ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων ομάδων υπέρ του Αυτές εφαρμόζονται στο επόμενο κεφάλαιο όπου αποδεικνύουμε ένα θεμελιώδες θεώρημα του Bude που αφορά στην επιλυσιμότητα ομάδων τάξης p a q b ( p, q πρώτοι) 7 Αναπαραστάσεις Έστω G ομάδα και k σώμα Μια αναπαράσταση της G υπέρ του k είναι ένας ομομορφισμός ομάδων ρ : G GL ( k), για κάποιο, όπου GL (k) είναι η ομάδα των αντιστρέψιμων πινάκων με στοιεία από το k Το ονομάζεται ο βαθμός της αναπαράστασης Αν ρ : G GL ( k) είναι μια αναπαράσταση της G, τότε θέτοντας V : k και ορίζοντας v ( )( v) λαμβάνουμε ένα k[g]-πρότυπο Αντίστροφα αν V είναι ένα k[g]-πρότυπο διάστασης, τότε σταθεροποιώντας μια βάση του V έουμε Aut( V) GL ( k ) και ορίζεται ένας ομομορφισμός ομάδων ρ : G GL ( k), όπου ρ () είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης V v v V ως προς τη συγκεκριμένη επιλογή βάση Έτσι, στις σημειώσεις αυτές, θα ρησιμοποιούμε τους όρους αναπαράσταση της G και k[g]-πρότυπο ωρίς να γίνεται ιδιαίτερη διάκριση μεταξύ της ρ και του V 7 Παράδειγμα Για κάθε ομάδα G έουμε την αναπαράσταση : G GL ( k), όπου ( ) για κάθε G Αυτή λέγεται η τετριμμένη αναπαράσταση της G Για τη συμμετρική ομάδα G S έουμε την αναπαράσταση : G GL ( k), όπου ( ) ( ) για κάθε S Αυτή λέγεται η αναπαράσταση προσήμου της S Έστω G η ομάδα D 8 που δίνεται με γεννήτορες και σέσεις από 8 a, b : a b, D ab ba (Κάθε στοιείο της D 8 γράφεται μοναδικά στη μορφή Ειδικά, η D8 έει ab με 0, 0 τάξη 8 Είναι μία από μια οικογένεια ομάδων που ονομάζονται διεδρικές Γεωμετρικά, η D8 περιγράφει τις συμμετρίες του τετραγώνου) Θέτουμε 0 0 A, B 0 0 Ελέγουμε ότι A B I, AB BA Συνεπώς ορίζεται μία αναπαράσταση G πάνω από το, : G GL ( ), από τις σέσεις ρ( a b ) A B, 0,, 0, Γεωμετρικά το Α παριστάνει στροφή 90 ο γύρω από την αρή των αξόνων και το Β ανάκλαση ως προς τον άξονα των x όπως φαίνεται στο παρακάτω σήμα Έτσι η συγκεκριμένη αναπαράσταση ρ αναπαριστάνει τη G ως ομάδα μετασηματισμών του επιπέδου

6 A: B : Δύο αναπαραστάσεις ρ, ρ : G GL ( k) λέγεται ισοδύναμες αν υπάρει T GL (k) με την ιδιότητα ρ ( ) T ρ( ) T για κάθε G Για παράδειγμα η αναπαράσταση : D8 GL( ) του προηγούμενου παραδείγματος είναι ισοδύναμη με την : D8 GL( ) που ορίζεται από τις σέσεις 0 0 ρ ( a) και ρ (b) 0 0 Εδώ Τ είναι πίνακας που διαγωνοποιεί τον Α, δηλαδή πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του Α, T Έστω ρ, ρ : G GL ( k) δύο αναπαραστάσεις της G με αντίστοια k[g]-πρότυπα V, V Τότε οι ρ, ρ είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν υπάρει ισομορφισμός k[g]-προτύπων V V (άσκηση) Μία αναπαράσταση ρ : G GL ( k) λέγεται ανάγωγη αν το αντίστοιο k[g]-πρότυπο V είναι απλό 7 Παράδειγμα Έστω G S η συμμετρική ομάδα των μεταθέσεων στοιείων Έστω V k και μια βάση { v,, v } του V Το V είναι S -πρότυπο με δράση v v () Δεν είναι απλό όταν, γιατί ένα υποπρότυπό