Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html."

Transcript

1 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu otto/pn.html

2 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40% TS1 + 20% TS2 + 40%LSA TS1, TS2 - teste scrise Activitate laborator/seminar (LSA): lucrare (30%) proiect (50%) activitatea în timpul seminarului (20%) Referat (opţional): 2 puncte (se adaugă la nota finală) Condiţii minimale: LSA 5, TS1+TS2 7 Nota finală: minim 5.

3 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite)

4 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite) Noţiunea de sistem: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster Dictionary) A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms)

5 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite) Noţiunea de sistem: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster Dictionary) A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms) Sistemele: alcătuite din componente care interacţionează îndeplinesc o anumită funcţionalitate evenimente şi stări concurenţă, comunicare, sincronizare

6 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 4/45 Reţele Petri Exemple de sisteme: sisteme automatizate de producţie sisteme de control al traficului aerian sisteme de monitorizare şi control în industrie reţele de comunicare sisteme software distribuite etc...

7 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 5/45 Modelarea şi verificarea sistemelor Verificarea sistemelor reale: are drept scop verificarea unor proprietăţi dezirabile, înca din stadiul de proiectare Un model surprinde caracteristici esenţiale ale sistemului Modele (formale) pentru verificarea sistemelor: automate/sisteme tranziţionale algebre de procese logici temporale reţele Petri etc...

8 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962

9 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite

10 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem

11 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă

12 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală

13 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare)

14 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare) existenţa metodelor de analiză a proprietăţilor

15 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare) existenţa metodelor de analiză a proprietăţilor numeroase unelte software pentru editarea/verificarea proprietăţilor reţelelor Petri

16 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 7/45 Reţele Petri Domenii de aplicabilitate: Protocoale de comunicare, reţele Sisteme software si hardware Algoritmi distribuiţi Protocoale de securitate Biologie, Chimie, Medicină Economie (fluxuri de lucru) etc..

17 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 8/45 Retele de tip P/T Definiţie Regula de producere a tranziţiilor (comportament) Proprietăţi

18 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 9/45 Retele de tip P/T - Definiţie Definiţie 1 O reţea Petri este un 4-uplu N = (P,T,F,W) astfel încât : 1. P mulţime de locaţii, T mulţime de tranziţii, P T = ; 2. F (P T) (T P) relaţia de flux; 3. W : (P T) (T P) N ponderea arcelor (W(x,y) = 0 ddacă (x,y) F ). P = {p 1,p 2,p 3 } T = {t 1,t 2,t 3 } F = {(p 1,t 1 ),(t 1,p 2 ),(t 1,p 3 ), (p 3,t 3 ),(t 3,p 1 ),(p 2,t 2 )} p1 t1 p2 2 W(p 1,t 1 ) = 1, W(t 1,p 2 ) = 1, W(t 1,p 3 ) = 1, W(p 3,t 3 ) = 1, W(t 3,p 1 ) = 1,W(p 2,t 2 ) = 2 t3 p3 t2

19 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 10/45 Reţele de tip P/T Dacă x P T, atunci: - Premulţimea lui x: x = {y (y,x) F}; - Postmulţimea lui x: x = {y (x,y) F}. p1 t1 p2 2 t3 p3 t2 - t 1 = {p 1 }, t 2 = {p 2 }, t 3 = {p 3 } - t 1 = {p 2,p 3 },t 2 =,t 3 = {p 1 } - p 1 = {t 3 }, p 2 = {t 1 }, p 3 = {t 1 } - p 1 = {t 1 },p 2 = {t 2 },p 3 = {t 3 }

20 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 11/45 Reţele de tip P/T Definiţie 2 O reţea este pură dacă, pentru orice x P T, x x =. 2 p1 t1 p2 t2 Definiţie 3 O reţea este fără elemente izolate, dacă, pentru orice x P T, x x

21 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 12/45 Marcare a unei reţele de tip P/T Definiţie 4 (Marcare, reţele marcate) Fie N = (P,T,F,W) o reţea P/T. O marcare a lui N este o funcţie M : P N. Fie N = (P,T,F,W) o reţea P/T şi M 0 : P N. Atunci (N,M 0 ) se numeşte reţea Petri marcată. p1 t1 p2 2 t3 p3 t2 M = (1,0,0) Distribuţia punctelor în locaţiile unei reţele = marcarea reţelei (starea sistemului modelat)

