ΜΕΘΟ ΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: 0d d d µε d ln d d d d σφ d ln d Γείκευση: f f µε d f f d ln f f d ln β β f f f d β β d f fd f βd β f fd f βd β f d f d β f β f d σφf d σφ β f β f f f d ln k λ k λ d k ln
Πρδείγµτ:. d 7. 7. d. d ln ln. d ln. d 7. d. d. d 0. d. d. d. d. d σφ. d σφ. d ln d
7. d ln. - d Α Α 0 < 0 - d - d - - d - d Αφού η ράγουσ άρτηση στο σείο είι εχής έχουµε: [ ] lim lim κι άρ: - d ΙΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ: f gd f g f g d Με ολοκλήρση κτά ράγοτες τιµετίζουµε ολοκληρώµτ τ εξής µορφώ: P β d P βd P βd P ln βd β k βd β k βd P β k βd β P k βd όου Ρ είι ολυώυµο. Στ ρά ολοκληρώµτ η άρτηση ου διµορφώετι σε µορφή ργώγου δηλ. βρίσκουµε τη ράγουσά της κτά σειρά ροτεριότητς είι: β β ή β P β Γι τ δύο τελευτί ολοκληρώµτ υολογίζουµε ρώτ τ k βd κι β k βd κι εργζόµστε ός στ ρκάτ ρδείγµτ.
Πρδείγµτ:. d 7 7 d d] [ d d d. d 7 d d] [ d d d. lnd ln d ln d ln lnd. d
- - - - d] [ - d - d] - [ d. d Πρώτ υολογίζουµε το d. Έτσι έχουµε: - d - - d - Σχόλιο: Στο τύο ολοκλήρσης κτά ράγοτες d g f g f gd f η άρτηση f υολογίζετι ός στο ρκάτ ράδειγµ:. d d ] [ Ι Έτσι. d f f 7. d d d d. d
d ln. lnd [ln] d [ln - ln] [ln - ln] 0. ln d Ός η ροηγούµεη άσκηση. Ι ln d Ι ln d ln d ΙΙΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: Α P Q είι κέρι ολυώυµ του τότε: P Q P Q d d Α ο βθµός του ριθµητή είι µικρότερος του βθµού του ροοµστή λύουµε το κλάσµ σε άθροισµ λώ κλσµάτ δηλ. ροσδιορίζουµε ργµτικούς ριθµούς Α Β Γ ώστε P Q A Β Γ όου ρ ρ ρ είι οι ρ ρ ρ ρίζες του ροοµστή. Α οι ρίζες εµφίζοτι µε ολλλότητ µεγλύτερη του.χ τότε γι κάθε τέτοι ρίζ θερούµε όλ τ κλάσµτ της µορφής : A Β Γ ρ ρ ρ Α ο ροοµστής έχει δευτεροβάθµιους ράγοτες ου δε ργοτοοιούτι θερούµε γι τους ράγοτες υτούς κλάσµτ της µορφής: A B δευτεροβάθµιος ράγοτς Α ο βθµός του ριθµητή είι µεγλύτερος ή ίσος του βθµού του ροοµστή εκτελούµε ρώτ τη διίρεση κι στη έχει γόµστε στη ροηγούµεη ερίτση.
