Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 2 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (28 σελ 299-36 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΡΟΩΝ Ι. Σ. Τριανταφύλλου N. Blkrsh 2 Μ. Β. Κούτρας Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2 Dertet of thetcs d Sttstcs cster Uversty Cd trtl@u.gr l@cster.c koutrs@u.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στα συνήθη διαγράμματα ελέγχου (διαγράμματα Shewhrt CUSU και EWA διαγράμματα βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή τους είναι η κανονικότητα του υπό μελέτη χαρακτηριστικού. Αντίθετα τα μη παραμετρικά διαγράμματα ελέγχου δεν απαιτούν την υπόθεση της κανονικότητας (ή κάποιας άλλης συγκεκριμένης κατανομής. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφορα μη παραμετρικά διαγράμματα ελέγχου που βασίζονται στη χρήση κανόνων ροών ή στο προσημικό κριτήριο (sg test π.χ. A Reyolds & Bkr (995 Chkrort & Erylz (27. Στην παρούσα εργασία προτείνεται ένα νέο μη παραμετρικό διάγραμμα ελέγχου στο οποίο η στατιστική συνάρτηση εκφράζει το μέγιστο πλήθος διατεταγμένων παρατηρήσεων του τυχαίου δείγματος Y Y2... Y που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικές διατεταγμένες παρατηρήσεις του δείγματος αναφοράς X X 2... X. Επιπλέον πραγματοποιούνται αριθμητικοί υπολογισμοί των πιθανοτήτων συναγερμού (lr rtes που επιτυγχάνονται για εντός και εκτός ελέγχου διεργασίες με σκοπό τη σύγκριση της απόδοσης του νέου μη παραμετρικού διαγράμματος ελέγχου με προγενέστερα διαγράμματα ελέγχου.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όταν μία παραγωγική διαδικασία υποβάλλεται σε στατιστικό έλεγχο ποιότητας το πρώτο βήμα είναι η κατασκευή ενός διαγράμματος ελέγχου προκειμένου να εντοπισθούν και να εξαλειφθούν τυχόν ειδικά αίτια μεταβλητότητας του υπό μελέτη χαρακτηριστικού. Κύριος σκοπός ενός διαγράμματος ελέγχου είναι να αναγνωρίσει όσο το δυνατόν γρηγορότερα τυχόν μεταβολές στην παραγωγή και να δώσει σήμα ότι η διεργασία μετατοπίστηκε εκτός ελέγχου. Σε ένα μη παραμετρικό διάγραμμα ελέγχου ο υπολογισμός των ορίων ελέγχου βασίζεται συνήθως σε ένα δείγμα αναφοράς (referece sle X X 2... X που λαμβάνεται ενώ η διαδικασία είναι εντός ελέγχου και υποτίθεται ότι προέρχεται από μια άγνωστη συνεχή κατανομή. Η απόφαση για το αν η διεργασία παραμένει στη συνέχεια εντός ελέγχου ή όχι κρίνεται από το αν παίρνο- - 299 -
ντας διαδοχικά νέα τυχαία δείγματα (test sles Y Y2... Y από τη διεργασία η τιμή μιας κατάλληλα επιλεγμένης στατιστικής συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ αυτών των ορίων. Ένα τυπικό διάγραμμα ελέγχου είναι το διάγραμμα τύπου Shewhrt (93 στο οποίο την κεντρική γραμμή (ceter le CL παριστάνει η μέση τιμή του υπό μελέτη χαρακτηριστικού και το άνω και κάτω όριο ελέγχου δύο τιμές του (uer d lower cotrol lt UCL d LCL που συνήθως λαμβάνονται σε απόσταση 3 τυπικών αποκλίσεων του καταγραφόμενου στατιστικού από την κεντρική γραμμή. Αν και τα διαγράμματα τύπου Shewhrt είναι ιδιαίτερα δημοφιλή λόγω της απλής εφαρμογής τους παρουσιάζουν και σημαντικά μειονεκτήματα όπως η χρήση πληροφορίας που σχετίζεται μόνο με το πλέον πρόσφατο δείγμα και η αναγκαιότητα να ακολουθεί το υπό μελέτη χαρακτηριστικό την κανονική κατανομή. Για την αντιμετώπιση του πρώτου προβλήματος έχουν προταθεί εναλλακτικά διαγράμματα (π.