Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται έχουν χέη µε τη µέτρηη της αντίταης των ιτών ε ιοτροπικά και (οµογενή) ανιοτροπικά µέα. 5.. Ιοτροπικά αγώγιµα µέα. Για την ανάλυη της ροής του ρεύµατος ' ένα αγωγό ηλεκτριµού το χώρο, η ύνθετη αντίταη του ιτού πρέπει να είναι γνωτή. Αυτή η πληροφορία είναι ηµαντική τη µελέτη της ηλεκτροκαρδιογραφίας και της ηλεκτροεγκεφαλογραφίας. Μία απλή τεχνική που χρηιµοποιεί τη µέθοδο των τεάρων ηλεκτροδίων περιγράφεται την παράγραφο αυτή. Σχήµα 5.1. Μηχανιµός τεάρων ηλεκτροδίων για τη µέτρηη της αγωγιµότητας.
Όπως διευκρινίζεται το Σχ.5.1 το ύτηµα των τεάρων ηλεκτροδίων αποτελείται από τέερα ηµειακά ηλεκτρόδια που τοποθετούνται ε ίη απόταη µεταξύ τους. Τα εξωτερικά ηλεκτρόδια µεταφέρουν το εφαρµοζόµενο ρεύµα Ι, ενώ τα εωτερικά ηλεκτρόδια χρηιµοποιούνται για την καταγραφή του δυναµικού V gh. Αν το ύτηµα αυτό τοποθετηθεί ' ένα ιτό του οποίου τα πάχος t είναι αρκετά µεγάλο ε ύγκριη µε την έκταη του ηλεκτροδίου (δηλ., 3α<<t), ο ιτός µπορεί να θεωρηθεί ηµιάπειρος. Σ' αυτή την περίπτωη, αν υποθέουµε ότι ο ιτός είναι οµοιόµορφος ιοτροπικά, το ρεύµα µεταδίδεται από το ηλεκτρόδιο κατά µήκος ακτινικών δρόµων και οι ιοδυναµικές επιφάνειες είναι ηµιφαίρια. Κάτω από τις υνθήκες αυτές η πυκνότητα του ρεύµατος ' ένα ηµείο είναι το ολικό ρεύµα διαιρούµενο από την επιφάνεια του ηµιφαιρίου που διέρχεται από το ηµείο αυτό. Έτι η πυκνότητα ρεύµατος που οφείλεται το ηλεκτρόδιο θα είναι π r (5.1) Οµοίως για το ηλεκτρόδιο f έχουµε f π r (5.) f (r και r f είναι οι αποτάεις του ηµείου το χώρο από κάθε αντίτοιχη ηλεκτρική πηγή). Η διαφορά του δυναµικού µεταξύ g και h είναι η επιπρόθεη των δυναµικών που οφείλονται ε κάθε πηγή ρεύµατος που ενεργεί ξεχωριτά. Αυτό βρίκεται µε ολοκλήρωη του ηλεκτρικού πεδίου (πυκνότητα ρεύµατος διαιρούµενη µε την αγωγιµότητα) µεταξύ g και h ως εξής ( V ) gh a dr, a πr 4πa όπου είναι η αγωγιµότητα του µέου. Επειδή η υνειφορά από το ηλεκτρόδιο f είναι η ίδια, το ολικό δυναµικό V gh είναι 8
( ) ( ) Vgh Vgh + Vgh f π a (5.3) Λύνοντας την (5.3) ως προς, βρίκουµε π (5.4) av gh Η (5.4) δίνει την επιθυµητή χέη για την αγωγιµότητα του ιτού αν µία υνάρτηη του εφαρµοζοµένου ρεύµατος Ι και της µετρηθείης διαφοράς δυναµικού V gh. Αν ο ιτός είναι πολύ λεπτός ε χέη µε την έκταη του ηλεκτροδίου (δηλ., 3α>>t), τότε η διάδοη του ρεύµατος µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η ίδια που υµβαίνει ' ένα λεπτό έλαµα (λάµινα). Σ' αυτή την περίπτωη το πρόβληµα είναι δύο διατάεων και η πυκνότητα του ρεύµατος ε απόταη r από το ηλεκτρόδιο πρέπει να υπολογιθεί από την χέη πrt, όπου πr t είναι η επιφάνεια του δίκου µε ακτίνα r r. Η διαφορά δυναµικού µεταξύ g και h υπολογίζεται όπως πριν, µε ολοκλήρωη του ηλεκτρικού πεδίου από το g το h και είναι ( Vgh ) a tr dr a π π t ln (5.5) Η ίδια διαφορά δυναµικού δηµιουργείται από το ηλεκτρόδιο f έτι ώτε ( ) ( ) Vgh Vgh + Vgh ln f π t (5.6) Η ποότητα t θεωρείται υχνά αν µία ξεχωριτή παράµετρος και αντιπροωπεύει την αγωγιµότητα ανά µονάδα επιφανείας ε µία επιφάνεια εγκάρια προς τη λάµινα. Επιπλέον η ποότητα αυτή είναι κατάλληλη για τον προδιοριµό της αντίταης 83
διαρροής µιας µεµβράνης (οι µεµβράνες θεωρούνται αν οντότητες δύο διατάεων). Ορίζοντας m t έχουµε m ln, πv gh (5.7) δηλαδή την τιµή της αγωγιµότητας ανά µονάδα επιφανείας που αντιτοιχεί τις µετρηθείες τιµές Ι και V. Ας ηµειωθεί ότι το αποτέλεµα δεν εξαρτάται από τα διατήµατα µεταξύ των ηλεκτροδίων, επειδή είναι ία και πολύ µεγαλύτερα από το πάχος του ιτού. 5.3. Ανιοτροπικά αγώγιµα µέα Πολλοί βιολογικοί ιτοί είναι ηλεκτρικά ανιοτροπικοί, δηλ. η αγωγιµότητα ε διαφορετικές κατευθύνεις δεν είναι η ίδια. Αυτή η υνθήκη µπορεί να παραταθεί µε τρεις κύριες αγωγιµότητες ε τρεις αµοιβαία κατακόρυφες κατευθύνεις, όπως καθορίζεται από την κατακευή του υλικού. Αν ορίουµε τις κατευθύνεις αυτές αν, και, τότε, και (5.8) και οι υντελετές αγωγιµότητας είναι, εν γένει, διαφορετικοί. Για οµογενή ανιοτροπικά µέα (, και είναι ταθερές) το πρόβληµα µπορεί να µεταχηµατιθεί ' ένα ιοδύναµο µε τα ιοτροπικά µέα. Ο κατάλληλος µεταχηµατιµός δίνεται από τις χέεις ( ) 1/ ( ) ( ) 1/, και (5.9) 1/ όπου είναι µία αυθαίρετη ταθερά. Επιπλέον εκλέγουµε ( ),, (,, ) (5.10) 84
85 ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 1/, και (5.11) Στο αρχικό µέο έχουµε 0 + + r r (5.1) Χρηιµοποιώντας τις χέεις (5.10) και (5.11) παίρνουµε ( ), 1 d d (5.13) από την οποία προκύπτει, (5.14) Οµοίως βρίκουµε και (5.15) Η (5.1) µπορεί να γραφεί τώρα την εξής µορφή 0 + +, (5.16) δηλ. η εξίωη Laplac ιχύει και το µεταχηµατιµένο µέο. Επίης µπορεί να δειχθεί ότι η δύναµη µιας ηµειακής πηγής ρεύµατος είναι αναλλοίωτη κάτω από τον µεταχηµατιµό αυτό, αν και η θέη της υφίταται µία αλλαγή ύµφωνα µε την (5.9).
