ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ Οι σηµαντικότερες αντιπρόσποι της κατηγορίας αυτής τν δυνάµεν είναι οι δυνάµεις βαρύτητος και οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις, που είναι ανάλογες του αντιστρόφου τετραγώνου της αποστάσες. Εξετάζουµε πρώτα τον αρµονικό ταλανττή στις 3D. 4. Αρµονικός ταλανττής στις 3D Έστ υλικό σµατίδιο το οποίο υπόκειται στην επίδραση κεντρικής δύναµης, η οποία είναι ανάλογη της απόστασής του από κάποιο κέντρο έλξης που ορίζεται σαν αρχή τν συντεταγµένν, όπου (x, y, z) F () είναι το διάνυσµα θέσης του σµατιδίου σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Το µείον πρόσηµο σηµαίνει ότι πρόκειται για δύναµη επαναφοράς, όπς λέγονται οι δυνάµεις που πάντοτε κατευθύνονται προς το σηµείο ισορροπίας του σώµατος. Η εξίσση κίνησης του σώµατος (δηλ. ο δεύτερος νόµος του Νεύτνα, εφόσον δίδεται η δύναµη), είναι d ή σε καρτεσιανές συντεταγµένες, && x + x, && y + y, && z + z. () Οι εξισώσεις αυτές είναι ταυτόσηµοι µε την εξίσση κίνησης του αρµονικού ταλανττή στη D που είδαµε στο Κεφάλαιο. Έχουν την ίδια µορφή και για τους τρεις άξονες και γι αυτό λέµε ότι περιγράφουν ένα ισότροπο αρµονικό ταλανττή. Οι λύσεις τν εξισώσεν () είναι, ή x x cos (t+φ ) A x cos(t) + Β x sin(t), y y cos (t+φ ) A y cos(t) + B y sin(t), z z cos (t+φ 3 ) A z cos(t) + Β z sin(t), cos (t + φ) A cos t + Β sin t. (3) όπου. Τα διανύσµατα A (A,A, A ) x y z και B (B,B, B ) x y z υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Πράγµατι, αν για t δίδεται ότι και & υ, τότε εφαρµόζοντας τις συνθήκες αυτές στην (3), βρίσκουµε A υ και B. 3

Υπολογίζουµε στη συνέχεια µερικές ποσότητες οι οποίες διατηρούνται σταθερές µε το χρόνο για τη περίπτση του ισότροπου αρµονικού ταλανττή. Κατά πρώτον, την (ολική) ενέργεια, όµς, άρα E T + V & + υ ( sin t c t) ( cos t sin t) + υ os + + υ υ ( sin t cost) ( cos t sin t) + + + υ υ Ε ( sin t + cost) + ( cos t + sin t) υ υ [ sin t + c t sin t c t] os os υ υ + [ cos t + sin t + cos t sin t] υ [ + ] + E υ δηλ. η (ολική) ενέργεια διατηρείται σταθερά (µε το χρόνο). Όσον αφορά την στροφορµή, έχοµε & υ ( cos t + sin t) ( sin t + υcost) υ υ cos t sin t υ cos t υ sin t υ (cos υ t + sin t) δηλ. η στροφορµή διατηρείται σταθερά (µε το χρόνο). 4. Ολοκληρώµατα κίνησης Έχοµε βρει ότι στη περίπτση τν κεντρικών δυνάµεν γενικά η (ολική) ενέργεια όπς και η στροµορφή διατηρούνται σταθερές. Σε πολικές συντεταγµένες η ενέργεια είναι E T + V & + V() (& + θ & ) + V() (4) όπου η δυναµική ενέργεια V( ) είναι κάποια συνάρτηση του. Ακόµη η στροφορµή είναι, 33

θ & σταθερή. (5) Απαλείφοντας τη γνιακή ταχύτητα θ & µεταξύ τν (4) και (5), παίρνοµε, E ( + & + ) V(). (6) Οι εξισώσεις (5) και (6) είναι ης τάξες και καλούνται πρώτα ολοκληρώµατα κίνησης. Έχουν προκύψει από πρώτη ολοκλήρση τν αντίστοιχν εξισώσεν Lagange. Η ποσότης U() ενέχει θέση δυναµικής ενέργειας και καλείται ενεργός δυναµική ενέργεια, ενώ ο όρος καλείται φυγοκεντρικός όρος. + V() (7) Σχήµα Η ενεργός δυναµική ενέργεια U() Συγκρίνοντας την ενεργό δυναµική ενέργεια µε την ολική ενέργεια, µπορούµε να έχοµε µια εποπτική εικόνα της κίνησης του σώµατος. Πράγµατι, εφόσον E U() & >, θα πρέπει η κίνηση του σώµατος να περιορίζεται σ εκείνες τις περιοχές στις οποίες ισχύει U() E, δηλ. U() + V() E. Για παράδειγµα στο Σχήµα, όπου απεικονίζεται η U) συναρτήσει του, αν η ενέργεια ισούται µε ΕΕ, τότε η κίνηση του σώµατος περιορίζεται µεταξύ τν σηµείν και, όπου U() E, όπς καταγράφεται στο Σχήµα. Αν όµς η ενέργεια ισούται µε ΕΕ, τότε η κίνηση του σώµατος περιορίζεται στη περιοχή. Σχήµα Η τροχιά κίνησης για ενέργεια ΕΕ, όπς καταγράφεται από περιστρεφόµενο παρατηρητή 34