χ. EWA ενώ για τη λύση του δεύτερου απαιτείται χρήση τεχνικών απαραμετρικής στατιστικής. Τα μη παραμετρικά διαγράμματα ελέγχου σχεδιάζονται χωρίς την υπόθεση συγκεκριμένης κατανομής του υπό μελέτη χαρακτηριστικού και κατά συνέπεια είναι πιο αποτελεσματικά για περιπτώσεις μη κανονικών κατανομών (π.χ. κατανομών με βαριές ουρές ή μη συμμετρικών κατανομών και πιο ανθεκτικά σε περιπτώσεις που υ- πεισέρχονται outlers. Για την κατασκευή ενός μη παραμετρικού διαγράμματος ελέγχου λαμβάνεται δείγμα αναφοράς (referece sle που προέρχεται από μια άγνωστη συνεχή κατανομή (διεργασία εντός ελέγχου και καθορίζονται τα όρια ελέγχου με χρήση συγκεκριμένων διατεταγμένων παρατηρήσεων του δείγματος αυτού. Συγκεκριμένα αν X X 2... X και X : X 2:... X : είναι οι παρατηρήσεις του δείγματος αναφοράς και του διατεταγμένου δείγματος αναφοράς αντίστοιχα τότε το κάτω και άνω όριο ελέγχου ορίζονται ως εξής LCL : X UCL X :. Στη συνέχεια λαμβάνεται τυχαίο δείγμα Y Y2... Y από τη διεργασία και υπολογίζεται η στατιστική συνάρτηση με βάση την οποία θα διατυπωθεί ο κανόνας απόφασης για το αν η διαδικασία θεωρείται εντός ελέγχου ή όχι. Ο καθορισμός των παραμέτρων απαιτεί τον προσδιορισμό της πιθανότητας συναγερμού (lr rte και ο σχεδιασμός διαγράμματος βασίζεται στις παραμέτρους αυτές. Στην επόμενη παράγραφο προτείνουμε ένα νέο μη παραμετρικό διάγραμμα ελέγχου το οποίο μετρά το μέγιστο πλήθος των παρατηρήσεων από το τυχαίο δείγμα Y Y2...Y που λαμβάνεται από τη διεργασία οι οποίες βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικές παρατηρήσεις X : X : του δείγματος αναφοράς με.... 2. ΤΟ ΝΕΟ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Έστω X X 2... X δείγμα αναφοράς με αθροιστική συνάρτηση κατανομής F X (x Y Y2...Y τυχαίο δείγμα από τη διεργασία με αθροιστική συνάρτηση κατανομής - 3 -
X : F Y (x και το πλήθος των παρατηρήσεων του τυχαίου δείγματος Y Y2... Y οι οποίες βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικές παρατηρήσεις X του δείγματος αναφοράς. Περιορίζοντας το ενδιαφέρον μας μεταξύ των ορίων ελέγχου LCL UCL μπορούμε να εκφράσουμε το μέγιστο μήκος ροής των Y παρατηρήσεων στο από κοινού δείγμα ως εξής R x( 2.... Οι Blkrsh & Frtt (2 και Blkrsh & Ng (2 προκειμένου να συγκρίνουν τις δύο κατανομές F F X Y εισήγαγαν ένα μη παραμετρικό τεστ στο οποίο η στατιστική συνάρτηση ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος των Y παρατηρήσεων που συνέβησαν πριν την πρώτη μεταξύ πρώτης και δεύτερης μεταξύ της (r-οστής d rοστής παρατήρησης του Xδείγματος. Η μελέτη της κατανομής της συνάρτησης x( 2... r υπό τη μηδενική υπόθεση H :F X FY βασίζεται στην από κοινού κατανομή των ( 2... r η οποία περιγράφεται στο ακόλουθο Λήμμα (ο αναγνώστης παραπέμπεται στους Blkrsh και Ng (26 για την απόδειξη του Λήμμα. Η από κοινού συνάρτηση κατανομής των ( 2... r r υπό τη μηδενική υπόθεση H : F X FY δίνεται ακολούθως (... H 2 2 r r των (... όπου. : r r r r. Το ακόλουθο Θεώρημα θεμελιώνει την ακριβή μορφή για την από κοινού κατανομή Θεώρημα. Έστω ότι ( ( 2... 2 εκφράζει την ποσότητα r... - 3 -