του είναι το v v Πράγματι, έουμε, το κυκλικό υποπρότυπο του V που παράγεται από το v v v v v v για κάθε () ( ) S v v Ένα k[g]-πρότυπο V λέγεται πλήρως αναλύσιμο αν είναι ευθύ άθροισμα απλών υποπροτύπων του Το θεώρημα του Machke μας δίνει το εξής αποτέλεσμα 7 Πόρισμα Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα τάξης Αν η αρακτηριστική του k είναι μηδέν, ή αν η αρακτηριστική του k είναι p με p, τότε κάθε k[g]-πρότυπο είναι πλήρως αναλύσιμο Στα παρακάτω θα ασοληθούμε αποκλειστικά με την περίπτωση k πόρισμα Επίσης, G θα είναι πάντα πεπερασμένη ομάδα, οπότε ισύει το προηγούμενο

Στο κεφάλαιο είδαμε ότι υπάρει ισομορφισμός αλγεβρών διαστάσεις υπεράνω του έουμε G 6 [ G] M ( ) M ( ) Λαμβάνοντας Υπενθυμίζουμε ότι το είναι το πλήθος των ανά δυο μη ισόμορφων απλών [ G] -προτύπων Στη συνέεια θα αρακτηρίσουμε τον αριθμό ρησιμοποιώντας ομαδοθεωρητικές έννοιες Υπενθυμίζουμε ότι η κλάση συζυγίας του G είναι το σύνολο { x x x G} και ότι δύο κλάσεις συζυγίας είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες Έστω C μία κλάση συζυγίας Θέτουμε C [ G] C Θα δείξουμε ότι κάθε C ανήκει στο κέντρο της άλγεβρας [ G ] Έστω C { x x,, x x } και h G Έουμε C x x, οπότε γιατί καθώς το h Ch x διατρέει τα στοιεία h x x h C, () x το h x xh x,, διατρέει τα στοιεία του C (αφού h x x h h x x h x x x x x x λόγω του ορισμού των x στο σύνολο C) Από την () συνάγουμε ότι C C( [ G]) 7 Πρόταση Έστω C,,Cm οι (ανά δύο διάφορες) κλάσεις συζυγίας της G Τότε μία βάση του - διανυσματικού ώρου C( [ G ]) είναι η { C,, C m } Απόδειξη: Είδαμε πριν ότι C C( [ G]) για κάθε ) Γραμμική ανεξαρτησία: Αν λ C λ m Cm 0 με παίρνουμε λ λm 0, γιατί τα C,,C m είναι ανά δύο ξένα υποσύνολα βάσης ) Παράγουν το C( [ G ]) : Έστω C( [ G]) Τότε για κάθε h G ισύει λh h επομένως οπότε παίρνουμε συζυγίας λ hxh x λ x λ, xg hxh λ για κάθε x G Με άλλα λόγια, καθώς το διατρέει τα στοιεία μια κλάσης C ο συντελεστής λ παραμένει σταθερός Παράδειγμα Οι κλάσεις συζυγίας της συμμετρικής ομάδας οι κύκλοι μήκους δύο και, είναι οι κύκλοι μήκους, είναι C C C λ λ Έτσι γράφουμε λ λ C λ {}, {,, }, {, } G S λ mcm {,,,,, }, όπου και,, είναι (Γενικά ξέρουμε ότι δύο μεταθέσεις της S είναι συζυγή στοιεία αν και μόνο αν έουν τον ίδιο τύπο στην ανάλυση σε γινόμενο ξένων ανά δύο κύκλων) Άρα μια βάση του κέντρου της -άλγεβρας [ G ] είναι C, C C,

6 75 Πόρισμα Το πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών [ G] -προτύπων είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G Απόδειξη: Έουμε [ G] M ( ) M ( ) όπου είναι το πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών [ G] -προτύπων Υπολογίζοντας κέντρα παίρνουμε C( [ G ]) Το ζητούμενο προκύπτει από την Πρόταση 7 76 Πόρισμα Μια πεπερασμένη ομάδα G είναι αβελιανή αν και μόνο αν κάθε απλό [ G] -πρότυπο έει διάσταση ένα Απόδειξη: Αν G αβελιανή, τότε η G έει G κλάσεις