Ενδεικτικές Ασκήσεις για το μάθημα: «Μετρήσεις Φυσικών Μεγεθών» Άσκηση 1 Τα φίλτρα Butterworth χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα, η συνάρτηση απόκρισής τους να είναι ιδιαίτερα επίπεδη στην περιοχή διέλευσης. Για ένα φίλτρο διέλευσης χαμηλής συχνότητας (low pass) Ν-οστής τάξης αυτό σημαίνει ότι οι 2Ν-1 παράγωγοι είναι μηδενικές για Ω=0. Εάν τα φίλτρα αυτά διέπονται από τη σχέση: όπου Ω C είναι η θεωρητική συνάρτηση αποκοπής του φίλτρου. Σε μια συγκεκριμένη εφαρμογή, απαιτείται να περνάνε οι συχνότητες κάτω από 0.2 π (pass band) με ενίσχυση μικρότερη του 1 db και να κόβονται οι συχνότητες πάνω από 0.3 π (stop band) με εξασθένηση μεγαλύτερη από 15 db. Βρείτε το ελάχιστο Ν για να έχουμε ένα ικανοποιητικό φίλτρο. (1 db = -20log10 H a ) Η συνάρτηση απόκρισης Η α του φίλτρου Butterworth είναι μονότονη συνάρτηση της συχνότητας. Έτσι θα πρέπει να ισχύουν τα εξής: Πολλαπλασιάζοντας με -1, τότε έχουμε: -20 log 10 H a (0.2π) 1-20 log 10 H a (0.3π) 15 20 log 10 H a (0.2π) -1 20 log 10 H a (0.3π) -15 1
Συνεπώς, με αντικατάσταση βρίσκουμε ότι θα πρέπει να ισχύει: Όμοια καταλήγουμε στην εξίσωση: Το ελάχιστο Ν και το Ω c που ικανοποιεί αυτές τις εξισώσεις είναι: Ν=5.8858, Ω c =0.70474 Δεδομένου ότι το Ν είναι φυσικός αριθμός, αναγκαστικά θα ληφθεί Ν=6. 2
Άσκηση 2 Ένας 12-bit μετατροπέας αναλογικού σήματος σε ψηφιακό, (A/D) converter) έχει απόκριση τάσης στην περιοχή -10 V έως 10 V. Εξηγείστε ποιό είναι το μέγιστο λάθος κβαντοποίησης που μπορεί να έχει η μέτρηση όταν μετράει την απόκριση ενός επιταχυνσιόμεντρου με συνάρτηση μεταφοράς: επιτάχυνση (m/s 2 ) = A * Τάση (V) + Β, όπου Α = 2 και Β = 5. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Υ=2Χ+5, άρα η περιοχή λειτουργίας του οργάνου ( 10 Volt) είναι: Χ 1 = -10 volt => Y 1 = -15 m/s 2 Χ 2 = 10 volt => Y 2 = 25 m/s 2 Το διάστημα αυτό χωρίζεται σε 2 12 = 4096 στάθμες Άρα ο A/D μετατροπέας έχει στάθμες ανά 20/4096 Volt = 4.88 mv ή (25 +15)/4096 m/s 2 = 9.766 mm/s 2. Καθώς κάθε καταγραφή της απόκρισης του επιταχυνσιομέτρου στρογγυλοποιείται στην κοντινότερη στάθμη, το μέγιστο λάθος κβαντοποίησης είναι το μισό της απόστασης των σταθμών αυτών. Δηλαδή 9.766/2 mm/s 2 = 4.883 mm/s 2. Άσκηση 3 Θέλουμε να ρυθμίσουμε ένα μετρητικό όργανο για να μετρήσουμε ένα μέγεθος που αναμένουμε να κυμαίνεται σε ένα μέρος μόνο της περιοχής λειτουργίας του. Συγκεκριμένα πρόκειται για ένα επιταχυνσιόμετρο, με το οποίο θέλουμε να μετρήσουμε στην περιοχή από 0 έως 1 g. Η συνάρτηση βαθμονόμησης είναι: Επιτάχυνση (m/s 2 ) = A * Τάση (V) + Β, όπου τα Α (span) και Β (offset) είναι πραγματικοί 3
