Τελεστές Hecke Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 13 Ιανουαρίαου 2015, 1/28
Τελεστές Hecke Οι τελεστές Hecke πρωτοεµφανίζονται στην εργασία του Mordell όπου έλυσε την εικασία του Ramanujan για την πολλαπλασιαστικότητα της τ(n). Η συνάρτηση. Εστω g 2 (z) = 60G 4 (z) και g 3 (z) = 140G 6 (z). (z) = g 2 3 (z) 27g 3 2 (z) Θεώρηµα (Jacobi) Αν q=e 2πiz, τότε (z) = (q) = (2π) 12 q (1 q n ) 24. n=1, 2/28
Οι Εικασίες του Ramanujan Ορισµός Θεωρούµε το ανάπτυγµα Fourier της (z) = (q) = (2π) 12 q (1 q n ) 24 = n=1 τ(n)q n. n=1 Η ακολουθία των συντελεστών Fourier τ(n) της ονοµάζεται συνάρτηση τ του Ramanujan. Το 1916 ο Ramanujan έκανε την εικασία, χωρίς να µπορέσει να την αποδείξει, πως η τ έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. τ(mn) = τ(m) τ(n) όταν µκδ(m, n) = 1 (δηλαδή η τ(n) είναι πολλαπλασιαστικκή συνάρτηση), 2. τ(p r+1 ) = τ(p)τ(p r ) p 11 τ(p r 1 ) για κάθε πρώτο p και r > 0, 3. τ(p) 2p 11/2 για κάθε πρώτο p., 3/28
Τελεστές Hecke Αυστηρός ορισµός δόθηκε στην δεκαετία του 30 από τον Hecke, ο οποίος ανέπτυξε και το ϐασικό κοµµάτι της ϑεωρίας τους. Αποτελούν οικογένειες ϕυσιολογικών τελεστών T n για τις υποοµάδες της modular οµάδας υπό την ακόλουθη έννοια: για κάθε Γ υποοµάδα πεπερασµένου δείκτη της PSL 2 (Z) και για κάθε n N ορίζεται µια ακολουθία τελεστών T n : M 2k (Γ) M 2k (Γ) που διατηρούν τους cusp υπόχωρους, δηλαδή T n (S 2k (Γ)) S 2k (Γ). Η ιδιότητα τους αυτή ϑα δούµε ότι έχει σηµαντικό αριθµοθεωρητικό ενδιαφέρον που συνδέεται µε τις ιδιοσυναρτήσεις και τις ιδιοτιµές τους., 4/28
Φασµατικό Θεώρηµα Λήµµα Εστω V ένας πεπερασµένης διάσταση διανυσµατικός χώρος υπεράνω του C, και µια ϑετικά ορισµένη Ερµιτιανή µορφή, ορισµένη στον V. Τότε: 1. Αν η f : V V είναι Ερµιτιανή γραµµική απεικόνιση, τότε η f είναι διαγωνίσιµη. 2. Αν f 1, f 2,... είναι ακολουθία Ερµιτιανών γραµµικών απεικονίσεων : V V που αντιµετατίθονται, τότε ο V έχει ϐάση από διανύσµατα a i που είναι ιδιοδιανύσµατα για κάθε f i, i = 1, 2,..., 5/28
Σειρές Dirichlet Στην συνάρτηση αντιστοιχούµε µια σειρά Dirichlet L(, s) = n 1 τ(n) n s. Η σειρά L(, s) έχει ένα Euler γινόµενο της µορφής L(, s) = 1 1 τ(p)p s + p 11 2s p πρώτος αν και µόνο αν ισχύουν οι παραπάνω «πολλαπλασιαστικές ιδιότητες» 1,2 των εικασιών του Ramanujan., 6/28
Γινόµενα Euler p πρώτος 1 1 p s = p ( 1 p ns n=0 ) = n=1 1 n s = ζ(s)., 7/28
Γινόµενα Euler Απόδειξη (Για την L-σειρά) Για ένα πρώτο p ορίζουµε L p (s) = m 0 Υπολογίζουµε το γινόµενο τ(p m )p ms = 1 + τ(p) p s + τ(p2 ) p 2s + (1 τ(p)p s + p 11 2s )L p Ο συντελεστής του p ns σε αυτό το γινόµενο είναι 1 αν n = 0, 0 αν το n = 1 και τ(p n+1 ) τ(p)τ(p n ) + p 11 τ(p n 1 ) για n + 1. Αρα (1 τ(p)p s + p 11 2s )L p = 1 και το αποτέλεσµα έπεται., 8/28
