Προτιµήσεις-Υπενθύµιση

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση Διάλεξη 4 x y: To x προτιµάται σαφώς από το y.! x ~ y: Το x και το y προτιµούνται εξίσου. Χρησιµότητα! x y: Το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το y.!1! 1 Προτιµήσεις-Υπενθύµιση Προτιµήσεις-Υπενθύµιση Πληρότητα: Για οποιαδήποτε καλάθια x και y είναι πάντα δυνατό να δηλώσουµε είτε ότι: ή ότι x y y x. Αντανακλαστικότητα: Κάθε καλάθι x προτιµάται πάντα τουλάχιστο όσο ο εαυτός του δηλαδή: x x.!3!4 3 4

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση Συναρτήσεις χρησιµότητας Μεταβατικότητα: Αν Το x προτιµάται όσο το y, και Το y προτιµάται όσο το z, τότε Το x προτιµάται τουλάχιστο όσο το z; δηλαδή. x y και y z x z.!5 Αν µια σχέση προτιµήσεων είναι πλήρης, αντανακλαστική, µεταβατική και συνεχής µπορεί να αναπαρασταθεί από µια συνεχή συνάρτηση χρησιµότητας. Συνέχεια σηµαίνει ότι µικρές αλλαγές σε ένα καλάθι καταναλωτή προκαλούν µικρές µόνο αλλαγές στο προτιµώµενο επίπεδο προτιµήσεων του.!6 5 6 Συναρτήσεις χρησιµότητας Συναρτήσεις χρησιµότητας Μια συνάρτηση χρησιµότητας U(x) αντιπροσωπεύει µια σχέση προτίµησης αν και µόνο αν: x x U(x ) > U(x ) x x U(x ) < U(x ) x ~ x U(x ) = U(x ).!7 Η χρησιµότητα είναι έννοια τακτική. Π.χ. αν U(x) = 6 και U(y) = τότε το καλάθι x είναι σαφώς προτιµότερο από το καλάθι y. Αλλά το x δεν είναι προτιµότερο τρεις φορές περισσότερο από το y.!8 7 8

Ας πάρουµε τους συνδυασµούς (4,1), (,3) and (,). Έστω ότι (,3) (4,1) ~ (,). Ας δώσουµε σε αυτούς τους συνδυασµούς αριθµούς που διατηρούν τη σειρά προτιµήσεων: π.χ. U(,3) = 6 > U(4,1) = U(,) = 4. Ας τα ονοµάσουµε επίπεδα χρησιµότητας. Μια καµπύλη αδιαφορίας περιλαµβάνει τους εξίσου προτιµώµενους συνδυασµούς. Ίσες προτιµήσεις ίδιο επίπεδο χρησιµότητας. Άρα, οι συνδυασµοί πάνω σε µια καµπύλη αδιαφορίας δίνουν το ίδιο επίπεδο χρησιµότητας.!9!10 9 10 Έτσι οι συνδυασµοί (4,1) και (,) είναι πάνω στην καµπύλη αδιαφορίας µε επίπεδο χρησιµότητας U 4 Ο συνδυασµός όµως (,3) είναι πάνω σε µια καµπύλη αδιαφορίας µε επίπεδο χρησιµότητας U 6. Διαγραµµατικά, η πληροφορία αυτή απεικονίζεται ως εξής: (,3) (,) (4,1) U 6 U 4!11!1 11 1

Ένας άλλος τρόπος για να απεικονίσουµε την ίδια πληροφόρηση είναι να θέσουµε το επίπεδο χρησιµότητας πάνω σε έναν κάθετο άξονα. 3διάστατη απεικόνιση κατανάλωσης και χρησιµότητας Για τρεις συνδυασµούς Utility U(,3) = 6 U(,) = 4 U(4,1) = 4!13!14 13 14 Αυτή η 3διάστατη απεικόνιση των προτιµήσεων µπορεί να µας δώσει καλύτερη πληροφόρηση αν προσθέσουµε δύο. Utility U 6!15 U 4 Higher indifference curves contain more preferred bundles.!16 15 16