22 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 13/45 Reţele Petri Tranziţii: reprezintă acţiuni sau evenimente din sistemul modelat Punctele din locaţii: pot modela resurse/valori booleene Locaţiile input: conţin resurse (reprezentate de punctele din locaţie) care vor fi folosite de către acţiune, precondiţii pentru producerea unui eveniment Ponderea unui arc input: câte resurse de un anumit tip sunt necesare producerii acţiunii Ponderea unui arc output: numărul de resurse de un anumit tip rezultate prin producerea acţiunii

23 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 14/45 Exemplu Model producator consumator: Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-un buffer) Un consumator (C) preia câte două produse din buffer Stări producător: producător activ (pregătit să producă), producător în repaus. Evenimente: P produce un produs, C consumă produse, P redevine activ

24 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 14/45 Exemplu Model producator consumator: Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-un buffer) Un consumator (C) preia câte două produse din buffer Stări producător: producător activ (pregătit să producă), producător în repaus. Evenimente: P produce un produs, C consumă produse, P redevine activ producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

25 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N.

26 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N. Tranziţia t este posibilă la marcarea M (M[t N ) dacă W(p,t) M(p), pentru orice p t.

27 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N. Tranziţia t este posibilă la marcarea M (M[t N ) dacă W(p,t) M(p), pentru orice p t. Dacă t este posibilă la marcarea M, atunci t se poate produce, rezultând o nouă marcare M (M[t N M ), unde M (p) = M(p) W(p,t)+W(t,p), pentru toţi p P.

28 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4

29 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4

30 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4 Producerea unei tranziţii modifică marcarea reţelei

31 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator:

32 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

33 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

34 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

35 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

36 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

37 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

38 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

39 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse

40 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

41 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

42 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

43 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

44 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

45 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

46 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

47 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

48 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

49 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 19/45 Secvenţe de apariţie a tranziţiilor Regula de producere a tranziţiilor se poate extinde la secvenţe de tranziţii: Definiţie 5 (secvenţe de apariţie) Fie σ = t 1 t 2...t k T şi M o marcare. σ se numeşte secvenţă finită de apariţie, posibilă la M, dacă există marcările M 1,M 2,...,M k astfel încât: Se mai notează: M[σ M k. M[t 1 M 1 [t 2 M 2...M k 1 [t k M k Secvenţa vidă de tranziţii, notată cu ǫ, este secvenţă de apariţie posibilă la orice marcare M a reţelei, şi are loc: M[ǫ M. O secvenţă infinită de tranziţii σ = t 1,t 2,... este secvenţă infinită de apariţie, posibilă la marcarea M, dacă: M[t 1 M 2 [t 2 M 3...

50 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 20/45 Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. Se definesc următoarele funcţii: t : P N, t (p) = W(p,t), p P t + : P N, t + (p) = W(t,p), p P t : P Z, t(p) = W(t,p) W(p,t) Dacă σ T este o secvenţă de tranziţii, se defineşte σ : P Z: Dacă σ = ǫ, atunci σ este funcţia identic 0. Dacă σ = t 1,...,t n, atunci σ = n i=1 t i.

51 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 21/45 Secvenţe de apariţie p1 2 3 p2 t1 p3 t 1 (p 1) = 2,t 1 (p 2) = 1,t 1 (p 3) = 0 t + 1 (p 1) = 1,t + 1 (p 2) = 3,t + 1 (p 3) = 1 t 1 (p 1 ) = 1, t 1 (p 2 ) = 2, t 1 (p 3 ) = 1

52 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 21/45 Secvenţe de apariţie p1 2 3 p2 t1 p3 t 1 (p 1) = 2,t 1 (p 2) = 1,t 1 (p 3) = 0 t + 1 (p 1) = 1,t + 1 (p 2) = 3,t + 1 (p 3) = 1 t 1 (p 1 ) = 1, t 1 (p 2 ) = 2, t 1 (p 3 ) = 1 Propoziţie 1 Fie t o tranziţie, σ T şi M,M marcări. Dacă M[t M, atunci M = M + t. Dacă M[σ M, atunci M = M + σ

53 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M.

54 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0.

55 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0. Mulţimea marcărilor accesibile dintr-o marcare M, în γ, se notează [M γ ([M când este clar despre ce reţea este vorba).

56 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0. Mulţimea marcărilor accesibile dintr-o marcare M, în γ, se notează [M γ ([M când este clar despre ce reţea este vorba). [M 0 γ se numeşte mulţimea marcărilor accesibile în reţeaua γ.

