CAD Μικροκυματικών Ηθμών για Τυπωμένα Κυκλώματα με το Λογισμικό MATLAB

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ (ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΡΑΔΙΟΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ι.Ν.ΣΑΧΑΛΟΣ Αρ. Τεχνικής Έκθεσης : 3 CAD Μικροκυματικών Ηθμών για Τυπωμένα Κυκλώματα με το Λογισμικό MATLAB υπό Μπιμπίρη Αθανασίου Επιβλέπουσα: Σιακαβάρα Αικατερίνη Επίκουρος Καθηγήτρια ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 008

Αρ. Τεχνικής Έκθεσης : 3 CAD Μικροκυματικών Ηθμών για Τυπωμένα Κυκλώματα με το Λογισμικό MATLAB υπό Μπιμπίρη Αθανάσιο Επιβλέπουσα: Σιακαβάρα Αικατερίνη Επίκουρος Καθηγήτρια Διπλωματική Εργασία Για Το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ηλεκτρονικής Φυσικής (Ραδιοηλεκτρολογίας) Κατεύθυνση : Ηλεκτρονική Τεχνολογία Τηλεπικοινωνιών Θεσσαλονίκη 008

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...σελ.5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ...σελ.7 SUMMARY...σελ.8 Κεφάλαιο ο Μικροταινιακές Γραμμές. Δομή Μικροταινίας...σελ.9. Χαρακτηριστικά Μικροταινίας... σελ.0.3 Απώλειες Μικροταινίας...σελ 6 Κεφάλαιο ο Μικροκυματικά Φίλτρα Εισαγωγή...σελ.8. Σχεδιασμός φίλτρων με τη μέθοδο εισαγωγής απωλειών...σελ.9.. Λόγος απώλειας ισχύος (Power Loss Ratio)...σελ.9.. Είδη πρότυπων χαμηλοπερατών φίλτρων...σελ...3 Φίλτρο Butterworth ή μέγιστης πεπλατυσμένης απόκρισης...σελ...3. Χαμηλοπερατό πρότυπο φίλτρο μέγιστης πεπλατυσμένης απόκρισης (Maximally Flat)...σελ.3..4 Φίλτρο Chebyshev ή φίλτρο απόκρισης ίσης κυμάτωσης...σελ.6..4.πρότυπο χαμηλοπερατό φίλτρο με απόκριση σταθερής κυμάτωσης (Chebyshev)...σελ.7. Μετασχηματισμοί φίλτρων...σελ.3.. Αναγωγή αντίστασης...σελ.3.. Αναγωγή της συχνότητας για χαμηλοπερατό φίλτρο...σελ.3..3 Αναγωγή αντίστασης κ συχνότητας για χαμηλ/τό φίλτρο...σελ.3..4 Μετασχηματισμός από χαμηλ/τό σε υψηλ/τό φίλτρο...σελ.3..5 Μετασχηματισμός από χαμηλ/τό σε ζωνοπ/τό φίλτρο...σελ.33..6 Μετασχηματισμός από χαμηλ/τό σε ζωνοαπορρ/κό φίλτρο...σελ.34.3 Υλοποιήσεις φίλτρων...σελ.36.3. Μετασχηματισμοί Richard...σελ.36.3. Μετατροπής Σύνθετης Αντίστασης και Αγωγιμότητας...σελ.38 Κεφαλαίο 3 ο Περιοδικές Δομές Εισαγωγή...σελ.40 3. Ανάλυση Άπειρης Περιοδικής Δομής...σελ.40 3.. Χαρακτηριστική Αντίσταση Τετραπολου...σελ.4 3.. k-β Διαγράμματα και Ταχύτητες Κυμάτων...σελ.44 3. Υλοποίηση Φίλτρων...σελ.45 3.. Stepped Impedance Low Pass Filters...σελ.46 3... Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab...σελ.49 3... Αποτελέσματα Προσομοιώσεις και Σύγκριση...σελ.54 3.. Φίλτρα Συζευγμένων Ταλαντωτών...σελ.60 3

3... Πορεία Προγραμματισμού σε Επίπεδο Matlab...σελ.6 3... Αποτελέσματα Προσομοιώσεις και Σύγκριση...σελ.65 Κεφάλαιο 4 ο Σύζευξη Μικροταινιακών Γραμμών Εισαγωγή...σελ.69 4. Ιδιότητες φίλτρων κατασκευασμένων με συζευγμένες μικροταινιακές γραμμές...σελ.69 4.. Σχεδιασμός ζωνοπερατών φίλτρων με συζευγμένες γραμμές...σελ.74 4. Σχεδιασμός Φίλτρων με Παράλληλα Συζευγμένες Γραμμές...σελ.80 4.. Δομή και Ιδιότητες...σελ.80 4.. Προσδιορισμός της συχνοτικής απόκρισης φίλτρου σχεδιασμένου με παράλληλα συζευγμένες γραμμές...σελ.87 4...Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης ενός τμήματος συζευγμένων γραμμών...σελ.87 4...Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης (Ν) συζευγμένων γραμμών...σελ.90 4..3 Πορεία Προγραμματισμού σε Επίπεδο Matlab...σελ.9 4.3 Σχεδιασμός Φίλτρων σε Σειρά Συζευγμένων Γραμμών...σελ.0 4.3. Προσδιορισμός του ηλεκτρικού ισοδύναμου δυο μικροταινιακών γραμμών...σελ.03 4.3. Εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού του ηλεκτρικού ισοδύναμου του διάκενου δυο μικροταινιακών γραμμών...σελ.05 4.3.3 Προσδιορισμός της συχνοτικής απόκρισης της διάταξης...σελ.08 4.3.4 Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab...σελ.0 4.4 Interdigital Filters...σελ.0 4.4. Υπολογισμός Παραμέτρων Interdigital Filter...σελ.0 4.4. Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab...σελ.4 4.5 Μικροκυματικά φίλτρα με συντονισμένους δακτυλίους (Square Open Loop Resonators, SOLR)...σελ.33 4.5. Σύζευξη...σελ.34 4.5. Πειραματικά Αποτελέσματα...σελ.4 4.5.3 Πορεία προγραμματισμού σε περιβάλλον MATLAB...σελ.53 Κεφάλαιο 5 ο Interdigital Capacitors Εισαγωγή...σελ.64 5. Υπολογισμός της χωρητικότητας C 3...σελ.68 5. Υπολογισμός της χωρητικότητας C...σελ.7 5.3 Χωρητικότητα μεταξύ των fingers (C n )...σελ.73 5.4 Χωρητικότητα στα άκρα των fingers (C )...σελ.74 5.5 Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab...σελ.76 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...σελ.83 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...σελ.85 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...σελ.86 4

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αναλύονται μέθοδοι σχεδιασμού μικροκυματικών φίλτρων με χρήση μικροταινιακών γραμμών μεταφοράς. Παράλληλα, με εφαρμογή της αντίστοιχης θεωρίας δημιουργήθηκε πρόγραμμα, με το λογισμικό MATLAB, για τη σύνθεση ηθμών για τυπωμένα κυκλώματα στη περιοχή των μικροκυμάτων. Τα παθητικά φίλτρα που χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που λειτουργούν στη περιοχή των μικροκυμάτων υλοποιούνται με παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία όπως χωρητικότητες, αυτεπαγωγές και ωμικές αντιστάσεις. Στις υψηλές όμως συχνότητες η υλοποίηση πυκνωτών και πηνίων καθίσταται δύσκολη. Επιπλέον η χρήση τυπωμένων κυκλωμάτων επέβαλλε η υλοποίηση των στοιχείων C και L να γίνει με επίπεδης μορφής δομές, στις οποίες τα χαρακτηριστικά ηλεκτρικά μεγέθη προσδιορίζονται με θεωρία πεδίου. Παρόλα αυτά οι κλασσικές μέθοδοι σχεδιασμού φίλτρων όπως η μέθοδος εισαγωγής απωλειών μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη σχεδίαση ηθμών σε τυπωμένα συστήματα αρκεί να γίνει η κατάλληλη αντιστοίχηση μεταξύ των τιμών Cκαι L και των χαρακτηριστικών της τυπωμένης δομής. Χρήσιμο εργαλείο για τη διεργασία αυτή είναι οι μετασχηματισμοί Richard. Η εργασία περιλαμβάνει τα παρακάτω κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στη θεωρεία των μικροταινιακών γραμμών. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση της μεθόδου εισαγωγής απωλειών. Με τη μέθοδο αυτή επιτρέπεται κατά ένα μεγάλο ποσοστό ο έλεγχος της συμπεριφοράς των χαρακτηριστικών πλάτους και συχνότητας του φίλτρου τόσο στη ζώνη διέλευσης όσο και στη ζώνη αποκοπής. Γίνεται επίσης αναλυτική παρουσίαση των μεθόδων Chebyshev και Butterworth που εντάσσονται στη κατηγορία αυτή. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στη θεωρία των περιοδικών δομών και με βάση αυτή αναλύεται η θεωρία σχεδίασης χαμηλοπερατών ηθμών με εναλλαγή περιοχών υψηλής και χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης (Stepped Impedance Low Pass Filter) και ζωνοπερατών ηθμών με συζευγμένους ταλαντωτές (Coupled Resonators Bandpass Filters). Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση της θεωρίας των συζευγμένων μικροταινιακών γραμμών και παρουσιάζεται η διαδικασία σχεδίασης ορισμένου τύπου ηθμών με βάση τη θεωρία αυτή. Οι κατηγορίες που μελετήθηκαν είναι α) ηθμοί με μικροταινιακές γραμμές συζευγμένες παράλληλα (Parallel Coupled Lines Bandpass Filter) και σε σειρά (Series Coupled Lines Bandpass Filter). Β) Οι Interdigital ηθμοί. Πρόκειται για ζωνοπερατούς ηθμούς που δομούνται με παράλληλα συζευγμένες γραμμές γειωμένες εναλλάξ. και γ) ηθμοί με ηλεκτρική, μαγνητική και υβριδική (ηλεκτρική μαγνητική) σύζευξη συντονισμένων ορθογωνικών ανοιχτών δακτυλίων (Square Open Loop Resonators, SOLR). Για κάθε ηθμό παρουσιάζεται η πορεία προγραμματισμού σε περιβάλλον MATLAB και το αρχείο GUI που αποτελεί το γραφικό περιβάλλον επικοινωνίας μεταξύ χρήστη και προγράμματος. Επίσης αναφέρονται για όλες τις περιπτώσεις αριθμητικά παραδείγματα προσομοίωσης με το MATLAB και προς σύγκριση, προσομοιωμένα και με το λογισμικό Ensemble. 5

Η διπλωματική εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Ραδιοηλεκτρολογίας στη κατεύθυνση Ηλεκτρονικής Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών, υπό την επίβλεψη της Επ. Καθηγήτριας κ. Αικατερίνης Σιακαβάρας, την οποία και θα ήθελα να ευχαριστήσω για την πολύτιμη συμβολή της στην ολοκλήρωση της μελέτης. Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 008 Μπιμπίρης Αθανάσιος 6

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αναλύονται μέθοδοι σχεδιασμού μικροκυματικών φίλτρων με χρήση μικροταινιακών γραμμών μεταφοράς. Τα παθητικά φίλτρα που χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που λειτουργούν στη περιοχή των μικροκυμάτων υλοποιούνται με παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία όπως χωρητικότητες και αυτεπαγωγές. Στις υψηλές όμως συχνότητες η υλοποίηση πυκνωτών και πηνίων καθίσταται δύσκολή. Επιπλέον η χρήση τυπωμένων κυκλωμάτων επέβαλλε η υλοποίηση των στοιχείων C και L να γίνει με επίπεδης μορφής δομές, στις οποίες τα χαρακτηριστικά ηλεκτρικά μεγέθη προσδιορίζονται με θεωρία πεδίου. Παρόλα αυτά οι κλασσικές μέθοδοι σχεδιασμού φίλτρων, όπως η μέθοδος εισαγωγής απωλειών, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη σχεδίαση ηθμών σε τυπωμένα συστήματα αρκεί να γίνει η κατάλληλη αντιστοίχηση μεταξύ των τιμών C και L και των χαρακτηριστικών της τυπωμένης δομής. Στην εργασία γίνεται ανάλυση των δύο βασικών μεθοδολογιών εισαγωγής απωλειών για τη σχεδίαση ηθμών, της μεθόδου Chebyshev και της μεθόδου Maximally Flat. Με βάση την αντίστοιχη θεωρία δημιουργήθηκε σε περιβάλλον MATLAB λογισμικό σχεδίασης: α) χαμηλοπερατού ηθμού με περιοχές τυπωμένων γραμμών διαδοχικά υψηλής και χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης (Stepped Impedance Low Pass Filters), β) ζωνοπερατού ηθμού με συζευγμένους ταλαντωτές (Coupled Resonators Bandpass Filters), γ) ζωνοπερατών ηθμών με μικροταινιακές γραμμές συζευγμένες σε σειρά και παράλληλα δ) ζωνοπερατού interdigital ηθμού και ε) ζωνοπερατού ηθμού με ηλεκτρική, μαγνητική και υβριδική (ηλεκτρική μαγνητική) σύζευξη συντονισμένων ορθογωνικών ανοιχτών δακτυλίων (Square Open Loop Resonators, SOLR). Για όλες τις κατηγορίες ηθμών δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα MATLAB γραφικό περιβάλλον (αρχείο GUI) με το οποίο ο χρήστης μπορεί να δώσει τις προδιαγραφές του φίλτρου και να λάβει αντίστοιχα αποτελέσματα:) τη γεωμετρία της δομής και ) τη συχνοτική απόκριση που προκύπτει από τη προσομοίωση του ηθμού. Στην εργασία δίνονται αριθμητικά παραδείγματα υπολογισμού με το πρόγραμμα MATLAB και προς σύγκριση τα αντίστοιχα αποτελέσματα με προσομοίωση με λογισμικό του εμπορίου. 7

SUMMARY In this work methods of design microwave filters by the use of microstrips lines are analyzed. The passive microwave filters are realized with electric elements (quantities) such as capacitors (capacities) and coils (inductances). In the high frequency bands the realization of capacitors and coils is difficult. More over the utilization of printed circuits requires the C and L elements to be planar structures in which the characteristic electric quantities are calculates via the electromagnetis field theory. For all that, the classic methods of design filters such as the insertion loss method can be applied for the design of printed circuit filters if the proper correspondence between the C and L values and the structural characteristics of the printed scheme is established. In the work the theoretical analysis of the two main Insertion Loss methods, the Chebyshev method and the Maximally Flat are presented. Code module with MATLAB software was created for the design of a) Stepped Impedance Low Pass Filters, b) Band - pass filters using Coupled Resonators, c) Band-pass Filters with microstrip lines series and parallel coupled, d)band-pass Interdigital Filters, e) Band-pass Filters of electric magnetic coupled square open loop resonators. For all the arrangements a graphical user interface (MATLAB GUI files) was created in order the user to input the technical specifications of the filter and export structural parameters of the circuit as well as its frequency response. Arithmetic examples with results received by the code are presented and for comparison reasons the frequency responses simulated via a commercial software are presented. 8

ο[, 3, 4] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται θεωρητική ανάλυση της δομής και των βασικών λειτουργιών των μικροταινιακών γραμμών και γίνεται αναφορά στις εφαρμογές τους στον τομέα των τηλεπικοινωνιών.. Δομή Μικροταινίας Η τεχνολογία των μικροκυματικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (MIC) χρησιμοποιεί πολλές δομές για τη μεταφορά του σήματος. Όλες αυτές οι δομές στηρίζονται στη τεχνολογία των μικροταινιακών γραμμών. Η δομή μιας μικροταινίας φαίνεται στο σχήμα..α όπου παρουσιάζεται η κάθετη τομή της. Συγκεκριμένα οι μικροταινίες αποτελούνται από επίπεδες γραμμές μεταφοράς πλάτους w και πάχους t όπου είναι κατάλληλα τοποθετημένες πάνω σε ένα διηλεκτρικό, διηλεκτρικής σταθεράς e r και πάχους h, του οποίου το κάτω μέρος έχει τοποθετηθεί σε ένα αγώγιμο επίπεδο γείωσης. Σχήμα..α Κάθετη τομή μικροταινίας Τα κύματα που διαδίδονται σε μια μικροταινία είναι τεσσάρων ειδών: α) Τα οδηγούμενα κύματα (guided waves) β) Τα κύματα ακτινοβολίας (radiated waves) γ) Τα κύματα διαρροής (leaky waves) δ) Τα επιφανειακά κύματα (surface waves) Τα τέσσερα παραπάνω είδη κυμάτων καθορίζουν το ποσοστό απωλειών σε μια μικροταινία κατά τη διάρκεια της κυματοδήγησης ή αντίστοιχα την ικανότητα κυματοδήγησης και εκπομπής. Συγκεκριμένα τα οδηγούμενα κύματα παρέχουν τη 9

δυνατότητα χρήσης της επίπεδης γραμμής (μικροταινία), ως γραμμή ή κύκλωμα μεταφοράς. Πρόκειται για το επικρατέστερο είδος κύματος σε μια μικροταινία και η διάδοση του γίνεται προς μια ορισμένη διεύθυνση μέσα στο διηλεκτρικό μέσω διαδοχικών ανακλάσεων πάνω στη μικροταινία και στο κάτω μέρος του επιπέδου γείωσης. Τα κύματα ακτινοβολίας συνεισφέρουν στην ακτινοβολία της μικροταινίας, και γίνονται σημαντικά κατά την αύξηση του πάχους του διηλεκτρικού και την ελάττωση της διηλεκτρικής σταθεράς. Τα κύματα διαρροής συνεισφέρουν επίσης στην ακτινοβολία της μικροταινίας. Αυτά καθώς ανακλώνται από το επίπεδο γείωσης προς τη διαχωριστική επιφάνεια αέρας διηλεκτρικό, μερικώς διαθλώνται και μερικώς διαδίδονται. Τέλος τα επιφανειακά κύματα προκύπτουν από τα κύματα που θα υποστούν ολική ανάκλαση και θα εγκλωβιστούν μέσα στο διηλεκτρικό, αυξάνοντας τις απώλειες του σήματος ενώ ταυτόχρονα ελαττώνεται το πλάτος του. Επίσης τα κύματα αυτά γίνονται σημαντικά για μεγάλο πάχος διηλεκτρικού και μεγάλη διηλεκτρική σταθερά. Τα τέσσερα είδη κυμάτων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα..β. Σχήμα..β Τα τέσσερα είδη κυμάτων. Χαρακτηριστικά Μικροταινίας Παρά την απλότητα της κατασκευής των μικροταινιών, τα ηλεκτρομαγνητικά τους πεδία είναι στην πραγματικότητα πολύπλοκα, με αποτέλεσμα να απαιτούνται δύσκολοι και κοπιώδεις μαθηματικοί υπολογισμοί για την ακριβή και πλήρη ανάλυσή τους. Η προσέγγιση όμως της λειτουργίας τους με τον ημι-τεμ (quasi-tem) ρυθμό προσδιορίζει τα χαρακτηριστικά λειτουργίας των μικροταινιών με σφάλμα που δεν ξεπερνά το %. Έτσι λοιπόν θεωρούμε ότι ο ρυθμός κυματοδήγησης της μικροταινίας είναι ημι-τεμ (quasi- TEM). Το φαινόμενο αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στις μικροταινίες έχουμε δύο μέσα διάδοσης, το διηλεκτρικό και τον αέρα με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατή η διάδοση ΤΕΜ (ηλεκτρομαγνητικών) κυμάτων τα οποία αποτελούνται από εγκάρσια κύματα και η ταχύτητα 0

διάδοσης τους εξαρτάται από τις ιδιότητες του υλικού δηλαδή την ηλεκτρική και τη μαγνητική διαπερατότητα. Έτσι στη περίπτωση της μικροταινίας, λόγω της ύπαρξης δύο μέσων κυματοδήγησης εκτός από τα εγκάρσια κύματα θα υπάρχουν και τα διαμήκη, ενώ η ταχύτητα διάδοσης εκτός από τις ιδιότητες του μέσου, θα εξαρτάται και από τις φυσικές διαστάσεις της μικροταινίας. Όταν όμως τα διαμήκη κύματα έχουν μικρή ένταση σε σχέση με τα εγκάρσια, τότε μπορούν να θεωρηθούν αμελητέα και ο ρυθμός κυματοδήγησης της μικροταινίας να γίνει προσεγγιστικά όμοιος με ένα quasi-tem ρυθμό, που σημαίνει ότι το πεδίο γίνεται ανάλογο με αυτό του ηλεκτροστατικού. Πρακτικά η προσέγγιση ενός ΤΕΜ ρυθμού επιδιώκεται με τη χρήση μεγάλης διηλεκτρικής σταθεράς e r που έχει σαν αποτέλεσμα τη συγκέντρωση όλων των δυναμικών γραμμών και ταυτόχρονα μείωση της ακτινοβολίας μέσα στο διηλεκτρικό. Επιπλέον η επιλογή μικρού πλάτους γραμμής και μικρού πάχους διηλεκτρικού μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα μια πιο ακριβή προσέγγιση του TEM ρυθμού. Στο σχήμα. φαίνεται η κατανομή του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου μιας μικροταινίας. Σχήμα..α Κατανομή Η.Π μικροταινίας Σχήμα..β Κατανομή Μ.Π μικροταινίας

Γνωρίζουμε ότι η χαρακτηριστική αντίσταση στις υψηλές συχνότητες μιας γραμμής μεταφοράς που λειτουργεί σε ρυθμό ΤΕΜ είναι: L 0 U p L (.) C U C Αν θεωρήσουμε ότι στη περίπτωση που έχουμε διηλεκτρικό σταθεράς e r η χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους είναι C και η χαρακτηριστική αντίσταση είναι 0 για τη γραμμή μεταφοράς. Όταν απομακρυνθεί το υλικό, η χαρακτηριστική αντίσταση γίνεται Ζ air και η χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους C air. (Η ταχύτητα διάδοσης είναι τώρα c, γιατί το σήμα διαδίδεται στον αέρα, ενώ η αυτεπαγωγή L διατηρεί την τιμή της.) Ο λόγος των δυο παραπάνω χωρητικοτήτων αποδεικνύεται ότι ισούται με: P C c (.) C air U p Αυτός ο λόγος των χωρητικοτήτων ανά μονάδα μήκους ονομάζεται δρώσα διηλεκτρική σταθερά της μικροταινίας ε eff. Δηλαδή c ε eff (.3) U p Η φυσική σημασία της δρώσας διηλεκτρικής σταθεράς είναι ότι αντιπροσωπεύει τη διηλεκτρική σταθερά ενός σύνθετου μέσου, που οποίο στη προκειμένη περίπτωση ενός quasi-tem ρυθμού είναι το ετερογενές μέσο (διηλεκτρικό αέρας). Έτσι τα χαρακτηριστικά διάδοσης της μικροταινίας περιγράφονται επιπλέον από τη δρώσα διηλεκτρική σταθερά ε eff και τη χαρακτηριστική αντίσταση Ζ. Το παρακάτω σχήμα αντιπροσωπεύει την αρχή προσέγγισης ενός quasi-tem ρυθμού μέσο της διαδικασίας που περιγράψαμε πριν. Σχήμα.3 Αρχή προσέγγισης quasi-tem ρυθμού

Όσον αφορά τη ταχύτητα φάσης ενός ΤΕΜ ρυθμού μέσα σε διηλεκτρικό, με διηλεκτρική σταθερά ε r δίνεται από τη σχέση: U P ω k c c (.4) β β ε r Αντίστοιχα στον αέρα η φασική ταχύτητα θα είναι ίση με τη ταχύτητα του φωτός στο κενό. Όταν όμως πραγματοποιείται quasi-tem ρυθμός η ταχύτητα φάσης θα είναι ίση με: U P c c c (.5) ε ε eff r Επίσης η σταθερά διάδοσης θα είναι: όπου k 0 o κυματάρυθμος στο κενό β k 0 ε eff (.6) Αντίστοιχα το μήκος κύματος θα δίνεται από τη σχέση: όπου λ 0 το μήκος κύματος στο κενό. λ (.7) ε 0 λg eff Αξίζει να επισημάνουμε ότι η δρώσα διηλεκτρική σταθερά που αναφέραμε προηγουμένως,η τιμή της κυμαίνεται σε ένα καθορισμένο εύρος το οποίο είναι: ( ε r ) ε eff ε r (.8) Το πάνω όριο προκύπτει για τη περίπτωση πλατιάς μικροταινίας δηλαδή μικροταινία χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης (σχήμα.4α), στην οποία το ηλεκτρικό πεδίο περιορίζεται σχεδόν στο διηλεκτρικό του υποστρώματος και η όλη δομή προσιδιάζει πυκνωτή με παράλληλες πλάκες. Αντίθετα, όταν η μικροταινία είναι στενή δηλαδή υψηλό Ζ 0, το ηλεκτρικό πεδίο βρίσκεται εξίσου στον αέρα (σχετική διηλεκτρική σταθερά ) και το υπόστρωμα (σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r ), οπότε παίρνουμε το κάτω όριο (επαγωγική συμπεριφορά - σχήμα.4.β). 3

4 Σχήμα.4α Γραμμή με χωρητική συμπεριφορά Σχήμα.4.β Γραμμή με επαγωγική συμπεριφορά Σύμφωνα λοιπόν με αυτά που αναφέραμε και κάποιων συγκεκριμένων σχέσεων που θα παραθέσουμε παρακάτω, μπορούμε γνωρίζοντας τη χαρακτηριστική αντίσταση της μικροταινίας να υπολογίσουμε το πλάτος της, τη δρώσα διηλεκτρική σταθερά ε eff, το ύψος του διηλεκτρικού και το μήκος κύματος. Η διαδικασία είναι:. Για λεπτές ταινίες, όπου ισχύει Ζ 0 >(44- e r ) έχουμε: ' exp 4 8 ' exp H H h w (.9) Λαμβάνοντας υπόψη τον περιορισμό w/h</3, η δρώσα διηλεκτρική σταθερά είναι ίση με: 4 ln ln ' π ε π ε ε ε ε r r r r eff H (.0) ( ) Ζ Η π ε π ε ε ε 4 ln ln 9.9 0 r r r r (.)

. Για πλατιές ταινίες όπου Ζ 0 <(44- e r ) έχουμε: w h π ε π ε r r {( d ) ln( d ) } ln( d ) ε ε ε 0,57 0,93 ε r (.) d ε 59,95 π ε 0 r (.3) Λαμβάνοντας υπόψη τον περιορισμό w/h</3, η δρώσα διηλεκτρική σταθερά είναι ίση με: 0.555 ε r ε r h ε eff 0 (.4) w Επίσης η χαρακτηριστική αντίσταση Ζ 0 της μικροταινίας είναι συνάρτηση της δρώσας διηλεκτρικής σταθεράς ε eff και του λόγου του πλάτους της μικροταινίας w προς το πάχος του διηλεκτρικού υποστρώματος h. Οι τύποι που συνδέουν τα παραπάνω μεγέθη είναι: 0 π c ε eff 8 h w ln w 4 h, όταν w/h< (.5) c w w 0.393 0.667 ln. 444 π ε h h eff όταν w/h (.6) Όπου Ζ c η χαρακτηριστική αντίσταση του κενού. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε την εξάρτηση της χαρακτηριστικής αντίστασης Ζ 0 της μικροταινίας σε σχέση με το λόγο του πλάτους της μικροταινίας w προς το πάχος του διηλεκτρικού υποστρώματος h (w/h) και της διηλεκτρικής σταθεράς ε r. 5

Σχήμα.5 Χαρακτηριστική αντίσταση μικροταινίας συναρτήσει του λόγου w/h και ε r.3 Απώλειες Μικροταινίας Οι απώλειες στις μικροταινίες είναι ένας σημαντικός παράγοντας που πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη κατά τη κατασκευή της. Οι απώλειες γενικά σε μια μικροταινία οφείλονται κυρίως σε απώλειες στον αγωγό, στο διηλεκτρικό, σε απώλειες λόγω της ακτινοβολίας και σε μερικές περιπτώσεις σε απώλειες στο μαγνητικό υλικό. Έτσι η σταθερά διάδοσης που όπως γνωρίζουμε σε μια γραμμή μεταφοράς, άρα και στη μικροταινία, δίνεται από τον τύπο όπου α σταθερά εξασθένισης σε Nepers/m β σταθερά αλλαγής φάσης σε μοίρες ή ακτίνια/m γ α j β (.7) Η σταθερά εξασθένισης α αποτελεί το άθροισμα όλων των σταθερών εξασθένισης που προκύπτουν από κάθε φαινόμενο που περιγράψαμε πριν. Έτσι μια έκφραση που περιγράφει τη σταθερά εξασθένισης λόγω απώλειες του αγωγού και ισχύει για μεγάλα πλάτη μικροταινίας είναι: a c Rs 8. 686 σε db/unit length (.8) w 6

όπου Ζ: Η χαρακτηριστική αντίσταση της μικροταινίας, w:το πλάτος της, R s : η αντίσταση της επιφάνειας σε μονάδες ohms/square για την αγώγιμη ταινία και το επίπεδο γείωσης και δίνεται από τον τύπο: ω μ0 R s (.9) σ όπου σ είναι η αγωγιμότητα, μ ο η μαγνητική διαπερατότητα στο κενό και ω η γωνιακή συχνότητα. Επίσης η εξίσωση μετατροπής μονάδων είναι: α (db/unit length)8.686 α (nepers/unit length) Η εξασθένιση που οφείλεται στις απώλειες του διηλεκτρικού δίνεται από τη παρακάτω εξίσωση: ε eff ε t taδ ad 8,686 π ε σε db/unit length (.8) r ε eff λg όπου tanδ είναι η εφαπτόμενη των απωλειών του διηλεκτρικού Τέλος στις μικροταινίες οποιαδήποτε ακτινοβολία εμφανιστεί μπορεί είτε να διαδοθεί ελεύθερα είτε να δημιουργήσει ρεύματα στο εσωτερικό της μικροταινίας προκαλώντας τις αντίστοιχες απώλειες ακτινοβολίας 7

ο [, ] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα μικροκυματικά φίλτρα ή αλλιώς μικροκυματικοί ηθμοί είναι δίθυρα δικτυώματα τα οποία αποτελούνται από έναν αριθμό αγώγιμων μικροταινιακών γραμμών τοποθετημένες πάνω σε ένα διηλεκτρικό υπόστρωμα ύψους h και διηλεκτρικής σταθεράς ε r στο κάτω μέρος του οποίου υπάρχει ένα αγώγιμο επίπεδο γείωσης. Η χρήση τους στα σύγχρονα τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι εξαιρετικά σημαντική λόγω του πολύ μικρού μεγέθους τους και της αρκετά καλής συχνοτικής απόκρισης. Με αυτά τα φίλτρα πραγματοποιείται διάδοση του σήματος σε επιλεγμένες συχνοτικές περιοχές και απόσβεση στις αντίστοιχες περιοχές αποκοπής. Ωστόσο η συχνοτική τους απόκριση σε καμία περίπτωση δεν θα είναι η ίδια με αυτή ενός ιδανικού φίλτρου, παρόλο αυτά στο συγκεκριμένο κεφάλαιο θα παρουσιαστούν τρόποι σχεδίασης φίλτρων τα οποία προσεγγίζουν σε μεγάλο βαθμό τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχων ιδανικών φίλτρων, στα πλαίσια πάντα αποδεκτής ανοχής. Οι συχνοτικές αποκρίσεις αντιστοιχούν κυρίως σε τέσσερις κατηγορίες:. Χαμηλοπερατά φίλτρα: σε αυτά διαδίδονται όλα τα σήματα συχνοτήτων μεταξύ του μηδενός και μιας μέγιστης συχνότητας αποκοπής f c πέρα από την οποία εμφανίζεται εξασθένηση τους.. Υψηλοπερατά φίλτρα: η μετάδοση του σήματος σε αυτά τα φίλτρα γίνεται για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητες αποκοπής f c ενώ για μικρότερες συχνότητες το σήμα απορρίπτεται. 3. Ζωνοπερατά φίλτρα: η μετάδοση του σήματος στη προκειμένη περίπτωση γίνεται για συχνότητες από f μέχρι f με (f <f ) ενώ απορρίπτονται όλες οι συχνότητες που βρίσκονται έξω από αυτή τη περιοχή. 4. Ζωνοαπορριπτικά φίλτρα: η απόρριψη του σήματος εντοπίζεται σε μια περιοχή συχνοτήτων από f μέχρι f με (f <f ), ενώ η διέλευση αυτού γίνεται οπουδήποτε έξω από αυτή τη περιοχή. Τέτοιου είδους φίλτρα είναι εξαιρετικά χρήσιμα στις τηλεπικοινωνίες κυρίως όταν δουλεύουμε στη περιοχή των μικροκυμάτων. Αυτό επειδή η χρήση πυκνωτών και πηνίων σε τόσο υψηλές συχνότητες είναι αδύνατη, με αποτέλεσμα να αντικαθιστώνται τα πηνία και οι πυκνωτές με λεπτές ή ευρείες μικροταινιακές γραμμές αντίστοιχα, οι οποίες εμφανίζουν τα ίδια συχνοτικά χαρακτηριστικά στο επιθυμητό εύρος συχνοτήτων. Εφαρμογές τέτοιου είδους φίλτρων επικεντρώνονται σχεδόν σε κάθε είδος επικοινωνίας με μικροκύματα και κυρίως σε ραντάρ και συστήματα δοκιμών και μετρήσεων. Η σχεδίαση των φίλτρων επιτυγχάνεται με δυο τεχνικές οι οποίες είναι: 8

. Μέθοδος εικονικών παραμέτρων (Image Parameter Method- I.P.M) Κατά τη μεθοδολογία αυτή παραθέτονται σε σειρά απλά δίθυρα φίλτρα τα οποία παρέχουν τις επιθυμητές συχνότητες αποκοπής και τα χαρακτηριστικά απόσβεσης, αλλά δεν καθορίζουν τη συχνοτική απόκριση σε όλη τη περιοχή λειτουργίας. Έτσι, παρόλο που η διαδικασία σχεδιασμού φίλτρων με τη μέθοδο αυτή είναι αρκετά απλή, συχνά χρειάζεται να επαναληφθεί πολλές φορές για να επιτευχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα.. Μέθοδος εισαγωγής απωλειών (Insertion Loss Method-I.L.M) Προκειμένου για μια πιο μοντέρνα διαδικασία κατά την οποία για το σχεδιασμό των φίλτρων με πλήρως καθορισμένη συχνοτική απόκριση, χρησιμοποιούνται τεχνικές σύνθεσης δικτυωμάτων. Η υλοποίηση φίλτρων με τη μέθοδο αυτή, μπορεί να απλοποιηθεί καθώς από τον σχεδιασμό ενός πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου το οποίο έχει κανονικοποιημένη σύνθετη αντίσταση και συχνότητα, μπορούν να προκύψουν πρότυπα διαφορετικής σύνθετης αντίστασης και συχνοτικής περιοχής, με την εφαρμογή διαφόρων μετασχηματισμών. Οι δύο παραπάνω τρόποι σχεδιασμού φίλτρων παρέχουν κυκλώματα με εντοπισμένα στοιχεία. Για εφαρμογές όμως στα μικροκύματα όπως αναφέρθηκε και πριν τροποποιούνται, με τη βοήθεια διαφόρων μετασχηματισμών Richard ώστε να χρησιμοποιηθούν κατανεμημένα στοιχεία που αποτελούνται από μικροταινιακές γραμμές μεταφοράς. Στη συνέχεια της μελέτης θα εξετάσουμε μονάχα τη δεύτερη μέθοδο η οποία είναι η μέθοδος εισαγωγής απωλειών (Insertion Loss Method-I.L.M).. Σχεδιασμός φίλτρων με τη μέθοδο εισαγωγής απωλειών Με τη μέθοδο αυτή σχεδίασης φίλτρων επιτρέπεται σε μεγάλο βαθμό ο έλεγχος της συμπεριφοράς των χαρακτηριστικών πλάτους και συχνότητας του φίλτρου τόσο στη ζώνη διέλευσης όσο και στη ζώνη αποκοπής. Αποτέλεσμα αυτού είναι να έχουμε μηδενικές απώλειες, γραμμική συχνοτική απόκριση μέσα στη ζώνη διέλευσης και άπειρη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής. Φυσικά τέτοιου είδους φίλτρα είναι δύσκολο να υπάρξουν στη πραγματικότητα. Ωστόσο τα χαρακτηριστικά λειτουργίας τους ικανοποιούν τις απαιτήσεις που θέτουμε. Η αρχή σχεδιασμού τους στηρίζεται στο καθορισμό του λόγου απώλειας ισχύος P LR σύμφωνα με τον οποίο αν επιτευχθεί μια ορισμένη τιμή του τότε είναι δυνατή η σχεδίαση του φίλτρου.... Λόγος απώλειας ισχύος (Power Loss Ratio) Ο λόγος απώλειας ισχύος ορίζεται ως ο λόγος της διαθέσιμης ισχύος από τη πηγή, προς τη προσφερόμενη ισχύ στο φορτίο και ορίζεται από τη παρακάτω σχέση: P LR (.) Γ * Γ( ω) όπου Γ(ω) είναι ο συντελεστής ανάκλαση για δικτύωμα χωρίς απώλειες που τερματίζει σε αντίσταση φορτίου R L L 9

Η εισαγωγή απωλειών σε db θα δίνεται από την εξίσωση IL0logP LR (.) Επειδή η Γ (ω) είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας ω, μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια πολυωνύμων δευτέρου βαθμού ως προς ω : Μ( ω ) Γ ( ω) (.3) Μ( ω ) Ν( ω ) όπου Μ και Ν είναι πολυώνυμα δευτέρου βαθμού της συχνότητας ω. με αντικατάσταση της τελευταίας σχέσης στην εξίσωση. έχουμε: M ( ω ) P LR (.4) Ν( ω ) Γενικά ως εισαγωγή απωλειών ορίζεται ο λόγος της ισχύος που αποδίδεται στο φορτίο όταν αυτό είναι απευθείας συνδεδεμένο με τη πηγή προς την ισχύ που διατίθεται όταν το φίλτρο έχει εισαχθεί ενδιάμεσα. Η μέθοδος απωλειών ξεκινά με το προσδιορισμό του λόγου απώλειας ισχύος P LR ή της συνάρτησης του συντελεστή ανάκλασης Γ ( ω ) ρ. Από τη στιγμή που το δικτύωμα μπορεί να δώσει το επιθυμητό λόγο απώλειας ισχύος, είμαστε σε θέση να το σχεδιάσουμε. Θα πρέπει ωστόσο να λάβουμε υπόψη ότι δεν είναι δυνατή η επιλογή μιας εντελώς αυθαίρετης τιμής για τη συνάρτηση Γ (ω) διότι μπορεί να μην ανταποκρίνεται σε πραγματικό δικτύωμα. Για ένα παθητικό δικτύωμα είναι φανερό ότι η ισχύς που ανακλάται δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη της ισχύος που προσπίπτει σε αυτό. Έτσι σαν πρώτο περιορισμό για τη συνάρτηση Γ (ω) δεχόμαστε ότι πρέπει να ισχύει: Γ( ω ) (.5) Επίσης λόγω του ότι η συνάρτηση Γ ( ω ) ρ είναι άρτια προκύπτει και ένας δεύτερος περιορισμός, σύμφωνα με τον οποίο οι τιμές της συχνότητας μπορεί να είναι μόνο άρτιες. Στη πραγματικότητα υπάρχει απεριόριστος αριθμός διαφορετικών μορφών που μπορούν να οριστούν από το λόγο απώλειας ισχύος και να θεωρηθούν σαν πραγματικά δικτυώματα. Παρόλο αυτά πολλά από αυτά τα δικτυώματα είναι πολύπλοκα και παρουσιάζουν μικρή χρησιμότητα. Οι λόγοι απώλειας ισχύος που μπορούν να θεωρηθούν ως οι πιο χρήσιμοι, είναι αυτοί που αντιστοιχούν σε φίλτρα Butterworth και Chebyshev. Στο ακόλουθο σχήμα βρίσκονται τα διαγράμματα των αποκρίσεων των δύο σημαντικότερων τύπων φίλτρων Maximally Flat (Butterworth) και Chebyshev. Η αναλυτική μελέτη του κάθε φίλτρου, παρατίθεται στη συνέχεια. 0

Σχήμα. Αποκρίσεις φίλτρων τύπου Maximally Flat και Equal Ripple.. Είδη πρότυπων χαμηλοπερατών φίλτρων Έστω ότι έχουμε το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος. Η αντίσταση φορτίου είναι ίση με Ω, ενώ η αντίσταση της πηγής είναι R. Τα δύο σχήματα είναι μεταξύ τους αντίστροφα. Σχήμα..α Πρότυπο χαμηλοπερατό φίλτρο

Για να υλοποιηθεί ένα φίλτρο με παθητικά στοιχεία ώστε να ικανοποιείται ο επιθυμητός λόγος απώλειας ισχύος του φίλτρου ακολουθείται η εξής διαδικασία: Υπολογίζουμε το συντελεστή ανάκλασης του δικτυώματος από τη σχέση Ζin R Γ (.6) in R όπου Ζ in η αντίσταση εισόδου του δικτυώματος. Υπολογίζουμε στη συνέχεια το λόγο P LR από τη σχέση: P LR Γ( ω) R in R * ( ) in in (.7) Με βάση λοιπόν τη παραπάνω τιμή προσδιορίζονται οι τιμές των στοιχείων g k του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου (πηνία πυκνωτές)..3 Φίλτρο Butterworth ή μέγιστης πεπλατυσμένης απόκρισης (Maximally Flat) Με τη χρήση ενός φίλτρου Butterworth λαμβάνεται η μέγιστη δυνατή πεπλατυσμένη απόκριση. Ο λόγος απώλειας ισχύος για ένα φίλτρο δίνεται από την εξίσωση: P LR k ω ωc N (.8) Η παραπάνω σχέση προκύπτει εύκολα, αν τεθεί στην εξίσωση.4 Ν(ω ) και N ω M ( ω ) k. Η σταθερά Ν της παραπάνω σχέσης αντιστοιχεί στη τάξη του φίλτρου, ωc ενώ η συχνότητα ω c είναι η συχνότητα αποκοπής. Από την εισαγωγή αναφέραμε ότι σε ένα χαμηλοπερατό φίλτρο η ζώνη διέλευσης εκτείνεται στη συχνοτική περιοχή από ω0 μέχρι ω c. Η μέγιστη τιμή του λόγου απώλειας ισχύος P LR θα είναι ίση με k και εξαιτίας του γεγονότος αυτού, η σταθερά k ονομάζεται ανοχή της ζώνης διέλευσης. Εάν ορίσουμε ως σημείο μέγιστης απώλειας ισχύος, εκείνο στο οποίο η απόκριση του φίλτρου έχει πέσει κατά 3dB και η συχνότητα ω ω c, τότε προκύπτει κ. Για συχνότητες ω>ω c, η εξασθένηση αυξάνεται μονότονα συναρτήσει του εκθέτη Ν ο οποίος συσχετίζεται με τον αριθμό των στοιχείων που χρησιμοποιούνται. Τα συμπεράσματα αυτά είναι εμφανή και στο προηγούμενο σχήμα..

