Μεταπτυχιακή Μιαδική Ανάλυση Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, 5--20. Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 5, 9, 24 και 28 μέχρι 22--20.. Θεωρούμε τις καμπύλες (t) = t + it sin t και 2 (t) = t + it 2 sin t ια t (0, ] και (0) = 2 (0) = 0. Αποδείξτε ότι: μήκος( ) = + και μήκος( 2 ) < +. 2. Υπολοίστε το z dz, όπου είναι οποιαδήποτε από τις τρεις καμπύλες με αρχικό άκρο το i και τελικό άκρο το i: (t) = it ια t [, ], 2 (t) = e it ια t [ π, π] και 2 2 3(t) = e it ια t [ π, π]. 2 2 3. Υπολοίστε (με κατάλληλη παραμέτριση) το (z z 0) m dz, όπου m Z και είναι καμπύλη που περιράφει με τη θετική φορά την περίμετρο τετραώνου με κέντρο z 0 και πλευρές παράλληλες στους κύριους άξονες. 4. Υπολοίστε το dz, όπου είναι οποιαδήποτε από τις δυο καμπύλες με αρχικό z /2 άκρο το και τελικό άκρο το : (t) = e it ια t [0, π] και 2 (t) = e it ια t [0, π]. Προσέξτε να ορίσετε όπως πρέπει το z /2 ια κάθε μια από τις καμπύλες αυτές. 5. Έστω f συνεχής στο (0; 0, R) ή στο (0; R, + ). Ορίζουμε M(r) = max{ f(z) z = r} και υποθέτουμε ότι rm(r) 0 καθώς r 0+ ή r +, αντιστοίχως. Αν r (t) = re it ια t t t 2, τότε αποδείξτε ότι r f(z) dz 0 καθώς r 0+ ή r +, αντιστοίχως. 6. Έστω φ : Ω Ω 2 αναλυτική στο ανοικτό Ω C και f αναλυτική στο ανοικτό Ω 2 C. Έστω κατά τμήματα C καμπύλη στο Ω και Γ = φ η εικόνα της στο Ω 2. Αποδείξτε ότι f(w) dw = f(φ(z))φ (z) dz. Γ 7. Έστω f συνεχής στο ανοικτό Ω C και ευθ. τμήμα [a, b] Ω. Θεωρούμε (a n ), (b n ) στο Ω ώστε a n a και b n b. Αποδείξτε ότι από κάποιον δείκτη και πέρα θα ισχύει [a n, b n ] Ω και ότι f(z) dz [a n,b n] f(z) dz. [a,b] 8. Έστω f συνεχής στο ανοικτό Ω C και κατά τμήματα C καμπύλη στο Ω. Αποδείξτε ότι ια κάθε ɛ > 0 υπάρχει πολυωνική ραμμή σ στο Ω ώστε f(z) dz f(z) dz < ɛ. σ 9. Έστω πολυώνυμα p και q με deg(q) deg(p) + 2. Για κάθε m N έστω I m το τετράωνο με κορυφές (m + )(± ± i) και 2 m η καμπύλη που περιράφει την περίμετρο του τετραώνου μια φορά με τη θετική φορά.
(α) Αποδείξτε ότι καθώς m +. m sin πz p(z) q(z) dz 0 (Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι η συνάρτηση είναι φραμένη στο σύνολο C\ sin πz k Z (k; ) 4 και ότι υπάρχει M > 0 ώστε p(z) M q(z) z 2.) (β) Αποδείξτε το ίδιο αποτέλεσμα αν deg(q) = deg(p) +. (Υπόδειξη: Πρέπει να συνδυάσετε τις απέναντι πλευρές του I m.) 0. Έστω < ν <, n N και n (t) = (n + 2 )eit ια t [0, 2π]. Αποδείξτε ότι καθώς n +. n e iνπz sin πz z a dz 0 (Υπόδειξη: Δείτε την υπόδειξη της προηούμενης άσκησης.). Έστω (t) = te ia, t [0, ] και p N. Αφού ορίσετε κατάλληλα (σαν ενικευμένο ολοκλήρωμα) το επικαμπύλιο ολκλήρωμα e /(zp) dz, βρείτε τις τιμές του a ια τις οποίες το ολοκλήρωμα αυτό συκλίνει. 2. Αν η f είναι συνεχής στο ανοικτό Ω C, αποδείξτε ότι το f(z) dz εξαρτάται μόνο από τα άκρα της στο Ω αν και μόνο αν υπάρχει F αναλυτική στο Ω ώστε F (z) = f(z), z Ω. 3. Υπολοίστε το υπολοίστε τα e z z n dz αν n N και (t) = e it ια t [0, 2π] και, κατόπιν, 2π 0 e cos θ sin(nθ sin θ) dθ, 2π 0 e cos θ cos(nθ sin θ) dθ. 4. Έστω f αναλυτική και f συνεχής στο. Αποδείξτε ότι ( ) R f(z)f (z) dz = 0. 5. Υπάρχουν πολυώνυμα p n ώστε να ισχύει p n (z) z ομοιόμορφα στον κύκλο S(0; ); 6. Έστω f συνεχής σε μια περιοχή του z 0 και R-παραωίσιμη στο z 0. Αν r (t) = z 0 + re it ια t [0, 2π]. Αποδείξτε ότι lim f(z) dz = i f r 0+ πr 2 r x (z 0) f y (z 0). 2
