τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

Νίκος Τάσος Μαθηματικά Θετικων Σπουδων και Σπουδων Οικονομιας & Πληροφορικης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α τόμος

Στη μνήμη του Γιάννη και της Κικής Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της Γ Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη των Μαθηματικών, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συνάδελφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από παραδείγματα και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα), οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας.

ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος», οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος των περισσότερων ενοτήτων υπάρχουν φύλλα αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν επαναληπτικά θέματα δομημένα με τέτοιον τρόπο, ώστε ο μαθητής να κάνει μία ολοκληρωμένη επανάληψη λίγο πριν από τις Πανελλήνιες Εξετάσεις και ο συνάδελφος εκπαιδευτικός να έχει μία σημαντική τράπεζα θεμάτων. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των φύλλων αξιολόγησης. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει τον στόχο της, παραδίδουμε το παρόν πόνημα στην αυστηρή κρίση των μαθητών και των συνάδελφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc., Μ.Α., Ph.D.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 11 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 14 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 8 Ερωτήσεις κατανόησης... 31. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 33 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 4 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 60 Ερωτήσεις κατανόησης... 66 Φύλλο αξιολόγησης... 67 3. ΙΣΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΘΕΣΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 69 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 7 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 98 Ερωτήσεις κατανόησης... 105 Φύλλο αξιολόγησης... 107 4. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 109 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 11 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 131 Ερωτήσεις κατανόησης... 138 Φύλλο αξιολόγησης... 139 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ «1 1» Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 141 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 143 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 15 6. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 155 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 157 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 171 Ερωτήσεις κατανόησης... 176 Φύλλο αξιολόγησης... 177 7. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ I Εισαγωγικές έννοιες συναρτήσεων... 179 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΑ 8. ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 185 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 191 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 18 Ερωτήσεις κατανόησης... 5 9. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 7 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 9 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 49 Ερωτήσεις κατανόησης... 56 Φύλλο αξιολόγησης... 57 10. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 0 Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 59 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 6 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 80 Ερωτήσεις κατανόησης... 84 11. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 85 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 88 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 33 Ερωτήσεις κατανόησης... 33 Φύλλο αξιολόγησης... 333 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ II Συναρτήσεις Όρια... 335 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΣΥΝΕΧΕΙΑ 13. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 341 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 346 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 373 Ερωτήσεις κατανόησης... 380 Φύλλο αξιολόγησης... 381 14. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 383 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 386 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 409 Ερωτήσεις κατανόησης... 418

15. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO I Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 419 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 40 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 48 16. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO II Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 431 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 436 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 444 Ερωτήσεις κατανόησης... 447 Φύλλο αξιολόγησης... 449 17. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ III Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια... 451 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ (ΜΕΡΟΣ 1ο) 18. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 457 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 463 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 498 Ερωτήσεις κατανόησης... 507 Φύλλο αξιολόγησης... 509 19. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ I Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 511 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 51 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 541 Ερωτήσεις κατανόησης... 545 0. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ II Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 547 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 551 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 571 Ερωτήσεις κατανόησης... 576 Φύλλο αξιολόγησης... 577 1. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 579 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 583 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 608 Ερωτήσεις κατανόησης... 617. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 619 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 61 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 640 Φύλλο αξιολόγησης... 647 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ... 649 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 719

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1 1 η εν ν ο ι α τη ς σ υ ν α ρ τ η σ η ς θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα μη κενό υποσύνολο Α του ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα μη κενό υποσύνολο Α του ονομάζουμε μία διαδικασία (έναν κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο y. A x f y f(a) Συμβολικά: σχόλια f: A ή x f y = f(x) i. Η συμβολική αναπαράσταση του ορισμού της πραγματικής συνάρτησης είναι: Για κάθε x 1, x A ισχύει: f(x 1 ) f(x ), τότε x 1 x ή ισοδύναμα Για κάθε x 1, x A ισχύει: x 1 = x, τότε f(x 1 ) = f(x ) ii. Στην αντιστοίχιση: x f y = f(x) το x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y = f(x) ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. iii. Το y = f(x) ονομάζεται τύπος της συνάρτησης ή εικόνα του x ή τιμή της f στο x. iv. Για την ανεξάρτητη μεταβλητή μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα εκτός από το x χωρίς να δημιουργούμε προβλήματα στον ορισμό της. Για παράδειγμα, ο τύπος f(x) = x 3 x + 7 και ο τύπος g(t) = t 3 t + 7 εκφράζουν την ίδια συνάρτηση. 11

