Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65

Reţele Petri şi aplicaţii Curs 12 RPA (2017) Curs 12 1 / 65

Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 2 / 65

Modelare utilizând HCPN Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 3 / 65

Modelare utilizând HCPN Exemplu Sistem management al resurselor, într-un WFMS Perspectiva resurselor în fluxuri de lucru: descrie organizarea resurselor (utilizatori/resurse materiale) şi modul în care acestea sunt asignate pentru execuţia efectivă a acţiunilor Acţiune (task) posibilă pentru un anumit caz: work item Work-itemurile prelucrate de către utilizatori (resurse umane) RPA (2017) Curs 12 4 / 65

Modelare utilizând HCPN Exemplu Sistemul de management oferă utilizatorilor autorizaţi work-itemurile care sunt posibile Utilizatorii pot selecta work-itemurile pe care doresc să le execute Work-itemul va fi asignat unui singur utilizator RPA (2017) Curs 12 5 / 65

Modelare utilizând HCPN Tipuri de date utilizate Tipuri de date: Case - identifică un caz Task - numele unei acţiuni în workflow User - utilizatori Users = list User (lista utilizatorilor) Map = User Task (regulă de asignare: (u,t) Map utilizatorul u poate executa acţiunea t ) RPA (2017) Curs 12 6 / 65

Modelare utilizând HCPN Tipuri de date utilizate Tipuri de date: WI = Task Case (work item) LWI = list WI (lista work item) UWI = User WI LMap = list Map (lista regulilor de asignare a taskurilor către utilizatori) RPA (2017) Curs 12 7 / 65

Modelare utilizând HCPN Variabile şi funcţii Variabile: Funcţii: var wi:wi; var lut: LMap; var u:user; offer(wi : WI,lut : LMap) : UWI MS (dacă wi = (t,i),multisetul returnat conţine perechile (u, wi) pentru orice (u, t) din lista lut) add(wi : WI,lwi : LWI) : LWI inserează in lista lwi elementul wi del(wi : WI,lwi : LWI) : LWI şterge din lista lwi elementul wi RPA (2017) Curs 12 8 / 65

Modelare utilizând HCPN Modulul principal RPA (2017) Curs 12 9 / 65

Modelare utilizând HCPN Modulul de distribuţie a a work-itemurilor către utilizatori RPA (2017) Curs 12 10 / 65

Modelare utilizând HCPN Modulul utilizatorilor RPA (2017) Curs 12 11 / 65

Modelare utilizând HCPN Modulul de conectare în sistem RPA (2017) Curs 12 12 / 65