Η αποµένουσα ολοκλήρση τν (5) και (6) µπορεί να γίνει ς εξής: Λύνοντας κατ αρχήν την (6) ς προς &, προκύπτει ή και o & (E V ) (8) d (E V d (E V() ) ) t t (9) () όπου έχουµε υποθέσει ότι για t το σώµα ξεκινά από το σηµείο o. Η ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο πρώτο µέρος είναι συνάρτηση του, άρα µπορεί να ολοκληρθεί και να βρούµε τη λύση, (t). () Έχοντας βρει τη λύση (t), η λύση θ(t) µπορεί να εξαχθεί αµέσς. Πράγµατι, λύνοντας κατ αρχήν την (5) ς προς θ &, έχοµε, ή θ θ ο t και αντικαθιστώντας τη λύση (t) που βρήκαµε, το ολοκλήρµα στο δεύτερο µέρος υπολογίζεται, θ θ t (t) () συνεπώς έχοµε βρει τη λύση θθ(t) και (t) που δίδονται από τις εξισώσεις () και (). 4.3 Κεντρικές δυνάµεις ανάλογες του αντιστρόφου τετραγώνου Μια µεγάλη κατηγορίας κεντρικών δυνάµεν έχουν τη µορφή, ) F (3) όπου ) είναι το µοναδιαίο διάνυσµα µε κατεύθυνση από την αρχή τν αξόνν προς το σηµείο 35

όπου εφαρµόζεται η δύναµη F. Αν είναι > η δύναµη είναι απστική, ενώ για <, η δύναµη είναι ελκτική. Σχήµα 3 Η ενεργός δυναµική ενέργεια U() για απστικές δυνάµεις αντιστρόφου τετραγώνου Η δυναµική ενέργεια για την δύναµη (3) (εφόσον όλες οι κεντρικές δυνάµεις είναι συντηρητικές) υπολογίζεται, V() V( ) W F d ) (d ), όπου W είναι το απαιτούµενο έργο για τη µεταφορά του σώµατος από το άπειρο στο σηµείο. Ακόµη επειδή ( d ) ) d cos d, το ολοκλήρµα γράφεται, V() d, (4) όπου έχουµε πάρει τη στάθµη αναφοράς της δυναµικής ενέργειας ίση µε µηδέν, V( ). (Η σχέση (4) ισχύει για θετικό ή αρνητικό και συνήθς γράφεται: V± /). Η εξίσση της ενέργειας (6) παίρνει τότε τη µορφή, E + & + ( ). (5) Η ποσότης µέσα στη παρένθεση είναι η ενεργός δυναµική ενέργεια U(). ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: (ι) Για > που είναι η περίπτση απστικού δυναµικού, η U() µειώνεται µονότονα µε το όπς φαίνεται στο Σχήµα 3. Για κάθε θετική τιµή της ενέργειας Ε, το κινούµενο σώµα πλησιάζει µέχρι µιας ελαχίστης απόστασης o και ανακλάται πίσ στο άπειρο. Η τροχιά του σώµατος είναι υπερβολή, όπς θα δούµε παρακάτ. Η απόσταση o είναι η ρίζα της εξίσσης: U() Ε, δηλ. άρα, E E o E ( + + ) (6) E 36

