y Διανύσματα R y V y ĵ î R V î ( 1,0 ) ĵ ( 0,1) R + V (R + V )î + (R y + V y ) ĵ R + V H κατεύυνση του διανύσματος (( R + V ) 2 + ( R y + V y ) 2 ) R + V ϕ rc(tnϕ) rc Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για 3 διαστάσεις R R y cosφ Rsin cosϕ R R z R φ φ V R y R R y R y ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 1 α δίνεται από την γωνία φ ( R y + V y ) ( R + V ) R y R y sinφ Rsin sinϕ R z Rcos R R î + R y ĵ + R z ˆk
Y Παράδειγμα/πρόβλημα Να βρεούν οι συντεταγμένες (,y) συναρτήσει των (, y ) του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων Y Y Y X X Κινηείτε μια απόσταση κατά μήκος του -άξονα (η προβολή στο ) y 1 είναι:sin Oy 1 O y 1 y 1 sin Το ύψος δεν εξαρτάται από το δρόμο που ακολουήσατε: y y 1 + y 2 sin + y cos y Από το πηγαίνουµε στο V (κίνηση κατά y ) y2 y y 2 είναι: cos wv V y 2 y y y cos Y w 2 y 1 X Y Y y y 1 O O Y Y ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 2 V y X X X X ( ) wv OX, V O X X X
Παράδειγµα συνέχεια ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 3 Πως βρίσκουµε το συναρτήσει των και y? Y Κινούµαστε και πάλι στον -άξονα κατά 1 είναι:cos O 1 O 1 1 cos Κινούµαστε στον Y -άξονα κατά y 1 2 είναι:sin w y 1 2 y Y Y 1 2 y sin Y 1 1 X X y X w 2 X Αλλά: O 2 O 1 1 2 cos y sin Εποµένως καταλήγουµε: cos y sin y sin + y cos Θα µπορούσαµε να το γράψουµε και µε τη µορφή: y cos sin sin cos y
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 4 Διανύσματα: εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων α,β ορίζεται σαν b b cos b b α cos Είναι βαμωτό μέγεος και όχι διάνυσμα Συμβολίζει την προβολή του διανύσματος α στο διάνυσμα β Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφτεί σαν συνάρτηση των συνιστωσών των 2 διανυσμάτων ως: b ( b + y b y + z b z ) b επειδή î î ĵ ĵ ˆk ˆk 1 και i ˆ ˆ j ˆ j k ˆ i ˆ k ˆ 0 Το εσωτερικό γινόμενο υπακούει στον επιμεριστικό κανόνα ( b + c ) b + c
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 5 c Διανύσματα: εξωτερικό γινόμενο Εξωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και b είναι ένα διάνυσμα c c με μέτρο b sinφ όπου φ η γωνία των,b. b φ Η διεύυνση του c είναι κάετη στο επίπεδο των α και b και το μέτρο του ισούται με το εμβαδό του παραλ/μου. Η διεύυνσή του βρίσκεται σύμφωνα με το κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία: Με το δεξί μας χέρι να στρέφεται προς τη διεύυνση φ του διανύσματος προς το b, ο αντίχειρας δηλώνει την διεύυνση του διανύσματος c. α sinφ φ b bsinφ φ b Το εξωτερικό γινόμενο ισούται με το γινόμενο του μέτρου του ενός διανύσματος επί την κάετη συνιστώσα του άλλου διανύσματος ως προς το πρώτο
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 6 Διανύσματα: εξωτερικό γινόμενο/ιδιότητες b b 0 ( b b + c ) b + c ( î + y ĵ + z ˆk) (b î + b y ĵ + b z ˆk) î b î + î b y ĵ + î b z ˆk b b y + y ĵ b î + y ĵ b y ĵ + y ĵ b z ˆk + z ˆk b î + z ˆk by ĵ + z ˆk bz ˆk b ( y b z z b y )î b +( b z z b ) ĵ iˆ b ˆj b y y kˆ z b z i ˆ ˆ j k ˆ ˆ j ˆ i ˆ i ˆ ˆ j ˆ j k ˆ i k ˆ k ˆ 0 k ˆ i ˆ ˆ j ( + ˆk )+ b ( z ĵ )+ y b ( ˆk )+ y b ( z +î )+ z b ( + ĵ ) + z b ( y î ) +( b y y b ) ˆk î y z b y b ĵ z + ˆk y z b b z b b y
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 7 Άλγεβρα 1 ( ± y) ± y log 10 log ± logb log( b ± 1 ) log( n ) nlog( ) ln e ln ± ln b ln( b ± 1 ) ln( n ) n ln( ) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