..3. Χαμηλοπερατό πρότυπο φίλτρο μέγιστης πεπλατυσμένης απόκρισης (Maximally Flat) Στο σχήμα..β παρουσιάζεται το πρότυπο χαμηλοπερατό φίλτρο δύο στοιχείων με αντίσταση πηγής R, και συχνότητα αποκοπής ω c. Σκοπός είναι να υπολογιστούν οι κανονικοποιημένες τιμές των στοιχείων L, C για τη περίπτωση της μέγιστης πεπλατυσμένης απόκρισης. Από τη σχέση.8 και για Ν έχουμε: Σχήμα..β Πρότυπο χαμηλοπερατό φίλτρο με Ν Ο λόγος απώλειας ισχύος είναι: 4 P LR ω (.9) H αντίσταση εισόδου του φίλτρου θα δίνεται από την εξίσωση: ( jωrc) R Ζ in jlω (.0) ω R C όπου Cg και Lg. Με αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στη σχέση.6 και σε συνδυασμό με την.7 ο λόγος απώλειας ισχύος θα είναι: P LR * ( ) 4 [( R) ω ( L C R LCR ) ω L C R ] in (.) 4R in in Για να είναι ο λόγος απώλειας ισχύος P LR ίσο με τη μονάδα όταν ω0, θα πρέπει να επιλεχθεί η τιμή της αντίστασης R. Επίσης ο συντελεστής του ω θα πρέπει να απαλειφθεί, οπότε θα ισχύει L C -LC0 ή LC. Έπειτα, για να είναι ο συντελεστής του ω 4 ίσος με την μονάδα, πρέπει 4 L C L ή LC 4 4 3

Τα αντίστροφα μεταξύ τους χαμηλοπερατά φίλτρα είναι: Σχήμα.3 Αντίστροφα μεταξύ τους χαμηλοπερατά φίλτρα Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί περαιτέρω για να υπολογιστούν οι τιμές των στοιχείων σε φίλτρα με Ν παθητικά στοιχεία. Τα στοιχεία του κυκλώματος, περιγράφονται από τις παραμέτρους g i. Έτσι ορίζουμε: g 0 αντίσταση πηγής αγωγιμότητα πηγής g k αυτεπαγωγή για πηνία σε σειρά χωρητικότητα για παράλληλους πυκνωτές g N αντίσταση φορτίου εάν g N είναι παράλληλος πυκνωτής αγωγιμότητα φορτίου εάν g N είναι πηνίο σε σειρά. Από μελέτες που έγιναν σε φίλτρα με μεγάλο αριθμό παθητικών στοιχείων, προέκυψε ότι: Ο λόγος απώλειας ισχύος είναι: P LR N (.) ω Ο λόγος απώλειας ισχύος σε db θα υπολογίζεται από τη σχέση: P LR N A 0 log( ω ) (.3) k Οι τιμές των στοιχείων που δίνονται για R είναι: k g k sin π για κ,,.ν (.4) N 4

Όπου g k είναι η τιμή του πηνίου σε μονάδες Henry ή του πυκνωτή σε Farad. Κάθε φίλτρο τερματίζει σε αντίσταση Ω. Τέλος αξιοσημείωτο είναι ότι κατά τη διαδικασία σχεδιασμού φίλτρων είναι απαραίτητο να περιοριστεί το μέγεθος του. Αυτό επιτυγχάνεται με το προσδιορισμό του λόγου απωλειών σε μια συγκεκριμένη συχνότητα της ζώνης αποκοπής του φίλτρου. Στο σχήμα.4 φαίνονται τα χαρακτηριστικά της εξασθένησης για διάφορες τιμές του Ν. Στη περίπτωση που το φίλτρο έχει αριθμό στοιχείων Ν>, λαμβάνονται καλύτερα αποτελέσματα με τη τοποθέτηση δύο φίλτρων με λιγότερα στοιχεία σε σειρά. Σχήμα.4 Εξασθένηση ως προς την κανονικοποιημένη συχνότητα Στο πίνακα παρουσιάζουμε τις τιμές των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου Μaximally Flat για g, ω c και από Ν0 έως Ν0. 0 ΠΙΝΑΚΑΣ Ν g g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 0 g.44.44 3 4 0.7654.8478.8478 0.7654 5 0.680.680.680 0.680 6 0.576.44.938.938.938.44 0.576 7 0.445.47.809.809.47 0.445 8 0.390. 0.669.965.965.669. 0.390 9 0.3473.53.8794.8794.53 0.3473 0 0.39 0.9080.44.78.9754.9754.78.44 0.908 0.39 5

..4 Φίλτρο Chebyshev ή φίλτρο απόκρισης ίσης κυμάτωσης Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με τη φίλτρα τύπου Chebyshev σύμφωνα με τα οποία επιτυγχάνουμε απόκριση ίσης κυμάτωσης. Ο λόγος απώλειας στη προκειμένη περίπτωση είναι ίσος με: ω P LR k T N (.5) ωc ω όπου T N είναι το πολυώνυμο Chebyshev Ν βαθμού. ωc Επίσης ισχύουν οι τύποι: T N cos( N cos ) N ( x) x cosh x [ N a cosh x ] (.6) Με περιορισμούς - x για τον πρώτο όρο και x για τον δεύτερο όρο. Επίσης T x) x T ( x) T ( ) (.7.α) N ( N N x 0 ( x) T (.7.α) T ( x) x (.7.α) Ο λόγος απώλειας ισχύος P LR παίρνει τιμές από έως και κ στη ζώνη διέλευσης ενώ αυξάνεται μονότονα όταν βρισκόμαστε στη ζώνη αποκοπής. Επομένως ο παράγοντας κ είναι αυτός που καθορίζει τη κυμάτωση και για μικρή τιμή του κ έχουμε μεγάλη κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης και αντίστροφα. Βασικό πλεονέκτημα της χρήσης φίλτρων Chebyshev σε σχέση με Butterworth είναι η ικανότητα της χαρακτηριστικής να αυξάνεται με μεγάλη ταχύτητα από το σημείο αποκοπής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να έχουμε μια πιο απότομη περιοχή αποκοπής, χωρίζοντας έτσι με πιο ευδιάκριτο τρόπο τη ζώνη διέλευσης από τη ζώνη αποκοπής κάτι που αποτελεί επιθυμητό χαρακτηριστικό σχεδιασμού των φίλτρων. Για μεγάλες τιμές του λόγου P ω, ο λόγος απώλειας ισχύος πλησιάζει τη τιμή: ω c LR k ω ω 4 c N (.8) Ο λόγος απωλειών σύμφωνα με τη παραπάνω σχέση αυξάνεται με ρυθμό 0dB/dec 6

Μία διαφορά ανάμεσα στα δύο παραπάνω φίλτρα (Chebyshev Butterworth) είναι ότι φίλτρα τύπου Chebyshev παρουσιάζουν μεγαλύτερη απόκριση κατά ένα παράγοντα Ν- Ο λόγος απώλειας ισχύος για ένα φίλτρο ίσης κυμάτωσης με συχνότητα αποκοπής ω c, δίνεται από τη σχέση: P LR k T N ( ω) (.9) όπου k είναι η κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης του φίλτρου και Τ Ν είναι τα πολυώνυμα Chebyshev που έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Για Ν άρτιος αριθμός Τ Ν (0) Για Ν περιττός αριθμός Τ Ν (0) 0 Σύμφωνα με τα παραπάνω και την εξίσωση (.9) προκύπτει ότι για Ν περιττό ο λόγος απώλειας ισχύος είναι P LR, ενώ για Ν άρτιο είναι P LR k..4. Πρότυπο χαμηλοπερατό φίλτρο με απόκριση σταθερής κυμάτωσης (Chebyshev) Χρησιμοποιούμε πάλι το χαμηλοπερατό φίλτρο τύπου Chebyshev με δύο στοιχεία (Ν) του σχήματος..β. Οι κανονικοποιημένες τιμές g k των στοιχείων L και C του φίλτρου, μπορούν εύκολα να υπολογιστούν ως εξής: Για Ν η τιμή του πολυωνύμου Chebyshev θα είναι Τ (x)x -, με αποτέλεσμα η εξίσωση (.9) να γίνεται: 4 P LR k ( 4ω 4ω ) (.0) Ακολουθώντας τα ίδια με τη περίπτωση του Maximally Flat, η αντίσταση εισόδου θα είναι: R( jωrc) Ζ in jlω ω R C και ο λόγος απώλειας ισχύος θα είναι: in PLR in Από τις δυο παραπάνω σχέσεις και την.0 έχουμε : * ( ) 4 k ( 4ω 4 ) ( ) ( R L C R LCR ) 4 ω ω R L C ω (.) 4R Εάν η κυμάτωση είναι κ, τότε μπορούμε να λύσουμε τη παραπάνω εξίσωση ως προς R,L,C. Έτσι για ω0 έχουμε: ( R) k ή Rk -k k για Nάρτιο (.) 4R 4 k 4 L C R in R 7

-4 k 4R C R L LCR Από τις οποίες υπολογίζονται οι τιμές Lκαι C του φίλτρου. Η τιμή της αντίστασης που λαμβάνεται από τη σχέση (.) είναι διαφορετική της μονάδας. Έτσι εάν η αντίσταση του φορτίου είναι μονάδα δεν θα υπάρχει προσαρμογή. Το πρόβλημα αυτό μπορεί με ευκολία να διορθωθεί με τη χρήση ενός μετασχηματιστή λ/4 ή με τη τοποθέτηση ενός ακόμη στοιχείου στο φίλτρο ώστε να γίνει η τιμή του Ν περιττός αριθμός. Όταν Ν περιττός ο λόγος απώλειας ισχύος είναι P LR (0) και η αντίσταση R προκύπτει να είναι ίση με τη μονάδα. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να επεκταθεί και για οποιοδήποτε αριθμό στοιχείων Ν. στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές των στοιχείων για πρότυπα χαμηλοπερατά φίλτρα τύπου Chebyshev για g 0, ω c, κυμάτωση 0,5dB και 3dB αντίστοιχα, και από Ν έως Ν0. ΠΙΝΑΚΑΣ Κυμάτωση 0,5 db Ν g g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 0 g 0.6986.409 0.707.984 3.5963.0967.5963 4.6703.96.366 0.849.984 5.7058.96.5408.96.7058 6.754.479.6064.337.4758 0.8696.984 7.737.583.638.3444.638.583.737 8.745.647.6564.3590.6964.3389.5093 0.8796.984 9.7504.69.6678.3673.739.3673.6678.69.7404 0.7543.7.6754.375.739.3806.73.3485.539 0.884.984 ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Κυμάτωση 3 db Ν g g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 0 g.9953 3.03 0.5339 5.8095 3 3.3487 0.77 3.3487 4 3.4389 0.7483 4.347 0.59 5.8095 5 3.487 0.768 4.538 0.768 3.487 6 3.5045 0.765 4.606 0.799 4.464 0.6033 5.8095 7 3.58 0.773 4.6386 0.8039 4.6386 0.773 3.58 8 3.577 0.7745 4.6575 0.8089 4.6990 0.808 4.4990 0.6073 5.8095 9 3.5340 0.7760 4.669 0.88 4.77 0.88 4.669 0.776 3.5340 0 3.5384 0.777 4.6768 0.836 4.745 0.864 4.760 0.805 4.54 0.609 5.8095 8

Οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις της εξασθένησης συναρτήσει της κανονικοποιημένης συχνότητας για τις διάφορες τιμές του Ν και για δυο περιπτώσεις κυμάτωσης: Σχήμα.5.α Εξασθένηση ως προς τη κανονικοποιημένη συχνότητα για κυμάτωση 0,5dB Σχήμα.5.β Εξασθένηση ως προς τη κανονικοποιημένη συχνότητα για κυμάτωση 3dB Οι τιμές των στοιχείων g i για μεγάλη τιμή του Ν εξάγονται από τις παρακάτω εξισώσεις (.3) για ω c : Για Ν περιττός αριθμός g Ν Για Ν άρτιος αριθμός g Ν tanh (β/4) όπου k,, N 9

Όταν g Ν είναι πυκνωτής τότε g Ν είναι αντίσταση R, ενώ όταν g Ν είναι πηνίο τότε g Ν /R. Επίσης ισχύει: 4ak a k g k, bk g k k,3,..ν (.4) όπου: α κ sin ( k ) π, b κ γ sin kπ Ν Ν k,3,..ν A β lncoth m 7.37 α g γ β, γ sinh Ν Ο λόγος απώλειας ισχύος σε db θα υπολογίζετε με βάση τις παρακάτω εξισώσεις: A m 0 ' PLR A 0log 0 cos ( N cos ω κ ) db, ω κ (.5.α) A m 0 ' PLR A 0log 0 cosh ( N cosh ω κ ) db, ω κ (.5.β) όπου Α m, η κυμάτωση στη περιοχή διέλευσης και ω κ acos(ω κ ) όπου acos: αντίστροφο συνημίτονου 30

. Μετασχηματισμοί φίλτρων Ένα σημαντικό μέρος της διαδικασίας σχεδίασης φίλτρων είναι το στάδιο μετασχηματισμού από το πρότυπο χαμηλοπερατό φίλτρο με αντίσταση πηγής R s Ω, σε ένα άλλο φίλτρο με συχνοτικά χαρακτηριστικά όμοια ενός υψηλοπερατού, ζωνοπερατού, ή τέλος ζωνοαπορριπτικό φίλτρου με αυθαίρετη αντίσταση φορτίου. Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που το ονομάσαμε ως πρότυπο φίλτρο αφού αποτελεί τη βάση για το σχεδιασμό των υπολοίπων φίλτρων. Έτσι λοιπόν παρακάτω θα αναλύσουμε τον τρόπο μετατροπής του πρότυπου αρχικού χαμηλοπερατού φίλτρου με την αναγωγή σε άλλες συχνότητες και αντιστάσεις ώστε τα νέα φίλτρα που προκύπτουν να έχουν τα επιθυμητά χαρακτηριστικά... Αναγωγή αντίστασης Εάν η αντίσταση της πηγής R 0 Ω, τα χαρακτηριστικά του νέου φίλτρου λαμβάνονται ως εξής: ' L L C R R O (.6.α) ' C (.6.β) 0 ' R R0R (.6.γ) ' R s R0 (.6.δ) όπου L,C,R είναι τα χαρακτηριστικά στοιχεία του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου... Αναγωγή της συχνότητας για χαμηλοπερατό φίλτρο Για να μεταβληθεί η συχνότητα αποκοπής του χαμηλοπερατού φίλτρου από ω c σε μια τυχαία τιμή ω λαμβάνει χώρα η εξής αντικατάσταση: ω ω (.7) ω c άρα ο λόγος απώλειας ισχύος θα είναι: ' ω P LR (ω) P LR ωc Οι νέες τιμές των στοιχείων με τον μετασχηματισμό συχνότητας (.7) θα είναι: 3

Για προκύπτει: jx k j(ω/ω c )L k jω L k και jbk j(ω/ω c )C k jω C k L K L k ω C k c C K ω c (.8.α) (.8.β)..3 Αναγωγή αντίστασης και συχνότητας για χαμηλοπερατό φίλτρο Στη προκειμένη περίπτωση οι νέες τιμές των στοιχείων είναι: L K L k R0 (.9.α) ω c CK C k (.9.β) R0ωc..4 Μετασχηματισμός από χαμηλοπερατό σε υψηλοπερατό φίλτρο Για τον μετασχηματισμό χαμηλοπερατού φίλτρου σε υψηλοπερατό η αντικατάσταση της συχνότητας γίνεται με βάση τη σχέση: ω ω (.30) ω c Το αρνητικό πρόσημο είναι απαραίτητο για την αντικατάσταση των χωρητικοτήτων από τις επαγωγές και το αντίστροφο. Επομένως οι νέες τιμές των στοιχείων του φίλτρου θα είναι: Για και άρα προκύπτει: jx k -j(ω/ω c )L k /jω C k και jbk -j(ω/ω c )C k /jω L k L k CKωc C k L ω K c (.3.α) (.3.β) 3

Με αναγωγή και της αντίστασης τότε: L k R C K C k R 0 ωc ω 0L K c (.3.α) (.3.β) Σχήμα.6 Κλιμάκωση συχνότητας για χαμηλοπερατά φίλτρα και μετασχηματισμούς σε υψηλοπερατό α) Χαμηλοπερατό πρότυπο φίλτρο με ω c β) κλιμάκωση συχνότητας για χαμηλοπερατή απόκριση γ) Μετασχηματισμός σε υψηλοπερατή απόκριση..5 Μετασχηματισμός από χαμηλοπερατό σε ζωνοπερατό φίλτρο Ο μετασχηματισμός αντίστοιχα ενός χαμηλοπερατού φίλτρου σε ένα ζωνοπερατό γίνεται με τη χρήση της παρακάτω σχέσης: ω0 ω ω0 ω ω0 ω ω ω ω0 ω Δ (.34) ω0 ω ω ω όπου Δ, το κλασματικό εύρος της ζώνης διέλευσης, ω 0 η κεντρική συχνότητα και ω0 ω, ω τα όρια περιοχής διέλευσης. Επίσης η τιμή η ω 0 επιλέγεται να ισούται με: ω 0 ωω (.35) όταν ισχύει: ω ω0 ω ω 0 Δ 0 ω0 ω ω ω0 ω ω Δ - ω0 ω ω ω0 ω ω Δ ω0 ω 33

Άρα για ω ω 0 Για jx k j Δ L k jω L k -j(/ωc k ) ω0 ω η σε σειρά επαγωγή μετασχηματίζεται σε σειρά δικτύωμα LC με τιμές στοιχείων: L k L K Δω 0 Δ C k L K ω 0 (.36.α) (.36.β) ω ω 0 Για jb k j Δ C k jω C k -j(/ωl k ) ω0 ω Η παράλληλη συνδεδεμένη χωρητικότητα μετασχηματίζεται σε παράλληλο συνδεδεμένο δικτύωμα LC με τιμές στοιχείων: Δ L k C K ω 0 (.37.α) C k C K Δω 0 (.37.β)..6 Μετασχηματισμός από χαμηλοπερατό σε ζωνοαπορριπτικό φίλτρο Αντίστοιχα η τροποποίηση ενός χαμηλοπερατού φίλτρού σε ένα ζωνοαπορριπτικό γίνεται βάση των παρακάτω μετασχηματισμών: ω ω ω0 Δ ω0 ω (.38) Δουλεύοντας σύμφωνα με τη παραπάνω λογική η σε σειρά επαγωγή μετατρέπεται σε παράλληλα συνδεδεμένο δικτύωμα LC με τιμές στοιχείων: ΔL L K k (.39.α) Δω 0 C k (.39.β) L K Δω 0 34

Ενώ η παράλληλα συνδεδεμένη χωρητικότητα μετατρέπεται σε σειρά συνδεδεμένο δικτύωμα LC με τιμές στοιχείων: L k (.40.α) C K Δω 0 C k ΔC K ω 0 (.40.β) Σχήμα.7 Μετασχηματισμοί συχνότητας από χαμηλοπερατά σε Ζωνοπερατά και Ζωνοαπορριπτικά α)χαμηλοπερατό πρότυπο φίλτρο με ω c, β)μετασχηματισμός σε ζωνοπερατή απόκριση, γ)μετασχηματισμός σε ζωνοαπορριπτική απόκριση Σχήμα.8 Μετασχηματισμοί πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου σε υψηλοπερατό, ζωνοπερατό και ζωνοαπορριπτικό 35

.3 Υλοποιήσεις φίλτρων Μέχρι στιγμής αναφερθήκαμε σε δομές φίλτρων που αποτελούνται από εντοπισμένα στοιχεία όπως πηνία και πυκνωτές. Εξάλλου ένα μεγάλο ποσοστό φίλτρων υλοποιούνται με πηνία και πυκνωτές. Όταν όμως αναγκαστούμε να δουλέψουμε σε υψηλές συχνότητες όπως για παράδειγμα στα μικροκύματα προκύπτουν δύο σημαντικά προβλήματα:. Τα πηνία και οι πυκνωτές χρησιμοποιούνται για περιορισμένο αριθμό τιμών και είναι δύσκολο να υλοποιηθούν στις συχνότητες των μικροκυμάτων. Το μέγεθος των στοιχείων είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με τις επιθυμητές διαστάσεις του φίλτρου. 3. Τέλος οι αποστάσεις μεταξύ των στοιχείων σε αυτή τη περιοχή συχνοτήτων δεν είναι αμελητέες. Για τους παραπάνω λόγους όπως επίσης και για άλλους λόγους πρακτικότητας τα στοιχεία όπως πηνία και πυκνωτές αντικαθιστώνται από μικροταινιακές γραμμές μεταφοράς συγκεκριμένων διαστάσεων και αποστάσεων μεταξύ τους. Για να γίνει κάτι τέτοιο όμως εφαρμόζουμε τους μετασχηματισμούς Richard τους οποίους θα αναλύσουμε παρακάτω..3. Μετασχηματισμοί Richard Ο μετασχηματισμός που λαμβάνει χώρα είναι ο εξής: Ωtanβl tan ωl u p Με αντικατάσταση της συχνότητας ω με την Ω, η επαγωγική αντίσταση θα είναι: (.4) Χ L jωljltanβl (.4) Ενώ η χωρητική αντίσταση θα είναι: jb L jωcjctanβl (.43) Οι δύο τελευταίες εξισώσεις δείχνουν ότι ένα πηνίο μπορεί να αντικατασταθεί από ένα βραχυκυκλωμένο κύκλωμα μήκους βl και χαρακτηριστικής αντίστασης L, ενώ ένας πυκνωτής μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ανοιχτό κύκλωμα μήκους βl και χαρακτηριστικής αντίσταση /C, όπως απεικονίζει το σχήμα.9 36

Σχήμα.9.α Μετασχηματισμοί Richard για ένα πηνίο Σχήμα.9.β Μετασχηματισμοί Richard για ένα πυκνωτή Για να είναι η συχνότητα αποκοπής Ω στο τροποποιημένο κατά Richard φίλτρο, αρκεί να τεθεί Ωtanβl, από όπου προκύπτει lλ/8 με λ να αντιστοιχεί στο μήκος κύματος της γραμμής στη συχνότητα αποκοπής ω c. Για συχνότητες ωω c, το μήκος της γραμμής θα είναι λ/4 και θα βρισκόμαστε στη περιοχή εξασθένησης. Για συχνότητες πολύ μεγαλύτερες της ω c, οι αντιστάσεις των τμημάτων των γραμμών μεταφοράς, δεν θα είναι πλέον ισοδύναμες με αυτές του αρχικού εντοπισμένου με στοιχεία φίλτρου, ενώ και η απόκριση θα είναι διαφορετική. Επίσης η απόκριση θα είναι περιοδική σε συχνότητες που είναι πολλαπλάσια του 4ω c. 37

.3. Μετατροπείς Σύνθετης Αντίστασης και Αγωγιμότητας Στις απόμενες παραγράφους που θα αναλύσουμε τον τρόπο υλοποίησης διαφόρων φίλτρων, τα οποία στηρίζονται στη σύζευξη των μικροταινιακών γραμμών, θα αναγκαστούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορους μετατροπείς σύνθετης αντίστασης και αγωγιμότητας αντίστοιχα. Με αυτό τον τρόπο απλοποιούμε τη διαδικασία ανάλυσης του φίλτρου και σε επίπεδο υλοποίησης εμφανίζουν μεγάλη πρακτική εφαρμογή κυρίως σε περιπτώσεις που έχουμε ζωνοπερατά ή ζωνοαπορριπτικά φίλτρα στενού εύρου ζώνης. Στα παρακάτω σχήματα απεικονίζεται ένας μετατροπέας σύνθετης αντίστασης και ένας μετατροπέας σύνθετης αγωγιμότητας. Σχήμα.0.α Μετατροπέας Σύνθετης Αντίστασης Σχήμα.0.β Μετατροπέας Αγωγιμότητας Στη πιο απλή μορφή τους οι μετατροπείς Κ και J μπορούν να κατασκευαστούν με τη χρήση ενός λ/4 μετατροπέα και της αντίστοιχης χαρακτηριστικής αντίστασης. Επίσης άλλοι τύποι αντιστροφέων μπορούν να δημιουργηθούν από γραμμές μεταφοράς μήκους θ/. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στα παρακάτω σχήματα αντίστοιχα: 38

Σχήμα. Μηχανισμοί μετατροπής αντίστασης και αγωγιμότητας Οι εξισώσεις για τη κάθε περίπτωση δίνονται στο παρακάτω πίνακα. ΠΊΝΑΚΑΣ 4 Αντιστροφή σύνθετης αντίστασης K tan θ o Κ Χ Κ Ζο X θ tan o Αντιστροφή αγωγιμότητας J Υ tan θ o J Β J Y ο J θ tan Y o 39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο [] ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο τα μικροκυματικά φίλτρα διακρίνονται ανάλογα με τις ιδιότητες τους σε χαμηλοπερατά, υψηλοπερατά, ζωνοπερατά και ζωνοαπορριπτικά. Μια κατηγορία φίλτρων με τις παραπάνω ιδιότητες, που θα ασχοληθούμε σε αυτό το κεφάλαιο, είναι αυτά που στηρίζονται σε μια περιοδική δομή πάνω σε μια μικροταινία. Περιοδική δομή ορίζεται μια άπειρη γραμμή μεταφοράς με περιοδικά τοποθετημένα αλληλεπιδρώντα στοιχεία. Τα στοιχεία αυτά είναι λεπτές γραμμές μεταφοράς τα οποία σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς Richard, αντικαθιστούν τα εντοπισμένα στοιχεία (πηνία και πυκνωτές) που αποτελούν τα φίλτρα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι περιοδικές δομές να συνιστούν φίλτρα τα οποία θα έχουν κοινά χαρακτηριστικά συχνοτικής διέλευσης και αποκοπής με τα άλλα φίλτρα και θα οδηγούν κύματα μικρότερης ταχύτητας από τη φασική ταχύτητα μη φορτωμένης γραμμής. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται μια περιοδική δομή σε μια μικροταινία. Σχήμα 3..α Περιοδική δομή πάνω σε μικροταινία 3. Ανάλυση Άπειρης Περιοδικής Δομής Στο σχήμα 3..β φαίνεται το ισοδύναμο κύκλωμα μιας περιοδικής δομής δηλαδή μιας γραμμής μεταφοράς με περιοδικά τοποθετημένα παθητικά στοιχεία. Κάθε στοιχείο έχει μήκος d. Η ποσότητα b είναι η κανονικοποιημένη τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης 0 της φορτισμένης γραμμής με στοιχεία. Σχήμα 3..β Ισοδύναμο κύκλωμα άπειρης περιοδικής δομής 40

4 Αρχικά κατά την ανάλυση του παραπάνω κυκλώματος θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά διάδοσης του. Έτσι αν υποτεθεί ότι η περιοδική δομή αποτελείται από τοποθετημένα τετράπολα, τότε είναι δυνατή η συσχέτιση των τάσεων και των ρευμάτων σε κάθε πλευρά του n-οστού μοναδιαίου με την βοήθεια του πίνακα μεταφοράς ABCD: C A I V n n D B n n I V (3.) ο πίνακας ABCD προκύπτει από το γινόμενο τριών πινάκων από τους οποίους ο πρώτος και ο τρίτος είναι πίνακες μεταφοράς γραμμής μήκους d/ με χαρακτηριστική αντίσταση ίση με 0 Ω, ενώ ο δεύτερος είναι ο πίνακας μεταφοράς του στοιχείου jb. Ως θkd όπου η σταθερά διάδοσης μη φορτωμένης γραμμής. Οι τρεις πίνακες είναι: C A sin cos θ θ j D B jb j cos sin θ θ sin cos 0 θ θ j cos sin θ θ j C A cos sin sin cos b b j b D B θ θ θ θ θ θ θ θ sin cos cos sin b b b j (3.) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι AD-BC.Σε περίπτωση που το δικτύωμα είναι συμμετρικό ισχύει AD Σε κάθε διάδοση κύματος κατά τον άξονα z ισχύει: ( ) ( ) z e V z V γ 0 (3.3.α) ( ) ( ) z e I z I γ 0 (3.3.β) όπου γαjβ είναι η σταθερά διάδοσης της φορτωμένης με στοιχεία γραμμής. Η τάση και το ρεύμα του n-οστού στοιχείου διαφέρει από τη τάση και το ρεύμα του n κατά e -γd. Άρα έχουμε τις σχέσεις: d n n e V V γ (3.4.α) d n n e I I γ (3.4.β) Από τις σχέσεις 3.4.α, 3.4.β και 3. προκύπτει: C A I V n n D B n n I V d n d n e I e V γ γ C e A I V d n n γ d e D B γ n n I V 0 (3.5)

Το παραπάνω ομογενές σύστημα για να έχει λύση πρέπει η ορίζουσα να είναι ίση με το μηδέν δηλαδή: ADe γδ -(AD)e γd -BC0 (3.6) Γνωρίζοντας όμως ότι ισχύει AD-BC έχουμε: e γδ -(AD)e γd 0 b coshγd (ΑD)/ cosθ - sinθ b coshγd coshad cos(βd)jsinh(ad) sin(βd) cosθ - sinθ (3.8) Σύμφωνα με τη παραπάνω εξίσωση είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τα συχνοτικά χαρακτηριστικά της περιοδικής δομής που μελετάμε. Έτσι για: α0 και β 0: Στη προκειμένη περίπτωση δεν εμφανίζεται εξασθένηση κατά τη διάδοση του κύματος και άρα έχουμε τη ζώνη διέλευσης της δομής. Η σχέση 3.8 παίρνει λοιπόν τη μορφή: b cos(βd) cosθ - sinθ (3.9.α) α 0 και β0,π: Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε εξασθένηση και το κύμα δεν διαδίδεται κατά μήκος της γραμμής. Έτσι ορίζεται η ζώνη αποκοπής του φίλτρου. Η σχέση 3.8 θα έχει λοιπόν τη μορφή: b cos(αd) cosθ - sinθ (3.9.β) Η παραπάνω έχει μια λύση για θετικώς μεταδιδόμενα κύματα όπου ισχύει α>0 και μια λύση για αρνητικώς μεταδιδόμενα κύματα όπου ισχύει α<0. Σύμφωνα με τα παραπάνω αφού η περιοδική δομή θα έχει μια ζώνη διέλευσης και μια ζώνη αποκοπής, θα συμπεριφέρεται ως φίλτρο. 3.. Χαρακτηριστική Αντίσταση Τετραπολου Η χαρακτηριστική αντίσταση του τετραπολου δίνεται από τη σχέση: Vn B 0 (3.0) I n σύμφωνα με την εξίσωση 3.5 έχουμε (Α- e γd )V n B I n 0 και άρα η σχέση 3.0 γίνεται: B B A e 0 γd 4

επίσης από τη σχέση 3.6 ο παράγοντας διάδοσης θα είναι e γd ( A D) ± ( A D) Συνδυάζοντας όλους τους παραπάνω τύπους προκύπτει ότι η χαρακτηριστική αντίσταση του τετραπόλου είναι ίση με: ( A D) ± ( A D) 4 4 ± B 0 B (3.) και στη περίπτωση που έχουμε συμμετρικό δικτύωμα θα έχουμε : ± 0 B (3.) ± B ( A) 4 οι δύο λύσεις παραπάνω αντιστοιχούν σε θετικά και αρνητικά μεταδιδόμενα κύματα. Έστω ότι έχουμε μια περιοδική δομή η οποία τερματίζει σε ένα φορτίο L. Μία τέτοια τελική περιοδική δομή φαίνεται στη παρακάτω εικόνα. Σχήμα 3. Περιοδική δομή που τερματίζει σε φορτίο L Τα ρεύματα και οι τάσεις του τετραπόλου δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: και Όπου V n V (3.3) n Vn Vn V V I n (3.4) b B jβnd V 0 e και n B V jβnd n V e (3.5) 0 Για το στοιχείο nn έχουμε: V N Vn Vn V N VN L I N L B B (3.6) 43

Ο συντελεστής ανάκλασης είναι ίσος: V Γ V N N L B L B (3.7) Για τη περίπτωση που το τετράπολο είναι συμμετρικό τότε έχουμε B B άρα η σχέση 3.7 γίνεται: L B Γ (3.8) Τέλος για να μην έχουμε ανακλάσεις στη περιοδική δομή θα πρέπει να ισχύει L B L B B και 3.. k-β Διαγράμματα και Ταχύτητες Κυμάτων k-β διαγράμματα ή διαγράμματα Brillouin ονομάζονται τα διαγράμματα που παραστάνουν τη σταθερά διάδοσης β της φορτωμένης γραμμής συναρτήσει της σταθερά διάδοσης k της μη φορτωμένης γραμμής. Είναι απαραίτητα πάντα κατά τη μελέτη των συχνοτικών χαρακτηριστικών της περιοδικής δομής. Η εξίσωση διασποράς σε μια γραμμή μεταφοράς είναι: β κ κ c (3.9) όπου β:η σταθερά διάδοσης, κ: ο κυματάριθμος στο κενό και κ c ο κυματάριθμος αποκοπής. Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν κ<κ c : Τότε δεν υπάρχει πραγματική λύση για το β και άρα δεν έχουμε διάδοση. Αν κ>κ c :Τότε υπάρχει λύση για το β και άρα έχουμε διάδοση και για μεγάλες τιμές του β έχουμε προσέγγιση του κ στο β. Επίσης κάτι ακόμη που πρέπει να προσδιοριστεί είναι η φασική ταχύτητα και η ταχύτητα ομάδας. Η φασική ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: u p ω k c (3.0) β β Η ταχύτητα ομάδας δίνεται από τη σχέση: u g dω dk c (3.) dβ dβ 44