Η αγωγιµότητα µέα τη µεταχηµατιµένη περιοχή βρίκεται από τις (5.11) και (5.13). Έτι για την υνιτώα έχουµε µε ( ) ( ) 1/ / 1/ (5.17) Οµοίως µπορεί να δειχθεί ότι (5.18) δηλ. η µεταχηµατιµένη περιοχή είναι ιοτροπική και η αγωγιµότητα της είναι η αυθαίρετη ταθερά το µεταχηµατιµό που δίνεται από την (5.9). Η ανωτέρω υζήτηη µας επιτρέπει να τροποποιήουµε την τεχνική των τεάρων ηλεκτροδίων, όταν εφαρµοθεί ε (οµογενή) ανιοτροπικά µέα. Αν θεωρήουµε ότι ένα κύριο επίπεδο (για παράδειγµα το επίπεδο) είναι παράλληλο προς την επιφάνεια του ιτού, τότε όταν τα ηλεκτρόδια βρίκονται κατά µήκος του άξονα η απόταη τους τη µεταχηµατιµένη περιοχή θα είναι α ( ) a 1 / Αντικαθιτώντας α αντί για α την (5.4) και ανακαλώντας ότι Ι και V gh έχουν την ίδια ηµαία µετά το µεταχηµατιµό, παίρνουµε ( V ) gh πa / ( ) 1 (5.19) Οµοίως µπορεί να δειχθεί ότι ( ) 1 / πav ( gh ) (5.0) 86
Έτι οι υνιτώες αγωγιµότητας των και υπολογίζονται ε χέη µε την αγωγιµότητα την κατεύθυνη. Στις πρακτικές εφαρµογές ο µυς, εν γένει, θεωρείται ότι είναι ανιοτροπικός µε την αγωγιµότητα κατά µήκος του νηµάτινου άξονα υψηλότερη κατά µία διαγώνια κατεύθυνη. Αν η υψηλή αγωγιµότητα ορίζεται ως προς την κατεύθυνη, τότε η χαµηλή αγωγιµότητα παριτάνει τις αγωγιµότητες τις κατευθύνεις και. Σ' αυτή την περίπτωη οι (5.19) και (5.0) παίρνουν τη µορφή l 1 /, ( l ) πav πav ( ) gh h h ( gh ) l (5.1) και εποµένως h ( Vgh ) h l ( V ) gh l, (5.) όπου ( Vgh ) και ( V h gh ) l είναι τα δυναµικά που µετρήθηκαν µε τα ηλεκτρόδια τα οποία βρίκονται κατά µήκος των κατευθύνεων της υψηλής και χαµηλής αγωγιµότητας, αντίτοιχα. Μία εφαρµογή της θεωρίας που αναπτύξαµε ανωτέρω µπορεί να πραγµατοποιηθεί το τρώµα του µυ που βρίκεται κάτω από το δέρµα. Η αγωγιµότητα την κατεύθυνη που είναι παράλληλη προς την επιφάνεια είναι ιοτροπική, ενώ την κατεύθυνη που είναι κάθετη προς τις ίνες του µυ είναι ανιοτροπική. Αν θεωρήουµε ότι το επίπεδο είναι παράλληλο προς την επιφάνεια, τότε, από µετρήεις που έχουν γίνει, βρέθηκε ότι ρ ρ 80 Ohm.cm και ρ 300 Ohm.cm. Εκλέγοντας ( ) 1/ και χρηιµοποιώντας τη χέη αυτή την (5.9) βρίκουµε ρ 300, και 9. ρ 80 Άρα υπάρχει ένα τέντωµα την κατεύθυνη επί ένα παράγοντα 3. Επιπλέον µπορεί να επιβεβαιωθεί ότι η αντίταη του µεταχηµατιζόµενου ιοτροπικού µέου είναι 800 Ohm.cm. Αυτό αποδεικνύεται από τη χέη 87