57 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M.

58 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M. Propoziţie 3 O secvenţă infinită de apariţie σ este posibilă la o marcare M ddacă orice prefix finit al lui σ este posibil la M.

59 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M. Propoziţie 3 O secvenţă infinită de apariţie σ este posibilă la o marcare M ddacă orice prefix finit al lui σ este posibil la M. Propoziţie 4 Fie M şi M marcări, σ o secvenţă de apariţie posibilă atât la M cât şi la M, astfel încât: M[σ M şi M[σ M. Atunci M (p) M(p) = M (p) M(p), pentru orice locaţie p P.

60 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 24/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 5 Fie M, M şi L marcări, σ T o secvenţă de tranziţii, posibilă la M. Dacă σ finită şi M[σ M, atunci (M +L)[σ (M +L). Dacă σ infinită şi M[σ, atunci (M +L)[σ Demonstraţie: σ finită: inducţie după σ = n. σ infinită: se arată că orice prefix finit al lui σ este posibil la M +L. M = (2,1,1,0)[t 1 t 2 (1,0,1,2) = M (3,2,2,0)[t 1 t 2?

61 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 25/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Definiţie 7 Fie M şi M două marcări. M M ddacă M (p) M(p), p P. M > M ddacă M M şi p P : M(p) > M (p). Propoziţie 6 Fie M şi M două marcări astfel încât M M. Atunci orice secvenţă de apariţie posibilă la marcarea M este posibilă şi la marcarea M. M M = L marcare astfel încât M = M +L σ infinită: M[σ = M = (M +L)[σ σ finită: M[σ M şi M = (M +L)[σ (M +L)

62 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 26/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Lema 1 Fie N o reţea oarecare, U,V T astfel încât V U =. Dacă σ (U V) astfel încât M[σ M, atunci M[σ U σ V M. t1 p t2 t 1 V şi t 2 U. t 1 t 2 = M[t 1 t 2 M, atunci: M[t 2 t 1 M V U

63 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 26/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Lema 1 Fie N o reţea oarecare, U,V T astfel încât V U =. Dacă σ (U V) astfel încât M[σ M, atunci M[σ U σ V M. Demonstraţie: Fie N o reţea oarecare, t 1,t 2 T astfel încât t 1 V şi t 2 U. Deci t 1 t 2 =. Se arată că: M[t 1 M 2 [t 2 M = M[t 2 M 2 [t 1 M M[t 2 (adică p t 2 : W(p,t 2 ) M(p)). Fie M[t 2 M 2. Se arată că M 2 [t 1. Se arată că M[t 2 M 2 [t 1 M.

64 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0)

65 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

66 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

67 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

68 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

69 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

70 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

71 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

72 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

73 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

74 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

75 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

76 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

77 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire)

78 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n)

79 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită.

80 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită. Reţeaua N este structural mărginită, dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este mărginită.

81 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită. Reţeaua N este structural mărginită, dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este mărginită.

82 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 t2 p2

83 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2

84 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2 p1 t2 t1 p2 p3

85 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2 p1 reţeaua este nemărginită: t2 t1 p2 p 2 poate conţine o infinitate de puncte! p3

86 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită.

87 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}.

88 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}. Propoziţie 8 Dacă γ = (N,M 0 ) este mărginită, nu există două marcări M 1,M 2 [M 0 astfel încât M 1 [ M 2 şi M 2 > M 1.

89 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}. Propoziţie 8 Dacă γ = (N,M 0 ) este mărginită, nu există două marcări M 1,M 2 [M 0 astfel încât M 1 [ M 2 şi M 2 > M 1. Dacă M 1 [σ M 2 şi M 2 > M 1 = M 2 [σ M 3 (prop. 6) şi M 3 > M 2 (prop. 4). Deci M 3 [σ M 4, M 4 > M 3, etc.

90 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 31/45 Proprietăţi: pseudo-viabilitate Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 9 (pseudo-viabilitate) O tranziţie t T este pseudo-viabilă din marcarea M, dacă există o marcare M [M astfel încât M [t. O tranziţie t T este pseudo-viabilă dacă este pseudo-vaibilă din M 0 (există o marcare accesibilă M [M 0 astfel încât M[t ). O tranziţie care nu este pseudo-viabilă se numeşte moartă. Reţeaua marcată γ este pseudo-viabilă dacă toate tranziţiile sale sunt pseudo-viabile.