Το σχήμα 3.3 παρουσιάζει ένα κ-β διάγραμμα Σχήμα 3.3 κ-β διάγραμμα Όπως βλέπουμε και από το σχήμα η φασική ταχύτητα είναι άπειρη στη περιοχή αποκοπής και προσεγγίζει τη τιμή της ταχύτητας του φωτός c καθώς το κ αυξάνεται. Αντίθετα η ταχύτητα ομάδας είναι μηδέν στη αποκοπή και επίσης πλησιάζει την τιμή της τα τιμή της ταχύτητας του φωτός c καθώς το κ αυξάνεται 3. ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε δυο ειδικές κατηγορίες φίλτρων τα οποία βασίζονται στη περιοδική δομή που περιγράψαμε πριν δηλαδή είναι γραμμές μεταφοράς με περιοδικά τοποθετημένα στοιχεία. Το πρώτο φίλτρο που θα μας απασχολήσει είναι ένα χαμηλοπερατό φίλτρο με διαδοχικά στοιχεία υψηλής (Ζ h ) και χαμηλής (Ζ l ) χαρακτηριστικής αντίστασης και η ονομασία του είναι stepped impedance low pass filter. Το δεύτερο φίλτρο είναι ένα ζωνοπερατό φίλτρο το οποίο χρησιμοποιεί stubs και βασίζεται σε συζευγμένους ταλαντωτές ή αλλιώς coupled resonator bandpass filter. Αφού παραθέσουμε και αναλύσουμε τη θεωρεία κάθε φίλτρου επισημαίνοντας τα συχνοτικά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες του καθενός, στη συνέχεια θα περιγράψουμε τη πορεία που ακολουθήσαμε για το σχεδιασμό τους με τη βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB. 45

3.. Stepped Impedance Low Pass Filters ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το παρόν χαμηλοπερατό φίλτρο, βασίζεται στη χρήση γραμμών μεταφοράς πολύ υψηλής και χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης ταυτόχρονα. Τέτοια φίλτρα συχνά αναφέρονται ως stepped impedance low pass filters ή υψηλής χαρακτηριστικής αντίστασης ( h ) και χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης ( l ). Είναι αρκετά δημοφιλή στη χρήση τους λόγω της απλής και εύκολης σχεδίασης τους και λόγω του ελάχιστου χώρου που καταλαμβάνουν σε σχέση με τα αντίστοιχα μικροκυματικά χαμηλοπερατά φίλτρα που χρησιμοποιούν stubs. Στη συνέχεια παραθέτουμε αναλυτικά τις σχέσεις υπολογισμού της υψηλής ( h ) και χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης ( l ) των γραμμών μεταφοράς όπως και των αντίστοιχων μηκών τους. Συμπεριλαμβανομένων διαφόρων προσεγγιστικών σχέσεων στους παρακάτω υπολογισμούς, καταλήγουμε στο ότι η απόκριση του φίλτρου δεν είναι ακριβής και για αυτό το λόγο η χρήση τέτοιων ειδών φίλτρων περιορίζεται μόνο σε εφαρμογές όπου δεν απαιτείται ταχύς ρυθμός μεταβολής της απόκρισης στη ζώνη αποκοπής. Υπολογισμός Παραμέτρων των Γραμμών Μεταφοράς Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς Richard, όπως έχουμε αναφέρει σε προηγούμενες παραγράφους, ένα πηνίο ή ένας πυκνωτής μπορεί να αντικατασταθεί από μια γραμμή μεταφορά μήκους l και χαρακτηριστικής αντίστασης 0. Αντίστοιχα στη προκειμένη περίπτωση υποθέτοντας το ισοδύναμο κύκλωμα του σχήματος 3.5 οι μετασχηματισμοί Richard θα έχουν την παρακάτω μορφή: Ζ tan( β ll ) (3.) L h c cot( β l ) (3.3) l c Σχήμα3.5 Ισοδύναμο Κύκλωμα 46

π Υποθέτοντας μια μικρού μήκους γραμμή, για παράδειγμα β λ <, και υψηλή 4 χαρακτηριστική αντίσταση, η σχέση (3.) απλοποιείται παίρνοντας την μορφή: η οποία αντιστοιχεί σε σειρά πηνίο(σχήμα 3.5.α) L β l (3.4) h L Σχήμα 3.5.α π Επίσης για μικρού μήκους γραμμή ( β λ < ) και μικρή χαρακτηριστική αντίσταση, η 4 σχέση (3.3) τώρα απλοποιείται στη παρακάτω μορφή: c lβ lc (3.5) η οποία αντιστοιχεί σε πυκνωτή παράλληλα(σχήμα 3.5β) Σχήμα 3.5.β Σύμφωνα με τα προηγούμενα, ένα πηνίο σε σειρά μπορεί να αντικατασταθεί από μια γραμμή μεταφοράς μικρού μήκους και υψηλής χαρακτηριστικής h αντίστασης και ένας πυκνωτής από μια γραμμή μεταφοράς μικρού μήκους και χαμηλής χαρακτηριστικής αντίστασης l. Αξίζει να επισημάνουμε ότι L και C συμβολίζουμε την αντίσταση του πηνίου και του πυκνωτή αντίστοιχα, ενώ h και l συμβολίζουμε τις χαρακτηριστικές αντιστάσεις των γραμμών μεταφοράς που αντιστοιχούν στο πηνίο και στο πυκνωτή αντίστοιχα. Ο λόγος h / l πρέπει να είναι όσο το δυνατό πιο υψηλός, έτσι ώστε να λαμβάνουν την μέγιστη δυνατή τιμή η h και την ελάχιστη δυνατή η l. Επίσης η σταθερά π διάδοσης είναι β όπου L g το μήκος κύματος και l L και l C συμβολίζουμε τα μήκη των L g γραμμών μεταφοράς που αντιστοιχούν στο πηνίο και στο πυκνωτή αντίστοιχα. Αυτά τα μήκη 47

πρέπει να υπολογιστούν για ωω c ώστε να πάρουμε τη βέλτιστη απόκριση κοντά στη συχνότητα αποκοπής ω c. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.4) και (3.5) με την σχέση (.9) της παραγράφου..3 ο υπολογισμός των μηκών γίνεται από τις παρακάτω σχέσεις: L 0 β ll (3.6) h C l β l (3.7) c 0 όπου 0 είναι η χαρακτηριστική αντίσταση του φίλτρου και L, C οι κανονοικοποιημένες τιμές του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου. Συνοψίζοντας τα όσα έχουμε πει μέχρι στιγμής θεωρούμε το κύκλωμα ενός χαμηλοπερατού φίλτρου το οποίο αποτελείται από εντοπισμένα στοιχεία όπως πηνία και πυκνωτές (σχήμα 3.5.γ). Σύμφωνα με τη παραπάνω διαδικασία αντικαθιστούμε τα πηνία και τους πυκνωτές με γραμμές μεταφοράς συγκεκριμένων διαστάσεων και χαρακτηριστικής αντίστασης Ζ. Το νέο κύκλωμα που προκύπτει απεικονίζεται στο σχήμα 3.5.δ και αποτελείται από διαδοχικά στοιχεία υψηλής (Ζ h ) και χαμηλής (Ζ l ) χαρακτηριστικής αντίστασης. Σχήμα 3.5.γ Χαμηλοπερατό φίλτρο με εντοπισμένα στοιχεία (L,C) Σχήμα 3.5.δ Χαμηλοπερατό φίλτρο με γραμμές μεταφοράς 48

3... Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab Λαμβάνοντας υπόψη τη θεωρεία και τις μαθηματικές εκφράσεις που περιγράψαμε πριν, δίνεται η δυνατότητα εφαρμογής τους με σκοπό των υπολογισμών όλων εκείνων των παραμέτρων που συνθέτουν το συγκεκριμένο φίλτρο. Η πορεία σχεδιασμού και προσομοίωσης της λειτουργίας του φίλτρου έγινε με την βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB, του οποίου η λειτουργία στηρίζεται σε συναρτήσεις που αποτελούν τα m-files του MATLAB. Στη συνέχεια μέσω ενός γραφικού περιβάλλοντος χρήστη (Graphical User interface, GUI), δίνεται η δυνατότητα σε κάθε χρήστη να μπορεί να δίνει στο πρόγραμμα τις προδιαγραφές του φίλτρου που επιθυμεί, δηλαδή τα γεωμετρικά και συχνοτικά του χαρακτηριστικά, αλλά και να λαμβάνει τα αποτελέσματα υπολογισμού μέσω του προγράμματος. Έτσι το GUI έχει χωριστεί σε τρία επίπεδα: Στο πρώτο εισάγουμε τα χαρακτηριστικά του φίλτρου που επιθυμούμε, στο δεύτερο λαμβάνουμε τα αποτελέσματα κατόπιν επεξεργασίας του προγράμματος και στο τρίτο βλέπουμε τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου δηλαδή το συντελεστή ανάκλασης και διέλευσης σε db συναρτήσει της συχνότητας. Ο κώδικας γράφτηκε σε μορφή συνάρτησης (InterfaceC) χωρίς να χρησιμοποιείται ο EDITOR για αρχεία GUI που προσφέρει το software του MATLAB. Το πρόγραμμα αρχίζει να εκτελείται με μια απλή πληκτρολόγηση του ονόματος της συνάρτησης του GUI (InterfaceC) στο παράθυρο εντολών του MATLAB. Στο Interface που εμφανίζεται στην οθόνη δίνονται τα αντίστοιχα strings, τα δεδομένα του προγράμματος και η εντολή εκτέλεσης που δίνεται με το κουμπί RUN. Στη προκειμένη περίπτωση τα δεδομένα που πρέπει να εισαχθούν στο GUI και αφορούν τα συχνοτικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά του χαμηλοπερατού stepped impedance φίλτρου είναι: f 0 : Εκφράζει τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. f atten : Συχνότητα στην οποία θέλουμε να έχει έχει εξασθένηση την τιμή Atten atten: Τιμή της εξασθένησης σε db A m : Κυμάτωση σε db Ζ 0 : Αντίσταση κύριας γραμμής σε Ohm Ζ high : Αντίσταση γραμμής μεταφοράς που αντιστοιχεί στο πηνίο Ζ low : Αντίσταση γραμμής μεταφοράς που αντιστοιχεί στο πυκνωτή e r : Διηλεκτρική σταθερά h: Πάχος διηλεκτρικού kfil: Το είδος του φίλτρου δηλαδή αν θα είναι Cheyshev ή Maximally flat f start : Συχνότητα με την οποία ξεκινά η σάρωση f stop : Συχνότητα με την οποία σταματά η σάρωση points: Συχνότητες για τις οποίες θα υπολογιστεί η απόκριση για τη λήψη του διαγράμματος. e 0 : Ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού v3*0 8 m/sec 49

Τα αποτελέσματα κατά την επεξεργασία του προγράμματος που εκφράζουν κυρίως τα επιπλέον γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου είναι: Ν: Ο αριθμός των περιοδικών στοιχείων που απαρτίζουν το φίλτρο. l L : Το μήκος της γραμμής που αντικαθιστά το πηνίο w L :Το πλάτος της γραμμής που αντικαθιστά το πηνίο l C : Το μήκος της γραμμής που αντικαθιστά το πυκνωτή w C :Το πλάτος της γραμμής που αντικαθιστά το πυκνωτή Το τρίτο και τελευταίο κομμάτι αφορά τον υπολογισμό των S παραμέτρων (συντελεστής ανάκλασης και συντελεστής διέλευσης ) συναρτήσει της συχνότητας. Η απεικόνισή τους γίνεται σε ένα διάγραμμα όπου ο άξονας ψ μετριέται σε db. Τα βήματα της οργάνωσης και της λογικής πορείας των υπολογισμών των παραμέτρων του φίλτρου όπως και η εμφάνιση των αποτελεσμάτων στο GUI είναι: Πληκτρολογούμε το όνομα της συνάρτησης του GUI (InterfaceC) στο παράθυρο εντολών του MATLAB και πατώντας ENTER εμφανίζεται το παράθυρο από το GUI. Επιλέγουμε τον τύπο του φίλτρου που θέλουμε να σχεδιάσουμε Chebyshev ή Maximally Flat και στη συνέχεια εισάγουμε τις τιμές των δεδομένων εισόδου που περιγράψαμε πριν. Εκτελώντας την εντολή RUN το πρόγραμμα αυτόματα υπολογίζει τον αριθμό Ν των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου αλλά και τις τιμές g μέσω των εξισώσεων.4 και.4 που παραθέσαμε στις παραγράφους..3. και..4. αντίστοιχα. 50

Εφόσον πλέον γνωρίζουμε τον αριθμό των στοιχείων του φίλτρου υποθέτουμε αρχικά ότι το φίλτρο αποτελείται από πηνία και πυκνωτές παράλληλα σύμφωνα με το σχήμα 3.5.α.. Καθώς όμως η αντίσταση της πηγής είναι 0 0 και η συχνότητα αποκοπής είναι f 0, θα πρέπει να λάβουμε υπόψη του μετασχηματισμούς φίλτρων που αναφέραμε στη παράγραφο..3 και συγκεκριμένα να κάνουμε χρήση των σχέσεων (.9.α) και (.9.β) που αναφέρονται σε αναγωγή αντίστασης και συχνότητας για χαμηλοπερατό φίλτρο. Οι νέες τιμές των στοιχείων του φίλτρου θα είναι: i 0 L g i w0 όπου i,4,6. (3.8) και i C gi w όπου i,3,5. (3.9) 0 0 Υπολογίζουμε τη τιμή της αντίστασης που αντιστοιχεί στο πηνίο και στο πυκνωτή μέσω των σχέσεων: i i L j L w0 (3.30) i C (3.3) i j C w0 Μεταβαίνουμε στο στάδιο κατά το οποίο σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς του Richard αντικαθιστάμε τα παραπάνω στοιχεία (πηνία πυκνωτές) με γραμμές μεταφοράς συγκεκριμένου μήκους, πλάτους και χαρακτηριστικής αντίστασης. Η τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης για κάθε στοιχείο δίνεται χωριστά από τον ίδιο τον χρήστη και είναι οι Ζ high και Ζ low. Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές σύμφωνα με τις εξισώσεις (.9) έως (.4) της παραγράφου. υπολογίζουμε το πλάτος w της κάθε γραμμής, τη δρώσα διηλεκτρική σταθερά ε eff και τέλος το μήκος κύματος L g. 5

5 Από τις σχέσεις 3.7 και 3.8 υπολογίζουμε το μήκος της κάθε γραμμής Κάνοντας χρήση των τύπων 3. και 3.3 υπολογίζουμε τελικά την αντίσταση της κάθε γραμμής που όπως είπαμε και πριν αντικαθιστά το πηνίο ή τον πυκνωτή. Οι τιμές τους πρέπει να συμφωνούν με τις αντίστοιχες τιμές που βρήκαμε από τις σχέσεις 3.30 και 3.3. Γνωρίζοντας από τη θεωρία των τετραπόλων ότι αν V και I είναι η τάση και το ρεύμα εισόδου, και V και I είναι η τάση και το ρεύμα εξόδου αντίστοιχα τότε η αντίσταση εισόδου είναι: D C B A D I V C B I V A I D V C I B V A I V in 0 0 (3.3) Όπου A,B,C,D είναι οι τιμές του πίνακα μεταφοράς του κυκλώματος δηλαδή: C A C D B 0 0 L C 0 0 L.. Cn 0 0 Ln (3.33)

Ο υπολογισμός των S παραμέτρων όπου είναι και το ζητούμενο για το γράφημα γίνεται από τις παρακάτω σχέσεις: in 0 S (3.34) in 0 ( ( ) ) S S (3.35) Στο τελευταίο βήμα δημιουργούμε ένα γράφημα που στον οριζόντιο άξονα θα έχουμε τις τιμές συχνοτήτων και στον κάθετο τις τιμές του συντελεστή διέλευσης S και του συντελεστή ανάκλασης S εκφραζόμενοι και οι δύο σε db. Αξίζει να σημειώσουμε ότι το κύκλωμα είναι συμμετρικό οπότε θα ισχύει S S και S S. 53

3... Αποτελέσματα Προσομοιώσεις και Σύγκριση Στη συνέχεια της μελέτης παραθέτουμε ένα παραδείγματα χαμηλοπερατού φίλτρου τύπου Chebyshev. Είχαμε επίσης τη δυνατότητα να το συγκρίνουμε και με άλλα προγράμματα προσομοίωσης όπως το ENSEMBLE. Τα συγκεκριμένο πρόγραμμα βασίζεται στη θεωρεία των ροπών και δίνει τη δυνατότητα προσομοίωσης της δομής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Αφού εμφανίσουμε στην οθόνη το GUI με τη διαδικασία που περιγράψαμε προηγουμένως εισάγουμε τα εξής στοιχεία: f 0 3.8 GHz f atten 4.5 GHz atten 5 db A m 0.5 db Ζ 0 50 Ω Ζ high 40 Ω Ζ low 0 Ω e r 9.8 h 0.0045m kfil (Chebyshev) f start 0. GHz f stop 6 GHz points 400 Τα χαρακτηριστικά του φίλτρου που διεξήχθησαν κατόπιν επεξεργασίας των δεδομένων εισόδου από το MATLAB φαίνονται στον πίνακα 3.: ΠΙΝΑΚΑΣ 3. Αριθμός στοιχείων Ν Μήκος γραμμής πηνίου I L (mm) Πλάτος γραμμής πηνίου w L (mm) Μήκος γραμμής πυκνωτή I C (mm) Πλάτος γραμμής πυκνωτή w C (mm) ο στοιχείο - -.903 8.9 ο στοιχείο 0.974 0.304 - - 3 ο στοιχείο - -.903 8.9 Η συχνοτική απόκριση του χαμηλοπερατού φίλτρου του συγκεκριμένου παραδείγματος, απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμα το οποίο αναπαριστά τους S παραμέτρους συναρτήσει της συχνότητας f. Με μπλε χρώμα παριστάνουμε τον συντελεστή διέλευσης S ενώ με πράσινο το συντελεστή ανάκλασης S. Σημειώνουμε ότι το κύκλωμα στη προκειμένη περίπτωση είναι συμμετρικό και άρα ισχύει S S και S S. 54

Διάγραμμα : Συχνοτική απόκριση του φίλτρου Η επιφάνεια εργασίας Interface η οποία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.6 απεικονίζει τα αποτελέσματα των χαρακτηριστικών του φίλτρου και την απόκριση του. Σχήμα 3.6 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceC) 55

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τη μελέτη του παραπάνω διαγράμματος μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συχνοτική απόκριση του φίλτρου εμφανίζει αρκετά καλά χαρακτηριστικά. Προφανώς αντιστοιχεί σε ένα χαμηλοπερατό φίλτρο του οποίου η ζώνη διέλευσης εκτείνεται από 0 έως 3.8GHz ενώ η ζώνη αποκοπής από 3.8 Hz έως άπειρο. Η συχνότητα αποκοπής είναι αυτή των 3.8GHz για την οποία η τιμή του συντελεστή διέλευσης, σύμφωνα με το παραπάνω διάγραμμα, είναι -3.dB κάτι που είναι αναμενόμενο και επιθυμητό. Επίσης η συχνότητα των 4.5GHz για την οποία αναμέναμε να υπάρχει εξασθένηση της τάξεως των 5dB, από το διάγραμμα προκύπτει εξασθένηση 7dB, εμφανίζοντας μια μικρή απόκλιση. Θα πρέπει να γίνει λόγος και για τη κυμάτωση η οποία, στη ζώνη διέλευσης, δεν ξεπερνά τα -0,5dB. Τέλος οι τιμές των διαστάσεων του φίλτρου είναι λογικές και υλοποιήσιμες αφού είναι της τάξεως των χιλιοστών (mm). Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Το επόμενο βήμα κατά τη πορεία που ακολουθήσαμε για το σχεδιασμό του φίλτρου είναι η σύγκριση των αποτελεσμάτων που πήραμε μέσω του προγράμματος του MATLAB με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που λάβαμε από τη χρήση ενός δεύτερου προγράμματος το οποίο ονομάζεται ENSEMBLE. Το τελευταίο βασίζεται στη μέθοδο των ροπών και μπορεί να επεξεργάζεται οποιαδήποτε δεδομένα εξάγοντας τα αντίστοιχα διαγράμματα που επιθυμούμε. Στη προκειμένη περίπτωση τα αποτελέσματα που εξάγονται από το MATLAB και αφορούν κυρίως τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, χρησιμοποιούνται στο ENSEMBLE με σκοπό να σχεδιάσουμε το φίλτρο που θέλουμε να υλοποιήσουμε. Στη συνέχεια σαρώνουμε ως προς τη συχνότητα και εξάγουμε τα διαγράμματα που απεικονίζουν τη μεταβολή των S παραμέτρων σε σχέση με τη συχνότητα. Τα διαγράμματα αυτά στη προκειμένη περίπτωση αποτελούν αντικείμενο σχολιασμού και σύγκρισης με τα αντίστοιχα διαγράμματα που βγάλαμε από το MATLAB. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του προηγούμενου παραδείγματος είμαστε σε θέση να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο φίλτρο στην επιφάνεια σχεδίασης του ENSEMBLE. Αφού τοποθετήσαμε το ίδιο διηλεκτρικό υλικό και επίπεδο γείωσης με αυτά του παραπάνω παραδείγματος, εκτελέσαμε μια σάρωση στη περιοχή συχνοτήτων 0, έως 5GHz και είδαμε τη μεταβολή των S παραμέτρων. Σημειώνουμε ότι με πράσινο παριστάνουμε το συντελεστή διέλευσης S, με κόκκινο το συντελεστή διέλευσης S, με μπλε το συντελεστή ανάκλασης S και με μαύρο το συντελεστή ανάκλασης S. Το διάγραμμα λοιπόν από το ENSEMBLE είναι: 56

Διάγραμμα : Συχνοτική απόκριση του φίλτρου ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΧΟΛΙΑ Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από το παραπάνω γράφημα, όπου απεικονίζει τις S παραμέτρους συναρτήσει της συχνότητας, η απόκλιση από το αντίστοιχο διάγραμμα που διεξήχθη από το MATLAB δεν είναι πολύ μεγάλη. Στη προκειμένη περίπτωση, στη συχνότητα αποκοπής ο συντελεστής διέλευσης παίρνει τη τιμή των -.95dB ενώ ο διαχωρισμός της ζώνης διέλευσης από τη ζώνη αποκοπής είναι ικανοποιητικός. Συγκεκριμένα στη συχνότητα των 4.5GHz η εξασθένηση φθάνει την τιμή των 3dB παρουσιάζοντας μια μικρή απόκλιση σε σχέση με την αναμενόμενη τιμή των 5dB. Τέλος η κυμάτωση αυξήθηκε φθάνοντας τη τιμή των -0.75dB. Ο πίνακας με συγκεντρωμένα τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, για την περίπτωση σχεδίασης stepped impedance χαμηλοπερατού φίλτρου, μέσω του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB και μέσω του υπολογιστικού προγράμματος ENSEMBLE είναι: 57

ΠΙΝΑΚΑΣ 3. Χαρακτηριστικά Συντελεστής Διέλευσης S Φίλτρου Θεωρ. Τιμές MATLAB ENSEMBLE Συχνότητα Αποκοπής S -3 db S -3. db S -.95 db f o 3.8GHz Συχν με επιθυμητή S -5 db S -7 db S -3dB εξασθένηση f atten 4.5 GHz Κυμάτωση (ripple) -0.5 db -0.5 db -0.75 db Τα σφάλματα και οι αποκλίσεις που εμφανίζονται μεταξύ των δύο προγραμμάτων οφείλονται αφ ενός στο γεγονός ότι οι σχέσεις κλειστής μορφής που χρησιμοποιήθηκαν στο MATLAB είναι προσεγγιστικές, αφ ετέρου στο ότι το λογισμικό ENSEMBLE χρησιμοποιεί μέθοδο ροπών με την οποία συνυπολογίζονται φαινόμενα σύζευξης ή λαμβάνονται μη ομοιόμορφες κατανομές ρεύματος ή ακτινοβολίας, τα οποία δεν λαμβάνονται υπόψη όταν χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμοι πυκνωτές και τα πηνία που χρησιμοποιούν οι προσεγγιστικές σχέσεις. Επίσης πρέπει να σημειώσουμε ότι η τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης του πηνίου L δεν πρέπει να υπερβαίνει μια καθορισμένη τιμή πάνω από 80Ω, ενώ η τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης του πυκνωτή C δεν πρέπει να είναι μικρότερη της τιμής των 0Ω. Σε αντίθετη περίπτωση και σε περίπτωση υψηλών συχνοτήτων, θα σχεδιάζουμε φίλτρα με πολύ μικρά πλάτη και μήκη γραμμών μεταφοράς, της τάξης 0-5, κάτι που δεν είναι εφικτό αφού τέτοιου είδους φίλτρα δεν είναι δυνατόν να είναι υλοποιήσιμα. Ο παραπάνω περιορισμός ισχύει και για το πρόγραμμα ensemble, καθώς ένα φίλτρο πολύ μικρών διαστάσεων δεν μπορεί να σχεδιαστεί με μεγάλη ακρίβεια. Η τιμή του ripple σε db στη προκειμένη περίπτωση δεν πρέπει να ξεπερνά την τιμή των 4 db γιατί άνω αυτής της τιμής εμφανίζονται σφάλματα στον υπολογισμό των παραμέτρων. Ένας ακόμη περιορισμός που θα πρέπει να λάβουμε υπόψη είναι ότι η συχνότητα (f atten ) που θέλουμε να έχουμε για την εξασθένηση (atten) δεν πρέπει να συμπίπτει με τη συχνότητα αποκοπής f 0 που έχουμε ορίσει πιο πριν. Οι περιορισμοί για τη τιμή του ripple και της συχνότητας αποκοπής ισχύουν σε όλες τις περιπτώσεις φίλτρων που θα εξετάσουμε. Επίσης η τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης της κύριας γραμμής Ζ 0 συνήθως παίρνει την τιμή των 50Ω εκτός και αν οι απαιτήσεις του φίλτρου ζητάνε τιμή χαρακτηριστικής αντίστασης των 75Ω. Όσον αφορά τη τιμή της διηλεκτρικής σταθεράς και του ύψους του υποστρώματος, οι τιμές τους λαμβάνονται ανάλογα με το διαθέσιμο υλικό που κυκλοφορεί στο εμπόριο. Ένας πίνακας που συγκεντρώνει το σύνολο αυτών των προϊόντων με τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά τους παρουσιάζεται στο παράρτημα της εργασίας. 58

Ένα άλλο στοιχείο που πρέπει να επισημάνουμε είναι ότι επιλέγοντας φίλτρο τύπου Chebyshev έχουμε ένα πλεονέκτημα σε σχέση με Maximally Flat. Συγκεκριμένα όπως είχαμε τονίσει και από τη θεωρία, το φίλτρο τύπου Chebyshev εμφανίζει πιο απότομη περιοχή αποκοπής, κάνοντας πιο εμφανή τον διαχωρισμό της ζώνης διέλευσης από τη ζώνη αποκοπής. Αυτό είναι επιθυμητό κατά τη σχεδίαση φίλτρων και όπως θα δούμε παρακάτω ισχύει σε όλες τις κατηγορίες φίλτρων και όχι μόνο στα χαμηλοπερατά. Τέλος από το γράφημα της προσομοίωσης στο assemply διαπιστώνουμε ότι κύκλωμα είναι συμμετρικό αφού ισχύει S S και S S κάτι που διαπιστώσαμε επίσης και στο περιβάλλον του MATLAB. 59

3.. Φίλτρα Συζευγμένων Ταλαντωτών ή Coupled Resonators Filters Μία άλλη μέθοδος σχεδίασης φίλτρων επιτυγχάνεται με τη χρήση κλειστών ή ανοιχτών γραμμών μεταφοράς μήκους λ/4 οι οποίες ισαπέχουν απόσταση μεταξύ τους ίση με λ/4. Οι γραμμές αυτές ονομάζονται αλλιώς και stubs και αποτελούν επίπεδες γραμμές μεταφοράς (μικροταινίες) συγκεκριμένου μήκους και πλάτους και είναι περιοδικά τοποθετημένες πάνω σε μια κύρια γραμμή. Η χαρακτηριστική αντίσταση της κύριας γραμμής είναι σταθερή ίση με 50Ω ενώ η χαρακτηριστική αντίσταση του κάθε stub μεταβάλλεται και εξαρτάται από το είδος του φίλτρου που θέλουμε να υλοποιήσουμε (ζωνοπερατό ή ζωνοαπορριπτικό). Αυτό σημαίνει ότι ένα ζωνοαπορριπτικό φίλτρο υλοποιείται χρησιμοποιώντας Ν στον αριθμό ανοιχτές γραμμές (stubs). Η χαρακτηριστική αντίσταση του κάθε stub συμβολίζεται με 0n και συνδέεται με τις τιμές του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου μέσω ενός τύπου που θα αναφέρουμε στη συνέχεια. Το ίδιο σκεπτικό ισχύει και για τη περίπτωση ενός ζωνοπερατού φίλτρου μόνο που στη προκειμένη περίπτωση η υλοποίηση του φίλτρου απαιτεί κλειστές γραμμές μεταφοράς (stubs). Η χαρακτηριστική αντίσταση 0n συνδέεται και πάλι με τις τιμές του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου, παρόλο αυτά διαφέρει στη τιμή από τη προηγούμενη περίπτωση αφού δίνεται από διαφορετικό τύπο. Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει τη δομή ενός ζωνοαπορριπτικού σχήμα (3.7.a) και ενός ζωνοπερατού σχήμα (3.7.b) φίλτρου χρησιμοποιώντας stubs. Σχήμα 3.7.a Δομή ζωνοαπορριπτικού φίλτρου Σχήμα 3.7.b Δομή ζωνοπερατού φίλτρου 60

Η αντίσταση του κάθε stub δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: όπου βπ/λ g λ g : το μήκος κύματος l: το μήκος του κάθε stub και είναι ίσο με λ g /4 ( l) j 0 n cot β (3.36) Για τη περίπτωση ζωνοαπορριπτικού φίλτρου η χαρακτηριστική αντίσταση του stub θα είναι: 4 0 0n (3.37) π g n Δ ενώ για τη περίπτωση που θέλουμε να υλοποιήσουμε ένα ζωνοπερατό φίλτρο η χαρακτηριστική αντίσταση του stub θα είναι: όπου Δ (ω -ω )/ω 0 0n π 0 Δ 4 g n (3.38) Η συγκεκριμένη μέθοδος σχεδίασης φίλτρων θεωρείται ως από τις πιο πρακτικές και αξιόπιστες, καθώς η απόκριση του φίλτρου συναρτήσει της συχνότητας πλησιάζει σε μεγάλο βαθμό την ιδανική χαρακτηριστική ενός φίλτρου. Παρόλο αυτά υπάρχει ένα μειονέκτημα και αυτό εντοπίζεται στις χαρακτηριστικές αντιστάσεις των stubs που στη πρώτη περίπτωση δηλαδή ενός ζωνοαπορριπτικού φίλτρου προκύπτει μια πολύ υψηλή χαρακτηριστική αντίσταση που αυτό συνεπάγεται πολύ μικρό μήκος και πάχος της μικροταινίας και ακολούθως αδυναμία υλοποίησης σε πρακτικό επίπεδο. Στη περίπτωση ζωνοπερατού φίλτρου η χαρακτηριστική αντίσταση που προκύπτει είναι πολύ μικρή, δηλαδή μεγάλο μήκος και πλάτος της μικροταινίας και άρα πρόβλημα πάλι κατά την υλοποίηση, αφού ο χώρος που απαιτείται να σχεδιαστεί το φίλτρο είναι αρκετά περιορισμένος. Σε αυτό το σημείο πρέπει να ειπωθεί ότι κατά τη διάρκεια προγραμματισμού μέσω του MATLAB, λόγω του παραπάνω περιορισμού, ασχοληθήκαμε μόνο με τη περίπτωση κλειστών γραμμών μεταφοράς δηλαδή με ζωνοπερατά φίλτρα. 6

3... Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab Λαμβάνοντας υπόψη τη θεωρία που περιγράψαμε και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία που ακολουθήσαμε και στο προηγούμενο φίλτρο για την πορεία προγραμματισμού και εισαγωγής των μαθηματικών εκφράσεων στο περιβάλλον του MATLAB έχουμε τα ακόλουθα: Αρχικά οι παράμετροι εισόδου που αφορούν τα συχνοτικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου είναι: f 0 : εκφράζει τη κεντρική συχνότητα λειτουργίας του φίλτρου. f atten : Συχνότητα στην οποία θέλουμε να έχει εχει εξασθένηση την τιμή Atten Atten: τιμή της εξασθένησης σε db A m : κυμάτωση σε db Ζ 0 : Αντίσταση κύριας γραμμής e r : Διηλεκτρική σταθερά h: Πάχος διηλεκτρικού kfil: Το είδος του φίλτρου δηλδή αν θα είναι Cheyshev ή Maximally flat D: Εύρος ζώνης του φίλτρου f start : Συχνότητα με την οποία ξεκινά η σάρωση f stop : Συχνότητα με την οποία σταματά η σάρωση points: Συχνότητες για τις οποίες θα υπολογιστεί η απόκριση για τη λήψη του διαγράμματος. e 0 : Ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού v3*0 8 m/sec Οι παράμετροι εξόδου δηλαδή τα αποτελέσματα κατά την επεξεργασία του προγράμματος που εκφράζουν κυρίως τα επιπλέον γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου είναι: Ν: Ο αριθμός των περιοδικών στοιχείων που απαρτίζουν το φίλτρο. l L : Το μήκος της επίπεδης γραμμής (stub) w L :Το πλάτος της επίπεδης γραμμής (stub) Το διάγραμμα που εκφράζει τους S παραμέτρους (συντελεστής διέλευσης S, συντελεστής ανάκλασης S ), συναρτήσει της συχνότητας (f) 6

Τα βήματα της οργάνωσης και της λογικής πορείας των υπολογισμών των παραμέτρων του φίλτρου όπως και η εμφάνιση των αποτελεσμάτων στο GUI είναι: Πληκτρολογώντας το όνομα της συνάρτησης του GUI (InterfaceD) στο παράθυρο εντολών του MATLAB και πατώντας ENTER εμφανίζεται το παράθυρο από το GUI. Εισάγουμε τις τιμές των δεδομένων εισόδου που περιγράφτηκαν πριν επιλέγοντας τον τύπο του φίλτρου που θέλουμε να σχεδιάσουμε Chebyshev ή Maximally Flat. Εκτελώντας την εντολή RUN υπολογίζεται ο αριθμός Ν των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου αλλά και τις τιμές g μέσω των εξισώσεων.4 και.4 που παραθέσαμε στις παραγράφους..3. και..4. αντίστοιχα. Γνωρίζοντας το εύρος ζώνης διέλευσης Δ την χαρακτηριστική αντίσταση της κύριας γραμμής 0 και τις τιμές του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου g, σύμφωνα με τη σχέση 3.38 υπολογίζουμε τη χαρακτηριστική αντίσταση του κάθε stub 0n Από τη χαρακτηριστική αντίσταση 0n, σύμφωνα με τις εξισώσεις με (.9) έως (.4) της παραγράφου.,υπολογίζουμε το πλάτος w της κάθε γραμμής, τη δρώσα διηλεκτρική σταθερά ε eff και τέλος το μήκος κύματος λ g. 63

Το μήκος λοιπόν κάθε stub θα είναι ίσο με λ g /4, ενώ από τη σχέση 3.36 υπολογίζουμε την αντίσταση κάθε stub. Από τη σχέση (3.3) υπολογίζουμε την αντίσταση εισόδου του κυκλώματος in. Τέλος από τη σχέση (3.34) και (3.35) υπολογίζουμε τους S παραμέτρους. 64

3... Αποτελέσματα Προσομοιώσεις και Σύγκριση Συνέχεια της εργασίας αποτελεί ένα παράδειγμα ζωνοπερατού φίλτρου τύπου Chebyshev, το οποίο χρησιμοποιεί κλειστές γραμμές μεταφοράς (stubs). Εισάγουμε τα δεδομένα εισόδου και εκτελούμε το πρόγραμμα σύμφωνα με τη παραπάνω διαδικασία, εξάγοντας ως αποτελέσματα τα συχνοτικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου. Τα δεδομένα εισόδου είναι: f 0 5.05 GHz f atten 4.3 GHz atten 0 db A m 0.dB Ζ 0 50 Ω e r.9 h 0.5mm kfil (Chebyshev) D 0.05 ή 5% f start 4 GHz f stop 6 GHz points 400 Τα χαρακτηριστικά του φίλτρου που διεξήχθησαν κατόπιν επεξεργασίας των δεδομένων εισόδου από το MATLAB φαίνονται στο πίνακα 3.3: Αριθμός στοιχείων Ν Χαρ.αντισταση Ζ οn (Οhm) ΠΙΝΑΚΑΣ 3.3 Πλάτος γραμμής w (mm) Μήκος γραμμής l (mm) ο στοιχείο.77 8.49689 5.748 ο στοιχείο.505 0.0695 5.595 3 ο στοιχείο.085 3.775 5.365 4 ο στοιχείο.3989 6.845 5.3097 65

Το διάγραμμα που απεικονίζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου είναι: Διάγραμμα 3 Συχνοτική απόκριση φίλτρου Τέλος το παράθυρο GUI που απεικονίζει όλα τα παραπάνω αποτελέσματα είναι: Σχήμα 3.8 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceD) 66

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τη μελέτη του παραπάνω γραφήματος έχουμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις. Το φίλτρο ανήκει στη κατηγορία των ζωνοπερατών φίλτρων και αυτό δικαιολογείται από τη μορφή της συχνοτικής απόκρισης τους διαγράμματος 3. Η ζώνη διέλευσης για το παραπάνω φίλτρο εκτείνεται σε μια περιοχή συχνοτήτων εύρους 5%, ενώ η ζώνη αποκοπής εκτείνεται αριστερά και δεξιά των αντίστοιχων ορίων διέλευσης. Συγκεκριμένα, τα όρια διέλευσης αντιστοιχούν σε συχνότητες f 5,7GHz και f 4,93GHz για τις οποίες η τιμή του συντελεστή διέλευσης είναι S -.94dB και S -3.4dB. Αντίστοιχα, η κεντρική συχνότητα των 5.05GHz αντιστοιχεί σε τιμές S 0dB και S - 90dB. Τέλος στη συχνότητα των 4,3GHz εμφανίζεται μια εξασθένηση της τάξεως των 0dB κάτι που το περιμέναμε. Εκτός από τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου που αναλύσαμε πριν, είναι απαραίτητο να γίνει λόγος και για τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά. Έτσι αναφερόμενοι στα πλάτη και μήκη των γραμμών διαπιστώνουμε ότι τα μεγέθη αυτά είναι αναμενόμενα και κυρίως μπορούμε να υλοποιήσουμε το φίλτρο. Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειώσουμε ότι η σχεδίαση φίλτρων με stubs πολλές φορές δεν είναι εφικτή λόγω του πολύ μικρού ή μεγάλου χώρου που θα καταλαμβάνει το φίλτρο στη πλακέτα, αν πρόκειται για ζωνοαπορριπτικό ή ζωνοπερατό φίλτρο αντίστοιχα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα λόγω της χρήσης πολύ μικρού πάχους υποστρώματος ( h 0.5mm ) και μεγάλης διηλεκτρικής σταθεράς (e r.9), καταφέραμε να έχουμε μεγέθη λογικά και υλοποιήσιμα. Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Από τη παραπάνω διαδικασία δεν έλειψε η σύγκριση και συγχρόνως επαλήθευση των αποτελεσμάτων του φίλτρου μέσω ενός άλλου προγράμματος το ENSEMBLE. Η συχνοτική απόκριση του φίλτρου στη προκειμένη περίπτωση είναι: Διάγραμμα 4:Συχνοτική απόκριση του φίλτρου 67