συζυγίας, οπότε η σέση Αντίστροφα αν, τότε από τη σέση οπότε η G έει G κλάσεις συζυγίας και άρα είναι αβελιανή G G δίνει έπεται ότι G 77 Παράδειγμα (Οι ανάγωγες αναπαραστάσεις αβελιανών ομάδων) Έστω G (πεπερασμένη, όπως πάντα) αβελιανή ομάδα τάξης Από το θεώρημα ταξινόμησης των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων γνωρίζουμε ότι η G είναι ισόμορφη με ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων, G, όπου είναι θετικοί ακέραιοι Μια παρουσίαση της G με γεννήτορες και σέσεις είναι: G,, :,, Έστω,, με λ Ορίζουμε την αναπαράσταση : G λ λ ( ) λ ρ λ Το σύνολο { ρλ λ λ,,, } έει ακριβώς στοιεία και αποτελεί το σύνολο των αναγώγων αναπαραστάσεων της G υπέρ του *, 7 Χαρακτήρες Ορισμός Έστω ρ : G GL ( k) αναπαράσταση της G Ο αρακτήρας του ρ είναι η απεικόνιση όπου T( A ) συμβολίζει το ίνος αρακτήρας της αντίστοιης αναπαράστασης ρ a του πίνακα A a : G k, ρ ( ) T( ρ( )), Ο αρακτήρας ενός k [G] -προτύπου είναι ο Επειδή όμοιοι πίνακες έουν το ίδιο ίνος, παρατηρούμε ότι ισοδύναμες αναπαραστάσεις έουν τον ίδιο αρακτήρα Επιπλέον η τιμή ρ () εξαρτάται μόνο από τη κλάση συζυγίας του (και όι από το αυτό καθευατό) Παράδειγμα Μετά από μερικές πράξεις με υπολογισμούς πινάκων και ινών, βλέπουμε ότι ο αρακτήρας της αναπαράστασης : D8 GL( ) του Παραδείγματος 7 είναι a a a b ab a b a b ( ) 0 0 0 0 0 0

Παρατηρούμε ότι αν είναι ο αρακτήρας μιας αναπαράστασης ρ υπέρ του : G GL ( ), τότε: ) Ο βαθμός της ρ είναι η τιμή () ) Αν m είναι η τάξη του στοιείου G, τότε το () είναι άθροισμα m-στών ριζών της μονάδας m Πράγματι, αφού ισύει ρ( ) m I οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα ρ () είναι m-στές ρίζες της μονάδας Το ίνος του ρ () είναι το άθροισμα των ιδιοτιμών του ) Ισύει ( ) ( ) (ο συζυγής του () ), γιατί αν ( ) ω ω με ω ( ) ω ω και ω ω για κάθε v) ( ) αν και ( ) ( ) ( ) είναι συζυγή Πράγματι, αν και m 6, τότε είναι συζυγή τότε ισύει Ορισμός Έστω : G GL m ( ), : G GL ( ) δύο αναπαραστάσεις της G βαθμού m και αντίστοια Το ευθύ άθροισμα των ρ και ρ είναι η αναπαράσταση : G GL m ( ) βαθμού m που ορίζεται από ρ( ) 0 ( ρ ρ)( ) 0 ρ( ) Παρατήρηση Συνεπώς αν V, V είναι τα αντίστοια [ G] -πρότυπα των ρ, ρ του παραπάνω ορισμού, τότε το αντίστοιο [ G] -πρότυπο της αναπαράστασης ρ ρ είναι το V V Θεωρώντας ίνη παίρνουμε ρρ (όπου στο δεξί μέλος έουμε τη συνήθη πρόσθεση συναρτήσεων G, δηλαδή ρ ρ ( )( ) ( ) ( ) για κάθε G) Σημειώνουμε ότι η αναπαράσταση : G GL ( ) είναι ανάγωγη αν και μόνο αν δεν υπάρουν αναπαραστάσεις : ( ) G GL, : ( ) G GL, με και (άσκηση) Ορισμός Έστω, :G συναρτήσεις (όι αναγκαστικά αρακτήρες) Ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των και ψ, ψ ( ) ψ( ) G Παρατηρούμε ότι ),, ), είναι γραμμική στην πρώτη μεταβλητή, και ), 0 αν 0 Επίσης, λ ψ λψ λ, ψ λ, ψ για κάθε, και,, : G Σε κάθε περίπτωση οι αποδείξεις είναι άμεσες Για αρακτήρες μπορούμε να πούμε κάτι ισυρότερο: 7 Πρόταση Έστω και ψ αρακτήρες της G και,, ανιιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Με C ( ) συμβολίζουμε την κεντροποιούσα ομάδα του, C( ) { x G x x} Τότε