(ιι) Στη περίπτση του ελκτικού δυναµικού <, η U() έχει τη µορφή του Σχήµατος. Αν η ενέργεια είναι ΕΕ (δηλ. Ε<), τότε το σώµα κινείται µεταξύ µιας ελαχίστης απόστασης και µιας µεγίστης από το κέντρο έλξης. Οι αποστάσεις, είναι οι ρίζες της εξίσσης: U() Ε, δηλ. και E E ( + ), ( + + ). (7a) E E ( + E + ), ( E + ). (7b) Η τροχιά του σώµατος είναι περιοδική και µάλιστα ελλειπτική (βλέπε Σχήµα 4), όπς θα δούµε παρακάτ. Για ενέργειες Ε, το κινούµενο σώµα πλησιάζει µέχρι µιας ελαχίστης απόστασης o E ( + + ) και ανακλάται πίσ στο άπειρο και η τροχιά είναι υπερβολική. Τέλος, E στο πυθµένα του φρεατίου του Σχήµατος (απόσταση R o > ), η ενέργεια ισούται µε E E o (η ελαχίστη τιµή της U), οπότε από την (5) έπεται ότι &, δηλ. &, που σηµαίνει ότι η ακτινική ταχύτης είναι µηδέν. Αυτή όµς είναι η περίπτση της κυκλικής τροχιάς. 4.4 Η εξίσση της τροχιάς Στη παραπάν συζήτηση είδαµε ότι µπορούµε να βρούµε τις µεταβλητές και θ ς συναρτήσεις του χρόνου µε σταθερές ολοκλήρσης τις Ε και. Συχνά όµς αναζητούµε να βρούµε την εξίσση της τροχιάς, δηλ. την συνάρτηση (θ), εξαλείφοντας την παράµετρο t. Στη περίπτση τν κεντρικών δυνάµεν, η απαλειφή του χρόνου είναι εύκολη, καθόσον ο χρόνος υπεισέρχεται στις εξισώσεις κίνησης µόνο σαν µεταβλητή διαφόρισης. Απαλείφοντας τον χρόνο µεταξύ τν εξισώσεν (5) και (6), πρέπει να οδηγηθούµε στην επιθυµητή σχέση. Πράγµατι, η (5) γράφεται, (8) οπότε, η αντιστοιχία µεταξύ τν παραγώγν ς προς t και θ είναι, και έπεται η δεύτερη παράγγος, d d, (9a) d d d ( ). (9b) 37

Οι σχέσεις αυτές µπορούν να µετατρέψουν την εξίσση κίνησης, (3-55), σε διαφορική εξίσση για τη τροχιά. Πράγµατι, η εξίσση Lagange για το, (3-55), γράφεται, Λαµβάνοντας υπόψιν τη σχέση: όπου u/, η () γράφεται, & d ( 3 V d ) 3 d d du ( ), V. () d u V ( + u). () u Για κεντρικές δυνάµεις που ακολουθούν το νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου, βρήκαµε από την V (4) ότι V/ u, άρα, και συνεπώς η () γράφεται, u ή Θέτοντας d u + u d u + (u + ) y u +, η προηγούµενη σχέση γράφεται, d y + y, η οποία έχει τη µορφή της εξίσση του αρµονικού ταλανττή, συχνότητος, όπου η γνία θ παίζει τον ρόλο του χρόνου t. H λύση είναι, y A cos (θ-θ ο ), όπου Α,θ ο οι σταθερές ολοκλήρσης. Η λύση αυτή γράφεται συναρτήσει του, όπου [ + ε cos ( θ θ )], ο () ε Α. Η λύση αυτή παριστάνει µια κνική τοµή (έλλειψη, παραβολή, ή υπερβολή) µε την αρχή τν αξόνν () να καταλαµβάνει την µια εστία της τοµής. Η σταθερά θ ο είναι η γνία 38

µεταξύ του άξονα x και της γραµµής τν αψίδν (η γραµµή από την αρχή προς το περιήλιο) όπς φαίνεται στο Σχήµα 4 για ελλειπτική τροχιά. Για συγκεκριµένη κατηγορία δυνάµεν, η εξίσση της τροχιάς µπορεί να εξαχθεί από την ολοκλήρση της (), όµς δεν είναι αναγκαίο να ολοκληρθούν οι εξισώσεις κίνησης εξ αρχής, καθόσον η πρώτη ολοκλήρσή τους έχει ήδη γίνει και έχει οδηγήσει στις εξισώσεις (5) και (6). Το µόνο που αποµένει είναι η απαλειφή του t από την (9), κάνοντας χρήση της (8): d (E V ) Αναδιοργανώνουµε όρους και ολοκληρώνουµε, Aλλάζοντας µεταβλητή u/, παίρνοµε d (E V du θ θ, (3) E V u όπου θ είναι η σταθερά ολοκλήρσης που υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Τυπικά η εξίσση της τροχιάς έπεται µετά την ολοκλήρση της (3). Για κεντρικές δυνάµεις που ακολουθούν το νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου, V/ u, οπότε το ολοκλήρµα στην (3) γράφεται, Το αόριστο ολοκλήρµα είναι της µορφής du θ θ, (4) E u u ) dx a + bx + cx cos c ( b + cx ) b 4ac συνεπώς η (4) γράφεται u + θ θ cos, (5) E + οπότε αντιστρέφοντας την (5), προκύπτει η λύση, συναρτήσει του, 39

