- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω από την C g όταν (,0) και αντίθετα στο (0, + ) ίνονται οι συναρτήσεις: Να βρείτε το λ R ώστε να είναι f=g -λ-1-5+λ+4 f()= και g()= -λ+4 -λ +λ ( ) (λ=) Να βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση R f()= - +λ-λ να έχει πεδίο ορισµού το -λ+λ (λ<0 ή λ>) 4 Έστω οι συναρτήσεις: 5, 1 < 6, < 7 f() = και g( ) = 7+, 6 10, 7 9 Να οριστεί η συνάρτηση f+g 5, [,6) 4+ 5, [7,9] (f+ g)( ) = + 7+ 6, [6,7) 5 ίνεται η συνάρτηση f:[-, ] R Να βρεθεί τι πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(-) ( [0, ] ) 6 Έστω οι συναρτήσεις: +, 1 1, 0 4 f() = και g( ) = + 1, 1< 10 +, 4< 7 Να βρεθεί η συνάρτηση f g 4 + 7, [1,4] (f g)( ) = + 10, (4,7] 7 ίνονται οι συναρτήσεις f()= -+9 και g()= 8 α) Να βρεθεί η συνάρτηση g f β) Να γίνει η γραφική παράσταση της g f (( ) g f ( ) = 1, R ) 8 ίνονται οι συναρτήσεις f: Α=(-α,α) R, α>0 και g:β R µε f(a) Β Να δείξετε ότι:

- 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ α) Αν f άρτια, τότε η g fείναι περιττή β) Αν f περιττή και g άρτια, τότε η g fείναι άρτια γ) Αν f, g περιττές, τότε η g f είναι περιττή δ) Αν f περιττή και g fπεριττή, τότε g περιττή 9 Να βρείτε τη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: α) f(-)= -6 β) 4f()+f(-)= γ) f(1-)+f()=4-1 δ) f()+1 f(-1)+ 1 11 α, f() = ( 8), βf() =, γ f() = 4 +, δ f() = 1 5 10 ίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: (f g)() = 7+ 16 και ( g f)(4) = 4 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο ( είχνουµε ότι f(4)=g(4)) 11 ίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: f g ( ) = 5+ 9, R και ( g f)() = Να αποδείξετε ότι οι ( ) γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο 1 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: (ν+1)f()+νf(-)= ν+1, για κάθε R, ν N α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία της C f και της ευθείας ψ= (α είχνουµε ότι f(-)=f(), β f()= v+1, γ Α(0,0), Β(1,1), Γ(-1,-1)) 1 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ), για κάθε,ψ R Να αποδείξετε ότι: α) Η f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, β) η f είναι περιττή ( είχνουµε ότι: f(0)=0 και f(-)=-f()) 14 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ), για κάθε,ψ R Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της ( f()=0, για κάθε R ) 15 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: Να βρείτε τον τύπο της f() + + R f() f( 1) 5, (f()= -, R ) * * 16 Aν f: R R µε f = f() + f( ψ ) για κάθε, ψ R, να αποδείξετε ότι: ψ α) f(1)=0 και β) η f είναι σταθερή

- 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 ίνεται η µη σταθερή συνάρτηση * * * f: R R µε f( ψ ) = f() f( ψ ) για κάθε, ψ R Να αποδείξετε ότι: α) 1 1 f() f(1) = 1, β ) f =, γ ) f = f() ψ f( ψ ) f() 18 ίνεται η συνάρτηση f: (0, + ) R για την οποία ισχύει: f() e = για κάθε (0, + ) Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ( Θεωρούµε 1, (0, + ) και θεωρώντας f( 1 ) f( ) καταλήγουµε σε άτοπο) 19 ίνεται η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R και η συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα στο R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h()=7f ()-8g () είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Αν ισχύει: f(0) =, να λυθεί η ανίσωση 7f ()>8g () g(0) 0 ίνεται η συνάρτηση f()= 15 + 1 + +1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να λύσετε την ανίσωση 15 + 1 + ->0 γ) Να λύσετε την ανίσωση (f f)()>4 ( β >1, γ >0) 1 ίνεται η συνάρτηση f()= +ln α) Να εξετάσετε ως προς τη µονοτονία την f() β) Να λύσετε την ανίσωση ( +1) -(+1) <ln(+1)-ln( +1) (α Γνησίως αύξουσα στο Α β 0<<1) Nα βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση των παρακάτω συναρτήσεων: α) 1+ 1 f() = 6+ 9,, β ) f() = ln, γ ) f() = 1 Αν + 1 f() =, να αποδείξετε ότι f()=f -1 () 4 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: ( )( ) f f = f() 5, για κάθε R Να αποδείξετε ότι: α) Η f αντιστρέφεται, β) Η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων 5 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: f ()+f()-=0, R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1, β) Να βρείτε την f -1 6 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: f(f())+f ()=+, R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1, β)να λύσετε την εξίσωση: f( +)=f(4-), R

