Θεωρια Unitary Τελεστων και Wavelets Βασιλογιωργάκης Ιωάννης Πτυχιακη Εργασια Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιου Αιγαιου Επιβλέπων Τσολοµύτης Αντώνης Σάµος 2001
Βασιλογιωργακης Α. Ιωαννης Τελειόφοιτος του Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αιγαίου UNITARY ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ WAVELETS Επιβλέπων Τσολοµύτης Αντώνης Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων Καρλόβασι 2001
Στοιχειοθεσία-Σχεδίαση εξωφύλλου Βασιλογιωργάκης Ιωάννης Typeset by T E X Kerkis font family
"! # $&% '# () *,+ -. /102 % 3# $ /*45 %16 7 #98# () :; /< >? % 4! @ A
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η Πτυχιακή µου Εργασία εκπονήθηκε το Ακαδηµαϊκό έτος 2000 2001, για την απόκτηση του Πτυχίου µου από το Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου. Ωφείλω να ευχαριστήσω την Επιτροπή, η οποία αποτελείται από τους Ανούση Μιχαήλ, Αναπληρωτή Καθηγητή και Πρόεδρο του Τµηµατος Μαθη- µατικών Κανδυλάκη ηµήτριο, Επίκουρο Καθηγητή του Τµήµατος Μαθηµατικών Τσολοµύτη Αντώνη για τον χρόνο που αφιέρωσε να διαβάσει την εργασία, αλλά και για τις χρήσιµες συµβουλές της σε έµατα Μεταπτυχιακών. Να ευχαριστήσω ειδικά τον κ. Κανδυλάκη, από τον οποίο διδάχτηκα τα πλέον ασικά µαθήµατα ώστε να καταφέρω να διεκπεραιώσω την εργασία αυτή. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω πολύ τον κ. Τσαπόγα Γεώργιο, Επίκουρο Καθηγητή του Τµήµατος, για την πολυτιµότατη οήθεια και συµβουλές του στις Μεταπτυχιακές µου αναζητήσεις, αλλά και για τις πιό όµορφες αναµνήσεις από τις εξετάσεις των προπτυχιακών µου σπουδών. Τέλος, ότι και να πω α είναι πολύ λίγο για τον καθηγητή µου, κ. Αντώνη Τσολο- µύτη, υπό την επίβλεψη του οποίου εκπόνησα την εργασία αυτή και µε τον οποίο η συνεργασία ήταν µια διαρκής µετάδοση «χαρούµενης γνώσης». Καρλόβασι 01 10 2001 Βασιλογιωργάκης Ιωάννης
8
Περιεχόµενα 1 Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών 15 1.1 Οι χώροι l p (X)............................ 15 1.2 Οι χώροι L p (X)............................ 18 1.3 Χώροι Hilbert............................. 26 2 Ανάλυση Fourier 29 2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 1 (B )............... 29 2.2 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 2 (B )............... 36 2.3 Σειρές Fourier............................ 39 2.4 Αθροιστική του Poisson....................... 48 3 Wavelet Analysis 51 3.1 Μετασχηµατισµός Gabor....................... 51 3.2 Short-time µετασχηµατισµοί Fourier................ 55 3.3 Ολοκληρωτικός µετασχηµατισµός wavelet.............. 63 3.4 υαδικά wavelet........................... 68 3.5 Frames................................ 72 3.6 Σειρές wavelet............................ 75 4 Φασµατική εωρία unitary τελεστών 85 4.1 Φασµατική εωρία.......................... 85 4.2 Φραγµένοι αυτοσυζυγείς τελεστές.................. 88 4.3 ιάταξη στον χώρο των συµµετρικών τελεστών............ 90 4.4 Προβολές............................... 92 4.5 Φασµατική εωρία unitary τελεστών................. 94 4.6 Φασµατικές ιδιότητες unitary τελεστών............... 94 4.7 Ιδιότητες της αντιστοίχησης..................... 96 4.8 Συναρτήσεις unitary τελεστών.................... 97 4.9 Ιδιότητες και επέκταση της αντιστοίχησης.............. 99 4.10Φασµατική ανάλυση......................... 100 Βιβλιογραφία................................ 105 9
10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Κατάλογος Σχηµάτων 1.1 c i d i 1 p cp i + 1 q dq i.......................... 16 3.1 Παράθυρο Gabor........................... 55 3.2 Παράθυρο stft............................ 58 3.3 iwt παράθυρο, a 1 a 2........................ 65 4.1 f K[ 0, 2π], f K[ 0, 2π]...................... 97 11
12 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
WAVELET ANALYSIS
Κεφάλαιο 1 Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών Σε αυτο το κεφάλαιο, α αναλύσουµε αναφέρουµε τις ασικότερες έννοιες πάνω στις οποίες αναπτύσονται εωρίες, όπως η Ανάλυση Fourier και τα Wavelets και οι οποίες είναι απαραίτητο κανείς να γνωρίζει αν έλει να προχωρήσει στην ανάλυση. Ξεκινάµε το κεφάλαιο εµελιώνοντας τους χώρους l p (παρ.1.1) και L p (παρ. 1.2), αποδεικνύοντας τις σηµαντικότερες ιδιότητες και χαρακτηριστικά τους. Τέλος αναφέρουµε εν συντοµία τα ασικότερα για τους χώρους Hilbert (παρ. 1.3), κλείνοντας µε το Θεώρηµα Ανοικτής Απεικόνισης 1.3.6 και κάποια Λήµµατα από τη Θεωρία Τελεστών. 1.1 Οι χώροι l p (X) Έστω X γραµµικός χώρος επί του σώµατος B, ή του C. Ορισµός 1.1.1 Καλούµε νόρµα, µια απεικόνιση από ένα γραµµικό χώρο X στο B η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. x 0 και x 0 x 0 2. λx λ x B C C 3. x + y x + y (Τριγωνική ανισότητα) για κάθε x, y X και για κάθε λ (ή αν ο χώρος είναι επί του σώµατος ). Στο εξής, ένας γραµµικός χώρος X εφοδιασµένος µε µία νόρµα α καλείται γραµµικός χώρος µε νόρµα και γράφουµε (X, ). Η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων x και y του X ορίζεται να είναι η d(x, y) : x y. Η συνάρτηση δηλαδή d : X X B : (x, y) x y ορίζει την µετρική που επάγεται από την νόρµα στον X. Η εισαγωγή της έννοιας της νόρµας σ ένα γραµµικό χώρο είναι αναγκαία εάν κανείς έλει να ορίσει αποστάσεις, να κάνει λόγο για σύγκλιση και γενικότερα να κάνει ανάλυση σ ένα γραµµικό χώρο. Κανείς µπορεί να παρατηρήσει ότι η έννοια της νόρµας δεν αποτελεί παρά µια υσιολογική γενίκευση της απόλυτης τιµής των πραγµατικών αριθµών και των ιδιοτήτων της, οι οποίες αποµονώνονται προκειµένου να ορισθεί η νόρµα. 15
