Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi κι γ δi είι ίσοι, κι μόο γ κι β δ Δηλδή βi γ δi γ κι β δ Επειδή i, έχουμε βi κι Πώς ορίζοτι οι πράξεις με μιγδικούς ριθμούς ; β Γι τη πρόσθεση δύο μιγδικώ ριθμώ βi κι γ δi έχουμε: βi γ δi γ β δ i Γι τη φίρεση του μιγδικού ριθμού γ δi πό το βi, επειδή ο τίθετος του μιγδικού γ δi είι ο μιγδικός γ δi, έχουμε: Δηλδή βi γ δi βi γ δi γ β δ i βi γ δi γ β δ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ βi κι δi γ έχουμε: Δηλδή είι : i i i i i ii i i iii ii i βi γ δi γ βδ δ βγ i Τέλος, γι εκφράσουμε το πηλίκο βi γ δi, όπου γ δi, στη μορφή κ λi, πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 βi βi γ δi γ βδ βγ δ i γ βδ βγ δ i γ δi γ δi γ δi γ δ γ δ γ δ Δηλδή, βi γ δi γ βδ βγ δ i γ δ γ δ 3 Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγδικού ριθμού z i ; Συζυγή του μιγδικού ριθμού zi λέμε το ριθμό z i Ο συζυγής του z συμβολίζετι επίσης κι με βi Είι δηλδή : βi βi Επειδή είι κι βi βi, οι ριθμοί βi, βi λέγοτι συζυγείς μιγδικοί 4 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω συζυγώ ριθμώ Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M, β κι M, β δύο συζυγώ μιγδικώ z βi κι z βi είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο 4 Mz Ο M z Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z βi κι z βi μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: z z z z βi Α κι z βi z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z 5 z z z z z z 6 z z z z z z Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 3 πό 45 Θεώρημ 5 Ν ποδειχθεί ότι : zz z z Απόδειξη Η πόδειξη της ιδιότητς z z z z γίετι ως εξής : Α z βi κι z γ δi, τότε έχουμε : z z βi γ δi γ β δ i γ β δ i βi γ δi z z 6 Πώς υπολογίζουμε τις δυάμεις του i ; Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4ρ υ, όπου ρ είι το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, υ 4 4 4 i, υ i i i i i i i i -, υ i, 3 Θεώρημ 7 Ν λύσετε στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ τη εξίσωση,, R κι z z με Απόδειξη Έστω η εξίσωση z βz γ, με,, R κι Μετσχημτίζουμε τη εξίσωση, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, στη μορφή: όπου Δ β 4γ β Δ z, 4 είι η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Α Α Δ, τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: Δ, τότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: β z z, β Δ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 4 πό 45 Α Δ, τότε, επειδή Άρ οι λύσεις της είι:, η εξίσωση γράφετι: i i 4 4 z, β i Δ β i z Δ, οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Ν ποδείξετε το πρκάτω κριτήριο : Γι έ μιγδικό ριθμό z ισχύει ότι: Ο z είι πργμτικός, κι μόο Ο z είι φτστικός, κι μόο z z z z Απόδειξη Δες το τετράδιό σου ή γίει ξά στη τάξη 8 Τι λέμε μέτρο εός μιγδικού ριθμού ; Έστω M, η εικό του μιγδικού z i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή O, δηλδή β z 5 M, z OM Ο a 9 Ν γράψετε τις ιδιότητες του μέτρου μιγδικού ριθμού Ισχύει ότι : z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 5 πό 45 Θεώρημ Ν ποδείξετε ότι : z z z Απόδειξη Έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ, δηλδή ο ριθμός z z ; β Τι πριστάει η εξίσωση zz, ; γ Τι πριστάει η εξίσωση zz zz ; Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: β Η εξίσωση πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο γ Η εξίσωση M M z z zz, Kz κι κτί zz z z πριστάει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί Az κι Bz Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 6 πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Β Γεικό μέρος τω συρτήσεω Τι λέμε σύολο τιμώ μις συάρτησης με πεδίο ορισμού το σύολο A ; Σύολο τιμώ της λέμε το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ δηλδή: A { γι κάποιο A} A Το σύολο τιμώ της στο συμβολίζετι με A A Είι Τι λέμε γρφική πράστση μις συάρτησης με πεδίο ορισμού το σύολο A ; Γρφική πράστση της λέμε το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, με A Σχόλι - Η γρφική πράστση της κι συμβολίζετι συήθως με C - Η εξίσωση, λοιπό, επληθεύετι μόο πό τ σημεί της C Επομέως, η είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της - Οτ δίετι η γρφική πράστση μις συάρτησης, τότε: C Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C β Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της Σχ 8 C = 8 C Α C C A, O Α O β O γ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 7 πό 45 - Ότ δίετι η γρφική πράστση, μις συάρτησης μπορούμε, επίσης, σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι C Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική, ως προς το άξο, της γρφικής πράστσης της, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M, που είι συμμετρικά τω M,, ως προς το άξο Σχ 9 Μ, 9 = O Μ, = β Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που βρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά, ως προς το άξο, τω τμημάτω της C που βρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό Σχ = O = 3 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω βσικώ συρτήσεω 3 β β, γ, δ, ε, Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : Η πολυωυμική συάρτηση β O O O a> a< a= βη πολυωυμική συάρτηση, O > O < 3 γ Η πολυωυμική συάρτηση, Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 8 πό 45 3 O O > < δ Η ρητή συάρτηση, 4 O O > < ε Οι συρτήσεις, 5 O O 4 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω πρκάτω συρτήσεω :,, β, γ lo, Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : Οι τριγωικές συρτήσεις : ημ, συ, εφ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 9 πό 45 6 O π π =ημ O π π =συ β π/ O π/ 3π/ =εφ γ Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις ημ κι συ η συάρτηση εφ είι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συάρτηση, είι περιοδικές με περίοδο T π, εώ 7 Ιδιότητες > Υπεθυμίζουμε ότι: O Α, τότε: Α <<, τότε: O β γ Η λογριθμική συάρτηση lo, Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 8 O O > << β Ιδιότητες Υπεθυμίζουμε ότι: lo 4 lo lo lo lo lo κι 5 lo lo lo k 3 lo κι lo 6 lo κlo 7 Α, τότε: lo lo ln ln 8 e, φού e, εώ, τότε lo lo 5 Πότε δύο συρτήσεις, λέγοτι ίσες ; Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει 6 Πώς ορίζοτι οι πράξεις της πρόσθεσης, φίρεσης, γιομέου κι πηλίκου δύο συρτήσεω, ; Ορίζουμε ως άθροισμ συρτήσεις με τύπους, διφορά -, γιόμεο κι πηλίκο, δύο συρτήσεω, τις, Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 Το πεδίο ορισμού τω, κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της του που μηδείζου το προομστή, δηλδή το σύολο { A κι B, με } 7 Τι λέμε σύθεση της συάρτησης με τη συάρτηση ; είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ Α, είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη, κι τη συμβολίζουμε με, τη συάρτηση με τύπο o A A B B 4 A Σχόλι Το πεδίο ορισμού της ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A } Είι φερό ότι η o ορίζετι, B A, δηλδή A B β Γεικά,, είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι o κι o, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α,, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η hoo, τότε ορίζετι κι η ho o κι ισχύει ho o ho o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω, κι h κι τη συμβολίζουμε με συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις hoo Η σύθεση 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ ; Η συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 Η συάρτηση λέγετι γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: 9 Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι προυσιάζει στο o Aολικό μέγιστο κι πότε ολικό ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγετι ; A R Μι συάρτηση : λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A με ισχύει ότι Σχόλι Μι συάρτηση :AR είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε A ισχύει η συεπγωγή:, Α, τότε Είι φερό πό το ορισμό της συάρτησης ότι ισχύει η ισοδυμί : β Από το ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : - Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριβώς μι λύση ως προς - Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε είι συάρτηση " " Το τίστροφο γεικά δε ισχύει Υπάρχου δηλδή συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 3 πό 45 Πράδειγμ Η συάρτηση η συάρτηση Σχ 34είι,, λλά δε είι γησίως μοότοη, O = 34 Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού A τιστρέφετι κι πώς ; Μι συάρτηση :ARτιστρέφετι, κι μόο είι Η τίστροφη συάρτηση της που συμβολίζετι με ορίζετι πό τη σχέση : Σχόλι Ισχύει ότι :, A κι, A β Η τίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ A της, κι σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες O κι O Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 4 πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Γ Όρι συρτήσεω Ποι πρότση συδέει το όριο της στο o κι τ πλευρικά όρι της στο o ; Ισχύει ότι : Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής ισοδυμί: Πρτηρήσεις στο όριο lim lim lim,, β, τότε ισχύει η Ισχύει ότι : lim lim β lim lim h h β Τους ριθμούς lim κι lim τους λέμε πλευρικά όρι της στο συγκεκριμέ το ριστερό όριο της στο, εώ το δεξιό όριο της στο γ Γι ζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο, δηλδή η είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής,, ή ή, β β Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης Σχ 39, 39β ή μη ήκει σ υτό Η τιμή της στο, ότ υπάρχει, μπορεί είι ίση με το όριό της στο Σχ 39 ή διφορετική πό υτό lim δ Ισχύει ότι κι lim c c, κι Πότε λέμε ότι μι συάρτηση έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ ; Μι συάρτηση λέμε ότι έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ, ότ ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: o Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 5 πό 45 Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ β β Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, β γ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, β, έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, 3 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω ορίω ορίου στο o Γι το όριο ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες : Θεώρημ ο Α lim, τότε κοτά στο Α lim, τότε κοτά στο β Θεώρημ ο Α οι συρτήσεις, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε lim lim γ Θεώρημ 3ο Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο, τότε: lim lim lim lim κ κ lim, γι κάθε στθερά κ R 3 lim lim lim 4 lim lim, εφόσο lim lim 5 lim lim 6 lim k k lim, εφόσο κοτά στο δ Θεώρημ 4ο Έστω τώρ το πολυώυμο P κι lim P P R Είι τότε : P Έστω η ρητή συάρτηση Q, όπου P, Q πολυώυμ του κι R με Q Θ είι τότε Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 6 πό 45 P P lim Q Q, όπου Q ε Θεώρημ 5ο Έστω οι συρτήσεις τότε,,h Α h κοτά στο κι lim h lim, lim Κριτήριο πρεμβολής στ Ισχύει ότι ημ, γι κάθε RΗ ισότητ ισχύει μόο ότ lim ημ ημ lim συ συ ημ συ lim lim 4 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύθετης συάρτησης στο o Α θέλουμε υπολογίσουμε το όριο της σύθετης συάρτησης στο σημείο,δηλδή το lim, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u Υπολογίζουμε υπάρχει το u lim κι 3 Υπολογίζουμε υπάρχει το lim u uu Α u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: lim lim u uu 5 Ν γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Όπως στη περίπτωση τω πεπερσμέω ορίω έτσι κι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της μορφής,,, ισχύου οι πρκάτω ισοδυμίες: lim lim lim β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 7 πό 45 β lim lim lim γ Α lim, τότε κοτά στο, εώ lim, τότε κοτά στο δ Α lim, τότε lim, εώ lim, τότε lim ε Α lim ή, τότε lim στ Α lim κι κοτά στο, τότε lim, εώ lim κι κοτά στο, τότε lim ζα lim ή, τότε lim η Α lim, τότε lim k θ i lim κι γεικά lim, * N ii lim, N κι lim, N ι Γι το άθροισμ κι το γιόμεο ισχύου τ πρκάτω θεωρήμτ : ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Α στο το όριο της είι: R R - - κι το όριο της είι: - - - τότε το όριο της είι: - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιομέου Α στο R, το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 8 πό 45 Σχόλιο Οι πρκάτω μορφές λέγοτι προσδιόριστες μορφές :,,,,, 6 Ν γράψετε τις ιδιό τητες γι το όριο στο άπειρο Γι το υπολογισμό του ορίου στο χρειζόμστε τ πρκάτω βσικά όρι: lim κι lim, lim, -, β Γι τη πολυωυμική συάρτηση γ Γι τη ρητή συάρτηση ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω άρτιος περιττός N * κι lim, * P, με ισχύει: κι lim P lim lim P β κ κ β κ κ β β lim,, β ισχύει: lim lim κ κι lim lim βκ βκ δ Γι το όριο εκθετικής - λογριθμική ς συάρτησης ισχύει ότι κ κ Α Σχ 6, τότε lim, lim =a 6 lim lo, lim lo =lo a O Α Σχ 6, τότε =a lim, lim 6 lim lo, lim lo O =lo a Σχόλι Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 9 πό 45 Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο, πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, β Γι τ όρι στο, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Δ Συέχει συάρτησης Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής στο σημείο o του πεδίου ορισμού της ; Μι συάρτηση λέγετι συεχής στο σημείο Σχόλι lim του πεδίου ορισμού της, ότ Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: i Δε υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της,, στο σημείο β Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, συεχής συάρτηση γ Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε lim P P R ισχύει P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει Q P P lim Q Q Οι συρτήσεις ημ κι συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει lim ημ ημ κι lim συ συ Οι συρτήσεις κι lo, είι συεχείς R Ν διτυπώσετε πρότση που φορά τη συέχει κι τις πράξεις συρτήσεω Γι τη συέχει κι τις πράξεις συρτήσεω ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις:, c, όπου c R,,, κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Ν διτυπώσετε πρότση που φορά τη συέχει σύθετης συάρτησης Γι τη συέχει σύθετης