- 14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 ίνεται η 1-1 συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f()= Nα αποδείξετε ότι η C 1 f διέρχεται από το σηµείο Α(,) και να λύσετε την εξίσωση f -1 ()= (=) 8 Για την συνάρτηση f: R R ισχύουν: f(f())=10+6 και f(f(f()))=0+ α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε τον τύπο της f (f()=-15) 9 ίνεται η συνάρτηση f: R R η οποία είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(,5) και Β(,8) α) Να λύσετε την εξίσωση f(-1+f -1 (-1))=5 β) Να λύσετε την ανίσωση f -1 (+f(-5))<1 (α =9, β <7) 0 ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f()= +-4, R α) Να λύσετε την εξίσωση f()=f -1 () β) Να λύσετε την εξίσωση f(f())=f( ), γ) Να λύσετε την ανίσωση f -1 (-)< (α =, β =4, γ <9) 1 ίνεται η συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: f ()+1= - f( ), για κάθε R Nα αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται ( είχνω ότι f(0)=f(1)=-1) ίνεται η συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: f (-) f(-)f(), για κάθε R Nα αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται ίνεται η συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: f ()-f()=e -1, για κάθε R και η οποία έχει σύνολο τιµών το (1, + ) α) Να βρείτε την f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της (α f()=e +1, R, β f -1 ()=ln(-1), >1) 4 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων: 6+ 5, 1, 0 α) f() = 1 5, β ) g( ) = +, > +, > 0 1 4, 4 α, f ( ) =, β δεν αντιστρέφεται 5, > 4 ***************** ********** ***** *

- 15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ερωτήσεις τύπου: ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ηµ 1 Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() = είναι το R + 1 εφ Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() = + 1 Αν e f() =, e + 1 τότε f()+f(-)=1 είναι το R 4 Για την συνάρτηση f()=ln, >0, ισχύει f( ψ)=f() f(ψ) 5 Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα χ χ 6 Για α βρω τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=f() τέµνει τον άξονα χ χ, θέτω ψ=0 και λύνω την εξίσωση f()=0 7 Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης τέµνει πάντα τον άξονα ψ ψ 8 Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση τέµνει τον ψ ψ σε δύο σηµεία 9 ύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια R για τα οποία να ισχύει: f()=g() 10 Για να ορίσουµε πράξεις µεταξύ δύο συναρτήσεων πρέπει αυτές να έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 11 Η συνάρτηση 1 Η συνάρτηση f() =, 0 είναι σταθερή f() =, 0 είναι σταθερή 1 Αν το σύνολο τιµών της f είναι το (α, β), τότε η f δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο 14 Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Rείναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο τιµών το (0, + ) Τότε η 1 f είναι γνησίως φθίνουσα στο R 15 Αν το σύνολο τιµών της f είναι το [α, β], τότε η f έχει ελάχιστο το α και µέγιστο το β