Modelare utilizând HCPN RPA (2017) Curs 12 13 / 65

Modelare utilizând HCPN RPA (2017) Curs 12 14 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 15 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Reţele Petri colorate cu durate de timp Dacă tranziţia t se produce la momentul global τ, punctele output create de t vor avea valoarea τ Se poate specifica prin expresia de pe arcul output al tranziţiei o valoare adiţională pentru puncte r punctele au valoarea τ + r, ceasul global are valoarea τ = se simulează faptul că tranziţia t are durata cel puţin r RPA (2017) Curs 12 16 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Reţele Petri colorate cu durate de timp RPA (2017) Curs 12 17 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp Definiţie 1 Un multiset cu timp tm peste o mulţime S este o funcţie: tm : S R N astfel încât suma: tm(s) = r Rtm(s,r) este finită, pentru orice s S. tm(s) reprezintă numărul de apariţii ale elementului s în multisetul tm. Fie R = R, S = {a,b,c,d}. tm(a,1.1) = 2, tm(a,1.2) = 1, tm(b,1.2) = 3, tm(b,2) = 1, tm(c,0) = 2, tm(x,y) = 0, în rest. tm(a) = 3, tm(b) = 4, tm(c) = 2, tm(d) = 0. RPA (2017) Curs 12 18 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp Lista: tm[s] = [r 1,r 2...,r tm(s) ] conţine valorile de timp r pentru care tm(s,r) 0. r apare în listă de tm(s,r) ori. r i r i+1, i 1...tm(s) 1. tm(a,1.1) = 2, tm(a,1.2) = 1, tm(b,1.2) = 3, tm(b,2) = 1, tm(c,0) = 2 tm(a) = 3, tm(b) = 4, tm(c) = 2, tm(d) = 0. tm[a] = [1.1,1.1,1.2], tm[b] = [1.2,1.2,1.2,2], tm[c] = [0,0]. RPA (2017) Curs 12 19 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp Multisetul cu timp tm se poate reprezenta ca o sumă formală: tm = s S tm(s) s@tm[s] tm(a,1.1) = 2, tm(a,1.2) = 1, tm(b,1.2) = 3, tm(b,2) = 1, tm(c,0) = 2 tm = 3 a@[1.1,1.1,1.2]+4 b@[1.2,1.2,1.2,2]+1 c@[0,0]. RPA (2017) Curs 12 20 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp S TMS este mulţimea tuturor multiseturilor cu timp peste mulţimea S {tm(s) s S} reprezintă coeficienţii multisetului tm, tm(s) este coeficientul lui s Un element s S aparţine multisetului tm (notat cu s tm) dacă tm(s) 0. Orice multiset cu timp tm S TMS determină un multiset fără timp tm U S MS : tm U = tm(s) s s S tm = 3 a@[1.1,1.1,1.2]+4 b@[1.2,1.2,1.2,2]+1 c@[0,0] = tm U = 3 a+4 b+1 c RPA (2017) Curs 12 21 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp - operaţii Definiţie 2 Fie tm 1 şi tm 2 multiseturi cu timp, tm 1,tm 2 S TMS. tm 1 +tm 2 = (tm 1 (s)+tm 2 (s)) s@(tm 1 [s]+tm 2 [s]). s S tm 1 = 3 a@[20,30,40]+1 b@[30]+1 c@[10] tm 2 = 1 a@[35]+2 b@[10,40] tm 1 +tm 2 = 4 a@[20,30,35,40]+3 b@[10,30,40]+1 c@[10] RPA (2017) Curs 12 22 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp - operaţii Fie a = [a 1,a 2,...,a m ] şi b = [b 1,b 2,...,b n ] două liste ordonate peste R. a b ddacă m n şi a i b i, i 1..m. Dacă a b, atunci b a este lista de lungime n m obţinută: Se elimină din b cea mai mare valoare de timp care este mai mică decât a 1. Din lista rămasă se elimină cea mai mare valoare de timp care este mai mică decât a 2, samd.. Se elimină cea mai mare valoare de timp care este mai mică decât a m. a = [5,23,34,55,60] b = [1,20,22,30,34,55] b a : [20,22,30,34,55] [20,30,34,55] [20,30,55] [20,30] [20] RPA (2017) Curs 12 23 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp - operaţii