Για <, [ + E + cos( θ θ )]. [ + E + cos( θ θ )], (6) η οποία συµφνεί µε την (). Μάλιστα συγκρίνοντας µε τις (7b), η σταθερά ολοκλήρσης θ µπορεί να ταυτιστεί µε την γνία θ ο ή π+θ ο στα σηµεία αντιστροφής ή. Η γενική λύση (6) παριστάνει µια κνική τοµή µε την αρχή τν αξόνν να καταλαµβάνει την µια εστία της τοµής. Γενικά µια κνική τοµή έχει τη µορφή, C ( + ε cos( θ θ )), (7) όπου η σταθερά ε καλείται εκκεντρότης της κνικής τοµής. Συγκρίνοντας µε την (6) έχοµε, C και E ε +. (8) Η φύση τν τροχιών εξαρτάται από το µέτρο της ε, κατά το ακόλουθο σχήµα: για ε >, και Ε > : υπερβολική για ε, και Ε : παραβολική για ε <, και Ε < : ελλειπτική για ε, και E E o : κυκλική Η ταξινόµηση αυτή συµφνεί µε την ποιοτική συζήτηση που προηγήθηκε πάν στη ενεργό δυναµική ενέργεια U. Σχήµα 4 Ελλειπτική τροχιά µε ηµιάξονες a και b Ελλειπτική τροχιά: 4

Θα εστιάσοµε το ενδιαφέρον µας στην ελλειπτική τροχιά του Σχήµατος 4. Ο µεγάλος ηµιάξονας a ισούται µε το ηµιάθροισµα τν αποστάσεν στα σηµεία αναστροφής, του Σχήµατος ή 4, a ( + ), (9) οπότε λαµβάνοντας υπόψιν τις (7a), η τιµή του µεγάλου ηµιάξονα είναι, και του µικρού ηµιάξονα, a (3a) E E / b a ε a a. (3b) Υπολογίζοµε στη συνέχεια την περίοδο Τ της ελλειπτικής τροχιάς. Κατ αρχήν το εµβαδόν που da σαρώνει η επιβατική ακτίνα είναι θ & (επιβατική ακτίνα είναι το διάνυσµα θέσης του σώµατος Σ όταν έχουµε επιλέξει την µια εστία της κνικής τοµής ς αρχή τν αξόνν, Σχήµα 4) και χρησιµοποιώντας την εξίσση διατήρησης της στροφορµής (5), µπορούµε να απαλείψοµε τη γνιακή ταχύτητα θ &, οπότε βρίσκουµε da θ &. (3) Το εµβαδόν της ελλειπτικής τροχιάς έπεται από την (3), ολοκληρώνοντας πάν σε µια πλήρη περίοδο Τ, T T da T A. (3) o o Η εξίσση (3) είναι ο ος νόµος του Kepe (δηλ. η ταχύτης σάρσης από την επιβατική ακτίνα είναι σταθερή). Το εµβαδόν όµς της έλλειψης είναι Απab:, οπότε η (3) γράφεται A π ab πa / 3 T άρα 3 / T πa (33) δηλ. το τετράγνο της περιόδου είναι ανάλογο του κύβου της µεγάλου ηµιάξονα και αυτό το συµπέρασµα είναι γνστό σαν 3 ος νόµος του Kepe. Τέλος, η µελέτη της υπερβολικής τροχιάς και της κυκλικής τροχιάς αφήνεται σαν άσκηση. 4

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ: ΣΕΙΡΑ 5. Σώµα µάζας κινείται µέσα σε απστικό πεδίο V α, -<α<. Να ευρεθεί η τιµή του α για την οποίαν η τροχιά του σώµατος είναι κυκλική.. Σώµα κινείται σε ελλειπτική τροχιά µέσα σε πεδίο δυνάµεν αντιστρόφου τετραγώνου. (α) Βρείτε την µεγίστη και την ελαχίστη γνιακή ταχύτητα του σώµατος. (β) Αν ο λόγος της µεγίστης προς την ελαχίστη γνιακή ταχύτητα είναι η, δείξετε ότι η εκκεντρότης της η τροχιάς ισούται µε : ε. η + 3. Υπολογίσετε προσεγγιστικά το λόγο τν µαζών του Ηλίου προς της Γης, χρησιµοποιώντας µόνο τις διάρκειες του έτους (365 µέρες) και του Σεληνιακού µήνα (7.3 µέρες) και τις µέσες ακτίνες της τροχιάς της Γης (.49 8 Κ) και της τροχιάς της Σελήνης (3.8 5 Κ). 4