16 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών Παραδείγµατα χώρων µε νόρµα : (i) Οι γραµµικοί χώροι, c 0 όλων των ακολουθιών που συγκλίνουν στο µηδέν, c όλων των συγκλινουσών ακολουθιών και l, όλων των ραγµένων ακολουθιών εφοδιασµένοι µε τη νόρµα x : sup x n, για κάθε x (x n ) n D, (1.1) n D αποτελούν γραµµικούς χώρους µε νόρµα. (ii) Ο γραµµικός χώρος C[a, b] των συνεχών συναρτήσεων στο [a, b], εφοδιασµένος µε την νόρµα f sup f (t), για κάθε f C[a, b], (1.2) t [a,b] αποτελεί χώρο µε νόρµα. (iii) Ένα άλλο παράδειγµα χώρων µε νόρµα, αποτελούν οι χώροι l p οι οποίοι ορίζοντε ως εξής : { l p (X) (x i ) i X C : } x i p <, p [1, ). i X Εµείς σε αυτή την εργασία α ενδιαφερθούµε µόνο για τους χώρους l p (E ) κι l p (F ), όπου τους πρώτους α τους συµβολίζουµε απλά µε l p. Για να δείξουµε ότι οι χώροι l p αποτελούν χώρους µε νόρµα πρέπει να δείξουµε τις εξής δύο ανισότητες : Θεώρηµα 1.1.2 (Ανισότητα Hölder) Για κάθε ακολουθία αριθµών (x i ) i1 και (y i) ισχύει : ( ) 1 ( ) 1 xi y i xi p p yi q q (1.3) οπού 1 p + 1 q 1. Απόδειξη : Αρκεί να δείξουµε άτι k ( k ) 1/p ( k ) 1/q x i y i x i p y i q i1 i1 i1 για κάθε k E. (1.4) Από την 1/p + 1/q 1 ισχύει ότι (p 1)q p. Θέτουµε c i x i y i ( ) 1/p και d i ( ) 1/q. xi p yi q y d i 0.............. S 2 S 1 c i y x p 1 Σχήµα 1.1: c id i 1 p cp i + 1 q dq i.. x Συνεπώς ci p 1 και di q 1. Οπότε αρκεί να δείξουµε ότι c i d i 1. Θεωρούµε τη συνάρτηση y x p 1 και την ολοκληρώνουµε ως προς x, από 0 εως c i. Συνεπώς το εµβαδό που αντιστοιχεί στο ολοκλήρωµα αυτό είναι E 1 1 p cp i. Οµοίως ολοκληρώνοντας την αντίστροφη συνάρτηση x y 1/(p 1) y q 1 ως προς y, από το 0 εως το d i έχουµε ότι c i d i 1 p cp i + 1 q dq i (1.5)
1.1 Οι χώροι l p (X) 17 έχοντας ισότητα µόνον όταν d i c p 1 i. Αθροίζοντας τις (1.5) ως προς i έχουµε c i d i 1 p + 1 1, (1.6) q διότι c p i d q i 1. Συνεπώς λαµβάνοντας το k έχουµε την (1.3). Θεώρηµα 1.1.3 (Ανισότητα Minkowski) Για οποιεσδήποτε ακολουθίες αριθµών x (x i ) και y (y i ) και για 1 p ισχύει : x + y p x p + y p (1.7) Απόδειξη : Για p 1 και για p το αποτέλεσµα προκύπτει άµεσα από την τριγωνική ανισότητα στην πρώτη περίπτωση και από την ιδιότητα του supremum στην δεύτερη περίπτωση. Για 1 p έχουµε : x + y p p x k + y k p x k + y k p 1 ( x k + y k ) x k + y k p 1 x k + x k + y k p 1 y k (1.8) Εφαρµόζοντας την Ανισότητα Hölder για καθένα από τα παραπάνω αθροίσµατα και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι (p 1)q p έχουµε ότι η ποσότητα x + y p p, είναι µικρότερη από ( xk + y k p ) 1/q ( xk p ) 1/p + ( xk + y k p ) 1/q ( yk p ) 1/p. Οπότε x + y p p ( xk + y k p ) 1/q( x p + y p ). (1.9) Τελικά διαιρώντας και τα δύο µέλη µε ( xk + y k p ) 1/q και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι 1 1/q 1/p έχουµε ότι x + y p x p + y p. Έχοντας δείξει τις Ανισότητες Hölder και Minkowski µπορούµε πια να δούµε ότι η p ορίζει όντως µία νόρµα στον l p, µιας και η ιδιότητα της τριγωνικής ανισότητας ικανοποιείται άµεσα απο την Ανισότητα Minkowski. Επίσης είναι ανερό, ότι οι χώροι l p είναι πράγµατι γραµµικοί χώροι µε νόρµα αφού εάν x, y X τότε x + y p x p + y p < και συνεπώς x + y X. Οι υπόλοιπες ιδιότητες προκειµένου η p να είναι νόρµα και οι l p γραµµικοί χώροι είναι προφανείς. Ορισµός 1.1.4 Έστω (x n ) n D X και x X. Θα λέµε ότι η ακολουθία (x n ) συγκλίνει στο x, αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει N E, έτσι ώστε x n x X < ε για κάθε n N. Ορισµός 1.1.5 Μια ακολουθία (x n ) n D X λέγεται ακολουθία Cauchy, αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει N E, ώστε x n x m X < ε για κάθε n, m N. Ορισµός 1.1.6 Ένας χώρος µε νόρµα X λέγεται πλήρης χώρος (ή χώρος Banach), αν και µόνο αν κάθε ακολουθία Cauchy (x n ) n D X, συγκλίνει σε ένα στοιχείο x του χώρου X. Παράδειγµα 1.1.7 Οι χώροι l p είναι χώροι Banach για κάθε p [1, ],
18 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών διότι αν x n (xi n ) n D είναι µια ακολουθία Cauchy στον l p, τότε κάθε ακολουθία (xi n ) n D i E είναι ακολουθία Cauchy στο B (ή στο C ). Συνεπώς, για κάθε i E, υπάρχει x i B ή στο C τέτοιο ώστε xi n x i καθώς n. Άν έσουµε x (x i ) i1, τότε για κάθε k E έχουµε : k i1 x i p lim n k x n i p sup x n p p < i1 αφού η (x n ) n D είναι Cauchy και συνεπώς ραγµένη. Οπότε x l p και τελικά x n x m p p < ε για µεγάλα n, m E και συνεπώς παίρνοντας k έπεται x n x p < ε x n x. Η απόδειξη είναι όµοια για τους l p (F ). Συνεπώς, έχουµε ορίσει µια σηµαντική κλάση χώρων Banach η οποία α µας απασχολήσει στη συνέχεια. Οι σηµαντικότεροι από τους χώρους l p για µας α είναι οι χώροι l 2 και l 2 (F ). Από την άλλη πλευρά ένα σηµαντικό παράδειγµα χώρων µε νόρµα που δεν είναι πλήρεις χώροι, αποτελούν οι χώροι των συνεχών συναρτήσεων εφοδιασµένοι µε την νόρµα ( b 1/p f p f (t) dt) p, p [1, ) οι οποίοι συµβολίζονται µε C p [a, b]. ηλαδή C p [a, b] a { f : [a, b] B : f συνεχής και b a } f (t) p dt <. Σύµφωνα µε τα εωρήµατα ύπαρξης και µοναδικότητας πλήρωσης ενος χώρου µε νόρµα την πλήρωση των χώρων C p [a, b] αποτελούν οι πολύ σηµαντικοί χώροι για την ανάλυση L p [a, b], τους οποίους α µελετήσουµε στην επόµενη παράγραφο και οι οποίοι µας οδηγούν µε τρόπο υσιολογικό στην εωρία µέτρου και ολοκλήρωσης κατά Lebesgue. 1.2 Οι χώροι L p (X) Αυτή η παράγραφος είναι αφιερωµένη στους χώρους L p (X). Αναπτύσσεται η ασική εωρία στη γενικότητα της, µε την έννοια ότι δεν περιορίζεται η διατύπωση και απόδειξη των εωρηµάτων για τους συγκεκριµένους χώρους και µέτρα που α µας απασχολήσουν στη συνέχεια, αφού κατι τέτοιο δεν α απλούστευε τα πράγµατα αλλά µάλλον α κατάφερνε να επισκιάσει κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες της εωρίας (όπου πολλά εξαρτώνται από το µέτρο). Σε όλη την παράγραφο (X, Ψ, µ) α είναι ένας αυθαίρετος χώρος µέτρου και το µ α είναι πάντα ετικό. Ορισµός 1.2.1 Έστω (X, Ψ, µ) χώρος µέτρου και f : X C Ορίζουµε f p µετρήσιµη συνάρτηση. ( ) 1/p, f X p dµ p [1, ) { inf M [0, ] : { µ x X : f (x) }} > M 0, p. Ορισµός 1.2.2 Έστω (X, Ψ, µ) χώρος µέτρου. Συµβολίζουµε µε L p (X) το σύνολο όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων στον X µε µιγαδικές τιµές ώστε f p <. ηλαδή { } L p (X) f : X C µετρήσιµη : f p dµ <. X
1.2 Οι χώροι L p (X) 19 Οι Ανισότητες Hölder και Minkowski γενικεύονται στους χώρους L p και συγκεκριµένα ισχύει : Πρόταση 1.2.3 (Ανισότητα Hölder) Έστω 1 + 1 p q 1, f Lp (X) και g L q (X). Τότε fg L 1 (X). Ακριβέστερα X fg dµ f L p g L q. (1.10) Απόδειξη : Αν p τότε q 1 και συνεπώς έχουµε fg f g σχεδόν παντού, από το οποίο έπεται ότι fg dµ f g dµ <. X Οµοίως αν p 1 και q. Αν τώρα p (1, ), έτουµε /( 1/p /( c(x) f (x) f dµ) ) 1/q p και d(x) g(x) g q dµ X X για κάθε x X. Συνεπώς X X c(x) p dµ 1 X d(x) q dµ. (1.11) Αρκεί να δείξουµε ότι X c(x)d(x)dµ 1. Θεωρούµε τη συνάρτηση y x p 1 και την ολοκληρώνουµε ως προς x, απο 0 ως c(x). Συνεπώς το εµβαδό που αντιστοιχεί στο ολοκλήρωµα αυτό είναι E 1 1 p c(x)p. Οµοίως ολοκληρώνοντας την αντίστροφη συνάρτηση x y 1/(p 1) y q 1 ως προς y, από το 0 ως το d(x) έχουµε ότι c(x)d(x) 1 p c(x)p + 1 q d(x)q (1.12) έχοντας ισότητα µόνον όταν d(x) c(x) p 1. Ολοκληρώνοντας την (1.12) ως προς x και λαµβάνοντας υπ όψην της (1.11) έχουµε : c(x)d(x)dµ 1 p + 1 q 1 X και συνεπώς το ητούµενο. Πρόταση 1.2.4 (Ανισότητα Minkowski) Έστω p [1, ] και f, g L p (X). Τότε f + g L p f L p + g L p. Απόδειξη : Αν p, τότε f + g f + g f + g σχεδόν παντού και συνεπώς f + g f + g. Αν p 1, τότε f + g L 1 X f + g dµ ( f + g )dµ f L 1 + g L 1. x Τώρα αν p (1, ) από την Ανισότητα Hölder ισχύει ότι ( ) 1/p ( 1/q f (f + g) p 1 dµ f p dµ f + g dµ) (p 1)q (1.13) X X X