Definiţie 3 Fie tm 1 şi tm 2 multiseturi cu timp, tm 1,tm 2 S TMS. 1 tm 1 tm 2 ddacă tm 1 [s] tm 2 [s], s S. 2 Dacă tm 1 tm 2, atunci: tm 2 tm 1 = s S (tm 2 (s) tm 1 (s)) s@(tm 2 [s] tm 1 [s]). tm 1 [s] tm 2 [s] tm 1 (s) tm 2 (s), deci tm 1 tm 2 tm 1U tm 2U RPA (2017) Curs 12 24 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp - operaţii tm 1 = 2 a@[1,3]+2 b[5,6] tm 2 = 3 a@[1,1,2]+3 b@[3,4,5] tm 1 [a] = [1,3] [1,1,2] = tm 2 [a] tm 1 [b] = [5,6] [3,4,5] = tm 2 [b] tm 2 tm 1 = 1 a@[1]+1 b@[3] RPA (2017) Curs 12 25 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp - operaţii Fie l = [l 1,l 2,...,l n ]. Atunci l r = [l 1 +r,l 2 +r,...,l n +r]. Fie tm S TMS şi r R. tm r S TMS : tm r = tm(s) s@tm[s] r, s S unde tm[s] r = [r 1 +r,...,r tm(s) +r]. Fie m S MS şi r R. Fie m r S TMS : m r = s Sm(s) s@[r,r,...,r] unde lista [r,r,...,r] are lungimea m(s), pentru toţi s S. RPA (2017) Curs 12 26 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Multiseturi cu timp - operaţii Dacă tm S TMS, tm r S TMS se mai notează tm@+r Dacă m S TM, m r S TMS se mai notează m@+r Fie rm = 2 a@[20,30]+3 b@[10,20]. rm 4 = rm@+4 = 2 a@[24,34]+3 b@[14,24] Fie m = 3 a+1 b. m 10 = m@+10 = 3 a[10,10,10]+1 b@[10] RPA (2017) Curs 12 27 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Reţele Petri Colorate cu timp-definiţie Definiţie 4 O reţea Petri colorată cu timp este un tuplu TCPN = (CPN,R,r 0 ) unde: 1 CPN este o reţea Petri colorată astfel încât E(a) şi I(p) au ca tip C(p(a)) MS sau C(p(a)) TMS, respectiv C(p) MS sau C(p) TMS. 2 R este o mulţime de valori de timp, R R, R închisă la operaţia + şi 0 R. 3 r 0 R este timpul de start. RPA (2017) Curs 12 28 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Marcări în TCPN Definiţie 5 O marcare M este o funcţie M : P p P C(p) TMS (astfel încât M(p) C(p) TMS ). Marcarea iniţială M 0 : M 0 (p) = I(p) r0, p P. O stare este o pereche (M,r), unde M este o marcare şi r R este o valoare de timp. Starea iniţială este perechea (M 0,r 0 ). Mulţimea tuturor marcărilor: M, mulţimea tuturor stărilor: S. RPA (2017) Curs 12 29 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Marcări în TCPN Fie S = (M,r) o stare. S U = M U, M U : P p P C(p) MS, unde M U (p) = M(p) U (marcarea fără timp determinată de starea S). Dacă X S, X U este mulţimea marcărilor fără timp determinate de stările din X: X U = {M : P p P C(p) MS S X : M = S U }. RPA (2017) Curs 12 30 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Regula de producere a tranziţiilor interpretate Definiţie 6 O tranziţie interpretată (t,b) este posibilă într-o stare (M 1,r 1 ) la momentul r 2 (şi notăm (M 1,r 1 )[(t,b),r 2 ), dacă au loc următoarele condiţii: 1 p P : E(p,t) r2 M 1 (p) 2 r 1 r 2 3 r 2 este cel mai mic element al lui R pentru care există o tranziţie interpretată care îndeplineşte condiţiile (1) şi (2) RPA (2017) Curs 12 31 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Regula de producere a tranziţiilor interpretate Definiţie 7 Fie tranziţia interpretată (t,b), posibilă în starea (M 1,r 1 ) la momentul r 2. (t,b) se poate produce, schimbând starea (M 1,r 1 ) în (M 2,r 2 ), unde: M 2 (p) = (M 1 (p) E(p,t) r2 )+E(t,p) r2, p P Se spune că starea (M 2,r 2 ) este direct accesibilă din starea (M 1,r 1 ) prin apariţia tranziţiei interpretate (t,b) la momentul r 2, şi se notează: (M 