδή το µήκος ΟΜ Από τη Γεωµετρί όµως, γνωρίζουµε ότι ν η ευθεί ΟΚ τέµνει τον κύκλο στ σηµεί Α κι Β τότε ΟΑ ΟΜ ΟΒ που σηµίνει ότι η µέγιστη τιµή του w είνι το µήκος ΟΒ κι η ελάχιστη το µήκος ΟΑ Όµως ΟΑ ΟΚ ρ 5 κι ΟΒ ΟΚ ρ 5 7 O A K4,- B Mw Εποµένως, λόγω των, κι έχουµε w 7 η λύση: Γράφουµε : w w 4 i 4 i Οπότε σύµφων µε την τριγωνική νισότητ έχουµε: w 4 i 4 i w 4 i 4 i w 4 i 4 i ή 4 i w 4 i ή 5 w 5 Άρ w 7 ΒΠουρνάρς 5

ΘΕΜΑ Γ Γ Η είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R, ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών κι πργωγίσιµων συνρτήσεων µε πράγωγο: Επειδή > κθώς κι R Άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R Γ Η δοσµένη εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: Γ Είνι 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln Επειδή η είνι γνησίως ύξουσ, θ είνι κι - Εποµένως πό την προκύπτει Άρ ή > γι κάθε R, είνι Είνι ή, ενώ είνι >, κι <,, Έτσι η C έχει σηµεί κµπής στ σηµεί µε τετµηµένες, Η εφπτόµενη της C στο έχει εξίσωση ε : ΒΠουρνάρς > γι κάθε y y ln y ln Γι προκύπτει y ln 6

Γ4 ΘΕΜΑ Η εφπτόµενη της C στο έχει εξίσωση ε : y y ln y ln Γι προκύπτει y ln Οι ε κι ε τέµνοντι στο σηµείο Μ, ln του άξον y y d ln d d ln d d [ ln ] ln d d ln d 4 Η συνάρτηση ϕ είνι ορισµένη σε όλο το R φού γι κάθε R κι β συνεχής σε όλο το R, ως πηλίκο συνεχών Έτσι η συνάρτηση ϕ d είνι πργωγίσιµη στο R, µε ' ϕ, R Η g είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R, ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών κι πργωγίσιµων συνρτήσεων µε πράγωγο: g Είνι: Άρ η g είνι συνεχής στο R d, R ΒΠουρνάρς Λόγω του είνι g c, c R, γι κάθε R, άρ κάθε R c, γι 7

4 Έστω Γι προκύπτει c 9 Έτσι 9 9 9 Αν θέσουµε h, έχουµε ότι η συνάρτηση h είνι συνεχής στο R κι h γι κάθε R, φού, R Άρ η h διτηρεί στθερό πρόσηµο στο R, δηλδή είνι ή h > γι κάθε R ή h < γι κάθε R Όµως h > άρ h >, R κι >, R Από την προκύπτει ότι 9 Είνι F d, R 9 F d d, R c, c R κι F, R Όµως c 9, R 9 >, R 9 9 9 9 ηλδή > γι κάθε R, άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R Προκύπτει έτσι: < < >, R Λόγω των, η F είνι γνησίως ύξουσ στο R Εποµένως: < F < F d < d η λύση: Η F d είνι µι ρχική της στο R κι η προς πόδειξη νισότητ a ΒΠουρνάρς γράφετι F F F F F F < F F < 8

Από ΘΜΤ γι την F στ διστήµτ [, ] κι [, ] προκύπτει ότι υπάρχουν ντίστοιχ ξ, κι ξ, ώστε F F F F F ξ ξ κι F ξ ξ Έτσι ρκεί ν δειχθεί ξ < ξ µε ξ < ξ, ή ισοδύνµ ότι η είνι γνησίως ύξουσ Πράγµτι: 9 9 >, γι κάθε 9 9 9 9 R, δηλδή > γι κάθε R κι η γνησίως ύξουσ στο R ΒΠουρνάρς 9