Σηµειώσεις Χηµιής Θερµοδυνµιής/Β. Χβρεδάη Επίλυση ποδειτιών σχέσεων της Θερµοδυνµιής Συνοπτιά νφέροντι διάφοροι τρόποι προσέγγισης της επίλυσης σχέσεων της Θερµοδυνµιής. Θ πρέπει ν τονισθεί ότι οι νφερόµενες λύσεις δεν είνι ούτε οι µονδιές ούτε πάντ οι συντοµότερες ποτελούν όµως ένν γνώµον προσέγγισης των λύσεων ι υποδεινύουν µηχνισµούς λύσης. Είνι προφνές ότι η πλήρης γνώση των µέσων επίλυσης εξσφλίζει την λύτερη ι σφλέστερη επιλογή «του δρόµου» που πρέπει ν ολουθηθεί. Υπολογισµός µεριών πργώγων θερµοδυνµιών ιδιοτήτων πό τις θεµελιώδεις διφοριές εξισώσεις µε εφρµογή του ριτηρίου Euler. Αν το λειστό ολολήρωµ του διφοριού συνρτήσεως f είνι µηδέν το διφοριό d : d d d Md Nd είνι τέλειο διφοριό όπου σε συντοµογρφί Μ Ν είνι οι µεριές πράγωγοι / / ντίστοιχ ι ισχύει η σχέση: M N δηλ. η οποί ονοµάζετι ριτήριο Euler. Εφόσον η σύνθεση του συστήµτος διτηρείτι στθερά δηλ. dn 0 η εφρµογή του ριτηρίου Euler στις θεµελιώδεις διφοριές εξισώσεις δίνει ντίστοιχ τις όλουθες σχέσεις σχέσεις Mwell Θεµελιώδεις διφοριές εξισώσεις Σχέσεις Mwell d d d µ ιdn d d d µ ιdn d d d µ ιdn v d d d µ ιdn Εφόσον η σύνθεση του συστήµτος µετβάλλετι λλά άποι άλλη θερµοδυνµιή του ιδιότητ πρµένει στθερή µπορούν ν ληφθούν µε εφρµογή του ριτηρίου Euler επίσης ι άλλες σχέσεις Mwell που περιλµβάνουν ι την µετβολή του ριθµού των moles όπως π.χ. πό την v έχοµε: µ n n n j n j n n µ ι n j n n j n Πρτηρούµε ότι :
Η µεριή πράγωγος µιάς ιδιότητς ως προς άλλη ιδιότητ / ισούτι προς την µεριή πράγωγο της συζυγούς µετβλητής της δεύτερης ως προς την συζυγή µετβλητή της πρώτης / δηλ.: Η στθερή ιδιότητ ι στ δύο µέλη της σχέσεως είνι συζυγείς µετβλητές των ιδιοτήτων που πργωγίζοντι π.χ. δηλ. η είνι η συζυγής της ι η η συζυγής της. Υπενθυµίζετι ότι οι συζυγείς µετβλητές είνι το ζεύγος των µετβλητών που το γινόµενο της ενττιής επί το διφοριό της εττιής µετβλητής πρέχει έργο π.χ. d µηχνιό γdα έργο επιφάνεις d θερµιό µdn χηµιό. Στ λειστά υδροσττιά συστήµτ ι µόνον οι εξισώσεις Mwell που περιλµβάνουν την µεριή πράγωγο εττιής ιδιότητς ως προς ενττιή ή ντιστρόφως έχουν ρνητιό πρόσηµο π.χ. εττιή ιδιότητ ενττιή ιδιότητ Υπολογισµός των µεριών πργώγων των θερµοδυνµιών δυνµιών ως προς τις µετβλητές. Θερµοδυνµιά δυνµιά χρτηρίζοντι οι ιδιότητες ι. Οι µετβολές τους ως προς υπολογίζοντι πό τις ντίστοιχες θεµελιώδεις διφοριές εξισώσεις µε πργώγιση ι/ή την χρήση των εξισώσεων Mwell ή/ι άλλων µθηµτιών µετσχηµτισµών. Στ πρδείγµτ που ολουθούν χρησιµοποιούντι ευρύττ οι σχέσεις: Πράδειγµ. Ν υπολογισθούν οι µεριές πράγωγοι: Λύση τ ευθείν υπολογισµός πό τις εξισώσεις Mwell