20 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών και X ( g(f + g) p 1 dµ X ) 1/p ( 1/q g p dµ f + g dµ) (p 1)q. (1.14) X Συνεπώς, αθροίζοντας τις (1.13) και (1.14) έχουµε X ( f + g p dµ X [ ) 1/q ( ) 1/p ( ] ) 1/p f + g p dµ f p dµ + g p dµ X X ιαιρώντας και τα δύο µέλη µε ( X f + g p dµ) 1/q έχουµε το αποτέλεσµα. Έχοντας δείξει τις δύο αυτές ασικές ανισότητες και για τους χώρους L p (X) παρατηρούµε ότι αν f, g L p (X), τότε και (f + g) L p (X) λόγω της Ανισότητας Minkowski. Επιπλέον αν f L p (X), τότε και af L p (X), για κάθε a C. Οπότε ο L p (X), αποτελεί ένα διανυσµατικό χώρο επί του C κι επιπλέον η συνάρτηση L p : X B : f f L p, είναι µια ηµινόρµα στον L p (X) διότι αν f 0 f 0 (Η τριγωνική ανισότητα ικανοποιείται άµεσα από την Ανισότητα Minkowski ώστε η L p να είναι ηµινόρµα). Για να περάσουµε σ ένα χώρο µε νόρµα, ορίζουµε στους L p (X) την εξής σχέση ισοδυναµίας : f g f g σχεδόν παντού. Ταυτίζουµε δηλαδή τις συναρτήσεις πού διαφέρουν σ ένα σύνολο µηδενικού µέτρου. Αν και το αποτέλεσµα που παίρνουµε ορίζοντας µία τέτοια σχέση ισοδυνα- µίας στους L p (X) είναι ένας νέος χώρος, «ο χώρος πηλίκο» του οποίου τα στοιχεία είναι κλάσης ισοδυναµίας, εµείς συνεχίζουµε να συµπεριφερόµαστε σε αυτά σαν να ήταν συναρτήσεις του L p (X), επιλέγοντας κάθε ορά έναν «αντιπρόσωπο» από κάθε κλάση, µιας και η επιλογή αυτή δεν επηρεάζει τη νόρµα f της κλάσης, αφού f g και συνεπώς f g για συναρτήσεις τις ίδιας κλάσης. Προφανώς τώρα µια ακολουθία (f n ) n D L p (X) συγκλίνει σε µία συνάρτηση f στον L p (X), εάν και µόνο εάν f n f L p 0. Όµοια η (f n ) είναι Cauchy εάν και µόνο εάν f n f m L p 0 καθώς n, m. Στη συνέχεια α δείξουµε ότι οι χώροι L p είναι πλήρεις χώροι και α αναφερθούµε στα πυκνά υποσύνολα τους. ακολου- Λήµµα 1.2.5 (Borel-Cantelli) Έστω (X, Ψ, µ) χώρος µέτρου και {A n } n D ία στην Ψ. Ισχύει n1 µ(a n ) < µ(lim sup A n ) 0. (1.15) n Απόδειξη : lim sup n A n n1 mn A n mn A n που λόγω της αριθµήσιµης προσθετικότητας του µέτρου µ, έπεται ότι όταν το n, το µ (lim sup n A n ) mn µ(a n) 0. Συνεπώς µ(lim sup n A n ) 0. Πρόταση 1.2.6 (Ανισότητα Chebyshev) Έστω f : X [0, ] µετρήσιµη συνάρτηση και ε > 0. Τότε µ { x X : f (x) ε } 1 ε X fdµ. (1.16)
1.2 Οι χώροι L p (X) 21 Απόδειξη : Έστω E { x X : f (x) } ε. Ισχύει ότι 0 ε K E (x) f (x) για κάθε x X (όπου K E η χαρακτηριστική συνάρτηση του E). Συνεπώς 0 ε µ(e) fdµ µ(e) 1 fdµ. ε X Λήµµα 1.2.7 Έστω {f n } n D ακολουθία στον L p και 1 p ώστε f n f n+1 L p 1/2 2n, n E. Τότε υπάρχει µετρήσιµη συνάρτηση f ώστε f n f σχεδόν παντού. } Απόδειξη : Θέτουµε A n {x X : f n f n+1 1/2 n, n E. Από την Ανισότητα Chebyshev (1.16) έχουµε ότι µ(a n ) 2 np X f n f n+1 p dµ 2 np f n f n+1 p L p < 2np 2 2np 1 2 np. X Άρα 1 µ(a n ) <. 2np n1 n1 Συνεπώς από το Λήµµα Borel-Cantelli 1.2.5 έπεται ότι µ(lim sup n A n ) 0. Άρα αν x lim sup n A n τότε f n (x) f n+1 (x) < 1/2 n, τελικά για κάθε n E. Συνεπώς η ακολουθία {f n } n D C είναι Cauchy οπότε και συγκλίνει. Ορίζουµε f : X C µε { lim f (x) f n(x), εάν x lim sup n A n n 0, εάν x lim sup n A n. (1.17) Άρα f n f σχεδόν παντού, διότι η f n συγκλίνει σηµειακά στην f, στο συµπλήρωµα του lim sup n A n, το οποίο είναι µηδενικού µέτρου. Θεώρηµα 1.2.8 (Riesz-Fisher) Για κάθε p [1, ] οι χώροι L P (X) είναι χώροι Banach. Πριν δείξουµε το παραπάνω γεγονός, να υπενθυµίσουµε το Λήµµα Fatou από το οποίο έχουµε ότι αν E Ψ και {f n } n D ακολουθία ετικών µετρήσιµων συναρτήσεων στο E ισχύει X lim inf n f ndµ lim inf n X f n dµ. Απόδειξη Θεωρήµατος 1.2.8 : Αρκεί να δείξουµε ότι, αν {f n } n D L p (X) α- κολουθία Cauchy, τότε υπάρχει f L p (X) έτσι ώστε f n f L p 0. Έστω p [1, ) κι έστω {f n } ακολουθία Cauchy στον L p (X). Τότε υπάρχει n 1 E ώστε f n1 f n L p < 1/2 2 για κάθε n n 1. Όµοια υπάρχει n 2 E, ώστε f n2 f n L p < 1/2 4 για κάθε n > n 2. Συνεπώς επαγωγικά κατασκευάζεται υ- πακολουθία {f nk } k D της {f n }, ώστε f nk f nk+1 L p < 1/2 2k και συνεπώς από το Λήµµα 1.2.7 υπάρχει µετρήσιµη συνάρτηση f, ώστε f nk f σχεδόν παντού. Τώρα f L p f nk f L p + f nk L p οπότε αρκεί να δείξουµε ότι f nk f 0. Για κάθε
22 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών n E ισχύει f nk f nm p f nk f p σχεδόν παντού καθώς το n και άρα από το Λήµµα Fatou f nk f p f nk f p dµ lim inf f nk f nm p dµ X X m lim inf f nk f nm p dµ 1 0 (1.18) m 2 22kp καθώς k. Εποµένως f nk f L p 0. Για p έτουµε } E nm {x X : f n (x) f m (x) f n f m για n, m E. Παρατηρούµε ότι E nm E nm. Τώρα µ(x \ E) 0 και X f n f m sup f n (x) f m (x) sup f n (x) f m (x) x E nm x E και αφού f n f m 0 καθώς n, m έπεται ότι lim sup f n (x) f m (x) 0. n,m x E (1.19) Έτσι η {f n } είναι Cauchy στο E και άρα συγκλίνει στο E. Ορίζουµε f : X C µε f (x) { lim inf n f n (x), αν x E 0, αν x E (1.20) Η f είναι µετρήσιµη και επιπλέον ισχύει f n f (f n f ) X E sup f n (x) f (x) 0. x E Πρόταση 1.2.9 Το σύνολο των απλών συναρτήσεων στον L p (X) είναι πυκνό υποσύνολο του L p (X) για 1 p. Απόδειξη : Έστω f L p (X). Θα δείξουµε ότι υπάρχει ακολουθία s n απλών συναρτήσεων του L p (X), ώστε s n f στον L p (X). Έστω f 0. Τότε υπάρχει ακολουθία απλών µετρήσιµων συναρτήσεων s n, ώστε 0 s n f και s s n f. 1 Συνεπώς s n p f p και άρα s n L p. Όµως f s n p f p και f s n p 0 και άρα απο το Θεώρηµα Κυριαρχηµένης Σύγκλισης του Lebesgueέπεται ότι ( 1/p f s n L p f s n dµ) p 0. Η γενικότερη περίπτωση έπεται από το ότι η f γράφεται σαν X f u + u + i(v + v ) (1.21) όπου οι u +, u, v +, v είναι ετικές συναρτήσεις του L p. Έστω τώρα p και f πραγµατική. Κι έστω για κάθε n { E διαµέριση t0 n < tn 1 < } [ ] < tn k n του f, f + 1 µε λεπτότητα µικρότερη του 1/n. Τότε αν { A n i x [ ] } f, f + 1 : ti 1 n f t n i 1 ηλαδή η s n συγκλίνει ισχυρά στην f.
