Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva matrika P, da je B P 1 AP Vsaka matrika je podobna sama sebi Če je matrika A podobna matriki B, je tudi B podobna matriki A Res: Iz B P 1 AP sledi A PBP 1 Če je matrika A podobna matriki B in matrika B podobna matriki C, je tudi A podobna C Res: Če je B P 1 AP in C Q 1 BQ, je C Q 1 P 1 APQ (QP) 1 A(QP) Če je B P 1 AP, za vsak m N velja B m P 1 AP P 1 AP P 1 AP P 1 A m P 1 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Dana je matrika A R n n Želimo hitro izračunati A m za velik m N Če je A diagonalna matrika, je izračun enostaven: λ 1 λ 2 A diag(λ 1,λ 2,,λ n ), λ n λ m 1 A m λ2 m diag(λ 1 m,λ 2 m,,λ n m ) λn m 2 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Matrika A je diagonalizabilna, če je podobna kakšni diagonalni matriki Matrika A [ 2 3 je diagonalizabilna 3 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 4 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
Če je A diagonalizabilna matrika, velja D P 1 AP Za vsako naravno število m velja D m P 1 A m P in od tod A m PD m P 1 Izračunaj A 7 za matriko A [ 2 3 Dokaži, da matrika A [ ni diagonalizabilna Kot smo že prej videli, [ je matrika A diagonalizabilna, [ tj 1 1 2 P 1 AP D za P in D Sledi [ [ [ A 7 PD 7 P 1 1 1 ( 2) 7 1 7 [ [ [ 1 1 128 1 [ [ [ 128 1 1 1 128 129 5 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Poglejmo si lastnost diagonalizabilnosti podrobneje Naj torej velja P 1 AP D diag(λ 1,,λ n ) Označimo z e k (,,1,,) T R n 1 matriko stolpec, ki ima v k-ti vrstici število 1, vsa ostala števila pa so enaka Torej je De k λ 1 λ 2 λ n 1 λ k λ k e k Iz AP PD sledi APe k PDe k Pλ k e k λ k Pe k Če označimo k-ti stolpec matrike P s p k, velja p k Pe k in Ap k λ k p k Ker je matrika P obrnljiva, so stolpci p 1,, p n linearno neodvisni 7 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 6 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) in lastni vektorji Število λ je lastna vrednost matrike A R n n, če obstaja kakšen neničeln vektor (stolpec) x R n 1, da je Ax λx Vektor x imenujemo lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ Lastni vektor ni enolično določen Če je x lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ, je tudi kx lastni vektor k isti lastni vrednosti za poljuben k R \ {} Res: A(kx) kax kλx λ(kx) Kot bomo kasneje videli, je možno, da k neki lastni vrednosti obstaja več linearno neodvisnih lastnih vektorjev 8 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
Matrično enačbo Ax λx lahko zapišemo v obliki Ax λix oz v obliki homogenega sistema linearnih enačb (A λi)x Gornji homogen sistem ima netrivialno rešitev, če je determinanta tega sistema enaka, tj det(a λi) Matrika A λi a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ Karatkeristični polinom matrike A R n n je polinom stopnje n z realnimi koeficienti, njegove ničle pa so lastne vrednosti matrike A Polinom det(a λi) ima n ničel, ki pa niso nujno realna števila [ cosϕ sinϕ Določi vse lastne vrednosti matrike A sinϕ cosϕ se imenuje karakteristična matrika matrike A, njena determinanta det(a λ I) pa karakteristični polinom matrike A 9 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 1 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Določi [ vse lastne vrednosti in lastne vektorje matrike 2 3 A Karakteristični polinom matrike A je det(a λi) 2 λ 3 λ ( 2 λ)(1 λ) in ima ničli λ 1 2, λ 2 1 Lastne vektorje k lastnima vrednostima λ 1 in λ 2 določimo tako, da poiščemo vse rešitve homogenega sistema za λ λ 1 in λ λ 2 (A λi)x, 11 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Za λ λ 1 2 imamo homogeni sistem (A λ 1 I)x, kjer je x (x 1,x 2 ) T neznani vektor Ta sistem lahko v popolnosti popišemo z razširjeno matriko [ 2 ( 2) 3 [A λ 1 I ( 2) [ [ 3 3 Od tod sledi, da je x 2 Ker je x 1 poljuben, so vsi lastni vektorji, ki pripadajo lastni vrednosti λ 1, oblike x (x 1,) T x 1 (1,) T, kjer je x 1 R Ker nas pri lastnih vektorjih običajno zanimajo le linearno neodvisni lastni vektorji, izmed vseh vektojev izberemo le tistega, ki ga najenostavneje zapišemo V našem primeru je to vektor (1,) T 12 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