91 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 32/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4

92 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 32/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4 t 1 este tranziţie moartă t 2 pseudo-viabilă t 3 este tranziţie moartă

93 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 33/45 Proprietăţi: blocaje Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 10 (blocaje) O marcare M a reţelei marcate γ este moartă dacă nu există o tranziţie t T astfel încât M[t. Reţeaua γ este fără blocaje, dacă nu există marcări accesibile moarte.

94 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 34/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4

95 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 34/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4 Marcarea (0,0,0,1,0) este moartă, deci reţeaua are blocaje.

96 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 35/45 Proprietăţi: viabilitate Definiţie 11 (viabilitate) Fie N = (P,T,F,W) o reţea de tip P/T şi γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. O tranziţie t T este viabilă dacă M [M 0, t este pseudo-viabilă din M ( M [M astfel încât M [t ). Reţeaua marcată γ este viabilă dacă orice tranziţie t T este viabilă. reţeaua N este structural viabilă dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este viabilă.

97 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 36/45 Exemple p1 t1 p2 2 2 t3 p3 t2 Reţea pseudo-viabilă, viabilă si fără blocaje.

98 Exemple Reţele Petri şi Aplicaţii p. 37/45

99 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 37/45 Exemple t 1,t 2,t 3 : nu sunt viabile t 4,t 5 : viabile reţeaua este pseudo-viabilă

100 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 38/45 Reversibilitate Definiţie 12 Reţeaua marcată γ este reversibilă dacă marcarea sa iniţială este accesibilă din orice marcare M [M 0.

101 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 38/45 Reversibilitate Definiţie 12 Reţeaua marcată γ este reversibilă dacă marcarea sa iniţială este accesibilă din orice marcare M [M 0. p1 t1 p2 2 2 t3 p3 t2

102 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă.

103 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje.

104 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă.

105 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă. Propoziţie 12 O reţea marcată reversibilă este viabilă ddacă este pseudo-viabilă.

106 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă. Propoziţie 12 O reţea marcată reversibilă este viabilă ddacă este pseudo-viabilă. Propoziţie 13 O reţea marcată reversibilă este fără blocaje.

107 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă?

108 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4

109 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4

110 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4 Reţea pesudo-viabilă (toate tranziţiile pseudo-viabile). Reţeaua are blocaje (marcarea (0, 0, 1, 1) este moartă). Reţeaua nu este viabilă!

111 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 41/45 Exemple Reţea viabilă, care nu este reversibilă: p1 t1 t2 p3 t3 p4 p2 (1,0,0,0)[t 2 (0,1,1,0)[t 1 (1,0,1,0)[t 3 (1,0,0,1). Marcarea iniţială (1,0,0,0) nu este accesibilă din (1,0,0,1).

112 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate?

113 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 t2 p2

114 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2

115 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 p3

116 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 Retea nemărginită, este viabilă p3

117 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 Retea nemărginită, este viabilă p3

118 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

119 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

120 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

121 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

122 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

123 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

124 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5 Reţea nemărginită (locaţia p 4 ), neviabilă (M = (0,0,0,2,1) şi t 1 )

125 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5 Reţea nemărginită (locaţia p 4 ), neviabilă (M = (0,0,0,2,1) şi t 1 )

126 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă.

127 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x y U V

128 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x y U V

129 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x t y U V

130 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 45/45 Exemple Reţeaua nu este tare conexă nu este viabilă sau mărginită: t1 p1 t2 p2 t3 Reciproca teoremei nu este adevărată: reţeaua este tare conexă, dar nu este viabilă. t2 p1 p2 2 t3

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65

Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Reţele Petri şi aplicaţii Curs 12 RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 2 / 65 Modelare utilizând

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

CURS 3. Modelare cu Retele Petri

CURS 3. Modelare cu Retele Petri CURS 3 Modelare cu Retele Petri Sisteme cu Evenimente Discrete Un Sistem cu Evenimente Discrete (SED) este un sistem cu stari discrete, care evolueaza prin evenimente, adica evolutia sa depinde in intregime

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy). TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016. Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii... Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL II. MAŞINI CU STĂRI FINITE

CAPITOLUL II. MAŞINI CU STĂRI FINITE CAPITOLUL II. MAŞINI CU STĂRI FINITE În acest capitol introducem conceptul de maşină cu stări finite, numită şi automat finit. Aceste dispozitive matematice îşi au originea în modelarea comportamentului

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα