Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου v V ( ), τότε v v 0 o ( V ( ) V ( )) V ( ) {0} o V V V V d( ( ) ( )) d ( ) d ( )) o Αν B βάση του V ( ), τότε B βάση του V ( ) V ( ) o d V ( ) ( ) για κάθε, όπου ( ) είναι η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής Ορισμός διαγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο Διαγωνισιμότητας : Έστω,, οι διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o Η είναι διαγωνίσιμη V ( ) V ( ) V o o d V ( ) d V ( )) d V ( x) ( ) ( x ) ( x ) και για κάθε,,, d V ( ) o Αν η γραμμική απεικόνιση : V V έχει dv διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε είναι διαγωνίσιμη Αντίστοιχα όλων των παραπάνω για πίνακες Εύρεση για διαγωνίσιμο πίνακα Α, αντιστρέψιμου πίνακα P με P P διαγώνιο Εφαρμογές (δυνάμεις πινάκων, ρίζες πινάκων, αναδρομικές ακολουθίες κα) Συνιστώμενες ασκήσεις: -8, 0-8, 5-44 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω γραμμικές απεικονίσεις είναι διαγωνίσιμες :, ( x, y, z) ( x y, y z,y 4 z), g x y z x y y z y z h : [ x] [ x], g( ( x)) () x :, (,, ) (,, 4 ), ή Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι διαγωνίσιμοι Αν κάποιος πίνακας είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί μία βάση του που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του, ένας αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιο και ο πίνακας P P a, b, c, d e 4 Έστω διαγωνίσιμος πίνακας

Ασκήσεις 6 a Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο ( ) είναι διαγωνίσιμος είναι διαγωνίσιμος και γενικά για κάθε ( x) [ x] ο b Δείξτε ότι αν 0 για κάποιο θετικό ακέραιο, τότε 0 c Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] 0 d Αν ( x ) ( x ) να βρεθεί ο e Έστω X με X 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Δείξτε ότι X 0 Έστω ότι ο είναι αντιστρέψιμος και Είναι δυνατό ο να είναι όμοιος με τον dag (,,,,) ; 4 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, για κάθε ιδιοτιμή της Δείξτε ότι 5 Έστω V 4 0 4 a Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του, μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του b Να εξεταστεί αν ο είναι διαγωνίσιμος και στην περίπτωση που είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο P P να είναι διαγώνιος 4 a 6 Έστω a Αποδείξτε ότι ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a b Έστω a Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες είναι διακεκριμένοι διαγώνιοι πίνακες a b 7 Έστω c d P, Q τέτοιους ώστε οι P P και Q a Δείξτε ότι αν ( a d) 4bc 0, τότε ο είναι διαγωνίσιμος b Έστω ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή Βρείτε το c Έστω ότι τουλάχιστον ένας από τους b, c είναι διάφορος του μηδενός Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( a d) 4bc 0 8 a Έστω ένας διαγωνίσιμος πίνακας του οποίου οι ιδιοτιμές είναι μη αρνητικές Δείξτε ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B 0 b Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος και ότι δεν υπάρχει B τέτοιος ώστε 0 0 0 B 0 0 9 Έστω, P, τέτοιοι ώστε P P και είναι διαγώνιος, a Δείξτε ότι για κάθε,, έχουμε P b Έστω,, Βρείτε έναν τα P, όπου ( ) ( ) με ιδιοτιμές τις,, ( ) P είναι η -στήλη του P Q να και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα

Ασκήσεις 7,, 0 0 0 Είναι ο μοναδικός; 0 Δείξτε ότι για κάθε ο παρακάτω πίνακας δεν είναι διαγωνίσιμος 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Να βρεθούν όλα τα a τέτοια ώστε η γραμμική απεικόνιση ακόλουθες περιπτώσεις a ( x, y, z) ( x az, y, ay z), b ( x, y, z) ( ax y z, x ay z, x y az) : να είναι διαγωνίσιμη στις Έστω ένας άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής *, 0 δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου είναι ίσο με Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν είναι διαγώνιος Εξετάστε αν ο 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 είναι διαγωνίσιμος 4 Να βρεθούν οι τιμές των a, b, c ώστε ο 0 0 a 0 b c να είναι διαγωνίσιμος 5 Να βρεθούν οι τιμές του a ώστε η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του 0 0 a 0 a 0 0 να είναι ίση με 6 Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε κάθε v V {0} είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε V 7 Έστω : V V ένας ισομορφισμός Δείξτε τα εξής a Αν το είναι μια ιδιοτιμή της, τότε 0 b Το είναι ιδιοτιμή της το είναι ιδιοτιμή της

Ασκήσεις 8 8 Έστω c Για κάθε {0}, V ( ) V ( ) του d διαγωνίσιμη : με διαγωνίσιμη ( v, v, v ) μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε υπάρχει διατεταγμένη βάση a Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη b Αληθεύει ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 0 ( :, ) 0 0 0 0 c Έστω ότι, 0 Δείξε ότι το v v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της 9 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση a Δείξτε ότι er er και I I για κάθε θετικό ακέραιο b Δείξτε ότι V er I c Αληθεύει το συμπέρασμα του a ή b χωρίς την υπόθεση ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 Έστω τέτοιος ώστε 0 για κάποιο Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν a Α διαγωνίσιμος 0 b Tr 0 c det( ) 0 I d Έστω Τότε κάθε ιδιοτιμή του I είναι ίση με Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Αποδείξτε ότι αν ο Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο όμοιοι πίνακες Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο διαγωνίσιμοι πίνακες Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν ( x) ( x) B 4 Για κάθε θετικό ακέραιο υπολογίστε τον, όπου 0 5 6 0 4 5 Έστω 0 0 0 a Υπολογίστε τη δύναμη, b Να βρεθεί ένας πίνακας B τέτοιος ώστε B c Πόσους πίνακες B μπορείτε να βρείτε τέτοιους ώστε B ; 6 Θεωρούμε την ακολουθία ( a ),,,, η οποία ορίζεται από τους όρους a, a 4 και τον αναδρομικό τύπο a a a,, 4, Να βρεθεί ο γενικός όρος a συναρτήσει των a, a και 7 Θεωρούμε την ακολουθία ( ), 0,,, που ορίζεται από 0 0,,, (ακολουθία Fboacc) Χρησιμοποιώντας διαγωνοποίηση πινάκων, δείξτε ότι

Ασκήσεις 9 8 5 5 5, 0,,, a Έστω διαγωνίσιμος τέτοιος ώστε για κάθε ιδιοτιμή του Δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε B B b Δείξτε ότι δεν υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε 9 Έστω ότι Δείξτε ότι X Y, όπου B B I X {( a ) a 0, j}, Y {( a ) a 0, j}, j j j j αλλά το άθροισμα δεν είναι ευθύ Στη συνέχεια δείξτε ότι X, όπου {( a ) a 0, j} j j 0 Έστω ότι Δείξτε ότι U V, όπου t t U { }, V { } Επίσης, δείξτε ότι v( v ) v( v ) d U, d V Έστω ότι Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση, αποδείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση t :,, είναι διαγωνίσιμη Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμό της Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση, ένας υπόχωρος U του V λέγεται -αναλλοίωτος αν ( U ) U Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε τα ακόλουθα: a Αν g g, τότε κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Έστω ότι V W U, όπου W, U είναι ιδιόχωροι των, g αντίστοιχα Αν κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος, τότε g g Έστω, g : V V δυο γραμμικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε η είναι διαγωνίσιμη και κάθε ιδιοδιάνυσμα της είναι ιδιοδιάνυσμα της g Δείξτε ότι g g 4 Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος και W, W υπόχωροι του V τέτοιοι ώστε V W W Έστω : W W,,, γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε ότι η απεικόνιση : V V, w w ( w ) ( w ), όπου w W, είναι καλά ορισμένη γραμμική απεικόνιση και ότι αν οι είναι διαγωνίσιμες, τότε και η είναι διαγωνίσιμη 5 Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε ο πίνακας ab ab ab ab είναι μη μηδενικός a Δείξτε ότι ra b Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν Tr( ) 0 6 Δείξτε ότι ο πίνακας

Ασκήσεις 0 είναι διαγωνίσιμος a b b b b a b b b b a b b b b a 7 Έστω a και ( v, v, v) μια διατεταγμένη βάση του : που ορίζεται από ( v ) v, ( v) v av v, ( v) a v av a Δείξτε ότι η δεν είναι διαγωνίσιμη b Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση 8 Έστω Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε όχι όλα είναι ίσα με 0 και ab 0 Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 0 a b b b 0 και δείξτε ότι αυτός δεν είναι διαγωνίσιμος 9 Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Δικαιολογήστε την απάντησή σας 4 4 a Υπάρχει διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση : τέτοια ώστε ( x) x ( x ) και d(i ) b Για κάθε a, b, οι πίνακες 4 a 0 5, 5 0 b 4 είναι όμοιοι c Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση Αν είναι δυο ιδιοτιμές της, τότε η γραμμική απεικόνιση g : V ( ) V ( ) V ( ) V ( ), g( u v) ( u v), είναι διαγωνίσιμη 40 Έστω με ra r Αποδείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι της μορφής r ( ) x a x a x 4 Έστω και, r οι ιδιοτιμές του Δείξτε ότι αν, τότε κάθε θετικό ακέραιο, ( I) ( I) 4 Έστω με ra και Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a Ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 0 a 0 0 a 0 0 a b Tr( ) 0 ο Α είναι διαγωνίσιμος 4 Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x] που ορίζεται από