Poglejmo si metodo še enkrat Ker je sistem (A λ 1 I)x homogen, desnih strani ni potrebno pisati Gornji račun za λ 1 2 zato na kratko zapišemo kot A λ 1 I [ 2 ( 2) 3 ( 2) [ 3 3 [ Ta matrični sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v drugem stolpcu Sledi x 2, x 1 pa je (prost) parameter Torej x (x 1,) T, kjer je x 1 R poljuben Vsi lastni vektorji k λ 1 2 so torej oblike x 1 (1,) T Za λ 2 1 naredimo podobno Ker gre ponovno za homogeni sistem, desnih strani ne pišemo Skratka [ [ [ 2 1 3 3 3 1 1 A λ 2 I 1 Tudi ta sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v prvem stolpcu Sledi x 1 x 2 Rešitev je torej oblike x (x 2,x 2 ) T, kjer je x 2 R poljuben Vsi lastni vektorji k λ 2 1 so torej oblike x 2 (1,1) T 13 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 14 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Izrek Matrika A R n n je diagonalizabilna natanko tedaj, ko ima n linearno neodvisnih lastnih vektorjev Če je matrika A diagonalizabilna, velja D P 1 AP Obrnljiva matrika P je sestavljena iz linearno neodvisnih vektorjev p k Pe k, ki imajo lastnost Ap k λ k p k Torej so p k lastni vektorji k lastnim vrednostim λ k Za dokaz v drugo smer pa vzemimo, da so p 1,, p n linearno neodvisni lastni vekorji Matrika, sestavljena iz stolpcev p 1,, p n, je obrnljiva Iz zveze Ap k λ k p k izpeljemo APe k DPe k za D diag(λ 1,,λ n ) Ker APe k DPe k velja za vsak k (tj k-ta stolpca se ujemata), je AP DP oz P 1 AP D 15 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonaliziraj matriko A [ 2 3 Videli smo že, da ima matrika lastni vrednosti λ 1 2 in λ 2 1 ter pripadajoča (linearno neodvisna) lastna vektorja p 1 (1,) T in p 2 (1,1) T Če zapišemo P [p 1 p 2 [ 1 1 bo diagonalizirana matrika enaka [ D P 1 λ1 AP λ 2, [ 2 Opozorilo lahko naštejemo tudi v drugem vrstnem redu Pomembno je le, da v matriko D in matriko P zložimo lastne vrednosti in pripadajoče lastne vektorje v enakem vrstnem redu 16 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
Diagonaliziraj matriko A 2 2 1 1 1 1 4 4 3 Najprej moramo izračunati karakteristični polinom det(a λ I) det(a λi) 2 λ 2 1 1 1 λ 1 4 4 3 λ 2 λ 2 1 2 λ 2 1 1 λ 1 1 1 λ 4 4 3 λ 4 4 (2 λ)(1 λ)( 3 λ) 8 4 ( 4)(1 λ) ( 4)(2 λ) 2( 3 λ) (2 λ)(1 λ)( 3 λ) + 6 6λ (1 λ)((2 λ)( 3 λ) + 6) (1 λ)(λ + λ 2 ) 17 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Karakteristični polinom det(a λi) (1 λ)λ(1 + λ) ima torej ničle λ 1 1, λ 2 in λ 3 1 Pri λ 1 1 imamo 2 1 2 1 1 2 1 det(a λ 1 I) 1 1 1 1 1 1 4 4 3 1 4 4 4 1 2 1 1 2 4 Rešitev tega sistema je x 2 in x 1 x 3, torej vsi vektorji oblike ( x 3,,x 3 ) x 3 (1,, 1) Pripadajoči lastni vektor k λ 1 1 je npr p 1 (1,, 1) Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in drugemu stolpcu 18 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Pri λ 2 imamo det(a λ 2 I) 2 2 1 1 1 1 4 4 3 2 2 1 1 1 1 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 4 3 1 1 Pri λ 3 1 imamo A λ 3 I 2 ( 1) 2 1 1 1 ( 1) 1 4 4 3 ( 1) 3 2 1 1 2 1 4 4 2 1 2 1 4 2 4 2 1 2 1 3 2 1 4 4 2 1 1 2 Rešitev tega sistema je x 3 in x 1 x 2, torej vsi vektorji oblike (x 2,x 2,) x 2 (1,1,) Pripadajoči lastni vektor k λ 2 je npr p 2 (1,1,) Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in tretjemu stolpcu Rešitev tega sistema je x 1 in x 2 1 2 x 3, torej vsi vektorji oblike (, 1 2 x 3,x 3 ) 1 2 x 3(,1,2) Pripadajoči lastni vektor k λ 3 1 je npr p 3 (,1,2) Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in drugemu stolpcu 19 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 2 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
