ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Ι, 3-4 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 4 ΘΕΜΑ. [5 µονάδες] Στο πιο κάτω κύκλωµα οι κοµβικές τάσεις υπολογίστηκαν από ένα συνάδελφό σας σαν v = 3 V και v = V. Μπορείτε να επαληθεύσετε τη λύση; 5 Ω 8 Ω 4 V 4 Ω V ΛΥΣΗ. Γράφω την εξίσωση κοµβικών τάσεων για τον κόµβο Α: ( v 4) ( v v) 5= Βάζοντας τις δοθείσες τιµές βλέπω ότι δεν ικανοποιείται η εξίσωση. Άρα ο συνάδελφος έκανε λάθος. Εναλλακτικοί τρόποι είναι ο έλεγχος νόµων Kirchhoff έως ότου υπάρξει αποτυχία, ανεξάρτητη επίλυση από την αρχή, το θεώρηµα Tellegen (ισορροπία ισχύων) αλλά όλοι καταλήγουν σε περισσότερες πράξεις. ΘΕΜΑ. Υπολογίστε την τάση v στο κύκλωµα: [5 µονάδες] 5 V v - 4 v V Ω ΛΥΣΗ. KVL για τον βρόχο: 5 v ( 4 v) vω = Αλλά αφού ο βρόχος διαρρέεται από το ίδιο ρεύµα i, v και οπότε = i vω = i vω = v τελικά παίρνουµε 5 v ( 4 v ) v = 5,5v = 5 v = / = 9,9 V Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι επίλυσης, παρόµοιας πολυπλοκότητας. ΘΕΜΑ 3. [ µονάδες] Nα βρεθεί το ισοδύναµο Thévenin ή Norton του πιο κάτω κυκλώµατος από τα σηµεία Α και Β. 4 Ω 6 Ω 4 Ω 48 V 48 Ω
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Ι, 3-4 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 4 ΛΥΣΗ. Πριν κάνουµε οτιδήποτε, «µαζεύουµε» τους αντιστάτες αριστερά (4, 6,, 6, 4 Ω) σε ένα ισοδύναµο των 4 Ω. Μπορούµε να λύσουµε µε κοµβικές τάσεις αλλά υπάρχει και πιο εύκολος δρόµος. Μετατρέπουµε την πηγή των 48V/Ω σε πηγή ρεύµατος /Ω παράλληλα κι έχουµε: 4 Ω 48 Ω 8 Ω 48 Ω 8 Ω 3 V 48 Ω 3 V 48 Ω 48 Ω 4 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟ NORTON ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σοβαρότατο λάθος που έκαναν πολλοί: 48 Ω 8 Ω 48 Ω 8 Ω 96 V Η κόκκινη τελεία πρέπει να είναι στο σηµείο Α. Σύγκρινε µε πράσινο πιο πάνω. ΑΛΛΟ ΣΟΒΑΡΟΤΑΤΟ ΛΑΘΟΣ: 4 Ω 48 Ω 4 Ω 5 ΛΑΘΟΣ Πρέπει απολύτως να σεβαστούµε τα σηµεία Α και Β γιατί από αυτά «βλέπουµε» το κύκλωµα.
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Ι, 3-4 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 4 ΘΕΜΑ 4. Το πιο κάτω κύκλωµα βρίσκεται σε µόνιµη ηµιτονοειδή κατάσταση. Υπολογίστε την εµπέδηση από τα σηµεία Α και Β για ω = rad/s. [5 µονάδες],4 Ω,73 H 9,6 H 5 mf ΛΥΣΗ. Λόγω της παράλληλης σύνδεσης των τριών στοιχείων δεξιά, µας συµφέρει (χωρίς να είναι δεσµευτικό αυτό) να δουλέψουµε µε σύνθετες αγωγιµότητες. Έτσι, συνδυάζουµε το /9,66=,9 mho µε jω = j, mho για τον πυκνωτή και /jωl = j,5 mho για τον επαγωγό. Απλή πρόσθεση δίνει (,9 j,5) mho. Αυτό το αντιστρέφουµε για να πάρουµε την εµπέδηση: Υ =,9 j,5 =, /4,6 ο ï Ζ = /Υ = /(, /4,6 ο ) = 8,33 /4,6 ο = 7,574 j3,468 που προστιθέµενο µε τις εµπεδήσεις των αριστερά (σε σειρά) στοιχείων, δηλ.,4 Ω και jωl=j3,4, δίνει τελικά (περίπου) Z ολικό =,4 j3,46 7,574 j3,468 @ j ΘΕΜΑ 5. [ µονάδες] Για το πιο κάτω κύκλωµα (στο οποίο δεν υπάρχει αρχικά αποθηκευµένη ενέργεια) καταστρώστε τις εξισώσεις κοµβικών τάσεων σε µορφή πίνακα (οι κοµβικές τάσεις θα είναι οι άγνωστοι) µε τη µέθοδο της απλής επισκόπησης. Απλά καταστρώστε τις εξισώσεις σαν γραµµικό σύστηµα και µη δοκιµάσετε να τις λύσετε, ή να τις µετασχηµατίσετε, ή να σχηµατίσετε κάποια διαφορική εξίσωση. R R3 R5 R L R4 L ΛΥΣΗ. Για να εφαρµόσω την τεχνική της επισκόπησης χωρίς προβλήµατα πρέπει το κύκλωµα να έχει µόνο πηγές ρεύµατος, δεδοµένου ότι έχει απαιτηθεί η χρήση κοµβικών τάσεων. Πρέπει λοιπόν να µετατραπεί η πηγή τάσης των Ε Volt σε πηγή ρεύµατος. Αυτό είναι κατορθωτό µε την τεχνική που αναφέρθηκε στο µάθηµα, δηλ. ισχύει ότι (βλ. και Μάργαρη, Α, σ. 8-84): R R R R Τώρα µπορούµε να µετατρέψουµε σε δυο πηγές ρεύµατος µε τους αντιστάτες παράλληλα και το κύκλωµα γίνεται 3