Ασκήσεις x ( ) x, ( x ) x () x 8 Θέτουμε g V, V [ x] a Να βρεθεί μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της και κάθε ιδιόχωρο της g b Να εξεταστεί αν οι, g είναι διαγωνίσιμες c Να εξεταστεί αν οι, g είναι είναι ισομορφισμοί 44 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα 44 a Αν με ( x ) x ( x )( x ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 b Αν με ( x ) x ( x )( x ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 c Έστω με ( x ) x ( x )( x ) Τότε ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν d V(0) d Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος e Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος Κάθε αντιστρέψιμος πίνακας είναι διαγωνίσιμος g Αν είναι διαγωνίσιμος, τότε υπάρχει μοναδικός αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος h Κάθε πολυώνυμο της μορφής x ax b [ x] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου διαγωνίσιμου Κάθε πολυώνυμο της μορφής j Αν διαγωνίσιμου είναι διαγωνίσιμος και x ax b x [ ] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου ( ) ( ), τότε 0 x x 0

Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Απάντηση: Η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την Πρόταση 9 γιατί έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τις,, Για τη g μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 0 ) Η g δεν είναι διαγωνίσιμη, γιατί οι ιδιοτιμές είναι οι,, και για τους αντίστοιχους ιδιόχωρους έχουμε d V () d V () H h είναι διαγωνίσιμη, γιατί από την απάντηση της άσκησης 0 έχουμε V (0) { ax bx c [ x] a b c 0} και V () { bx [ x] b 0}, οπότε d V (0) d V () d [ x] Απάντηση a O δεν είναι διαγωνίσιμος αφού δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) b O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V ( ), V ( ) Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P έχουμε P P dag(, ) c O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0), V () Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P έχουμε P P dag(0, ) d O δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς υπάρχει μοναδική ιδοτιμή, το 0, και d V (0) e O 4 είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0), 0, V () 4 4 0 Μια ζητούμενη βάση του είναι η, 0, 0 Για P4 0 0 έχουμε P4 4 P4 dag(0, 0,) Λύση: Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας dag(,, ) με P P Οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: 978-960-6706-6- άσκηση 0 = άσκηση 0 από τις Ασκήσεις στην eclass

Ασκήσεις a Επειδή ο είναι διαγώνιος, ξέρουμε ότι ο ( ) είναι διαγώνιος για κάθε πολυώνυμο ( x) [ x] (Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( ) dag( ( ),, ( )) P P για κάθε θετικό ακέραιο Με επαγωγή στο αποδεικνύεται ότι P P P P Πράγματι, η σχέση αυτή είναι προφανής αν Αν P P P P για κάποιο, τότε Έχουμε P P P P P P P P P P ( ) ( ) P PP P P I P P P P P Τώρα αν ( x) a x ax a0 [ x], έχουμε P ( ) P P a a a a I P 0 a P P a P P a P P a P I P 0 a ( P P) a ( P P) a ( P P) a I 0 a a a a I ( ) 0 και ο ( ) είναι διαγώνιος Άρα ο P ( ) P είναι διαγωνίσιμος b Από P P έχουμε P P Είδαμε πριν ότι P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω ότι 0 για κάποιο ακέραιο Τότε 0 Άρα dag(,, ) 0 0 0 0 PP 0 c Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε 0 για κάθε,, οπότε ο είναι αντιστρέψιμος και dag(,, ) Από P P παίρνουμε P P P ( P ) P P, δηλαδή P P dag(,, ) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος και το ζητούμενο έπεται από το ερώτημα a 0 d Από ( x ) ( x ) έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με Επειδή ο είναι διαγωνίσιμος, παίρνουμε ότι ο είναι όμοιος με τον πίνακα dag(,,,) I0, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος P 00 με P P I0 Τότε e Έστω X 0, όπου X Άρα P P X 0, οπότε Έστω P X παίρνουμε P( I ) P ( PI P ) I Έχουμε 0 0 0 P P ( P X ) 0 y Από ( P X ) 0, δηλαδή y y 0, y 0 P P P P