(),, ( ) ( ) G, και 65 () ( ) ψ( ), ψ C( ) Απόδειξη: ) Έουμε, ψ Αφού, ) ) Έστω G ( ) ψ( ) G ( ) ψ( ) G ( ) ψ( ), ψ ψ,, παίρνουμε, ψ, ψ και άρα, (θα δούμε παρακάτω ότι ισύει C η κλάση συζυγίας του ψ, Επειδή ) ( ) και ψ( ) ψ( ) για κάθε C έουμε ( C, ψ ( ) ψ( ) ( ) ψ( ) G Θυμόμαστε από τις ομάδες (π δράσεις ομάδων) ότι C [ G : C( G )] (ο πληθάριθμος μιας τροιάς είναι ο δείκτης της αντίστοιης σταθεροποιούσας ομάδας) Έτσι ψ( h Μια συνάρτηση h) ψ( ) για κάθε C C( ) : G ονομάζεται συνάρτηση κλάσεων αν για κάθε G ισύει h G, δηλαδή αν η ψ είναι σταθερή σε κάθε κλάση συζυγίας Κάθε αρακτήρας είναι συνάρτηση κλάσεων Το -διανυσματικό ώρο των συναρτήσεων κλάσεων συμβολίζουμε με cf (G) Θα αποδείξουμε στη συνέεια το σημαντικό αποτέλεσμα ότι οι αρακτήρες των αναγώγων αναπαραστάσεων της G αποτελούν ορθοκανονική βάση του cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόμενο, Αν : G είναι συνάρτηση, θα συμβολίζουμε πάλι με : [ G] τη γραμμική επέκταση της G στο [ G] Έστω αντίστοια Οι V,,V τα ανά δύο μη ισόμορφα απλά [ G] -πρότυπα και,, οι αρακτήρες τους ονομάζονται ανάγωγοι αρακτήρες της G Από την άσκηση 9 υπάρουν κεντρικά αυτοδύναμα στοιεία e,, [ ] e G με την ιδιότητα e e και e e 0 για Επιπλέον e για κάθε R και e R 0 για κάθε και e e 0 για κάθε, όπου R είναι οι απλές συνιστώσες του [ G ], [ G] R R Συνεπώς ισύει και ev v για κάθε v V και e V 0 για κάθε 7 Λήμμα Με τους προηγούμενους συμβολισμούς έουμε ( e dm V ) 0 αν αν

66 Απόδειξη: Για έουμε e V 0 και άρα το ίνος της δράσης του e στο V είναι μηδέν, δηλαδή ( e ) 0 Γράφοντας τώρα e e παίρνουμε ( ) ( e ) ( e ) dm V ( e ) 7 Λήμμα Έστω e ο αρακτήρας του [ G] -προτύπου [ G ] (με δράση αριστερό πολλαπλασιασμό) Διατηρώντας τους προηγούμενους συμβολισμούς έουμε: ) e ( ) και e ( ) 0 για κάθε G, ) ) () e ( Απόδειξη: ) e () dm [ G] G Έστω G, Θεωρούμε τη βάση G,,, } του { [ G ] Ο αντίστοιος πίνακας της δράσης του έει μη μηδενικό στοιείο πάνω στη διαγώνιο αν και μόνο αν, δηλαδή αν ) Το ζητούμενο προκύπτει αμέσως από τον ισομορφισμό [ G] V V (βλ κεφάλαιο ) και το γεγονός ότι dm V () 7 Πρόταση Με τους προηγούμενους συμβολισμούς ισύει e () ( ) Απόδειξη: Έστω e το Λήμμα 7 ) Έστω G λ h G Από το Λήμμα 7 ) έουμε, Θεωρώντας τον αρακτήρα e της υπολογίζουμε σύμφωνα με G ( h e ) λ ( h ) λ e e G e ( h e ) () x ( h e ) Επειδή e R 0 για, έουμε ( h e ) 0 για Για έουμε ev v v R και άρα x ( h e ) ( h απ όπου προκύπτει το ζητούμενο ) Τελικά αντικαθιστώντας έουμε λ h () ( h e ) h () ( h Είμαστε τώρα έτοιμοι να αποδείξουμε το πρώτο κύριο αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου 75 Θεώρημα Οι ανάγωγοι αρακτήρες της G πάνω από το