7. Έστω f(z) = ( + a )e z ια z 0. Βρείτε όλες τις τιμές του a ώστε να είναι z z 3 f(z) dz = 0 ια κάθε κατά τμήματα C κλειστή καμπύλη στο C \ {0}. Για καθεμιά από αυτές τις τιμές του a βρείτε F ώστε F (z) = f(z) ια z 0. 8. Έστω καμπύλη : [a, b] C \ {0}. Ορίζουμε την μεταβολή του log στην ως log = [a,b] log. Με τον ανάλοο τύπο ορίζουμε την μεταβολή του arg στην. Αποδείξτε ότι, αν η είναι κατά τμήματα C, τότε ( log = z dz, arg = y ) x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy, 2 ( ) x x 2 + y dx + y 2 x 2 + y dy = ln (b) 2 (a). 9. Έστω f, g συνεχείς στο [a, b] R και f(t) g(t) < g(t) ια t [a, b]. Αν f(a)g(b) = f(b)g(a), αποδείξτε ότι [a,b] log f = [a,b] log g. 20. (α) Έστω f αναλυτική και f συνεχής στο ανοικτό Ω C και κατά τμήματα C κλειστή καμπύλη στο Ω. Αν f(z) < ια z Ω, αποδείξτε ότι f (z) dz = 0. f(z) (β) Έστω f, g αναλυτικές και f, g συνεχείς στο ανοικτό Ω C και κατά τμήματα C κλειστή καμπύλη στο Ω. Αν f(z) g(z) < g(z) ια z Ω, αποδείξτε ότι f (z) f(z) dz = g (z) g(z) dz. 2. Έστω η καμπύλη η οποία περιράφει μια φορά με τη θετική φορά την περίμετρο ενός ορθοωνίου ή ενός τριώνου και z εσωτερικό σημείο του ίδιου ορθοωνίου ή τριώνου. Αποδείξτε, χωρίς χρήση επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων, ότι n(; z) =. 22. Έστω I(z ) < 0 < I(z 2 ) και έστω ότι η καμπύλη έχει αρχικό άκρο το z και τελικό άκρο το z 2 και η καμπύλη 2 έχει αρχικό άκρο το z 2 και τελικό άκρο το z. Αν (, 0] = και 2 [0, + ) =, αποδείξτε ότι n( + 2 ; 0) =. 23. Έστω (t) = e it ια t [0, 2π] και a <. Υπολοίστε το z a dz χωρίς να χρησμοποιήσετε δείκτη στροφής. 3
24. (α) Υπολοίστε όλες τις δυνατές τιμές του 2z dz, όπου είναι τυχούσα κατά z 2 z τμήματα C κλειστή καμπύλη στο C \ {0, }. (β) Υπολοίστε όλες τις δυνατές τιμές του 2z dz, όπου είναι τυχούσα κατά z 2 z τμήματα C καμπύλη στο C \ {0, } με αρχικό άκρο i και τελικό άκρο i. 25. Έστω κλειστές καμπύλες, 2 : [a, b] C με (t) 2 (t) < 2 (t) ια t [a, b]. Αποδείξτε ότι n( ; 0) = n( 2 ; 0). 26. Έστω συνεκτικό A C και (t) = z και 2 (t) = z 2 δυο σταθερές καμπύλες στο A. Αποδείξτε ότι, αν μια καμπύλη είναι ομοτοπική στο A με την τότε η είναι ομοτοπική στο A και με την 2. 27. Αν η είναι κλειστή καμπύλη στο C \ {0}, αποδείξτε ότι η είναι ομοτοπική στο C \ {0} με κλειστή καμπύλη η τροχιά της οποίας περιέχεται στον κύκλο S(0; ). 28. Έστω f συνεχής στο (0; R). Ορίζουμε (t) = f(re it ) ια t [0, 2π]. Αποδείξτε ότι, αν n(; w) 0, τότε w f( (0; R)). Δηλαδή: {w w περικλείεται από την } f( (0; R)). (Υπόδειξη: Η f ορίζει ομοτοπία με κλειστές ενδιάμεσες καμπύλες.) 29. Έστω p A C. Θεωρούμε το σύνολο M p (A) όλων των κλειστών καμπυλών με αρχικό και τελικό άκρο το p. Αν, 2 M p (A), τότε, προφανώς, + 2 M p (A). Επίσης, αν M p (A), τότε M p (A). Άρα το M p (A) αποτελεί ομάδα (με πράξη την πρόσθεση καμπυλών) με ουδέτερο στοιχείο την σταθερή καμπύλη p (t) = p. (α) Αποδείξτε ότι η σχέση ομοτοπίας στο A με κλειστές ενδιάμεσες καμπύλες και σταθερά άκρα (= p) είναι σχέση ισοδυναμίας στο M p (A).Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας το συμβολίζουμε (β) Αν,, 2 M p (A), ορίζουμε H p (A) = {[] M p (A)}. [ ] + [ 2 ] = [ + 2 ], [] = [ ]. Αποδείξτε ότι οι ορισμοί αυτοί είναι καλοί και ότι το H p (A) με τις πράξεις αυτές είναι ομάδα με ουδέτερο στοιχείο το [ p ]. () Αποδείξτε ότι, αν το A είναι συνεκτικό, τότε ια κάθε p, q A οι ομάδες H p (A) και H q (A) είναι ισομορφικές. Τότε ράφουμε (δ) Αποδείξτε ότι H(A). H(C) = {0}, H(C \ {0}) = Z, H(S(0; )) = Z. 4
30. Έστω τυχόντα σημεία z, z 2, z 3, w, w 2, w 3 διαφορετικά ανά δύο. Θέλουμε να ενώσουμε κάθε z k με κάθε w j με απλές καμπύλες kj οι οποίες ανά δύο δεν τέμνονται. Είναι αυτό δυνατό; (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Jordan.) Μ. Παπαδημητράκης. 5