Ασκήσεις 4 y 0 0 ή y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 0 0 Δηλαδή έχουμε ( P X ) και άρα X P( P X ) 0 0 Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας dag(,, ) με P P Έχουμε P P και επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε (όπως στο c) P P Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον dag (,,,,) Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, παίρνουμε ότι το είναι ιδιοτιμή του Έχουμε PP P P P( ) P Pdag(,, ) P Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Συνεπώς έχουμε για κάποιο, δηλαδή 0 Όμως το τριώνυμο x δεν έχει πραγματική ρίζα, άτοπο 4 Λύση: Από την υπόθεση υπάρχει μια βάση u,, u του V και,,,,, (Πρόταση ) Άρα x με ( u ) u, ( u ) ( ( u )) ( u ) ( u ) u u, για κάθε,, Άρα u,, u er( V ) και επειδή τα u,, u παράγουν το V έχουμε er( V ) V, δηλαδή V 5 Απάντηση: Έχουμε ( x ) ( x ) ( x 8) οπότε οι ιδιοτιμές είναι - (με πολλαπλότητα ) και 8 (με πολλαπλότητα ) Οι ιδιόχωροι του είναι V ( ) { x 0 y x, y }, V (8) { x x } 0 και αντίστοιχες βάσεις είναι τα σύνολα { 0, }, { } 0 Η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του είναι ίση με γιατί τα διανύσματα 0,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 Ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα v) Ένας P είναι ο P 0 0

Ασκήσεις 5 σύμφωνα με την απόδειξη της Πρότασης 5 6 a Λύση: Έχουμε ( x ) x 7 x a Έστω 7 4( a) a ) Έστω a Τότε 0 και το ( ) x έχει δυο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 ) Έστω a Τότε 0 και το ( ) x δεν έχει πραγματική ρίζα Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος 7 ) Έστω a Τότε 0 και ( ) x x Για 7 έχουμε: d V ( ) ισούται με τη 7 0 διάσταση του διανυσματικού χώρου των λύσεων του x I, που είναι (πράξεις) Άρα y 0 ο Α δεν είναι διαγωνίσμος σύμφωνα με το Θεώρημα b Απάντηση: Με πράξεις βρίσκουμε V (), V (6) Άρα, αν P, έχουμε 0 P P 0 6 και αν Q, έχουμε 6 0 Q Q 0 a d 7 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό της προηγούμενης άσκησης Απάντηση για το b: 8 a Υπόδειξη: Αν P P είναι διαγώνιος, δείξτε ότι B, όπου P P 9 b Απάντηση: Από το a έπεται ότι ο είναι μοναδικός και 0 0 0 0 0 0 ( ά) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Επειδή είναι τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου ισούται με, ο έχει μοναδική ιδιοτιμή το (με πολλαπλότητα ν) Ξέρουμε ότι d V ( ) ra( I ) Επειδή ο πίνακας 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0

Ασκήσεις 6 είναι σε κλιμακωτή μορφή, το ra του ισούται με το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του Άρα ra( I ) και d V ( ) ( ) Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος (βλ πχ Θεώρημα 0 ή Πρόταση ) aλύση: Αν είναι ο πίνακας της ως προς τη συνήθη βάση του, τότε 0 a 0 0 0 a Έχουμε ( x) ( x) ( x )( x ) και οι ιδιοτιμές της είναι,, Ξέρουμε ότι d V () (), d V () () σύμφωνα με το Θεώρημα Από το Θεώρημα 0 συμπεραίνουμε ότι διαγωνίσιμη d V () d V () d V () Άρα d V () ra( I) ra( I) Επειδή 0 a I 0 0 0, 0 a 0 βλέπουμε ότι ra( I) a 0 b Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό του a Εδώ έχουμε ( x ) ( x a ) ( x a ) Απάντηση: Είναι διαγωνίσιμη για κάθε a Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ο είναι διαγωνίσιμος, τότε I Λύση: Είδαμε στην άσκηση από Ασκήσεις, ότι ( x) ( ) ( x ) Χρησιμοποιώντας παραγώγους παρατηρούμε ότι ( ( x), ( x)) (( ) x,( ) ( x )) Άρα το πολυώνυμο ( x) ( ) ( x ) έχει διακεκριμένες ρίζες στο σύμφωνα με την Πρόταση 0 και συνεπώς ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 4 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της άσκησης 0 Εδώ έχουμε διαγωνίσιμος d V () Απάντηση: a 0 5 Απάντηση: a 0 6 Λύση: Έστω { v,, v } μια βάση του V Από την υπόθεση υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( v ) v,,, Άρα 7 ( v v) ( v ) ( v ) v v Από την άλλη μεριά, η υπόθεση δίνει ότι για κάποιο ( v v ) ( v v ) v v Άρα v v v v Επειδή τα v,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε Δηλαδή ( v ) v για κάθε Επειδή τα v,, v παράγουν το V και η είναι γραμμική, παίρνουμε ( v) v για κάθε v V Πράγματι, αν v V, τότε υπάρχουν a τέτοια ώστε v av av Επειδή η είναι γραμμική έχουμε ( v) a ( v ) a ( v ) a v a v ( a v a v ) v