αποτελούν ορθοκανονική βάση του - διανυσματικού ώρου cf (G) ως προς το εσωτερικό γινόμενο, Απόδειξη: Έστω,, οι ανάγωγοι αρακτήρες Θα δείξουμε πρώτα ότι οι,, αποτελούν βάση του cf (G) Γνωρίζουμε ότι είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G (Πόρισμα 75) Επειδή η διάσταση του cf (G) είναι (μια βάση του cf (G) είναι οι αρακτηριστικές συναρτήσεις f : G που ορίζονται από f ( ) 0 για και f ( ) για κάθε C ) αρκεί να δείξουμε ότι οι,, είναι C γραμμικώς ανεξάρτητες Έστω λ 0 Από το Λήμμα 7 παίρνουμε τότε λ ( e ) 0, δηλαδή λ dm V 0, οπότε λ 0 (Η γραμμική ανεξαρτησία των έπεται και από το γεγονός ),, δ

που θα δείξουμε αμέσως παρακάτω) Θα δείξουμε τώρα ότι, Από τον τύπο της Πρότασης 7 συμπεραίνουμε ότι ο συντελεστής του G στο e είναι () ( ) ( ) G G που είναι (λόγω της Πρότασης 7 )) ίσος με (), Όμως e e οπότε ο συντελεστής του στο e είναι ίσος με (Πρόταση 7) Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εκφράσεις παίρνουμε, Θα δείξουμε τώρα ότι, 0 για Από τη σέση e e 0 παίρνουμε λόγω της Πρότασης 7 ότι Ο συντελεστής του, hg () ( ) ( h ) h 0 G στην προηγούμενη ισότητα δίνει G οπότε, 0 από την πρόταση 7 ) ( ) ( ) 0 76 Πόρισμα Έστω V ένα [ G] -πρότυπο με αρακτήρα Τότε το V είναι ανάγωγο αν και μόνο αν, Απόδειξη: Αν V είναι ανάγωγο τότε, από το προηγούμενο θεώρημα Αντίστροφα, έστω m m, Γράφοντας το V ως ευθύ άθροισμα αναγώγων προτύπων V V V λαμβάνουμε m m οπότε η σέση, δίνει mm,, Από το προηγούμενο θεώρημα έουμε, και, 0 για, οπότε m m Συνεπώς m για κάποιο και m 0 για Άρα V V Το προηγούμενο πόρισμα είναι ιδιαίτερα ρήσιμο σε υπολογισμούς Για παράδειγμα, ο αρακτήρας της αναπαράστασης : D8 GL( ) του Παραδείγματος 7 υπολογίστηκε στην αρή της παρούσας παραγράφου και βρήκαμε a a a b ab a b a b ( ) 0 0 0 0 0 0 Εύκολα επαληθεύουμε ότι, και άρα η ρ είναι ανάγωγη 67 Το ακόλουθο αποτέλεσμα δείνει ότι οι αρακτήρες αναπαραστάσεων επί του αναπαραστάσεις αρακτηρίζουν τις

68 77 Πόρισμα Δύο αναπαραστάσεις της G επί του είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν οι αρακτήρες τους ταυτίζονται Απόδειξη: Έστω ρ και ρ αναπαραστάσεις με αντίστοιους αρακτήρες και Αν ρ και ρ είναι ισοδύναμες τότε όπως είπαμε στην αρή της παραγράφου Αντίστροφα, έστω Για τα m m m m αντίστοια [ G] -πρότυπα γράφουμε V V V, V V V όπου V,,V είναι ανά δύο μη ισόμορφα ανάγωγα [ G] -πρότυπα Από,, παίρνουμε m m, m, m,,, οπότε το Θεώρημα 75 δίνει m m για κάθε Άρα V V 78 Πόρισμα Έστω V, V [ G] -πρότυπα με αρακτήρες, αντίστοια Τότε, dm Hom [ ]( VV G, ) m m m m Απόδειξη: Γράφοντας V V V και V V V, το θεώρημα δίνει, mm mm Από την άλλη μεριά έουμε από το Λήμμα του Schu για αλγεβρικά κλειστά σώματα ότι, αν Hom [ G] ( VV, ) 0, αν Από την Πρόταση παίρνουμε dm Hom [ G] ( V, V) mm mm Τονίζουμε ότι στην ειδική περίπτωση που στο προηγούμενο πόρισμα ο αρακτήρας είναι ανάγωγος, τότε ο μη αρνητικός