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ i. Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y = f(x); ii. Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: A με τύπο y = f(x); Απάντηση i. Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος y = f(x) ονομάζουμε το «ευρύτερο» υποσύνολο του, στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση f(x). Συμβολικά: A = {x / f(x) } ii. Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α ονομάζουμε το σύνολο όλων των στοιχείων του που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός τουλάχιστον στοιχείου του Α και συμβολίζουμε με f(a). Συμβολικά: f(a) = {y / υπάρχει ένα τουλάχιστον x A τέτοιο, ώστε: y = f(x)} Με τη βοήθεια βελοδιαγράμματος έχουμε τα παρακάτω: A f(a) Είναι φανερό ότι ένα στοιχείο y του δεν είναι υποχρεωτικά η εικόνα κάποιου στοιχείου x του Α. σχόλια i. Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται γενικότερα με D f. ii. Αξίζει να προσέξουμε ότι: Η έκφραση: «Δίνεται συνάρτηση f: A» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α. Η έκφραση: «Δίνεται η συνάρτηση f: A Β» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α και το σύνολο τιμών της f(a) είναι υποσύνολο του Β. Δηλαδή f(a) B. 1

Η έκφραση: «Δίνεται η συνάρτηση y = f(x), x A» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α. 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii. Παρακάτω σε αυτό το βιβλίο (όπως άλλωστε και στο σχολικό βιβλίο) θα ασχολούμαστε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. iv. Λέγοντας ότι η f είναι ορισμένη στο σύνολο Β, εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού A της f. v. Η αντιστοίχιση από το σύνολο Α στο σύνολο Β μπορεί να γίνεται με περισσότερες από μία διαδικασίες. Τότε η συνάρτηση περιγράφεται με περισσότερους από έναν τρόπους. Για παράδειγμα: A 1 f(x) = x² x < 0 4 1 f(x) = 3x + 1 7 3 x 0 10 Η παραπάνω αντιστοίχιση περιγράφεται από τη συνάρτηση με τύπο: f(x) = { x, x < 0 3x + 1, x 0 Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται πολλαπλού τύπου ή κλαδωτές. 3 Πότε μια συνάρτηση f έχει οριστεί πλήρως; Απάντηση Για να οριστεί πλήρως μια συνάρτηση f, αρκεί να δοθούν: το πεδίο ορισμού της Α και η τιμή της f(x) για κάθε x A. 13

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ μεθοδολογίες εφαρμογές Κατηγορία 1 Ασκήσεις στις οποίες αναπτύσσονται βασικές έννοιες συναρτήσεων. Μέθοδος Εφαρμόζουμε τις βασικές έννοιες που αναπτύξαμε στη θεωρία. Οι ασκήσεις της κατηγορίας αυτής συνήθως χρειάζονται κάποιες αντικαταστάσεις για να επιλυθούν. 1.1 Εφαρμογή i. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, ώστε να είναι συνάρτηση η σχέση: f(x) = { x 6, x λ 4λ + 7 x + 4, x λ + λ 1 ii. Για λ = 3, α. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = f(1) f(13) + f(14) β. να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3. Λύση i. Για να έχει η f νόημα συνάρτησης πρέπει οι δύο τύποι της σχέσης να μην ορίζονται σε κοινό διάστημα, διότι θα υπήρχε ο «κίνδυνος» για δύο ίδιες τιμές του x να αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιμές της f. Πρέπει: λ 4λ + 7 λ + λ 1 λ 6λ + 8 0 λ 4 Επειδή λ και λ [, 4] βρίσκουμε ότι: λ = ή λ = 3 ή λ = 4 Για λ = ο τύπος της f γράφεται: f(x) = { x 6, x 7 x + 4, x 7 Για x = 7 ο πρώτος τύπος δίνει f(7) = 1 και ο δεύτερος τύπος f(7) = 18. Άρα η τιμή λ = απορρίπτεται. Για λ = 3 ο τύπος της f γράφεται: x 6, x 13 f(x) = { x + 4, x 14 Η τιμή λ = 3 είναι δεκτή, διότι δεν υπάρχει κοινή τιμή του x και στους δύο τύπους. 14

Για λ = 4 ο τύπος της f γράφεται: x 6, x 3 f(x) = { x + 4, x 3 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για x = 3 ο πρώτος τύπος δίνει f(3) = 17 και ο δεύτερος f(3) = 50. Άρα η τιμή λ = 4 απορρίπτεται. ii. α. Για λ = 3 ο τύπος της f είναι: x 6, x 13 f(x) = { x + 4, x 14 Τότε: Άρα: β. Είναι: Αν x 13, τότε: Αν x 14, τότε: f(1) = 1 6 = 6, f(13) = 13 6 = 7 και f(14) = 14 + 4 = 3 A = 6 7 + 3 = 4 f(x) = 3 x 6 = 3 x = 9, δεκτή f(x) = 3 x + 4 = 3 x = 1 x = 1 η οποία απορρίπτεται, διότι πρέπει x 14. Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης. Μέθοδος Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με γνωστό τύπο θέτουμε τους εξής περιορισμούς: i. Οι παρονομαστές, αν υπάρχουν, πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός. ii. Οι υπόρριζες ποσότητες, αν υπάρχουν, πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός. iii. Αν έχουμε παραστάσεις της μορφής o g α f(x) ή nf(x), τότε πρέπει f(x) > 0. iv. Αν υπάρχει παράσταση o g g(x) f(x), θα πρέπει f(x) > 0, g(x) > 0 και g(x) 1. v. vi. Αν έχουμε παράσταση της μορφής εφf(x), τότε θα πρέπει: f(x) κπ + π, κ Αν έχουμε παράσταση της μορφής σφf(x), τότε πρέπει f(x) κπ, κ. 15