- 16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 16 Η συνάρτηση f()=+ δεν είναι 1-1 17 Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, οι συναρτήσεις g και h έχουν πεδίο ορισµού το R και ισχύει f(g())=f(h()) για κάθε R, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες 18 Η συνάρτηση f()= 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0) (0, + ) 19 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 Αν µία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι 1-1 1 Αν µία συνάρτηση f είναι 1-1, τότε είναι πάντοτε περιττή Αν η f: Α Rαντιστρέφεται, τότε: i) f()=ψ f -1 (ψ)= ii) f(f -1 ())=, για κάθε f(a) iii)f -1 (f())=, για κάθε A Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία ψ-=0 4 Έστω η συνάρτηση f()=, [0, + ) Τότε, κάθε κοινό σηµείο των C f και C 1 f, ανήκει στην ευθεία ψ= 5 Αν µία συνάρτηση f είναι 1-1, τότε είναι γνησίως µονότονη 6 Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη, τότε είναι 1-1 7 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε αντιστρέφεται 8 Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισµού το R, τότε ισχύει πάντα f g= g f 9 Αν οι συναρτήσεις f, g και h έχουν πεδίο ορισµού το R, τότε ισχύει f g h= f (g h) πάντα ( ) 0 Αν η f είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της

- 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1-1 στο R, τότε και η συνάρτηση g fείναι 1-1 στο R Αν µια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο o, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου και στο o Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας στο R, τότε η συνάρτηση g f είναι γνησίως αύξουσα στο R 4 Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν διαφορετικό είδος µονοτονίας στο R, τότε η συνάρτηση g f είναι γνησίως φθίνουσα στο R 5 Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, τότε θα έχει «το πολύ» µία ρίζα στο R 6 Η συνάρτηση f()= 007 ++1 έχει «το πολύ» µία ρίζα στο R 7 Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση, έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο R 8 Αν f()=-1, τότε f -1 (5)= 1 Αν 1 * f() =,, 1 1+ e Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ R τότε η παράσταση f()+f(-) ισούται µε: Α: 0, Β: e, Γ: 1, : -1, Ε: Αν και g( ) e + e e e f() = =, R, τότε η παράσταση f ()-g () ισούται µε: Α: e, Β: 0, Γ: e -, : -1, Ε: 1 1 e Στο παραπάνω σχήµα έχουµε την γραφική παράσταση µίας συνάρτησης f Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι λάθος; Α: Η f παρουσιάζει µέγιστο στο o = -1

- 18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ B: Η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ όταν <<4 Γ: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [-1, 1] : Το πεδίο τιµών της f είναι το f(a)=[-1, + ), Ε: Aν 1 < <, η C f είναι κάτω από τον άξονα χ χ 4 Στο παραπάνω σχήµα οι ευθείες ε και η έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: ψ= 1 + 1 και ψ = + Τότε, το µήκος του ΑΒ είναι: Α: --, B: -1, Γ: (-1), : (1-), Ε: 5 Στο παραπάνω σχήµα έχουµε την γραφική παράσταση µίας συνάρτησης f O αριθµός των λύσεων της εξίσωσης (f()) +f()=0 είναι: Α: 0, Β: 1, Γ:, :, Ε: 4 5+ 1, λ( λ ) 6 Για να αποτελεί η σχέση f() = συνάρτηση, πρέπει χ + 5, λ( λ 8) + 1 το λ να είναι ίσο µε: Α: 0, Β: 1, Γ: 0 ή 1, :, Ε:4 7 ίνεται η συνάρτηση f()= +κ +λ-5 Αν f(1)=8 και f(-1)=4, η τιµή της παράστασης κ+λ είναι: Α: 0, Β: 8, Γ: 1, : -11, Ε:11 8 Το πλήθος των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= 6 + 4 + +1 µε τον άξονα χ χ είναι: Α: 6, Β:5, Γ: 4, :, Ε: 0