ακέραιος, ισούται με την πολλαπλότητα του στην παράσταση του ως -γραμμικός συνδυασμός αναγώγων αρακτήρων 7 Σέσεις Ορθογωνιότητας και Πίνακες Χαρακτήρων Έστω IG {,, } το σύνολο των αναγώγων αρακτήρων της G,,, αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G και C ( ) { xg x x} η κεντροποιούσα ομάδα του Με συμβολίζουμε το δέλτα του Koecke, δ 0 εκτός αν α β οπότε δ 7 Θεώρημα Με τους προηγούμενους συμβολισμούς έουμε: α ( ) β ( ) ) (ορθογώνιες σέσεις γραμμών) δαβ C( ) αβ ) (ορθογώνιες σέσεις στηλών) ( ) ( ) δ C( ) α β αβ Απόδειξη: ) Από το Θεώρημα 75 έουμε, οπότε το ζητούμενο προκύπτει από την Πρόταση 7 ) α αα δ αβ

) Έστω ψ cf (G) που ορίζεται από ψ β ( α ) δαβ Λόγω του Θεωρήματος 75 γράφουμε ψ β λ λ οπότε παίρνουμε, ( ) ( ) Ισύει ψ β ( ) αν το είναι συζυγές του β και ψ β ( ) 0 διαφορετικά Επειδή επιπλέον ο πληθάριθμος της κλάσης συζυγίας του δ αβ ψ β G β είναι / C( β ), παίρνουμε λ ( β ) Άρα C( ) ( α ) ( β ) ( α ) λ ( α ) λ ( α ) C( ) Έστω IG,, } και,, αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G Ο πίνακας { αρακτήρων της G είναι ένας Παραδείγματα Ο πίνακας αρακτήρων της κυκλικής ομάδας πίνακας που στη θέση (, ) υπάρει η τιμή ) β β ( {, aa, } τάξης είναι (Παράδειγμα 79), όπου ω με ω, δηλαδή ω ω 0 Οι ορθογώνιες σέσεις γραμμών a ω ω a ω ω ω ω για τις πρώτες δύο γραμμές δίνουν 0, και ωω ω ω για τη δεύτερη γραμμή με τον εαυτό της δίνουν Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις δύο τελευταίες στήλες δίνουν ω ω ω ω 0 Οι ορθογώνιες σέσεις επιτρέπουν συνά τον προσδιορισμό ολόκληρου του πίνακα αρακτήρων αν γνωρίζουμε μόνο κάποιο τμήμα του Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι για μια ομάδα G τάξης που έει κλάσεις συζυγίας γνωρίζουμε το ακόλουθο τμήμα του πίνακα αρακτήρων C( ) ω ω ω ω όπου,, είναι αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας και ω ω 0 Από τη σέση () () (θεώρημα 75 ή θεώρημα 7 ) για α β ) παίρνουμε () Οι 69

ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν 70 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν και για τις στήλες και δίνουν ( ) ( ) 0 ω ω ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ω ω ( ) 0 ( ) 0 Προσδιορίζεται κατά αυτόν τον τρόπο όλος ο πίνακας αρακτήρων της G Παρατηρήσεις ) Ο προηγούμενος πίνακας αρακτήρων είναι αυτός της ομάδας A ) Ήδη επισημάναμε ότι το Θεώρημα 75 περιέεται στο Θεώρημα 7 ) για α β Παρόμοια, το Λήμμα 7 περιέεται στο Θεώρημα 7 ) για α Ως άλλο παράδειγμα ας θεωρήσουμε τη G S που έει τρεις κλάσεις συζυγίας { }, {(, (), ()}, {( ), ()} Το Πόρισμα 75 δίνει οπότε,, Μια ανάγωγη αναπαράσταση της S είναι * η : S ( ) που έει αρακτήρα, που δίνεται από (), (), () Συνεπώς ο πίνακας αρακτήρων της S έει τη μορφή C( ) 6 () a () b Οι ορθογώνιες σέσεις στηλών για τις στήλες και δίνουν ( ) a 0 οπότε a 0 Για τις στήλες και δίνουν b 0 b