1,r 1 )[(t,b),r 2 (M 2,r 2 ). RPA (2017) Curs 12 32 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp T(r0): 0 3 P1@[2,5,10] + 2 P2@[5,6] p1 2 x p5 4 e@[0,0,0,0] e t1 (take res) 2 x@+10 x@+(if x=p1 then 5 else 10) t4 x p4 e x p2 2 x x@+(if x=p1 then 5 else 10) t2 ( task 1) x@+1 p3 x t3 (task 2) Nici un pas nu este posibil la momentul r 0 = 0 în starea S 0 = (M 0,r 0 ) Y = (t 1,< x = P 1 >) este posibil la momentul r 1 = 5 în starea S 0 : (2 x < x = P 1 >) 5 = 2 P 1 @[5,5] 3 P 1 @[2,5,10] + 2 P 2 @[5,6] e 5 = 1 e@[5] 4 e@[0,0,0,0] (M 0,r 0 )[(Y,r 1 ) (M 1,r 1 ) Y = (t 1,< x = P 1 >) nu este posibil la momentul r 1 = 3 în starea S 0 RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp T(r1): 5 p1 1 P1@[10] + 2 P2@[5,6] 3 e@[0,0,0] p5 x@+(if x=p1 then 5 else 10) t4 x p4 e x e 2 x t1 (take res) 2 x@+10 p2 2 P1@[15,15] 2 x x@+(if x=p1 then 5 else 10) t2 ( task 1) x@+1 p3 x t3 (task 2) ((2 x@ + 10) < x = P 1 >) 5 = 2 P 1 @[10,10] 5 = 2 P 1 @[15,15] Nici un pas nu este posibil la momentul r 2 = r 1 = 5 Y = (t 1,< x = P 2 >) este posibil la momentul r 2 = 6 RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp T(r2): 6 p1 1 P1@[10] 2 e@[0,0] p5 x@+(if x=p1 then 5 else 10) t4 x p4 e x e 2 x t1 (take res) 2 x@+10 p2 2 P1@[15,15]+2 P2@[16,16] 2 x x@+(if x=p1 then 5 else 10) t2 ( task 1) x@+1 p3 x t3 (task 2) Nici un pas nu este posibil la momentul r 3 = r 2 = 6 Y = (t 2,< x = P 1 >) este posibil la momentul r 3 = 15 RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp T(r3): 15 2 P1@[10,20] p1 2 x 3 e@[0,0,15] e p5 e x@+(if x=p1 then 5 else 10) t4 x 1 P1@[16] t1 (take res) 2 x@+10 p2 2 P2@[16,16] 2 x x@+(if x=p1 then 5 else 10) t2 ( task 1) x@+1 p3 x p4 x t3 (task 2) Y = (t 3,< x = P 1 >) este posibil la momentul r 4 = 16 RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp T(r4): 16 2 P1@[10,20] p1 2 x 3 e@[0,0,15] e p5 e x@+(if x=p1 then 5 else 10) t4 x 1 P1@[16] x p4 t1 (take res) 2 x@+10 p2 2 P2@[16,16] 2 x x@+(if x=p1 then 5 else 10) t2 ( task 1) x@+1 p3 x t3 (task 2) Y = (t 4,< x = P 1 >) este posibil la momentul r 4 = 16 RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Y = (t 2,< x = P 2 >) este posibil la momentul r 4 = 16 RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp RPA (2017) Curs 12 33 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Secvenţe de apariţie în TCPN Definiţie 8 Fie TCPN o reţea Petri colorată, cu timp. O secvenţă de apariţie finită este o secvenţă de stări, paşi şi valori de timp: S 1 [Y 1,r 2 S 2 [Y 2,r 3 S 3...S n [Y n,r n+1 S n+1, unde n N, S i [Y i,r i+1 S i+1, i 1..n. n reprezintă lunginea secvenţei. O secvenţă de apariţie infinită este o secvenţă de stări, paşi şi valori de timp: S 1 [Y 1,r 2 S 2 [Y 2,r 3 S 3... astfel încât S i [Y i,r i+1 S i+1, i N. Secvenţa de apariţie are lungime infinită. RPA (2017) Curs 12 34 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Secvenţe de apariţie în TCPN Mulţimea tuturor secvenţelor de apariţie finite: OSF, mulţimea tuturor secvenţelor de apariţie infinite: OSI, mulţimea tuturor secvenţelor de apariţie: OS = OSF OSI. O stare S este accesibilă dintr-o stare S dacă există o secvenţă finită de apariţie σ OSF, astfel încât S[σ S. O stare S este accesibilă, dacă este accesibilă din starea iniţială S 0. Mulţimea stărilor accesibile dintr-o stare S: [S. RPA (2017) Curs 12 35 / 65

