Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A. αποδειχθεί ότι : Μονάδες 8 Α. Αν x, x,,x κ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, κ ν µε αντίστοιχες συχνότητες ν, ν,,ν κ και α i όπου i=,,,κ το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων τότε : i. Να αναφέρετε για ποιά δεδοµένα χρησιµοποιείται το κυκλικό διάγραµµα. ii. Με τι ισούται το τόξο α i ; Μονάδες 4 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. Μονάδες Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( x0) = 0 για x 0 ( α, β), στο ( α,x 0 ) και f ( x) < 0 στο ( 0 ) διάστηµα x= x µέγιστο. α,β για 0 f x > 0 x,β, τότε η f παρουσιάζει στο Μονάδες ÈÅÌÁÔÁ 0 β. Η παράγωγος της συνάρτησης f στο x0 του πεδίου ορισµού της εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y= f( x) ως προς το x, όταν x= x0. Μονάδες γ. Στην κανονική κατανοµή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( x s, x+ s), όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. Μονάδες
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Ni δ. Σε ένα δείγµα µεγέθους ν ο λόγος F είναι ίσος µε ν. i Μονάδες ΘΕΜΑ Β ε. Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, όταν P A P B τότε A B. Μονάδες ίνεται η συνάρτηση f( x) = x κx + 4, x R και κ R. Αν f f τότε : Β. Να αποδείξετε ότι κ=. Β. Nα µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα της. Β. Να βρείτε το όριο =, Μονάδες 6 Μονάδες 7 f + h 4 L= lim και την εξίσωση της εφαπτοµένης h 0 h,f. της συνάρτησης f στο σηµείο Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε το σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής του y=f(x) ως προς x, έχει την ελάχιστη τιµή. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ÈÅÌÁÔÁ 0
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Στο παραπάνω σχήµα δίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων σε ευρώ ( ) και το πολύγωνο συχνοτήτων της ηµερήσιας αµοιβής 40 εργαζοµένων µιας επιχείρησης. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. Η τετµηµένη του σηµείου Α είναι 5, του σηµείου Β είναι 55 και η µέση ηµερήσια αµοιβή των εργαζοµένων είναι x= 6. Γ. Να δείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c =0 και να γράψετε τις κλάσεις. Μονάδες 5 Γ. Να δείξετε ότι οι συχνότητες ν, ν της δεύτερης και της τρίτης κλάσης αντίστοιχα είναι ν = 6, ν = 8. Μονάδες 6 Γ. Να κάνετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων της ηµερήσιας αµοιβής των εργαζοµένων της επιχείρησης, το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και να εκτιµήσετε τη διάµεσο. Μονάδες 9 Γ4. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος των εργαζοµένων της επιχείρησης και Α, Β δύο P A 0,5 P B 0,65. ΘΕΜΑ ενδεχόµενα του Ω τέτοια ώστε ( ) και Να αποδείξετε ότι: P A B + P B A 0,55 P A B Μονάδες 5 Έστω X µια ποσοτική µεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν και x, x,,x ν οι παρατηρήσεις που έχουν µέση τιµή x, τυπική απόκλιση s, συντελεστή µεταβλητότητας CV = 5% και διάµεσο δ. 50 Θεωρούµε τη συνάρτηση f( x) = 4x ( x + s) x + +s, x R. Αν η f στο CV σηµείο µε τετµηµένη x 0 = έχει εφαπτόµενη παράλληλη στον άξονα x x τότε : ÈÅÌÁÔÁ 0. Να δείξετε ότι x= 4, s= και να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 7. Να βρείτε τον µικρότερο θετικό αριθµό c κατά τον οποίο πρέπει να αυξηθούν οι τιµές των παρατηρήσεων ώστε το δείγµα να είναι οµοιογενές. Μονάδες 5
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 4. Υποθέτουµε ότι η παραπάνω κατανοµή είναι κανονική ή περίπου κανονική. Θεωρούµε δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες s Ρ( Α ) = και Ρ( Β ) =. x δ 5s = να βρείτε τις πιθανότητες: 9 P A B P A B P A B. i. Αν P( A B) P( A B) ii. ( ), ( ) και Μονάδες 9 Αν το πλήθος των παρατηρήσεων x i, µε x i είναι 5 τότε να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. Μονάδες 4 ÈÅÌÁÔÁ 0 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε..Β. σελίδα 50-5 Α. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε..Β. σελίδα 70 Α. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε..Β. σελίδα Α4. α. ΣΩΣΤΟ β. ΣΩΣΤΟ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β. Η παράγωγος συνάρτηση της f είναι f x = x κx, x R οπότε f = + κ f = κ f = f + κ = κ + κ = 9 + 6κ 4κ = κ = Β. Για κ= έχουµε f ( x) = 0 x( x ) = 0 x = 0 ή x = f ( x) > 0 x( x ) > 0 x < 0 ή x > f x = x x + 4 και f x = x 6x, x R ÈÅÌÁÔÁ 0