Ασκήσεις 7 Στις παρακάτω ασκήσεις με G συμβολίζουμε μια πεπερασμένη ομάδα Το μη μηδενικό cf (G) είναι αρακτήρας αν και μόνο αν, για κάθε ανάγωγο αρακτήρα Αν για τον αρακτήρα ισύει ( ) 0 G,, τότε ο είναι της μορφής m, m Υπόδ: Υπολογίστε το, όπου ανάγωγος αρακτήρας και ρησιμοποιείστε το Λήμμα 7) Συμπληρώσετε τον πίνακα αρακτήρων της D 8 C( 5 ) 8 ) Οι ορθογώνιες σέσεις γραμμών είναι ισοδύναμες με τις ορθογώνιες σέσεις στηλών a ) Έστω Μ ο πίνακας αρακτήρων της G Δείξετε ότι αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας της G a b ab det M C( ) Υπόδειξη: από τις σέσεις ορθογωνιότητας προκύπτει ότι ο πίνακας e, όπου,, είναι t MM είναι διαγώνιος ) Έστω I( G) {,, } Τότε C( G) G ( ) ( ) 7 Έστω αρακτήρας της G Θέτουμε ke { G ( ) ()} Τότε ke είναι κανονική υποομάδα της G Αντίστροφα κάθε κανονική υποομάδα της G είναι της μορφής αρακτήρα Επιπλέον αν όπου το,, είναι οι ανάγωγοι αρακτήρες τότε ke ke ke για κάποιο διατρέει τους ανάγωγους αρακτήρες που έουν την ιδιότητα, 0 Συμπέρασμα: από τον πίνακα αρακτήρων της G μπορούμε να βρούμε όλες τις κανονικές υποομάδες της G Βρείτε τώρα όλες τις κανονικές υποομάδες της D 8 από την άσκηση 8 Η G δεν είναι απλή αν και μόνο αν ( ) () για κάποιον μη τετριμμένο ανάγωγο αρακτήρα και κάποιο G, (Βλ προηγούμενη άσκηση) 9 Για κάθε αρακτήρα αβελιανής ομάδας ισύει, () Αληθεύει το συμπέρασμα για μη αβελιανές ομάδες; 0 Έστω ανάγωγος αρακτήρας της G βαθμού ) Για κάθε C( G) ισύει ( ) ) Ισύει [ G : C( G)] Έστω H αβελιανή υποομάδα της G Τότε κάθε ανάγωγος αρακτήρας της G έει βαθμό [ G : H] Κατά συνέπεια κάθε ανάγωγος αρακτήρας της διεδρικής ομάδας D a, b : a b, ab ba έει βαθμό ή Έστω [ G] -πρότυπα V, W με αντίστοιους αρακτήρες, ψ Τότε ο αρακτήρας του V W είναι το

γινόμενο ψ (Η δράση είναι ( v w) ( v) ( w) ) Υπόδειξη: υπολογίσετε το ίνος της δράσης του παίρνοντας βάσεις των V, W που αποτελούνται από ιδιοδιανύσματα Αν, I( G) και de, τότε I( G) (Βλ προηγούμενη άσκηση και Πόρισμα 76) Έστω ο μοναδικός ανάγωγος αρακτήρας της S βαθμού Βρείτε την ανάλυση του άθροισμα αναγώγων αρακτήρων 5 Έστω : G GL ( ) αναπαράσταση ) Αν υπάρει G με det( ( )), δείξτε ότι η G δεν είναι απλή 7 σε ) Αν το G έει τάξη, τότε ισύει ένα από τα εξής συμπεράσματα: a) ( ) ()mod b) η G έει κανονική υποομάδα δείκτη Υπόδειξη: Αν V είναι το αντίστοιο πρότυπο της, μπορούμε να επιλέξουμε βάση του V τέτοια ώστε ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης V V, v v, είναι διαγώνιος με στη διαγώνιο 6 Έστω VWδυο, ανάγωγα [ G] -πρότυπα Δείξτε ότι το V W (άσκηση) εμφυτεύεται στην κανονική αναπαράσταση της G Υπόδειξη: αρκεί να δειτεί ότι αν,, I( G), τότε, () 7 Με το συμβολισμό του Παραδείγματος 7 έστω k ) Δείξτε ότι το [ S ]-πρότυπο V v v είναι ανάγωγο ) Δείξτε ότι, V όπου είναι ο τετριμμένος αρακτήρας της S 8 Να βρεθούν όλες οι ομάδες με ακριβώς, ή ανάγωγους αρακτήρες 9 Έστω G πεπερασμένη υποομάδα της