Reţele Petri colorate cu durate de timp Relaţia dintre TCPN şi CPN Definiţie 9 Fie TCPN = (CPN,R,r 0 ) o reţea Petri colorată cu timp. Reţeaua Petri colorată fără timp determinată de TCPN, UCPN, este reţeaua obţinută din CPN prin înlocuirea fiecărei expresii cu timp E(a) cu E(a) U şi a fiecărei expresii de iniţializare cu timp I(p) cu I(p) U. Fiecare secvenţă de apariţie finită din TCPN: S 1 [Y 1,r 2 S 2 [Y 2,r 3 S 3...S n [Y n,r n+1 S n+1 determină o secvenţă de apariţie finită în UCPN: (S 1 ) U [Y 1 (S 2 ) U [Y 2 (S 3 ) U...(S n ) U [Y n (S n+1 ) U. O proprietate similară are loc pentru secvenţele de apariţie infinite. RPA (2017) Curs 12 36 / 65

Reţele Petri imbricate Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 37 / 65

Reţele Petri imbricate Reţele Petri imbricate reţele Petri pe niveluri; punctele din locaţii: puncte atomice sau puncte - reţea; o reţea de nivel înalt, numită reţea sistem si o mulţime de reţele obiect; în reţeaua sistem punctele pot fi atât puncte atomice cât şi puncte-reţea (reţele obiect cu o anumită marcare); punctele în reţelele obiect pot fi doar puncte atomice; există mecanisme de sincronizare între tranziţiile din reţelele obiect şi cele din reţeaua sistem RPA (2017) Curs 12 38 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu Proces de producţie P: se produce o piesă pentru care sunt necesare N componente de acelaşi tip; P instanţiază două subprocese P1 şi P2; P 1 produce câte o componentă. Pentru producerea componentei are nevoie de o resursă pe care i-o furnizează P2; După ce termină de produs piesa, P dezactivează cele două subprocese; RPA (2017) Curs 12 39 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu RPA (2017) Curs 12 40 / 65

Reţele Petri imbricate Notaţii Var - mulţime de variabile. Dacă v Var, Type(v) este tipul variabilei v; Con - mulţime de constante; A = Var Con; Mulţimea expresiilor peste A: Expr(A) = A MS ; Dacă E Expr(A) este o expresie, V ar(e): mulţimea variabilelor care apar în expresia E. RPA (2017) Curs 12 42 / 65

Reţele Petri imbricate Mulţimi de etichete L v - mulţimea etichetelor pentru sincronizare verticală. Pentru orice l L v, există l L v. Dacă l 1,l 2 L v, l 1 l 2 atunci l 1 l 2. l = def l. L h - mulţimea etichetelor pentru sincronizare orizontală L h L v = RPA (2017) Curs 12 43 / 65

Reţele Petri imbricate Definiţie Definiţie 10 O reţea Petri imbricată este un tuplu: NPN = (A,L,SN,(EN 1,m 1 0 ),(EN 2,m 2 0 ),...,(EN k,m k 0 ),Λ) astfel încât : 1 A = Var Con este mulţimea de variabile şi constante 2 L = L v L h este o mulţime de etichete. 3 (EN 1,m 1 0 ), (EN 2,m 2 0 ),..., (EN k,m k 0 ) sunt reţele Petri marcate, numite reţele obiect. RPA (2017) Curs 12 44 / 65

Reţele Petri imbricate Definiţie 4. SN = (N,U,W,M 0 ) este o reţea Petri de nivel înalt, numită reţeaua sistem a NPN, unde N = (P,T,F) este o reţea Petri. U = (Tk,I) este un model, unde: Tk = Tk atom Tk net, Tk atom este mulţimea punctelor atomice în SN şi Tk net = {(EN,m) i = 1,...,k : EN = EN i, m - marcare in EN i} mulţimea punctelor reţea. Funcţia de interpretare I : Con Tk. W : F Expr(A) astfel încât : nu există c Con într-o expresie de pe un arc input cu I(c) Tk net; orice variabilă are o singură apariţie într-o expresie de pe un arc input; Pentru două expresii W(p 1,t), W(p 2,t), Var(W(p 1,t)) Var(W(p 2,t)) =. M 0 : P Tk MS este marcarea iniţială a reţelei. RPA (2017) Curs 12 45 / 65

Reţele Petri imbricate Definiţie 5. Λ este o funcţie parţială care asignează etichete din L tranziţiilor din SN şi din reţelele obiect EN i (i {1,...,k}): dacă t este o tranziţie etichetată din SN, atunci Λ(t) = l L v dacă o tranziţie t dintr-o reţea obiect EN i (i {1,...,k}) este etichetată şi Λ(t) = l L h, atunci nu există o altă tranziţie t în EN i cu Λ(t ) = l. RPA (2017) Curs 12 46 / 65

Reţele Petri imbricate Definiţie Restricţii referitoare la expresiile de pe arce: RPA (2017) Curs 12 47 / 65

Reţele Petri imbricate Con = {C1,C2,1}, Var = {x,y}. L v = {p,p}, L h = {r} Tk = {(EN 1,m) m marcare EN 1 } {(EN 2,m) m marcare EN 2 } { } I(C1) = (EN 1,m 01 ), I(C2) = (EN 2,m 02 ), I(1) = RPA (2017) Curs 12 48 / 65