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνοπτικά έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Τύπος Περιορισμοί f(x) = h(x) g(x) g(x) 0 f(x) = ν g(x), ν *, ν g(x) 0 f(x) = ng(x) g(x) > 0 f(x) = o g g(x) h(x) h(x) > 0, g(x) > 0 και g(x) 1 f(x) = εφ[g(x)] f(x) = σφ[g(x)] g(x) κπ + π, κ g(x) κπ, κ Τονίζουμε ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το. x Η συνάρτηση f(x) = e έχει πεδίο ορισμού το. Κατά την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί να χρειαστεί συνδυασμός των προηγουμένων. 1. Εφαρμογή Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x + 1 i. f(x) = x 4x + 3 + 1 x ii. f(x) = x 1 iii. f(x) = n(3 x) i. Πρέπει: Για τον περιορισμό (1) έχουμε: Λύση x 4x + 3 0 (1) και x 0 () Δ = ( 4) 4 3 = 16 1 = 4 και { x 1, = ( 4) ± 4 1 = 4 ± = 4 + = 3 4 = 1 Άρα πρέπει x 1 και x 3. Για τον περιορισμό () βρίσκουμε: x (x και x ) Τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι: D f = {, 1,, 3} 16

ii. Πρέπει: x 1 0 x 1 x 1 (x 1 ή x 1) Τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι: D f = (, 1] [1, + ) iii. Πρέπει: 3 x > 0 x < 3 Τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι: D f = (, 3) 1.3 Εφαρμογή 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x + 1 i. f(x) = ημx 1 ii. f(x) = 1 + x x 7 x + 1 iii. f(x) = 4 x 4 x + 3 i. Πρέπει: Λύση ημx 1 0 ημx 1 ημx ημx ημ π 4 { x κπ + π { 4 κπ + π π 4, κ x κπ + π 4 κπ + 3π, κ 4 Τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι: D f = { κπ + π 4, κπ + 3π 4 }, κ ii. Πρέπει: x 7 x + 1 0 x 7 x + 1 0 (1) Θέτουμε στην (1) x = y. Τότε η (1) γράφεται: y 7y + 1 0 (y 3 ή y 4) Επομένως: ( x 3 ή x 4) ( 3 x 3 ή x 4 ή x 4) iii. Πρέπει: (1 + x 4 0 (1) και x 4 x + 3 0 ()) Η (1) ισχύει για κάθε x. Η () γράφεται: x 4 x + 3 0 (3) Θέτουμε x = y (*). Τότε η (3) γράφεται: y 4y + 3 0 17

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Είναι: { Δ = ( 4) 4 3 = 16 1 = 4 και y 1, = ( 4) ± 4 1 = 4 ± = 4 + = 3 4 = 1 Συνεπώς πρέπει (y 1 και y 3). Αντικαθιστώντας στην (*) βρίσκουμε: ( x 1 και x 3) (x ±1 και x ±3) Τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι: D f = { 3, 1, 1, 3} 1.4 Εφαρμογή Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: e i. f(x) = x n(9 x ) ii. f(x) = 3 10 x 1 + n(x + ) i. Πρέπει: Λύση (x 0 (1) και 9 x² > 0 () και n(9 x²) 0 (3)) (1) x () x² < 9 x < 3 3 < x < 3 (3) n(9 x²) n1 9 x² 1 x² 8 x ± 8 Συναληθεύοντας τους παραπάνω περιορισμούς βρίσκουμε: 3 8 8 3 + D f = [, 8 ) ( 8, 3) ii. Πρέπει: (10 x 0 (1) και x + > 0 () και 1 + n(x + ) 0 (3)) (1) x 10 () x > (3) n(x + ) 1 x + e 1 x e 1 Συναληθεύοντας τους παραπάνω περιορισμούς βρίσκουμε: e 1 10 + D f = (, e 1 ) (e 1, 10] 18