GL ( ) Αποδείξτε ότι αν T( ) 0, τότε 0 0 Έστω : G GL ( ) μια αναπαράσταση τέτοια ώστε το είναι ιδιοτιμή του ( ) για κάθε G Δείξτε ότι η δεν είναι ανάγωγη Υπόδειξη: Υπολογίστε το,, όπου είναι ο αρακτήρας της και ο τετριμμένος αρακτήρας της G, συναρτήσει των ιδιοτιμών των ( ) Αποδείξτε ότι κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα με τάξη όι δύναμη πρώτου δεν έει ανάγωγη αναπαράσταση βαθμού Έστω V ένας -διανυσματικός ώρος με dm V και v,, v } μια βάση του V Ο V Με είναι [ S ]-πρότυπο με δράση v v (), Θέτουμε Fx( ) { {,, } ( ) } ) Δείξτε ότι ( ) Fx( ) V ) Στο ερώτημα αυτό υποθέτουμε ότι a Υπολογίστε το εσωτερικό γινόμενο S G { G V συμβολίζουμε το αρακτήρα του V, και με βάση αυτό αποδείξτε ότι ο V V είναι άθροισμα δύο ανάγωγων αρακτήρων της S Υπολογίστε τους αρακτήρες αυτούς V b Βρείτε το αρακτήρα του V V και παραστήστε τον ως άθροισμα ανάγωγων αρακτήρων της S ) Θεωρούμε τους υπόωρους U { av av a a 0} και W { a( v v) a } του V a Δείξτε ότι οι παραπάνω υπόωροι είναι [ S ]-υποπρότυπα του V και ότι V U W b Δείξτε ότι για κάθε,, ισύει v v U Με βάση αυτό δείξτε ότι το U είναι απλό [ S ]-πρότυπο Έστω A ένας -διανυσματικός ώρος με dm A 9 και { v, } μια βάση του A Ο A

είναι [ S] -πρότυπο με δράση v v ( ) ( ), S Για παράδειγμα, αν (), τότε v v Δείξτε ότι A [ S] V, όπου V είναι το [ S] -πρότυπο της προηγούμενης άσκησης Έστω άρτιος θετικός ακέραιος, m Ο διανυσματικός ώρος [ m m] είναι [ ] πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από ([ a],([ x],[ y] ) ([ a x],[ a y] ) Παραστήστε m m m m το αρακτήρα του [ ] ως γραμμικό συνδυασμό των ανάγωγων αρακτήρων της m m Υπόδειξη: Ίσως είναι ρήσιμο να λύσετε αναλυτικά πρώτα την περίπτωση m 5 Οι αναπαραστάσεις της δικυκλικής ομάδας a Έστω : G GL ( ) μια αναπαράσταση τέτοια ώστε για κάποια, h G έουμε ( ) ( h) ( h) ( ) Αποδείξτε ότι η δεν είναι ανάγωγη b Θεωρούμε την ομάδα ( δικυκλική ) T a, b : a, a b, b ab a που έει τάξη Έστω ένας ακέραιος και e Δείξτε τα εξής 0 0 Η αντιστοιία a, b ορίζει μια αναπαράσταση της T 0 0 Η είναι ανάγωγη αν (Υπόδειξη: ένας τρόπος είναι με το a) Οι,, είναι ανά δυο μη ισοδύναμες v Οι υπόλοιπες ανάγωγες ανά δυο μη ισοδύναμες αναπαραστάσεις της T είναι βαθμού 6 Υπολογίστε τον πίνακα αρακτήρων της S ως εξής a Υπολογίστε τον αριθμό των κλάσεων συζυγίας ρησιμοποιώντας την ανάλυση μεταθέσεων σε γινόμενο ξένων κύκλων Υπολογίστε τον πληθάριθμο κάθε κλάσης συζυγίας C και το C( ) [ G : C ] b Έστω, ο τετριμμένος αρακτήρας και ο αρακτήρας προσήμου αντίστοια Έστω ο αρακτήρας V όπου V ο αρακτήρας του προτύπου στο παράδειγμα 7 για Υπολογίστε τον και δείξτε ότι είναι ανάγωγος c Στη συνέεια θέστε 5 (που είναι ανάγωγος από την άσκηση ) και υπολογίστε τον Βρείτε τον τελευταίο αρακτήρα από τις ορθογώνιες σέσεις Δίνεται ο πίνακας αρακτήρων της S για επαλήθευση () () ()() () C ( ) 8 - - 0-0 0 - - - 0-5 7