1.2 Οι χώροι L p (X) 23 έτουµε k n s n t n i X A n i (1.22) i1 για n E. Τότε οι s n είναι απλές, s n L και f s n < 1/n σχεδόν παντού. Άρα f s n 1/n και συνεπώς s n f στον L. Η γενικότερη περίπτωση έπεται από τα παραπάνω. Τα δύο επόµενα εωρήµατα παρατίθοντε χωρίς απόδειξη ( λέπε [κ-ν91]). Θεώρηµα 1.2.10 (Tietze) Έστω (X, d) µετρικός χώρος, Y κλειστό υποσύνολο του X και f : X B συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση g : X B, έτσι ώστε g Y f και sup x X g(x) sup x X f (x). Θεώρηµα 1.2.11 (Lusin) Έστω X µετρικός χώρος πεπερασµένου µέτρου. Τότε για κάθε µετρήσιµη συνάρτηση f : X B και για κάθε ε > 0 υπάρχει g : X B συνεχής, ώστε µ {x X : f g} < ε και sup x X g(x) sup x X f (x). Πρόταση 1.2.12 Έστω X χώρος πεπερασµένου µέτρου. Τότε το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στον L p (X), όπου 1 p <, είναι πυκνό υποσύνολο του L p (X). Απόδειξη : Έστω f L p (X) µε f χαρακτηριστική συνάρτηση. ηλαδή f X A όπου A µετρήσιµο. Τότε από το Θεώρηµα Lusin 1.2.11 υπάρχει g : X B συνεχής συνάρτηση ώστε µ {x X : f g} < ε p /2 p+1 και g 1. Θέτουµε A { x X : f } g και B { x X : f } g. Τότε ισχύει f g p L p A A f g p dµ + f g p dµ f g p dµ B A 2 p ( f p + g p ) dµ 2 p+1 µ(a) < ε p και άρα f g L p < ε. Αν τώρα η f είναι απλή, τότε γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός χαρακτηριστικών συναρτήσεων και σύµφωνα µε τα παραπάνω µποούµε να προσεγγίσουµε την f προσεγγίζοντας τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις που την αποτελούν. Αν τώρα η f είναι τυχαία, τότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα 1.2.9 υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων {s n } L p (X), ώστε f s n L p < ε/2. Επιπλέον υπάρχει ακολουθία {g n } C(X), έτσι ώστε g n s n L p < ε/2 και άρα g n f L p g n s n L p + s n f L p < ε. Ορισµός 1.2.13 Μια συνάρτηση f ορισµένη στο [a, b] B και τιµές στο C λέγεται κλιµακωτή, αν υπάρχει διαµέριση { a t o < t 1 < < t n b } του [a, b] ώστε η f να είναι σταθερή σε κάθε διάστηµα (t i 1, t i ), i 1,, n. Αν η f ορίζεται σε όλο το B α λέγεται κλιµακωτή, αν η f [a,b] είναι κλιµακωτή για κάθε [a, b] B. Πρόταση 1.2.14 Έστω µ κανονικό µέτρο µε την έννοια ότι για κάθε A στην σ άλγεβρα Ψ και για κάθε ε > 0 υπάρχει F κλειστό, G ανοικτό στην Ψ έτσι ώστε F A G και µ(g) ε µ(a) µ(f) + ε 2 στο B ορισµένο σε µια σ άλγεβρα Ψ B(B ) (όπου B(B ) η οικογένεια των Borel µετρήσιµων υποσυνόλων του B ). Τότε καθένα από τα παρακάτω δύο σύνολα είναι πυκνό στον L p (B ) για 1 p <. 2 Για περισσότερες πληροφορίες λέπε [κ-ν91]
G G 24 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών 1. Το σύνολο των κλιµακωτών συναρτήσεων πεπερασµένου ορέα 3 στο B. 2. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων πεπερασµένου ορέα στο B. Απόδειξη : Προφανώς οι κλιµακωτές και οι συνεχείς συναρτήσεις πεπερασµένου ορέα είναι στον L p (B ), αφού είναι ραγµένες συναρτήσεις σε ραγµένα διαστήµατα τα οποία είναι πεπερασµένου µέτρου, εφ όσον το µέτρο είναι κανονικό. Έστω τώρα f L p (B ) και ε > 0. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει συνάρτηση g κλιµακωτή, πεπερασµένου ορέα, έτσι ώστε f g < ε. Όµως αυτό αρκεί να γίνει όταν η f είναι χαρακτηριστική συνάρτηση, διότι εύκολα µετά προσεγγίζεται η f αν είναι απλή, και η προσέγγιση αυτή αρκεί από το Θεώρηµα 1.2.9. Έστω λοιπόν f X A όπου το A µετρήσιµο υποσύνολο των πραγµατικών. Τότε µ(a) < αφού f L p (B ). Από την κανονικότητα του µ έπεται ότι υπάρχει Ψ G B ώστε µ(g) < µ(a) + εp 2, Όµως αφού το G είναι ανοικτό υποσύνολο του B γράφεται ως εξής : G n D (a n, b n ) µε (a i, b i ) (a j, b j ), για κάθε i j E. Οπότε µ(g) n1 µ(a n, b n ) < και άρα υπάρχει k E έτσι ώστε nk+1 µ(a n, b n ) < εp 2. (1.23) B I Θέτουµε B k n1 (a n, b n ) και g X B. Προφανώς η g είναι κλιµακωτή και πεπερασµένου ορέα, αφού είναι µηδέν στο \ [ ] min 1 n k a n, min 1 n k b n. Επιπλέον ισχύει f g p L p (G ) X A X B p L p X A X B p dµ X AH B p dµ µ(a B) ( ) µ (A \ B) (B \ A) µ (A \ B) + µ (B \ A) µ(g \ B) + µ (G \ A) < εp 2 + εp 2 εp το οποίο έπεται ότι f g L p < ε, διότι A G, B G και το µ είναι κανονικό. Για να δείξουµε τώρα το (1), αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση g, τέτοια ώστε f g < ε για f κλιµακωτή συνάρτηση πεπερασµένου ορέα και ε > 0. Έστω ότι η f µηδενίζεται στο συµπλήρωµα του [a, b] και {a t o < t 1 < < t n b} µια διαµέριση του [a, b] ώστε η f (ti 1,t να είναι σταερή, για κάθε i 1,..., n. Επίσης, υποθέτουµε ότι M sup x G f (x) <. i) Αφού τώρα το µ είναι κανονικό µέτρο υπάρχουν Ψ K i (t i 1, t i ) κλειστά και συνεπώς συµπαγή υποσύνολα ώστε ) µ ((t i 1, t i ) \ K i < 1 ( ε ) p. (1.24) n + 1 2M 3 Που µηδενίζονται στο συµπλήρωµα ενός ραγµένου διαστήµατος.
B G 1.2 Οι χώροι L p (X) 25 Για τον ίδιο λόγο υπάρχει Ψ G [a, b] ανοικτό ώστε ( ) µ G \ [a, b] < 1 ( ε ) p. (1.25) n + 1 2M Έστω G (c, d) (δηλαδή ραγµένο). Θέτουµε U n i1 ) ( ) ((t i 1, t i )\K i G \ [a, b]. (1.26) Επειδή το U είναι ένωση n+1 συνόλων, καθενός µέτρου µικρότερου από ( ε/2m ) p, έπεται ότι µ(u) < ( ε/2m ) p. Τώρα ισχύει B \ U ( n i1 K i) ( n i0{t i }) (B \ G), που είναι δηλαδή η ένωση 2n + 2 κλειστών συνόλων, όπου σε κάθε ένα η f είναι σταθερή. Συνεπώς απο το Θεώρηµα Tietze 1.2.10, υπάρχει g : B B συνεχής ώστε f G \U g G \U και sup x G g(x) < M και προφανώς η g µηδενίζεται στο \ G. Επιπλέον f g p L f g p dµ + f g p dµ p U G \U ) f g p dµ 2 ( f p p + g p dµ U (2M) p µ(u) < ε p B B από το οποίο έπεται f g L p < ε. Παρατήρηση : Ένα σηµαντικό πόρισµα που προκύπτει από τα Θεωρήµατα 1.2.14 και 1.2.12, είναι ότι κάθε συνάρτηση στους L p (X), όπου X ένα οποιοδήποτε υ- ποσύνολο του πεπερασµένου µέτρου (ή η πραγµατική ευθεία), προσεγγίζεται από µια συνεχή συνάρτηση (πεπερασµένου ορέα αν X ) ως προς τη νόρ- µα του χώρου και συνεπώς από µια διαφορίσιµη συνάρτηση αφού το σύνολο των πολυωνύµων είναι αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο των συνεχών συναρτήσεων (το σύνολο των πολυωνύµων που µηδενίζοντε στο συµπλήρωµα ενός ραγµένου διαστήµατος). Είναι ανερό λοιπόν ότι οι χώροι L P [a, b] και L p (B ) είναι διαχωρίσιµοι χώροι. Κλείνουµε την παράγραφο µε δύο λήµµατα τα οποία α µας ανούν χρήσιµα στην συνέχεια. Λήµµα 1.2.15 Ο L 1 (B ) L 2 (B ) είναι πυκνό υποσύνολο του L 2 (B ). Απόδειξη : Έστω f L 2 (B ). Θεωρούµε την ακολουθία { f, αν x n g n (x) 0, αν x > n η οποία είναι προφανώς στον L 1 (B ) L 2 (B ). Ισχύει g n f 2 L 2 f g n 2 dx U x >n f 2 dx 0 καθώς το n.
26 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών Λήµµα 1.2.16 Έστω f L 1 (B ) ώστε f L 1 (B ). Τότε ισχύει lim x ± f (x) 0. Απόδειξη : Η f λόγω της υπόθεσης γράφεται σαν Ισοδύναµα ισχύει f (x) f (a) + lim f (a) + x + x a lim x + f (t)dt. (1.27) x Προφανώς το lim x a f (t)dt f (t)dt υπάρχει διότι a x f (t)dt f (t) dt a a f (t)dt. (1.28) και συνεπώς το lim x + f (x) υπάρχει. Έστω λοιπόν ότι lim x + f (x) c 0. Τότε υπάρχει x 0 B ώστε f (x) > c/2 για κάθε x > x 0. Συνεπώς f (x) dx > f (x) dx > c x 0 2 x 0 dx το οποίο είναι άτοπο κι αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Η απόδειξη είναι όµοια και για την περίπτωση όπου x. 1.3 Χώροι Hilbert Καλούµε χώρο Hilbert, ένα οποιοδήποτε χώρο µε εσωτερικό γινόµενο, ο οποίος είναι πλήρης µε την νόρµα που επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο. Οι πιό σηµαντικοί χώροι Hilbert για µας α είναι οι l 2 (F ), l 2 (E ) και 0 L 2 (B ), τους οποίους µελετήσαµε στις προηγούµενες παραγράφους. Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν σε κάθε χώρο Hilbert. Θεώρηµα 1.3.1 (Cauchy-Schwartz) Για οποιαδήποτε στοιχεία x, y ενός χώρου H µε εσωτερικό γινόµενο, ισχύει Αν επιπλέον ισχύει η ισότητα, τότε y λx. x, y x y (1.29) Θεώρηµα 1.3.2 (Κανόνας του παραλληλογράµµου) Για κάθε x, y H, µε H χώρο Hilbert ισχύει x + y 2 + x y 2 2( x 2 + y 2 ) Λήµµα 1.3.3 Για κάθε x, y H, όπου H χώρος Hilbert, ισχύει x, y 1 4 ( x + y 2 x y 2) + 1 4i ( x iy 2 x + iy 2) (1.30) Θεώρηµα 1.3.4 (Ανισότητα Bessel) Για οποιαδήποτε ακολουθία στοιχείων {e n } H ενός χώρου Hilbert H και για κάθε x H, ισχύει x, e n 2 x 2 (1.31) n 1
1.3 Χώροι Hilbert 27 Επίσης τα παρακάτω εωρήµατα α µας ανούν χρήσιµα στη συνέχεια. Ιδιότητα 1.3.5 Έστω T L(X), µε X χώρο Banach. Αν T < 1, τότε ο τελεστής (I T) 1 υπάρχει και είναι ραγµένος τελεστής από τον X X. Επιπλέον ισχύει, (I T) 1 n0 T n και (I T) 1 1 1 T (1.32) Απόδειξη : Πράγµατι A k A k q k 0, καθώς το k µε A q. Έστω S n n k0 Ak. Τότε η S n είναι ακολουθία Cauchy και συνεπώς συγκλίνει. Επιπλέον, η (I A)S n I A n+1 I, καθώς το n και S n (I A) I, καθώς το n και συνεπώς, το lim S n είναι ο αντίστροφος τελεστής του (I A). Θεώρηµα 1.3.6 (Banach) Έστω X, Y χώροι Banach κι έστω T : X Y ένα προς ένα ραγµένος, γραµµικός τελεστής επί του Y. Τότε, ο αντίστροφος τελεστής T 1 είναι ραγµένος. Θεώρηµα 1.3.7 Αν A αντιστρέψιµος τελεστής και ο B τελεστής τέτοιος ώστε A B < 1/ A 1, τότε και ο B είναι επίσης αντιστρέψιµος. Απόδειξη : Πράγµατι, B A[I A 1 (A B)] µε A αντιστρέψιµο και (I A 1 (A B)) αντιστρέψιµο λόγω της παραπάνω Ιδιότητας (1.3.5), και συνεπώς το γινόµενο τους είναι αντιστρέψιµο.