μεθοδολογικό σχόλιο 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν ο τύπος της συνάρτησης είναι παραμετρικός και ζητείται ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, τότε χρειάζεται να διακρίνουμε περιπτώσεις για την παράμετρο. 1.5 Εφαρμογή Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο: x + 3 f(x) = (λ 1) x + (λ + 1)x + λ + 3 για τις διάφορες τιμές του λ. Αν λ = 1, ο τύπος της f γράφεται: Τότε πρέπει: Άρα D f = { 1}. Λύση f(x) = x + 3 4x + 4 4x + 4 0 4x 4 x 1 Αν λ 1, τότε πρέπει: Είναι: (λ 1) x + (λ + 1)x + λ + 3 0 Δ = 4(λ + 1 ) 4(λ 1)(λ + 3) = 16, { x 1, = (λ + 1) ± 16 λ + (λ 1) 1 = (λ 1) = λ 6 { λ + 3 (λ 1) 1 λ Άρα D f = { 1, λ + 3 1 λ }, λ {1}. μεθοδολογικό σχόλιο Αν αναζητούμε τις τιμές της παραμέτρου λ ώστε μια παραμετρική συνάρτηση f να έχει πεδίο ορισμού το, τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Περίπτωση 1η Η συνάρτηση f έχει τύπο: f(x) = g(x) h(x, λ) Πρέπει h(x, λ) 0. Το h(x, λ) είναι συνήθως ένα δευτεροβάθμιο ως προς x παραμετρικό πολυώνυμο. Για να είναι λοιπόν h(x, λ) 0 για κάθε x, πρέπει το τριώνυμο να έχει αρνητική διακρίνουσα. Η συνθήκη Δ < 0 μας οδηγεί στην εύρεση της παραμέτρου λ. 19

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 0 Περίπτωση η Η συνάρτηση f έχει τύπο: f(x) = h(x, λ) Πρέπει h(x, λ) 0. Το h(x, λ) είναι συνήθως ένα δευτεροβάθμιο ως προς x παραμετρικό πολυώνυμο με μορφή α(λ)x + β(λ)x + γ(λ). Για να είναι λοιπόν h(x, λ) 0 για κάθε x, πρέπει να ισχύει Δ 0 και α(λ) > 0. Όμοια αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση f(x) = n[h(x, λ)]. 1.6 Εφαρμογή Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε οι f που δίνονται να έχουν πεδίο ορισμού το. x 7 i. f(x) = 4 x 8λx + λ + λ + 3 ii. f(x) = (λ 1) x + λx + λ + 1 Λύση i. Πρέπει: 4 x 8λx + λ + λ + 3 0, για κάθε x Άρα η διακρίνουσα θα πρέπει να είναι αρνητική. Δηλαδή: ii. Πρέπει: Επομένως πρέπει: Ισοδύναμα βρίσκουμε: Δ < 0 ( 8λ)² 4 4 (λ² + λ + 3) < 0 64λ² 3λ² 16λ 48 < 0 3λ² 16λ 48 < 0 λ² λ 3 < 0 (λ + 1)(λ 3) < 0 1 < λ < 3 (λ 1) x + λx + λ + 1 0, για κάθε x (Δ 0 και λ 1 > 0) (Δ 0 και λ 1 > 0) (λ² 4(λ 1)(λ + 1) 0 και λ > 1) (λ² 4λ² + 4 0 και λ > 1) ( 3λ² + 4 0 και λ > 1) 3 ή λ 3 και λ > 1 ) λ 3 λ 3 3 ( λ² 4 3 και λ > 1 ) ( λ μεθοδολογικό σχόλιο Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στις παρακάτω περιπτώσεις: x ν, όπου ν ανήκει στους αρνητικούς ακεραίους. Τότε πρέπει x 0. x ν, όπου ν ανήκει στους θετικούς ρητούς. Τότε πρέπει x 0. x ν, όπου ν ανήκει στους αρνητικούς ρητούς. Τότε πρέπει x > 0.

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.7 Εφαρμογή Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. f(x) = x 3 ii. f(x) = x 1 3 iii. f(x) = x 1 4 i. Ο τύπος της f γράφεται: Πρέπει επομένως x 0. Άρα D f = *. Λύση f(x) = 1 x 3 ii. Ο τύπος της f γράφεται: f(x) = 3 x Πρέπει επομένως x 0. Άρα D f = [0, + ). iii. Ο τύπος της f γράφεται: f(x) = 1 x 4 = 1 1 4 x Πρέπει επομένως x > 0. Άρα D f = (0, + ). μεθοδολογικό σχόλιο Η συνάρτηση f με τύπο f(x) = [g(x)] h(x) αποτελείται από τους x για τους οποίους: g(x) > 0 και h(x) g(x) = 0 και h(x) > 0 g(x) < 0 και h(x) 1.8 Εφαρμογή Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο: f(x) = ( 1 3 x ) x Λύση Το πεδίο ορισμού της f αποτελείται από τους x για τους οποίους: { 1 x 3 > 0 x 1 3 x > 0 x x 3 > 0 x(x 3) > 0 (x < 0 ή x > 3) 1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ { 1 x 3 = 0 x > 0 { x x 3 = 0 x > 0 { x x > 0 3 = 0 x = 3 { 1 x 3 < 0 x { x x 3 < 0 x(x 3) < 0 x { x { x 0 < x < 3 x {1, } Τελικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι: βασική παρατήρηση Α = (, 0) {1, } [3, + ) Ένα (κλασικό) λάθος που συναντάμε συχνά στην ελληνική βιβλιογραφία είναι ότι η συνάρτηση f με τύπο f(x) = [g(x)] h(x) αποτελείται από τους x για τους οποίους ισχύει g(x) > 0. Κατηγορία 3 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f. Μέθοδος i. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f. ii. Θεωρούμε την εξίσωση y = f(x) και απαιτούμε η εξίσωση αυτή να έχει λύση ως προς x και ταυτόχρονα η λύση αυτή να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. iii. Η επίλυση του συστήματος των περιορισμών δίνει το σύνολο τιμών της f. (Η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται σαφώς ευκολότερη με τη βοήθεια των παραγώγων που θα μελετήσουμε σε επόμενη ενότητα.) 1.9 Εφαρμογή Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: i. f(x) = 5x 7 x + 1 ii. f(x) = x 1 Λύση i. Το πεδίο ορισμού της f είναι A = { 1}. Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y για τα οποία η εξίσωση y = f(x) έχει λύση ως προς x στο A = { 1}. y = f(x) y = 5x 7 x + 1 yx + y = 5x 7 yx 5x = y 7 x(y 5) = y 7 (1)