( ρ ρ ) 1 / ρ 80300 800Ohmcm. 5.4. Πληθυµογραφία ύνθετης αντίταης Στις ηλεκτρικές µετρήεις έχουµε µία ηλεκτρική πίεη, η οποία οδηγεί µία ροή ηλεκτρικού φορτίου µέω ενός κυκλώµατος, όπου το µέγεθος της ροής υπολογίζεται από τη ύνθετη αντίταη του κυκλώµατος. Αυτή η ιδέα της ύνθετης αντίταης µας επιτρέπει να υπολογίουµε τα χαρακτηριτικά της ροής αν γνωρίζουµε την εφαρµοζόµενη πίεη. Η υλλογιτική είναι πολύ απλή και επιτρέπει πολύπλοκα προβλήµατα να χωριθούν ε επιµέρους υνιτώες. Κάθε επιµέρους υνιτώα παρουιάζει µία χαρακτηριτική ύνθετη αντίταη. Οι χωριτές ύνθετες αντιτάεις µπορούν να υνδεθούν µε απλούς κανόνες για ύνθετες αντιτάεις ε ειρά και ε παραλληλία (όπως ακριβώς και για τις απλές αντιτάεις). Το πολύπλοκο τότε πρόβληµα µειώνεται ε µία ειρά από απλούτερα προβλήµατα και µπορεί να επιλυθεί µε ευκολία. Η ίδια υλλογιτική είναι χρήιµη ε πολλές περιπτώεις. Για παράδειγµα, η διαφορά πίεης παράγει τη ροή ενός υγρού µέω ενός καναλιού και η ποότητα της ροής που επακολουθεί µπορεί να θεωρηθεί ότι υπολογίζεται από τη ύνθετη αντίταη του καναλιού. Αυτή η περίπτωη είναι ιδιαιτέρου ενδιαφέροντος τη ροή του αίµατος και η ιδέα της ύνθετης αντίταης των αρτηριών και των φλεβών είναι πολύ αποδοτική. Οµοίως, ηχητικά κύµατα παράγονται από πιέεις λόγω διαταράξεων και µπορούν να ρέουν µέω διαφόρων αγωγών και καναλιών εξαιτίας των διαταράξεων. Η ποότητα του ήχου που φθάνει ε κάθε περαιτέρω ηµείο του υτήµατος εξαρτάται από τη ύνθετη αντίταη της διάταξης των αγωγών και των καναλιών. Η πληθυµογραφία αχολείται µε τη µελέτη των µεταβολών του όγκου των διαφόρων οργάνων του ώµατος. Οι ιτοί υµπεριφέρονται ως πυκνωτές και, αν εναλλαόµενο ρεύµα διέλθει µέω αυτών, το ρεύµα προηγείται του δυναµικού κατά πολλές µοίρες. Αλλαγές όγκου ε βιολογικές αγώγιµες περιοχές µπορούν να επιφέρουν αλλαγές την ηλεκτρική αντίταη των περιοχών αυτών. Το γεγονός αυτό 88
έχει εφαρµοθεί τη µεταβολή της αντίταης του θώρακα αν ένα µέτρο της παραγωγής (ε όγκο αίµατος) της καρδιάς. Θα προπαθήουµε τώρα να δώουµε µία ύντοµη περιγραφή της πληθυµογραφίας. Τα βαικά όργανα που χρηιµοποιούνται τη µέτρηη του όγκου παλµού της καρδιάς είναι τέερα περιφερειακά ηλεκτρόδια, δύο την περιοχή του λαιµού και δύο την περιοχή του θώρακα. Τα εξωτερικά ηλεκτρόδια µεταφέρουν ένα ρεύµα διέγερης (γύρω τα 5 mα και υχνότητας 100 kh), ενώ τα εωτερικά ηλεκτρόδια υνδέονται µ' ένα κύκλωµα γέφυρας για τη µέτρηη του δυναµικού. Στην περίπτωη του ηλεκτρικού µοντέλου του κορµού του ώµατος θεωρούµε ότι το ηλεκτρικό ρεύµα ρέει µέω δύο µεγάλων παράλληλων δρόµων, του θώρακος και του υτήµατος των αρτηριών των πνευµόνων (βλέπε Σχ. 5.). Επιπλέον, αν υποθέουµε ότι η µεταβολή τον όγκο του αίµατος των αρτηριών των πνευµόνων είναι εξ ολοκλήρου υπεύθυνη για την αλλαγή την αντίταη, τότε µπορούµε να εκτιµήουµε την ακριβή παραγωγή (ε όγκο) της καρδιάς. Ιδιαίτερα (βλέπε Σχ.5.), η ολική αντίταη δίνεται από τη χέη Σχήµα 5.. Απλοποιηµένο µοντέλο ηλεκτρικής αντίταης του ανθρώπινου κορµού. Ο θώρακας θεωρείται κυλινδρικός µήκους l και ταθερής επιφάνειας διατοµής Α t. Το αίµα έχει µία µεταβλητή επιφάνεια διατοµής Α και µήκος l. Οι αντιτάεις του θώρακα και του αίµατος R και R t είναι παράλληλοι. RR t R R + R t, (5.3) όπου R t είναι η (ταθερή) αντίταη του θώρακα και R είναι η µεταβλητή αντίταη του αίµατος. Αν χρηιµοποιήουµε το απλό κυλινδρικό µοντέλο του Σχ. 5. επιτυγχάνουµε R ρ l, A (5.4) 89
