ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν: i. ii. (), = + + =. (), = + =. iii. () = ln, =. iv. () ( ), = ηµ =. π v. () = εϕ, =. 6 vi. () =, =. Λύση i. Το πεδίο ορισμού της είναι D =. Η είναι παραγωγίσιμη σαν πολυωνυμική με () = +,. Άρα () = + =. ii. Το πεδίο ορισμού της είναι D [, ) = +. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν πολυωνυμική με () = ( + ) = + = +.
Άρα 4 () = + =. iii. Το πεδίο ορισμού της είναι D = { }. Η είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () =,. Άρα () =. iv. Το πεδίο ορισμού της είναι D =. Η είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) () = συν,. Άρα () = συν =. π π v. Το πεδίο ορισμού της είναι D = κ +, κ 4 π π Η είναι παραγωγίσιμη με () =, κ + συν 4 π Ελέγχω αν το D. Έστω ότι υπάρχει κ ώστε 6 με κ. π π π κ κ =κ + = + = κ= 6 4 6 4 6 αδύνατο αφού το κ. Έτσι το π D. Άρα 6 π = = = = 8 6 π π συν συν 6 4 vi. Το πεδίο ορισμού της είναι D = (, + ). H παραγωγίζεται στο (, + ), με 5 () = =. Άρα () =.
Άσκηση. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο όταν: i. π () =, =. ηµ ln ii. g() =, =. e iii. e h() = e, =. iv. π ϕ () = συν, =. Λύση i. Το πεδίο ορισμού της είναι D =. Η είναι παραγωγίσιμη σαν πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) ( ηµ ) ( )( ηµ ) () = = ( ηµ ) Έτσι έχουμε: ( ηµ ) ( )( συν) = = ( ηµ ) ( ) ( ) ηµ + συν, = ( ηµ ) ii. Το πεδίο ορισμού της g είναι D (, ) παραγωγίσιμων συναρτήσεων με. π π π π ηµ + συν π 4 8 π = = π 4 ηµ = +, Η g είναι παραγωγίσιμη σαν πηλίκο ( ln ) e ( ln )(e ) g () = = (e )
( + ln )e ( ln )e = = (e ) + ln ln + = = e + () ln, > e Έτσι έχουμε: + () ln + g () = = = e e e iii. Θέτω () = e. Είναι h = o. Η είναι παραγωγίσιμη με () = e,. Άρα η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Έτσι έχουμε: ( ) e + e h () = () () = (e ) (e ) = e e = e, + e = = h () e e iv. Το πεδίο ορισμού της ϕ είναι D ϕ =. Θέτω g() =,. Είναι () ϕ= og. = συν, H g είναι παραγωγίσιμη με g () =,. H είναι παραγωγίσιμη με () = ηµ,. Άρα η ϕ είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 4
( ) ϕ () = g() g () = ( ) = ( ηµ ) = ηµ,. Έτσι έχουμε: π π π π π ϕ = ηµ = πηµ = π =. 4 5
Άσκηση. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i. () = ηµ + εϕ + ln ii. () = + iii. () = e ηµα σϕ, α iv. () = ηµ v. () = εϕ ln Λύση i. Το πεδίο ορισμού της είναι: π D = κπ +, κ Η είναι παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με συν + π () = ( ηµ ) + ( εϕ ) = συν + =, κπ +, κ συν συν ii. Το πεδίο ορισμού της είναι D =. Η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σαν πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με (+ ln )( + ) (+ ln ) () = =, ( + ) ( + ) iii. Το πεδίο ορισμού της είναι D = { κπ / κ }. Η είναι παραγωγίσιμη σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με = ηµα σϕ + ( σϕ ) = () e e 6
ηµ = ηµα e σϕ + e = ηµα συν ηµ ηµα σϕ = κπ κ ηµ ηµ e ( ) e,, iv. Το πεδίο ορισμού της είναι D [, ) {, } = + κπ κ. Η είναι παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ηµ ) συν () = = +, ηµ ηµ και κπ, κ v. Το πεδίο ορισμού της είναι π D = (, + ) κπ +, κ Η είναι παραγωγίσιμη σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) ( ) ( ) () = εϕ ln + εϕ ln + εϕ ln = ln εϕ = εϕ ln + + = συν ln = εϕ ln + + εϕ, > συν π και κπ +, κ 7
