3. 4.. 5... Γενικά για χρονοσειρές (πειραματικά δεδομένα και θόρυβος). Ανακατασκευή χώρου φάσεων 3. Υπολογισμός διάστασης χαοτικών ελκυστών 4. Υπολογισμός εκθετών Lyapunov 5. Μέθοδοι πρόβλεψης
φυσιολογία EEG during epilepic seizure 3 5 5 Πραγματικές χρονοσειρές EEG before epilepic seizure 5 5 95 9 85 8 μονοδιάστατη χρονοσειρά 3 4 5 μηχανική 3.5.5.5 9.5 9 sress of maerial deformaion 8.5 3 4 5 4 γεωφυσική AE index for magneosphere 75 3 4 5 55 5 45 4 35 3 7 6 ηλεκτρονική ping daa for inerne congesion 5 3 4 5 Index of he greek sock marke οικονομία μόνο μια χρονοσειρά περιορισμένο μήκος μη-στασιμότητα 8 6 4 3 4 5 5 4 3 3 4 5 θόρυβος
Δείκτης κι όγκος συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (ΧΑΑ) ASE index, period 985 7 6 5 ASE index, period 7 close index close index 4 3 7 6 5 4 3 85 87 9 9 95 97 years ASE index, period 997 close index 6 5 4 3 3 4 5 6 monhs 97 98 99 3 years
.5 x 6 ASE volume, period 985 volume.5.5 85 87 9 9 95 97 years.5 x 6 ASE volume, period 997 volume. x 5.8.6.4..8 ASE volume, period volume.5.6.4 3 4 5 6 monhs.5 97 98 99 3 years Θα μπορούσαμε να προβλέψουμε τους δύο δείκτες για το Μάιο (έστω τις πρώτες μέρες του μήνα) γνωρίζοντας τα δεδομένα ως και το τέλος Απριλίου?
Ηλιακές κηλίδες Annual sunspos, period 7 Annual sunspos, period 96 number of sunspos number of sunspos 5 5 7 75 8 85 9 95 years 8 6 4 8 6 4 Annual sunspos, period 9 9 9 94 96 98 years number of sunspos 5 5 96 97 98 99 years (989) Πόσες θα είναι οι ηλιακές κηλίδες τον επόμενο ή τα επόμενα χρόνια? (8) Πόσες θα είναι οι ηλιακές κηλίδες τον επόμενο ήταεπόμεναχρόνια?
Καρδιακός ρυθμός.98 RR before reamen.83 RR afer reamen.96.94.8.9.8.9.88.8.86.84.8.8 3 4 5.79.78.77 3 4 5 Μπορούμε να εκτιμήσουμε αλλαγές χαρακτηριστικών του καρδιακού ρυθμού για να εντοπίσουμε αλλαγές στη κατάσταση της καρδιάς?
Στασιμότητα Πλαστική παραμόρφωση ca5 depsilon T= o C f8 ca5 depsilon T= o C f8 5 5 sress σ [MPa] 5 sress σ [MPa] 95 9 5 85 5 5 5 3 35 4 ime [sec] ca5 depsilon T= o C f8 derended (degree=) 9 3 4 5 6 ime [sec] ca5 depsilon T= o C f8 derended (degree=5) Polynomial fi, degree= sress σ [MPa].5.5 sress σ [MPa].5.5 Polynomial fi, degree=5 9 3 4 5 6 ime [sec] 9 3 4 5 6 ime [sec]
Γραμμική ανάλυση / Γραμμικά μοντέλα αυτοσυσχέτιση AR μοντέλο z ~ Ν(, σ z ) ARMA(p,q) μοντέλο x = φ x θ z + + φ p x p + z + θz + + q q Πλεονεκτήματα:. Απλά. Κανονική διαδικασία, ανεπτυγμένη θεωρία για στοχαστικές διαδικασίες και στατιστική συμπερασματολογία 3. Χρήσιμα στις εφαρμογές Μειονεκτήματα:. Δεν εξηγούν μη-κανονικές μορφές της χρονοσειράς - ασυμμετρία δεδομένων (κατανομής) - μη-αντιστρεψιμότητα στο χρόνο -«ξεσπάσματα». Καθοριστικό μέρος: - σταθερό οριακό σημείο - ασταθές σύστημα - ταλάντωση μεταξύ σημείων Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών εξήγηση / εντοπισμός σύνθετων καθοριστικών δομών
Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών και δυναμικά συστήματα Χρονοσειρά x, x,, xn Υπόθεση: Παρατήρηση: x = h( s ) s h : d R R d R : τροχιά δυναμικού συστήματος συνάρτηση παρατήρησης Μη-γραμμικό δυναμικό σύστημα s f ( s ) = s : το διάνυσμα θέσης για χρόνο f d d : R R συνάρτηση του συστήματος : συνεχήςήδιακριτόςχρόνος Για χρονοσειρές συστήματα απώλειας ενέργειας Τροχιά στο d R ελκυστής
Ελκυστής: ευσταθές σημείο ισορροπίας πεπερασμένο σύνολο σημείων ισορροπίας οριακός κύκλος τόρος παράξενος ελκυστής μπορεί να σχηματιστεί από γραμμικό σύστημα δε μπορεί να σχηματιστεί από γραμμικό σύστημα αυτό-ομοιότητα μορφοκλασματικά ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες χάος
Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα, απεικονίσεις (διακριτός χρόνος) Λογιστική απεικόνιση s i = a s i- ( - s i- ) περιοδικό a=3.5 periodic logisic map, noise free.8 χαοτικό a=4 chaoic logisic map, noise free.8.6.6.4.4. 4 6 8 χαοτική απεικόνιση Henon s i =.4 s i- +.3s i- chaoic Henon map, noise free.5.5.5.5..5.5.5 4 6 8 χαοτική απεικόνιση Ikeda 6i sk = +.9sk exp.4i + sk chaoic Ikeda map, noise free 4 6 8 4 6 8
Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα,ροές (συνεχής χροόνος) Σύστημα Lorenz: s s s 3 a = ( ) = bs s = cs 3 s s + s s s a = b = 8 c = s 3 8 3 Χρόνος δειγματοληψίας τ s s 3 () 4 3 s () s, s, s 3 Lorenz sysem, τ s =.sec s () s () 5 5 5 5 s Lorenz sysem, s variable 3 4 5 ime index 5 5 5 s Lorenz sysem, s variable 45 4 s 3 Lorenz sysem, s 3 variable s () 35 5 τ s =.s τ s =.s 5 5 ime index s () 5 5 5 s 3 () 3 5 5 3 4 5 ime index 5 3 4 5 ime index
Χρονοσειρές με θόρυβο Παρατήρηση x = h( s ) θόρυβο x = h( s ) + w θόρυβος παρατήρησης w : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με x και s Δυναμικό σύστημα s f ( s ) = θόρυβο s = f ( s ) + ε δυναμικός θόρυβος ε : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με su u
Θόρυβος: δυναμικός (συστήματος) ε παρατήρησης (μέτρησης) w λογιστική απεικόνιση s i = a s i- ( - s i- ) + ε i, ε i ~ N(,σ ) x i = s i περιοδική periodic logisic map + % dynamic noise s i = a s i- ( - s i- ) x i = s i + w i, w i ~ N(,σ) periodic logisic map + % measuremen noise.8.8.6.6.4.4. χαοτική 4 6 8 chaoic logisic map + % dynamic noise. 4 6 8 chaoic logisic map + % measuremen noise.8.8.6.4.6.4.. 4 6 8 4 6 8
.8 Διαγράμματα διασποράς σε και 3 διαστάσεις d= d= d=3 firs differences of he monhly exchange raes.8 exchange rae differences exchange rae differences.6.4.6.4....5 x(i )..4.6.8. 3 4 4..4.6.8...5.5. x(i ) 3 AR().5.. x(i ). AR()..5.5 x(i ). 3 3 4 3 4 chaoic Henon map + % noise 3 4 4 3 3 x(i ) Henon map + % noise.5 4 4 5 x(i ) 5 4 x(i ) Henon map + %noise 4.5.5.5.5 4 6 8.5.5.5.5.5.5.5 x(i ) x(i ) x(i )
Διαγράμματα διασποράς σε και 3 διαστάσεις d= d= d=3 annual sunspos 7-996 sunspos sunspos 5 5 x(i-) x(i-) 5 5 5 5 5 3 5 square of AR(9) 5 5 5 Square of AR(9) 5 5 5 5 Square of AR(9) 5 5 x(i-) 4 4 5 3 x(i-) 3 x(i-) 4 3 5 5 5 3 3 4 5 4 6 x(i-) 4 6 square of z-lorenz square of z-lorenz square of z-lorenz 5 5 5 x(i-) x(i-) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 x(i-)