Ασκήσεις 7 8 a Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι ο πίνακας ( :, ) είναι διαγώνιος b Απάντηση: Όχι αναγκαστικά Ένα αντιπαράδειγμα προκύπτει όταν 0 και 0 Πράγματι, αν ο 0 0 0 0 0 0 0 0 ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα γιατί κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 Αλλά τότε θα ήταν ίσος με το μηδενικό πίνακα 9 Λύση: Από την Πρόταση υπάρχει βάση B v v ώστε Θέτουμε,, του V και υπάρχουν,, τέτοια ( v ) v,,, j j και B v j B j 0 B v B 0 Τότε έχουμε την ξένη ένωση B B B Άρα B B και V B B Έστω ένας θετικός ακέραιος Τότε για κάθε,, έχουμε ( v ) v Επομένως ισχύει B Ker και B I (γιατί;) Άρα B B d er d I Όμως ξέρουμε ότι d er d I και συνεπώς η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα Άρα B d er και B d I Αυτό σημαίνει ότι: το B είναι βάση του er a Επειδή τα B, B δεν εξαρτώνται από το έχουμε για κάθε και το B είναι βάση της I b Από V B B έχουμε V er I Ker για κάθε (γιατί;) Ker και I I 0 Λύση: Από την υπόθεση έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 a Σωστό Αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος, τότε P P 0 0 b Σωστό Ξέρουμε ότι το Tr είναι το άθροισμα των ιδιοτιμών του (Πόρισμα 7) c Λάθος Το δεν είναι ιδιοτιμή του d Σωστό Αν είναι τέτοιο ώστε det( I I ) 0, τότε det( ( ) I ) 0 ιδιοτιμή του, και άρα από τημ υπόθεση Υπόδειξη: Αν τα X,, X είναι μια βάση του ότι τα X, X είναι ιδιοδιανύσματα του B και κάθε X είναι ιδιοδιάνυσμα του, δείξτε Υπόδειξη: Αν B Q Q και P P, τότε B ( P Q) P Q Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ( x) ( x), τότε οι, B είναι όμοιοι με τον ίδιο διαγώνιο πίνακα B 4 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 ) Έχουμε ( x) ( x )( x ) 0, οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι και (διπλή ρίζα) Για, οι λύσεις του συστήματος

Ασκήσεις 8 που είναι οι x 0 ( ) X 0 0 6 x 0, 0 6 x 0 x x x, x, x αποτελούν τον ιδιόχωρο V ( ) της Επιλέγουμε το ιδιοδιάνυσμα p Για, οι λύσεις του συστήματος Είναι οι 0 x 0 ( ) X 0 0 6 6 x 0 0 x 0 x 0 x x 0 x, x, x x 0 0 Επομένως για ο ιδιόχωρος V () παράγεται από τα p 0, p Τα ιδιοδιανύσματα 0 0 p, p, p είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επειδή det 0 0, άρα αποτελούν βάση του 0 Άρα ο Α διαγωνοποιείται Θέτοντας 0 P 0 0 βρίσκουμε με πράξεις ότι 0 P 0 Ξέρουμε ότι ισχύει 0 0 P P 0 0 0 0 Από την τελευταία σχέση έχουμε :

Ασκήσεις 9 0 ( ) 0 00 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 P P πράξεις ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 5 Απάντηση: Οι ιδιοτιμές είναι,, Βάσεις των ιδιόχωρων V ( ), V (), V () είναι αντίστοιχα τα διανύσματα 0, 0, 0 0 Έχουμε 0 0 0 P P 0 0, όπου P 0 0 0 0 0 a Άρα 0 0 P 0 0 P 0 0 Με πράξεις βρίσκουμε 0 ( ) 0 0 ( ) b Ως B μπορούμε να θέσουμε 0 0 B P 0 0 P (πράξεις) 0 0 0 0 0 c Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι κάθε εξίσωση της μορφής x a, όπου a {0}, έχει τρεις διακεκριμένες λύσεις στο, βλέπουμε ότι καθεμία από τις ιδιοτιμές,, έχει τρεις διακεκριμένες κυβικές ρίζες στο Επιπλέον αυτές οι 9 κυβικές ρίζες είναι ανά δύο διάφορες Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 7 ανά δύο διάφοροι πίνακες B τέτοιοι ώστε B 6 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 ) Έχουμε το σύστημα a a a a a a a a 0 a Θέτουμε και παίρνουμε 0 a a a a Διαδοχικά έχουμε ()