αριθμοί που μπορούν να ρυθμιστούν κατά τη φάση της βαθμονόμησης. Το σήμα θα περάσει από έναν 12bit A to D converter με απόκριση τάσης στην περιοχή -10 V έως 10 V. Σε ποια τιμή πρέπει να ρυθμίσουμε την παράμετρο Α για να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια και ποιο είναι το μέγιστο λάθος κβαντοποίησης που θα έχει η μέτρηση στην περίπτωση αυτή; Θέλουμε Α * (-10) + Β = 0 και Α * (10) + Β = 1 g = 9.81 m/s 2 Το σύστημα αυτό μας δίνει Α = 0.4905 και Β= 4.905 Ο συγκεκριμένος A/D μετατροπέας έχει στάθμες ανά 20/4096 Volt = 4.88 mv που αντιστοιχούν σε (9.81)/4096 m/s 2 = 2.395 mm/s 2. Καθώς κάθε καταγραφή της απόκρισης του επιταχυνσιομέτρου στρογγυλοποιείται στην κοντινότερη στάθμη, το μέγιστο λάθος κβαντοποίησης είναι το μισό της απόστασης των σταθμών αυτών. Δηλαδή 1.1975 mm/s 2. Άσκηση 4 1. Η συνάρτηση απόκρισης (RAO) της κατακόρυφης επιτάχυνσης a ενός πλοίου ανά μονάδα πλάτους κύματος Α δίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Α) Υπολογίστε το RMS της απόκρισης του πλοίου όταν πλέει σε θάλασσα με φάσμα σταθερής φασματικής πυκνότητας S 0 m 2 sec στην περιοχή συχνοτήτων ω από 0.4 έως 1.0 rad/sec. Β) Ποια είναι η κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας για την καταγραφή αυτής της απόκρισης; 4
Γ) Εάν αποφασίσουμε να κάνουμε δειγματοληψία συνολικού χρόνου 15 min, πώς προτείνετε να γίνει η ανάλυση της χρονικής ιστορίας (αριθμός φίλτρων, μέγεθος τμήματος καταγραφής): RAO A.V.A. (sec -2 ) a/α 1.3 1.0 0.6 0.8 1.5 ω (rad/sec) Α) Η διασπορά ορίζεται ως εξής: m 0 = ω 0 S(ω)RAO 2 (ω)dω= S(ω)RAO 2 (ω)dω Η τυπική απόκλιση της απόκρισης ορίζεται ως εξής: RMS=(m 0 ) 0.5. ω < 0.4 rad/s: S(ω)=0, RAO(ω)=1 => S(ω)RAO(ω)dω = 0 0.4 < ω < 0.6: S(ω)=S 0, RAO(ω)=1 => 0.4 0.6 S(ω)RAO 2 (ω)dω = 0.4 0.6 S 0 dω = 0.2S 0 0.6 < ω < 0.8: S(ω)=S 0, RAO(ω)=1.5ω + 0.1 => 0.6 0.8 S(ω)RAO 2 (ω)dω = 0.6 0.8 S(ω)(1.5ω+1) 2 dω = 0.6 0.8 S(ω) (2.25ω 2 + 0.3ω + 0.01) dω = 0.6 0.8 2.25ω 2 S 0 dω + 0.6 0.8 0.3ωS 0 dω + 0.6 0.8 0.01S 0 dω = 2.25S 0 [ω 3 /3] 0.8 0.6 + 0.35S 0 [ω 2 /2] 0.8 0.8 0.6 + 0.01S 0 [ω] 0.6 0.8 < ω < 1.0: S(ω)=S 0, RAO 2 (ω)= -1.857ω + 2.7857 => 5
0.8 1.0 S 0 RAO 2 (ω) dω = 0.8 1.0 S 0 (-1.857ω + 2.7857) 2 dω = 0.8 1.0 S 0 (3.448ω 2 10.346ω + 7.76) dω = 3.448S 0 [ω 3 /3] 1.0 0.8 + 7.76S 0 [ω 2 /2] 1.0 1.0 0.8 + 10.346S 0 [ω] 0.8 ω>1.0: S(ω)=0 => S(ω)RAO 2 (ω)dω = 0 Άρα RMS= S 0 0.5 = (0.2S 0 + 2.25S 0 [ω 3 /3] 0.6 0.8 + 0.35S 0 [ω 2 /2] 0.6 0.8 + 0.002S 0 + 3.448S 0 [ω 3 /3] 0.8 1.0 + 7.76S 0 [ω 2 /2] 0.8 1.0 + 1.034S 0 ) 0.5 Β) Η κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας είναι τουλάχιστον διπλάσια της συχνότητας Nyquist η οποία είναι η μέγιστη συχνότητα ενδιαφέροντος: ω Nyquist = 2ω max = 2rad/sec γιατί ω max =1.0rad/sec f Nyquist = ω/2π => f Nyquist = 2/2π = 1/π = 0.32 Γ) Με δεδομένο ότι η δειγματοληψία γίνεται με 0.32 Hz για 15 λεπτά, το μέγεθος του