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν y 5 = 0 y = 5, τότε από την (1) παίρνουμε 0 = 1, που είναι άτοπο. Άρα το 5 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f. Αν y 5 0 y 5, τότε από τη σχέση (1) παίρνουμε x = y 7 y 5. Μένει να εξετάσουμε αν για τα παραπάνω y η λύση της (1) είναι ο αριθμός 1, ο οποίος δεν ανήκει στο A. Για x = 1 η (1) δίνει: 1(y 5) = y 7 y + 5 = y 7 5 = 7, άτοπο Άρα για κάθε y 5 ο αριθμός x = y 7 y 5 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και είναι τέτοιος, ώστε f(x) = y. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το f(a) = {5}. ii. Το πεδίο ορισμού της f είναι Α = [ 1, + ). Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y για τα οποία η εξίσωση y = f(x) έχει λύση ως προς x στο Α = [ 1, + ). y = f(x) y = x 1, y 0 y² = x 1, y 0 Πρέπει επίσης: x = y + 1, y 0 x 1 y + 1 1 y² + 1 1 y² 0, που ισχύει για κάθε y. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το f(a) = [0, + ). 1.10 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f(x) = x κx + λ, λ, κ * x + 1 Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε η f να έχει σύνολο τιμών το διάστημα [, 3]. Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι το D f =. Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από τα y για τα οποία έχει λύση ως προς x στο D f = η εξίσωση y = f(x). Είναι: y = f(x) y = x κx + λ (y 1) x x + 1 + κx + y λ = 0 (1) 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για y = 1 είναι κx + 1 λ = 0 x = λ κ 1. Άρα η τιμή y = 1 ανήκει στο σύνολο τιμών [, 3]. Για y 1 η (1) έχει λύση αν και μόνο αν: Δ 0 κ 4(y 1)(y λ) 0 4 y + 4(λ + 1)y + κ 4λ 0 1 + λ (λ + 1 ) + κ y 1 + λ + (λ + 1 ) + κ, y 1 Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το: f( D f ) = [ 1 + λ (λ + 1 ) + κ, 1 + λ + (λ + 1 ) + κ ] Επειδή από υπόθεση γνωρίζουμε ότι f(a) = [, 3], πρέπει: { 1 + λ (λ + 1 ) + κ { = } 1 + λ + (λ + 1 ) + κ (+) + λ = 1 } 1 + λ + (λ + 1 ) + κ = 3 = 3 { λ = 0 1 + κ + 1 = 3 Τελικά f( D f ) = [, 3] όταν λ = 0 και κ = ± 6. } { λ = 0 κ + 1 = 5 } { λ = 0 κ = ± 6 } Κατηγορία 4 Ασκήσεις στις οποίες εμφανίζονται συναρτησιακές σχέσεις. Μέθοδος Υπάρχουν ασκήσεις στις οποίες δεν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης, αλλά μας δίνεται μια γενική ιδιότητα που ικανοποιούν οι τιμές της, για παράδειγμα: f(x + y) = f(x) + f(y) για κάθε x, y Αυτές οι σχέσεις λέγονται συναρτησιακές. Επειδή οι σχέσεις αυτές ισχύουν για κάθε τιμή των x, y συνήθως επιλέγουμε εμείς τις τιμές που μας διευκολύνουν. Έτσι, για παράδειγμα μπορούμε να θέσουμε: x = y = 0 ή x = y = 1 ή y = x κ.λπ. 4 1.11 Εφαρμογή Δίνεται η συνάρτηση f: με την ιδιότητα: f(x + y) = f(x) + f(y) για κάθε x, y (1) Να αποδείξετε ότι: i. f(0) = 0 ii. η f είναι περιττή iii. f(x y) = f(x) f(y), x, y