Άσκηση 4. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης + g στις παρακάτω περιπτώσεις: i. ii. () =, g() =. 4 5 () =, g() =. iii. () =, g() =. Λύση i. Το πεδίο ορισμού της είναι D [, ) = +. Το πεδίο ορισμού της g είναι D [, ) Είναι D [, ) + g= +. Η παραγωγίζεται στο [, + ) με Η g παραγωγίζεται στο (, + ) με Έτσι η g = +. () =. g () =. + g παραγωγίζεται στο (, + ) με ( + g) () = () + g () = +, >. Θα εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα της + g στο. Η παραγωγίζεται στο, ενώ η g δεν παραγωγίζεται στο, τότε η + g δεν παραγωγίζεται στο. Γιατί αν η + g παραγωγιζόταν στο τότε η συνάρτηση g = ( + g) θα ήταν παραγωγίσιμη στο σαν διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Αυτό είναι άτοπο. Έτσι έχουμε: ( + g) () = +, > 8
ii. Το πεδίο ορισμού της είναι D [, ) = +. Το πεδίο ορισμού της g είναι D [, ) Είναι D [, ) + g= +. Η παραγωγίζεται στο (, + ) με Η g παραγωγίζεται στο (, + ) με Έτσι η g = +. 4 () =. 4 5 g () =. 5 + g παραγωγίζεται στο (, + ) με 4 5 + g () = () + g () = +, > 4 5 ( ) Θα εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα της Για > έχουμε: + g στο. ( + g)() ( + g)() () + g() () g() = = Οπότε 4 5 4 5 + = = + = + = + 4 5 4 5 Έτσι έχουμε: ( + g)() ( + g)() lim = lim + = + 4 5 + + 4 5 + g () = +, > 4 5 ( ) iii. Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g αντίστοιχα είναι D [, ) g [ ) D =, +, οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g = + και + είναι D [, ) +g = +. Για κάθε [, ) + είναι ( + g )() = () + g() = + = + =. 9
Η συνάρτηση + g παραγωγίζεται στο (, ) + με ( ) ( + g ) () = =. Εξετάζουμε αν η συνάρτηση + g παραγωγίζεται στο. Για > έχουμε: ( + g)() ( + g)() = = οπότε ( + g)() ( + g)() lim = lim = + + Άρα η συνάρτηση Επομένως: + g παραγωγίζεται στο. [ ) ( + g ) () =,, +. Σχόλιο: Τα συμπεράσματα που βγαίνουν από την παραπάνω άσκηση είναι τα εξής: i) Αν παραγωγίζεται στο και η g δεν παραγωγίζεται τότε η + g δεν παραγωγίζεται στο. ii) Αν οι,g δεν παραγωγίζονται στο τότε δεν γνωρίζουμε αν η + g παραγωγίζεται στο.
Άσκηση 5. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. i. () = ηµ ( ηµ ), ii. ( ) ηµ () =, > iii. () = log ( ηµ ), (,) (, π ) iv. () =, Λύση i. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ). () = συν( ηµ )( ηµ ) = = συν( ηµ )( συν )( ) = ( ) συν ηµ συν =, > Θα εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα της στο. Για > έχουμε: () () ηµ ( ηµ ) ηµ ηµ ( ηµ ) = = ηµ Είναι: ηµ ηµ u lim = lim = u + u + ηµ ( ηµ ) ηµν lim = lim = ηµ ν + ν + lim + = +
οπότε () () ηµ ηµ ( ηµ ) lim = lim = + ηµ + + Άρα η δεν παραγωγίζεται στο. Έτσι έχουμε: ii. Για > είναι: Άρα >, οπότε = e συν( ηµ ) συν () =, > ln() ηµ ηµ ln() ηµ ln() () = ( ) = e = e, > Η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με iii. Είναι ( ) [ ] = ηµ = ηµ ln( ) () e ln( ) ηµ ηµ = () ηµ ln( ) + συνln( ) +, > ln( ηµ ) () = log ηµ =, (,) (, π) ln( ) Η παραγωγίσιμη σαν πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με συν ln ( ) ln( ηµ ) ηµ ( ) = = [ln ] ( ) ( ) ( ) ( ) ηµ [ln( )] συν ln ηµ ln( ηµ ) =, (, ) (, π ) iv. Η είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με = ln = ln ln = ( ) ( )( ) ( ) ( ) + = (ln ),
Άσκηση 6. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i. ii. h() = ( ) 5 5 h() = ( ln ) Λύση i. Το πεδίο ορισμού της h είναι D [, ) h = +. Η h είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με Θα εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα της h στο. Για > έχουμε: οπότε 5 h () = ( ), >. 5 5 h() h() ( ) = = = ( ) ( ) + + 5 5 5 h() h() lim = lim = + ( ) Άρα η h δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Έτσι έχουμε: 5 h () = ( ), > 5 ii. Πρέπει ln ln ln e ln e και >, άρα το πεδίο ορισμού της D =,e. h είναι ( ] h Η h είναι παραγωγίσιμη στο (,e ) με 5 5( ln ) h () = (ln ) =, < < e. Θα εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα της h στο e.