Σημειώνουμε ότι με πράσινο παριστάνουμε το συντελεστή διέλευσης S, με κόκκινο το συντελεστή διέλευσης S, με μπλε το συντελεστή ανάκλασης S και με μαύρο το συντελεστή ανάκλασης S. Το διάγραμμα λοιπόν από το ENSEMBLE είναι: ΣΥΓΚΡΙΣΗ - ΣΧΟΛΙΑ Η συχνοτική απόκριση του φίλτρου που βγάλαμε από τη χρήση του προγράμματος του ENSEMBLE δεν διαφέρει σε σημαντικό βαθμό από την αντίστοιχη του διαγράμματος 3. Εμφανίζει τα ίδια ζωνοπερατά χαρακτηριστικά με τη διαφορά να καθιστά πιο έντονο το διαχωρισμό της ζώνης αποκοπής από τη ζώνη διέλευσης. Αυτό γίνεται φανερό από τις τιμές του συντελεστή διέλευσης στις συχνότητες των ορίων διέλευσης και συγκεκριμένα για f 5,7GHz έχουμε S -3,55dB και f 4,93GHz και S -3,35dB. Επίσης στη συχνότητα f atten 4,3GHz η εξασθένηση παίρνει τη τιμή 9dB. Ωστόσο η κεντρική συχνότητα ενώ θα έπρεπε να είχε στην ιδανική περίπτωση μηδενική εξασθένηση, στη προκειμένη περίπτωση ο συντελεστής διέλευσης έχει τιμή ίση με S - 0,7dB. Ο πίνακας με συγκεντρωμένα τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, για την περίπτωση σχεδίασης του μέσω του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB και μέσω του υπολογιστικού προγράμματος του ENSEMBLE είναι: Χαρακτηριστικά Φίλτρου Συχν. Διέλευσης f 5.7 GHz Συχν. Διέλευσης f 4.93 GHz Συχν. με επιθυμητή εξασθένηση (fatten4.3 GHz) Κυμάτωση (ripple) ΠΙΝΑΚΑΣ 3.4 Συντελεστής Διέλευσης S Θεωρητ. MATLAB ENSEMBLE Τιμές S -3 db S -.94dB S -3.55 db S -3 db S -3.4 db S -3.35dB S -0dB S -0 db S -9dB -0. db -0. db -0. db Οι αποκλίσεις και τα σφάλματα που παρουσιάστηκαν και στις δύο περιπτώσεις οφείλονται στις ίδιες αιτίες για τις οποίες έγινε λόγος και στις προηγούμενες περιπτώσεις. Ο διαφορετικός τρόπος προσέγγισης του προβλήματος από τα δύο προγράμματα (MATLAB ENSEMBLE) είναι ένας από του βασικότερους λόγους. Έτσι από τη μεριά του MATLAB οι προσεγγιστικές σχέσεις και η τεχνική υπολογισμού των χαρακτηριστικών αντιστάσεων εισάγουν κάποιο μικρό σφάλμα, ενώ σε αντίθεση στο ENSEMBLE που λειτουργεί με τη μέθοδο των ροπών συνυπολογίζονται φαινόμενα σύζευξης ή λαμβάνονται μη ομοιόμορφες κατανομές ρεύματος ή ακτινοβολίας, τα οποία δεν λαμβάνονται υπόψη όταν χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμοι πυκνωτές και τα πηνία που χρησιμοποιούν οι προσεγγιστικές σχέσεις. 68

ο [, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συνέχεια της μελέτης για τα μικροκυματικά φίλτρα απαιτεί μια θεωρητική εισαγωγή για τη σύζευξη μικροταινιακών γραμμών. Η κατασκευή φίλτρων, τα οποία στηρίζονται σε σύζευξη μικροταινιακών γραμμών μεταφοράς, είναι ένα πολύ συχνό φαινόμενο στο τομέα των τηλεπικοινωνιών για πολλούς λόγους. Συγκεκριμένα αποτελεί μια εύκολη υπόθεση από τη στιγμή που επιθυμούμε ένα φίλτρο με ζωνοπερατά ή ζωνοαπορριπτικά χαρακτηριστικά και εύρος ζώνης μικρότερο του 0%. Από την άλλη μεριά τα συχνοτικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου προσεγγίζουν σε μεγάλο βαθμό τις προσδοκίες και τις απαιτήσεις που είχαμε θέσει. Παρόλο αυτά στη περίπτωση που επιθυμούμε φίλτρο με εύρος ζώνης μεγαλύτερο του 0%, τότε απαιτείται η χρήση πολύ λεπτών γραμμών μεταφοράς κάτι που είναι αδύνατο στο στάδιο της κατασκευής. Επίσης με τον όρο σύζευξη των μικροταινιακών γραμμών εννοούμε την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση μεταξύ τους και για να υφίσταται σύζευξη το διάστημα που χωρίζει τις μικροταινιακές γραμμές δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το τριπλάσιο του ύψους του υποστρώματος (διηλεκτρικού). Στη συνέχεια αναλύονται οι ιδιότητες συζευγμένης γραμμής μήκους λ/4 ενώ έπειτα αποδεικνύεται πως οι βαθμίδες αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το σχεδιασμό κυρίως ζωνοπερατών φίλτρων. Τέλος παραθέτονται ορισμένα παραδείγματα μικροταινιακών φίλτρων που στηρίζονται στη σύζευξη μικροταινιακών γραμμών. 4. Ιδιότητες φίλτρων κατασκευασμένων με συζευγμένες μικροταινιακές γραμμές Έστω ότι έχουμε ένα τετράθυρο δικτύωμα δηλαδή ένα τμήμα παράλληλων συζευγμένων γραμμών, όπως παρουσιάζεται, στο σχήμα 4..α και θέλουμε να μελετήσουμε τις ιδιότητές τους. Αρχικά θα πρέπει να εξάγουμε τον πίνακα σύνθετων αντιστάσεων για το συγκεκριμένο δικτύωμα λαμβάνοντας υπόψη την υπέρθεση άρτιου και περιττού ρυθμού. Σχήμα 4..α Βαθμίδα παράλληλων συζευγμένων γραμμών 69

Σύμφωνα όμως με το σχήμα 4..β εάν οι πηγές ρεύματος i ή i 3 οδηγούν τη γραμμή στον άρτιο ρυθμό, τότε οι πηγές ρεύματος i ή i 4 οδηγούν τη γραμμή στο περιττό ρυθμό. Σχήμα 4..β Βαθμίδα με πηγές ρευμάτων άρτιου και περιττού ρυθμού Από την υπέρθεση, έχουμε ότι τα ολικά ρεύματα των θυρών I i (όπου i,,3,4) είναι: I i i (4..α) I i - i (4..β) I 3 i 3 - i 4 (4..γ) I 4 i 3 i 4 (4..δ) Υποθέτουμε αρχικά ότι η γραμμή οδηγείται από το ρεύμα i στον άρτιο ρυθμό. Εάν οι υπόλοιπες θύρες είναι ανοιχτές τότε η σύνθετη που βλέπουμε στη θύρα ή είναι ίση με : e j cot( β l) (4.) in oe Η τάση σε κάθε αγωγό θα είναι: jβ z l V z) V ( z) V e ( ) jβ( z l ) [ e ] V cos β ( l ) a( b e e z (4.3) Άρα οι τάσεις στις θύρες ή θα είναι ίσες με: V a 0) Vb (0) Ve cos ( l) ( β i (4.4) ine από τις 4.3 και 4.4 η τάση σε κάθε αγωγό συναρτήσει του ρεύματος i είναι: V a cos β ( l z) ( z) Vb ( z) j Oe i sin βl (4.5) Ομοίως οι τάσεις που οδηγούνται από το ρεύμα i 3 είναι: V a3 cos βz ( z) Vb3 ( z) j Oe i sin βl 3 (4.6) 70

Θεωρούμε τώρα ότι η γραμμή οδηγείται στον περιττό ρυθμό από το ρεύμα i και οι υπόλοιπες θύρες είναι ανοιχτές, τότε η σύνθετη αντίσταση που βλέπουμε στην θύρα ή είναι: o in j cot( β l) (4.7) oo Η τάση σε κάθε αγωγό θα είναι: jβ ( z l ) jβ ( z l ) [ e e ] V cos β ( l ) Va ( z) Vb ( z) Ve o z (4.8) Άρα οι τάσεις στις θύρες ή θα είναι ίσες με: V a 0) Vb (0) Vo cos ( l) ( β i (4.9) ino από τις 4.8 και 4.9 η τάση σε κάθε αγωγό συναρτήσει του ρεύματος i είναι: V a cos β ( l z) ( z) Vb ( z) j Oe i sin βl (4.0.α) ομοίως οι τάσεις που οδηγούνται από το ρεύμα i 4 είναι: V a4 cos βz ( z) Vb 4( z) j Oe i sin βl 4 (4.0.β) Σύμφωνα με τα παραπάνω η ολική τάση λοιπόν στη θύρα είναι ίση με το άθροισμα: V 0) V (0) V a( a Va3( 0) Va4 (0) j ( oe i oo i ) cotθ ( i ) cscθ j (4.0.γ) oe 3 oo i 4 από τις σχέσεις (4.5), (4.6), (4.0), (4.) και για θβl, επιλύνοντας τις σχέσεις 4. ως προς τα ρεύματα i i έχουμε: i / (I I ) i / (I - I ) i 3 / (I 3 I 4 ) i 4 / (I 4 I 3 ) (4..α) (4..β) (4..γ) (4..δ) 7

με βάση τα προηγούμενα η σχέση 4.0.γ γίνεται V ( I I I ) cotθ j j oe oe oo ooi ( I I I ) cscθ (4.) oe 3 oe 4 oo 4 ooi3 Από όλα τα παραπάνω μπορούμε να παράγουμε τη πρώτη σειρά του πίνακα ανοιχτού κυκλώματος σύνθετης αντίστασης [ ], ο οποίος εκφράζει τη συμπεριφορά του τμήματος της συζευγμένης γραμμής. Ομοίως έχουμε και για τα υπόλοιπα στοιχεία: j oe j oe j oe j oe 33 44 ( ) cotθ 34 43 ( ) θ oo oo cot 3 3 4 4 ( ) θ oo csc 4 4 3 3 ( ) cscθ oo (4.3.α) (4.3.β) (4.3.γ) (4.3.δ) Με τη βοήθεια μιας βαθμίδας συζευγμένων γραμμών μπορούν να κατασκευαστούν δίθυρα δικτυώματα, στα οποία τερματίζονται οι δύο από τις τέσσερις εισόδους σε ανοιχτό ή βραχυκυκλωμένο κύκλωμα.. Έτσι λοιπόν ανάλογα με το τύπο του φίλτρου έχουμε και τον παρακάτω πίνακα με τις διαφορετικές αποκρίσεις. Για τη περίπτωση που μελετάμε ζωνοπερατό φίλτρο χρησιμοποιούμε ανοιχτά κυκλώματα όπως φαίνεται στο σχήμα 4. λόγο τις απλής σχεδίασης. Στη προκειμένη περίπτωση γνωρίζουμε ότι I I 4 και άρα ο πίνακας της σύνθετης αντίστασης γίνεται: V I 3 I 3 V 3 3 I 33 I 3 (4..α) (4..α) Σχήμα 4. Βαθμίδα συζευγμένων γραμμών με ζωνοπερατή απόκριση και σε διάταξη δίθυρου 7

Για να βρούμε τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου αρκεί να υπολογιστεί η σύνθετη αντίσταση ειδώλου, η οποία είναι ίδια για τις εισόδους και 3, όπως και η σταθερά διάδοσης. Έτσι λοιπόν η αντίσταση ειδώλου είναι: i ( ) csc θ ( Ζ Ζ ) cot θ (4.5) 3 33 oe oo οε οο για την περίπτωση γραμμής μεταφοράς μήκους λ g /4 (θπ/), η σύνθετη αντίσταση γίνεται ίση με: (4.6) i ( ) και είναι θετικός και πραγματικός αριθμός εφόσον ισχύει : oe oo ( oe > oo ) Όταν όμως θ 0 ή π τότε και Ζ i ±, οπότε και βρισκόμαστε στη περιοχή αποκοπής το συχνοτικό μέρος της σύνθετης αντίστασης φαίνεται στο σχήμα 4.3 Σχήμα 4.3 Το πραγματικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ειδώλου ενός ζωνοπερατού κυκλώματος Η συχνοτική περιοχή αποκοπής βρίσκεται από τη σχέση: η σταθερά διάδοσης υπολογίζεται : Ζ Ζ οε οο cos θ cosθ (4.7) Ζοε Ζοο Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ 33 οε οο cos β (4.8) Ζ3 Ζ3 Ζοε Ζοο Όπου β είναι πραγματικός αριθμός για θ <θ<θ π-θ 73

4.. Σχεδιασμός ζωνοπερατών φίλτρων με συζευγμένες γραμμές Όπως αναφέραμε και στην εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου η χρήση συζευγμένων μικροταινιακών γραμμών, με κατάλληλη τοποθέτηση πάνω σε ένα διηλεκτρικό στο κάτω μέρος του οποίου υπάρχει αγώγιμο υλικό, μπορεί να αποδειχθεί ένας εύκολος τρόπος σχεδίασης ζωνοπερατών μικροκυματικών φίλτρων. Σε αυτή τη παράγραφο θα περιγράψουμε τη δομή ενός τέτοιου φίλτρου και θα αναλύσουμε τα γεωμετρικά και συχνοτικά χαρακτηριστικά του. Για να βρεθούν λοιπόν οι εξισώσεις σχεδιασμού τέτοιων φίλτρων, θα δειχθεί πρώτα ότι είναι δυνατή η μοντελοποίηση μιας βαθμίδας συζευγμένων γραμμών από το ισοδύναμο δικτύωμα του σχήματος 4.4. Για να αποδειχθεί αυτή η ισοδυναμία πρέπει να υπολογιστούν η σύνθετη αντίσταση ειδώλου και η σταθερά διάδοσης και να αποδειχθεί στη συνέχεια ότι οι τιμές τους είναι κατά προσέγγιση ίδιες με αυτές που προκύπτουν για συζευγμένες γραμμές μήκους λ g /4. Σχήμα 4.4 Ισοδύναμο κύκλωμα τμήματος συζευγμένων γραμμών Ο πίνακας μεταφοράς του παραπάνω δικτυώματος είναι: A C B cosθ D ( j sinθ ) / Ζ ο jζο sinθ 0 cosθ J 0 i cosθ J ( j sinθ ) / Ζ ο jζο sinθ cosθ A C J O sinθ cosθ B J O D j sin θ j cos θ JX o j J O sin J 0 J O cos θ θ j cosθ sinθ (4.9) Οι τιμές των παραμέτρων Α,Β,C,D του αντιστροφέα και της σύνθετης αγωγιμότητας λαμβάνονται με την υπόθεση ότι η γραμμή μεταφοράς είναι μήκους λ g / και χαρακτηριστική αντίστασης /J. Από τη σχέση i AB και για συμμετρικό δικτύωμα, υπολογίζεται η σύνθετη CD αντίσταση: 74

i B J sin θ / J cos θ (4.0) C 0 ( / J ) sinθ J cos θ στη κεντρική συχνότητα και για θπ/ η αντίσταση είναι: 0 Ζ i J O (4.) Γνωρίζοντας ότι coshγ AD η σταθερά διάδοσης θα είναι: από τις σχέσεις 3.6 3. 3.8 3. έχουμε: cosβ A ( J /( J )) sinθsosθ 0 0 (4.) ( oe oo ) J O oe oe oo oo cosθ ( J /( J )) sinθsosθ 0 0 λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις ως προς oe oo και για θπ/ και sinθ έχουμε τη τελική μορφή των εξισώσεων. oe Ζ 0 [ JΖ 0 (JΖ 0 ) ] oo Ζ 0 [- JΖ 0 (JΖ 0 ) ] (4..α) (4..β) Το παρακάτω σχήμα 4.5 απεικονίζει τη διαδικασία σχεδιασμού ισοδύναμου κυκλώματος για τη περίπτωση παραγωγής εξισώσεων σχεδίασης ζωνοπερατού φίλτρου με χρήση Ν συζευγμένων γραμμών μεταφοράς. Η αρίθμηση γίνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά και με το φορτίο να είναι δεξιά. Στο σχήμα 4.5.α φαίνεται το φίλτρο με Ν συζευγμένες γραμμές, στο 4.5.β γίνεται η χρήση του ισοδύναμό του, στο 4.5.γ γίνεται η χρήση του ισοδύναμου αλλά με γραμμές μεταφοράς μήκους θ, στο 4.5.δ παρουσιάζεται το ισοδύναμο κύκλωμα με μετασχηματιστές, το σχήμα 4.5.ε προκύπτει από τη χρήση των αποτελεσμάτων των σχημάτων 4.5.γ και 4.5.δ και το σχήμα 4.5.στ φαίνεται το κύκλωμα συγκεντρωμένων στοιχείων για ζωνοπερατό φίλτρο με Ν. 75

Σχήμα 4.5 Κατασκευή ισοδύναμου κυκλώματος για τη παραγωγή εξισώσεων σχεδίασης ζωνοπερατού φίλτρου με συζευγμένες γραμμές 76

Μεταξύ των δύο διαδοχικών αντιστροφέων (90 0 ) υπάρχουν γραμμές μεταφοράς μήκους λ g / σχήμα (3.5.β) και μπορούν να αντικατασταθούν από ένα παράλληλο συνδεδεμένο κύκλωμα LC (σχήμα 3.5.γ). Υπολογίζουμε λοιπόν τους παραμέτρους του δικτυώματος που είναι και ισοδύναμο με το κύκλωμα του ιδανικού αντιστροφέα. Έτσι έχουμε: A C B D 0 0 Για γραμμή μήκους λ g / και χαρακτηριστική αντίσταση Ζ Ο έχουμε: (4.3) j 0 C sin θ (4.4.α) Ζ Ζ -Ζ Α-j o cotθ (4.4.β) Ζ α Ζ -Ζ Α-j o cotθ (4.5) Ο μετασχηματιστής :- του σχήματος δίνει μετατόπιση φάσης κατά 80 0, μεταβολή που δεν μπορεί να ληφθεί από ένα μόνο Τ-δικτύωμα από τη στιγμή που δεν έχει καμία επίδραση στην απόκριση του φίλτρου. Για l λ g /4 η αντίσταση Ζ α 0,και η σε σειρά τοποθετημένη αντίσταση Ζ μοιάζει με την αντίσταση ενός παράλληλου κυκλώματος συντονιστή. Εάν επιλέξουμε ωω 0 Δω και l λ g /4 (θπ/) στη κεντρική συχνότητα τότε: θβlωl/u p (ω 0 Δω)π/ ω 0 π( Δω/ ω 0 ) Έτσι η 4.4 γίνεται: Ζ (j Ζ 0 ) / sinπ( Δω/ ω 0 ) (-j Ζ 0 ω 0 ) / π(ω- ω 0 ) (4.6) Η αντίσταση κοντά σε ένα συντονιστή παράλληλου κυκλώματος LC είναι: Και με ω 0 /LC έχουμε: Ζ (-jlω 0 ) / (ω- ω 0 ) (4.7) L 0 πω ο (4.8.α) π C ω L Ζ ω (4.8.β) 0 0 0 Οι γραμμές μήκους λ g /4 προσαρμόζονται στη χαρακτηριστική αντίσταση Ζ 0. Επίσης οι τερματικοί αντιστροφείς αγωγιμότητας J J N είναι δυνατόν να αντικατασταθούν από μετασχηματιστές που ακολουθούνται από τμήματα γραμμών λ g /4 όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5.δ. ο πίνακας των παραμέτρων για έναν μετασχηματιστή Ν ρυθμού στροφών σε σειρά με γραμμή λ g /4 θα είναι: A C B / N D 0 0 0 N j / 0 0 j O 0 jn / o 0 j 0 / N (4.9) 77

78 από τις σχέσεις 3.9 και 3.39 έχουμε: ΝJ 0 (4.40) Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι οι αντιστροφείς σύνθετης αγωγιμότητας έχουν την ιδιότητα να μετατρέπουν ένα παράλληλο συνδεδεμένο συντονιστή σε ένα σε σειρά. Υποθέτουμε επίσης ότι Ν. Έχουμε λοιπόν: Από το σχήμα 3.5.ε η αγωγιμότητα δεξιά του μετασχηματιστή J είναι: jωc / jωl 0 J 3 j 3 0 J L C Ζ Ο ω ω ω ω ο (4.4) Άρα η σύνθετη αγωγιμότητα στην είσοδο του φίλτρου θα είναι: Υ O J { jωc / jωl Ζ Ο 3 0 J L C j J ω ω ω ω ο Υ O J {j L C ω ω ω ω ο 0 L C Ζ Ο ω ω ω ω ο 0 L C j J (4.4) Η αγωγιμότητα του κυκλώματος στο σχήμα 3.5.στ είναι: Υ jωc / jωl [ / (jωl ( / jωc )Ζ 0 ] j ' ' L C ω ω ω ω ο 0 Ζ Ο ω ω ω ω ο 0 ' ' C L j (4.43) Αν η 3.43 είναι ταυτόσημη με τη 3.4 τότε έχουμε: O J L C ' ' L C (4.44.α) J J O L C ' ' C L (4.44.β) O O J J J 3 3 (4.44.γ) οι τιμές L n C n καθορίζονται από τις σχέσεις 4.38α, 4.38.β ενώ τα L n C n από τις τιμές των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου στο οποίο έχει γίνει η απαραίτητη αναγωγή σύνθετης αντίστασης και συχνότητας ώστε να πάρουμε την επιθυμητή ζωνοπερατή απόκριση. Έτσι λοιπόν από τους μετασχηματισμούς έχουμε:

L ' ΔΖο (4.45.α) ω g ο ' g C (4.45.β) ΔΖ ο ω ο ' g L o Δω ο (4.45.γ) ' Δ C g (4.45.δ) ω ο o όπου Δ(ω - ω )/ ω 0, το κλασματικό εύρος του φίλτρου. Από τη συγκέντρωση όλων των παραπάνω αποτελεσμάτων επιλύουμε τις εξισώσεις (4.44) ως προς τις σταθερές J n. Στη περίπτωση αυτή για Ν έχουμε: J J 3 J 0 0 0 ' CL ' LC / 4 ' CC J 0 ' L L J J πδ g / 4 πδ g πδ g g (4.46.α) (4.46.β) (4.46.γ) Eφόσον υπολογίσαμε τις τιμές J n, μπορούμε έπειτα να καθορίσουμε τις τιμές των σύνθετων χαρακτηριστικών αντιστάσεων Ζ oe, Ζ oo για κάθε τμήμα συζευγμένων γραμμών. Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν υπό το περιορισμό του Ν. Μια πιο γενική μορφή εξισώσεων καθορισμού των J n, χωρίς τον περιορισμό του Ν, είναι οι παρακάτω: όπου n,3.n. J J J n N 0 0 0 πδ g πδ g n J J g n πδ g N g N (4.46.α) (4.46.α) (4.46.α) 79

4. Σχεδιασμός Φίλτρων με Παράλληλα Συζευγμένες Γραμμές Σε αυτήν την ενότητα θα ασχοληθούμε με τη σχεδίαση μικροκυματικών φίλτρων τα οποία στηρίζονται στη σύζευξη παράλληλα τοποθετημένων μικροταινιακών γραμμών. Στη συνέχεια της παραγράφου θα αναλυθεί η δομή μιας τέτοιας διάταξης, τα γεωμετρικά και συχνοτικά χαρακτηριστικά της και τέλος θα εισάγουμε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου είδους φίλτρο το οποίο στηρίζεται στη παραπάνω δομή. 4.. Δομή και Ιδιότητες Η βασική δομή παράλληλα συζευγμένων γραμμών απεικονίζεται στο σχήμα 4.6.α και 4.6.β. Αποτελείται από μικροταινιακές γραμμές πλάτους w οι οποίες είναι τοποθετημένες παράλληλα και ισαπέχουν απόσταση s μεταξύ τους. Ομοίως οι γραμμές μεταφοράς είναι τοποθετημένες σε ένα διηλεκτρικό υπόστρωμα στο κάτω μέρος του οποίου είναι τοποθετημένο ένα αγώγιμο επίπεδο γείωσης. Σχήμα 4.6.α Δομή παράλληλα συζευγμένων γραμμών Σχήμα 4.6.β Δομή παράλληλα συζευγμένων γραμμών 80

Όπως αναφέραμε στο ο κεφάλαιο κατά μήκος μιας μικροταινίας διαδίδεται quasi- TEM ρυθμός. Έτσι λοιπόν και στις παράλληλα συζευγμένες γραμμές διαδίδονται δύο ΤΕΜ ρυθμοί, όπως για παράδειγμα ένας άρτιος και ένας περιττός ρυθμός. Στο σχήμα 4.7.α και 4.7.β παρουσιάζεται οι κατανομές πεδίων άρτιου και περιττού βαθμού. Συγκεκριμένα με έντονη γραμμή παριστάνεται οι δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου ενώ με διακεκομμένες γραμμές οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Σχήμα 4.7.α Κατανομή πεδίου άρτιου ρυθμού Σχήμα 4.7.β Κατανομή πεδίου περιττού ρυθμού Οι σχετικές αναλογίες των πεδίων που εμφανίζονται μεταξύ του διηλεκτρικού και του αέρα είναι διαφορετικές, με αποτέλεσμα και οι ταχύτητες φάσης των δύο ρυθμών να είναι επίσης διαφορετικές, γεγονός που μας δίνει επιπρόσθετη δυσκολία κατά το σχεδιασμό. Επίσης η ύπαρξη δύο ρυθμών, άρτιου και περιττού, δηλώνει την εμφάνιση δύο τερματικών χαρακτηριστικών αντιστάσεων: Oo : Χαρακτηριστική αντίσταση περιττού ρυθμού Oe : Χαρακτηριστική αντίσταση άρτιου ρυθμού Ενώ κάτι ανάλογο θα ισχύει και για τις ταχύτητες φάσης: u Oo : Ταχύτητα φάσης περιττού ρυθμού u Oe : Ταχύτητα φάσης άρτιου ρυθμού Το ζητούμενο σε μια πορεία σχεδιασμού μιας τέτοιας κατηγορίας φίλτρων είναι να εκφράσουμε τις χαρακτηριστικές αντιστάσεις Oo και Oe συναρτήσει των ποσοτήτων w/h και s/h δηλαδή του πλάτους των μικροταινιακών γραμμών, της μεταξύ τους απόστασης s και του ύψους του διηλεκτρικού h. Η πιο αξιοσημείωτη μέθοδος ανάλυσης έγινε από τους Bryant και Weiss, οι οποίοι κατάφεραν να δώσουν μια ακριβή λύση στο ηλεκτροστατικό πρόβλημα των συζευγμένων γραμμών. Η διατύπωση των σχέσεων στηρίζονται κυρίως στις εξισώσεις Laplace, λαμβάνοντας υπόψη μια σειρά από περιορισμούς. 8

Έτσι η δρώσα διηλεκτρική σταθερά θα δίνεται από τον τύπο: C ε (4.47) eff C όπου C η χωρητικότητα της μικροταινίας ανά ταινία κατά την ύπαρξη του υποστρώματος και C, είναι η χωρητικότητα της μικροταινίας ανά ταινία κατά την απουσία του υποστρώματος. Η ταχύτητα διάδοσης θα είναι: u p c ε eff (4.48) Η χαρακτηριστική αντίσταση θα είναι: 0 u p C c C ε eff (4.49) Επομένως η χαρακτηριστική αντίσταση άρτιου και περιττού ρυθμού θα είναι αντίστοιχα: Oe c C ε (4.50) e effe Oo c C o ε effo (4.5) όπου C e και C ο είναι αντίστοιχα οι χωρητικότητες άρτιου και περιττού ρυθμού απουσία υποστρώματος. Οι μεταβλητές ε effe και ε effο αντιπροσωπεύουν τη δρώσα διηλεκτρική σταθερά άρτιου και περιττού ρυθμού αντίστοιχα, ενώ δίνονται από τις σχέσεις Ce ε effe (4.5) C e C o ε effo (4.53) Co Αντικαθιστώντας τις σχέσεις 4.5 και 4.53 στις σχέσεις 4.50 και 4.5 προκύπτουν οι εξής τελικές εκφράσεις υπολογισμού των χαρακτηριστικών αντιστάσεων άρτιου και περιττού ρυθμού αντίστοιχα: Oe (4.54.α) c C C e e Oo (4.54.β) c C C o o 8

Αυτό που μένει λοιπόν για τον υπολογισμό των Oo Oe είναι η εύρεση των σχέσεων που μας δίνουν τις τιμές C o, C e καθώς και C ο, C e. Η πορεία λοιπόν που ακολουθούμε, εμπίπτει σε μια συγκεκριμένη φόρμουλα κατά την οποία μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας βρίσκουμε την ακριβέστερη τιμή των χαρακτηριστικών αντιστάσεων. Αυτό που πρέπει να τονίσουμε όμως είναι ότι η τελική μορφή των εξισώσεων, που μας δίνουν τα C o, C e, C ο, C e όπως και Oo, Oe, είναι συναρτήσει των παραμέτρων w, s και h. Έτσι λοιπόν για να επιτευχθεί μεγαλύτερη ακρίβεια θέτουμε τους εξής περιορισμούς σύμφωνα με τους οποίους θα πρέπει να κυμαίνονται οι παραπάνω παράμετροι: 0. w / h 0.05 s / h ε r Οι ολικές χωρητικότητες άρτιου και περιττού βαθμού θα είναι αντίστοιχα: ' C C C C (4.55.α) e p f f C C C C C (4.55.β) o p f ga gd Για τη περίπτωση άρτιου ρυθμού, οι δύο ταινίες έχουν το ίδιο δυναμικό τάσης και μεταφέρουν τα ίδια σήματα ρευμάτων, με αποτέλεσμα το συμμετρικό επίπεδο που δημιουργείται κάθετο στην ευθεία που ενώνει τις δύο παράλληλές γραμμές, να αποτελεί ένα μαγνητικό φράγμα. Το άθροισμα των χωρητικοτήτων που αποτελούν την C e απεικονίζονται στο ακόλουθο σχήμα 4.8.α ενώ για την C ο στο σχήμα 4.8.β Σχήμα 4.8.α Χωρητικότητα άρτιου ρυθμού Σχήμα 4.8.β Χωρητικότητα περιττού ρυθμού 83

84 Η χωρητικότητα C p για τις παράλληλες συνδεδεμένες γραμμές δίνεται από τη σχέση : h w C r p ε ε ο (4.56) Η χωρητικότητα C f που αντιστοιχεί σε κάθε μια μικροταινία χωριστά χωρίς να υπάρχει σύζευξη είναι: p o eff f C c C ε (4.57) όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό ενώ ε eff και Ζ ο είναι οι τιμές που προκύπτουν για τη περίπτωση μονής ταινίας. Η χωρητικότητα C f` δίνεται από τη σχέση: eff r f f h s s h A C C ε ε 8 tan ' (4.58) όπου Αexp{-0, exp(,33-,53w/h)} Όταν υπάρχει περιττός ρυθμός οι δύο ταινίες έχουν αντίθετα δυναμικά τάσης δηλαδή μεταφέρουν αντίθετα σήματα ρευμάτων, ώστε το επίπεδο πλέον να αντιστοιχεί σε ένα ηλεκτρικό φράγμα. Οι C ga και C gd αντίστοιχα εκφράζουν τις χωρητικότητες του αέρα και του διηλεκτρικού κατά μήκος του κενού της σύζευξης (s). Έτσι έχουμε: ) ( ) ( ' k K k K C ga ο ε (4.59.α) όπου h w h s h s k (4.59.β) ' k k (4.59.γ) Επίσης ισχύουν οι εξής περιπτώσεις: k k k k k K k K ln ln ) ( ) ( ' ' ' π π για 0.5 0.5 0 k k

Η χωρητικότητα C gd είναι ίση με: C gd ε ο ε π r π ln cot 4 s h 0.65 C f 0.0 s h ε r ε r (4.60) Σύμφωνα με τα παραπάνω γνωρίζοντας τις σχέσεις που εκφράζουν τις χωρητικότητες άρτιου και περιττό ρυθμού μπορούμε για διάφορες τιμές των w, s, h να υπολογίσουμε τις τιμές των χαρακτηριστικών αντιστάσεων άρτιου και περιττού ρυθμού. Μήκος κύματος συζευγμένης περιοχής Ένας άλλος παράγοντας που θα πρέπει να λάβουμε υπόψη είναι το μήκος κύματος συζευγμένης περιοχής. Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούμε από την ακόλουθη σχέση που μας δίνει την τερματική αντίσταση: L o u p L (4.6) C u p C Εφόσον αναφερόμαστε για περιττό ρυθμό και υπό την παρουσία υποστρώματος η παραπάνω σχέση θα πάρει τη μορφή: Ενώ υπό την απουσία υποστρώματος η σχέση γίνεται: o u L (4.6) po o c L o (4.63) Από τις παραπάνω εξισώσεις η φασική ταχύτητα περιττού και άρτιου ρυθμού αντίστοιχα γίνεται: Oo u po c (4.64.α) u o Oo Oe pe c (4.64.β) Οe Τα αντίστοιχα μήκη κύματος για τους δυο ρυθμούς είναι: u po λ go (4.65.α) f u pe λ ge f (4.65.β) από το συνδυασμό των παραπάνω σχέσεων προκύπτει λ λ λ (4.66) g ge go 85

Απόκριση συχνότητας Για τη περίπτωση των παράλληλα συζευγμένων γραμμών ο παράγοντας σύζευξης δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: ' Oe Oo C 0 log σε db (4.67) Oe Oo από την παραπάνω έκφραση προκύπτει ότι ο παράγοντας σύζευξης είναι ανεξάρτητος της συχνότητας. Παρόλο αυτά πολλές παρουσιάζεται το ενδιαφέρον να υπολογιστεί η τιμή του για μια οποιαδήποτε τιμή συχνότητας. Έτσι για μια τυχαία συχνότητα και υπό την προϋπόθεση ότι αγνοούμε τις ταχύτητες φάσης η παραπάνω σχέση γίνεται μετασχηματίζεται στην ακόλουθη: ' ' ' j C sin( θ ) C ( θ ) C ( j ω) (4.68) ' C cos( θ ) j sin( θ ) όπου C ' 0 log και θβlπ/λ g Oe Oe Oo Oo Διασπορά στις μικροταινίες Ένα φαινόμενο που παρατηρείται έντονα σε υψηλές συχνότητες που εκτείνονται σε μερικά GHz κατά τη διάρκεια υπολογισμών των παραμέτρων σε παράλληλα συζευγμένες μικροταινίες είναι το φαινόμενο της διασποράς. Με αυτό τον όρο εννοούμε την εξάρτησης της ταχύτητας φάσης από τη συχνότητα και επομένως την εξάρτηση της δρώσας διηλεκτρικής σταθεράς από τη συχνότητα ε eff (f). Λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω φαινόμενο, η δρώσα διηλεκτρική σταθερά για μια μονή ταινία θα είναι: ε r ε eff ε eff er (4.69) m G( f / f p ) όπου f p o 4 μο h G0.60.0045 o m.3 Η επίδραση της διασποράς στη χαρακτηριστική αντίσταση θα είναι: ε eff ( f ) ε eff o ( f ) o (4.70) ε eff ε eff ( f ) Για τη περίπτωση παράλληλης σύζευξης μικροταινιών οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν, με τη διαφορά ότι το ποσό της διασπορά (m) θα εξαρτάται από το είδος του ρυθμού που έχουμε. Έτσι οι δρώσες διηλεκτρικές σταθερές για τους δυο ρυθμούς αντίστοιχα θα είναι συναρτήσει των εξής παραμέτρων: ε effe (f, h, ε r, ε effe, Ζ οe ) και ε effο (f, h, ε r, ε effο, Ζ οο ) 86

4.. Προσδιορισμός της συχνοτικής απόκρισης ζωνοπερατού φίλτρου σχεδιασμένου με παράλληλα συζευγμένες γραμμές. 4...Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης ενός τμήματος συζευγμένων γραμμών Για να καθοριστεί η συχνοτική απόκριση ενός φίλτρου που έχει σχεδιαστεί με την μέθοδο που περιγράψαμε στις προηγούμενες παραγράφους θα ακολουθήσουμε την εξής λογική: Θα αντιστοιχηθεί σε κάθε συζευγμένη περιοχή, μια γραμμή μήκους θ σε σειρά με δύο τμήματα μικροταινιακών γραμμών μήκους επίσης θ και ανοιχτά στο ένα άκρο τους. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.6. Στα σχήματα 3.6.α 3.6.β απεικονίζεται ένα τμήμα συζευγμένων γραμμών και στο 3.6.β το ισοδύναμο δικτύωμα του τμήματος, ενώ στο σχήμα 3.6.γ απεικονίζεται μια βαθμίδα συζευγμένων γραμμών με το ισοδύναμο της στο σχήμα 3.6.δ. Σύμφωνα με το δικτύωμα του σχήματος 4.6.α συμπεραίνουμε τα εξής: Η τάση και η ένταση του ρεύματος σε κάθε σημείο των συζευγμένων γραμμών είναι: Σχήμα 4.6.α.β α) Τμήμα συζευγμένων γραμμών, β) Ισοδύναμο δικτύωμα του τμήματος συζευγμένης περιοχής Σχήμα 4.6.γ.δ γ) Βαθμίδες συζευγμένων γραμμών, β) Ισοδύναμο δικτύωμα των βαθμίδων 87