Συγκρίνοντας περισσότερους συνδυασµούς θα έχουµε ένα µεγαλύτερο σύνολο καµπυλών αδιαφορίας και µια καλύτερη περιγραφή των προτιµήσεων του καταναλωτή. 17!17 18 U 6 U 4 U!18 Όπως πριν, αυτό µπορεί να γίνει σε τρισδιάστατη απεικόνιση, µε το να γράφουµε µια καµπύλη αδιαφορίας στο ύψος του δείκτη χρησιµότητας. Utility U 6 U 5 U 4 U 3 U!19 U 1!0 19 0

Συγκρίνοντας όλους τους δυνατούς συνδυασµούς κατανάλωσης έχουµε το πλήρες σύνολο των καµπυλών αδιαφορίας, µε κάθε µια να αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο χρησιµότητας. Αυτό το πλήρες σύνολο καµπυλών αδιαφορίας αντιπροσωπεύει πλήρως τις προτιµήσεις του καταναλωτή.!1! 1!3!4 3 4

!5!6 5 6!7!8 7 8

!9!30 9 30!31!3 31 3

!33!34 33 34!35!36 35 36

Το σύνολο όλων των καµπυλών αδιαφορίας για µια δεδοµένη σχέση προτιµήσεων είναι ο χάρτης αδιαφορίας. Ένας χάρτης αδιαφορίας είναι το ισοδύναµο µιας συνάρτησης χρησιµότητας. Το ένα είναι το άλλο.!37!38 37 38 Συναρτήσεις χρησιµότητας Συναρτήσεις χρησιµότητας Δεν υπάρχει µια µοναδική αντιπροσώπευση της συνάρτησης χρησιµότητας που αφορά µια σχέση προτιµήσεων. Έστω ότι η U(, ) = αντιπροσωπεύει µια σχέση προτίµησης Ας ξαναπάρουµε τους συνδυασµούς (4,1), (,3) και (,). U(, ) =, και U(,3) = 6 > U(4,1) = U(,) = 4; δηλαδή, (,3) (4,1) ~ (,).!39!40 39 40

Συναρτήσεις χρησιµότητας U(, ) = (,3) (4,1) ~ (,). Ας ορίσουµε V = U. Συναρτήσεις χρησιµότητας U(, ) = (,3) (4,1) (,). Ας ορίσουµε V = U. Τότε V(, ) = και V(,3) = 36 > V(4,1) = V(,) = 16 και ξανά (,3) (4,1) ~ (,). Η V αντιπροσωπεύει την ίδια σειρά µε την U και άρα αντιπροσωπεύουν τις ίδιες προτιµήσεις.!41!4 41 4 Συναρτήσεις χρησιµότητας U(, ) = (,3) (4,1) ~ (,). Ας ορίσουµε W = U + 10. Συναρτήσεις χρησιµότητας U(, ) = (,3) (4,1) ~ (,). Ας ορίσουµε W = U + 10. Τότε W(, ) = +10 και W(,3) = > W(4,1) = W(,) = 18. Ξανά, (,3) (4,1) ~ (,). Η W διατηρεί την ίδια σειρά µε την U και την V και άρα αντιπροσωπεύει τις ίδιες προτιµήσεις.!43 43 44

Αν Συναρτήσεις χρησιµότητας U είναι µια συνάρτηση χρησιµότητας που αντιπροσωπεύει µια σχέση προτίµησης και f είναι µια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, τότε V = f(u) είναι επίσης µια συνάρτηση χρησιµότητας που αντιπροσωπεύει Αγαθά, κακά και ουδέτερα Αγαθό είναι µια µονάδα εµπορεύµατος, η οποία αυξάνει τη χρησιµότητα (δίνει ένα πλέον προτιµώµενο συνδυασµό). Κακό είναι µια µονάδα εµπορεύµατος, η οποία µειώνει τη χρησιµότητα (δίνει έναν λιγότερο προτιµώµενο συνδυασµό). Ουδέτερο είναι µια µονάδα εµπορεύµατος, η οποία δεν µεταβάλλει τη χρησιµότητα (δίνει έναν εξίσου προτιµώµενο συνδυασµό).!45!46 45 46 Αγαθά, κακά και ουδέτερα Χρησιµότητα Μονάδες νερού που είναι καλές x Συνάρτηση χρησιµότητας Μονάδες νερού που είναι κακές Νερού Γύρω από τις x µονάδες, λίγο επιπλέον νερό είναι ουδέτερο. Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι τους Αντί για τη U(, ) = ας πάρουµε τη V(, ) = +. Με τι µοιάζουν οι αυτής της συνάρτησης χρησιµότητας των τέλειων υποκατάστατων ;!48 47 48

Τέλεια υποκατάστατα: Καµπύλες αδιαφορίας Τέλεια υποκατάστατα: Καµπύλες + = 5 13 9 5 5 9 + = 9 + = 13 V(, ) = +. 13!49 13 9 5 5 9 αδιαφορίας + = 5 + = 9 + = 13 V(, ) = +. 13 Είναι ευθείες γραµµές και παράλληλες.!50 49 50 Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι τους Τέλεια συµπληρωµατικά: Καµπύλες αδιαφορίας Αντί για U(, ) = ή V(, ) = +, ας πάρουµε την W(, ) = min{, }. Με τι µοιάζουν οι αυτής της συνάρτησης χρησιµότητας των τέλειων συµπληρωµατικών ; 8 5 3 45 o W(, ) = min{, } min{, } = 8 min{, } = 5 min{, } = 3!51 3 5 8!5 51 5

8 5 3 Τέλεια συµπληρωµατικά: Καµπύλες αδιαφορίας 3 5 8 45 o W(, ) = min{, } min{, } = 8 min{, } = 5 min{, } = 3 Καµπύλες αδιαφορίας µε σχήµα ορθής γωνίας και µε κορυφές πάνω σε µια ακτίνα από την αρχή των αξόνων.!53 Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι τους Μια συνάρτηση της χρησιµότητας της µορφής U(, ) = f( ) + είναι γραµµική µόνο στο και λέγεται οιονεί γραµµική. π.χ. U(, ) = 1/ +.!54 53 54 Οιονεί γραμμικές καμπύλες αδιαφορίας Κάθε καµπύλη αδιαφορίας είναι ένα κάθετο αντίγραφο των άλλων 55 Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι τους Μια συνάρτηση χρησιµότητας της µορφής U(, ) = a b µε a > 0 και b > 0 λέγεται συνάρτηση Cobb- Douglas. π.. U(, ) = 1/ 1/ (a = b = 1/) V(, ) = 3 (a = 1, b = 3) 56!56

Καμπύλες αδιαφορίας Cobb-Douglas. Cobb-Douglas Indifference Curves Όλες οι καµπύλες είναι υπερβολές ασύµπτωτες στους άξονες. Οριακές χρησιµότητες Οριακό σηµαίνει µικρή µεταβολή. Η οριακή χρησιµότητα ενός αγαθού i είναι ο ρυθµός αύξησης της συνολικής χρησιµότητας καθώς η ποσότητα του αγαθού που καταναλώνεται αλλάζει : δηλαδή. MU i U = x i!58 57 58 Οριακές χρησιµότητες π.χ. Αν U(, ) = 1/ τότε Οριακές χρησιµότητες π.χ. Αν U(, ) = 1/ τότε U MU1 = = x1 1 x1 1 / x U MU1 = = x1 1 x1 1 / x!59!60 59 60