δείγματος καταγραφής θα είναι 0.32x15x60 = 288. Αν θεωρήσουμε ότι είναι ικανοποιητική η χρήση των 128 τιμών για κάθε γρήγορο μετασχηματισμό Fast Fourier Transform, τότε χωρίζουμε την καταγραφή σε δύο πακέτα των 128 καταγραφών. Με αυτόν τον τρόπο θα περισσέψουν 32 καταγραφές στο τέλος της διάρκειας μέτρησης, που αντιστοιχούν σε 10.24 δευτερόλεπτα μέτρησης, τα οποία δεν θα αξιοποιήσουμε. Άσκηση 5 Βρείτε την απόκριση του φίλτρου h(n), στην είσοδο x(n). Οι αριθμοί n 0, N ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. 6
Το h(k) είναι μη μηδενικό μόνο στο διάστημα [0,Ν]. Α.) αν n<n 0 τότε για κάθε k που ανήκει στο [0,Ν], ισχύει n-k<n 0 Άρα x(n-k)=0 => y(n)=0 B.) αν n n 0 +N τότε για κάθε k που ανήκει στο [0,Ν], ισχύει n-k n 0 Άρα Γ.) αν n 0 <n<n 0 +N τότε η n-k n 0 ισχύει μόνο αν k n-n 0 <N Άρα Άσκηση 6 Βρείτε τα ρεύματα που περνούν από όλες τις αντιστάσεις στο παρακάτω κύκλωμα. Αποδώστε τα ρεύματα i 1, i 2, και i 3 που περνούν από τις αντιστάσεις των 5Ω, 2Ω και 3Ω, αντίστοιχα. 7
a c e g 6Ω 4Ω + 15V 5Ω 2Ω 3Ω - b d f h Από τον νόμο του Kirchhoff, το ρεύμα που περνάει από τις αντιστάσεις των 4Ω και 6Ω είναι (i 1 + i 2 ) και (i 1 + i 2 + i 3 ) αντίστοιχα. Επίσης, λύνοντας τους τρεις κύκλους έχουμε: -15 + 6 i 1 + i 2 + i 3 ) + 5(i 3 ) = 0-5(i 3 ) + 4(i 1 + i 2 ) + 2(i 2 ) = 0-2(i 2 ) + 3(i 1 ) = 0 Λύνοντας τις τρεις εξισώσεις έχουμε: 6i 1 + 6i 2 + 11i 3-15 = 0 4i 1 + 6i 2 + 5i 3 = 0 3i 1 2i 2 = 0 8
Άσκηση 7 Βρείτε τα ρεύματα i 1, i 2, και i 3 που περνούν από τις αντιστάσεις στο παρακάτω κύκλωμα. 2Ω α i 2 i 1 2Ω i 3 4Ω + 10V b Ι5 3Ω c - 4Ω 2Ω d i 4 i 6 Α Με την μέθοδο Mesh Β Λύνοντας τους κόμβους α,β και γ. Α) Από τους κόμβους a,b και c έχουμε: i 1 i 2 i 3 = 0 i 3 i 4 i 5 = 0 i 2 + i 5 i 6 = 0 Αν έχουμε i α στον κλάδο abd, i β στον κλάδο (branch) acb και i γ στον κλάδο bcd, τότε χρησιμοποιώντας το νόμο του Kirchhoff έχουμε: 9
-10 + 2i α + 2(i α - i β ) + 4(i α - i γ ) = 0 4i β + 3(i β - i γ ) + 2(i β - i α ) = 0 3(i γ - i β ) + 2i γ + 4(i γ - i α ) = 0 Απλοποιώντας έχουμε: 8i α 2i β 4i γ = 0-2i α + 9i β 3i γ = 0-4i α 3i β +9i γ = 0 και i 1 = i α, i 2 = i β, i 3 = i α i β, i 4 = i α i γ, i 5 = i γ i β και i 6 = i γ Β) Χρησιμοποιώντας το νόμο του KIrchhoff στους κόμβους a,b και c έχουμε: (u a 10)1/2 + (u a u b )1/2 + (u a u c )1/4 = 0 (u b u a )1/2 + (u b u c )1/3 + u b 1/4 = 0 και (u c u b )1/3 + (u c u a )1/4 + u c 1/2 = 0 Οπότε έχουμε u a (1/2 + 1/2 +1/4) - u b (1/2) u c (1/4) = 10/2 -u a (1/2) u b (1/2 + 1/3 + 1/4) u c (1/3 = 0 -u a (1/4) u b (1/3) u c (1/3 + 1/4 +1/2) = 0 Η τάση στους κόμβους είναι: u 3 = u a u b, u 2 = u a u c, u 6 = u c, u 4 = u b και u 1 = -u a και i 1 = (u 1 + 10)/2, i 2 = u 2 /4, i 3 = u 3 /2, i 4 = u 4 /4, i 5 = u 5 /3 και i 6 = u 6 /2 10