Παρατηρήσεις Γράφουµε 1 τ(p)x + p 11 X 2 = (1 ax)(1 a X) Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: 1. τ(p) 2p 11/2 2. a = p 11/2 = a 3. a, a συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί. Πράγµατι (2 1) έχουµε τ(p) = a + a το Ϲητούµενο έρχεται από τριγωνική ανιστότητα. (3 2) έχουµε a 2 = aā = aa = p 11. (1 3), η διακρίνουσα είναι τ(p) 2 4p 11 < 0., 9/28
Στρατηγική Θα ορίσουµε τελεστές T(n) : M k (Γ(1)) M k (Γ(1)) οι οποίοι ϑα ικανοποιούν τις ιδιότητες: 1. T(m) T(n) = T(mn) αν (n, m) = 1 2. T(p) T(p n ) = T(p n+1 ) + p 2k 1 T(p n 1 ), p πρώτος 3. T(n) διατηρεί τις cusp forms και είναι ερµητιανός (αυτοσυζυγής) τελεστής σε αυτές: T(n)f, g = f, T(n)g., 10/28
Τελεστές Hecke Εστω f(z) = c(n)q n µια modular form ϐάρους 2k, k 0. Αν η f είναι ιδιοδιάνυσµα για όλα τα T(n) τότε c(1) 0 και αν κανονικοποίησουµε ώστε c(1) = 1, έχουµε T(n)f = c(n)f. Συνεπώς αν f είναι κανονικοποιηµένο ιδιοδιάνυσµα για όλα τα T(n) τότε Επιπλέον c(m)c(n) = c(mn) αν (m, n) = 1 c(p)c(p n ) = c(p n+1 ) + p 2k 1 c(p n 1 ), αν p πρώτος L(f, s) := c(n)n s = p 1 1 c(p)p s + p 2k 1 2s., 11/28
Παρατηρήσεις Ο χώρος των cusp forms ϐάρους 12 είναι µονοδιάστατος, συνεπώς η είναι ταυτόχρονη ιδιοµορφή για τους τελεστές Hecke. Αυτό αποδυκνείει ένα κοµµάτι της εικασίας Ramanujan. Αξιοσηµείωτη είναι η σχέση της L(f, s) µε την L συνάρτηση της ελλειπτικής καµπύλης L(E, s) = p καλή αναγ. 1 1 a(p)p s + p 1 2s p κακή Στον παραπάνω τύπο 1 a(p) + p = #E(F p ) για καλές αναγωγές. Η υπόθεση Riemann µας έδινε ότι a(p) 2 p., 12/28
Εικασία Taniyama-Shimura-Weil Εστω E µια ελλειπτική καµπύλη υπέρ του σώµατος Q. Τότε L(E, s) = L(f, s) για κάποια κανονικοποιηµένη ιδιοµορφή ϐάρους 2 για την Γ 0 (N), N ο conductor της E. Η εικασία (Θεώρηµα Wiles, Taylor, Diamond) είναι κοµµάτι ενός γενικότερου προγράµµατος το οποίο ονοµάζεται πρόγραµµα Langlands., 13/28
Lattices και modular forms Εστω L ο χώρος των lattices στο C. Με Λ(ω 1, ω 2 ) Λ συµβολίζουµε το lattice µε ϐάση τα ω 1, ω 2, όπου ω 1 /ω 2 H. Λήµµα Εστω F : L C συνάρτηση τέτοια ώστε F(λΛ) = λ 2k F(Λ) για κάθε λ στο C. Τότε η f(z) = F(Λ(z, 1)) είναι weakly modular form ϐάρους 2k για τη Γ(1) = SL 2 (Z). Επιπλέον, η αντιστοιχία F f είναι 1-1 και επί., 14/28