Ασκήσεις 40 a a a a a a a4 a Από την τελευταία σχέση αρκεί να υπολογίσουμε τον Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι ( x) ( x )( x ), οι ιδιοτιμές του Α είναι και, οπότε ο πίνακας διαγωνοποιείται Στην ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα p και στην αντιστοιχεί το p Θέτουμε P οπότε P Άρα 4 ( ) 0 ( ) ( ) P P, 0 4 ( ) ( ) οπότε από την () προκύπτει ( ) ( ) a a a 4 Με αντικατάσταση των όρων a και a 4, έχουμε ( ) 5 a, 4 7 Υπόδειξη: Έχουμε, όπου 0, και άρα Υπολογίστε τον 0 όπως στην προηγούμενη άσκηση διαγωνοποιώντας τον 8 b Λύση: Από B B I παίρνουμε B B I 0 και άρα κάθε ιδιοτιμή του B στο ικανοποιεί 0 Άρα ο B δεν έχει πραγματική ιδιοτιμή Όμως το πολυώνυμο B ( x ) έχει πραγματικούς συντελεστές και περιττό βαθμό, οπότε έχει πραγματική ρίζα (Πρόταση 8), άτοπο 9 Απάντηση: Το άθροισμα δεν είναι ευθύ καθώς έχουμε ότι X Y {( a ) a 0, j} {0} 0 Λύση Αν, τότε t t U V Άρα t t t U V Επίσης U V 0 0 Άρα το άθροισμα είναι ευθύ Αποδεικνύεται (άσκηση) ότι μία βάση του U είναι η { E,, } { E E j } και μια βάση του V είναι η όπου Λύση Ej j j { E E j }, j j είναι ο πίνακας που έχει παντού 0 εκτός από τη θέση (, j ) όπου έχει Άρα v( v ) v( v ) d U v, v( v ) d V j j

Ασκήσεις 4 Επειδή βλέπουμε ότι οι πιθανές ιδιοτιμές είναι, Για τους ιδιόχωρους έχουμε V () και V ( ) V (βλ άσκηση, από Ασκήσεις ) Άρα V () V ( ) (από την προηγούμενη άσκηση) και συνεπώς η είναι διαγωνίσιμη Για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχουμε ( x) ( ) ( x ) ( x ), Επειδή η είναι διαγωνίσιμη το Θεώρημα 0 ) και η προηγούμενη άσκηση δίνουν ( ) d V (), ( ) d V ( ), ( ) ( ) ( x) ( ) ( x ) ( x ) Σημείωση: Μια άλλη λύση μπορεί να δοθεί με βάση την παρατήρηση ότι a Λύση Αν v V ( ), τότε ( v) v και άρα g( ( v)) g( v), οπότε από την υπόθεση έχουμε ( g( v)) g( v), δηλαδή g( v) V ( ) Συνεπώς ο υπόχωρος V ( ) είναι g -αναλλοίωτος Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε w W και u U έχουμε g g ( w) g g ( u) 0 Λύση: Επειδή η είναι διαγωνίσιμη, υπάρχει βάση{ v,, v } του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( v ) v,,, (Πρόταση ) Από την υπόθεση υπάρχουν,, με g( v ) v,,, Άρα g g ( v ) ( g( v )) g( ( v )) ( v ) g( v ) ( v ) g( v ) v v 0, l δηλαδή g g ( v ) 0 για κάθε,, Επειδή η απεικόνιση g g είναι γραμμική και το σύνολο { v,, v } παράγει το V, έπεται ότι ( g g )( v) 0 για κάθε v V Άρα g g 0 4 Υπόδειξη: Σύμφωνα με την Πρόταση υπάρχει βάση B του W αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της,, Δείξτε ότι το B B είναι βάση του V αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της Άρα η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση 5 Υπόδειξη: a Δείξτε ότι κάθε δυο στήλες του είναι γραμμικά εξαρτημένες Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι a b b a και χρησιμοποιήστε το ότι ra( BC) { rab, rac} b Για τις ιδιοτιμές του Α, βλέπε άσκηση 8 Χρησιμοποιήστε τη σχέση d V (0) ra και το Θεώρημα 6 Υπόδειξη: Στην άσκηση 5 υπολογίσαμε τους ιδιόχωρους Εφαρμόστε το Θεώρημα 7 Λύση a Ο πίνακας της ως προς τη δοσμένη βάση είναι ο U