V ( z) V a e I e jβz e jβz e e V e e e I jβz e e V o e jβz jβz o jβz V o e I o e jβz jβz o I o e (4.7) V I a ( z) I e e e e jβz e jβz I e e V e e jβz e jβz I o e V o o jβz e jβz V o jβz e e jβz I o e (4.7) V ( z) V b e I e jβz e jβz e e V e e e I jβz e e jβz jβz V o e V o e jβz o I o e jβz jβz o I o e (4.73) V Ib ( z) I e e e e jβz e jβz I e e V jβz e e e I o e jβz jβz Vo jβz o jβz e e V o e jβz I o e (4.74) Οι σταθερές διάδοσης παραπάνω υποθέτουμε ότι είναι ίσες, καθώς επίσης και ότι οι δύο γραμμές είναι όμοιες με αποτέλεσμα οι e και o να είναι όμοιες και στις δύο γραμμές. Εάν θεωρηθεί ανοιχτή η πύλη και ότι στη πύλη υπάρχει γεννήτρια ρεύματος Ι τότε με βάση τις παρακάτω εξισώσεις έχουμε: I a ( 0) I I I I (4.75.α) I I e I a () 0 I e e I b (0) 0 I e I e I b () 0 I e e jβz e I o jβz o I e e o jβz I o 0 I e e jβz I o e I o e jβz jβz jβz I o e 0 (4.75.β) (4.75.γ) jβz I o e 0 (4.75.δ) υπολογίζοντας λοιπόν τα ρεύματα I e I e I o και στη πύλη, με ανοιχτή τη πύλη θα είναι: in Va ( z), oc ( e I e e I e o I o o I o ) / ( I e I e I o I in o e, oc j cotθ (4.76) Στη περίπτωση που η πύλη είναι βραχυκυκλωμένη και όχι ανοιχτή τότε έχουμε: e I e e jβz e I e e jβz V ( ) 0 b o I o I o συναρτήσει του I, η αντίσταση εισόδου e jβz I o ) jβz o I o e 0 (4.77) 88

89 Από την επίλυση των εξισώσεων 4.75 έως 4.77 υπολογίζονται οι νέες τιμές των ρευμάτων I e I e o I και o I και στη συνέχεια η αντίσταση εισόδου που βλέπουμε στη πύλη με βραχυκυκλωμένη τη πύλη. j j o e o e in sc θ tan ) ( ) (, θ cot o e o e (4.78) Εξετάζοντας το δικτύωμα του σχήματος 4.6.β, το οποίο αποτελείται από τρία τετράπολα, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα μεταφοράς: C A C A D B C A D B D B 3 3 C A 3 3 D B (4.79) C A 0 D B Ζ Θ / sin cos cot j j θ θ θ θ cos sin j 0 cot j 3 θ (4.80) Άρα η αντίσταση εισόδου είναι: I D V C I B V A I V in και λαμβάνοντας υπόψη ότι I 0 έχουμε: C A I V in oc, (4.8) Αφού υπολογιστούν οι παράμετροι A,B,C,D από τη σχέση 4.80 προκύπτει ότι η αντίσταση εισόδου στη πύλη με ανοιχτή τη πύλη είναι: tanθ cotθ 3 3 3 3, j j in oc (4.8) αντίστοιχα η αντίσταση εισόδου που βλέπουμε στη πύλη με βραχυκυκλωμένη τη πύλη είναι: ( )cotθ, j D B j in sc (4.83) ` o e (4.84) ενώ εξισώνοντας τις σχέσεις 4.78 και 4.8 έχουμε: ) ( ) ( 3 o e o e (4.85)

3 3 e 3 e o o (4.86) από την επίλυση των τριών τελευταίων εξισώσεων ως προς Ζ Ζ και Ζ 3, έχουμε: e o (4.87.α) e o Ζ 3 Ζ o (4.87.β) (4.87.γ) 4...Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης (Ν) συζευγμένων γραμμών Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τον πίνακα μεταφοράς ενός δικτυώματος που στη προκειμένη περίπτωση αποτελείται από (Ν) συζευγμένες γραμμές τότε, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα χρησιμοποιούμε τη σχέση: Σχήμα 4.7 α) Ν συζευγμένες περιοχές β) Ηλεκτρικά ισοδύναμο δικτύωμα 90

A C όπου B D Τ Τ Τ Τ Τ [ ] [ Σ ] [ Π ] [ Σ ] [ Π ] [ Σ ] [ Π ] [ Σ ] [ Π ] Π 3 3 Ν( Ν ) Ν Ν... (4.88) [ ] j Π Τ o cotθ 0 [ ] Π Τ Ν [ ] j o Ν cot Ν 0 θ j Π Τ oi cotθi oj cotθ j ij 0 cosθ ei [ Π ] Τ j oi sinθ ij sinθ j ( Ζei oi )/ cosθ Εάν στην έξοδο του ηθμού δεν υπάρχει εισερχόμενο κύμα και η χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής είναι Ζ ο τότε η αντίσταση εισόδου του ηθμού είναι: V A B V AV B I I A 0 B in I C V D I V C D C D 0 I (4.89) ο συντελεστής ανάκλασης και διέλευσης θα είναι αντίστοιχα: S in 0 (4.90) in 0 ( ( ) ) S S (4.9) Ο λόγος στάσιμου κύματος που εμφανίζεται στην είσοδο θα είναι: ρ( f ) S( f ) (4.9) ρ( f ) 9

4..3 Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab Όπως στις προηγούμενες κατηγορίες φίλτρων, έτσι και στο συγκεκριμένο μετά την θεωρητική εισαγωγή στα συχνοτικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά του, ακολουθεί η διαδικασία σχεδιασμού και προσομοίωσης της λειτουργίας του φίλτρου με την βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB. Έτσι κάθε χρήστης μέσω ενός γραφικού περιβάλλοντος, το ονομαζόμενο (Graphical User interface, GUI), θα μπορεί να δίνει στο πρόγραμμα τις προδιαγραφές του φίλτρου που επιθυμεί, δηλαδή διάφορα γεωμετρικά και συχνοτικά χαρακτηριστικά και στη συνέχεια να λαμβάνει τα αποτελέσματα υπολογισμού των παραμέτρων του φίλτρου. Έτσι λοιπόν χωρίσαμε το αρχείο GUI σε τρία κομμάτια: α)πεδίο εισαγωγής παραμέτρων εισόδου β)πεδίο εμφάνισης παραμέτρων εξόδου γ)γράφημα Θα πρέπει να αναφέρουμε ότι το πρόγραμμα αρχίζει να εκτελείται με μια απλή πληκτρολόγηση του ονόματος της συνάρτησης του GUI (InterfaceΑ) στο παράθυρο εντολών του MATLAB. Στο Interface που εμφανίζεται στην οθόνη δίνονται τα αντίστοιχα strings των δεδομένων του προγράμματος και η εντολή εκτέλεσης του δίνεται με το κουμπί RUN. Ας αρχίσουμε από το πρώτο πεδίο εισαγωγής παραμέτρων εισόδου στο GUI. Οι παράμετροι εισόδου αλλάζουν από φίλτρο σε φίλτρο. Στη προκειμένη περίπτωση είναι : f 0 : Εκφράζει τη κεντρική συχνότητα λειτουργίας του φίλτρου. f atten : Συχνότητα στην οποία θέλουμε να έχει εχει εξασθένηση την τιμή Atten atten: Τιμή της εξασθένησης σε db A m : Κυμάτωση σε db Ζ 0 : Αντίσταση κύριας γραμμής e r : Διηλεκτρική σταθερά h: Πάχος διηλεκτρικού kfil: Το είδος του φίλτρου δηλαδή αν θα είναι Cheyshev ή Maximally flat coup: Το είδος της σύζευξης των γραμμών που επιθυμούμε.( παράλληλη σε σειρά) D: Εύρος ζώνης του φίλτρου f start : Συχνότητα με την οποία ξεκινά η σάρωση f stop : Συχνότητα με την οποία σταματά η σάρωση points: Συχνότητες για τις οποίες θα υπολογιστεί η απόκριση για τη λήψη του διαγράμματος. v3*0 8 m/sec e 0 : Ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού Τα αποτελέσματα κατά την επεξεργασία του προγράμματος που εκφράζουν κυρίως τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου είναι: Ν: Ο αριθμός των συζευγμένων περιοχών στο φίλτρο. Element length (mm): Το μήκος των N συζευγμένων γραμμών σε mm Interelemnt distance: Η απόσταση μεταξύ των συζευγμένων γραμμών σε mm Strip width: Το πλάτος των γραμμών Το τρίτο και τελευταίο κομμάτι αφορά τον υπολογισμό των S παραμέτρων (συντελεστής ανάκλασης και συντελεστής διέλευσης ) συναρτήσει της συχνότητας. Η απεικόνισή τους γίνεται σε ένα διάγραμμα όπου ο άξονας ψ μετριέται σε db ενώ ο x σε Hz. 9

Τα βήματα της οργάνωσης και της λογικής πορείας των υπολογισμών των παραμέτρων του φίλτρου όπως και η εμφάνιση των αποτελεσμάτων στο GUI είναι: Πληκτρολογούμε το όνομα της συνάρτησης του GUI (InterfaceΑ) στο παράθυρο εντολών του MATLAB και πατώντας ENTER εμφανίζεται το παράθυρο του GUI. Εισάγουμε τις τιμές των δεδομένων εισόδου που περιγράψαμε πριν επιλέγοντας αρχικά coup που δηλώνει ότι έχουμε παράλληλη σύζευξη γραμμών και στη συνέχεια τον τύπο του φίλτρου που θέλουμε να σχεδιάσουμε Chebyshev ή Maximally Flat (kfil ή αντίστοιχα. Εκτελώντας την εντολή RUN το πρόγραμμα υπολογίζει αρχικά τον αριθμό Ν των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου και έπειτα τις τιμές g μέσω των εξισώσεων.4 και.4 που παραθέσαμε στις παραγράφους..3. και..4. αντίστοιχα. Σύμφωνα με τις σχέσεις 4.46.α, 4.46.β, 4.46.γ υπολογίζουμε τις τιμές J n οι οποίες θα φανούν στη συνέχεια χρήσιμες για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών αντιστάσεων άρτιου και περιττού ρυθμού. Ακολουθεί η διαδικασία υπολογισμού του πάχους w των γραμμών και της διηλεκτρικής σταθεράς ε eff. Αυτό επιτυγχάνεται με χρήση των εξισώσεων (.9) έως (.4) της παραγράφου. δίνοντας εμείς από το GUI ως δεδομένο την τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης o. 93

Από τις τιμές J n που υπολογίσαμε πριν και με τις σχέσεις 4..α, 4..β βρίσκουμε τις τιμές των χαρακτηριστικών αντιστάσεων άρτιου και περιττού ρυθμού oe, oo για κάθε γραμμή. Σε αυτό το βήμα υπολογίζουμε ένα από τα ζητούμενα του προβλήματος που είναι η απόσταση s μεταξύ των γραμμών. Για να γίνει αυτό, μέσω των σχέσεων (4.56) -(4.60) και (4.54.α), (4.54.β) υπολογίζουμε ξανά μια έκφραση που μας δίνει τις χαρακτηριστικές αντιστάσεις άρτιου και περιττού ρυθμού συναρτήσει της απόστασης s δηλαδή oe (s) oo (s). Εξισώνουμε λοιπόν τις τιμές oe (s) oo (s) με τις αντίστοιχες που βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα και μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας βρίσκουμε τη βέλτιστη τιμή της απόστασης s για την οποία υπάρχει μεγαλύτερη προσέγγιση μεταξύ των oe (s), oo (s) και oe, oo. Σε αυτό το σημείο υπολογίζουμε το μήκος κύματος λ g σε ένα quasi-tem ρυθμό. Για τον υπολογισμό του απαιτούνται τα δύο αντίστοιχα μήκη κύματος για τους δυο ρυθμούς και βρίσκονται εφαρμόζοντας τη σχέση.7 της παραγράφου.. Το μήκος κύματος λ g λοιπόν θα δίνεται από τη σχέση 4.66. 94

Όπως αναφέραμε και στο θεωρητικό μέρος έχουμε να κάνουμε με συζευγμένες γραμμές μήκους λ g /4, οπότε τα συνολικό μήκος της γραμμής σύμφωνα με το σχήμα 4.6 θα είναι L g λ g /. Εδώ πλέον υπολογίζουμε τον πίνακα μεταφοράς της όλης διάταξης σύμφωνα με την εξίσωση 4.88. Επίσης από τη σχέση 4.89 βρίσκουμε την αντίσταση εισόδου του κυκλώματος ενώ από τις σχέσεις 4.90 και 4.9 υπολογίζουμε αντίστοιχα τον συντελεστή ανάκλασης και διέλευσης. Το τελευταίο μέρος της πορεία της εργασίας έχει να κάνει με τη δημιουργία γραφήματος που αναπαριστά το συντελεστή ανάκλασης και διέλευσης συναρτήσει της συχνότητας f. Για να γίνει αυτό κατά τον υπολογισμό των παραπάνω τιμών εκτελούσαμε μια σάρωση ως προς τη συχνότητα με τιμές που καθορίζονται από τα w start και w stop και με βήμα από τη τιμή που θέσαμε στα points. Αξίζει να σημειώσουμε ότι, όπως άλλωστε θα φανεί και στο γράφημα, οι συντελεστές διέλευσης S και S και οι συντελεστές ανάκλασης S και S, συμπίπτουν δηλαδή S S και S S και αυτό γιατί το κύκλωμα είναι συμμετρικό. 95

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ζωνοπερατού φίλτρου με παράλληλα συζευγμένες γραμμές που κάνει χρήση της παραπάνω θεωρίας είναι το ακόλουθο: Εκτελώντας το πρώτο βήμα που αφορά την εμφάνιση του παραθύρου GUI στη επιφάνεια εργασίας εισάγουμε τις παρακάτω τιμές που αποτελούν τα χαρακτηριστικά του φίλτρου: f 0 0 GHz f atten 0.8 GHz atten 8 db A m 0.4 db Ζ 0 50 Ω e r 9.9 h 0.4 mm coup kfil (Chebyshev) D 0.047 ( 4.7%) f start 8 GHz f stop GHz points 400 Τα δεδομένα εξόδου που προέκυψαν κατόπιν επεξεργασίας των τιμών που ορίσαμε προηγουμένως παρουσιάζονται στο πίνακα 4.: ΠΙΝΑΚΑΣ 4. Number of elements Length of elements (mm) Distance s(mm) 5.6939 0.8999 5.74 0.7965 3 5.74 0.7965 4 5.74 0.7965 5 5.6939 0.8999 Strip width (mm) Wavelength (mm) 0.38665.4044 96

Το διάγραμμα που απεικονίζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου δηλαδή τον συντελεστή διέλευσης και ανάκλασης συναρτήσει της συχνότητας είναι: Διάγραμμα Συχνοτική απόκριση του φίλτρου Το παράθυρο GUI από το οποίο πήραμε όλες τις παραπάνω τιμές φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα 4.8 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceΑ) 97

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σε αυτό το σημείο θα συγκρίνουμε ορισμένα από τα συχνοτικά χαρακτηριστικά που ορίσαμε στο στάδιο σχεδιασμού του φίλτρου και αποτελούν τα δεδομένα εισόδου στο GUI με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που πήραμε από την επεξεργασία του προγράμματος του MATLAB. Η πρώτη περίπτωση αποτελεί τις προδιαγραφές του φίλτρου που επιθυμούμε να έχουμε, ενώ η δεύτερη απεικονίζει την τελική μορφή του φίλτρου σχεδιαζόμενο σε περιβάλλον MATLAB. Όπως διαπιστώνουμε από τα προηγούμενα διαγράμματα η χαρακτηριστική του παρόντος φίλτρου προσεγγίζει με ικανοποιητική ακρίβεια την αντίστοιχη ενός ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου. Αυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι στη κεντρική συχνότητα των 0GHz και σε ένα εύρος της τάξεως του 4,7% η τιμή του συντελεστή διέλευσης κυμαίνεται από -0,5 έως -3,5dB ενώ ο συντελεστής ανάκλασης σε αυτή τη περιοχή παίρνει τιμές από -3 έως -0dB. Για τη κεντρική συχνότητα οι παραπάνω συντελεστές παίρνουν τιμές S - 0.5dB ενώ S -- 0 db. Επίσης ένα άλλο χαρακτηριστικό που θέσαμε κατά τον σχεδιασμό του φίλτρου είναι η εξασθένηση της τάξεως των -8dB στη συχνότητα των 0,8GHz, το οποίο είδαμε να επαληθεύεται από τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου με ένα μικρό σφάλμα. Τέλος κοντά στη κεντρική συχνότητα κάνει την εμφάνισή της μια κυμάτωση γύρω στα 0.5dB, κάτι το οποίο είναι αναμενόμενο. Τέλος οι τιμές που αφορούν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου όπως το μήκος των γραμμών, το πλάτος και η μεταξύ τους απόσταση είναι αποδεκτές αφού δεν αποκλίνουν σημαντικά από τη πραγματικότητα και από τις φυσικές διαστάσεις σε τέτοιου είδους φίλτρα. Υπενθυμίζουμε ότι χαρακτηριστικό σε αυτού του είδους τα φίλτρα αποτελεί η σύζευξη μεταξύ των μικροταινιακών γραμμών και απαραίτητη προϋπόθεση είναι η απόσταση μεταξύ των γραμμών να μην υπερβαίνει το τριπλάσιο του ύψους του διηλεκτρικού. Στο παράδειγμά μας δεν έχουμε κανένα πρόβλημα μη σύζευξης, καθώς η απόσταση μεταξύ των γραμμών είναι αρκετά μικρή. Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Το επόμενο βήμα στη πορεία σχεδιασμού του φίλτρου είναι η σύγκριση των αποτελεσμάτων που πήραμε μέσω του προγράμματος του MATLAB με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που λάβαμε από τη χρήση ενός δεύτερου προγράμματος το οποίο ονομάζεται. ENSEMBLE. Το πρόγραμμα αυτό βασίζεται στη μέθοδο των ροπών και μπορεί να επεξεργάζεται οποιαδήποτε δεδομένα στο οποίο εισάγουμε, εξάγοντας τα αντίστοιχα διαγράμματα που επιθυμούμε. Στη προκειμένη περίπτωση τα αποτελέσματα που πήραμε από το MATLAB αφορούν κυρίως τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου και χρησιμοποιήθηκαν στο ENSEMBLE σχεδιάζοντας με αυτό τον τρόπο το φίλτρο που θέλουμε να υλοποιήσουμε. Στη συνέχεια εκτελούμε μια σάρωση ως προς τη συχνότητα και εξάγουμε τα διαγράμματα που απεικονίζουν τη μεταβολή των S παραμέτρων σε σχέση με τη 98

συχνότητα. Τα διαγράμματα αυτά στη προκειμένη περίπτωση αποτελούν αντικείμενο σχολιασμού και σύγκρισης με τα αντίστοιχα διαγράμματα που βγάλαμε από το MATLAB. Σύμφωνα με τα παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν τα αποτελέσματα του παραδείγματος που ασχοληθήκαμε προηγουμένως (πίνακας ) και δημιουργήσαμε το αντίστοιχο φίλτρο στην επιφάνεια σχεδίασης του ENSEMBLE. Αφού τοποθετήσαμε το ίδιο διηλεκτρικό υλικό και επίπεδο γείωσης με αυτά του παραπάνω παραδείγματος, σαρώσαμε στη περιοχή συχνοτήτων 9 έως GHz και είδαμε τη μεταβολή των S παραμέτρων. Σημειώνουμε ότι με πράσινο παριστάνουμε το συντελεστή διέλευσης S, με κόκκινο το συντελεστή διέλευσης S, με μπλε το συντελεστή ανάκλασης S και με μαύρο το συντελεστή ανάκλασης S. Το διάγραμμα λοιπόν από το ENSEMBLE είναι: 0 port port port port -0 S Parameters (db) -0-30 -40-50 9,0 9,5 0,0 0,5,0 Frequency (GHz) Διάγραμμα Συχνοτική απόκριση του φίλτρου 99

Όπως παρατηρούμε από το διάγραμμα η συχνοτική συμπεριφορά του φίλτρου προσομοιωμένη με το λογισμικό ENSEMBLE παρουσιάζει μικρές αποκλίσεις από εκείνη που βρέθηκε με το πρόγραμμα MATLAB. Στη ζώνη αποκοπής η ταχύτητα μείωσης της S παραμέτρου είναι μεγαλύτερη και γίνεται φανερό στις συχνότητες των 9,76 και 0,35GHz. Παρόλο αυτά το εύρος D που ορίστηκε να είναι 5%, στη συγκεκριμένη περίπτωση ξεπερνά αυτή τη τιμή φθάνοντας στο 6%. Επίσης η συχνότητα των 0.8GHz για την οποία ορίσαμε να έχουμε εξασθένηση -8dB, στο διάγραμμα η τιμή αυτή κυμαίνεται κοντά στα -7.5 db ενώ στο διάγραμμα βρίσκεται κοντά στα -9 db. Για τη κεντρική συχνότητα οι συντελεστές διέλευσης και ανάκλασης παίρνουν τιμές S - 0.77dB και S - - 3 db, πράγμα που είναι επιθυμητό και κοντά με τις αντίστοιχες τιμές του διαγράμματος. Συνολικά η διαφορές μεταξύ των δυο διαγραμμάτων είναι πολύ μικρές και άρα μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η λειτουργία του φίλτρου είναι εξίσου καλή. Η συχνοτική απόκριση και στις δύο περιπτώσεις συμπίπτει σε ικανοποιητικό βαθμό με αυτή που θα είχαμε στην ιδανική περίπτωση. Οι αποκλίσεις και οι διαφορές που εμφανίζονται ανάμεσα σε αυτά τα διαγράμματα μπορούν να οφείλονται από τη μεριά του MATLAB σε απλοποιήσεις εξισώσεων που κάναμε κατά τη διάρκεια του σχεδιασμού και σε στρογγυλοποιήσει πολλών τιμών κατά τη διάρκεια της επεξεργασίας, ενώ από τη μεριά του ENSEMBLE που χρησιμοποιεί μέθοδο ροπών συνυπολογίζονται φαινόμενα σύζευξης ή λαμβάνονται μη ομοιόμορφες κατανομές ρεύματος ή ακτινοβολίας, τα οποία δεν λαμβάνονται υπόψη όταν χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμοι πυκνωτές και τα πηνία που χρησιμοποιούν οι προσεγγιστικές σχέσεις. Επίσης δικά μας σφάλματα κατά τη σχεδίαση του φίλτρου στο γραφικό περιβάλλον του ensemble μπορούν να συνεισφέρουν σε ένα μικρό βαθμό στην ύπαρξη σφαλμάτων και από τη μεριά του ensemble. Τέλος ο πίνακας με ομαδοποιημένα τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, για την περίπτωση σχεδίασης του μέσω του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB και μέσω του υπολογιστικού προγράμματος του ENSEMBLE είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ 4. Χαρακτηριστικά Φίλτρου Συχν. Διέλευσης f 9,76 GHz Συχν. Διέλευσης f 0,35 GHz Συχν. με επιθυμητή εξασθένηση (fatten0,8 GHz) Κυμάτωση (ripple) Συντελεστής Διέλευσης S Θεωρητ. MATLAB ENSEMBLE Τιμές S -3 db S -3.5 db S -.6 db S -3 db S -3.45 db S -.35dB S -8dB S -7.5dB S -9 db -0.5 db -0.55 db -0.77 db 00

4.3 Σχεδιασμός Ζωνοπερατών Φίλτρων σε Σειρά Συζευγμένων Γραμμών ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αντίθεση με τη προηγούμενη ενότητα στην οποία ασχοληθήκαμε με τη σχεδίαση φίλτρων τα οποία αποτελούνται από παράλληλες συζευγμένες γραμμές, εδώ θα εισάγουμε μια νέα κατηγορία μικροκυματικών φίλτρων τα οποία στηρίζονται σε συζευγμένες γραμμές μεταφοράς μήκους λ g / τοποθετημένες σε σειρά. Η διαδικασία που ακολουθείται περιλαμβάνει τη μελέτη κατάλληλα ηλεκτρικών ισοδύναμων τα οποία τοποθετούνται μεταξύ των διάκενων των γραμμών, στη συνέχεια το προσδιορισμό της γεωμετρίας της διάταξης και τέλος στη μελέτη της συμπεριφοράς του φίλτρου ως μιας επαλληλία τετραπόλων. Η διάταξη ενός ζωνοπερατού φίλτρου το οποίο αποτελείται από Ν στοιχεία και δεδομένο ότι η χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής είναι Ζ ο απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα Ζωνοπερατό φίλτρο σχεδιασμένο από συζευγμένες γραμμές σε σειρά Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα.a μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η σύζευξη μεταξύ των μικροταινιακών γραμμών ηλεκτρικού μήκους θ i, οι οποίες είναι τοποθετημένες σε σειρά, είναι χωρητική σύζευξη και τα αντίστοιχα στοιχεία έχουν χωρητικότητα Β i. Η μορφή της διάταξης του σχήματος.α μπορεί να αντικατασταθεί με αυτή του σχήματος.β αφού κάθε τμήμα μικροταινιακής γραμμής μπορεί να αντικατασταθεί από γραμμή μεταφοράς χαρακτηριστικής αντίστασης ο Ζ ο και ηλεκτρικού μήκους θ i. Επομένως η χωρητικότητα του κάθε πυκνωτή θα είναι ίση με: 0

B i C i () ω ο όπου ω ο είναι η κεντρική συχνότητα της ζώνης διέλευσης. Στη διάταξη του σχήματος.β θέτονται αρνητικά μήκη γραμμών μεταφοράς, δεξιά και αριστερά κάθε πυκνωτή, όπως εξάλλου φαίνεται στο σχήμα.γ. Οι γραμμές φ i είναι ισοδύναμες με το μήκος λ g / στη κεντρική συχνότητα και επομένως το ηλεκτρικό μήκος θ i θα είναι ίσο με: θ i π φi φ, όπου i,,.ν και φ i <0 () i Η διαδικασία παραγωγής ενός ισοδύναμου γίνεται για να αποδειχθεί ότι ο συνδυασμός χωρητικοτήτων σε σειρά με γραμμές μεταφοράς αρνητικού μήκους, μπορεί να αντικατασταθεί από ένα κύκλωμα αντιστροφέα αγωγιμότητας και αντίθετα. Το παραπάνω γίνεται φανερό σύμφωνα με το σχήμα.δ όπου η τιμή του αντιστροφέα αγωγιμότητας δίνεται από τη σχέση: JY O tan(θ/) (3) Προκειμένου να έχει ισχύ η ισοδυναμία των δικτυωμάτων, θα πρέπει μεταξύ του ηλεκτρικού μήκους των γραμμών και των χωρητικοτήτων να ισχύουν οι εξής σχέσεις: Φ i -tan - ( o B i ) (4) B i J i i o ( J ) (5) Οι τιμές των σταθερών J n υπολογίζονται σύμφωνα με τις σχέσεις 4..α, 4..β Το ηλεκτρικό μήκος των μικροταινιακών γραμμών μπορεί να υπολογιστεί από τη παρακάτω εξίσωση: [ ] θ i π - tan ( B ) tan ( B ) (6) o i o i 0

4.3. Προσδιορισμός του ηλεκτρικού ισοδύναμου δυο μικροταινιακών γραμμών Μέχρι στιγμής αναφέραμε ότι μεταξύ των συζευγμένων σε σειρά μικροταινιακών γραμμών υπάρχει μονάχα χωρητική σύζευξη. Στη πράξη όμως, εμφανίζονται και άλλα φαινόμενα, όπως είναι η ακτινοβολία του πεδίου από το ανοιχτό άκρο των γραμμών και τα επιφανειακά κύματα. Η ύπαρξη των φαινομένων αυτών δημιουργεί ταυτόχρονα και την ανάγκη προσδιορισμού ενός πιο ακριβέστερου ισοδύναμου. Ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα ενός τέτοιου ισοδύναμου φαίνεται στο σχήμα στο οποίο οι τιμές των στοιχείων εξαρτώνται από τη γεωμετρία της μικροταινιακής γραμμής και τη διηλεκτρική σταθερά του υποστρώματος, χωρίς να επηρεάζονται από τη συχνότητα. Σχήμα Ισοδύναμο κύκλωμα Οι παρακάτω εξισώσεις δίνουν τα στοιχεία του ισοδύναμου κυκλώματος και έχουν υπολογιστεί με βάση τη θεωρεία του πεδίου για ε r 9.9 είναι: C C L L 5 h 5 h o w w w s.5 tan(.358 ) 0.35 tan (0.06 0.84 ) (0.7 0.069 ln ) h h h h w w h s.48 0.36 tan h 6.83 tan(0.009 ) 0.90 tan(.4 0.34 ) ( h w h o ) 5 h h h s.739 0.390 ln 0.0436 ln ) 0.34 exp (3.656 0.46 ) ( w w h w w 0.00885 tanh(0.5665 ) 0.003 0.87 0.0075 ln h h w h s 0.54 0.873 ln h exp (5.07.38 tanh(.656 ) ( ) w h o ) 5 h o R w h s w.04 tanh(.05 ) tan o h (0.0584 0.087 ) (0.46 0.0394sinh( )) w h h 5 o w h C [0.776 0.0504 ln( ) h h s h w s 0.574 0.365 (.56 ln( )) sech(.3345 ) w h h w h 03

L 5 h o 0.0873 s [0.008 ] sinh(.334 ) w w h 7.5 cosh( ) h h Αντιμετωπίζοντας το δικτύωμα του σχήματος σαν ένα τετράπολο, τότε είναι δυνατός ο υπολογισμός του πίνακα μεταφοράς. Οι τάσεις και τα ρεύματα στις δυο εισόδους συναρτήσει των παραμέτρων του τετραπόλου Α,B,C και D δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: V AV BI και I CV DI A 3 4 B 3 5 (8.α) (8.α) C 3 5 3 4 4 5 (8.α) Όπου D 3 Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ 5 jω L 4 3 R R R jω L jωc jω L jω L jω L jωc jωc jωc jωc (8.α) Έτσι σε κάθε διάκενο της διάταξης αντιστοιχεί και ένας τέτοιος πίνακας μεταφοράς. Επίσης πρέπει να σημειωθεί ότι ο πίνακας μεταφοράς του τετραπόλου που αντιστοιχεί στο κλασσικό πρότυπο χωρητικής σύζευξης των μικροταινιών γραμμών (σχήμα 3) είναι ίσος με τον πίνακα: 04

0 jb (9) Σχήμα 3 Πρότυπο χωρητικής σύζευξης 4.3. Εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού του ηλεκτρικού ισοδύναμου του διάκενου δυο μικροταινιακών γραμμών Ο μέχρι τώρα τρόπος προσδιορισμού του ηλεκτρικού ισοδύναμου του διάκενου μεταξύ των μικροταινιακών γραμμών, αποτελεί μια αρκετή ακριβή μέθοδο κατά τη σχεδίαση φίλτρων. Παρόλο αυτά υστερεί από το γεγονός ότι οι εξισώσεις των επαγωγών, των πηνίων και των αντιστάσεων υπολογίστηκαν για μια μονάχα τιμή διηλεκτρική σταθεράς και αυτή είναι ε r 9.9. Όταν όμως θέλουμε να υπολογίσουμε και πάλι το ηλεκτρικό ισοδύναμο, αλλά για διάφορες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς ε r τότε ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Στο σχήμα 3.α απεικονίζεται η φυσική δομή δυο συζευγμένων γραμμών μεταφοράς σε σειρά και το ισοδύναμο κύκλωμα αντίστοιχα (σχήμα 3.β). Για να είναι η ενέργεια κατά μήκος του κενού συζευγμένη, πρέπει τα άκρα των μικροταινιών να έχουν ίσα και αντίθετα φορτία. Η χωρητικότητα κατά μήκος του κενού ορίζεται ως C ενώ οι γειωμένες χωρητικότητες C αντιστοιχούν στα πεδία που συνδέονται ευθέως με τη γη από κάθε άκρο της γραμμής του συμμετρικού διάκενου. Σχήμα 3.α Φυσική δομή δυο συζευγμένων γραμμών 05

Σχήμα 3.β Ισοδύναμο κύκλωμα Οι Garg και Bahl έδωσαν τις εξισώσεις που αφορούν τις χωρητικότητες του διάκενου ως εξής: mo Co g exp( k o ) pf/m (0) w w Ce w m e g exp( k e ) pf/m () w w Έστω ότι ισχύει ε r 9.6 και ο περιορισμός 0,5, τότε θα έχουμε: h C o C C C e C Οι δείκτες και τα ορίσματα θα ορίζονται από τις σχέσεις: w w mo 0.69 log( ) 0.3853 h h g 0, w h ko 4.36.453log( ) h (.α) (.β) (3) m k e e 0.8675 w.043( ) h 0. g 0, 0, 3 h (4) 06

,565 me w 0,6 ( ) h 0,03 ko,97 w h g 0,3 h (5) Για τις υπόλοιπες τιμές διηλεκτρικών σταθερών οι χωρητικότητες C o και C e δίνονται από τους παρακάτω τύπους: 0,8 ε r C O ( ε r ) Co ( 9.6) (6) 9.6 0,9 ε r C e ( ε r ) Ce ( 9.6) (7) 9.6 Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν για μια περιοχή τιμών διηλεκτρικής σταθεράς,5 ε r 8 και με ακρίβεια 0%. Αν αντιμετωπιστεί το δικτύωμα του σχήματος σαν ένα τετράπολο, τότε εύκολα βρίσκεται και ο πίνακας μεταφοράς: A C C B C D jω C j ο ω ο C C jω C ο C C (8) 07

4.3.3 Προσδιορισμός της συχνοτικής απόκρισης της διάταξης Για να προσδιοριστεί η συχνοτική απόκριση του δικτυώματος, θα αντιμετωπιστεί σαν τετράπολο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 4 Διάταξη συζευγμένων μικροταινιακών γραμμών Ο πίνακας μεταφοράς της διάταξης που συνδέει τα ηλεκτρικά μεγέθη εισόδου εξόδου, θα παραχθεί από τις σχέσεις : V T A T V T B T I T και Ι T C T V T D T I T Προκειμένου να υπολογιστούν οι παράμετροι A T B T C T και D T θα θεωρηθεί ότι το συνολικό τετράπολο της διάταξης είναι αποτέλεσμα της επαλληλίας Ν τετραπόλων από τα οποία τα Ν είναι τα διάκενα και τα άλλα Ν είναι τα τετράπολα που αντιστοιχούν στα Ν τμήματα των συντονισμένων γραμμών θ, θ. θ Ν. Έτσι έχουμε: A C B D T T ΔΝ ΔΝ B D T T AΔ CΔ B D Δ Δ A C θ θ B θ D θ A C Δ Δ B D Δ Δ A C Δ Δ B D Δ Δ A C θν θν (9) B θν D θν A C ΔΝ ΔΝ Οι πίνακες [ Δ i ] πινάκων [ Δ i ] A C A C θi θi Δi Δi B θi D θi B D Δi Δi προσδιορίζονται από τις σχέσεις 8 ενώ τα στοιχεία των λαμβάνονται από τις εκφράσεις: Α θi cosθ i B θi j o sinθ i (0.α) (0.β) 08

09 C θi jy o cosθ i (0.γ) D θi cosθ i (0.δ) Όπου θ i υπολογίζονται από τη σχέση Η αντίσταση εισόδου του κυκλώματος θεωρώντας ότι δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα θα δίνεται από την εξίσωση: T T T T T T T T it it in I D V C I B V A I V T T T T T T T T T T T T D C B A D I V C B I V A 0 0 () Ο συντελεστής ανάκλασης και διέλευσης θα είναι αντίστοιχα: 0 0 S in in () ( ) ( ) S S (3) Ο λόγος στάσιμου κύματος που εμφανίζεται στην είσοδο θα είναι: ) ( ) ( ) ( f f f S ρ ρ (4)

4.3.4 Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab Σε αυτό το στάδιο θα ασχοληθούμε με τη διαδικασία που ακολουθήσαμε για το σχεδιασμό του φίλτρου μέσω του προγράμματος του MATLAB. Αρχικά από τη μεριά του χρήστη η εμφάνιση του παραθύρου GUI γίνεται με πληκτρολόγηση InterfaceA στο περιβάλλον του MATLAB. Στη συνέχεια εμφανίζεται το γραφικό περιβάλλον του χρήστη ή αλλιώς GUI και εισάγουμε τα δεδομένα εισόδου. Αξίζει να αναφέρουμε ότι το GUI που εμφανίζεται στη παρούσα κατάσταση είναι το ίδιο με εκείνο που εμφανιζόταν και στη περίπτωση σχεδιασμού φίλτρου με παράλληλα συζευγμένες γραμμές. Ο διαχωρισμός τους γίνεται με την εισαγωγή στο πεδίο coup τον αριθμό (coup), οπότε αυτόματα κατευθυνόμαστε στη σχεδίαση φίλτρου με συζευγμένες γραμμές σε σειρά. Τα δεδομένα εισόδου είναι: f 0 : εκφράζει τη κεντρική συχνότητα λειτουργίας του φίλτρου. f atten : Συχνότητα στην οποία θέλουμε να έχει εχει εξασθένηση την τιμή Atten atten: τιμή της εξασθένησης σε db A m : κυμάτωση σε db Ζ 0 : Αντίσταση κύριας γραμμής e r : Διηλεκτρική σταθερά h: Πάχος διηλεκτρικού kfil: Το είδος του φίλτρου δηλαδή αν θα είναι Cheyshev ή Maximally flat coup: Το είδος της σύζευξης των γραμμών που επιθυμούμε.( παράλληλη σε σειρά) D: Εύρος ζώνης του φίλτρου f start : Συχνότητα με την οποία ξεκινά η σάρωση f stop : Συχνότητα με την οποία σταματά η σάρωση points: Συχνότητες για τις οποίες θα υπολογιστεί η απόκριση για τη λήψη του διαγράμματος. v3*0 8 m/sec e 0 : Ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού Τα αποτελέσματα κατά την επεξεργασία του προγράμματος που εκφράζουν κυρίως τα επιπλέον γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου είναι: Ν: Ο αριθμός των συζευγμένων μικροταινιακών γραμμών στο φίλτρο. Element length (mm): Το μήκος των N γραμμών σε mm Interelemnt distance: Η απόσταση μεταξύ των γραμμών σε mm Strip width: Το πλάτος των γραμμών Επίσης σημαντικό κομμάτι της επεξεργασίας του φίλτρου είναι η εξαγωγή του διαγράμματος που απεικονίζει τη μεταβολή των S παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας f. 0

Τα βήματα της οργάνωσης και της λογικής πορείας των υπολογισμών των παραμέτρων του φίλτρου όπως και η εμφάνιση των αποτελεσμάτων στο GUI είναι: Πληκτρολογούμε το όνομα της συνάρτησης του GUI (InterfaceΑ) στο παράθυρο εντολών του MATLAB και πατώντας ENTER εμφανίζεται το παράθυρο του GUI. Εισάγουμε τις τιμές των δεδομένων εισόδου που περιγράψαμε πριν επιλέγοντας αρχικά coup που δηλώνει ότι έχουμε σύζευξη μικροταινιακών γραμμών σε σειρά και στη συνέχεια τον τύπο του φίλτρου που θέλουμε να σχεδιάσουμε Chebyshev ή Maximally Flat (kfil ή αντίστοιχα). Εκτελώντας την εντολή RUN το πρόγραμμα υπολογίζει αρχικά τον αριθμό Ν των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου και έπειτα τις τιμές g μέσω των εξισώσεων.4 και.4 που παραθέσαμε στις παραγράφους..3. και..4. αντίστοιχα. Σύμφωνα με τις σχέσεις 4.46.α, 4.46.β, 4.46.γ υπολογίζουμε τις τιμές J n οι οποίες θα φανούν χρήσιμες στη συνέχεια για τον υπολογισμό της αγωγιμότητας Β i των στοιχείων.