Τελεστές Hecke σε lattices Εστω L, όπως και πριν, ο χώρος των lattices στο C, και έστω D η ελέυθερη αβελιανή οµάδα που παράγεται από τα στοιχεία του L. ηλαδή, τα στοιχεία της D είναι της µορφήσ: n i [Λ i ], όπου n i Z και Λ i L. Για κάθε n N ορίζουµε έναν Z-γραµµικό τελεστή T n : D D µε T n [Λ] = [Λ ], [Λ:Λ ]=n δηλαδή το άθροισµα εκτείνεται πάνω από όλα τα sublattices του Λ δείκτη n, καθώς και τον τελεστή R n n : L L, µε τύπο R n [Λ] = [nλ]., 15/28
Τελεστές Hecke σε lattices Εστω ένα lattice Λ, µια ϐάση του ω 1, ω 2 και Λ ένα sublattice του. Τότε [Λ : Λ ] = n αν και µόνο αν υπάρχει πίνακας ( ) a b γ = c d µε det γ = n, τέτοιος ώστε να ισχύει Λ = γλ = Λ(aω 1 + ω 2, cω 1 + dω 2 ). Κάθε τέτοιο sublattice του Λ περιέχει το nλ, και αφού [Λ : nλ] <, έπεται ότι το άθροισµα που στον ορισµό του T n είναι πεπερασµένο. Αρα ο τελεστής T n είναι καλά ορισµένος., 16/28
Ιδιότητες τελεστών Hecke 1. Αν µκδ(m, n)=1, τότε T m T n = T mn 2. Αν ο p είναι ένας πρώτος αριθµός, και n 1, τότε: T p n+1 = T p T p n pr p T p n 1, 17/28
Ιδιότητες τελεστών Hecke Παρατηρούµε ότι Επίσης, T mn [Λ] = [Λ ]. [Λ:Λ ]=mn T m T n = [Λ ], όπου το άθροισµα εκτείνεται πάνω από όλα τα Ϲεύγη (Λ, Λ ) τέτοια ώστε [Λ : Λ ] = n και [Λ : Λ ] = m. Οµως, αν το Λ είναι ένα sublattice του Λ δείκτη mn, τότε υπάρχει µοναδική αλυσίδα Λ Λ Λ, µε [Λ : Λ ] = n, επειδή η οµάδα Z/mnZ είναι το ευθύ άθροισµα µιας οµάδας τάξης m και µιας οµάδας τάξης n., 18/28
Ιδιότητες τελεστών Hecke Για κάθε m και n ϕυσικούς αριθµούς ισχύει: T m T n = d R d T mn/d 2 d gcd(m,n),d>0 Απόδειξη: Μπορούµε να υποθέσουµε ότι s r. Πρώτα, µε χρήση επαγωγής, αποδεικνύεται εύκολα ότι T p s T p r = p i R p i T p r+s 2i i min(r,s) (για s = 1 είναι το δεύτερο σκέλος της προηγούµενης πρότασης) και µετά εφαρµόζουµε το (i) της προηγούµενης πρότασης., 19/28
Αλγεβρα Hecke Η Z υποάλγεβρα του End(D) που παράγεται από τους T p και R p είναι µεταθετική και περιέχει τους T n για κάθε n. Η άλγεβρα του πορίσµατος καλείται µερικές ϕορές και Hecke άλγεβρα. Αντίστοιχα, για τους τελεστές Hecke που ϑα ορίσουµε παρακάτω να δρουν στις modular forms, ορίζεται και εκεί µια άλγεβρα Hecke µε όµοιο τρόπο., 20/28
Τελεστές Hecke Αν έχουµε µία συνάρτηση F : L C µπορούµε να την επεκτείνουµε γραµµικά στην οµάδα των τυπικών αθροισµάτων των lattices. ( ) F n i [Λ i ] = n i F(Λ i ). Για κάθε τελεστή T στην D, ορίζουµε την T F να είναι συνάρτηση L C τέτοια ώστε (T F)([Λ]) = F(T[Λ]). Πιο συγκεκριµµένα, για τον τελεστή T n έχουµε (T n F)([Λ]) = F([Λ ]) µε το άθροισµα, όπως παραπάνω, να εκτείνεται πάνω από όλα τα sublattices δείκτη n. Αν η F έχει ϐάρος 2k, δηλαδή F(λΛ) = λ 2k F(Λ), τότε R n F = n 2k F., 21/28