όπου ρ είναι η ιδική αντίταη του αίµατος, l είναι το µήκος του κορµού και A είναι η µεταβλητή επιφάνεια διατοµής. Ο όγκος παλµού της καρδιάς δίνεται από τη χέη SV l A, (5.5) όπου A είναι η µεταβολή την επιφάνεια διατοµής. Η αντίτοιχη µεταβολή την αντίταη είναι R R R R (5.6) όπου ρ l A. R ( A ) Άρα R A R ρ l και SV R ρ l R (5.7) Εποµένως από την (5.6) µπορούµε να µετρήουµε τον όγκο παλµού της καρδιάς. Μιά άλλη εφαρµογή της πληθυµογραφίας χετίζεται µε την παρακολούθηη των µεταβολών του χήµατος και του περιεχοµένου των πνευµόνων. Σε πρώτη φάη µας ενδιαφέρει να επιβεβαιώουµε ότι οι αλλαγές αυτές υµβαίνουν. Έτι, ε µία µονάδα εντατικής παρακολούθηης, η λειτουργία των πνευµόνων µπορεί να γίνεται µε τη υνεχή µέτρηη της µεταβολής του ρεύµατος που προκαλείται από τη µεταβολή της αντίταης το τήθος του αθενούς και, την περίπτωη που το ρεύµα παραµένει ταθερό, να αρχίει να λειτουργεί ένα ύτηµα υναγερµού. Αυτό επιτυγχάνεται µε την τοποθέτηη ηλεκτροδίων µέα ε ειδικό γιλέκο. Αν επιπλέον χρειάζεται να γίνουν εκτιµήεις του όγκου ροής, µεγαλύτερη φροντίδα πρέπει να ληφθεί. Σ' αυτή την περίπτωη χρηιµοποιούµε τέερα ηλεκτρόδια τα οποία τοποθετούνται τα πόδια ή τα χέρια για τις µετρήεις της ροής του αίµατος, ή ε διάφορα ηµεία το τήθος για τις µετρήεις της ροής του αέρος. Η υχνότητα του εφαρµοζόµενου εναλλαοµένου ρεύµατος κυµαίνεται µεταξύ 15-90
0 kh, επειδή η µεταβολή της ύνθετης αντίταης, η οποία είναι µικρή, τείνει να µεγιτοποιηθεί την περιοχή αυτή. Το ρεύµα που διέρχεται πρέπει να είναι αρκετά µικρό για να µην ενοχλεί τον αθενή και γι' αυτό το λόγο ενιχυτές πρέπει να χρηιµοποιηθούν για να δώουν τη µεταβολή του ρεύµατος λογικό µέγεθος. Η τεχνική αυτή µπορεί να εφαρµοθεί τη διάγνωη διαφόρων αθενειών. Για παράδειγµα, η υγκέντρωη υγρού τα πνευµόνια επιτρέπει ευκολώτερα τη διέλευη του ρεύµατος και ελαττώνει την αντίταη. Η υώρευη υγρού είναι πάρα πολύ επικίνδυνη επειδή οδηγεί ε οξύ πνευµονικό οίδηµα (οίδηµα είναι το υδροπικό φούκωµα των ιτών), µία κατάταη που δεν µπορεί να διαγνωθεί υπό κανονικές υνθήκες πριν προχωρήει αρκετά, και είναι πλέον αργά επειδή θα έχει αρχίει να µαζεύεται υγρό τα περάµατα αέρος του αθενούς. Η πρώτη εµφάνιη του οιδήµατος µπορεί να διαγνωθεί µε τη βοήθεια της πληθυµογραφίας ύνθετης αντίταης πολύ πριν γίνει επικίνδυνη. 91