28 1. Χώροι Hilbert Θεωρία Τελεστών
Κεφάλαιο 2 Ανάλυση Fourier 2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 1 (J ) Ορισµός 2.1.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 1 (B ) ορίζεται ως εξής για κάθε f L 1 (B ). f (ω) (Ff )(ω) : f (x)e iωx dx, (2.1) Θεώρηµα 2.1.2 Έστω f L 1 (B ). Τότε ο µετασχηµατισµός Fourier της f ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : (i) Η f είναι οµοιόµορφα συνεχής στο B. ( f C (B )) (ii) f f L1 (G ) (iii) Αν η παράγωγος f της f υπάρχει και είναι L 1 (B ) συνάρτηση τότε ισχύει f (ω) iω f (ω). (2.2) (iv) f (ω) 0 καθώς ω ±. (Λήµµα Riemman-Lebesgue) Απόδειξη : (i) Έστω δ > 0 τυχαίο. Τότε sup f (ω + δ) f (ω) sup f (x)e i(ω+δ)x dx ω G ω G sup e iωx (e iδx 1)f (x) dx ω G f (x)(e iδx 1) dx. Όµως 0 e iδx 1 f (x) 2 f (x) f (x)e iωx dx και e iδx 1 f (x) 0, καθώς το δ 0 + και συνεπώς από το Θεώρηµα Κυριαρχηµένης Σύγκλισης του Lebesgue έπεται ότι f (x)(e iδx 1) dx 0 και τελικά sup f (ω + δ) f (ω) 0, ω G 29
30 2. Ανάλυση Fourier καθώς το δ 0 +. (ii) f (ω) f (x) dx για κάθε ω B. Άρα f f L 1. (iii) Εφόσον f L 1 (B ) και f L 1 (B ), έπεται από το Λήµµα 1.2.16 ότι f (x) 0, καθώς το x ±. Άρα f (ω) f (x)e iωx dx [ f (x)e iωx] + + iω f (x)e iωx dx iω f (x) (iv) Έστω f L 1 (B ) ώστε να υπάρχει η f και f L 1 (B ). Τότε από τις ιδιότητες (ii) και (iii) ισχύει f (ω) ω 1 f (ω) ω 1 f L1 (G ), για κάθε ω B. Άρα f (ω) 0, καθώς ω ±. Αν τώρα f L 1 (B ) τυχαία, τότε από το Θεώρηµα 1.2.14 υπάρχει g L 1 (B ) ώστε g L 1 (B ) µε f g L 1 (G ) < ε. Οπότε καθώς το ω ±. f (ω) f (ω) ĝ(ω) + ĝ(ω) f g L 1 (G ) + ĝ(ω) 0, Όπως είδαµε λοιπόν, ο µετασχηµατισµός Fourier κάθε L 1 (B ) συνάρτησης αποτελεί οµοιόµορφα συνεχή συνάρτηση στο B κι επιπλέον συγκλίνει στο µηδέν, καώς το x ±. Παρόλα αυτά η µετασχηµατισµένη f συνάρτηση µιας f L 1 (B ) δεν είναι απαραίτητα στον L 1 (B ) όπως κανείς α περίµενε. Παράδειγµα τέτοιας συνάρτησης αποτελεί η { e f (x) x, x 0 0, x < 0 η οποία είναι προφανώς L 1 (B ) συνάρτηση, ενώ ο µετασχηµατισµός Fourier f (ω) (1 + iω) 1 δεν είναι στον L 1 (B ) αφού 1 f (ω) dω 1 + iω dω και η f συµπεριφέρεται όπως η ω 1. Έτσι λοιπόν η εικόνα του τελεστή Fourier όπως αυτός ορίστηκε στην αρχή της παραγράφου, δεν είναι µέσα στον L 1 (B ), αφού όπως είδαµε στο προηγούµενο εώρηµα F(L 1 (B )) C (B ) L 1 (B ). Αυτό είναι ένα σηµαντικό σηµείο για την L 1 (B ) εωρία, αφού όπως α δούµε παρακάτω, ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier F 1 έχει νόηµα µόνο για L 1 (B ) συναρτήσεις. Ένα άλλο πολύ σηµαντικό και χρήσιµο παράδειγµα L 1 (B ) συναρτήσεων για την Ανάλυση Fourier αποτελούν οι Gaussian συναρτήσεις για τις οποίες έχουµε σχηµατίζοντας τέλεια τετράγωνα g α (x) e αx2, α > 0 (2.3) (Fg α )(ω) e αx2 e iωx dx
2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 1 (B ) 31 e ( αx+ iω 2 α )2 e ω2 /4α dx e ω2 /4α π α. (2.4) Άρα τον µετασχηµατισµό Fourier των Gaussian συναρτήσεων (2.3) αποτελούν οι συναρτήσεις π 2 ĝ α (ω) /4α α e ω, α > 0. (2.5) Ευθύς αµέσως α δούµε την µεγάλη χρησιµότητα των Gaussian συναρτήσεων για την Ανάλυση Fourier. Συνέλιξη συναρτήσεων και η συνάρτηση δέλτα Ορίζουµε σαν συνέλιξη δύο συναρτήσεων f, g L 1 (B ) την εξής L 1 (B ) συνάρτηση (f g)(x) Η (f g) είναι πράγµατι στον L 1 (B ) και ισχύει διότι f (x y)g(y)dy. (2.6) f g L1 (G ) f L1 (G ) g L1 (G ), (2.7) f (x y)g(y)dy dx g(y) f (x y) g(y) dydx f (x y) dxdy g(y) dy f (x) dx Στην παραπάνω διαδικασία κάναµε χρήση του γνωστού από τον Απειροστικό Λογισµό Θεωρήµατος Fubini, το οποίο γενικεύεται για τον υπολογισµό διπλών ολοκληρωµάτων συναρτήσεων στον L 1 (B ) και το οποίο δεν α δείξουµε, µιας και προϋποθέτει γνώσεις από χώρους και µέτρα γινόµενα και κάτι τέτοιο α µας α- ποµάκρυνε από το έµα µας ( λέπε [κ-ν91]). Παρόλα αυτά α συνεχίσουµε να χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Fubini για L 1 (B ) συναρτήσεις σε όλο το κεφάλαιο. Είναι ανερό τώρα (κάνοντας την κατάλληλη αλλαγή µεταβλητών), ότι η συνέλιξη σαν πράξη στον L 1 (B ) είναι αντιµεταθετική και προσεταιριστική. ηλαδή ιότι f g g f και (f g) h f (g h) για κάθε f, g, h L 1 (B ). (f g)(x) f (x y)g(y)dy (x y t) f (t)g(x t)dt (g f )(t)
32 2. Ανάλυση Fourier κι επίσης (f g) h (f g)(x y)h(y)dy ( ( ) f (x y t)g(t)dt h(y)dy f (x y t)g(t)h(y)dtdy g(x y z)h(y)f (z)dzdy g(x y t)h(t)f (y)dtdy ) g(x y t)h(t)dt f (y)dy (g h)(x y)f (y)dy (g h) f f (g h) Θεώρηµα 2.1.3 Έστω f, g L 1 (B ). Τότε ισχύει Απόδειξη : Προφανώς ισχύει f (ω)ĝ(ω) f (t)e iωt dt (f g) (ω) f (ω)ĝ(ω). (2.8) g(y)e iωy dy f (t)g(y)e iω(t+y) dtdy f (x y)g(y)e iωy dydx (f g) (ω) το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη. Αν τώρα αναζητήσουµε το ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης, µια L 1 (B ) συνάρτηση d δηλαδή, για την οποία να ισχύει f d f, για κάθε f L 1 (B ), τότε από το προηγούµενο εώρηµα α δούµε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατον να συµβεί. Κι αυτό διότι αν d L 1 (B ) τότε α πρέπει (f g) (ω) f (ω) d(ω) f (ω) f (ω) d(ω) d(ω) 1 για κάθε ω B το οποίο έρχεται σε αντίθεση µε το Λήµµα Riemman Lebesgue. Ας εωρήσουµε τώρα τον τελεστή της συνέλιξης : L 1 (B ) L 1 (B ) L 1 (B ) σαν πράξη στον L 1 (B ) 1. Όπως α ανεί στην συνέχεια, η αξία του ταυτοτικού στοιχείου της συνέλιξης είναι πολύ µεγάλη για την Ανάλυση Fourier, µιας και ένα 1 Ο L 1 (K ) µε την συνέλιξη σαν πολλαπλασιασµό είναι µεταθετική άλγεβρα Banach. Βλέπε [κ-ν91]
2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 1 (B ) 33 από τα κεντρικά εωρήµατα της, κεντρικό σίγουρα για την L 1 (B ) εωρία, στηρίεται στην ύπαρξη αυτού του στοιχείου. Γι αυτό το λόγο α ήταν πολύ χρήσιµο αν µπορούσαµε να προσεγγίσουµε µε κάποιο τρόπο το ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης. Ας υποθέσουµε ότι {d α } α>0 L 1 (B ) είναι µια οικογένεια συναρτήσεων η ο- ποία προσεγγίζει το ταυτοτικό στοιχείο d, όταν α 0 +. Τότε σύµφωνα µε τα παραπάνω, για µια τέτοια οικογένεια α πρέπει να ισχύουν τα εξής για κάθε ω B, ή ισοδύναµα από το οποίο έπεται ότι αν ω 0 τότε d α (ω) 1, (2.9) d α (x)e iωx dx 1, d α (x) 1, (2.10) καθώς το α 0 +. Μια οικογένεια που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες (2.9) και (2.10) είναι η οικογένεια των Gaussian συναρτήσεων g α (x) 1 2 2 /4α πα e x, α > 0, (2.11) των οποίων ο µετασχηµατισµός Fourier από την (2.5) είναι Προφανώς τώρα καθώς το α 0 + και για κάθε α > 0 αφού ĝ α (ω) e αω2, ω B. (2.12) ĝ α (ω) 1, 1 2 πα για κάθε ω B g α (x)dx 1, (2.13) e x2 /4α dx 1. (2.14) Αυτό που κανείς µπορεί να παρατηρήσει για την οικογένεια {g α } είναι ότι επειδή ο όγκος τής προς ολοκλήρωσης συνάρτησης f (x y)g α (y) µε f L 1 (B ), συγκεντρώνεται γύρω από το µηδέν, καθώς το α 0 +, επεται ότι f (x y)g α (y)dy f (x) g α (y)dy f (x), α 0 +. Ακριβέστερα ισχύει το παρακάτω Θεώρηµα 2.1.4 Έστω f L 1 (B ). Τότε εώρηµα. σε κάθε σηµείο x στο οποίο η f είναι συνεχής. lim α 0 + (f g α )(x) f (x) (2.15)