συάρτησης ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους o είι συεχής στο 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής σε έ οικτό διάστημ, κι πότε στο κλειστό διάστημ [ ], Μι συάρτηση λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, β Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, β κι επιπλέο lim κι lim β β Σχόλιο Αάλογοι ορισμοί διτυπώοτι γι διστήμτ της μορφής,, [, β 4 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano κι δώσετε τη γεωμετρική του ερμηεί Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, Α: η είι συεχής στο β, [, κι, επιπλέο, ισχύει τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, β τέτοιο, ώστε Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ, β Σχόλι Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ πό 45 Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της Θεώρημ 5 Ν διτυπώσετε κι ποδείξετε το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ Το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ είι το πρκάτω : Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ η είι συεχής στο [, κι β [, Α: τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι β υπάρχει ές, τουλάχιστο, β τέτοιος, ώστε η Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι β Τότε θ ισχύει η β Σχ 67 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση η, [,, πρτηρούμε ότι: η είι συεχής στο [, κι β, 67 φού η κι β β η β η Bβ, β =η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, a Α, υπάρχει, β τέτοιο, ώστε η, οπότε η O a β Σχόλι Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ β A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β, όπου Α lim κι B lim β Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A, β, τότε το σύολο τιμώ της στο 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης ελάχιστης τιμής Το θεώρημ μέγιστης ελάχιστης τιμής διτυπώετι ως εξής : Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 3 πό 45 Α είι συεχής συάρτηση στο [,, τότε η πίρει στο [, μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m κι M, ισχύει, β m M, γι κάθε [, Σχόλιο Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, είι το κλειστό διάστημ [ m, M ], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 4 πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Ε Διφορικός λογισμός Κόες πργώγισης Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο κι μόο υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός lim του πεδίου ορισμού της, Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμβολίζετι με Δηλδή: lim Σχόλι Α, τώρ, στη ισότητ lim θέσουμε h, τότε έχουμε h lim h β Α το είι εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είι πργωγίσιμη στο κι είι ίσ, κι μόο υπάρχου στο R τ όρι: lim, h lim Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο σημείο o, γράψετε τη εξίσωση της εφπτομέης της C στο σημείο της A, Η εξίσωση της ε φ π τ ο μ έ η ς ε της C στο σημείο της A, είι: Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 5 πό 45 Σχόλιο Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A, θ τη λέμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Θεώρημ 3 Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Απόδειξη Γι έχουμε οπότε θ είι :, lim[ ] lim φού η είι πργωγίσιμη στο Σχόλιο lim lim, Επομέως, lim Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Ισχύει όμως ότι : Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο προηγούμεο θεώρημ, δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο, δηλδή η είι συεχής στο, τότε, σύμφω με το Ορισμός 4 Πότε μι συάρτηση λέγετι : Πργωγίσιμη στο σύολο Α β Πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β γ Πργωγίσιμη στο κλειστό διάστημ [, Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A β Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, β του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 6 πό 45 γ Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο κι επιπλέο ισχύει ], [ β, β lim R κι lim R 5 Ν ποδείξετε ότι : Α, τότε β Α c, τότε γ Α, με N {,}, τότε δ Α, τότε, Απόδειξη Γι ισχύει: c c Επομέως, lim, δηλδή c β Γι ισχύει ότι : Επομέως : lim lim, δηλδή γ Α είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει:, Επομέως : lim lim, δηλδή δ Α είι έ σημείο του, τότε γι, ισχύει:, Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 7 πό 45 οπότε : δηλδή Σχόλι Τύποι lim lim, Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει συ, δηλδή ημ συ Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ημ, δηλδή συ ημ Έστω η συάρτηση e Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει e, δηλδή e e ln Έστω η συάρτηση Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή ln 6 Θεώρημ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση στο κι ισχύει: είι πργωγίσιμη Απόδειξη Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 8 πό 45 Γι, ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο, έχουμε:,, lim lim lim δηλδή Σχόλι Τύποι Α Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει:, Ισχύει επομέως ότι : - Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ, τότε γι κάθε ισχύει:, Δ - Α είι πργωγίσιμη συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι c R, επειδή, σύμφω με το θεώρημ έχουμε: c c c Β Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο κι,, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ] [ Ισχύει επομέως ότι : Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ κι γι κάθε ισχύει, τότε γι κάθε, Δ Δ έχουμε: ] [ Γ Έστω η συάρτηση, * N Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: N * Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 9 πό 45 Δ Έστω η συάρτηση εφ R { συ } κι ισχύει συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο εφ, δηλδή συ Απόδειξη Πράγμτι, γι κάθε R { συ } έχουμε: ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ Έστω η συάρτηση κι ισχύει συ ημ συ συ, δηλδή σφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R { ημ } ημ σφ ημ 7 Θεώρημ Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Σχόλι Γεικά, μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u, τότε Με το συμβολισμό του Leibniz, u u u κι u u, έχουμε το τύπο Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 3 πό 45 d d που είι γωστός ως κός της λυσίδς 8Θεώρημ Ν ποδείξετε ότι : Η συάρτηση β Η συάρτηση d du du d, R Q είι πργωγίσιμη στο, γ Η συάρτηση ln Απόδειξη Πράγμτι,, κι ισχύει, είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln, R* είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει e ln u, τότε έχουμε e Επομέως, ln κι θέσουμε u ln u u ln e e ue ln u β Πράγμτι, e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε e Επομέως, γ Πράγμτι, τότε u u ln e e u e ln ln ln ln, εώ ln ln κι u, έχουμε lnu Επομέως,, τότε ln, οπότε, θέσουμε κι άρ ln lnu u u Σχόλιο Τις πρπάω ποδείξεις μπορούμε τις πλοποιήσουμε Αυτό γίει στη τάξη πό το κθηγητή Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 3 πό 45 Ε Διφορικός λογισμός Βσικά θεωρήμτ-συέπειες ΘΜΤ - Μοοτοί 9 Τι λέμε ρυθμό μετβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος γι, είι πργωγίσιμη συάρτηση ; Α δύο μετβλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετβολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο Ν διτυπώσετε τι θεώρημ του Rolle κι δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί Το θεώρημ του Rolle διτυπώετι ως εξής : Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β κι β τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, τέτοιο, ώστε ξ, β ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω 8 Μξ,ξ Ββ,β Α, O ξ ξ β Ν διτυπώσετε το θεώρημ της μέσης τιμής του διφορικού λογισμού κι δώσετε τη γεωμετρική του ερμηεί Το θεώρημ της μέσης τιμής διτυπώετι ως εξής : Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε: ξ β β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 3 πό 45 Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξ,ξ Aa,a Ββ,β Θεώρημ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Α, τότε προφώς Ο a ξ ξ β, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 3 θεώρημ Έστω δυο συρτήσεις οι,, είι συεχείς στο Δ κι ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: c Η συάρτηση εσωτερικό σημείο είι συεχής στο Δ κι γι κάθε Δ ισχύει Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει c, οπότε c =+c = O Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 33 πό 45 Σχόλιο Τ πρπάω θεωρήμτ 3 κι 4 ισχύου σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω 4Πρότσηχωρίς πόδειξη Α γι μι συάρτηση ισχύει ότι γι κάθε R, τότε ce γι κάθε RΑτί του R μπορούμε έχουμε τυχίο διάστημ Δ 5 θεώρημ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α το Δ Α όλο το Δ σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έχουμε Επειδή κι ξ ξ, έχουμε, οπότε Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Σχόλιο Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 34 πό 45 Ε 3 Διφορικός λογισμός κρόττ- σημεί κμπής σύμπτωτες- κόες de L Hospital 6 Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο κι πότε τοπικό ελάχιστο ; Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της β Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Σχόλιο Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ, εώ προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Θεώρημ Fermat 7 