- 19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Το πλήθος των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= - -+ µε τον άξονα χ χ είναι: Α: 6, Β:5, Γ: 4, :, Ε: 0 10 Αν e + 1 f() = e 1 και g( ) = ln, είναι: Α: (0,1), Β: (1, + ), Γ: (0, + ), : (0,1) (1, ), τότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f g + Ε: R {} 1 11 Αν Α: e + 1 f() = και g( ) = ln, ο τύπος της συνάρτησης f g είναι: e 1 ln 1 + 1 1, Β :, Γ :, :, E : άλλο + 1 ln + 1 1 + 1 1 Αν f(-1)=4 +, R, τότε το f(+1) ισούται µε: Α: + + 7, Β : + 4+ 7, Γ : 4 7, : + 4 7, Ε : άλλο 4 1 Αν f()=α+, g()=1+ και g f = f g, τότε ο α ισούται µε Α: 0, Β: -1, Γ:, : -, Ε: 1 14 Αν f συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το =[-1, ], τότε, το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g()=f(1-)+f( -) είναι το σύνολο: Α: [-5,-1], Β: [1,], Γ: [1,5], : [-5,5], Ε: [-5,-1] [1,] 15 Αν f συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το =[, + ), τότε, το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g()=f(ln+) είναι το σύνολο: Α: (0,1], Β: (1,+ ), Γ: [1,+ ), : (0,+ ), Ε: άλλο 16 Αν f()=, R, τότε η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η : 1 1, 0 Α: f ( ), : = Β, Γ : f ( ) =, : δεν ορίζεται, < 0 17 Αν f()= + 1, > 1, τότε η f -1 έχει τύπο: Α: f -1 () =(-1), Β: f -1 () = -1, Γ: f -1 1 () =, +1 Ε:f -1 () =(+1) : + 1, 18 Αν f()= 4 +4-5 +1 και g()=5, τότε η συνάρτηση g fέχει τύπο: Α: 7 4 +8-5 +7, B: +4-14, Γ: 89, : 7, Ε: άλλο 19 ίνεται η συνάρτηση f()= + 5 Τότε ισχύει ότι: Α: Α f =[-5, + ), B: Α f = R, Γ: η f είναι περιττή, : f(a)= R, E: Η γραφική παράσταση της f είναι «κάτω» από τον άξονα χ χ

- 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 0 Αν η συνάρτηση f: R R είναι 1-1, τότε η εξίσωση f( )=f(-): Α: έχει µοναδική ρίζα το 0 Β: είναι αδύνατη στο R, Γ: έχει ρίζες τους αριθµούς 0, 1 και 1 : έχει άπειρες λύσεις, Ε: κανένα από τα προηγούµενα 1 Αν η συνάρτηση f: R R αντιστρέφεται και έχει πεδίο τιµών το R, τότε ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι πάντοτε λάθος; Α: (f f -1 )()=, για κάθε R B: Η εξίσωση f()=006, έχει ακριβώς µία λύση στο R Γ: (f -1 f)()=, για κάθε R : Η εξίσωση f()=007, είναι αδύνατη στο R Ε: Η εξίσωση f( 007 )=f(- 007 ) έχει µοναδική ρίζα την =1 Έστω δύο συναρτήσεις f και g µε πεδίο ορισµού το R, για τις οποίες υποθέτουµε ότι είναι 1-1 Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι πάντοτε λάθος; Α: Η g f αντιστρέφεται Β: Η συνάρτηση h()=005f()+006 αντιστρέφεται Γ: Η συνάρτηση h()=(f()) 5 +(f()) -f()+ είναι 1-1 : Η εξίσωση g(+f())=g(-f()) έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο R Ε: Η ευθεία ψ=006 τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης G()=g(f()) το πολύ σε ένα σηµείο Αν η συνάρτηση f: R R είναι 1-1, τότε ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι πάντοτε λάθος; Α: Η συνάρτηση f αντιστρέφεται Β: Η εξίσωση f( +)=f(6) έχει ακριβώς δύο ρίζες στο R Γ: Η συνάρτηση f 1 αντιστρέφεται : Η συνάρτηση f f αντιστρέφεται Ε: Η εξίσωση ψ=006 τέµνει την C f σε δύο ακριβώς σηµεία 4 Αν η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(,4) και Β(6,-), τότε η λύση της εξίσωσης f(-1+f -1 ( -))=4 είναι: Α: =, B: =1 ή =, Γ: =, : =-1 ή =-, E: =0 5 Αν η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(,4) και Β(6,-), τότε, η λύση της ανίσωσης f -1 (-5)<, είναι όλα τα που ανήκουν στο διάστηµα: Α: (0, + ), Β: (,0), Γ: (9, + ), : [9, + ), Ε: (,9) **************** *********** ****** *