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i. ii. Λύση Η (1) για x = y = 0 δίνει: f(0 + 0) = f(0) + f(0) f(0) = 0 Η (1) για y = x δίνει: f(x x) = f(x) + f( x) f(0) = f(x) + f( x) (i) 0 = f(x) + f( x) f( x) = f(x), για κάθε x Άρα η f είναι περιττή. iii. Θέτουμε στην (1) όπου y το y και βρίσκουμε: f(x y) = f(x) + f( y) f περιττή f(x y) = f(x) f(y) 1.1 Εφαρμογή Δίνεται η συνάρτηση f: (0, + ) με την ιδιότητα: f(xy) = yf(x) + xf(y) για κάθε x, y (0, + ) (1) Να αποδείξετε ότι: i. f(1) = 0 ii. f ( x 1 ) 1 = f(x), για κάθε x > 0 x i. Η (1) για x = y = 1 δίνει: 1 ii. Η (1) για y = x δίνει: Λύση f(1) = f(1) + f(1) f(1) = 0 f ( x x 1 ) 1 1 = x f(x) + xf ( x ) f(1) = x 1 1 f(x) + xf ( x ) (i) 0 = x 1 1 f(x) + xf ( x ) μεθοδολογικό σχόλιο xf ( x 1 ) 1 1 = x f(x) f ( x ) 1 = x f(x) Για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί κάποια δοσμένη ιδιότητα, εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Υποθέτουμε δηλαδή ότι υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση και επιλέγοντας «βολικές» τιμές για τις μεταβλητές καταλήγουμε ύστερα από πράξεις σε άτοπο. 5

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.13 Εφαρμογή Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: με την ιδιότητα: f(5 x) + f(5 + x) = x, για κάθε x (1) Λύση Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση f: που να ικανοποιεί την (1). Η (1) για x = 5 δίνει: f(0) + f(10) = 3 () Η (1) για x = 5 δίνει: f(10) + f(0) = 7 (3) Από τις (), (3) συμπεραίνουμε ότι: 3 = 7, άτοπο Συνεπώς δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί την (1). Κατηγορία 5 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να καθοριστεί ο τύπος μιας συνάρτησης με δεδομένα που περιγράφονται μέσα σε προβλήματα. Μέθοδος Κάθε πρόβλημα έχει ένα «σενάριο» από το οποίο εμείς πρέπει να απομονώσουμε αυτά που μας χρειάζονται. Αναλύουμε λοιπόν προσεκτικά τα δεδομένα του προβλήματος, ώστε να μπορέσουμε να τα μετατρέψουμε σε μαθηματικές σχέσεις. Για την επίλυσή τους λοιπόν πρέπει, σε γενικές γραμμές, να έχουμε υπόψη μας τα παρακάτω: i. Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρικό χαρακτήρα, καταφεύγουμε στη χάραξη ενός πρόχειρου σχήματος και παριστάνουμε πάνω στο σχήμα όποια πληροφορία μάς δίνει η άσκηση (σταθερά και μεταβλητά μεγέθη). ii. Καθορίζουμε σωστά τις μεταβλητές του προβλήματος (ανεξάρτητες και εξαρτημένες) και βρίσκουμε τη σχέση (τύπο) που συνδέει το μέγεθος που θέλουμε να μελετήσουμε με τα άλλα μεγέθη του προβλήματος. iii. Αξίζει να προσέξουμε ότι οι περιορισμοί των συναρτήσεων που κατασκευάζουμε σε ένα πρόβλημα δεν εξαρτώνται από τον τύπο της f αλλά κυρίως από τα δεδομένα του προβλήματος. Αν για παράδειγμα η μεταβλητή αναφέρεται σε μήκος ή χρόνο, τότε πρέπει οπωσδήποτε να είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μηδέν. iv. Τα προβλήματα τα κατατάσσουμε σε τρεις μεγάλες κατηγορίες: Γεωμετρικής φύσεως Στην περίπτωση αυτή πρέπει να έχουμε υπόψη μας τύπους από όμοια τρίγωνα, εμβαδά επίπεδων σχημάτων, το πυθαγόρειο θεώρημα, όγκους στερεών κ.λπ. 6

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Οικονομικής μορφής Η βασική ισότητα που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι η: P(x) = E(x) K(x) όπου P(x) η συνάρτηση κέρδους, Ε(x) η συνάρτηση εσόδων και Κ(x) η συνάρτηση κόστους. Καθημερινή ζωή Επιστήμες Προφανώς υπάρχουν και πολλές άλλες κατηγορίες προβλημάτων με «σενάρια» που πηγάζουν από την καθημερινή ζωή και τις επιστήμες από τα οποία θα δημιουργούμε τους τύπους συναρτήσεων που θα μελετάμε. 1.14 Εφαρμογή Το τμήμα παραγωγής μιας αυτοκινητοβιομηχανίας λειτουργεί 10 ώρες ημερησίως και ο αριθμός των αυτοκινήτων που παράγει κάθε μέρα ύστερα από t ώρες λειτουργίας είναι: Ν(t) = 100t 5t, t [0, 10], t Το ημερήσιο κόστος Κ σε χιλιάδες ευρώ για την παραγωγή x αυτοκινήτων είναι: 15 + 8x i. Να βρείτε το ημερήσιο κόστος Κ, ως συνάρτηση του χρόνου λειτουργίας του τμήματος παραγωγής. ii. Πόσες ώρες μπορεί να λειτουργεί το τμήμα παραγωγής, ώστε το ημερήσιο κό- στος παραγωγής να μην υπερβαίνει τα 3.855 χιλιάδες ευρώ; i. Λύση Αφού x = N(t), είναι: K(t) = 15 + 8Ν(t) = 15 + 8(100t 5 t ) K(t) = 40 t + 800t + 15, t [0, 10], t ii. Πρέπει: Είναι: Τότε: K(t) 3855 15 + 800t 40 t 3855 t 0t + 96 0 Δ = ( 0 ) 4 1 96 = 16 και { t 1, = 0 ± 16 1 = 0 + 4 0 4 = { 1 8 { t (, 8] [1, + ) t [0, 10] } t [0, 8] 7