Videli smo, da ima matrika lastne vrednosti λ 1 1, λ 2 in λ 3 1 ter pripadajoče (linearno neodvisne) lastne vektorje p 1 (1,, 1) T, p 2 (1,1,) T in p 3 (,1,2) T Če zapišemo P [p 1 p 2 p 3 1 1 1 1 2 bo diagonalizirana matrika enaka λ 1 D P 1 AP λ 2 λ 3, 1 1 Diagonaliziraj matriko A 1 1 1 2 2 3 2 1 2 Najprej moramo izračunati karakteristični polinom det(a λ I) det(a λi) 1 λ 1 1 1 λ 1 2 2 λ 3 2 2 λ 2 1 2 λ 2 1 ( 1 λ)( 2 λ)(2 λ) 6 2 2( 2 λ) ( 3)( 1 λ) ( 2)(2 λ) ( 1 λ)( 2 λ)(2 λ) 3 3λ ( 1 λ)(( 2 λ)(2 λ) + 3) ( 1 λ)( 1 + λ 2 ) (λ + 1) 2 (λ 1) 21 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 22 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Karakteristični polinom ima lastne vrednosti λ 1,2 1 in λ 3 1 Oglejemo si A λ 1,2 I Matrika homogenega sistema je A λ 1,2 I 1 ( 1) 1 1 2 2 ( 1) 3 2 1 2 ( 1) 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 1 Rešitev tega sistema je x 1 x 3 in x 2 x 3, torej vsi vektorji oblike ( x 3, x 3,x 3 ) x 3 (1,1, 1) Opazimo, da imamo le enoparametrično družino rešitev, čeprav je bila λ 1 dvojna ničla polinoma Kot bomo kasneje videli, je že to zadostna ovira, da matrika ni diagonalizabilna Za vajo določimo še lastne vektorje, ki pripadajo lastni vrednosti λ 3 1 23 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Za λ 3 1 je matrika homogenega sistema enaka 1 1 1 1 A λ 3 I 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 2 Rešitev tega sistema je x 1 in x 2 x 3, torej vsi vektorji oblike (, x 3,x 3 ) x 3 (,1, 1) Sedaj lahko tudi na drug način utemeljimo, da matrika ni diagonalizabilna Kot je račun pokazal, smo dobili le dva linearno neodvisna lastna vektorja, in sicer (1, 1, 1) in (, 1, 1), za diagonalizabilnost pa bi potrebovali 3 24 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 1 1
Izrek Različnim lastnim vrednostim pripadajo linearno neodvisni lastni vektorji Naj bodo λ 1,, λ m različne lastne vrednosti in x 1,, x m pripadajoči lastni vektorji matrike A Z indukcijo bomo pokazali, da je za vsak k vektor x k linearno neodvisen od x 1,, x k 1 Če je k 1, ni kaj dokazovati Vektor x 1 je neničeln in je linearno neodvisen V dokazu indukcijskega koraka pa za hip privzemimo, da je x k µ 1 x 1 + µ 2 x 2 + + µ k 1 x k 1 (1) Če to enakost (matrično) pomnožimo z A, dobimo Če pa enakost (1) pomnožimo z λ k, dobimo λ k x k µ 1 λ k x 1 + µ 2 λ k x 2 + + µ k 1 λ k x k 1 (3) Iz (2) in (3) sledi protislovna enakost µ 1 (λ 1 λ k )x 1 + µ 2 (λ 2 λ k )x 2 + + µ k 1 (λ k 1 λ k )x k 1 Slednje pa ne drži, saj je µ i za neki i < k in λ i λ k, vektorji x 1,, x k 1 pa so pravzaprav linearno neodvisni Ax k µ 1 Ax 1 + µ 2 Ax 2 + + µ k 1 Ax k 1 oziroma λ k x k µ 1 λ 1 x 1 + µ 2 λ 2 x 2 + + µ k 1 λ k 1 x k 1 (2) 25 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 26 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Posledica Matrika, ki ima same različne lastne vrednosti, je diagonalizabilna Če je λ ničla reda r karakterističnega polinoma det(a λi), pravimo, da ima lastna vrednost λ algebraično večkratnost r Če lahko k lastni vrednosti λ poiščemo m linearno neodvisnih lastnih vektorjev, pravimo, da ima λ geometrično večkratnost m Vedno je 1 m r in matrika je diagonalizabilna natanko tedaj, ko je algebarična večkratnost vsake lastne vrednosti enaka njeni geometrični večkratnosti 27 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)