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Ι, 3-4 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 4 R3 /R R /R R L R4 R5 L Οπότε G 5 R3 R L D R3 D D v / R = v R G / R3 R3 R4 LD D D ΘΕΜΑ 6. [ µονάδες] Στο πιο κάτω κύκλωµα, που λειτουργούσε για πολύ χρόνο, ο διακόπτης ανοίγει στον χρόνο t =. ιερευνήστε κατά πόσο η τάση v είναι επικίνδυνη. t =,5 mh V v nf,5 Ω ΛΥΣΗ. t < Μόνιµη κατάσταση: ο πυκνωτής λόγω της πηγής «βλέπει» Volt ενώ το ρεύµα που κυκλοφορεί στο βρόχο του βραχυκυκλωµένου επαγωγού και αντιστάτη είναι /,5 = Α. t > Μόλις ανοίξει ο διακόπτης, η πηγή αποµονώνεται και αποµένει ένα κύκλωµα RL µε σύνδεση σε σειρά. Η διαφορική εξίσωση που το περιγράφει είναι η dv R dv v = dt L dt L µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο ρ ρ4 =. Με την ορολογία που έχουµε χρησιµοποιήσει, R,5 α = = =, ω 3 = = = 4 3 9 L,5 L,5 οπότε ωd = ω α = 4 ωd = 99999,975 κι έτσι οι ρίζες είναι ρ, = α ± jωd = ± j Οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγµατικό µέρος, οπότε δεν χρειάζεται περαιτέρω διερεύνηση και µπορούµε να συνεχίσουµε. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης θα πάρει τη µορφή 4
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Ι, 3-4 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 4 ρt ρ t ( j) t ( j) t t v ( t) = e e = e e = e cos( t) sin( t) και πρέπει να προσδιοριστούν οι σταθερές Α και Β από τις αρχικές συνθήκες v ( ) και dv ( )/dt. v = v = = ( ) = και dv i il il dv 9 i = Dv = = = = 9 dt dt t= t= d e t t t 9 dt cos sin t= = = και τελικά v t ( t) = e cos( t) sin( t) Εναλλακτικά, v ( t) = Ke t cos( t θ ) και τα Κ και θ προκύπτουν από το σύστηµα K cos( θ ) = K sin( θ ) Η τάση αυτή µπορεί να πάρει µεγάλες τιµές της τάξης των kv ξεκινώντας από µια τάση/µπαταρία των V!!! Η συχνότητα είναι κάπως υψηλή αλλά όχι αρκετά για να εµφανισθεί το επιδερµικό φαινόµενο (που πρακτικά δεν εµφανίζεται ποτέ στο ανθρώπινο σώµα). Είναι λοιπόν επικίνδυνη, ίσως όχι απειλητική επειδή φθίνει πολύ γρήγορα, αλλά σίγουρα θα δηµιουργούσε ένα ενοχλητικό σοκ. ΘΕΜΑ 7. [5 µονάδες] Στο πιο κάτω κύκλωµα να βρεθεί το i(t), t >, και να σχεδιασθεί προσεγγιστικά. Ισχύει ότι i() = (και βέβαια u(t) είναι η βηµατική συνάρτηση). 5 Ω Ω u(t ) V 4 Η u(t) V i(t) ΛΥΣΗ. t < Οι πηγές βραχυκυκλωµένες, i() =, δηλ. όλα νεκρά. t > Λόγω της καθυστέρησης στην επενέργεια της αριστερής πηγής, µπορώ να χωρίσω τον χρόνο σε δυο τµήµατα. < t < [u(t)=, u(t)=] Το κύκλωµα είναι (η αριστερή πηγή δίνει, δηλαδή βραχυκύκλωµα) 5 Ω Ω i(t) 4 Η V 5
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Ι, 3-4 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 4 t i( t) i [ i() i] e / τ = Και έχουµε i() =, i( ) = / =,, τ = L/R ισοδύναµη = 4/(5 ) = 4/4 = s (επειδή ο επαγωγός «βλέπει» τον παράλληλο συνδυασµό των αντιστατών, π.χ. από Thevenin) Τ ελικά λοιπόν, t it () =, e, < t< t > [ u(t)=, u(t)=] Το κύκλωµα είναι 5 Ω Ω V i(t) 4 Η V ( t)/ τ i( t) = i( ) [ i() i( )] e Και έχουµε i() =,( e ) =,86 i( ) = /5 / =,5, τ = L/R ισοδύναµη = 4/(5 ) = 4/4 = s (το ίδιο, φυσικά) Τ ελικά λοιπόν, it e t ( t) =,5,44, >.4.3.. 3 4 5 6