Ακολουθεί η διαδικασία υπολογισμού του πάχους w των γραμμών και της διηλεκτρικής σταθεράς ε eff. Αυτό επιτυγχάνεται με χρήση των εξισώσεων (.9) έως (.4) της παραγράφου. δίνοντας εμείς οι ίδιοι από το GUI την τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης o. Γνωρίζοντας τις τιμές J n από το 3 ο βήμα, υπολογίζουμε την αγωγιμότητα Β i των στοιχείων και στη συνέχεια τη χωρητικότητα του πυκνωτή σύμφωνα με τις σχέσεις 5 και αντίστοιχα. Το ηλεκτρικό μήκος θ i των μικροταινιακών γραμμών υπολογίζεται από τις τιμές των παραπάνω δεδομένων και σύμφωνα με το σχέση Υπολογίζουμε από τη σχέση 9 τον πίνακα μεταφοράς του τετραπόλου που αντιστοιχεί στο κλασσικό πρότυπο χωρητικής σύζευξης των μικροταινιακών γραμμών.

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το ηλεκτρικό ισοδύναμο του διάκενου μεταξύ των γραμμών για τη περίπτωση που εισάγουμε διάφορες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς. Σύμφωνα λοιπόν με τις σχέσεις του Garg και Bahl υπολογίζουμε τις χωρητικότητες του διάκενου για συγκεκριμένη τιμή διηλεκτρικής σταθεράς e r 9,6 (σχέσεις 0 5). Έπειτα από τις σχέσεις 6, 7 υπολογίζουμε τις ζητούμενες τιμές χωρητικοτήτων του διάκενου οι οποίες είναι συναρτήσει της διηλεκτρικής σταθεράς και της απόστασης s μεταξύ των γραμμών. Από την εξίσωση 8 υπολογίζουμε τον πίνακα μεταφοράς του τετραπόλου που αποτελεί έναν εναλλακτικό τρόπο προσδιορισμού του ηλεκτρικού ισοδύναμου του διάκενου. Μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας εξισώνουμε το στοιχείο της πρώτης γραμμής και δεύτερης στήλης του πίνακα που βρήκαμε στο 7 ο βήμα με το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα που υπολογίσαμε στο 9 ο βήμα. Εάν η διαδικασία αυτή γίνεται ανεξάρτητα τόσες φορές, όσα είναι και τα διάκενα της διάταξης, τότε με αυτό τον τρόπο υπολογίζουμε τις αποστάσεις s των διάκενων μεταξύ των μικροταινιακών γραμμών. Αξίζει να σημειώσουμε ότι ο αριθμός των αποστάσεων που θα βρούμε θα είναι N όπου Ν είναι ο αριθμός των στοιχείων. Αυτό συμβαίνει επειδή στην αρχή του πρώτου στοιχείου προηγείται η γραμμή μεταφοράς που οδεύει το σήμα και άρα θα πρέπει να γνωρίζουμε την απόσταση s, ενώ στο τέλος του τελευταίου στοιχείου ακολουθεί η γραμμή μεταφοράς η οποία απέχει απόστασης s. Για παράδειγμα εάν έχουμε στοιχεία οι αποστάσεις που θα υπολογίσουμε θα είναι 3 και είναι: Απόσταση s μεταξύ της γραμμής μεταφοράς και του πρώτου στοιχείου. Απόσταση s μεταξύ των πρώτου και δεύτερου στοιχείου Απόσταση s 3 μεταξύ του τρίτου στοιχείου και της γραμμής μεταφοράς που συνεχίζει το σήμα 3

Για την ολοκλήρωση της εύρεσης των τιμών των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του φίλτρου αρκεί να υπολογιστεί το μήκος των μικροταινιακών γραμμών και αυτό είναι μια εύκολη διαδικασία καθώς γνωρίζουμε το ηλεκτρικό τους μήκος. Επόμενο βήμα αποτελεί ο καθορισμός της συχνοτικής απόκρισης του φίλτρου. Η εύρεση του γίνεται με χρήση των εξισώσεων 9 και 0. Η αντίσταση εισόδου του κυκλώματος υπολογίζεται από τη σχέση ενώ ο συντελεστής ανάκλασης και διέλευσης από τις σχέσεις και 3 αντίστοιχα. Τέλος εκτελούμε σάρωση ως προς τη συχνότητα με τιμές που καθορίζονται από τα w start και w stop και με βήμα από τη τιμή που θέσαμε στα points, σημειώνοντας τη μεταβολή των S παραμέτρων ως προς τη συχνότητα σε ένα γράφημα. Αξίζει να τονίσουμε ότι οι συντελεστές διέλευσης S και S και οι συντελεστές ανάκλασης S και S, συμπίπτουν δηλαδή S S και S S και αυτό επειδή το κύκλωμα είναι συμμετρικό. Το παραπάνω είναι εξάλλου εμφανές από το διάγραμμα που παριστάνει την συχνοτική απόκριση του φίλτρου, τόσο σε επίπεδο MATLAB όσο και σε επίπεδο ENSEMBLE. 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στη συνέχεια της εργασία θα αναφέρουμε ένα παράδειγμα ενός ζωνοπερατού φίλτρου σχεδιασμένο με συζευγμένες γραμμές σε σειρά. Έτσι θέτοντας σε εφαρμογή τη θεωρεία που αναφέραμε προηγουμένως κάνουμε χρήση του προγράμματος MATLAB. Τα δεδομένα εισόδου που ορίσαμε είναι: f 0 0.3 GHz f atten. GHz atten 5 db A m db Ζ 0 50 Ω e r 6.8 h mm coup kfil (Chebyshev) D 0.033 ( 3.3%) f start 8 GHz f stop GHz points 800 Τα δεδομένα εξόδου που προέκυψαν κατόπιν επεξεργασίας των δεδομένων εισόδου που ορίσαμε προηγουμένως είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ Number of elements N Length of N elements (mm) Distance s(mm) 4.0854 0.054534 4.7.0089 3 4.0854.0089 0.054534 Strip width (mm) 0.54534 5

Το διάγραμμα που απεικονίζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου δηλαδή τον συντελεστή διέλευσης και ανάκλασης συναρτήσει της συχνότητας είναι: Διάγραμμα Συχνοτική απόκριση του φίλτρου Το παράθυρο GUI από το οποίο πήραμε όλες τις παραπάνω τιμές φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα 5 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceΑ) 6

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με το διάγραμμα μπορούμε να δούμε ότι η μορφή της συχνοτικής απόκρισης του φίλτρου προσεγγίζει ικανοποιητικά την αντίστοιχη ενός ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου. Αυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι ο συντελεστής διέλευσης, για ένα εύρος συχνοτήτων της τάξεως του 3.3%, παίρνει τιμές από 0 έως -db. Επίσης στη ίδια περιοχή ο συντελεστής ανάκλασης κυμαίνεται από -0 έως -40dB κάτι που είναι επιθυμητό. Σύμφωνα με τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το σήμα θα οδεύει χωρίς να υφίσταται σημαντικές απώλειες ή ανακλάσεις. Επιπλέον στη κεντρική συχνότητα f o 0.3 GHz ο συντελεστής διέλευσης έχει τιμή S -db ενώ στα όρια διέλευσης f 0.35 GHz f 0.46 GHz η τιμή του συντελεστή διέλευσης κυμαίνεται στα -3.dB αντίστοιχα. Επίσης από το γράφημα διακρίνουμε μια κυμάτωση να παίρνει τιμές κοντά στα,db, παρόλο που εμείς ορίσαμε ripple(κυμάτωση)db. Τέλος στη συχνότητα των,ghz που ζητήσαμε να υπάρχει μια εξασθένηση της τάξεως των 5dB, από το γράφημα παίρνουμε τιμή της εξασθένηση 3dB. Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Όπως και στη προηγούμενες περιπτώσεις ακολουθεί η σύγκριση των αποτελεσμάτων του προγράμματος του MATLAB με τα αντίστοιχα του προγράμματος ENSEMBLE. Έτσι πήραμε τις τιμές των διαστάσεων του φίλτρου από το GUI (πίνακας ) και σχεδιάσαμε το φίλτρο στο γραφικό περιβάλλον του ENSEMBLE. Αφού καθορίσαμε το είδος και τα χαρακτηριστικά του διηλεκτρικού και του επιπέδου γείωσης εκτελέσαμε μια σάρωση στις συχνότητες από 8 έως GHz. Το αποτέλεσμα της σάρωσης ήταν το διάγραμμα το οποίο εμφανίζει τη μεταβολή των S παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας f. Σημειώνουμε ότι με πράσινο παριστάνουμε το συντελεστή διέλευσης S, με κόκκινο το συντελεστή διέλευσης S, με μπλε το συντελεστή ανάκλασης S και με μαύρο το συντελεστή ανάκλασης S. Το διάγραμμα από το ENSEMBLE είναι: 7

Διάγραμμα Συχνοτική απόκριση του φίλτρου ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τη μελέτη του παραπάνω διαγράμματος διαπιστώνουμε ότι και σε αυτή τη περίπτωση η συχνοτική απόκριση του φίλτρου προσεγγίζει την αντίστοιχη που πήραμε από το MATLAB. Παρόλο αυτά κρίνεται αναγκαίο να επισημάνουμε ορισμένες διαφορές μεταξύ αυτών των δύο διαγραμμάτων. Συγκεκριμένα στη κεντρική συχνότητα ο συντελεστής διέλευσης αγγίζει τη τιμή των S -0,8dB, σε αντίθεση με το διάγραμμα όπου έφθανε στα -db. Παρόλο αυτά για τα όρια διέλευσης, που αντιστοιχούν σε συχνότητες f 0.35 GHz και f 0.46 GHz, οι τιμή του συντελεστής διέλευσης είναι -3,8dB και -4.3dB αντίστοιχα και αυτό συνεπάγεται το εύρος ζώνης θα έχει τιμή.7% της κεντρικής συχνότητας. Υπενθυμίζουμε ότι στη κεντρική συχνότητα η βέλτιστη τιμή είναι στα 0dB ενώ στα όρια διέλευση -3dB αντίστοιχα. Επίσης από τα δεδομένα εισόδου ορίσαμε ότι επιθυμούμε εξασθένηση της τάξεως των 5dB στη συχνότητα των,ghz και από το διάγραμμα είδαμε να μην επαληθεύεται σε ικανοποιητικό βαθμό. Παρόλο αυτά στο διάγραμμα η εξασθένηση πλησιάζει τη τιμή των 7dB, προσεγγίζοντας περισσότερο τη θεωρητική αναμενόμενη τιμή. Οι παραπάνω τιμές των δύο διαγραμμάτων ομαδοποιημένες φαίνονται στο παρακάτω πίνακα. 8

ΠΙΝΑΚΑΣ Χαρακτηριστικά Φίλτρου Συχν. Διέλευσης f 0,35 GHz Συχν. Διέλευσης f 0,46 GHz Συχν. με επιθυμητή εξασθένηση (fatten, GHz) Κυμάτωση (ripple) Συντελεστής Διέλευσης S Θεωρητ. MATLAB ENSEMBLE Τιμές S -3 db S -3.dB S -3.8 db S -3 db S -3.dB S -4.3dB S -5dB S -3dB S -7dB - db -. db -.8 db Οι αποκλίσεις που παρουσιάζονται μεταξύ των δυο παραπάνω διαγραμμάτων οφείλονται στους ίδιους λόγους που αναφέραμε και στη περίπτωση του ζωνοπερατού φίλτρου με παράλληλες συζευγμένες μικροταινιακές γραμμές. Δηλαδή στο γεγονός ότι τα δυο προγράμματα χρησιμοποιούν διαφορετική μεθοδολογία προσέγγισης του προβλήματος. Επίσης στα m-files του MATLAB εισάγαμε σχέσεις κλειστής μορφής οι οποίες είναι απλοποιημένες και λογικό είναι να παρουσιάζονται σφάλματα στη συχνοτική απόκριση του φίλτρου. Αντίστοιχα το ENSEMBLE βασίζεται στη μέθοδο των ροπών που αποτελεί μια πιο αξιόπιστη μέθοδος αφού οι προσεγγίσεις περιορίζονται σε μεγάλο βαθμό. Στη προκειμένη περίπτωση συνυπολογίζονται φαινόμενα σύζευξης ή λαμβάνονται μη ομοιόμορφες κατανομές ρεύματος ή ακτινοβολίας, τα οποία δεν λαμβάνονται υπόψη όταν χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμοι πυκνωτές και τα πηνία που χρησιμοποιούν οι προσεγγιστικές σχέσεις. Παρόλο αυτά, όπως εξάλλου είδαμε και από το διάγραμμα, παρουσιάζονται αρκετά σφάλματα. Μια αιτία αυτού του φαινομένου είναι η μη ακριβής σχεδίαση των διαστάσεων του φίλτρου στο γραφικό περιβάλλον του ENSEMBLE. Επίσης η χρήση υψηλής τιμής διηλεκτρικής σταθεράς και μικρού ύψους του υποστρώματος εισάγει επιπλέον σφάλματα, αφού από τη θεωρεία επισημάναμε ότι τα όρια χρήσης είναι w,5 ε r 5 και 0,5. h 9

4.4 INTERDIGITAL FILTERS Μία άλλη κατηγορία ζωνοπερατών φίλτρων τα οποία στηρίζονται στη χρήση παράλληλα συζευγμένων γραμμών μήκους λ g /4 είναι τα interdigital φίλτρα. Η σχεδίαση τους μας παραπέμπει στη θεωρεία και στο τρόπο σχεδιασμού ενός φίλτρου με παράλληλες συζευγμένες γραμμές. Παρόλο αυτά υπάρχουν κάποιες σημαντικές διαφορές ανάμεσα σε αυτά τα δύο φίλτρα και για αυτό το λόγο παρακάτω θα ασχοληθούμε με τον τρόπο σχεδίασης ενός interdigital φίλτρου. 4.4. Υπολογισμός Παραμέτρων Interdigital Filter Η μορφή ενός INTERDIGITAL φίλτρου φαίνεται στο σχήμα. Η συγκεκριμένη διάταξη αποτελείται από ένα διηλεκτρικό υπόστρωμα ύψους h και διηλεκτρικής σταθεράς ε r, στο κάτω μέρος του οποίου υπάρχει ένα επίπεδο γείωσης, ενώ στο πάνω μέρος εφάπτεται αγώγιμο υλικό. Το φίλτρο αποτελείται από έναν αριθμό Ν συζευγμένων μικροταινιακών γραμμών (internal fingers) οι οποίες είναι τοποθετημένες παράλληλα μεταξύ τους. Στα δύο ακριανά fingers, που συνήθως αναφέρονται ως external fingers, συνδέεται η γραμμή μεταφοράς που μεταφέρει το σήμα, ενώ δεν συνυπολογίζονται στον παραπάνω αριθμό Ν. Σημειώνουμε ότι ο αριθμός των συζευγμένων περιοχών είναι Ν.Η απόσταση μεταξύ των fingers είναι καθορισμένη όπως και το πλάτος της κάθε γραμμής, ενώ οι γειώσεις εναλλάσσονται από το ένα finger στο άλλο μεταξύ της πάνω και κάτω θέσης. Σχήμα Δομή Interdigital filter Τα χαρακτηριστικά ενός τέτοιου είδους φίλτρου αντιστοιχούν σε αυτά ενός ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου. Δηλαδή ο διαχωρισμός της ζώνης διέλευσης με τη ζώνη αποκοπής είναι αρκετά καλός με αποτέλεσμα στη ζώνη διέλευσης το κύμα να οδεύει χωρίς να υφίσταται σημαντικές απώλειες. Η υψηλή επιλεκτικότητα ενός τέτοιου είδους φίλτρο σε σχέση με το μικρό μέγεθος του και το κόστος κατασκευής του, το καθιστούν ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στις τηλεπικοινωνιακές διατάξεις για το διαχωρισμό καναλιών μεταξύ τους. 0

Λόγω της σύζευξης που υπάρχει ανάμεσα στα fingers, εκτός της αγωγιμότητας Υ i που έχει κάθε finger εμφανίζεται και μια αμοιβαία αγωγιμότητα Υ i,i. Το παραπάνω έχει σαν αποτέλεσμα να κάνει πιο πολύπλοκη τη διαδικασία εύρεσης των χαρακτηριστικών του φίλτρου. Ένας τρόπος απλούστευσης του προβλήματος εξηγείται παρακάτω: Θεωρούμε ένα ισοδύναμο μοντέλο της παραπάνω διάταξης το οποίο αποτελείται από μη συζευγμένες μικροταινιακές γραμμές χαρακτηριστικής αγωγιμότητας Υ S παράλληλα με τις ' ' συμμετρικές συζευγμένες γραμμές χαρακτηριστικής αγωγιμότητας Y oe.i και Y oo.i για τον άρτιο και περιττό ρυθμό αντίστοιχα. Η μορφή της νέας διάταξης παρουσιάζεται στο σχήμα. Σχήμα Ισοδύναμο κύκλωμα Η παραπάνω διαδικασία ισχύει για καθορισμένες τιμές πλάτους w των μικροταινιακών γραμμών, απόστασης s μεταξύ τους, ύψους υποστρώματος h και διηλεκτρικής σταθεράς ε r. Για να έχουμε επομένως μια ακρίβεια της τάξης του 5% οι παραπάνω τιμές θα πρέπει να κυμαίνονται στα παρακάτω όρια: 0. w / h 0.05 s / h ε r Δίνεται επομένως η ανάγκη καθορισμό των χαρακτηριστικών αγωγιμοτήτων ' και Y oo.i των αντίστοιχων fingers. Η εύρεση αυτών των τιμών θα γίνει, μέσω των χαρακτηριστικών αντιστάσεων oe. i και oe. i με τη μεθοδολογία που αναφέραμε στη παράγραφο των παράλληλα συζευγμένων γραμμών (4..). Για φίλτρα στα οποία το εύρος ζώνης είναι αρκετά στενό και συνήθως FBW 0%, κρίνεται αναγκαίος ο υπολογισμός του συντελεστή σύζευξης M i, i των fingers. Η σχέση που καθορίζει αυτές τις τιμές είναι: FBW M i, i με i,..n () g g i i ' Y oe.i

όπου Ν:είναι ο αριθμός των fingers και υπολογίζεται κατά τα γνωστά από τις τιμές του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου. g: οι τιμές του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου FBW: το εύρος ζώνης διέλευσης του φίλτρου Επίσης μια άλλη σχέση που μας δίνει το συντελεστή σύζευξης συναρτήσει τον χαρακτηριστικών αντιστάσεων. και. είναι η παρακάτω. M oe i oe i oei ooi i () oei ooi Η παραπάνω διαδικασία αποτελεί μια εύκολη υπόθεση υπολογισμού των αποστάσεων s των fingers καθώς η τιμή του συντελεστή σύζευξης είναι γνωστή από τη σχέση ενώ η υπολογιζόμενη τιμή των χαρακτηριστικών αντιστάσεων oe. i και oe. i είναι συναρτήσει της απόστασης s. Τελευταίο βήμα της παραπάνω μελέτης αποτελεί ο καθορισμός της συχνοτικής απόκρισης ενός interdigital φίλτρου. Η προκειμένη περίπτωση ανήκει στη κατηγορία των παράλληλα συζευγμένων γραμμών με εντοπισμένες Ν συζευγμένες περιοχές οπότε ο πίνακας μεταφοράς του φίλτρου θα είναι: Για τη πρώτη συζευγμένη περιοχή ο πίνακας μεταφοράς θα είναι ισοδύναμος με το γινόμενο των τριών πινάκων: A C B D 0 j oo cotθ cosθ sinθ j oe oo ( Ζ ) / oe j oo cosθ sinθ 0 j oo cotθ oo cotθ (3.α) Για τις συζευγμένες περιοχές έως Ν ο πίνακας μεταφοράς θα είναι: cosθ n A B oen j oon sinθ n C D sinθ n j n ( Ζ oen oon )/ cosθ n 0 όπου n.n j oon cotθ n oon cotθ n (3.β)

3 Τέλος για τη τελευταία συζευγμένη περιοχή έχουμε: C A N D B ( ) Ζ / sin cos oon oen N N j θ θ cos sin N N oen oon j θ θ 0 cot N oon j θ (3.γ) Επομένως ο τελικός πίνακας θα προκύπτει από το γινόμενο των προηγούμενων πινάκων δηλαδή: C A D B C A D B C A n D B C A N D B Επομένως εάν στην έξοδο του φίλτρου δεν υπάρχει εισερχόμενο κύμα και η χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής είναι Ζ ο τότε η αντίσταση εισόδου του φίλτρου θα είναι: D C B A D I V C B I V A I D V C I B V A I V in 0 0 (4) ο συντελεστής ανάκλασης και διέλευσης θα είναι αντίστοιχα: 0 0 S in in (5) ( ) ( ) S S (6) ο λόγος στάσιμου κύματος που εμφανίζεται στην είσοδο θα είναι: ) ( ) ( ) ( f f f S ρ ρ (7)

4.4. Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab Ομοίως με τη διαδικασία που ακολουθήσαμε στις προηγούμενες περιπτώσεις φίλτρων έτσι και εδώ θα σχεδιάσουμε το φίλτρο με τη βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος του MATLAB. Έτσι λοιπόν πληκτρολογώντας InterfaceI στο περιβάλλον του MATLAB, εμφανίζεται το γραφικό περιβάλλον GUI στο οποίο είμαστε σε θέση να δώσουμε τα χαρακτηριστικά του φίλτρου που επιθυμούμε να υλοποιήσουμε. Αυτά τα χαρακτηριστικά αποτελούν επίσης τα δεδομένα εισόδου, τα οποία επεξεργάζεται ο κώδικας που έχουμε εισάγει. Στη προκειμένη περίπτωση τα δεδομένα εισόδου είναι: f 0 : εκφράζει τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. f atten : Συχνότητα στην οποία θέλουμε να έχει εχει εξασθένηση την τιμή Atten atten: τιμή της εξασθένησης σε db A m : κυμάτωση σε db Ζ 0 : Αντίσταση κύριας γραμμής e r : Διηλεκτρική σταθερά h: Πάχος διηλεκτρικού kfil: Το είδος του φίλτρου δηλαδή αν θα είναι Cheyshev ή Maximally flat D: Εύρος ζώνης του φίλτρου f start : Συχνότητα με την οποία ξεκινά η σάρωση f stop : Συχνότητα με την οποία σταματά η σάρωση points: Συχνότητες για τις οποίες θα υπολογιστεί η απόκριση για τη λήψη του διαγράμματος. v3*0 8 m/sec e 0 : Ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού είναι: Τα αποτελέσματα κατόπιν επεξεργασίας των δεδομένων εισόδου από το MATLAB Ν: Ο αριθμός των internal (εσωτερικών) fingers του φίλτρου. Element length (mm): Το μήκος των fingers σε mm Interelemnt distance: Η απόσταση μεταξύ των fingers σε mm Strip width: Το πλάτος των fingers Επίσης στα αποτελέσματα συμπεριλαμβάνεται και ένα γράφημα που απεικονίζει τη μεταβολή των S παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας f. 4

Τα βήματα της οργάνωσης και της λογικής πορείας των υπολογισμών των παραμέτρων του φίλτρου όπως και η εμφάνιση των αποτελεσμάτων στο GUI είναι: Πληκτρολογούμε το όνομα της συνάρτησης του GUI (InterfaceI) στο παράθυρο εντολών του MATLAB και πατώντας ENTER εμφανίζεται το παράθυρο του GUI. Εισάγουμε τις τιμές των δεδομένων εισόδου που περιγράψαμε πριν επιλέγοντας τον τύπο του φίλτρου που θέλουμε να σχεδιάσουμε Chebyshev ή Maximally Flat (kfil ή αντίστοιχα ). Εκτελώντας την εντολή RUN το πρόγραμμα υπολογίζει αρχικά τον αριθμό Ν των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου και έπειτα τις τιμές g μέσω των εξισώσεων.4 και.4 που παραθέσαμε στις παραγράφους..3. και..4. Υπολογίζουμε στη συνέχεια το πάχος w των γραμμών και τη διηλεκτρική σταθεράς ε eff. Αυτό επιτυγχάνεται με χρήση των εξισώσεων(.9) έως (.4) της παραγράφου., δίνοντας εμείς οι ίδιοι από το GUI ως δεδομένο την τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης o. 5

Έπειτα μέσω της σχέσης () βρίσκουμε το συντελεστή σύζευξης M i, i μεταξύ των fingers. Στο αυτό το βήμα, μέσω των σχέσεων της παραγράφου..3 που ισχύουν για παράλληλες συζευγμένες γραμμές, υπολογίζουμε τις χαρακτηριστικές αντιστάσεις άρτιου και περιττού ρυθμού συναρτήσει της απόστασης s δηλαδή oe (s) oo (s). Εδώ βρίσκουμε την απόσταση s μεταξύ των fingers το οποίο είναι και το ζητούμενο. Για να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο αντικαθιστούμε τις τιμές oe (s) oo (s), οι οποίες είναι συναρτήση της απόστασης s, στην έκφραση () και έτσι έχουμε μια σχέση που εκφράζει τον συντελεστή σύζευξης συναρτήση της απόστασης s. Εξισώνοντας τη σχέση αυτή με τις τιμές του συντελεστή σύζευξης που υπολογίσαμε στο 4 ο βήμα και μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές της απόστασης s. Σημειώνουμε ότι οι αποστάσεις s που θα βρούμε θα είναι Ν αν αναλογιστούμε ότι υπάρχουν εκτός από τα Ν εσωτερικά fingers και άλλα εξωτερικά fingers. 6

Ένα άλλο χαρακτηριστικό του φίλτρου που πρέπει να καθοριστεί είναι το μήκος των fingers που στη προκειμένη περίπτωση είναι ίσο με λ g/ 4. Στη προκειμένη περίπτωση από το GUI θα δούμε ότι υπολογίζονται Ν μήκη. Αυτό σημαίνει ότι τα πρώτα Ν μήκη αντιστοιχούν στα εσωτερικά fingers ενώ το τελευταίο μήκος αντιστοιχεί στο μήκος που θα έχουν τα εξωτερικά fingers. Τέλος υπολογίζουμε τον πίνακα μεταφοράς της όλης διάταξης σύμφωνα με την εξίσωση (3). Επίσης από τη σχέση (4) βρίσκουμε την αντίσταση εισόδου του κυκλώματος ενώ από τις σχέσεις (5) και (6) υπολογίζουμε αντίστοιχα τον συντελεστή ανάκλασης και διέλευσης. Είναι το τελευταίο μέρος της πορεία και έχει να κάνει με τη δημιουργία γραφήματος που αναπαριστά το συντελεστή ανάκλασης και διέλευσης συναρτήσει της συχνότητας f. Για να γίνει αυτό σαρώνουμε ως προς τη συχνότητα με τιμές που καθορίζονταν από τα w start και w stop και με βήμα από τη τιμή που θέσαμε στα points. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι συντελεστές διέλευσης S και S και οι συντελεστές ανάκλασης S και S, συμπίπτουν δηλαδή S S και S S και αυτό επειδή το κύκλωμα είναι συμμετρικό. 7

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Συνέχεια της μελέτης αποτελεί η ανάλυση ενός παραδείγματος φίλτρου το οποίο ανήκει στη κατηγορία των interdigital filters με ζωνοπερατά χαρακτηριστικά. Τα χαρακτηριστικά του φίλτρου που θέσαμε στο GUI του προγράμματος MATLAB είναι: f 0 4. GHz f atten 4.6 GHz atten 6 db A m 0.5 db Ζ 0 50 Ω e r 9.8 h 0.8 mm kfil (Maximally Flat) D 0.03 (3 %) f start 3 GHz f stop 5 GHz points 400 Αντίστοιχα τα αποτελέσματα που εξάγαμε και αφορούν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου φαίνονται στο παρακάτω πίνακα: ΠΙΝΑΚΑΣ Length of N elements (mm) Μήκος Κύματος L g (mm) Strip width (mm) Distance s(mm) Number of N internal elements 9.844 0.59349 9.844 0.59349 Number of 9.8056 79.6 0.7809 0.565 external elements 9.8056 8

Το διάγραμμα που απεικονίζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου δηλαδή τον συντελεστή διέλευσης και ανάκλασης συναρτήσει της συχνότητας είναι: Διάγραμμα Συχνοτική απόκριση του φίλτρου Το παράθυρο GUI από το οποίο πήραμε όλες τις παραπάνω τιμές φαίνεται στο σχήμα 3. Σχήμα 3 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceI) 9

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με το διάγραμμα του παραπάνω σχήματος διαπιστώνουμε ότι η συχνοτική απόκριση του συγκεκριμένου φίλτρου προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την αντίστοιχη ενός ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου. Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής διέλευσης, στη περιοχή συχνοτήτων που ορίσαμε θα παίρνει υψηλές τιμές, ενώ ο συντελεστής ανάκλασης στην ίδια περιοχή θα παίρνει πολύ χαμηλές τιμές. Παρόλο αυτά αν δούμε πιο αναλυτικά τι συμβαίνει για συγκεκριμένες τιμές συχνοτήτων. Στη κεντρική συχνότητα f o 4. GHz ο συντελεστής διέλευσης έχει τιμή S -0,dB ενώ για ένα εύρος 3% που αντιστοιχεί σε όρια διέλευσης συχνοτήτων f 4,65 GHz f 4,0385 GHz η τιμή του συντελεστή διέλευσης κυμαίνεται στα -4dB αντίστοιχα. Επίσης στη περιοχή γύρω από τη κεντρική συχνότητα εμφανίζεται μια κυμάτωση της τάξεως 0, db, ενώ στο GUI είχαμε θέσει ripple(κυμάτωση) 0,5dB. Τέλος στη συχνότητα των 4,6GHz που ορίσαμε να έχουμε εξασθένηση της τάξεως των 5dB, από το γράφημα παίρνουμε εξασθένηση της τάξεως των 0dB εμφανίζοντας μια μικρή σχετικά απόκλιση. Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Στη συνέχεια της εργασίας πραγματοποιείται σύγκριση της απόκρισης του φίλτρου του παραδείγματος που διεξήγε από το MATLAB με την αντίστοιχη του προγράμματος ENSEMBLE. 0 S S S S -5 S parameters (db) -0-5 -0-5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 freguency (GHz) Διάγραμμα :Συχνοτική απόκριση του φίλτρου 30

Σημειώνουμε ότι η σύγκριση έγινε με γνώμονα την ακριβή μεταφορά του φίλτρου, που σχεδιάσαμε μέσω MALTAB, στο γραφικό περιβάλλον του ENSEMBLE. Επίσης χρησιμοποιήσαμε το ίδιο διηλεκτρικό υπόστρωμα ίδιου πάχους και κάναμε μια σάρωση συχνοτήτων με σκοπό τη διεξαγωγή των S παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας. Το διάγραμμα λοιπόν στη προκειμένη περίπτωση που εκφράζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου είναι: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τη μελέτη του παραπάνω διαγράμματος συμπεραίνουμε ότι ο συντελεστής διέλευσης και ανάκλασης κυμαίνονται στη ίδια περιοχή τιμών με το συντελεστής διέλευσης και ανάκλασης του διαγράμματος. Έτσι για τη κεντρική συχνότητα έχουμε αντίστοιχα τη τιμή S -0,35 db ενώ στα όρια διέλευσης, υποθέτοντας το ίδιο εύρος ζώνης 3%, ο συντελεστής διέλευσης παίρνει τις τιμές S -,9 db για f 4,65 GHz και S -3,08dB για f 4,0385 GHz. Αν λάβουμε υπόψη και τα αποτελέσματα του διαγράμματος οι αποκλίσεις δεν είναι σημαντικές. Επίσης στη συχνότητα των 4,6GHz η εξασθένηση που εμφανίζεται είναι 6,5dB, τιμή που εμφανίζει σημαντική απόκλιση με την αντίστοιχη του διαγράμματος και σαφώς μικρότερη απόκλιση με την επιθυμητή εξασθένηση. Ο πίνακας με συγκεντρωμένα τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, για την περίπτωση σχεδίασης του μέσω του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB και μέσω του υπολογιστικού προγράμματος του ENSEMBLE είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ Χαρακτηριστικά Φίλτρου Συχν. Διέλευσης f 4,65GHz Συχν. Διέλευσης f 4,0385 GHz Συχν. με επιθυμητή εξασθένηση (fatten4.6 GHz) Κυμάτωση (ripple) Συντελεστής Διέλευσης S Θεωρητ. MATLAB ENSEMBLE Τιμές S -3 db S -4 db S -.9 db S -3 db S -4 db S -3.08dB S -5dB S -0 db S -6.5 db -0.5 db -0. db -0.5 db 3

Οι αποκλίσεις για τις οποίες έγινε λόγος παραπάνω οφείλονται στα ίδια φαινόμενα που επισημάναμε και στα προηγούμενα φίλτρα. Μία από τις κύριες αιτίες εμφάνισης των αποκλίσεων είναι ο διαφορετικός τρόπος προσέγγισης του προβλήματος από τα δυο προγράμματα. Υπενθυμίζουμε ότι το MATLAB λειτουργεί βάση σχέσεων κλειστής μορφής, οι οποίες στις περισσότερες βιβλιογραφίες δίνονται σε προσεγγιστική μορφή. Επίσης οι εξισώσεις αυτές στη προκειμένη περίπτωση δεν λαμβάνουν υπόψη διάφορα φαινόμενα σύζευξης που δημιουργούνται μεταξύ όλων των γραμμών και όχι μόνο των διπλανών. Ακόμη ορισμένες φορές δε λαμβάνεται υπόψη ο περιορισμός που έχουμε για τις τιμές της διηλεκτρικής σταθερά, του ύψους του υποστρώματος και του πλάτους των γραμμών. Αντίθετα με το πρόγραμμα ENSEMBLE τέτοιοι περιορισμοί μπορούν να ξεπεραστούν επειδή δουλεύουμε με τη μέθοδο των ροπών. Έτσι φαινόμενα όπως μη επιθυμητά coupling και ασυμμετρία των μικροταινιακών γραμμών μπορούν να λυθούν με μεγάλη ακρίβεια. Επίσης συνυπολογίζονται φαινόμενα σύζευξης ή λαμβάνονται μη ομοιόμορφες κατανομές ρεύματος ή ακτινοβολίας, τα οποία δεν λαμβάνονται υπόψη όταν χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμοι πυκνωτές και τα πηνία που χρησιμοποιούν οι προσεγγιστικές σχέσεις. Επίσης δικά μας σφάλματα κατά τη σχεδίαση του φίλτρου στο γραφικό περιβάλλον του ensemble μπορούν να συνεισφέρουν σε ένα μικρό βαθμό στην ύπαρξη σφαλμάτων και από τη μεριά του ensemble. 3

4.5 Ζωνοπερατά Μικροκυματικά Φίλτρα με Συζευγμένες Δακτυλίους Οι ζωνοπερατό ηθμοί στις μικροκυματικές συχνότητες μπορούν να υλοποιηθούν και με ηλεκτρική, ή μαγνητική ή υβριδική σύζευξη τυπωμένων ανοιχτών και συντονισμένων δακτυλίων (Square Open Loop Resonators, SOLR), όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι ηθμοί με τους οποίους θα ασχοληθούμε σε αυτήν την ενότητα είναι δύο ειδών. Αρχικά θα σχεδιαστεί ένας ηθμός όπως αυτός τους σχήματος.α. Αποτελείται από έναν άρτιο αριθμό δακτυλίων οι οποίοι είναι διατεταγμένοι κατά τέτοιο τρόπο ώστε να εμφανίζονται και τα τρία είδη σύζευξης (ηλεκτρική, μαγνητική και υβριδικής σύζευξη. Στη συνέχεια θα σχολιαστεί μία άλλη δομή η οποία βασίζεται σε περιοδικά τοποθετημένους ανοιχτούς και συντονισμένους δακτυλίους, όπως φαίνεται στο σχήμα.β. Στη προκειμένη περίπτωση εμφανίζονται μόνο δύο είδη σύζευξης (ηλεκτρική και μαγνητική). Στη συνέχεια της μελέτης θα αναφερθούμε στις ιδιότητες των τριών ειδών σύζευξης και τους τρόπους με τους οποίους μπορεί να επιτευχθεί κάθε μια από αυτές. Σχήμα.α SOLR Μικροκυματικό Φίλτρο Σχήμα.β SOLR Μικροκυματικό Φίλτρο Τα φίλτρα αυτού του τύπου είναι αρκετά δημοφιλή στο χώρο τον τηλεπικοινωνιών. Η χρήση τους είναι κυρίως εκτεταμένη στις δορυφορικές και στις κινητές επικοινωνίες. Ο λόγος είναι ότι σε αυτές τις περιπτώσεις απαιτούνται ηθμοί που εμφανίζουν συχνοτικά χαρακτηριστικά όμοια με αυτά ενός ζωνοπερατού φίλτρου, στενού εύρους ζώνης διέλευσης, υψηλής επιλεκτικότητας και αμελητέες απώλειες. Κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται σε ικανοποιητικό βαθμό από τα SOLR μικροκυματικά φίλτρα. Επίσης το μέγεθος υλοποίησης ενός ζωνοπερατού φίλτρου με τα παραπάνω χαρακτηριστικά είναι ένας σημαντικός παράγοντας. Ωστόσο και εδώ έχουμε καταφέρει να περιορίσουμε σημαντικά τις διαστάσεις του φίλτρου, καθιστώντας το πρακτικό και εύκολο στη κατασκευή του. Για παράδειγμα για την υλοποίηση ενός φίλτρου με παρόμοια χαρακτηριστικά το μέγεθός του ήταν περίπου λ g λ g. Στο φίλτρο του σχήματος.α που εξετάζουμε, οι διαστάσεις του είναι λ g / λ g / που σημαίνει καταφέραμε να ελαττώσουμε το χώρο που καταλαμβάνει σχεδόν στο μισό 33