34 2. Ανάλυση Fourier B Απόδειξη : Έστω f L 1 (B ) µε f συνεχή στο x και ε > 0. Τότε υπάρχει n > 0 τέτοιο ώστε f (x + y) f (x) < ε για κάθε y µε y < n. Τώρα έτοντας d α g α έχουµε (f g α )(x) f (x) f (x y)g α (y)dy f (x) f (x y)g α (y)dy f (x y) f (x) g α (y)dy y n n ε g α (y)dy + n f (x)g α (y)dy n f (x y) f (x) g α (y)dy + n g α (y) f (x y) dy + y n f (x y) f (x) g α (y)dy g α (y) f (x) dy y n ε g α (y)dy + max g α (y) f L1 (G ) + f (x) y n y n/ g 1 (y)dy α ε + f L 1 (G )g α (n) + f (x) y n/ g 1 (y)dy 0 α καθώς το α 0 +. Έστω τώρα x B. Θεωρούµε τα γραµµικά ραγµένα συναρτησοειδοί g α : C 1 (B ) B, δ : C 1 (B ) B τα οποία στέλνουν την f στην (f g α ) και f (x) αντίστοιχα. Τότε το Θεώρηµα 2.1.4 µας εγγυάται ότι (g α f )(x) f (x), καθώς το α 0 + για κάθε συνάρτηση f C 1 (B ) και για κάθε x B και συνεπώς η οικογένεια {g α } α>0 συγκλίνει στο συναρτησοειδές δ ασθενώς. Άρα έχουµε σύγκλιση στον δυΐκό του C 1 (B ), και όπως παρατηρούµε το ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης δ έχει αξία µόνο για συνεχείς συναρτήσεις στον L 1 (B ), µιας και ισχύει δ f f για κάθε συνάρτηση f C 1 (B ). Το συναρτησοειδές δ λοιπόν αν και δεν είναι συνάρτηση, αφού ικανοποιεί λόγω των (2.12) και (2.14) τις { δ(x) 0, για κάθε x 0 δ(x)dx 1 το καλούµε συνάρτηση δέλτα και ορίζουµε τον µετασχηµατισµό Fourier δ να είναι δ(ω) 1. Λήµµα 2.1.5 Για κάθε f, g L 1 (B ) ισχύει f (x)ĝ(x)dx f (x)g(x)dx Απόδειξη : Προφανώς τα δύο ολοκληρώµατα έχουν νόηµα αφού f (x)ĝ(x)dx f L 1 (G ) ĝ
2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 1 (B ) 35 Επιπλέον f (x) g(y)e iyx dxdy g(y) f (x)e iyx dxdy f (x)g(x)dx. Ορισµός 2.1.6 Έστω f L 1 (B ) τέτοια ώστε f L 1 (B ). Ορίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της f να είναι (F 1 f 1 + )(x) : f (ω)e iωx dω. (2.16) 2π Είµαστε τώρα έτοιµοι να αποδείξουµε το κεντρικό εώρηµα της L 1 (B ) εωρίας, αναδεικνύοντας ταυτόχρονα την αξία αυτής της προσέγγισης και της οικογένειας {g α } α>0, η οποία αποτελεί το ουσιαστικό εργαλείο για την απόδειξη του επόµενου εωρήµατος. Θεώρηµα 2.1.7 Έστω f L 1 (B ) ώστε και f L 1 (B ). Τότε f (x) (F 1 f )(x) σε κάθε x όπου η f είναι συνεχής. Απόδειξη : Έστω x B. Θέτουµε g(y) 1 2π eiyx e αy2. Τότε ĝ(y) 1 2π λόγω των (2.3) και (2.5). Τώρα 1 1 2π e itx e αt2 e iyt dt e it(y x) e αt2 dt 2π π (y x) 2 α e 4α g α (x y) (f g α )(x) f (y)g α (x y)dy f (y)ĝ(y)dy f (y)g(y)dy 1 f (y) 2π eiyx e αy 2 dy f (x) καθώς το α 0 +, όταν η f είναι συνεχής στο x. Όµως επίσης ισχύει 1 + f (y)e iyx e αy2 dy (F 1 f )(x) 2π όταν α 0 +, οπότε f (x) (F 1 f )(x). Κλείνουµε λοιπόν την παράγραφο, καταλήγοντας στο ότι ο τελεστής Fourier F : L 1 (B ) C (B ) είναι αντιστρέψιµος µόνο αν περιοριστεί η εικόνα του στον L 1 (B ), κι επιπλέον ισχύει f (x) (F f )(x) µόνο για τα σηµεία συνέχειας της f.
36 2. Ανάλυση Fourier 2.2 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 2 (J ) Έχοντας ορίσει και µελετήσει τον τελεστή Fourier στον L 1 (B ), σε αυτή την παάγραφο α επεκτείνουµε τον τελεστή Fourier από τον L 1 (B ) σε όλον τον L 2 (B ), όπου όπως α δούµε αποτελεί έναν unitary τελεστή µε όλες τις ιδιότητες όπου αυτό συνεπάγεται. Ξεκινάµε την παράγραφο ορίζοντας την συνάρτηση συσχέτισης µιας L 2 (B ) συνάρτησης. Ορισµός 2.2.1 Ορίζουµε σαν συνάρτηση συσχέτισης µιας L 2 (B ) συνάρτησης f, την εξής συνάρτηση : F(x) f (x + y)f (y)dy. (2.17) Λήµµα 2.2.2 Η συνάρτηση συσχέτισης F ικανοποιεί τα εξής : (i) F(x) f 2 L 2 (G ) για κάθε x B. (ii) Η F είναι οµοιόµορφα συνεχής στο B. ηλαδή F C (B ). Απόδειξη : (i) Ισχύει F(x) ( f 2 L 2 (G ). f (x + y)f (y)dy ) 1/2 ( f (x + y) 2 dy f (y) 2 dy ) 1/2 (ii) Έστω δ > 0. Τότε F(x + δ) F(x) f (x + y + δ)f (y)dy f (x + y + δ) f (x + y) f (y) dy f (x + y)f (y)dy ( 1/2 f (x + y + δ) f (x + y) dy) 2 f L2 (G ) ( 1/2 f (y + δ) f (y) dy) 2 f L2 (G ) 0, καθώς το δ 0 +, διότι 0 f (y + δ) f (y) 2 f (y) 2 και f (y + δ) f (y) 2 0. Θεώρηµα 2.2.3 Έστω f L 1 (B ) L 2 (B ). Τότε ο µετασχηµατισµός Fourier f της f είναι στον L 2 (B ) κι επιπλέον ισχύει η «Ταυτότητα του Parseval» f 2 2π f 2 (2.18)
2.2 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 2 (B ) 37 Απόδειξη : Έστω {g α } a>0 η οικογένεια των Gaussian συναρτήσεων όπως αυτή ορίστηκε στην (2.3). Τότε αν f L 1 (B ) L 2 (B ) ισχύει ĝ a (x) f (x) 2 dx ĝ a (x) f (x) f (x)dx ĝ a (x) f (y) f (y) g α (x) f (y)e iyx dy f (u)e ixu dudx f (u) ĝ a (x)e ix(u y) dxdudy f (u)g α (u y)dudy f (x + u)f (u)dudx g α (x)f(x)dx F(x 0)g α (x)dx. Συνεπώς από το Θεώρηµα 2.1.4 έπεται ότι lim ĝ a (x) f (x) 2 dx F(0) α 0 + κι από το Λήµµα Fatou ότι f L 2 (B ), διότι f (x) 2 dx lim inf a 0 + lim ĝ a (x) f (x) 2 dx a 0 + ĝ(x) f (x) 2 dx F(0). Επιπλέον ισχύει ότι 0 ĝ a f 2 f 2 και ότι ĝ a (x) f (x) 2 f (x) 2 και συνεπώς από το Θεώρηµα Κυριαρχηµένης Σύγκλισης έπεται ότι f 2 L 2 (G ) lim α 0 + f (x) 2 dx lim ĝ a (x) f (x) 2 dx α 0 + ĝ a (x) f (x) 2 dx F(0) f 2 L 2 (G ). Από το Λήµµα 1.2.15 και εκµεταλλευόµενοι το γεγονός ότι ο L 1 (B ) L 2 (B ) είναι πυκνός στον L 2 (B ) επεκτείνουµε τον τελεστή Fourier σε όλο τον L 2 (B ) διατηρώντας σταθερή τη νόρµα του µε τον ακόλουθο τρόπο. Αν f L 2 (B ) τότε υπάρχει ακολουθία {f n } L 1 (B ) L 2 (B ) ώστε f n f L 2 (G ) 0, καθώς το n. Από την Ταυτότητα του Parseval έπεται ότι η { fn } είναι Cauchy και συνεπώς υπάρχει το όριο της στον L 2 (B ) κι έστω f αυτό. Τότε ορίζουµε τον µετασχηµατισµό Fourier µιας L 2 (B ) συνάρτησης ως εξής