Ασκήσεις 4 οπότε εύκολα βρίσκουμε ότι 0 0 a a, 0 a ( x) ( x) x ( x ) και οι ιδιοτιμές της είναι οι 0,0, Παρατηρούμε ότι ra (αφού det 0 και ο έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες Άλλος τρόπος είναι να υπολογίσουμε μια κλιμακωτή μορφή του και να διαπιστώσουμε ότι το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών σε αυτή είναι ) Ξέρουμε ότι d V (0) ra Επειδή d V (0) (0), η δεν είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με το Θεώρημα 0 b Με εύκολη επαγωγή αποδεικνύεται ότι για κάθε, ο * * 0 0 0 0 0 0 είναι της μορφής και άρα ra Άρα έχουμε d V (0), d V () και d V (0) d V () που σημαίνει ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε σύμφωνα με το Θεώρημα 0 8 Θα δείξουμε επαγωγικά στο ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου πίνακα είναι το ( ) x ab x (*) Για v το αποδεικτέο επαληθεύεται με άμεσο υπολογισμό Έστω ότι και ότι το αποτέλεσμα ισχύει για ν- στη θέση του Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 a x 0 a 0 x 0 0 x 0 a det x det ( ) a det ( 0 x a 0 0 x ) 0 0 x a b b x b b b b b b x Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε, x 0 a det ( ) x ab x () 0 x a b b x Με ανάπτυγμα ως προς την πρώτη στήλη έχουμε 0 x 0 x 0 det ( ) b det ( ) b ( x) () 0 0 x 0 x b b b Αντικαθιστώντας τις (), () στην () προκύπτει το ζητούμενο Τώρα από την υπόθεση ab 0 και τη (*) έπεται ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου πίνακα είναι ( ) x που σημαίνει ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με 0 Αν ήταν διαγωνίσιμος, θα ήταν ίσος με το μηδενικό, άτοπο από την υπόθεση ότι τουλάχιστον ένα από τα a,, a, b,, b είναι διάφορο του 0

Ασκήσεις 4 9 Λύση a Λάθος, γιατί διαφορετικά d(i ) d V (0) d(er ) 4d(I ) (0) b Σωστό Καθένας από τους δύο δοσμένους πίνακες έχει ιδιοτιμές τις 4,5 και άρα είναι διαγωνίσιμος (είναι και έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, βλ Πόρισμα 9) Άρα καθένας από αυτούς είναι όμοιος με τον 4 0 0 5 και επομένως μεταξύ τους είναι όμοιοι c Σωστό Άμεσα επαληθεύεται ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο από καθέναν από του υπόχωρους V ( ), V ( ) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της g Αν B, B είναι βάσεις αντίστοιχα των V ( ), V ( ), ξέρουμε ότι η ένωση B B είναι μια βάση του V ( ) V ( ) (Πόρισμα 6) Άρα ο χώρος V ( ) V ( ) έχει μια βάση από ιδιοδιανύσματα της g Συνεπώς η g είναι διαγωνίσιμη (Πρόταση ) 40 Λύση: Έχουμε d V (0) (0) σύμφωνα με το Θεώρημα Ξέρουμε ότι d V (0) r και άρα (0) 4 Λύση: Έστω r r Συνεπώς x ( x) X από τον ορισμό του (0), X ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές, αντίστοιχα Το σύνολο { X, X } είναι μια βάση του γιατί X, X είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού Συνεπώς για να δείξουμε το ζητούμενο αρκεί να δειχτεί ότι X ( I) ( I) X,, Για το αριστερό σκέλος είναι X X και το δεξιό ( I) ( I) X ( X X) ( X X) ( X X) ( X X) X Άρα ισχύει η ισότητα για Με ανάλογο υπολογισμό επαληθεύεται η ισότητα και για Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος λύσης είναι ο ακόλουθος Επειδή, υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με P P 0 0 Συνεπώς αρκεί να δειχτεί ότι 0 0 0 I I ( ) ( ) 0 0 0 Αυτό επαληθεύεται με πράξεις πινάκων 4 Λύση a Επειδή ra, ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή το 0 είναι μια ιδιοτιμή του Α Έχουμε d V(0) ra Έστω u,, u μια βάση του V (0) Επειδή ra, υπάρχει με u u u u και u 0 Ισχυριζόμαστε ότι τα u,, u, u αποτελούν μια βάση του Πράγματι, αρκεί να δειχτεί ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα Αν u u u 0, όπου, τότε πολλαπλασιάζοντας με στα αριστερά έχουμε u u u 0 0 0 u 0 0