3 d d d d d d v d d d v d d d Υπενθυµίζοντι επίσης βσιοί µθηµτιοί µετσχηµτισµοί που οδηγούν στην εύρεση σχέσεων γι τον υπολογισµό διφόρων µετβολών ή την πόδειξη διφόρων θερµοδυνµιών σχέσεων. Χρήση της υλιής ενλλγής µετβλητών της συνάρτησης f σύµφων µε την µθηµτιή σχέση: Πράδειγµ. Ν ποδειχθεί η σχέση: Λύση Από την εξίσωση: d d d
4 Στην περίπτωση που ισχύουν οι συνρτήσεις f ι f ω γίνετι συχνά χρήση της µθηµτιής σχέσης: ω ω Πράδειγµ. Ν υπολογισθούν οι πράγωγοι: ι ο λόγος s Λύση ι 3 Εφόσον ισχύουν οι συνρτήσεις f ι f w συχνά γίνετι χρήση της µθηµτιής σχέσης: w w w Πράδειγµ. Ν δειχθεί ότι: Λύση: Ως γνωστόν Συνεπώς:
5 Από τις εξισώσεις Mwell έχοµε: Πράδειγµ. Ν δειχθεί ότι: Λύση: Όµως: d d d 4 Σε περίπτωση υπάρξεως δευτέρς πργώγου δεν έχει σηµσί η σειρά πργωγίσεως. Πράδειγµ. Ν δειχθεί ότι: Λύση. 5 Ας µην ξεχνάµε ι τις σχέσεις ορισµού θερµοδυνµιών µεγεθών σε συνδυσµό µε πλή µθηµτιή επεξεργσί. ή ή Πράδειγµ. Ν δειχθεί ότι: ι
6 Λύση. Ανλύετι µθηµτιά η πράγωγος της ποσότητς / δηλ. d d d ι ολούθως λµβάνετι η µεριή της πράγωγος στην µί περίπτωση ως προς / ι στην άλλη ως προς. : Όµως d d Από την d d d ι πό τον ορισµό της : : Οµοίως ποδεινύετι η δεύτερη σχέση: Ανλόγως προς την προηγούµενη περίπτωση ποδεινύοντι οι σχέσεις: ι 6 Υπολογισµός µεριής πργώγου µε στθερό µέγεθος έν θερµοδυνµιό δυνµιό όπως. Πράδειγµ. Ν ποδειχθεί η σχέση: Λύση. ο µέλος της ποδειτές εξισώσεως υποδεινύει την έφρση της εσωτεριής ενέργεις ως συνάρτησης των δηλ.. Συνεπώς: d d d Ότν στθ. δηλ. d0 έχοµε:
7 d d ι υπό την προϋπόθεση υτή δηλ. ότι d0 γράφετι : Από την d d d Η σχέση υτή ποδεινύετι επίσης πό την χρήση της µθηµτιής σχέσης της υλιής ενλλγής των µετβλητών δηλ.: Ο λόγος / υπολογίζετι όπως προηγουµένως. Η λύση υτή νφέρετι στην ντίστοιχη περίπτωση της σελ.3.
8 Ασήσεις επί των ποδειτιών σχέσεων Ν ποδειχθούν οι όλουθες σχέσεις ι ν γρφεί η µορφή τους στην περίπτωση ιδνιού ερίου: d d d d d d d d d Ν ποδειχθούν οι όλουθες σχέσεις: v 3 Ν ποδειχθούν οι όλουθες σχέσεις: v 4 Ν ευρεθούν οι τιµές των µεριών πργώγων: 5 Ν ποδειχθεί ότι 0 < ι 0 > 6 Ν ποδειχθεί ότι: / & / /
9 / & / / 7 Ν ποδειχθούν οι όλουθες σχέσεις: d d d d d d d d d 8 Ν ποδειχθούν οι όλουθες σχέσεις: γ 9 Ν ποδειχθούν οι όλουθες σχέσεις ι ν ευρεθούν οι τιµές τους στην περίπτωση ιδνιού ερίου: v v v v v 0 Ν ποδειχθούν οι επόµενες σχέσεις:.. 3. 4. J µ 5. 6. γ 7. 8. 9. 0.
0.. 3. 4. A. 5. µ c 6. 7. d d d 8. 9. 0. A Γι ιδνιό έριο ν υπολογίσετε τις πργώγους ι ι ν ποδείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις: 0 0 0 v nr v nr ln v nr v e γ