Οριακές χρησιµότητες Οριακές χρησιµότητες π.χ. Αν U(, ) = 1/ τότε π.χ. Αν U(, ) = 1/ τότε MU U = = x x1 1 / x MU U = = x x1 1 / x!61!6 61 6 Οριακές χρησιµότητες Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) Έτσι, αν U(, ) = x 1/ 1 x τότε U 1 MU1 x1 1 / = = x x1 U MU = = x1 1 / x x!63 Η γενική µορφή εξίσωσης για µια καµπύλη αδιαφορίας είναι U(, ) k, µια σταθερά. Αν πάρουµε το ολικό διαφορικό αυτής της ταυτότητας, βρίσκουµε U U x d + x d = 0 1!64 63 64

ή Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) U x dx U 1 + x d = 0 1 U x dx = U x dx 1 1 και ή Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) U x dx d x d x1 = Αυτός είναι ο MRS. U x dx 1 U x = / 1. U / x 1!65!66 65 66 Άρα Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS): Ένα παράδειγµα Έστω U(, ) =. Τότε U = ( 1)( x) = x x1 U = ( x1)( 1) = x1 x d x U x x MRS = / = 1 =. d x1 U / x x1!67 Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS): Ένα παράδειγµα 8 6 1 6 U(, ) = ; MRS x = x1 MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1. U = 36 U = 8 67 68

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) Έστω ότι ένα άτοµο έχει την ακόλουθη συνάρτηση χρησιµότητας χρησιµότητα = U(x,y) Το ολικό διαφορικό του U είναι U U du = dx + dy x y Τα σηµεία σε µια καµπύλη αδιαφορίας έχουν σταθερή χρησιµότητα (du = 0)!69 Οπότε: MRS = dy dx U= σταθερό U = x U y MRS είναι ο λόγος της οριακής χρησιµότητας του x ως προς την οριακή χρησιµότητα του y!70 69 70 MRS για οιονεί γραµµικές συναρτήσεις χρησιµότητας MRS για οιονεί γραµµικές συναρτήσεις χρησιµότητας Άρα Μια οιονεί γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας έχει τη µορφή U(, ) = f( ) +. U x1 MRS = f "( x1) U = 1 d x U x = / = 1 = f "( x1). d x1 U / x!71 MRS = - f (x 1 ) δεν εξαρτάται από το και εποµένως η κλίση της καµπύλης αδιαφορίας για µια οιονεί-γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας είναι σταθερή κατά µήκος κάθε γραµµής για την οποία το είναι σταθερό. Με τι µοιάζει ο χάρτης των καµπυλών αδιαφορίας για µια οιονεί γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας;!7 71 7

MRS για οιονεί γραµµικές συναρτήσεις χρησιµότητας MRS = - f( ) MRS = -f( ) Κάθε καµπύλη είναι κάθετο αντίγραφο των άλλων. Ο MRS είναι σταθερός κατά µήκος κάθε γραµµής για την οποία το είναι σταθερό. Μονοτονικός µετασχηµατισµός και MRS Ο µονοτονικός µετασχηµατισµός µιας συνάρτηση χρησιµότητας, που αντιπροσωπεύει µια σχέση προτιµήσεων δηµιουργεί µιαν άλλη συνάρτηση χρησιµότητας που αντιπροσωπεύει την ίδια σχέση προτιµήσεων. Τι θα συµβεί στον οριακό λόγο υποκατάστασης όταν κάνουµε µονοτονικό µετασχηµατισµό;!74 73 74 Μονοτονικός µετασχηµατισµός και MRS Για την U(, ) = ο MRS = - /. Αν πάρουµε την V = U : δηλαδή. V(, ) =. ποιος είναι ο MRS για την V; V / x x x x MRS = 1 = 1 = V / x x x x 1 1 Που είναι ο ίδιος MRS µε εκείνο της U.!75 Μονοτονικός µετασχηµατισµός και MRS Πιο γενικά, αν V = f(u) όπου f είναι µια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, τότε V / x f U U x MRS = 1 = " ( ) / 1 V / x f '( U ) U / x = U /. U / x Άρα ο MRS παραµένει αµετάβλητος από ένα θετικό µονοτονικό µετασχηµατισµό.!76 75 76