για κάθε υποσύνολο μη αρνητικών ακεραίων αριθμών που ικανοποιούν τη συνθήκη (διαφορετικά θέτουμε...... ( 2... (. Τότε η από κοινού συνάρτηση κατανομής των υπό την υπόθεση ότι η διαδικασία βρίσκεται εντός ελέγχου δίνεται ακολούθως... (... ( 2. Απόδειξη. Δεδομένου ότι η διαδικασία βρίσκεται εντός ελέγχου τα X και Yδείγματα προέρχονται από την ίδια κατανομή δηλαδή Y X F F. Η πιθανότητα... (... ( r μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζοντας το Λήμμα για και αθροίζοντας για όλα τα που ικανοποιούν τη συνθήκη και έχουμε... 2 2... r. Εκφράζοντας την πιθανότητα ως εξής 2... προκύπτει άμεσα η ακόλουθη σχέση c όπου c εκφράζει το πλήθος των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της γραμμικής εξίσωσης. Η απόδειξη ολοκληρώνεται λαμβάνοντας υπόψιν την ακόλουθη σχέση (βλ. Chrldes (22 σελ. 69 c. Με βάση το Θεώρημα η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της μπορεί να εκφρασθεί ως εξής... x( 2 R - 32 -
( R r ( r r... r (... 2... που ικανοποι- όπου το εσωτερικό άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα ούν τις συνθήκες... s r.. και. Η πιθανότητα ο νέος κανόνας να μη δίνει ένδειξη σφάλματος μπορεί να εκφρασθεί ως εξής ( ; c; F F ( d for όπου c ~ ~ X Y (... A είναι διάνυσμα σταθερών που προσδιορίζονται ώστε ο κανόνας να ικανοποιεί ορισμένες προκαθορισμένες απαιτήσεις (π.χ. μια προκαθορισμένη πιθανότητα λανθασμένου συναγερμού και A είναι το πεδίο τιμών για το τυχαίο διάνυσμα ( 2... ώστε ο κανόνας να μην δίνει ένδειξη σφάλματος (δηλαδή r και r... όπου rr είναι παράμετροι σχεδιασμού. Συνεπώς η πιθανότητα λανθασμένου συναγερμού ( ; c ; F X F Y για την ειδική περίπτωση FY F X δίνεται ακολούθως FAR ( ; c ; F X F X. Για διεργασίες εκτός ελέγχου δηλαδή για περιπτώσεις όπου οι Χ και Y παρατηρήσεις δεν ακολουθούν την ίδια κατανομή θα μελετήσουμε την ειδική μορφή της εκτός ελέγχου κατανομής (x που δίνεται από την ακόλουθη σχέση F Y FX ( x [ FY ( x] και είναι γνωστή ως εναλλακτική υπόθεση τύπου Leh. Το επόμενο Θεώρημα περιγράφει την από κοινού κατανομή των ( 2... για την περίπτωση των εναλλακτικών υποθέσεων τύπου Leh. Θεώρημα 2. Η από κοινού κατανομή των τύπου Leh όπου F X ( x [ F ( x] ~ ( 2... Y δίνεται ακολούθως ( = c c d for 2 B( ( B(( l ~ υπό την υπόθεση - 33 -
!! c c 2. (!(!!(!(! Απόδειξη. Η δεσμευμένη πιθανότητα ότι Y αποτυχίες θα συμβούν πριν τη διατεταγμένη παρατήρηση X : Y αποτυχίες θα συμβούν μεταξύ των X : και X : για 2... δεδομένων των τιμών X : X :... X : δίνεται ως μια πολυωνυμική πιθανότητα της μορφής d for X x X x... X x ( : : : : : :!(!(! [ FY ( x : ] ( FY ( x : FY ( x : ( FY ( x:! Συνεπώς μπορούμε να εκφράσουμε την αδέσμευτη πιθανότητα του ενδεχομένου {... } ως ακολούθως d for ( = x :... x :... x:!(!!( [ FY! ( x : ] όπου f (F ( x Y FY ( x : f ( x:... x: dx : F Y ( x : ( : :... dx :! ( x:... x: ( x: ( x: x: x:... x : (!(! : είναι η από κοινού πυκνότητα των ( διατεταγμένων παρατηρήσεων από το Y δείγμα. Υπό την εναλλακτική υπόθεση F X ( x [ FY ( x] η παραπάνω πιθανότητα παίρνει την ακόλουθη μορφή ( d for { ( FY ( x : FY ( x : ( FY ( x : x: x:... x:... } { [ F C [ F Y ( x : ] ( Y ( x : ] fy ( x : } όπου F Y ( x: dx:... dx: ( - 34 -