Τελεστές Hecke Εστω F : L C µια οµογενής συνάρτηση ϐάρους 2k. Τότε, η T n F είναι επίσης ϐάρους 2k, και, για κάθε m και n, ισχύει T m T n F = d 1 2k T mn/d 2 F. d (m,n),d>0 Ιδιαιτέρως, αν οι m και n είναι σχετικά πρώτοι, τότε T m T n F = T mn F, και, αν ο p είναι πρώτος και n 1, τότε T p T p n F = T p n+1 F + p 1 2k T p n 1 F., 22/28
Τελεστές Hecke Συµβολίζουµε µε M 2 (Z) τον δακτύλιο των 2 2 πινάκων µε στοιχεία από το Z, και µε M(n) τα στοιχεία του M 2 (Z) µε ορίζουσα n. Λήµµα Εστω A M(n). Τότε, υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας U M 2 (Z) τέτοιος ώστε ( ) a b U A =, 0 d όπου ad = n, a 1 και 0 b < d. Επιπλέον, οι a, b, d είναι µοναδικοί., 23/28
SL 2 (Z) SL 2 (Z) δρα στο M(n) µε πολλαπλασιασµό από αριστερά, και το λήµµα µας παρέχει ένα σύνολο αντιπροσώπων των τροχιών: M(n) = SL 2 (Z) ( a b 0 d Εστω Λ lattice στο C. ω 1, ω 2 ϐάση Λ, δηλαδή Λ = Λ(ω 1, ω 2 ). Για κάθε α M(n), ορίζουµε ως συνήθως αλ = Λ(aω 1 + bω 2, cω 1 + dω 2 ), και, όπως σηµειώσαµε και παραπάνω, το αλ είναι δείκτη n στο Λ και κάθε sublattice του Λ είναι αυτής της µορφής. Αφού αλ = βλ αν και µόνο αν α = uβ για κάποιο u SL 2 (Z), τα sublattices του Λ δείκτη n είναι ακριβώς τα Λ(aω 1 + bω 2, 0ω 1 + dω 2 ), όπου a, b, d Z, ad = n, a 1, 0 b d 1. )., 24/28
SL 2 (Z) Καταλήγουµε στον τύπο T n f(z) = n 2k 1 d 2k f ( ) az + b όπου το άθροισµα λαµβάνεται πάνω από τα a, b, d τέτοια ώστε ad = n, a 1, 0 b < d. d, 25/28
SL 2 (Z) Θεώρηµα 1. Εστω f µία weakly modular form ϐάρους 2k για την PSL 2 (Z), και ένας n N. Τότε, η T n (f) είναι επίσης weakly modular form ϐάρους 2k για την PSL 2 (Z). 2. T mn f = T m T n f αν (m, n) = 1 3. Αν ο p είναι ένας πρώτος και n 1, T p n+1 f = T p T p n f p 2k 1 T p n 1 f,, 26/28
SL 2 (Z) Αν η f είναι µια modular form me Fourier ανάπτυγµα f(q) = a n q n n=0 τότε όπου: c m = T n f(z) = c m q m, m=0 b gcd(m,n),b 1 b 2k 1 a mn b 2 ο T n διατηρεί τον S 2k (Γ) ( αν η f είναι µια cusp form ϐάρους 2k, τότε και η T n (f) είναι cusp form ϐάρους 2k)., 27/28
Ιδιοτιµές Εστω f µια µη µηδενική modular form ϐάρους 2k για την Γ(1), µε f(q) = a n q n. Εστω ακόµη ότι η f είναι κανονικοποιηµένη (δηλαδή a 1 = 1) ιδιοσυνάρτηση τότε ο a n είναι η ιδιοτιµή του τελεστή T n που αντιστοιχεί στην ιδιοµορφή f. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι n=0 T n (f) = λ(n) f. Τότε, ο συντελεστής του q στην T n (f) είναι ο a n. Οµως, από το δεύτερο µέλος της εξίσωσης, ο συντελεστής του q ισούται και µε λ(n)a 1. Επεται πως για κάθε n 1 ισχύει a n = λ(n)a 1. Αν ίσχυε a 1 = 0, τότε ϑα είχαµε f 0, το οποίο είναι αδύνατον. Ο δεύτερος ισχυρισµός τώρα είναι προφανής., 28/28