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, ποδείξετε ότι : Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο Επομέως, lim, ισχύει lim δ,, τότε, λόγω της, θ είι lim O, οπότε θ έχουμε 33 δ +δ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 35 πό 45 δ,, τότε, λόγω της, θ είι lim Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη, οπότε θ έχουμε 3 8 Ποι λέγοτι κρίσιμ σημεί μις συάρτησης σε έ διάστημ Δ ; β Ποιες είι οι πιθές θέσεις κροτάτω μις συάρτησης σε έ διάστημ Δ ; Κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ λέγοτι τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ, στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ β Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της 9 Πώς βρίσκουμε τ ολικά κρόττ σε μι συεχή συάρτηση σε έ κλειστό διάστημ ; Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου της συάρτησης σε έ κλειστό διάστημ εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της Θεώρημ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ του, στο οποίο όμως η είι συεχής, β, με εξίρεση ίσως έ σημείο i Α στο, κι στο, β, τότε το είι τοπικό μέγιστο της ii A η διτηρεί πρόσημο στο,, β, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, β Απόδειξη i Επειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 36 πό 45, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, β κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, β Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, β > < > < 35a O a β O a β Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε, β, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, β κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Έστω ότι, γι κάθε,, β > > 35γ > > O a β O a β Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, β Επομέως, γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, β Πράγμτι, έστω,, β με Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [, β, θ ισχύει, β Τέλος,, τότε όπως είδμε Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, β Ομοίως, γι κάθε,, β Πότε μι συάρτηση λέγετι κυρτή κι πότε κοίλη σε έ διάστημ Δ ; Η συάρτηση λέγετι κυρτή ή ότι στρέφει τ κοίλ άω σ έ διάστημ Δ ότ είι συεχής στο Δ κι η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 37 πό 45 Η συάρτηση λέγετι κοίλη ή ότι στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο Δ, είι συεχής στο Δ κι η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Ν διτυπώσετε το θεώρημ που φορά τ κοίλ κι το πρόσημο της δεύτερης πργώγου της Ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ 3 Πότε το σημείο A, λέγετι σημείο κμπής μις συάρτησης ; Το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της, ότ : η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο, β, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A, Σχόλιο Ότ το A, είι σημείο κμπής της C, τότε λέμε ότι η προυσιάζει στο κμπή κι το λέγετι θέση σημείου κμπής 4 Ποιο θεώρημ φορά τ σημεί κμπής μις δυο φορές πργωγίσιμης συάρτησης ; Γι τ σημεί κμπής ισχύει το επόμεο θεώρημ : Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Ερώτηση : Ποιες είι οι πιθές θέσεις σημείω κμπής μις συάρτησης σε έ διάστημ ; Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι ii Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 38 πό 45 Μέθοδος Κριτήριο : Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ, β κι η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, τότε το A, είι σημείο κμπής της C, β Α 5 Πότε λέμε ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της C ; Η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της, έ τουλάχιστο πό τ όρι lim, lim είι ή 6 Πότε λέμε ότι η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο Η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο, ότ lim τιστοίχως lim 7 Πότε η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο ; Η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, lim [ λ, τιστοίχως lim [ λ 8 Με ποιες σχέσειςτύπους βρίσκουμε τις σύμπτωτες της μορφής λ β ; Ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Η ευθεί λ β είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως : Χρήσιμ σχόλι Αποδεικύετι ότι: lim R κι lim R κι lim [ ] R, lim [ ] R Οι πολυωυμικές συρτήσεις βθμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 39 πό 45 P Οι ρητές συρτήσεις, με βθμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά Q δύο του βθμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής τιστοίχως,,, 9 Ν διτυπώσετε τους κόες de L Hospital oς Κός Α lim, lim, R {, } κι υπάρχει το άπειρο, τότε: lim lim lim πεπερσμέο ή oς Κός Α lim, lim, ή άπειρο, τότε: R {, } κι υπάρχει το lim πεπερσμέο lim lim Σχόλιο : Οι πρπάω τύποι πιτού προσοχή κτά τη εφρμογή τους Ν συζητηθού στη τάξη οι λεπτομέρειες β Στις υποθέσεις είι πρίτητο συμπληρώσουμε τη ' σε μι περιοχή του o, με εξίρεση ίσως το o β Οι άλλες προσδιόριστες μορφές συζητηθού στη τάξη με το κθηγητή σς Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 4 πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις ΣΤ Ολοκληρωτικός λογισμός Τι οομάζουμε ρχική μις συάρτησης σε έ διάστημ Δ ; Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζουμε κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F', γι κάθε Θεώρημ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, ποδείξετε ότι : Όλες οι συρτήσεις της μορφής είι πράγουσες της στο Δ G F c, c R, Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c, c R Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G' F c' F ', γι κάθε Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε, γι κάθε ισχύου οι σχέσεις F κι G, οπότε : G' Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε F', γι κάθε G F c, γι κάθε Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 4 πό 45 3* Ν δώσετε το ορισμό του ορισμέου ολοκληρώμτος μις συεχούς συάρτησης σε έ κλειστό διάστημ [, ] Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [, Με τ σημεί β χωρίζουμε το διάστημ [, σε ισομήκη β υποδιστήμτ μήκους Δ Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξ κ [ κ, κ ], γι κάθε κ {,,, }, κι σχημτίζουμε το άθροισμ O a= ξ = ξ k ξ v- ξ v v =β S το οποίο συμβολίζετι, σύτομ, ως εξής: S Τ ο όριο του θροίσμτος S, δηλδή το lim ξ κ Δ κ υπάρχει στο R κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω Το πρπάω όριο οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο β, συμβολίζετι με d κι διβάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο β Δηλδή, d lim 4 Ν γράψετε τις ιδιότητες του ολοκληρώμτος d Ισχύει ότι : d d d Α γι κάθε [, ], τότε d β Έστω, σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, κι d d λ, μ R Τότε ισχύου Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 4 πό 45 κι γεικά [ ]d d d [ ]d d d γ Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι, β, γ Δ, τότε ισχύει d d d δ Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, Α γι κάθε [, κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d 5 Ν γράψετε τη πράγωγο της συάρτησης συεχής συάρτηση στο διάστημ F d,, όπου είι Ισχύει ότι : Σχόλι F' tdt, γι κάθε a Γεικότερ έχουμε το εξής θεώρημ : Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: F tdt, Δ, tdt, γι κάθε a β Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει ότι: tdt ' ', a με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμβολ έχου όημ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 43 πό 45 Θεώρημ 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, Α G είι μι πράγουσ της στο [,, ποδείξετε ότι : Απόδειξη Σύμφω με γωστό θεώρημ, η συάρτηση tdtg G F tdt είι μι πράγουσ της στο [, Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [,, θ υπάρχει G F c c τέτοιο, ώστε Από τη, γι Επομέως,, έχουμε G F c tdt c c, οπότε c G G F G, οπότε, γι β, έχουμε κι άρ G F G tdt G tdtg G 6 Ν γράψετε τους τύπους της πργοτικής ολοκλήρωσης κι της τικτάστσης γι το ορισμέο ολοκλήρωμ Ισχύει ότι : d [] d, όπου, είι συεχείς συρτήσεις στο [, β Ισχύει ότι : u, d udu u όπου, είι συεχείς συρτήσεις, u, du d κι u, u β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 44 πό 45 7 Ν γράψετε το τύπο που δίει το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, β κι το άξο,ότ γι κάθε [, κι η συάρτηση είι συεχής β Ν ποδείξετε ότι γι τις συρτήσεις, είι γι κάθε [,, τότε το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες, β δίετι πό το τύπο : E d Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ [, κι γι κάθε [,, τότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, β κι το άξο είι E d β Επειδή οι συρτήσεις, είι συεχείς στο [,, θ υπάρχει ριθμός c R τέτοιος, ώστε c c, γι κάθε [, Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ έχει το ίδιο εμβδό με το χωρίο Ω =+c Ω = Ω =+c O β O β = β Επομέως, σύμφω με το τύπο, έχουμε: Άρ [ c c]d d E d Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3
Σελίδ 45 πό 45 Σχόλι Ότ η διφορά δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,, τότε το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι β είι ίσο με E d β Το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση μις συάρτησης, με γι κάθε [, κι τις ευθείες κι β είι ίσο με : β E Ω d Απόδειξη O Ω β Πράγμτι, επειδή ο άξος συάρτησης, έχουμε είι η γρφική πράστση της E d [ ]d d Επομέως, γι μι συάρτηση ισχύει γι κάθε [,, τότε = E d Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός /3/3