4.5. ΣΥΖΕΥΞΗ Η δομή ενός SOLR μικροκυματικού φίλτρου, απαιτεί μια ιδιαίτερη μελέτη και τεχνική για να μπορέσουμε να διεξάγουμε τα αντίστοιχα συμπεράσματα που αφορούν κυρίως τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου. Έτσι θα πρέπει αρχικά να λάβουμε υπόψη τους τρεις διαφορετικούς τρόπους σύζευξης των δακτυλίων. Στο σχήμα 3 παρουσιάζονται αυτοί οι τρεις τρόποι σύζευξης που λαμβάνουν χώρα σε μια τέτοια εφαρμογή. Είναι φανερό ότι η σύζευξη θα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την απόσταση s μεταξύ των δύο συντονιστών και σε μικρότερο από τη πιθανή μη συμμετρική τοποθέτηση τους (αναφερόμαστε στην απόσταση d). Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι στη συχνότητα συντονισμού κάθε δακτύλιος έχει μέγιστη τιμή έντασης ηλεκτρικού πεδίου στη πλευρά όπου υπάρχει το άνοιγμα, ενώ έχει μέγιστη τιμή έντασης μαγνητικού πεδίου στη απέναντι πλευρά αντίστοιχα. Επομένως η ηλεκτρική σύζευξη μεταξύ δύο δακτυλίων, μπορεί να επιτευχθεί εάν τα ανοίγματα των αντίστοιχων πλευρών τους τοποθετηθούν το ένα αντίκρυ του άλλου, όπως εξάλλου φαίνεται και στο σχήμα 3.a. Η μαγνητική σύζευξη επιτυγχάνεται με την τοποθέτηση των πλευρών στις οποίες έχουμε μέγιστο μαγνητικό πεδίο απέναντι η μία της άλλης, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.b. Όσον αφορά τη μορφή του σχήματος 3.c στη προκειμένη περίπτωση συνυπάρχει και η ηλεκτρική και η μαγνητική σύζευξη με αποτέλεσμα να θεωρούμε ως ένα είδος υβριδικής σύζευξης. Σχήμα 3 Βασικοί τρόποι σύζευξης σε ένα Square Open Loop Resonator μικροκυματικό φίλτρο a) Ηλεκτρική σύζευξη, b) Μαγνητική σύζευξη, c) Μικτή σύζευξη 34

Για να διαχωρίζουμε τους τρεις παραπάνω τρόπους σύζευξης, χρησιμοποιούμε τους αντίστοιχους συντελεστές σύζευξης, όπου για τη περίπτωση της ηλεκτρικής σύζευξης συμβολίζεται με k E, για τη περίπτωση της μαγνητικής σύζευξης k Μ, και για τη περίπτωση της υβριδικής σύζευξης k Β. Για να υπάρχει σύζευξη μεταξύ δύο δακτυλίων, θα πρέπει η απόσταση τους να μην υπερβαίνει το τριπλάσιο του πάχους του υποστρώματος που χρησιμοποιήθηκε. Επίσης μια άλλη προϋπόθεση που θα πρέπει να ικανοποιείται στο παρόν φίλτρο είναι ότι οι παραπάνω συντελεστές σύζευξης θα πρέπει να είναι μεγαλύτεροι από μια οριακή τιμή η οποία υπολογίζεται να είναι ίση με /Q, όπου Q είναι ο παράγοντας ποιότητας του τετραγωνικού συντονιστή. Α) Ηλεκτρική Σύζευξη Σε αυτό το σημείο θα αναλύσουμε τη δομή της ηλεκτρικής σύζευξης του σχήματος 3.α εισάγοντας το ισοδύναμο κύκλωμα μιας τέτοιας δομής και αναλύοντας τα χαρακτηριστικά της. Έτσι λοιπόν το ισοδύναμο κύκλωμα για τη προκειμένη περίπτωση απεικονίζεται στο σχήμα 4.a το οποίο αποτελείται από εντοπισμένα στοιχεία, όπου L και C είναι η αυτεπαγωγή και η χωρητικότητα των στοιχείων, ενώ C m εκφράζει την αμοιβαία χωρητικότητα που εμφανίζεται μεταξύ των δακτυλίων. Θα πρέπει να τονίσουνε ότι το ισοδύναμο κύκλωμα για το οποίο γίνεται συζήτηση ισχύει μόνο για συχνότητες κοντά στη συχνότητα συντονισμού και για στενού εύρου ζώνης φίλτρα. Έτσι η συχνότητα συντονισμού θα ισούται και με το γινόμενο (LC) -/ ενώ αν λάβουμε υπόψη τις δυο διαχωριστικές επιφάνειες Τ -Τ και Τ -Τ, το ισοδύναμο κύκλωμα αντιμετωπίζεται ως ένα δίθυρο δικτύωμα όπου ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: I jωcv jωcmv (.α) I jωcv jωcmv (.β) Σχήμα 4.a Ισοδύναμο κύκλωμα Square Open Loop Resonator μικροκυματικού φίλτρου για Ηλεκτρική σύζευξη 35

Βλέπουμε στα δύο ρεύματα που δημιουργούνται υπάρχει ο όρος της χωρητικότητας C του κυκλώματος ενώ ο δεύτερος όρος των παραπάνω εξισώσεων εκφράζει το επαγωγικό ρεύμα που δημιουργείται από την αύξησης της τάσης στο βρόχο και αντίστοιχα. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω οι Υ παράμετροι του δικτυώματος είναι: Y Y jωc (.α) Y Y jωc m (.β) Μία άλλη ισοδύναμη μορφή του παραπάνω δικτυώματος είναι αυτή που παρουσιάζεται στο σχήμα 4.b, όπου η ηλεκτρική σύζευξη μεταξύ των δύο βρόχων έχει αντικατασταθεί από ένα μετατροπέα αγωγιμότητας ο οποίος είναι JωC m. Οι τιμές του μετατροπέα δίνονται στον πίνακα της παραγράφου.3. Σχήμα 4.b Ισοδύναμο κύκλωμα Square Open Loop Resonator μικροκυματικού φίλτρου με μετατροπέα αγωγιμότητας για Ηλεκτρική σύζευξη Στο συγκεκριμένο δικτύωμα εάν αντικατασταθεί το επίπεδο Τ -Τ από ένα κλειστό κύκλωμα τότε η συχνότητα συντονισμού θα δίνεται από τη παρακάτω σχέση: f e π L ( C C ) m (3.α) Σημειώνουμε ότι η συχνότητα συντονισμού που υπολογίσαμε θα είναι μικρότερη από αυτή που θα έχει ένας μη συζευγμένος βρόχος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η σύζευξη επηρεάζει την ικανότητα αποθήκευσης φορτίου του ενός βρόχου από τη στιγμή που εισέρχεται στο επίπεδο Τ -Τ κλειστό κύκλωμα όπως αναφέραμε πριν. Αντίστοιχα αντικαθιστώντας το επίπεδο Τ -Τ με ένα ανοιχτό κύκλωμα η αντίστοιχη συχνότητα συντονισμού θα δίνεται από τη παρακάτω εξίσωση: f m π L ( C C ) m (3.β) 36

Και σε αυτή τη περίπτωση η σύζευξη ελαττώνει την ικανότητα αποθήκευσης φορτίου με αποτέλεσμα η συχνότητα συντονισμού να αυξάνεται. Ο συντελεστής σύζευξης για τη περίπτωση ηλεκτρικής σύζευξης μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια των δύο παραπάνω εξισώσεων. Έτσι η τελική σχέση δίνεται από την εξίσωση 4 που δηλώνει ότι είναι ίσος με το λόγο της συζευγμένης ηλεκτρικής ενέργειας προς την αποθηκευμένη ενέργεια του μη συζευγμένου βρόχου. k f m e E f m f e f C m C (4) Μία άλλη μέθοδος υπολογισμού του συντελεστή σύζευξης k E προκύπτει από τη χρήση της παρακάτω εξίσωσης 5. k E g D n, n (5) n όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου ενώ g n είναι οι αντίστοιχες τιμές των στοιχείων του. Σημειώνουμε ότι ο αριθμός των δακτυλίων που θα αποτελούν τον ηθμό θα καθορίζεται από τον αριθμό n των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου. Επίσης D είναι το κλασματικό εύρος της ζώνης διέλευσης και ω ω ισούται με D, με ω0 ω 0 η κεντρική συχνότητα και ω, ω τα όρια περιοχής διέλευσης. g n Β) Μαγνητική σύζευξη Όμοια με πριν θα αναλύσουμε το ισοδύναμο κύκλωμα που προκύπτει από τη δομή της μαγνητικής σύζευξης του σχήματος 3.b. Το ισοδύναμο αυτό κύκλωμα απεικονίζεται στο σχήμα 6.α και ισχύει για συχνότητες κοντά στη συχνότητα συντονισμού. Με L και C συμβολίζουμε αντίστοιχα την αυτεπαγωγή και τη χωρητικότητα του κυκλώματος, ενώ με L m την αμοιβαία αυτεπαγωγή. Στη προκειμένη περίπτωση, θεωρώντας τα επίπεδα αναφοράς Τ - Τ και Τ -Τ οι εξισώσεις υπολογισμού των τάσεων είναι: V jω LI jωlmi (4.4.6.α) V jω LI jωlmi (4.4.6.β) 37

Σχήμα 6.a Ισοδύναμο κύκλωμα Square Open Loop Resonator μικροκυματικού φίλτρου για Μαγνητική σύζευξη Στο πρώτο μέλος των παραπάνω σχέσεων υπάρχει ο όρος της αυτεπαγωγής L του κυκλώματος, ενώ ο δεύτερος όρος δηλώνει την τάση από αυτεπαγωγή που προκύπτει από την αύξηση του ρεύματος Ι και Ι αντίστοιχα. Από τις παραπάνω εξισώσεις οι Ζ παράμετροι είναι: jωl (7.α) jωl m (7.β) Ένα ισοδύναμο κύκλωμα με αυτό του σχήματος 6.α και με τους ίδιους Ζ παραμέτρους είναι αυτό του σχήματος 6.β, στο οποίo όπως βλέπουμε η μαγνητική σύζευξη εκφράζεται από ένα μετατροπέα σύνθετης αντίστασης και ισούται με ΚωL m. Οι τιμές του αντιστροφέα δίνονται στον πίνακα της παραγράφου.3. Σχήμα 6.b Ισοδύναμο κύκλωμα Square Open Loop Resonator μικροκυματικού φίλτρου με μετατροπέα σύνθετης αντίσταση για Μαγνητική σύζευξη 38

Εάν το επίπεδο Τ -Τ αντικατασταθεί από ένα κλειστό κύκλωμα, η συχνότητα συντονισμού θα δίνεται από την παρακάτω έκφραση: f e π C ( L L ) m (8.α) Μια μικρή αύξηση στη συχνότητα συντονισμού δικαιολογείται από το γεγονός ότι το φαινόμενο σύζευξης ελαττώνει το ρεύμα στο βρόχο. Εάν αντίστοιχα το επίπεδο Τ -Τ αντικατασταθεί από ένα ανοιχτό κύκλωμα, η συχνότητα συντονισμού θα είναι: f m π C ( L L ) m (8.β) Σε αυτή τη περίπτωση ο παράγοντας σύζευξη αυξάνει τη ροή με αποτέλεσμα να παρατηρείται μία ελάττωση της συχνότητας συντονισμού. Από τη χρήση των παραπάνω εξισώσεων ο συντελεστής μαγνητικής σύζευξης θα δίνεται από τη παρακάτω έκφραση: k f e m M f e f m f Lm L (9) Από τη παραπάνω εξίσωση συμπεραίνουμε ότι ο συντελεστής μαγνητικής σύζευξης ισούται με το λόγο της συζευγμένης μαγνητικής ενέργειας προς την αποθηκευμένη μαγνητική ενέργεια του μη συζευγμένου βρόχου. Επίσης μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι δύο συντελεστές σύζευξης (ηλεκτρικής μαγνητικής) έχουν διαφορά φάσης 80 0, πράγμα το οποίο είναι επιθυμητό κατά τη σχεδίαση SOLR μικροκυματικών φίλτρων. Επίσης μια άλλη έκφραση από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή μαγνητικής σύζευξης είναι η ακόλουθη: k M g D n, n (5) n όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου ενώ g n είναι οι αντίστοιχες τιμές των στοιχείων του και D είναι το κλασματικό εύρος της ζώνης διέλευσης ω ω και ισούται με D, με ω 0 η κεντρική συχνότητα και ω, ω τα όρια περιοχής ω0 διέλευσης. g n 39

Γ) Υβριδική Σύζευξη Όσον αφορά τη διάταξη που απεικονίζεται στο σχήμα 3.c, αναφέρεται στη δομή της υβριδικής σύζευξης. Με τον όρο υβριδική σύζευξη εννοούμε τη συνύπαρξη της ηλεκτρικής και μαγνητικής σύζευξης. Η σύζευξη αυτή πετυχαίνεται με τη κατάλληλη τοποθέτηση των δακτυλίων όπως φαίνεται στο σχήμα 3.c. Το ισοδύναμο κύκλωμα στη προκειμένη περίπτωση απεικονίζεται στο σχήμα 7.α και επισημαίνουμε ότι ισχύει για συχνότητες κοντά στη συχνότητα συντονισμού. Σχήμα 7.a Ισοδύναμο κύκλωμα Square Open Loop Resonator μικροκυματικού φίλτρου για Μικτή σύζευξη Συνδυάζοντας τη θεωρεία των δύο προηγουμένων συζεύξεων μπορούμε να συμπεραίνουμε ότι σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα οι Υ παράμετροι είναι οι παράμετροι του δίθυρου δικτυώματος βλέποντας το κύκλωμα από τα αριστερά του επιπέδου Τ -Τ και από τα δεξιά του επιπέδου Τ -Τ. Αντίστοιχα οι Ζ παράμετροι είναι οι παράμετροι του δίθυρου δικτυώματος βλέποντας το κύκλωμα από τα δεξιά του επιπέδου Τ -Τ και από τα αριστερά του επιπέδου Τ -Τ. Συνοψίζοντας λοιπόν οι Ζ και Υ παράμετροι θα είναι: Y Y jωc (.α) ' Y Y jωc (.β) m jωl (.α) ' jωl (.β) m Όπου C L C m L m είναι η χωρητικότητα, η αυτεπαγωγή, η αμοιβαία χωρητικότητα και η αμοιβαία αυτεπαγωγή αντίστοιχα που σχετίζονται με το σχήμα 7.β το οποίο αποτελεί μια εναλλακτική έκφραση του σχήματος 7.α. 40

Σχήμα 7.b Ισοδύναμο κύκλωμα Square Open Loop Resonator μικροκυματικού φίλτρου με μετατροπέα σύνθετης αντίσταση και αγωγιμότητας για Μικτή σύζευξη Στο παραπάνω σχήμα η ηλεκτρική και μαγνητική σύζευξη έχουν αντικατασταθεί αντίστοιχα από ένα μετατροπέα αγωγιμότητας και ένα μετατροπέα σύνθετης αντίστασης. Επίσης πρέπει να σημειώσουμε ότι το αρνητικό πρόσημο στην αμοιβαία χωρητικότητα προκύπτει από το γεγονός ότι η ηλεκτρική και μαγνητική σύζευξη προσθέτονται σε φάση και η τελική συχνότητα συντονισμού είναι μεγαλύτερη από τη περίπτωση του μη συζευγμένου συντονιστή. Επιπρόσθετα οι συχνότητες συντονισμού θα δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις: f f m e (3.α) π ' ' ( L L ) ( C C ) m m (3.β) π ' ' ( L L ) ( C C ) Από τις παραπάνω σχέσεις ο συντελεστής μικτής σύζευξης είναι: m m k f f CL LC ' e m m m B (4) ' ' f e f m LC LmCm 4

και υποθέτοντας ότι C m L m <<LC τότε η παραπάνω σχέση γίνεται: ' ' Lm Cm ' k B km k L C ' E (5.α) Μια άλλη έκφραση υπολογισμού του συντελεστή μαγνητικής σύζευξης είναι η ακόλουθη: k B g D n, n (5) n όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου ενώ g n είναι οι αντίστοιχες τιμές των στοιχείων του και D είναι το κλασματικό εύρος της ζώνης διέλευσης ω ω και ισούται με D, με ω 0 η κεντρική συχνότητα και ω, ω τα όρια περιοχής ω0 διέλευσης. g n 4.5. Πειραματικά Αποτελέσματα Τις περισσότερες φορές στη πράξη θα δούμε πως οι συντελεστές σύζευξης και οι συχνότητες συντονισμού, που περιγράψαμε πριν, δεν παραμένουν αμετάβλητες, αλλά μεταβάλλονται συναρτήσει διαφόρων παραμέτρων που έχουν σχέση με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου. Τα χαρακτηριστικά αυτά αφορούν κυρίως την απόσταση s μεταξύ των μικροταινιακών γραμμών, το μήκος α, το πλάτος w, επίσης το ύψος του διηλεκτρικού υποστρώματος και τέλος τη διηλεκτρική σταθερά. Στη συνέχεια της μελέτης θα δούμε πως αυτοί οι παράμετροι επηρεάζουν τη συχνότητα συντονισμού και το συντελεστή σύζευξης του φίλτρου και θα αναφέρουμε τις απαραίτητες εξισώσεις προσδιορισμού αυτών των παραμέτρων. Αξίζει να αναφέρουμε ότι η επεξεργασία των δεδομένων έγινε βασισμένη στη διάταξη ενός φίλτρου σύμφωνο με αυτό του σχήματος.α το οποίο αποτελείται από 4 δακτυλίους. Ας ξεκινήσουμε πρώτα από τις συχνότητες συντονισμού. Η μεταβολή τους και για τις τρεις περιπτώσεις σύζευξης, συναρτήσει της απόστασης s των βρόχων όπου υπάρχει σύζευξη φαίνεται στο σχήμα 8. Το σχήμα 8.α αναφέρεται στην ηλεκτρική σύζευξη, το σχήμα 8.β στη μαγνητική σύζευξη και το σχήμα 8.γ στη μικτή σύζευξη. 4

Σχήμα 8.α Συχνότητες συντονισμού συναρτήσει της συχνότητας για διάφορες τιμές της απόστασης s στη περίπτωση της Ηλεκτρικής σύζευξης Σχήμα 8.β Συχνότητες συντονισμού συναρτήσει της συχνότητας για διάφορες τιμές της απόστασης s στη περίπτωση της Μαγνητικής σύζευξης Σχήμα 8.γ Συχνότητες συντονισμού συναρτήσει της συχνότητας για διάφορες τιμές της απόστασης s στη περίπτωση της Μικτής σύζευξης 43

Οι παρατηρήσεις που μπορούμε να κάνουμε σύμφωνα με τα παραπάνω διαγράμματα είναι: Οι δύο κορυφές που εμφανίζονται και στα τρία σχήματα αντιστοιχούν στις δύο συχνότητες συντονισμού f e και f m. Καθώς αυξάνεται η απόσταση s παρατηρούμε οι δύο συχνότητες συντονισμού να πλησιάζουν μεταξύ τους. Για την ίδια απόσταση s η μαγνητική σύζευξη είναι η πιο ισχυρή σε αντίθεση με την ηλεκτρική η οποία είναι η πιο ασθενής. Όπως αναφέραμε και πριν εργαζόμαστε για τη περίπτωση φίλτρου όμοιο με αυτό του σχήματος 4.4..α. Στη προκειμένη περίπτωση κρατάμε σταθερές τις παραμέτρους όπως μήκος γραμμών α7mm πλάτος γραμμών wmm μηδενικό offset d0mm ύψος διηλεκτρικού υποστρώματος h.7 mm και μεταβάλλοντας την απόσταση s των βρόχων βλέπουμε τη μεταβολή των συντελεστών σύζευξης για διάφορες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς ε r. Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει τη παραπάνω μεταβολή: Σχήμα 9.α Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς στη περίπτωση της Ηλεκτρικής σύζευξης Σχήμα 9.β Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς στη περίπτωση της Μαγνητικής σύζευξης 44

Σχήμα 9.γ Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς στη περίπτωση της Μικτής σύζευξης Από τη μελέτη του παραπάνω σχήματος προκύπτουν τα εξής σημαντικά στοιχεία: Ο συντελεστής ηλεκτρικής σύζευξης εξαρτάται σημαντικά από τη τιμή της διηλεκτρικής σταθεράς με αποτέλεσμα όσο μικρότερη είναι η τιμή της διηλεκτρικής σταθεράς ε r τόσο μεγαλύτερος γίνεται ο συντελεστής k E. Αυτό συμβαίνει επειδή το ηλεκτρικό πεδίο είναι πιο περιορισμένο στην επιφάνεια της μικροταινίας με υψηλή διηλεκτρική σταθερά.. Επίσης η μεταβολή του k E συναρτήσει της απόστασης s είναι πιο απότομη για μικρές τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς ε r, ενώ γίνεται πιο αργή για μεγάλες τιμές του ε r. Σε αντίθεση με τον συντελεστή ηλεκτρικής σύζευξης k E ο συντελεστής μαγνητικής σύζευξης k Μ είναι ανεξάρτητος από τη τιμή της διηλεκτρικής σταθεράς ε r. Παρόλο αυτά για μια τυχαία τιμή ε r ο συντελεστής k Μ ελαττώνεται εκθετικά καθώς αυξάνεται η απόσταση s. Το ίδιο συμβαίνει επίσης και για τους υπόλοιπους συντελεστές σύζευξης (k E k Β ). Παρόλο αυτά ο συντελεστής μικτής σύζευξης k Β εξαρτάται από τη διηλεκτρική σταθερά όπως φαίνεται στο σχήμα 9.γ και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι περιέχει τον όρο k E σύμφωνα με τη σχέση 9.β. Το πλάτος της μικροταινίας w είναι μια άλλη παράμετρος από την οποία εξαρτώνται οι συντελεστές σύζευξης. Συγκεκριμένα σύμφωνα με το σχήμα 0 ο συντελεστής σύζευξης όπως και πριν ελαττώνεται εκθετικά με την αύξηση της απόστασης s. Επίσης εξαρτάται και από τη παράμετρο w και γίνεται τόσο μεγαλύτερος όσο μικρότερο είναι το πλάτος w. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι πιο ισχυρό για στενές μικροταινιακές γραμμές. Η μεταβολή αυτή φαίνεται στο σχήμα 4.4.0. 45

Σχήμα 0.α Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές του πλάτους w στη περίπτωση της Ηλεκτρικής σύζευξης Σχήμα 0.β Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές του πλάτους w στη περίπτωση της Μαγνητικής σύζευξης Σχήμα 0.γ Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές του πλάτους w στη περίπτωση της Μικτής σύζευξης 46

Επίσης μία άλλη παράμετρος από την οποία εξαρτάται η τιμή του συντελεστή σύζευξης είναι το μήκος της γραμμής α δηλαδή το μήκος της μιας πλευράς του βρόχου. Η μεταβολή αυτή παρουσιάζεται στο σχήμα σύμφωνα με την οποία ελάττωση του μήκους α συνεπάγεται ελάττωση των συντελεστών σύζευξης. Σχήμα.α Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές του μήκους α στη περίπτωση της Ηλεκτρικής σύζευξης Σχήμα.β Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές του μήκους α στη περίπτωση της Μαγνητικής σύζευξης Σχήμα.γ Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές του μήκους α στη περίπτωση της Μικτής σύζευξης 47

Στο σχήμα απεικονίζεται η μεταβολή των συντελεστών σύζευξης συναρτήσει της απόσταση s για διάφορες τιμές της μη συμμετρίας των βρόχων (offset). Σχήμα.α Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές της μη συμμετρίας των βρόχων (offset) στη περίπτωση της Ηλεκτρικής σύζευξης Σχήμα.β Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές της μη συμμετρίας των βρόχων (offset) στη περίπτωση της Μαγνητικής σύζευξης Σχήμα.γ Συντελεστής σύζευξης συναρτήσει της απόστασης s για διάφορες τιμές της μη συμμετρίας των βρόχων (offset) στη περίπτωση της Μικτής σύζευξης 48

Έτσι προκύπτει ότι: Ο συντελεστής μαγνητικής k Μ και μικτής k Β σύζευξης δεν επηρεάζονται σημαντικά από τη μεταβολή της τιμής offset (d). Σε αντίθεση με τους προηγούμενους συντελεστές ο συντελεστής ηλεκτρικής σύζευξης k E παρουσιάζει μια μεγαλύτερη ευαισθησία στη μεταβολή της τιμής offset. Παρόλο η τιμή offset μπορεί εύκολα στο στάδιο της υλοποίησης του φίλτρου να οριστεί ίση με τη τιμή d0, έτσι ώστε να αποφύγουμε διάφορα προβλήματα. Συμπληρώνοντας τη λογική της παραπάνω διεργασίας θα ήταν πιο εύκολο και πρακτικό να εισάγουμε τις εξισώσεις υπολογισμού των συντελεστών σύζευξης συναρτήσει των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του φίλτρου. Έτσι δοσμένες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς ε r και του ύψους του υποστρώματος h, οι συντελεστές σύζευξης συναρτήσει των παραμέτρων s/h, w/h, a/h θα δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις : Για τον συντελεστή ηλεκτρικής σύζευξης: k E π Fe exp( Ae ) exp( Be ) exp( De ) () 6 όπου A e 0.59 0.057ε r 0. ετ w h B e ε r.0678 0.66 ln( ) s h pe w pe.0886 0.0346 h 4 D e a s 0.608 0.06945 h h.5 a a F e 0.9605.4087 0. 443 h h 49

Για τον συντελεστή μαγνητικής σύζευξης: k M π Fm exp( Am ) exp( Bm ) exp( Dm ) () 6 όπου A m w w 0.06834 0.44 0.08655 h h 3 B m. s h pm pe 0.8885 0. 75 w h a a D m.54 0.84 0. 47 h h a a F e 0.504.005 0. 557 h h s h και τέλος ο συντελεστής μικτής σύζευξης θα είναι: όπου k k k (3) B ' M ' E k 0. 5 ' M k M k 0. 6 ' E k E 50

5 Υπολογισμός Συχνοτικής Απόκρισης Σε αυτό το σημείο θα αναφερθεί ο τρόπος υπολογισμού του πίνακα μεταφοράς ενός SOLR μικροκυματικού φίλτρου, το οποίο μπορεί να έχει τη δομή του σχήματος.α ή.β. Ο πίνακας μεταφοράς θα φανεί χρήσιμος στη συνεχεία για τον υπολογισμό της εσωτερικής αντίστασης του φίλτρου και στη συνέχεια των S παραμέτρων.. Σε μια διάταξη όπως αυτή του σχήματος.α ο υπολογισμός του πίνακα μεταφοράς είναι μια πολύπλοκη διαδικασία. Αρχικά θα πρέπει να διαχωρίσουμε τα τρία είδη σύζευξης που λαμβάνουν χώρα σε ένα τέτοιο κύκλωμα και στη συνέχεια σχεδιάζοντας τα τρία αντίστοιχα ισοδύναμα κυκλώματα, περιλαμβάνοντας και τους αντιστροφείς σύνθετης αντίστασης ή αγωγιμότητας, θα διεξάγουμε το πίνακα μεταφοράς του κάθε τετράπολου. Βασισμένοι στο σχήμα 4b ο πίνακας μεταφοράς του δίθυρου δικτυώματος για την ηλεκτρική σύζευξη θα είναι: C A D B 0 L C 0 0 jb C 0 0 L (4) Όσο αφορά τη μαγνητική σύζευξη (σχήμα 6.b) ο πίνακας μεταφοράς θα είναι: C A D B C 0 0 L jx 0 0 L C 0 (5) Αντίστοιχα για τη περίπτωση της υβριδικής σύζευξης ο πίνακας μεταφοράς του δικτυώματος θα ορίζεται από τον ακόλουθο ανάστροφο πίνακα : 3 3 C A 3 3 D B 0 C L 0 jb jx 0 0 C L (6) όπου οι τιμές Β και Χ αντιπροσωπεύουν τους μετατροπείς αγωγιμότητας καθ συνθέτης αντίστασης αντίστοιχα και οι εξισώσεις τους δίνονται στη παράγραφο.3.3 Επομένως ο πίνακας μεταφοράς του συνολικού δικτυώματος θα είναι ίσος με το γινόμενο των τριών παραπάνω πινάκων. Δηλαδή: C A D B C A D B C A D B 3 3 C A 3 3 D B (7.α)

5. Για τη περίπτωση που ασχολούμαστε με τη δομή του σχήματος.β, ο συγκεκριμένος ηθμός αποτελείται από δύο περιοχές ηλεκτρικής σύζευξης και μια περιοχή μαγνητικής σύζευξης. Επομένως ο πίνακας μεταφοράς του δικτυώματος θα είναι ίσος με το γινόμενο των πινάκων που εκφράζουν την ηλεκτρική και μαγνητική σύζευξη αντίστοιχα. Δηλαδή: C A D B C A D B C A D B C A D B (7.β) Η αντίσταση εισόδου για κάθε περίπτωση θα είναι: D C B A D I V C B I V A I D V C I B V A I V in 0 0 (8) Ενώ ο υπολογισμός του συντελεστή διέλευσης και ανάκλασης γίνεται από τις σχέσεις 0 και 9 αντίστοιχα: 0 0 S in in (9) ( ) ( ) S S (0) Σαρώνοντας λοιπόν ως προς τη συχνότητα δημιουργούμε το γράφημα που παριστάνει τη μεταβολή των S παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας.

4.5.3 Πορεία προγραμματισμού σε περιβάλλον MATLAB Όπως και στα προηγούμενα φίλτρα έτσι και στο συγκεκριμένο θα σχεδιάσουμε το φίλτρο με τη βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB. Πληκτρολογώντας InterfaceS στο περιβάλλον του MATLAB, εμφανίζεται το γραφικό περιβάλλον GUI στο οποίο είμαστε σε θέση να δώσουμε τα χαρακτηριστικά του φίλτρου, τα οποία αποτελούν τα δεδομένα εισόδου. Στη προκειμένη περίπτωση τα δεδομένα εισόδου είναι: f 0 : εκφράζει τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. f atten : Συχνότητα στην οποία θέλουμε να έχει εχει εξασθένηση την τιμή Atten atten: τιμή της εξασθένησης σε db A m : κυμάτωση σε db Ζ 0 : Αντίσταση κύριας γραμμής e r : Διηλεκτρική σταθερά h: Πάχος διηλεκτρικού kfil: Το είδος του φίλτρου δηλαδή αν θα είναι Cheyshev ή Maximally flat type: Δομή SOLR μικροκυματικού φίλτρου. D: Εύρος ζώνης του φίλτρου f start : Συχνότητα με την οποία ξεκινά η σάρωση f stop : Συχνότητα με την οποία σταματά η σάρωση points: Συχνότητες για τις οποίες θα υπολογιστεί η απόκριση για τη λήψη του διαγράμματος. v3*0 8 m/sec e 0 : Ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού είναι: Τα αποτελέσματα κατόπιν επεξεργασίας των δεδομένων εισόδου από το MATLAB Ν: Ο αριθμός των βρόχων που απαρτίζουν το φίλτρο. Length of loop (mm): Το μήκος του συνολικού βρόχου (mm) Distance: Η απόσταση μεταξύ των βρόχων σε mm Strip width: Το πλάτος των μικροταινιακών γραμμών Επίσης στα αποτελέσματα συμπεριλαμβάνεται και ένα γράφημα που απεικονίζει τη μεταβολή των S παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας f. 53

Τα βήματα της οργάνωσης και της λογικής πορείας των υπολογισμών των παραμέτρων του φίλτρου όπως και η εμφάνιση των αποτελεσμάτων στο GUI είναι: Πληκτρολογούμε το όνομα της συνάρτησης του GUI (InterfaceS) στο παράθυρο εντολών του MATLAB και πατώντας ENTER εμφανίζεται το παράθυρο του GUI. Εισάγουμε τις τιμές των δεδομένων εισόδου που περιγράψαμε και επιλέγουμε τον τύπο του φίλτρου που θέλουμε να σχεδιάσουμε Chebyshev ή Maximally Flat (kfil ή αντίστοιχα ). Επίσης είναι απαραίτητος και ο καθορισμός της δομής του SOLR μικροκυματικού φίλτρου. Η επιλογή γίνεται από τη μεταβλητή type. Επιλέγοντας type το πρόγραμμα προσομοιώνει τη δομή του σχήματος.α, ενώ επιλέγοντας type προσομοιώνεται η δομή ενός SOLR μικροκυματικού φίλτρου σύμφωνη με αυτή του σχήματος.β. Εκτελώντας την εντολή RUN το πρόγραμμα υπολογίζει αρχικά τον αριθμό Ν των στοιχείων του πρότυπου χαμηλοπερατού φίλτρου και έπειτα τις τιμές g μέσω των εξισώσεων.4 και.4 που παραθέσαμε στις παραγράφους..3. και..4. αντίστοιχα. Αξίζει να σημειώσουμε ότι για την περίπτωση type ο αριθμός των στοιχείων (δακτυλίων) που υπολογίζονται θα πρέπει να είναι άρτιος και μεγαλύτερος του 4. Αυτό συμβαίνει επειδή ο ηθμός που μελετάμε στη προκειμένη περίπτωση έχουν συγκεκριμένη δομή για δοσμένο αριθμό δακτυλίων. Αντίστοιχα για τη περίπτωση type αριθμός των δακτυλίων πρέπει να είναι μεγαλύτερος ίσος του 3. Σύμφωνα με τις σχέσεις 4.46.α, 4.46.β, 4.46.γ υπολογίζουμε τις τιμές J n οι οποίες θα φανούν χρήσιμες για τον προσδιορισμό των μετατροπέων σύνθετης αντίστασης και αγωγιμότητας. Υπολογίζουμε στη συνέχεια το πάχος w των γραμμών και τη διηλεκτρική σταθεράς ε eff. Αυτό επιτυγχάνεται με χρήση των εξισώσεων (.9) έως (.4) της παραγράφου., δίνοντας εμείς οι ίδιοι από το GUI ως δεδομένο την τιμή της χαρακτηριστικής αντίστασης o. 54

Έπειτα από τις σχέσεις 5, 0, 5.β βρίσκουμε τους αντίστοιχους συντελεστές σύζευξης. Γνωρίζοντας πλέον τους συντελεστές k H, k M, k B και ορισμένα από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου που υπολογίστηκαν πριν, χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις,, 3 και σαρώνουμε ως προς s για να υπολογίσουμε την κατάλληλη απόσταση μεταξύ των δακτυλίων. Τονίζουμε ότι η τιμή s δεν θα πρέπει να υπερβαίνει το τριπλάσιο του ύψους του υποστρώματος. Από το πίνακα της παραγράφου.3. υπολογίζουμε τις τιμές Χ και Β. Βρίσκουμε το πίνακα μεταφοράς της διάταξης από τη σχέση 7.α ή 7.β ανάλογα με τη περίπτωση Υπολογίζουμε τέλος την αντίσταση εισόδου, τον συντελεστή διέλευσης και ανάκλαση από τις σχέσεις 8, 9, 0 αντίστοιχα. Δημιουργούμε το γράφημα που αναπαριστά το συντελεστή ανάκλασης και διέλευσης συναρτήσει της συχνότητας f. Για να γίνει αυτό κατά τον υπολογισμό των παραπάνω τιμών σαρώνουμε ως προς τη συχνότητα με τιμές που καθορίζονταν από τα w start και w stop και με βήμα από τη τιμή που θέσαμε στα points. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι συντελεστές διέλευσης S και S και οι συντελεστές ανάκλασης S και S, συμπίπτουν δηλαδή S S και S S και αυτό γιατί το κύκλωμα είναι συμμετρικό. 55

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα SOLR ζωνοπερατού φίλτρου που ακολουθεί τη δομή του σχήματος.α παρουσιάζεται παρακάτω: Εκτελώντας το πρώτο βήμα που αφορά την εμφάνιση του παραθύρου GUI στη επιφάνεια εργασίας εισάγουμε τις παρακάτω τιμές που αποτελούν τα χαρακτηριστικά του φίλτρου: f 0.6 GHz f atten.8 GHz atten 49 db A m 0.7 db Ζ 0 50 Ω e r 9.8 h mm kfil (Chebyshev) type D 0.04 ( 4%) f start.5 GHz f stop 3.5 GHz points 400 Τα δεδομένα εξόδου που προέκυψαν κατόπιν επεξεργασίας των τιμών που ορίσαμε προηγουμένως είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ Αριθμός βρόχων Μήκος βρόχου (mm) Απόσταση s (mm) Πλάτος γραμμής (mm) 4 9.3.7083 0.9359 56

Το διάγραμμα που απεικονίζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου δηλαδή τον συντελεστή διέλευσης και ανάκλασης συναρτήσει της συχνότητας είναι: Διάγραμμα Συχνοτική απόκριση του φίλτρου Το παράθυρο GUI από το οποίο πήραμε όλες τις παραπάνω τιμές φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. 00 00 300 400 500 00 00 300 400 500 0-0 -40-60 -80-00.5.5 3 3.5 x 0 9 Σχήμα 3 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceS) 57

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η συχνοτική απόκριση του φίλτρου που απεικονίζεται στο παραπάνω διάγραμμα διαπιστώνουμε ότι προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την χαρακτηριστική ενός όμοιου ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου. Παρόλο αυτά προκύπτουν κάποιες σημαντικές αποκλίσεις τις οποίες και θα αναφέρουμε παρακάτω. Αρχικά στη κεντρική συχνότητα ο συντελεστής διέλευσης και ανάκλασης παίρνουν τιμές 0dB και -80dB αντίστοιχα, κάτι που είναι επιθυμητό και αναμενόμενο. Επίσης τα όρια διέλευσης που αντιστοιχούν στις συχνότητες f,548ghz και f,65ghz παρουσιάζουν εξασθένηση της τάξεως των 3dB. Παρόλο αυτά για τη συχνότητα των,8ghz που ζητήσαμε να έχουμε εξασθένηση 49dB, η τιμή που πήραμε από το γράφημα πλησιάζει τη τιμή των 39dB εμφανίζοντας μια μικρή απόκλιση. Επίσης κάτι άλλο που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι ο διαχωρισμός της ζώνης διέλευσης από τη ζώνη αποκοπής δεν είναι απότομος, αλλά εμφανίζει μια μικρή κλίση μέχρι να φθάσει σε πολύ χαμηλές τιμές. Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Το επόμενο βήμα είναι η σχεδίαση του ίδιου φίλτρου σε ένα άλλο πρόγραμμα το ENSEMBLE και στη συνέχεια η σύγκριση της συχνοτικής απόκρισης με την αντίστοιχη σε επίπεδο MATLAB. 0-5 S S S S -0 S parameters (db) -5-0 -5-30 -35-40,6,8,0,,4,6,8 3,0 3, frequency (GHz) Διάγραμμα :Συχνοτική απόκριση του φίλτρου 58