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.15 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: x 4, x f(x) = { x + 4, < x 7 i. Να βρείτε: α. το πεδίο ορισμού της f, β. την τιμή της παράστασης: ii. Α = f(1) 3f() + 6f(4) Ποια x έχουν την τιμή ; 1.16 i. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, ώστε να είναι συνάρτηση η σχέση: 1.18 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x i. f(x) = 3 + 1 x + 4 ημx + συνx ii. f(x) = x 3 7x + 6 x + 1 iii. f(x) = x + x 1.19 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x i. f(x) = 6 + 4 ημx 1 εφx + 3 ii. f(x) = συνx + 1 iii. f(x) = x 7 x + 1 1.0 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. ημx + x f(x) = x 0 + x 6 + 5 εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης πεδία ορισμού βασικές έννοιες f(x) = { x 7, x λ λ + 1 x + 9, x λ + 3λ ii. Για λ =, α. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = f (3) 3f(8) + nf(4) β. να λύσετε την εξίσωση f(x) = 5. 1.17 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε να είναι συνάρτηση η σχέση: f(x) = { 3 x, x 4 3 x λ, x 4 x ii. f(x) = 4 4 x 1 7 iii. f(x) = x 3 x + 1.1 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x i. f(x) = x + 5 x 3 ii. f(x) = x iii. f(x) = x + 1 + 3 x 3x + 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 10 i. f(x) = 4 x 3 ii. f(x) = x 5 x + 6 iii. f(x) = 81 ( 3 1 ) x iv. f(x) = 1 x x 3 8

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.3 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 5 i. f(x) = x + x ii. f(x) = x x 3 x 4 iii. f(x) = x + 3 1.4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 3 i. f(x) = 4 x 64 + 4 10 x x ii. f(x) = 3x + + 018 x 10 1.5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. f(x) = og(9 x ) ii. f(x) = og(10 + x) iii. f(x) = n( 4 x x 1) 1.6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. f(x) = ( x 4 ) ii. f(x) = (x 1 ) 6 iii. f(x) = (3 x ) 8 1 1 1.7 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. f(x) = ( x 3 + 5x 6 ) x+1 ii. f(x) = (1 x ) x 1 iii. f(x) = ( 1 x 1 ) ημx 1.8 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 4 x i. f(x) = (x 1) x + 1 ii. f(x) = n( x + x ) + n x + 3 3 x 1.9 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 5 0 x i. f(x) = 1 + og(x + 1) 1 x + n(4 x ) ii. f(x) = 10 x 1.30 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε οι f που δίνονται να έχουν πεδίο ορισμού το. x λ + 1 i. f(x) = λ x + λx + λ 1 ii. f(x) = x + λx + 4 1.31 Για τις διάφορες τιμές του λ να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: x + 3 i. f(x) = (λ 1) x + λx + 1 ii. f(x) = λ x x + 1 σύνολο τιμών 1.3 Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους: i. f(x) = x 3x 4 x ii. f(x) = + 3x + x 1 x iii. f(x) = ( x ) 1.33 Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους: x i. f(x) = + x + 1 x ii. f(x) = x 1 iii. f(x) = 1 3 x 9