38 2. Ανάλυση Fourier Ορισµός 2.2.4 Ο µετασχηµατισµός Fourier µιας L 2 (B ) συνάρτησης f ορίζεται να είναι το L 2 (B ) όριο f της ακολουθίας { fn } και συµβολίζεται µε f (ω) : lim n n n e iωx f (x)dx. (2.19) Αν και από την κατασκευή της f για µια L 2 (B ) συνάρτηση f αίνεται ότι η f εξαρτάται από την ακολουθία Cauchy {f n } που προσεγγίζει την f, στην πραγµατικότητα η f εξαρτάται µόνο από την συνάρτηση f, αφού αν f n g n 2 g n f 2 0, καθώς το n, έπεται ότι fn ĝ n 2 0, διότι fn ĝ n 2 2π f n g n 2 2π f n f 2 + 2π g n f 2 0, όταν το n. Συνεπώς, η f είναι καλά ορισµένη. Θεώρηµα 2.2.5 Για κάθε f, g L 2 (B ) ισχύει, Ειδικότερα ισχύει f L 2 (G ) 1 2π f L 2 (G ). f, g 1 2π f, ĝ. (2.20) Απόδειξη : Έστω h L 2 (B ) κι έστω {h n } τα «αποκόµµατα» της h τα οποία ορίζονται ως εξής : { h(x), x n h n (x) 0, διαφορετικά Προφανώς η h n είναι ακολουθία Cauchy και ανήκει στον L 1 (B ) L 2 (B ). Τότε ĥ 2 lim ĥ n 2 lim h n 2 h 2. Από την άλλη, από το Λήµµα 1.3.3 έπεται ότι f, g 1 ( f + g 2 4 2 f g 2 1 ( 2) + f ig 2 4i 2 f + ig 2 ) 2. Όµως (f + g), (f g), (f + ig), (f ig) L 2 (B ) και συνεπώς f, g 1 4 ( f + ĝ 2 2 f ĝ 2 2 ) + 1 4i ( f iĝ 2 2 f + iĝ 2 2 ) f, ĝ. Από τα παραπάνω λοιπόν έχουµε, ότι ο F επεκτείνεται σε όλο τον L 2 (B ) διατηώντας τη νόρµα του και ότι η Ταυτότητα του Parseval ικανοποιείται για κάθε f L 2 (B ). Πριν δείξουµε ότι ο F : L 2 (B ) L 2 (B ) είναι ισοµορφισµός και συνεπώς ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier F 1 υπάρχει, οι παρακάτω παρατηρήσεις α µας ανούν χρήσιµες. Λήµµα 2.2.6 Για κάθε f, g L 2 (B ) ισχύει f (x)ĝ(x)dx f (x)g(x)dx (2.21)
2.3 Σειρές Fourier 39 Απόδειξη : Η απόδειξη είναι µια απλή εφαρµογή του Θεωρήµατος Fubini. Για την συνέχεια της παραγράφου α χρησιµοποιήσουµε τον ακόλουθο συµβολισµό : f (x) : f ( x). (2.22) Η συνάρτηση f καλείται η «ανάκλαση» της f ως προς την αρχή. Λήµµα 2.2.7 Έστω f L 2 (B ). Τότε f (x) ( f )(x); ( f )(x) ( f ) (x) (2.23) Θεώρηµα 2.2.8 Ο τελεστής Fourier είναι ένα προς ένα κι επί απεικόνιση από τον L 2 (B ) στον εαυτό του. Με άλλα λόγια, σε κάθε g L 2 (B ) αντιστοιχεί µια και µόνο µια f L 2 (B ) τέτοια ώστε f g. ηλαδή η είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της g. f (x) : (F 1 g)(x) : ǧ(x) (2.24) Απόδειξη : Έστω g L 2 (B ). Τότε η g όπως αυτή ορίστηκε στην (2.22) είναι επίσης στον L 2 (B ). Θα δείξουµε πρώτα ότι η L 2 (B ) συνάρτηση f (x) : 1 2π (ĝ )(x) (2.25) ικανοποιεί την f g σχεδόν παντού. Πράγµατι, εφαρµόζοντας τις (2.23), το Λήµµα 2.2.6, τις (2.25) και (2.23) ξανά και την Ταυτότητα του Parseval διαδοχικά, έχουµε και συνεπώς f g σχεδόν παντού. 2.3 Σειρές Fourier g f 2 2 g 2 2 2Re g, f + f 2 2 g 2 2 2Re g, ( f ) + f 2 2 g 2 2 2Re ĝ, (f ) + f 2 2 g 2 2 2Re ĝ, f + f 2 2 g 2 1 2 2Re ĝ, 2π ĝ + f 2 2 1 2π ĝ 2 2 2 2π ĝ 2 2 + 2π f 2 2 1 2π ĝ 2 2 + 1 2π ĝ 2 2 0 Για κάθε p [1, ] συµβολίζουµε µε L 2 (0, 2π) τον χώρο Banach όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων για τις οποίες ισχύει f (x + 2π) f (x), σχεδόν παντού στο B κι επιπλέον 2π 0 f p dµ <. (2.26)
40 2. Ανάλυση Fourier Ορίζουµε [ 1 f L 2 (0,2π) 2π 2π 0 f (x) p dx ]1/p, (2.27) για p [1, ). Με C [0, 2π] α συµβολίζουµε τον υπόχωρο των συνεχών συναρτήσεων του L (0, 2π) που προφανώς ικανοποιούν την σχέση f (0) f (2π) για κάθε f C [0, 2π]. Στον L 2 (0, 2π) ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο f, g 1 2π f (x)g(x)dx, (2.28) 2π 0 µε f, g L 2 (0, 2π) οπότε και ο χώρος L 2 (0, 2π) γίνεται χώρος Hilbert. Οι Ανισότητες Hölder και Minkowski ισχύουν και στους χώρους L 2 (0, 2π) µε την τελευταία να γενικεύεται αντικαθιστώντας το άθροισµα µε ένα ορισµένο ολοκλήρωµα. Ακριβέστερα ισχύει ή ισοδύναµα ( 1 2π 2π 0 b a b a g(t, x) dt L 2 (0,2π) p g(t, x)dt dx ) 1 p b a b a ( 1 2π g(t, x) L2 (0,2π)dt, 2π 0 g(t, x) p dx ) 1 p dt. (2.29) Να παρατηρήσουµε, ότι σε αντίθεση µε τους χώρους L p (B ), για τους χώρους L p (0, 2π) ισχύει L p (0, 2π) L q (0, 2π), (2.30) αν p q, το οποίο προκύπτει εύκολα από την Ανισότητα Hölder. Ξεκινάµε µε ένα ορισµό. Ορισµός 2.3.1 Αν (c k ) k L l 2 (F ), ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier F ορίεται να είναι η σειρά Fourier που ορίζει η ακολουθία (c k ). ηλαδή (F (c k )) (x) : k c k e ikx. (2.31) Επιπλέον ορίζουµε τον αντίστροφο διακριτό µετασχηµατισµό Fourier F 1 µιας f L 2 (0, 2π) να είναι οι συντελεστές Fourier της f. ηλαδή ( ) F 1 f (k) : c k (f ) 1 2π f (x)e ikx dx, k F. (2.32) 2π 0 Πριν αναφερθούµε στα ητήµατα σύγκλισης της σειράς Fourier στην (2.31) και πριν δείξουµε ότι ο F 1 όπως ορίστηκε στην (2.31) αποτελεί έναν ισοµετρικό ισοµορφισµό από τον l 2 (F ) στον L 2 (0, 2π), οπότε και ο αντίστροφος δίνεται από την (2.32), α κάνουµε κάποιες χρήσιµες παρατηρήσεις για τις σειρές Fourier και
2.3 Σειρές Fourier 41 για τα µερικά αθροίσµατα τους. εδοµένου ότι e ix cos x + i sin x (2.33) sin x eix e ix 2i (2.34) cos x eix + e ix, 2 (2.35) η σειρά Fourier που ορίζει µια ακολουθία (c k ) k L l 2 (F ) γράφεται και ως εξής : µε και f (x) k a k c k + c k 1 π c k e ikx a o 2 + a k cos kx + b k sin kx (2.36) 2π b k i(c k c k ) 1 π 0 k1 k1 f (x) cos kxdx, k E {0} (2.37) 2π Οι σχέσεις (2.37) και (2.38) προκύπτουν εύκολα διότι a k c k + c k 1 2π 1 π 2π 0 2π 0 0 f (x) sin kxdx, k E. (2.38) f (x)e ikx dx + 1 2π f (x)e ikx dx 2π 0 f (x) cos kxdx. Η (2.38) προκύπτει µε όµοιο τρόπο. Από την άλλη για την (2.36) ισχύει f (x) a o 2 + a k cos kx + b k sin kx c o + k1 k1 a k e ikx + e ikx 2 k1 + k1 c o + 1 (c k + c k )(e ikx + e ikx ) + 1 2 2 k1 c o + c k e ikx + c k e ikx k1 k1 c o + c k e ikx + c k e ikx k1 k 1 e ikx e ikx b k 2i (c k c k )(e ikx e ikx ) k k1 c k e ikx. Από εδώ και στο εξής τα µερικά αθροίσµατα νι οστού α τα συµβολίζουµε µε S N f. ηλαδή ισχύει αθµού µιας σειράς Fourier N (S N f )(x) : c k e ikx a N o 2 + (a k cos kx + b k sin kx). (2.39) k N k1