Διαφορικός λογισμός ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 8 Έστω y f() μια συναρτησιακή σχέση της μεταβλητής y ως προς την μεταβλητή : y f() 3 + b 2 + c + d H παράγωγος του y ως προς το χ ορίζεται ως το όριο των κλίσεων των χορδών που φέρονται μεταξύ 2 σημείων στην γραφική παράσταση του y ως προς το καώς το τείνει στο μηδέν y 2 y 1 Δ Δy dy d lim Δy d 0 Δ lim d 0 y( + Δ) y() Δ 1 0 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 9 Διαφορικός λογισμός ιδιότητες παραγώγων Η παράγωγος του αροίσματος 2 συναρτήσεων είναι d d d d f ( ) [ g( ) + h( ) ] g( ) + h( ) d d d d Η παράγωγος του γινομένου 2 συναρτήσεων είναι d d dg dh f ( ) [ g( ) h( ) ] h + g d d d d d g() h dg Πηλίκο δύο συναρτήσεων? d g dh d d h() h 2 Αν y f() και είναι συνάρτηση μιας άλλης μεταβλητής z τότε dy d dz d dy dz Η δεύτερη παράγωγος της y ως προς ορίζεται d 2 y d 2 d dy d d
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 10 Διαφορικός λογισμός - τυπολόγιο d d n n n 1 d (sin) cos d d (cos) sin d d d (e ) e d d ln()
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 11 Ολοκληρωτικός λογισμός Θεωρούμε την ολοκλήρωση ως το αντίστροφο της διαφόρισης: dy f ( ) dy f ( ) d d Μπορούμε να βρούμε την y() αροίζοντας για όλες τις τιμές του. Αυτή η αντίστροφη πράξη γράφεται y() f ()d π.χ. για μιά συνάρτηση f() 3 2 + b η παραπάνω ολοκλήρωση δίνει y() (3 2 + b)d 3 + b + c Το ολοκλήρωμα ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα επειδή η τιμή του εξαρτάται από τη τιμή της σταεράς c. To αόριστο ολοκλήρωμα ορίζεται ως I() f ()d Η συνάρτηση f() ονομάζεται ολοκληρωτέα συνάρτηση: f ( ) di( ) d Για μια συνεχή συνάρτηση το ολοκλήρωμα μπορεί να περιγραφεί σα το εμβαδό που ορίζεται από την καμπύλη της f() και του άξονα, μεταξύ 2 ορισμένων τιμών 1 και 2 Οριμένο ολοκλήρωμα
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 12 Ολοκληρωτικός λογισμός Ένα από τα πιο χρήσιμα ολοκληρώματα που συναντιούνται είναι: n d n +1 n +1 + c Διαφόριση του δεξιού μέλους δίνει f() n. Aν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι γνωστά τότε το ολοκλήρωμα δίνει: n d n +1 2 n +1 n +1 2 1 n +1 n +1 q Μερικοί τρόποι ολοκληρώσεως Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: udv uv vdu Για παράδειγμα: u v Επαναλαμβάνοντας στο δεύτερο όρο έχουμε I() 2 e d 2 d(e ) 2 e 2 e d + c 1 2 e d 2e + 2 e d 2e + 2e + c 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 13 Ολοκληρωτικός λογισμός Τέλειο διαφορικόπροσπαούμε με αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης το διαφορικό της συνάρτησης να είναι διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής που εμφανίζεται στην ολοκληρωτέα συνάρτηση I() cos 2 π.χ sin d d( cos ) sin d Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα d d ln 1 ln( + b ) I() cos 2 d ( cos ) d 1 d 1 2 + b b ( + b) b( + b) 1 1 sin( ) d cos( ) cos( ) sin( ) d d e 2 2 e d ( 1) 2 2 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 3 14 Αναπτύγματα σε σειρές n n n n 1 n( n 1) n 2 2 n( n 1)( n 2) n 3 3 ( + b) + b + b + b + 1! 2! 3! n( n 1) 2 ( 1+ ) n 1+ n + + 2! Για <<1 (1 + ) n 1 + n 2 3 e 1+ + + + 2! 3! 2 3 4 ln(1 ± ) ± ± + 2 3 4 Για <<1 Για <<1 e 1 + ln(1± ) ± 2 cos 1 2! 3 sin 3! 3 tn + 3 4 6 + + 4! 6! 5 7 + + 5! 7! 5 7 2 17 + + + 15 315 < π 2 σε ακτίνια