Ασκήσεις 44 Άρα u u 0 και επομένως 0 αφού τα u,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα υπάρχουν,, a a με u au a u Τότε ο πίνακας 0 0 a 0 0 a B 0 0 a είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης :, ( u ) u ως προς τη διατεταγμένη βάση { u,, u, u } του Άρα ο είναι όμοιος με τον B b Από το προηγούμενο ερώτημα, ο Α είναι όμοιος με τον B Άρα Tr TrB a και ( x) ( x) ( ) x ( x a ) ( ) x ( x Tr) B Έστω ότι Tr 0 Τότε d V(0) ra (0) και d V( Tr) ( Tr), οπότε ο Α είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 0 Έστω ότι Tr 0 Αν ο Α ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα, άτοπο αφού ra 0 4 Λύση a Θεωρούμε τη διατεταγμένη βάση { v, v, v } του [ x], όπου v x, v x, v (δικαιολογήστε γιατί είναι βάση) Εργαζόμενοι όπως ακριβώς στη λύση της άσκησης 9, βρίσκουμε V (0) v v, v v, V () v, οπότε αντίστοιχες βάσεις είναι { v v, v v},{ v} (δικαιολογήστε γιατί είναι βάση) Επειδή η g είναι πολυώνυμο g ( ) της, ξέρουμε ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα της που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, είναι ιδιοδιάνυσμα της g ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ( ) Εδώ 8 ( x) x, οπότε V (0 ) V (), V ( ) V () g g Άρα d V () d V (0 ), d V () d V (), οπότε d V () d V () g g Άρα d V () d V () και οι προηγούμενες ανισότητες είναι ισότητες, οπότε g g V () V (0 ), V () V ( ) g g Συνεπώς έχουμε για τους ιδιόχωρους της g τις ίδιες βάσεις με τους ιδιόχωρους της που βρήκαμε πριν b H είναι διαγωνίσιμη αφού d V (0) d V () H g είναι διαγωνίσιμη αφού d V () d V () g g c Η δεν είναι ισομορφισμός, αφού το 0 είναι ιδιοτιμή της H g είναι ισομορφισμός αφού το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g Πράγματι, ξέρουμε ότι η διάσταση του υπόχωρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα της g είναι το άθροισμα των διαστάσεων των ιδιόχωρων της g Επειδή d V () d V (), η g δεν έχει άλλo ιδιόχωρο Άρα το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g g Σημείωση: Ότι το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g προκύπτει άμεσα από το θεώρημα φασματικής απεικόνισης που θα δούμε σε παρακάτω ενότητα 44 Απάντηση a Λ Οι ιδιοτιμές του 44 είναι οι 0, Έχουμε d V (0) (0) (Θεώρημα ) Άρα d V(0) Όμοια d V( ) Άρα d V(0) d V( ) 4 Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα ) 44 b Σ Ο έχει 4 διακεκριμένες ιδιοτιμές g g

Ασκήσεις 45 c Σ Έχουμε d V (0) (0), d V () () και d V () () σύμφωνα με το Θεώρημα Άρα d V() () και d V() () Από το Επομένως, από το Θεώρημα ), διαγωνίσιμος d V (0) d V () d V () 4 d V (0) d Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι 0 0, 0 0 B Παρατηρούμε ότι ο είναι τριγωνικός με 0 και 0 στη διαγώνιο Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,0 Επειδή ο είναι πίνακας και έχει δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές, είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Όμοια ο B είναι διαγωνίσιμος Αλλά ο B δεν είναι διαγωνίσιμος (γιατί;) 0 e Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι 0 0, 0 0 B Είδαμε πριν ότι οι, B είναι διαγωνίσιμοι 0 0 Εδώ B που δεν είναι διαγωνίσιμος (γιατί;) 0 0 Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι ο (γιατί;) 0 g Λ Βλ άσκηση 6b h Λ Το x δεν μπορεί να είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου διαγωνίσιμου αφού δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] (βλ Θεώρημα 0 )) Σ Αν οι ρίζες του x ax b [ x] στο είναι οι,, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του 0 x 0 πίνακα είναι det ( x)( x) x ax b 0 0 x j Σ Βλ άσκηση d