Reţele Petri imbricate Notaţii NPN = (A,L,SN,(EN 1,m 1 0 ),(EN 2,m 2 0 ),...,(EN k,m k 0 ),Λ) Dacă EN reţea obiect, tipul EN = {(EN,m) m marcare a lui EN} Dacă x Var, Type(x) {EN 1,EN 2,...EN k } Dacă t este o tranziţie în SN, Var(t) = {Var(W(p,t)) p t} {Var(W(t,p)) p t } O asignare este o funcţie b : Var Tk net cu b(v) Type(v). Dacă Type(v) = EN i, atunci b(v) = (EN i,m), m marcare a reţelei obiect EN i. Dacă v Var({W(p,t) p t} şi b(v) = (EN i,m) Tk net, spunem că reţeaua obiect EN i este implicată în producerea lui t cu asignarea b. RPA (2017) Curs 12 49 / 65

Reţele Petri imbricate Notaţii NPN = (A,L,SN,(EN 1,m 1 0 ),(EN 2,m 2 0 ),...,(EN k,m k 0 ),Λ) O asignare corespunzătoare unei tranziţii t in SN este o asignare b : Var(t) Tk net. Dacă E Expr(A) este o expresie şi b o asignare, atunci E este expresia E evaluată în asignarea b: E se obţine înlocuind fiecare x Var(E) cu b(v) şi fiecare constantă C cu I(C). E Tk MS O marcare a reţelei NPN este o funcţie M care asociază fiecărei locaţii din SN un multiset de elemente din Tk: M(p) Tk MS. RPA (2017) Curs 12 50 / 65

Reţele Petri imbricate Comportamentul NPN Definiţie 11 Fie NPN o reţea pe niveluri. O tranziţie t din SN este posibilă la marcarea M cu asignarea b ddacă: p t : W(p,t) M(p) Producerea tranziţiei t cu asignarea b modifică marcarea reţelei în M, unde: p P : M (p) = M(p) W(p,t) +W(t,p) RPA (2017) Curs 12 51 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu t 1 şi b(x) = (EN 1,m 2 ), b(y) = (EN 2,m) W(P 1,t 1 ) = 1 x = 1 (EN 1,m 2 ) M(P 1 ) = 1 (EN 1,m 1 )+1 (EN 1,m 2 ) W(P 2,t 1 ) = 2 1 M(P 2 ) = 3 1 W(P 3,t 1 ) = 1 y = 1 (EN 2,m) M(P 3 ) = 1 (EN 2,m) RPA (2017) Curs 12 52 / 65

Reţele Petri imbricate Comportamentul NPN Definiţie 12 (Pas de transport) Fie NPN o reţea Petri pe niveluri, M o marcarea a sa şi t o tranziţie neetichetată din SN (i.e. Λ(t) nedefinit). Dacă t este posibilă la marcarea M cu o asignare b, atunci t se numeşte pas de transport posibil la M în NPN şi se notează M[t[b] M. Un pas de transport nu afectează marcările reţelelor obiect, modifică doar marcarea reţelei SN. RPA (2017) Curs 12 54 / 65

Reţele Petri imbricate Comportamentul NPN Definiţie 13 (Pas obiect-autonom) Fie M o marcare a NPN, p P o locaţie în SN. Fie (EN,m) un punct-reţea din M(p). Fie t o tranziţie din EN posibilă în m (conform cu regula de producere a tranziţiilor din reţele Petri clasice) astfel încât m[t m şi Λ(t) nu este definită. Atunci (;t) este un pas obiect-autonom posibil la marcarea M. Marcarea rezultată prin producerea pasului, M, este obţinută din M prin înlocuirea punctului-reţea (EN,m) din p cu punctul-reţea (EN,m ). Se notează M[(;t) M. RPA (2017) Curs 12 55 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu M 1 : Y = (;v 1 ) pas obiect-autonom în M 1 RPA (2017) Curs 12 56 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu M 2 : RPA (2017) Curs 12 56 / 65