Για <<e έχουμε: 5 = = = h () h (e) ( ln ) ( ln )( ln ) ln ln e e e e e Θεωρούμε τη συνάρτηση () = ln, >. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με παραγωγίσιμη και στο e με (e) =. e Είναι: ln ln e lim = (e) = e e e ( ln ) () = (ln ) =, άρα είναι lim ( ln ) = e οπότε h () h (e) ln ln e lim = lim ( ln ) e e = = e e. e Άρα η h είναι παραγωγίσιμη στο e με h (e) = Έτσι έχουμε: 5( ln ) h () =, < e 4
Άσκηση 7. Αν η συνάρτηση : παραγωγίσιμη τότε ισχύουν: i. Αν η είναι άρτια τότε η είναι περιττή. ii. Αν η είναι περιττή τότε η είναι άρτια. Λύση i. Αφού η : είναι άρτια τότε: ( ) = () για κάθε. Αφού η είναι παραγωγίσιμη θα έχουμε: ( ) = () [ ( )]( ) = () ( ) = () ( ) = () για κάθε Άρα η είναι περιττή συνάρτηση. ii. Αφού η : είναι περιττή τότε: ( ) = () για κάθε. Αφού η είναι παραγωγίσιμη θα έχουμε: [( )] = () [ ( )]( ) = () ( ) = () ( ) = () για κάθε. Άρα η είναι άρτια συνάρτηση. 5
Άσκηση 8. Αν : παραγωγίσιμη, άρτια και () =, να δείξετε ότι για την συνάρτηση g() = (o )() + e ισχύει g () =. Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι D g =. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Άρα ( ) g () = () () + e, ( ) g () = () () + e = = () () + = [ ] = () + (). Η συνάρτηση είναι άρτια στο, επομένως για κάθε είναι ( ) = () (). Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () για κάθε έχουμε: [( )] = [()] ( ) ( ) = () ( ) = () ( ) = () (), οπότε η είναι περιττή στο. Για = από την () έχουμε: () = () () = () =. Επομένως από την σχέση () έχουμε: g () = 6
Άσκηση 9. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. i. g() = ( ηµ + ), ii. g() = ( (ln ) ), >, iii. g() = ( συν ), iv. g() = ηµ ( (()) ) Λύση i. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι D g =. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g() = ( ) ηµ + ( ηµ + ) = ( ) ( ) = ηµ + συν +, ii. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι D g = (, + ). Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () = (ln ) (ln ) = ( )[ ] ( )[ ] = (ln ) (ln ), > iii. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι D g =. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () = ( συν) ( συν ) = [ ] [ ] = ( συν) ( συν) ( συν ) = [ ] = ( συν) ( συν) ( ηµ ) = [ ] = ηµ ( συν) ( συν), 7
iv. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι D g =. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ( )) ( ( )) g () = συν () () = ( ( )) ( ) = συν () () () = ( ) ( ( )) = () () συν (),. 8
Άσκηση. Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων: i. ii. + < () = ηµ,, ηµ +, < () = ηµ, Λύση i. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική με () = +, <. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) () = ηµ = ηµ + συν = ηµ + συν =, > Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα της στο. Για < έχουμε: () () ( ) + + = = = + οπότε () () lim = lim ( + ) = Για > έχουμε: () () ηµ ηµ = = οπότε 9
ii. () () ηµ lim = lim = + + Άρα η παραγωγίσιμη στο με () =. Η παράγωγος της ορίζεται ως εξής: +, () = ηµ + συν, > Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (,) σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () = ηµ + () = ηµ + συν + = = ηµ, συν + <. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () = ( ηµ ) = συν, >. Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα της στο. Για < έχουμε: ηµ + () () = = ηµ + Είναι: ηµ = ηµ = = άρα ( ) ηµ ηµ και επειδή lim ( ± ) = θα έχουμε lim ηµ =, οπότε () () lim = lim ηµ + = + =
Για > έχουμε: () () ηµ ηµ = = οπότε () () ηµ lim = lim = = + + Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Η παράγωγος της ορίζεται ως εξής: ηµ συν +, < () = συν, >
Άσκηση. Έστω η συνάρτηση με τύπο () = e. Να δείξετε ότι: () + () + () = 6 Λύση Η είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο. Για κάθε έχουμε: () = e + e = (+ )e, οπότε () = e + (+ )e = (+ )e, οπότε () = e + (+ )e = (+ )e, οπότε Έτσι έχουμε: () + () + () = + + = 6. () = ( + )e =. () = ( + )e =. () = ( + )e =.