42 2. Ανάλυση Fourier Ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο µεγάλης αξίας για την Ανάλυση Fourier αποτελεί το πολυώνυµο αθµού N D N (x) : 1 2 + N k1 cos kx sin (N + 1 2 )x 2 sin x, (2.40) 2 το οποίο ονοµάζεται και «Πυρήνας του Dirichlet». Μια πρώτη εφαρµογή του Πυήνα Dirichlet αθµού N είναι ότι η συνέλιξη του µε µια συνάρτηση f δίνει τα µερικά αθροίσµατα S N f της σειράς Fourier. Ακριβέστερα ισχύει διότι 1 π (D N f )(x) 1 π a o 2 + N 1 π k1 a o 2 + N k1 ( 1 π (S N f )(x) 1 π 2π 0 2π 0 2π 0 2π 0 f (x t)d N (t)dt, (2.41) ( 1 N ) f (t) 2 + cos k(x t) dt f (t) cos k(x t)dt k1 f (t) cos kt dt coskx + 1 π 2π a N o 2 + (a k cos kx + b k sin kx) (S N f )(x). k1 0 ) f (t) sin kt dt sin kx Στην παραπάνω διαδικασία, στην δεύτερη ισότητα κάναµε χρήση της ταυτότητας cos (a b) cos a cos b + sin a sin b. Το ολοκλήρωµα έβαια στην (2.41) έχει νόηµα όταν f L 1 (0, 2π), αφού τότε 2π 2π f (x t)d N (t)dt max D N(t) f (t) dt. 0 t [0,2π] 0 Θεώρηµα 2.3.2 Έστω f L 2 (0, 2π). Τότε η ακολουθία {c k (f )} k L των συντελεστών Fourier της f είναι στον l 2 (F ) και ικανοποιεί την Ανισότητα Bessel k c k (f ) 2 f 2 L 2 (0,2π) (2.42) Με άλλα λόγια, ο F 1 όπως ορίστηκε στην (2.32) απεικονίζει τον L 2 (0, 2π) µέσα στον l 2 (F ). Απόδειξη : Αν S N (f ) είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier που ορίζουν οι συντελεστές Fourier c k (f ) της f, ισχύει 0 f S N (f ) 2 L 2 (0,2π) f 2 L 2 (0,2π) 2Re f, S N(f ) + S N (f ) 2 L 2 (0,2π). (2.43) Όµως f, S N (f ) 1 2π 2π 0 f (x) N c k (f )e ikx dx k N
2.3 Σειρές Fourier 43 και 1 2π N f (x) c k (f )e ikx dx 2π 0 k N 1 2π N c k (f )f (x)e ikx dx 2π 0 k N N c k (f ) 1 2π f (x)e ikx dx 2π k N 0 N k N c k (f ) 2 (2.44) S N (f ) 2 L 2 (0,2π) 1 2π N c k (f )e 2dx ikx 2π 0 k N 1 2π N n c k (f )e ikx c m (f )e imx dx 2π 0 k N k N 1 2π N c k (f )c m (f )e ikx e imx dx 2π 0 k,m N N c k (f )c m (f ) 1 2π e ikx e imx dx 2π k,m N 0 N c k (f )c k (f ) 1 2π N dx c k (f ) 2. 2π k N 0 k N (2.45) Από τις (2.43), (2.44), (2.45), έπεται ότι N k N c k (f ) 2 f 2 L 2 (0,2π), για κάθε n E και λαµβάνοντας το n, έπεται η (2.42). Θεώρηµα 2.3.3 (Riesz-Fisher) Έστω (c k ) k L l 2 (F ). Τότε υπάρχει συνάρτηση f L 2 (0, 2π) τέτοια ώστε c k c k (f ) για κάθε k F κι επιπλέον να ισχύει η Ταυτότητα του Parseval c k 2 f 2 L 2 (0,2π). (2.46) k Συνεπώς ο F απεικονίζει τον l 2 (F των στοιχείων του l 2 (F ). Απόδειξη : Έστω S N (x) ) µέσα στον L 2 (0, 2π) διατηρώντας τις νόρµες N k N c k e ikx, µε (c k ) l 2 (F ). Τώρα η ακολουθία { N k N c k 2 } είναι ακολουθία Cauchy στο B, διότι (c k ) l 2 (F ). Όµως N M S N S M L 2 (0,2π) c k e ikx c k e ikx k N k M L 2 (0,2π)
44 2. Ανάλυση Fourier M N c k e ikx + c k e ikx L 2 (0,2π) L 2 (0,2π) N ( M k N ) 1 ( 2 N c k 2 + km M c k 2 ) 1 2 0, καθώς n, m, οπότε και η ακολουθία {S N } N D L 2 (0, 2π) είναι ακολουθία Cauchy κι έστω f L 2 (0, 2π) το όριο της. Τότε από την Ανισότητα Bessel ισχύει N k N c k (f ) c k 2 f S N 2 L 2 (0,2π) F και άρα παίρνοντας n, έπεται ότι c k c k (f ) για κάθε k. Λόγω των (2.44) και (2.45) έπεται το οποίο δίνει f S N 2 L 2 (0,2π) f 2 2Re f, S N + S N 2 f 2 f 2 L 2 (0,2π) k N k N c k 2 c k 2, καθώς το n Έστω τώρα f L 2 (0, 2π) και (S N f )(x) k c k(f )e ikx. Ορίζουµε τότε τον Cesaro νι οστό µέσο όρο των µερικών αθροισµάτων {S N } να είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο σ N f : S 0f + + S N f. (2.47) N + 1 Κατ ανάλογο τρόπο µε τον Πυρήνα Dirichlet όπου η συνέλιξη του µε µια f L 2 (0, 2π) δίνει το µερικό άθροισµα S N f της σειράς Fourier k c k(f )e ikx έπεται ότι το σ N f είναι η συνέλιξη της f µε το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο K N (x) : D 0(x) + + D N (x) N + 1 το οποίο ονοµάζεται Πυρήνας Fejer. ηλαδή 1 sin 2 ( N+1 2 x) N + 1 2 sin 2 x 2 (2.48) (σ N f )(x) : 1 π 2π 0 f (x t)k N (t)dt. (2.49) Για να δείξουµε το παρακάτω Θεώρηµα είναι χρήσιµο να εισάγουµε την έννοια του «L 2 (0, 2π) modulus of continuity» : ( 1/p 1 2π sup f (x + h) f (x) dx) p, για p [1, ) 2π 0 0<h<n ω p (f ; n) : και f L p (0, 2π) sup max x f (x + h) f (x), για p 0<h<n και f C [0, 2π] (2.50)
2.3 Σειρές Fourier 45 Να παρατηρήσουµε ότι οι ω p (f ; n) και ω (f ; n) : ω(f ; n) είναι αύξουσες συναρτήσεις του n και ότι ω p (f ; n) 0, καθώς το n 0 +, f L p (0, 2π) ω(f ; n) 0, καθώς το n 0 +, f C [0, 2π] (2.51) Θεώρηµα 2.3.4 (Weierstraß) Έστω f L 2 (0, 2π). Τότε lim n f σ Nf L 2 (0,2π) 0. (2.52) Με άλλα λόγια τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα είναι πυκνά στον L 2 (0, 2π). Απόδειξη : Αρχικά παρατηρούµε ότι διότι 1 π 2π 0 1 π(π + 1) K N (x)dx 2π ( 1 2 + 1 π 0 2π ( N + 1 1 π(n + 1) 0 2 1 ( N + 1 π(n + 1) 2 + + N k1 2π 0 2π 0 K N (t)dt 1, (2.53) ( ) ( 1 1 2 + cos x + + + cos kx + k1 2π 2 2π + cos xdx + 0 k1 ) cos kxdx 1. N )) 2 + cos kx dx k1 2 cos kx + + 2π 0 N ) cos kx dx k1 cos kxdx Τώρα χρησιµοποιώντας την (2.29) έχουµε ) 1/2 ( 1 2π f σ N f L2 (0,2π) f σ N f 2 dx 2π 0 ( 1 2π f (x) 1 2π ) 1/2 f (x t)k N (t)dt 2 dx 2π 0 π 0 ( 1 2π f (x) 1 2π K N (t)dt 1 2π f (x t)k N (t)dt 2 dx 2π 0 π 0 π 0 ( 1 2π 1 2π ) 1/2 [f (x) f (x t)]k N (t)dt 2 dx 2π 0 π 0 ( 2π 1 2π 2 1/2 1 0 2π 0 π [f (x) f (x t)]k N(t) dx) dt 1 2π 1 2π f (x) f (x t) 2 1 sin 2 ( N+1 2 t) 2 π 2π N + 1 2 sin 2 dx (t/2) 0 0 )1/2 1/2 dt
46 2. Ανάλυση Fourier 1 π 1 π π 2 2π 0 π π 1 2π(N + 1) 1 π(n + 1) π N + 1 sin 2 ( N+1 2 t) 2(N + 1) sin 2 (t/2) sin 2 ( N+1 2 t) 2(N + 1) sin 2 (t/2) π 0 N+1 2 π 0 π π π 0 ( 1 2π 1/2 f (x) f (x t) dx) 2 dt 2π 0 2π 1/2 f (x) f (x t) dx) 2 dt 2π 0 ( 1 sin 2 ( N+1 2 t) sin 2 (t/2) ω 2(f ; t )dt sin 2 ( N+1 2 t) t 2 /4 ω 2 (f ; t)dt sin 2 ( N+1 2 t) t 2 ω 2 (f ; t)dt sin 2 u u 2 ω 2 ( f, Επιλέγουµε M > 0 τέτοιο ώστε Επιπλέον παρατηρούµε ότι 2u ) du. (2.54) N + 1 du π f L 2 (0,2π) < ε. (2.55) M u2 ω 2 (f ; ) 2 f L2 (0,2π). (2.56) Συνεπώς η (2.54) για N+1 2 π M και λόγω των (2.55) και (2.56) γίνεται f σ N f L2 (0,2π) π 2 0 π M sin 2 u ( 2u 2 0 u 2 ω 2 f, N + 1 π M sin 2 u ( 2u 2 0 u 2 ω 2 f, N + 1 ( ) M π 2 ω 2 2M f ; N + 1 ( f ; < ε + Mπ 2 ω 2 0 2M N + 1 N+1 2 π ) du + π 2 ) du + π 2 sin 2 u u 2 ω 2 ( f, N+1 2 π M N+1 2 π M du du + π f L2 (0,2π) M u 2 ) ε, 2u ) du N + 1 sin 2 u u 2 ω 2 ( f, 2u ) du N + 1 1 u 2 2 f L 2 (0,2π)du καθώς το n Σαν συνέπεια του Θεωρήµατος Weierstraß έχουµε το παρακάτω Θεώρηµα από το οποίο αίνεται ότι η Ταυτότητα του Parseval επεκτείνεται σε όλο τον L 2 (0, 2π) αφού όπως α δούµε ο F : l 2 (F ) L 2 (0, 2π) είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός επί του L 2 (0, 2π). Θεώρηµα 2.3.5 Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier F : l 2 (F ) L 2 (0, 2π)