Πρδείγµτ:. d - Γ Β Α χ Γ B A Έτσι: ln ln ln d d d d d. d - - Ε Γ - Β Α Ε Γ Β A - ln d -. d Α 0 Β 0 Γ Γ Β Α ln d ΙV ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: d g κι d g µε fd d g fg Πρδείγµτ:. d
d d d. d ln ln d d ln ln. d d d d 7. d d d Θέτουµε κι έτσι έχουµε: dz z z z d d z. - d Εειδή θέτουµε: - κι d 0 d. Ακόµη - Έτσι: κλσµάτ λώ άθροισµ σε κλάσµτος άλυση d - d. d
έτσι - d d θέτουµε - κι d d Σχόλιο : Ολοκληρώµτ της µορφής 7. d f d Θέτουµε d d κι άρ άλυση κλάσµτος υολογίζοτι µε τη τικτάστση d d d άλυση. Ι d Θέτουµε d d. Έτσι το ολοκλήρµ γίετι: A B Ι d d d Σχόλιο : Ολοκληρώµτ της µορφής κλάσµτος f β γ δ d τιµετίζοτι µε τη τικτάστση β d. Ι β - 0. d
V ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ:. Ολοκληρώµτ της µορφής f d f ρητή άρτηση τ Εκφράζουµε τις τριγοµετρικές ρτήσεις ρτήσει της µε τους τύους: κι θέτουµε d d d d d d Α η f είι εριττή ς ρος τότε θέτουµε: είι εριττή ς ρος θέτουµε εώ είι άρτι ς ρος κι τότε θέτουµε Πρδείγµτ: d d ln ln εριττή d d d. Ολοκληρώµτ της µορφής m n * d mn Z Α m n είι φυσικοί ριθµοί κι ές τουλάχιστο εριττός.χ mκ τότε δουλεύουµε ς εξής: m n d κ n - d κ n d κ n d Στη έχει τύσσουµε το κ κι χρίζουµε σε άθροισµ ολοκληρµάτ Α m n είι φυσικοί ριθµοί άρτιοι τότε χρησιµοοιούµε τους τύους Π.χ. οτετργισµού :
d d d d [ d d] d [ d ] Α m n είι ρητικοί κι συγχρός άρτιοι ή εριττοί κι οι δύο τότε εργζόµστε ός στο εόµεο ράδειγµ: - - d d d d d d d d Α ο m είι εριττός τότε κάουµε τη τικτάστση : Α ο n είι εριττός τότε κάουµε τη τικτάστση : Α ο mn είι άρτιος τότε κάουµε τη τικτάστση : Πρδείγµτ: ή 7 d d d 7 - d d d διότι : d d - d. Ολοκληρώµτ της µορφής m d m ρητικός κέριος Εφρµόζουµε το τύο του διλάσιου τόξου κι µετά γόµστε στη ροηγούµεη ερίτση
. Ολοκληρώµτ της µορφής κέριος ρητικός n d n Εειδή µορούµε χθούµε στη ροηγούµεη ερίτση.. Ολοκληρώµτ της µορφής * d ΙΝ Κάουµε τη τικτάστση: d d d d έχουµε d κι Πρδείγµτ: d ] [ ] [ d d d d d - ln d d d d d d J - d d d d d d d d d d Q ή µε άλλο τρόο : d d d Q d d
VΙ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ: *. Ν βρείτε γγικό τύο γι το ολοκλήρµ d ΙΝ κι µετά υολογίσετε το Λύση : - - d d - d. Ν βρείτε γγικό τύο γι το ολοκλήρµ Λύση : - d - - d - Ι Ι Ι - d * ΙΝ Με ολοκλήρση κτά ράγοτες βρίσκουµε ότι: - d Ι. Ν βρείτε γγικό τύο γι το ολοκλήρµ Λύση : ln d * ΙΝ Με ολοκλήρση κτά ράγοτες βρίσκουµε ότι: ln d ln Ι- *. Ν βρείτε γγικό τύο γι το ολοκλήρµ d ΙΝ κι µετά υολογίσετε το Λύση : d Ι d - d - d - d d - [ -] d - d d - - d Ι d ln. Ν βρείτε γγικό τύο γι τ ολοκληρώµτ: Λύση : d κι J d - - d Ι - - - J J -
. Ν βρείτε γγικό τύο γι το ολοκλήρµ: d Λύση : Θέτουµε d d d d d d άσκηση. Τελικά Ι V ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f ± β d : Γι κλύψουµε το κτάλληλο µετσχτισµό θερούµε τους δύο ροσθετέους της υόρριζης οσότητς σ δύο λευρές ορθογίου τριγώου η ειλογή γίετι µε βάση το Πυθγόρειο θεώρ κι εκφράζουµε τη λευρά ου φέρετι στη µετβλητή ρτήσει της άλλης λευράς κι του ιτόου ή του ιτόου ή της τοµέης µις οξείς γίς του ορθογίου τριγώου. Πρδείγµτ:. d d d - d d κι d d
. d - - - ln ln d d d d d d d d d. d - κι d d κόµη -