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο λ συν, < () = +κ, όπου κλ,,. Να βρείτε τις τιμές των κλ,, ώστε η να είναι παραγωγίσιμη. Λύση Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με () = λ + ηµ για κάθε κλ,,. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με () = για κάθε κλ,,. Θα εξετάσουμε αν υπάρχουν κλ,, ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο. Αρχικά θα εξετάσουμε αν υπάρχουν κλ,, ώστε η να είναι συνεχής στο. Η είναι συνεχής στο αν και μόνο αν lim () = () lim ( λ συν ) = κ =κ κ= = +κ =κ κ lim () () lim ( ) + + Έτσι έχουμε συνεχής στο αν και μόνο αν κ= και λ. Έτσι αν κ= ο τύπος της γίνεται: λ συν, < () =, Παραγωγισιμότητα της στο. Για < έχουμε: () () λ συν + συν = =λ+ οπότε () () συν lim = lim λ+ =λ+ =λ
Για > έχουμε: () () + = = = οπότε () () lim = lim = + + Η είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνον αν λ= και κ=. Έτσι έχουμε: Αν λ= και κ= η είναι παραγωγίσιμη. 4
Άσκηση. Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης του παρακάτω σχήματος. Λύση () () lim =λ AB = () () lim =λ = + ΒΓ () () () () Άρα lim lim + Έτσι η δεν παραγωγίζεται στο. Είναι φανερό ότι η είναι συνεχής στο. (Το σημείο Β είναι γωνιακό σημείο της () () lim =λ ΒΓ = () () 6 6 lim =λ = = = 4 + Γ C ). Άρα () () () () lim lim + Έτσι η δεν παραγωγίζεται στο. Είναι φανερό ότι η είναι συνεχής στο. 5
(Το σημείο Γ είναι γωνιακό σημείο της () (4) lim =λ Γ = 4 4 () (4) 64 lim =λ = =. 4 46 + Ε 4 C ). Άρα () (4) () (4) lim lim. 4 4 4 4 + Έτσι η δεν παραγωγίζεται στο 4. Είναι φανερό ότι η είναι συνεχής στο 4. (Το σημείο Δ είναι γωνιακό σημείο της C ). Η παραγωγίζεται στο [,) με () =λ = για κάθε <. Η παραγωγίζεται στο (, ) με () =λ ΒΓ = για κάθε < <. Η παραγωγίζεται στο (, 4) με () =λ Γ = για κάθε < < 4. Η παραγωγίζεται στο ( ] ΑΒ 4,6 με () =λ = για κάθε 4< 6. Η γραφική παράσταση της δίνεται από το παρακάτω σχήμα. Ε ΣΧΟΛΙΟ:. Έστω σημείο M(,( )) της γραφικής παράστασης C μιας συνάρτησης, ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: i. H να είναι συνεχής στο. ii. () ( ) Τα όρια lim, + () ( ) lim. 6
Να είναι πραγματικοί αριθμοί η άπειρα. iii. () ( ) () ( ) lim lim + Το σημείο Μ θα λέγεται γωνιακό σημείο της παραγωγίζεται στο. C. Είναι φανερό ότι η δεν. Έστω τα σημεία A(,( ))και B(,( )) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να είναι τμήμα της C. Αν υποθέσουμε ότι <, τότε η παραγωγίζεται σε κάθε < < με () = λ ΑΒ. ( λ ΑΒ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ). 7
Άσκηση 4. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: i. lim ( ) + + ii. lim ηµ e Λύση i. ( ) = u lim + = lim + = u u u + + u u+ u (u) () lim = lim = () = u u u + u + Θέτω (u) = u u +, u. Η παραγωγίσιμη με (u) = u u u+, u. ii. ηµ (*) e () () lim lim () = = = (*) Θέτω () = e ηµ, Η παραγωγίσιμη με = συν, ηµ () e Ημερομηνία τροποποίησης: /8/ 8