!! C. (!(!!(!(! Εφαρμόζοντας διαδοχικά τους μετασχηματισμούς t F ( x / F ( x για... ( Y : Y : και ύστερα από αλγεβρικές πράξεις καταλήγουμε στο ζητούμενο. 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε αριθμητικά αποτελέσματα για το σχεδιασμό του νέου μη παραμετρικού διαγράμματος ελέγχου αλλά και συγκρίσεις ανάμεσα στο νέο κανόνα και το διάγραμμα των Blkrsh et l. (28. Συγκεκριμένα ο ακόλουθος πίνακας περιλαμβάνει διάφορες τιμές των παραμέτρων σχεδιασμού r r του διαγράμματος καθώς και την πιθανότητα λανθασμένου συναγερμού που επιτυγχάνεται σε κάθε περίπτωση. Πίνακας. Πιθανότητες λανθασμένου συναγερμού για δοσμένο σχεδιασμό Μέγεθος δείγματος αναφοράς r r 2 4 6 2 5 6 3 2.5778.6635.785.34.37 9 3 4 2.465.3872.72.227.29 7 2 4 2.3435.392.2.272.36 6 3 3.42292.3984.96.32. 5 9 4.33333.436.922.732.93 6 5 4.7829.448.64.46. 8 2 6 5.78476.263.258.. 4 8 5.2229.29.3.. 4 8 3.548.383.923.46. 5 8 3.593.474.52.82.3 5 7 2 9 4.8532.4734.888.98. 7 2 2 4.475.437.87.98. 7 2 3 5.5596.863.24.. 7 3 5.255.69.99.. 7 8 8.76549.795.8.. Είναι φανερό από τον Πίνακα 2 ότι το προτεινόμενο διάγραμμα ελέγχου υπερέχει του αντίστοιχου διαγράμματος των Blkrsh et l. καθώς πετυχαίνει με μεγαλύτερη πιθανότητα να εντοπίσει τη μετατόπιση της παραμέτρου της κατανομής όταν η επιλογή των παραμέτρων σχεδιασμού για τα δύο διαγράμματα έχουν επιλεγεί έτσι ώστε να επιτυγχάνεται πιθανότητα λανθασμένου συναγερμού ίση με 5. - 35 -
Πίνακας 2. Πιθανότητες συναγερμού για δοσμένο FAR Κάθε κελί του Πίνακα 2 περιλαμβάνει τις πιθανότητες συναγερμού που επιτυγχάνουν τα δύο διαγράμματα για 3 και 5 αντίστοιχα. B-T-K διάγραμμα FAR r (LCLUCL Ακριβές FAR.5 5 2 (546.25.387 25 (744.48.5588 7 (596.46.46 25 (586.45.6295 5 5 (56445.49.467 25 (94.5.754.9865 ABSTRACT Νέο διάγραμμα AR (LCLUCL r r Ακριβές FAR AR (48 4 4.36.525.784.879 (59 9 5.5.735.94.983 (4 4 4.46.677.84.925 (37 4 4.44.876.965.9974 (37 2.46.6756.8462.9553 (335 5 3.5.963.9998 I the reset rtcle we troduce ew oretrc cotrol chrt d rovde forul for the flse lr rte of the chrt. I ddto we study the lr rte of the chrt uder Leh ltertves. Flly corsos etwee the ew chrt d the chrt of Blkrsh et l. re estlshed y fxg the FAR d lookg uo the resectve lr rte uder cert out-of-cotrol ltertves. ΑΝΑΦΟΡΕΣ A R. Reyolds.R.Jr. & Bkr S.T. (995. Noretrc cotrol chrts sed o the sg sttstc Couctos Sttstcs- Theory d ethods 24 597-623. Blkrsh N. & Frtt R. (2. Test d xl recedece test. I Recet Advces Rellty Theory: ethodology rctce d Iferece Los N. & Nkul. (eds Brkhuser: Bosto 355-378. Blkrsh N. Trtfyllou I.S. & Koutrs.V. (28. A dstrutofree cotrol chrt sed o order sttstcs uder revso. Blkrsh N. & Ng H.K.T. (2. A geerl xl recedece test. I Syste d Byes RelltyEssys Hoor of rof. Rchrd E. Brlow for hs 7 th Brthdy Hykw Y. Iroy T. Xw. (eds World Scetfc ulshg Co. te. Ltd: Sgore 5-22. Blkrsh N. & Ng H.K.T. (26. recedece-tye Tests d Alctos Joh Wley & Sos Hooke New Jersey. Chkrort S. & Erylz. (27. A oretrc shewhrt-tye sged-rk cotrol chrt sed o rus Couctos Sttstcs- Sulto d Coutto 36 335-356. Chrldes Ch. (22. Euertve Cotorcs. Ch & Hll/CRC Boc Rto USA. - 36 -