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.34 Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο: f(x) = x x + + 3 1, x A όταν: i. Α = { 3} ii. Α = ( 1, 1) 1.35 Δίνεται συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = x + 5x + 6 x + x + 1 Να εξετάσετε αν οι τιμές 1 και 7 ανήκουν στο σύνολο τιμών της f. 1.36 Δίνεται συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = λx x + 1, λ > 0 Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε το σύνολο τιμών της f να είναι το διάστημα [ 4, 4]. συναρτησιακές σχέσεις 1.37 Μια συνάρτηση f: * έχει την ιδιότητα: f(x + y) + f(x y) = f(x) f(y) για κάθε x, y. Να αποδείξετε ότι: i. f(0) = 1, ii. η f είναι άρτια, iii. f(x) 1, για κάθε x, iv. f(x) = f (x) 1, για κάθε x. 1.38 Μια συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα: f(x + y) = f(x) + f(y), για κάθε x, y Να αποδείξετε ότι: i. f(0) = 0, ii. η f είναι περιττή, iii. f(x y) = f(x) f(y), για κάθε x, iv. f(νx) = νf(x), για κάθε ν *. 1.39 Μια συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα: f(xy) = f(x) + f(y), για κάθε x, y * Να αποδείξετε ότι: i. f(1) = 0, ii. f ( x 1 ) = f(x), iii. f ( y x ) = f(x) f(y), για κάθε x, y *. 1.40 Μια μη σταθερή συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα: f(x) + f(y) f(x + y) = 1 + f(x)f(y) για κάθε x, y. Να αποδείξετε ότι: i. f(0) = 0, ii. η f είναι περιττή, iii. f( ) [ 1, 1]. 1.41 Μια συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα: f(x + y) + x + y = [f(x) + x][f(y) + y] για κάθε x, y. Αν ισχύει ότι f(1) + 1 > 0, να αποδείξετε ότι: i. f(x) + x > 0, για κάθε x, ii. f(0) = 1. 1.4 Μια μη σταθερή συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα: f(x + y) = αf(x) + βf(y), για κάθε x, y με α, β πραγματικούς αριθμούς. Να αποδείξετε ότι: i. α = β = 1 και f(0) = 0, ii. η f είναι περιττή, iii. άπειρα σημεία της γραφικής παράστασης της f είναι συνευθειακά. 30

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.43 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις f:, ώστε για κάθε x να ισχύει: i. f(1 x) + f(1 + x) = x ii. f (3 x ) + f(3 x ) + = 0 1.44 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις f, g:, ώστε για κάθε x, y να ισχύει: f(x)g(y) = 4x + 3y 1.45 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = α και ύψος ΑΔ = h. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ είναι εγγεγραμμένο στο ΑΒΓ, όπως δείχνει το σχήμα: B N A Ρ ΚΔ Λ M Να εκφράσετε: i. την περίμετρο L του ορθογωνίου, ως συνάρτηση του ύψους του x. ii. το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου, ως συ- νάρτηση του x. Γ προβλήματα 1.46 Σε πείραμα σχετικό με την εκπαίδευση των ζώων, χρησιμοποιήθηκε ένας ποντικός, τον οποίο ανάγκασαν να διασχίσει πολλές φορές κάποιον λαβύρινθο σε ένα εργαστήριο. Ο χρόνος (σε λεπτά) που ο ποντικός χρειάζεται για να διασχίσει τον λαβύρινθο δίνεται από τη συνάρτηση f με τύπο f(x) = 4 + 14 x, όπου x ο αριθμός των δοκιμών. i. Πόσο χρόνο χρειάστηκε ο ποντικός κατά την 7η δοκιμή; ii. Από ποια δοκιμή και μετά θα χρεια- στεί 5 λεπτά ή και λιγότερο; iii. Θα μπορέσει ποτέ να κάνει λιγότερο από 4 λεπτά; ερωτήσεις κατανόησης 1.47 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: x i. Για τη συνάρτηση f με τύπο f(x) = e ισχύει ότι f(x + y) = f(x)f(y), x, y. ii. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο f(x) = n(1 x ) είναι το { 1, 1}. 1, x ρητός iii. Αν f(x) = { 1, x άρρητος, τότε f( ) = 1. iv. Ο αριθμός 0 είναι μια τιμή της συνάρ- τησης f με τύπο f(x) = x 4. v. Ο τύπος f(x) = 1 x + x 3 ορίζει συνάρτηση. vi. Το σύνολο τιμών συνάρτησης δεν μπορεί να είναι μονοσύνολο. vii. Στον συμβολισμό f: A B το Β δηλώνει πάντα το σύνολο τιμών της f. viii. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο f(x) = 1 + συνx είναι το διάστημα [0, ]. ix. Αν σε μια συνάρτηση f: είναι f(x 0 ) f(α), τότε x 0 α. x. Για κάθε συνάρτηση f ισχύει ότι f(x 1 ) = f(x ) x 1 = x. 31

1 γ ρ α φ ι κ η π α ρ α σ τ α σ η σ υ ν α ρ τ η σ η ς θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f; Απάντηση Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α ονομάζουμε το σύνολο των σημείων Μ(x, y), x A για τα οποία ισχύει y = f(x). Δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x, f(x)), x A και συνήθως τη συμβολίζουμε C f. σχόλιο Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν μπορεί να γίνει η γραφική τους παράσταση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση Dirichlet με τύπο f(x) = { 1, x ρητός 0, x άρρητος. Αν ξέρουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, να περιγράψετε τον τρόπο με τον οποίο βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α. Απάντηση Προβάλλουμε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της f πάνω στον άξονα x x. Το σύνολο των προβολών είναι το πεδίο ορισμού Α της f. Παράδειγμα Προβάλλοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του διπλανού σχήματος στον άξονα x x διαπιστώνουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι το Α = [, 4). y y C f }Οx A Ο 1 3 4 x 33