Επισημαίνουμε ότι τα αποτελέσματα που πήραμε από το MATLAB και αφορούν κυρίως τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, χρησιμοποιήθηκαν στο ENSEMBLE σχεδιάζοντας με αυτό τον τρόπο το φίλτρο που θέλουμε να υλοποιήσουμε. Στη συνέχεια εκτελούμε μια σάρωση ως προς τη συχνότητα και εξάγουμε τα διαγράμματα που απεικονίζουν τη μεταβολή των S παραμέτρων σε σχέση με τη συχνότητα. Τα διαγράμματα αυτά στη προκειμένη περίπτωση αποτελούν αντικείμενο σχολιασμού και σύγκρισης με τα αντίστοιχα διαγράμματα που βγάλαμε από το MATLAB. Συγκεκριμένα χρησιμοποιήσαμε τα αποτελέσματα του παραδείγματος που ασχοληθήκαμε προηγουμένως (πίνακας ) και δημιουργήσαμε το αντίστοιχο φίλτρο στην επιφάνεια σχεδίασης του ENSEMBLE. Αφού τοποθετήσαμε το ίδιο διηλεκτρικό υλικό και επίπεδο γείωση με αυτά του παραπάνω παραδείγματος, σαρώσαμε στη περιοχή συχνοτήτων 3 έως 3GHz και είδαμε τη μεταβολή των S παραμέτρων. Σύμφωνα με το διάγραμμα μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η συχνοτική απόκριση του φίλτρου που προέκυψε κατόπιν προσομοίωσης μέσω του προγράμματος του ENSEMBLE εμφανίζει συχνοτικά χαρακτηριστικά τα οποία είναι περισσότερο επιθυμητά σε σχέση με αυτά του διαγράμματος. Αυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι ο διαχωρισμός της ζώνης διέλευσης από τη ζώνη αποκοπής είναι καλύτερος. Ο συντελεστής διέλευσης και ανάκλασης, εκτός των ορίων διέλευσης που αντιστοιχούν στις συχνότητες f,548ghz και f,65ghz, ελαττώνεται και αυξάνεται αντίστοιχα με μεγάλο ρυθμό. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, οι παρεμβολές, από συχνότητες εκτός του εύρους ζώνης, να περιορίζονται στο ελάχιστο. Παρόλο αυτά παρουσιάζονται και κάποιες αποκλίσεις τις οποίες θα αναφέρουμε παρακάτω. Συγκρίνοντας λοιπόν τη συχνοτική απόκριση του σχήματος με αυτή του σχήματος μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις για τη μεταβολή των S παραμέτρων στα διάφορα σημεία. Συγκεκριμένα για τη κεντρική συχνότητα των.6ghz ο συντελεστής διέλευσης και ανάκλαση στο διάγραμμα παίρνει τιμές -0,7dB και -0,dB αντίστοιχα, σε αντίθεση με τις τιμές του διαγράμματος ( S 0dB και S -80dB ) οι οποίες προσεγγίζουν περισσότερο την ιδανική κατάσταση. Επίσης από το διάγραμμα τα όρια διέλευσης αντιστοιχούν σε τιμές του συντελεστή διέλευση ίσες με S -,58dB για f,548ghz και S -,56dB για f,65ghz. Ωστόσο στο διάγραμμα οι παραπάνω τιμές πλησίαζαν περισσότερο τη τιμή των -3dB. Τέλος ένα άλλο μέτρο σύγκρισης των δύο διαγραμμάτων αποτελεί η τιμή εξασθένισης που ορίσαμε για δοσμένη συχνότητα. Στο πρώτο διάγραμμα όπως αναφέραμε και πριν για τη συχνότητα των,8ghz η εξασθένηση έχει τιμή περίπου 39dB. Στο διάγραμμα η εξασθένηση πλησιάζει τη τιμή των 37dB εμφανίζοντας μια μεγαλύτερη απόκλιση. Ο πίνακας με ομαδοποιημένα τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, για την περίπτωση σχεδίασης του μέσω του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB και μέσω του υπολογιστικού προγράμματος του ENSEMBLE είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ Χαρακτηριστικά Συντελεστής Διέλευσης S Φίλτρου Θεωρητ. MATLAB ENSEMBLE Τιμές Συχν. Διέλευσης S -3 db S -3 db S -.58dB f,548 GHz Συχν. Διέλευσης S -3 db S -3 db S -.56dB f,65ghz Συχν. με επιθυμητή εξασθένηση S -49dB S -39 db S -37 db (fatten,8 GHz) 59

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Στη συνέχεια σχεδιάστηκε ένα SOLR ζωνοπερατού φίλτρου το οποίο βασίζεται στη δομή του σχήματος.β. Δηλαδή αποτελείται από περιοδικά τοποθετημένους συντονισμένους δακτυλίους με αποτέλεσμα να εμφανίζεται μόνο ηλεκτρική και μαγνητική σύζευξη. Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου είδους φίλτρου παρουσιάζεται παρακάτω: Εκτελώντας το πρώτο βήμα που αφορά την εμφάνιση του παραθύρου GUI στη επιφάνεια εργασίας εισάγουμε τις τιμές που θα καθορίζουν τα χαρακτηριστικά του φίλτρου. Έτσι έχουμε: f 0.6 GHz f atten 3.6 GHz atten 45 db A m 0.7 db Ζ 0 50 Ω e r 9.8 h mm kfil (Chebyshev) type D 0.04 ( 4%) f start GHz f stop 4 GHz points 400 Τα δεδομένα εξόδου που προέκυψαν κατόπιν επεξεργασίας των τιμών που ορίσαμε προηγουμένως είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Αριθμός βρόχων Μήκος βρόχου (mm) Απόσταση s (mm) Πλάτος γραμμής (mm) 3 9.3.067 0.9359 60

Το διάγραμμα που απεικονίζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου δηλαδή τον συντελεστή διέλευσης και ανάκλασης συναρτήσει της συχνότητας είναι: Διάγραμμα 3 Συχνοτική απόκριση του φίλτρου Το παράθυρο GUI από το οποίο πήραμε όλες τις παραπάνω τιμές φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. 00 00 300 400 500 00 00 300 400 500 0-0 -40-60 -80-00.5.5 3 3.5 4 x 0 9 Σχήμα 4 Επιφάνεια εργασίας (InterfaceS) 6

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από το γράφημα 3 που εκφράζει τη συχνοτική απόκριση του φίλτρου με τη συγκεκριμένη δομή έχουμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Αρχικά σε ένα εύρος της τάξεως του 4% που ορίσαμε ο συντελεστής διέλευσης παίρνει τιμές από 0 έως -3dB ενώ ο συντελεστής ανάκλασης παίρνει πολύ χαμηλές τιμές της τάξεως των -0 db έως -90dB. Παρόλο αυτά στη κεντρική συχνότητα που μας ενδιαφέρει (f.6ghz) οι τιμές που πήραμε είναι: S 0dB, ενώ S -90dB. Επίσης τα όρια συχνοτικής διέλευσης που αντιστοιχούν στις συχνότητες f.548ghz και f.65ghz ο συντελεστής διέλευσης παίρνει την τιμή S -3dB αντίστοιχα. Ένα ακόμη χαρακτηριστικό του φίλτρου που πρέπει να σχολιαστεί είναι η τιμή της εξασθένησης των 45dB στη συχνότητα των 3,6GHz. Από το γράφημα είδαμε να επαληθεύεται αυτή η τιμή αφού για την ίδια συχνότητα η εξασθένηση έχει τιμήs -44dB Εφαρμογή παραδείγματος στο πρόγραμμα ENSEMBLE Ακολουθεί όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις η προσομοίωση του φίλτρου με τη βοήθεια ενός άλλου προγράμματος το οποίο ονομάζεται ENSEMBLE. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του πίνακα 3 σχεδιάζουμε το αντίστοιχο φίλτρο στην επιφάνεια εργασίας ENSEMBLE. Στη συνέχεια σαρώνουμε ως προς τη συχνότητα από.8 έως 3.8 GHz και βλέπουμε τη μεταβολή των S παραμέτρων. Το διάγραμμα που πήραμε και εκφράζει τη συχνοτικά απόκριση του φίλτρου είναι: 0 S S S S -0-0 Y Axis Title -30-40 -50-60,8,0,,4,6,8 3,0 3, 3,4 3,6 3,8 X Axis Title Διάγραμμα 4 Συχνοτική απόκριση του φίλτρου 6

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Όπως μπορούμε να δούμε από το παραπάνω διάγραμμα η συχνοτική απόκριση του φίλτρου που πήραμε με τη βοήθεια του προγράμματος ENSEMBLE προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την αντίστοιχη σε επίπεδο MATLAB. Συγκεκριμένα στις συχνότητες των ορίων διέλευσης, ο συντελεστής διέλευσης έχει τη τιμή S -3,7dB για f.548ghz και τιμή S -4dB για f.65 GHz. Επίσης για τη κεντρική συχνότητα εμφανίζεται μια μικρή εξασθένηση της τάξεως των -0.6dB, πράγμα το οποίο δεν συνέβαινε στη συχνοτική απόκριση μέσω MATLAB. Τέλος στη συχνότητα των 3.6GHz η εξασθένηση που πήραμε είναι 39dB, εμφανίζοντας μια μικρή απόκλιση σε σχέση με την επιθυμητή των 45dB. Ο πίνακας με ομαδοποιημένα τα συχνοτικά χαρακτηριστικά του φίλτρου, για την περίπτωση σχεδίασης του μέσω του υπολογιστικού προγράμματος MATLAB και μέσω του υπολογιστικού προγράμματος του ENSEMBLE είναι: ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Χαρακτηριστικά Φίλτρου Συχν. Διέλευσης f,548 GHz Συχν. Διέλευσης f,65ghz Συχν. με επιθυμητή εξασθένηση (fatten,8 GHz) Συντελεστής Διέλευσης S Θεωρητ. MATLAB ENSEMBLE Τιμές S -3 db S -3 db S -3.7dB S -3 db S -3 db S -4dB S -45dB S -44 db S -39dB Οι αποκλίσεις και οι διαφορές που εμφανίζονται ανάμεσα σε αυτά τα διαγράμματα μπορούν να οφείλονται από τη μεριά του MATLAB σε απλοποιήσεις εξισώσεων που κάναμε κατά τη διάρκεια του σχεδιασμού και σε στρογγυλοποιήσει πολλών τιμών κατά τη διάρκεια της επεξεργασίας, ενώ από τη μεριά του ENSEMBLE που χρησιμοποιεί μέθοδο ροπών συνυπολογίζονται φαινόμενα σύζευξης ή λαμβάνονται μη ομοιόμορφες κατανομές ρεύματος ή ακτινοβολίας, τα οποία δεν λαμβάνονται υπόψη όταν χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμοι πυκνωτές και τα πηνία που χρησιμοποιούν οι προσεγγιστικές σχέσεις. Επίσης δικά μας σφάλματα κατά τη σχεδίαση του φίλτρου στο γραφικό περιβάλλον του ensemble μπορούν να συνεισφέρουν σε ένα μικρό βαθμό στην ύπαρξη σφαλμάτων και από τη μεριά του ensemble. 63

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο [3] INTERDIGITAL CAPACITORS ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζεται μια νέα κατηγορία μικροταινιακών κυκλωμάτων, τα οποία ονομάζονται αλληλεπιδρούσες χωρητικότητες ή Interdigital Capacitors (IDC). Χρησιμοποιούνται ευρέως ως εντοπισμένα στοιχεία σε μικροκυματικά ολοκληρωμένα κυκλώματα, σε ολοκληρωμένους οπτικούς διαμορφωτές και σε οπτικοακουστικούς μετατροπείς. Με τη χρήση ενός τέτοιου κυκλώματος πετυχαίνουμε την εισαγωγή μιας χωρητικότητας C της οποίας η τιμή εξαρτάται αποκλειστικά από τις διαστάσεις και τη φύση των υλικών που χρησιμοποιούνται. Στη πορεία της εργασίας εισάγονται αναλυτικά οι εξισώσεις υπολογισμού της συνολικής χωρητικότητας ενός IDC. Ένα τυπικό κύκλωμα ενός IDC φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Αποτελείται από 7 fingers εκ των οποίων εκείνα που βρίσκονται στις δύο άκρες χαρακτηρίζονται ως εξωτερικά fingers. Τα fingers είναι επίπεδες γραμμές μεταφοράς πλάτους s και πάχους t που είναι κατάλληλα τοποθετημένες πάνω σε διηλεκτρικό υλικό και ισαπέχουν μεταξύ τους απόσταση g. Τα δύο εξωτερικά fingers είναι επίσης επίπεδες γραμμές μεταφοράς πλάτους s. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα πλάτη s και s είναι ίσα μεταξύ τους, παρόλο αυτά οι εξισώσεις που θα παραθέσουμε αναφέρονται και στη περίπτωση όπου διαφέρουν μεταξύ τους. Επίσης το πλάτος των fingers s έχει διαφορετική τιμή από το μεταξύ τους κενό g. Τέλος w ορίζουμε την τιμή του πλάτους της γραμμής όπου τερματίζουν όλα τα fingers και αναφερόμαστε στο σχήμα β ενώ όταν η τιμή του w είναι πολύ μεγάλη αναφερόμαστε στο σχήμα α. Σχήμα α Interdigital Capacitor με άπειρο w 64

Η τιμή W c παριστάνει το μήκος ενός interdigital capacitor και για n στον αριθμό fingers θα δίνεται από τη παρακάτω σχέση: W c ( ( n ) g) n ] [ s (Α) όπου n: ο αριθμός των fingers s: το πλάτος των fingers g: η απόσταση μεταξύ των fingers Σχήμα β Interdigital Capacitor με πεπερασμένο w Σχήμα γ Κάθετο επίπεδο του Interdigital Capacitor Σύμφωνα με το σχήμα.γ στο οποίο βλέπουμε το κάθετο επίπεδο ενός IDC, διαπιστώνουμε ότι αποτελείται από 3 διηλεκτρικά στρώματα με τιμές διηλεκτρικών σταθερών e e και e 3 αντίστοιχα. Οι τιμές αυτές θα πρέπει να υπακούουν στο περιορισμό e >e. Αντίστοιχα για τα ύψη των διηλεκτρικών στρωμάτων h h h 3 ισχύει h >h. Σε περίπτωση που δεν χρησιμοποιείται 3 ο διηλεκτρικό υπόστρωμα, οι μεταβλητές e 3 και h 3 θα παίρνουν τιμές: e 3 και h 3 << αντίστοιχα (αέρας). 65

Η κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου όπως και του δυναμικού των fingers για έναν IDC που αποτελείται από n>3 αριθμό fingers, φαίνεται στο σχήμα α. Αντίστοιχα για 3 και fingers η κατανομή του Η.Π φαίνεται στα σχήματα β και γ. Σχήμα α Κατανομή δυναμικού και Η.Π για n 3 Σχήμα β Κατανομή δυναμικού και Η.Π για n3 66

Σχήμα γ Κατανομή δυναμικού και Η.Π για n Η συνολική χωρητικότητα ενός κυκλώματος IDC με fingers υπολογίζεται από τις σχέσεις τις παραγράφου 5. και συμβολίζεται με C, ενώ για 3 fingers η χωρητικότητα υπολογίζεται βάση των τύπων της παραγράφου 5. και συμβολίζεται με C 3. Αντίστοιχα. για n>3 αριθμό fingers η συνολική χωρητικότητα είναι ίση με το άθροισμα της χωρητικότητας των τριών fingers (C 3 ), την χωρητικότητα που προκύπτει μεταξύ των (n-3) περιοδικών fingers (C n ) και την χωρητικότητα που υπάρχει στο άκρα των fingers (C ). Η σχέση δηλαδή με την οποία θα υπολογίζεται η συνολική χωρητικότητα στη προκειμένη περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση: C C 3 C n C () Στη συνέχεια εξηγούμε τον τρόπο με τον υπολογίζεται η συνολική χωρητικότητα για, 3 ή και παραπάνω fingers, με την αναλυτική παράθεση των αντίστοιχων εξισώσεων. Επίσης στο πειραματικό κομμάτι θα περιγράψουμε τη διαδικασία που ακολουθήσαμε για τον σχεδιασμό του συγκεκριμένου IDC με τη βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος του MATLAB. 67

5. Υπολογισμός της χωρητικότητας C 3 Σε αυτή την παράγραφο θα υπολογίσουμε την χωρητικότητα των τριών fingers (C 3 ) η οποία ισοδυναμεί και με την χωρητικότητα για περισσότερα από 3 fingers. Η διάταξη στη προκειμένη περίπτωση είναι αυτή του σχήματος 3.α. Σχήμα 3α Δομή IDC για n3 με πεπερασμένο w Αρχικά υποθέτουμε ότι το πλάτος της γραμμής w, όπου τερματίζουν όλα τα fingers, έχει πεπερασμένη τιμή. Επίσης τα πλάτη των finger s και s θεωρούμε ότι δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως η χωρητικότητα C 3 θα υπολογίζετε ως το άθροισμα των επιμέρους χωρητικοτήτων δηλαδή: C3 ( Cn0 Cn Cn Cn3) l () C n0 : Χωρητικότητα λόγω του αέρα C n : Χωρητικότητα λόγω του ου διηλεκτρικού στρώματος διηλεκτρικής σταθεράς (e -) και ύψους h C n : Χωρητικότητα λόγω του ου διηλεκτρικού στρώματος διηλεκτρικής σταθεράς (e - e ) και ύψους h C n3 : Χωρητικότητα λόγω του 3 ου διηλεκτρικού στρώματος διηλεκτρικής σταθεράς (e 3 -) και ύψους h 3. Στη προκειμένη περίπτωση το 3 ο διηλεκτρικό στρώμα μπορεί να είναι και ο αέρας. 68

69 Η τελική χωρητικότητα C 3 λοιπόν που προκύπτει δίνεται από τον παρακάτω τύπο: l k k E e C e 03 ' 03 3 0 3 4 (3) όπου l το μήκος των fingers και 3 33 3 3 3 e q e e q e q E e (3.) 03 ' 03 ' 3 3 3 k k k k q i i i για i,,3 (3.) 03 g s s s g s s g s g s s k (3.3) 03 ' 03 k k (3.) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i h g s s h s h g s s h g s h g s h s k sinh sinh sinh sinh sinh sinh 3 π π π π π π για i,,3 (3.4) και 3 ' 3 i i k k για i,,3 (3.5) Στη περίπτωση όπου πλάτη των finger s και s είναι ίσα μεταξύ τους τότε στις παραπάνω σχέσεις αντικαθιστούμε ss.

Όταν το πλάτος της γραμμής w, όπου τερματίζουν όλα τα fingers, έχει πολύ μεγάλη τιμή, τότε αναφερόμαστε στη διάταξη του σχήματος 3.β και οι προηγούμενοι τύποι παίρνουν την ακόλουθη μορφή: Σχήμα 3β Δομή IDC για n3 με άπειρο w όπου ' k30 C3 4 e0 E e3 l (4) k 30 e e e e3 E e 3 q3 q3 q33 (4.) ' k i3 k03 qi 3 ' ki3 k03 για i,,3 (4.) s k03 s g (4.3) k i3 k k (4.4) ' 03 03 π s sinh hi π sinh hi ' i3 ki3 ( s g) για i,,3 (4.5) k για i,,3 (4.6) Επισημαίνεται ότι στη προκειμένη περίπτωση όπου η τιμή του w είναι πολύ μεγάλο, η διάταξη δεν είναι εφικτή λόγω αδυναμίας υλοποίησης της. 70

7 5. Υπολογισμός της χωρητικότητας C Ο υπολογισμός της χωρητικότητας όταν έχουμε έναν IDC με fingers διαφέρει από αυτόν με 3 fingers. Λαμβάνοντας υπόψη το σχήμα 3.γ, όπου απεικονίζει έναν ασύμμετρο IDC με τις τιμές των μεγέθη s, s και g να διαφέρουν μεταξύ τους. Σχήμα 3γ Δομή ασύμμετρου IDC για n Ο υπολογισμό της τελικής χωρητικότητας C α γίνεται με τη παρακάτω διαδικασία: l k k E e C a a a e a ' 0 (5) όπου 3 3 e q e e q e q E a a a a e (5.) a a a i a i a i k k k k q 0 ' 0 ' για i,,3 (5.) g s s g s s k a 0 (5.3) 0 ' 0 a a k k (5.4) ( ) ( ) i i i i a i h g s h s h g s h s k sinh sinh sinh sinh π π π π για i,,3 (5.5) ' a i a i k k για i,,3 (5.6)

7 Αντίστοιχα για την περίπτωση ενός συμμετρικού IDC, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.δ, η λογική πορεία υπολογισμού τη ολικής χωρητικότητας C s είναι: Σχήμα 3δ Δομή συμμετρικού IDC για n l k k E e C s s s e s 0 ' 0 0 (6) όπου 3 3 e q e e q e q E s s s s e (6.) ' 0 ' s s o s i s i s i k k k k q για i,,3 (6.) s g g k s 0 (6.3) 0 ' 0 s s k k (6.4) ( ) i i i h s g h s k sinh sinh π π για i,,3 (6.5) ' a i a i k k για i,,3 (6.6)

73 5.3 Χωρητικότητα μεταξύ των fingers (C n ) Για τον υπολογισμό της τελικής χωρητικότητας ενός IDC με αριθμό fingers μεγαλύτερο του 3 χρειάζεται να υπολογιστεί, εκτός από την χωρητικότητα C 3 που ορίσαμε πριν και την χωρητικότητα C n που δημιουργείται μεταξύ των n-3 περιοδικών fingers (όπου n ο συνολικός αριθμός των fingers), και τέλος την χωρητικότητα στα άκρα των fingers (C ). Ας ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό της χωρητικότητας C n. Στη προκειμένη περίπτωση όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις η χωρητικότητα θα προκύπτει ως το άθροισμα των επιμέρους χωρητικοτήτων C n0, C n, C n, C n3 που αφορούν τον αέρα και τα 3 διηλεκτρικά στρώματα ύψους h h h 3 και διηλεκτρικών σταθερών (e -) (e - e ) και (e 3 -) αντίστοιχα. Οι σχέσεις υπολογισμού της χωρητικότητας C n είναι: ( ) l k k E e n C en n ' 0 0 3 3 (7) όπου 3 3 Ε e q e e q e q n n n en (7.) 0 ' 0 ' k k k k q in in in για i,,3 (7.) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i in h g s h s h g s h g s h g s h s k sinh cosh sinh cosh sinh sinh π π π π π π για i,,3 (7.3) ' in in k k για i,,3 (7.4)

5.4 Χωρητικότητα στα άκρα των fingers (C ) Αντίστοιχα ο υπολογισμός της χωρητικότητας στα άκρα των fingers είναι πιο περίπλοκος. Συγκεκριμένα για μεγάλου μήκους fingers δηλαδή ισχύει ο περιορισμός l >> και εφόσον ασχολούμαστε πάντα με n 3 αριθμό fingers, ο υπολογισμός της s χωρητικότητας C δεν κρίνεται αναγκαίος καθώς το σφάλμα της υπολογιζόμενης τελικής χωρητικότητας είναι αμελητέο. Σε αντίθετη περίπτωση η χωρητικότητας C υπολογίζεται ως εξής: Βασισμένοι στο σχήμα που ακολουθεί το οποίο απεικονίζει το τελικό μέρος ενός finger, διαπιστώνουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι πολύπλοκο και για τον υπολογισμό του χρειάζεται μια συγκεκριμένη μεθοδολογία. Για αυτό λοιπόν υποθέτουμε μια συμμετρική κατανομή Η.Π κοντά στο τέλος του finger και δυο μη συμμετρικές κατανομές στα άκρα του (γραμμοσκιαζόμενο μέρος). Τοποθετώντας λοιπόν ένα εικονικό μαγνητικό τοίχος σε απόσταση x από το τέλος του finger μπορούμε να υπολογίσουμε τη χωρητικότητα C ως το μισό της χωρητικότητας των τριών fingers C 3 που υπολογίσαμε πριν. Επίσης υποθέτουμε ότι τα εξωτερικά fingers έχουν πλάτος s w και το κεντρικό πλάτους s x, το οποίο απέχει από τα υπόλοιπα απόσταση ίση με g. Σχήμα 4 Μοντέλο του άκρου ενός finger 74

75 Κατόπιν υπολογισμών η χωρητικότητα C θα δίνεται από τη σχέση: ( ) ' 0 0 4 o e k k E e s n C π (8) όπου 3 3 e q e e q e q E e (8.) ( ) ( ) o g w x x g w x g x g x x k (8.) Για τη περίπτωση όπου το πλάτος της γραμμής w, όπου τερματίζουν όλα τα fingers, έχει πολύ μεγάλη τιμή, τότε οι προηγούμενοι τύποι παίρνουν την ακόλουθη μορφή: ( ) ' 0 0 4 o e k k E e s n C π (9) όπου 3 3 e q e e q e q E e (9.) i i i k k k k q 0 ' 0 ' για i,,3 (9.) o g x x k (9.3) ( ) i i i h g x h s k sinh sinh π π για i,,3 (9.4)

5.5 Πορεία Προγραμματισμού σε Περιβάλλον Matlab Συνέχεια της θεωρητικής εισαγωγής αποτελεί ο σχεδιασμός του Interdigital capacitor σε περιβάλλον MATLAB. Για να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο η λογική πορεία που ακολουθήσαμε είναι η εξής: Στη προκειμένη περίπτωση που μελετάμε θέλουμε να κατασκευάσουμε έναν IDC ο οποίος βασίζεται στη θεωρεία που αναλύσαμε προηγουμένως και να είναι υλοποιήσιμος. Για αυτό το λόγο θα δείξουμε ιδιαίτερο προσοχή στις διαστάσεις και στα υλικά από τα οποία αποτελείται. Όπως γνωρίζουμε ένας IDC αποτελείται από ή 3 ή n>3 αριθμό fingers. Στο παράδειγμά μας θα ασχοληθούμε και με τις τρεις περιπτώσεις, παίρνοντας ως αναφορά τη δομή του IDC που απεικονίζεται στο σχήμα.γ. Επίσης υπενθυμίζουμε ότι με τη χρήση ενός IDC πετυχαίνουμε την εισαγωγή χωρητικότητας σε ένα μικροκυματικό κύκλωμα. Θεωρώντας λοιπόν γνωστή αυτή τη τιμή χωρητικότητας, θα βρούμε σύμφωνα με τις εξισώσεις της θεωρίας τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά που θα έχει ο IDC και αναφερόμαστε κυρίως στις διαστάσεις του όπως μήκος l και πλάτος w των fingers και τέλος μεταξύ τους απόσταση s. Το μήκος W c του IDC, οι τιμές του ύψους του υποστρώματος h, h, h 3, όπως και οι διηλεκτρικές σταθερές e, e, e 3, θα είναι επίσης γνωστές και θα εισάγονται εξαρχής ως δεδομένα εισόδου. ο βήμα: Αρχικά όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, με τη βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος του MATLAB, δημιουργούμε ένα εικονικό περιβάλλον χρήστη (Interface) το οποίο και θα καλεί ο χρήστης στην επιφάνεια εργασίας μέσω πληκτρολόγησης του ονόματος InterfaceΒ. Το παράθυρο επομένως που θα ανοίξει θα αποτελείται από δυο μέρη:. Τα δεδομένα εισόδου αφορούν τα χαρακτηριστικά της διάταξης και είναι: e : Διηλεκτρική σταθερά του ου στρώματος h : Ύψος του ου στρώματος (mm) e : Διηλεκτρική σταθερά του ου στρώματος h : Ύψος του ου στρώματος (mm) e 3 : Διηλεκτρική σταθερά του 3 ου στρώματος. Για τη περίπτωση όπου το τρίτο διηλεκτρικό είναι ο αέρας τότε e 3. h 3 : Ύψος του 3 ου στρώματος (mm). Επίσης για αέρα h 3 << W c : Το μήκος του IDC (mm) C α : Η τιμή της χωρητικότητας που θέλουμε να πετύχουμε (pf) n: Ο αριθμός των fingers πού αποτελείται ο IDC. Σε αυτή τη περίπτωση οι επιλογές που έχουμε είναι τρεις. Για IDC με fingers επιλέγουμε n, για IDC με 3 fingers επιλέγουμε n3 και για τη περίπτωση που έχουμε n>3 επιλέγουμε n4. Στη τελευταία περίπτωση ο αριθμός των fingers, από τα οποία θα αποτελείται ο IDC, δίνεται στο αντίστοιχο πεδίο των δεδομένων εξόδου.( η τιμή n4 δεν σημαίνει ότι έχουμε 4 fingers αλλά ο IDC αποτελείται από n>3 fingers.) 76

. Τα δεδομένα εξόδου έχουν σχέση μόνο με τις διαστάσεις του IDC. Στη προκειμένη περίπτωση είναι: Το μήκος του κάθε finger l (mm) Το πλάτος του finger s (mm) Η απόσταση μεταξύ των fingers g (mm) Ο τελικός αριθμός fingers για τη περίπτωση που έχουμε n>3. Η τελική χωρητικότητα C t που θα έχει ο IDC με τις παραπάνω διαστάσεις. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η C t δεν θα πρέπει να διαφέρει σημαντικά από την αρχική χωρητικότητα C α. ο βήμα: Σε αυτό το στάδιο εισάγουμε τι τιμές των δεδομένων εισόδου και εκτελώντας την εντολή RUN το πρόγραμμα υπολογίζει τις διαστάσεις του IDC. Θα πρέπει όμως αρχικά να ορίσουμε τον αριθμό των fingers όπου θα αποτελείται ο IDC, αφού για κάθε περίπτωση το πρόγραμμα θα καλεί και μια διαφορετική συνάρτηση. Οι συναρτήσεις είναι:. capacitfing.m για n. capacit3fing.m για n3 3. capacitnfing.m για n>3. Ας αρχίσουμε από τη πρώτη περίπτωση δηλαδή n. Εφόσον ορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών των δεδομένων εισόδου το πρόγραμμα θα προχωρήσει στο κώδικα ο οποίος είναι οργανωμένος ως εξής: θεωρούμε ότι ο IDC αποτελείται από συμμετρικά fingers οπότε υπολογίζουμε την τελική χωρητικότητα C t βάση της σχέσης (6). Η χωρητικότητα αυτή όμως προκύπτει ύστερα από αντικατάσταση των τύπων (6.) έως (6.6), οι οποίοι περιέχουν τις μεταβλητές s, g και l οι οποίες είναι και οι ζητούμενες. Επομένως βρίσκουμε μια χωρητικότητα C t η οποία είναι συναρτήσει των παραπάνω μεταβλητών. Στις αρχές της σχεδίασης όμως δεχτήκαμε ότι είναι γνωστή η τιμή της χωρητικότητας C t και την ορίσαμε ως C α. Εξισώνοντας λοιπόν αυτές τις δυο τιμές δηλαδή C t - C α <0.08 C t και μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας υπολογίζουμε τις τιμές s, g και l για τις οποίες ισχύει η προηγούμενη ανισότητα.. Για τη περίπτωση όπου επιθυμούμε ο IDC να αποτελείται από 3 fingers η διαδικασία υπολογισμού των διαστάσεων αλλάζει καθώς το πρόγραμμα καλεί άλλη συνάρτηση. Στη προκειμένη περίπτωση η τελική χωρητικότητα θα ισούται με τη χωρητικότητα λόγω των τριών fingers C 3. Η C 3 για πεπερασμένο w υπολογίζεται σύμφωνα με το τύπο (3) ο οποίος προκύπτει ύστερα από αντικατάσταση των σχέσεων (3.) έως (3.5). Οι παραπάνω σχέσεις είναι συναρτήσει των μεταβλητών s,g και l και αυτό σημαίνει ότι και η τελική χωρητικότητα C t θα είναι επίσης συναρτήσει των s,g και l. Εξισώνοντας λοιπόν τη τιμή C t μα την αντίστοιχη γνωστή C α (δηλαδή C t - C α <0.08 C t ), υπολογίζουμε τις τιμές s, g και l για τις οποίες ισχύει η αυτή η ανισότητα. 77

3. Η τρίτη και τελευταία περίπτωση έχει να κάνει με τον υπολογισμό των διαστάσεων ενός IDC ο οποίος αποτελείται από n στον αριθμό fingers. Στη προκειμένη περίπτωση δεν γνωρίζουμε εξαρχής ποιος θα είναι ο αριθμός n αλλά θα βρεθεί κατόπιν υπολογισμών. Εισάγοντας έτσι τις τιμές των μεγεθών h, h, h 3, e, e, e 3, θα υπολογίσουμε τη τελική χωρητικότητα C t η οποία θα ισούται με το άθροισμα της χωρητικότητας λόγω των τριών fingers C 3 και της χωρητικότητας που προκύπτει μεταξύ των fingers C n. Δηλαδή θα είναι ίση με το άθροισμα: C t C 3 C n Θεωρήσαμε ότι η χωρητικότητα C είναι πολύ μικρή και για αυτό δεν τη λάβαμε υπόψη στους υπολογισμούς μας. Η C 3 για πεπερασμένο w υπολογίζεται σύμφωνα με το τύπο (3) ο οποίος προκύπτει ύστερα από αντικατάσταση των σχέσεων (3.) έως (3.5). Επίσης η χωρητικότητα C n υπολογίζεται βάση του τύπου (7) ο οποίος προκύπτει ύστερα από αντικατάσταση των σχέσεων (7.) έως (7.4) στον παραπάνω. Και στις δύο περιπτώσεις οι χωρητικότητες C 3 και C n είναι συναρτήσει των μεταβλητών s,g και l και αυτό σημαίνει ότι και η τελική χωρητικότητα C t θα είναι επίσης συναρτήσει των s,g και l. Επίσης η C t θα είναι συναρτήσει και του αριθμού n των fingers λόγω της C n. Εξισώνοντας λοιπόν τη τιμή C t με την αντίστοιχη γνωστή C α ( C t - C α <0.3 C t ), υπολογίζουμε τις τιμές s, g, l και n για τις οποίες ισχύει η αυτή η ανισότητα. 3 ο βήμα: Επίσης βάση των παραπάνω τιμών s, g, l και n που βρήκαμε υπολογίζουμε και την τελική χωρητικότητα C t που θα έχει ο IDC και απαραίτητη προϋπόθεση είναι η τιμή της να μην διαφέρει σημαντικά από την τιμή C α. 4 ο βήμα: Σε αυτό το στάδιο οι τιμές s και g που υπολογίσαμε πολλαπλασιάζονται με τη τιμή αφού σύμφωνα με το σχήμα το πλάτος και η απόσταση των fingers είναι s και g αντίστοιχα. 78

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Στο παράδειγμα που ακολουθεί κάναμε εφαρμογή όλη τη παραπάνω θεωρεία που αναφέραμε. Συγκεκριμένα αφού τρέξαμε το πρόγραμμα MATLAB πληκτρολογήσαμε InterfaceB και αυτομάτως εμφανίστηκε στην οθόνη το παράθυρο που θα εργαστούμε. Η πρώτη ενέργεια είναι η εισαγωγή των τιμών των δεδομένων εισόδου. Στη συνέχεια εκτελώντας την εντολή RUN υπολογίσαμε τις διαστάσεις του IDC που αποτελούν τα δεδομένα εξόδου. Αξίζει να σημειώσουμε ότι το παράδειγμα αφορά έναν IDC με 3 fingers οπότε και το πρόγραμμα θα καλέσει τη συνάρτηση capacit3fing. Οι τιμές των δεδομένων εισόδου και εξόδου βρίσκονται στο πίνακα και αντίστοιχα. ΠΙΝΑΚΑΣ Διηλεκτρική σταθερά Ύψος διηλεκτρικού Input Parameters Αρχική Χωρητ/τα Μήκος IDC (mm) Αριθμός fingers ο e.5 h 3.7 mm ο e h.7mm 3 ο e 3 (αέρας) h 3 0.000mm C α 0,046pF W c 5mm n3 ΠΙΝΑΚΑΣ Output Parameters Μήκος finger Πλάτος finger Απόσταση fingers Τελική Χωρητ/τα l.6mm w.6mm s0.mm C t 0.046888 pf Το παράθυρο όπου εισάγαμε τους παραμέτρους εισόδου και εξόδου απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα και αποτελεί το παράθυρο GUI: 79

50 00 50 00 50 300 350 400 450 00 00 300 400 500 Σχήμα 5 GUI (Graphical User Interface) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Το δεύτερο παράδειγμα με το οποίο θα ασχοληθούμε αφορά τη σχεδίαση ενός IDC ο οποίος θα αποτελείται από n>3 αριθμό fingers. Ο ακριβής αριθμός n θα προσδιοριστεί έπειτα κάποιων υπολογισμών. Στη προκειμένη περίπτωση το πρόγραμμα θα καλέσει τη συνάρτηση capacitnfing και επομένως θα έχουμε τους πίνακες με τα αντίστοιχα δεδομένα εισόδου και εξόδου. Επίσης αξίζει να σημειώσουμε ότι σε αυτό το παράδειγμα το 3 ο διηλεκτρικό δεν είναι ο αέρα όπως πριν άλλα έχει τιμές οι οποίες είναι συγκρίσιμες. Οι τιμές των δεδομένων εισόδου και εξόδου βρίσκονται στο πίνακα και 3 αντίστοιχα. ΠΙΝΑΚΑΣ Διηλεκτρική σταθερά Ύψος διηλεκτρικού Input Parameters Αρχική Χωρητ/τα Μήκος IDC (mm) Αριθμός fingers ο e 6 h 5.8 mm ο e 4 h 3.8mm 3 ο e 3.8 h 3.5mm C α 0.06pF W c 8mm n4 80

ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Output Parameters Μήκος finger Πλάτος finger Αριθμός finger Απόσταση fingers Τελική Χωρητ/τα l0.84mm w.04mm n7 s0.mm C t 0.060794 pf Το παράθυρο όπου εισάγαμε τους παραμέτρους εισόδου και εξόδου απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα και αποτελεί το παράθυρο GUI: 50 00 50 00 50 300 350 400 450 00 00 300 400 500 Σχήμα 6 GUI (Graphical User Interface 8