Reţele Petri imbricate Comportamentul NPN Definiţie 14 (Pas de sincronizare orizontală) Fie M o marcare a NPN, p P o locaţie în SN şi α 1,α 2,...,α n M(p) punctele reţea din M(p). Fie t 1,...t s toate tranziţiile din aceste reţele care au aceeaşi etichetă l L h : Λ(t 1) = Λ(t 2) =... = Λ(t s) = l. Dacă fiecare tranziţie t j (j {1,...,s}) este posibilă în punctul-reţea α kj = (EN j,m j) ({k 1,...k s} {1,...,n}) din care face parte, şi m j[t j m j, atunci:. (t 1,...,t s) se numeşte pas de sincronizare orizontală. Marcarea rezultată, M, se obţine din M prin înlocuirea fiecărui punct-reţea α kj = (EN j,m j) din p cu un nou punct-reţea α k j = (EN j,m j), j {1,...,s}. Se notează M[(t 1,...,t s) M. RPA (2017) Curs 12 57 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu M 2 : Y = (u 1,v 2 ) pas de sincronizare orizontală posibil în M 2 RPA (2017) Curs 12 58 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu M 2 : M 2 [(u 1,v 2 ) RPA (2017) Curs 12 59 / 65

Reţele Petri imbricate Comportamentul NPN Definiţie 15 (Pas de sincronizare verticală) Fie t o tranziţie din SN, Λ(t) = l L v, t posibil în M cu asignarea b şi M[t[b] M. Fie α 1,α 2,...,α k Tk net toate punctele-reţea implicate în producerea lui t (α 1 = (EN 1,m 1),...,α k = (EN k,m k ))). Fie t i1,...,t in ({i 1,...,i n} {1,...,k}) toate tranziţiile care apar în aceste reţele cu proprietatea că Λ(t ij ) = l L v. Dacă m ij [t ij m i j (j {1,...,k}), atunci: Tranziţia t din SN împreună cu tranziţiile t i1,...,t in din punctele-reţea α i1,...,α in se numeşte pas de sincronizare verticală. Marcarea rezultată prin producerea pasului este M : M (p) = (M(p) W(p,t) )+W (t,p) , pentru orice p din SN, unde W (t,p) este multisetul obţinut din W(t,p) prin înlocuirea punctului-reţea α ij = (EN ij,m ij ) cu α i j = (EN ij,m i j ), pentru toţi 1 j n. Se notează M[(t[b];t i1,...,t in ) M. RPA (2017) Curs 12 60 / 65

Reţele Petri imbricate Exemplu M 3 : t 2 şi b(x) = (EN 1,m 1 ), b(y) = (EN 2,m ) puncte reţea implicate în producerea lui t 2 : (EN 1,m 1 ), (EN 2,m ) Λ(t 2 ) = b Lab v, Λ(u 2 ) = b Lab v M 3 [(t 2 [b];u 2 ) RPA (2017) Curs 12 61 / 65

Reţele Petri imbricate M 3 : Type(x) = EN 1,Type(z) = EN 1,Type(y) = EN 2 Fie t 2 şi b(x) = (EN 1,m 1 ), b(z) = (EN 1,m 1 ), b(y) = (EN 2,m ) puncte reţea implicate în producerea lui t 2 : (EN 1,m 1 ), (EN 1,m 1 ), (EN 2,m ) Λ(t 2 ) = b L v, Λ(u 2 ) = b Lab v M 3 [(t 2 [b];u 2,u 2 ) RPA (2017) Curs 12 62 / 65 Exemplu

Reţele Petri imbricate Exemplu M 4 : Type(x) = EN 1,Type(z) = EN 1,Type(y) = EN 2 Y = t 2 şi b(x) = (EN 1,m 1 ), b(z) = (EN 1,m 2 ), b(y) = (EN 2,m ) puncte reţea implicate în producerea lui t 2 : (EN 1,m 2 ), (EN 1,m 3 ), (EN 2,m ) Λ(t 2 ) = b L v, Λ(u 2 ) = b Lab v RPA (2017) Curs 12 63 / 65

Reţele Petri imbricate Simularea reţelelor cu resetare Reţelele Petri imbricate simulează comportamentul reţelelor Petri cu resetare. Problemele mărginirii şi accesibilităţii sunt nedecidabile pentru reţele Petri cu resetare. Problemele mărginirii şi accesibilităţii sunt nedecidabile pentru reţele Petri imbricate. RPA (2017) Curs 12 65 / 65