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Μονοτονία x,0 η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Αν ( ] Αν x [ 0,] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν x [, ) + η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Ακρότατα Στο x 0 =0 έχουµε τοπικό µέγιστο το f(0)=4 και στο x 0 = έχουµε τοπικό ελάχιστο το f()=0. Β. Έχουµε: Α ΤΡΟΠΟΣ ( + ) = ( + ) ( + ) + οπότε f( + h) 4 ( + h) ( + h) f h h h 4 lim h = lim = h h 0 h 0 ( + ) ( + ) ( + ) h h h h = lim = lim = lim( + h) = 9 h 0 h h 0 h h 0 Β ΤΡΟΠΟΣ = + = και f( + h) 4 f ( + h) f ( ) f 4 4 f = 6 = 9. L = lim = lim = f = 9 h 0 h h 0 h Το σηµείο επαφής είναι Μ(,4). Η εφαπτοµένη στο Μ(,4) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε f ( ) = 9 και η εξίσωσή της είναι y=9x+β. Επειδή όµως το σηµείο Μ ανήκει στην ευθεία έχουµε 4 = 9 + β β = Aρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι y=9x. Β4. Έχουµε f ( x) = 6x 6 f ( x) = 0 6x 6 = 0 x = f ( x) > 0 6x 6 > 0 x > ÈÅÌÁÔÁ 0 Άρα το σηµείο στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής της y=f(x) ως προς,. x έχει την ελάχιστη τιµή είναι το,f δηλαδή
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ Γ Γ. Το µέσον της δεύτερης κλάσης είναι 5 και της τέταρτης 55. Άρα c c 5 + + c + = 55 c = 55 5 c = 0. Εποµένως οι 4 κλάσεις είναι [0,0), [0,40), [40,50) και [50,60). Γ. Από το ιστόγραµµα συχνοτήτων έχουµε ν = και ν 4 = 4 ν + ν + ν + ν 4 = 40 ν + ν = 4 () 5 + 5 ν + 45 ν + 4 55 x = 40 00 + 5 ν + 45 ν + 0 = 440 5 ν + 45 ν = 90 () Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων () και () ν + ν = 4 45ν 45ν = 080 ( + ) 5ν + 45ν = 90 5ν + 45ν = 90 0ν = 60 ν = 6 οπότε ν = 8. Γ. [ ) x i ν i f i F i F i % [0,0) 5 0, 0, 0 [0,40) 5 6 0,4 0,7 70 [40,50) 45 8 0, 0,9 90 [50,60) 55 4 0, 00 Σύνολο 40 Έχουµε Γ(0,0), (δ,50), Ε(40,70) και 50 0 0 λ Γ = = δ 0 δ 0 ÈÅÌÁÔÁ 0
0 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 70 0 40 λ ΓΕ= = = 4 οπότε 40 0 0 0 λ Γ = λγε = 4 4δ = 40 δ = 5. δ 0 Γ4. P( A B) + P( B A) = P( A B) P( A B) = ΘΕΜΑ Έχουµε = P( A) + P( B) P( A B) () ( + ) ( ) P( A) + P( B) P( A B), P( A B) + ( ) 0,55 P( A B) () P A 0,5 P A 0,5 P A 0,75 P A + P B, P B 0,65 P B 0,65 P B 0,5 P A P B P A B P A B + P B A s s CV = = 0, 5 x x. = ( + ) f x x x s x 0,55 P A B Επειδή η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της µε τετµηµένη x 0 = είναι παράλληλη στον x x έχει συντελεστή διεύθυνσης 0. Οπότε έχουµε f = 0 x + s = 0 x + s = 6 x = 6 s s s = 0,5 = 0,5 s = 0, 5 6 s x 6 s s = 0,5 ( 6 s) s =,5 0,5s s = Για s= έχουµε x = 6 x = 4.Τότε ο τύπος της f γίνεται: 50 f( x) = 4x ( x+ s) x + + s= 4x 6x + 0. 0,5 ÈÅÌÁÔÁ 0 Έχουµε: f ( x) = x x = x( x ) 4 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 5 Η f έχει τοπικό µέγιστο το f(0) = 0 και τοπικό ελάχιστο το f() = 0. s = 0,5 ( 6 s) s =,5 + 0,5s s = απορρίπτεται.. Έχουµε y= x+ c. Τότε y= x+ c= 4+ c και sy= s= s y CV 0, 0, 0, 4 + c 0 y 4 + c 4 + c 0 c 4 απορρίπτεται γιατί c>0. 4 + c 0 c 6 Άρα ο µικρότερος θετικός c είναι ο 6. 4. Έχουµε P( A) = = και P( B) = δ 5 Επειδή η κατανοµή είναι κανονική τότε x 4 δ = = οπότε P( B) i. Έστω α = Ρ( Α Β) και β = Ρ( Α Β ) µε α, β [ 0,] τότε Ρ( Α Β) Ρ( Α Β ) = α β = () 9 9 Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β 5 β = + α α + β = () 6 5 5 () α α = α α = 8α 5α + = 0 6 9 6 9 που έχει ρίζες α = και α = 6 Επειδή όµως Α Β Β Ρ( Α Β) Ρ( Β) α οπότε δηλαδή Ρ( Α Β ) = 6 () = 4 5 =. α = 6 ÈÅÌÁÔÁ 0 5 6 6 Ρ Α Β = β = β = δηλαδή ( ) Έχουµε Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β = 5
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 6 5 = Ρ( Α ) + Ρ( Β) Ρ( Α ) + Ρ( Α Β ) = + = δηλαδή 6 6 ( ) Ρ Α Β = 5 6 iii. Επειδή η κατανοµή είναι κανονική ή περίπου κανονική µε x= 4, s= και x s= έχουµε: x s x s x s x x+ s x+ s x+ s 4 5 6 7 68% 95% 99,7% Το ποσοστό των παρατηρήσεων x i, µε x i είναι 00 95 =,5%. Τότε 00 το µέγεθος του δείγµατος είναι ν = 5 = 00.,5 ÈÅÌÁÔÁ 0 6