Επιχειρησιακή Έρευνα Εφαρμογές και Λογισμικό Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Εφαρμογές και Λογισμικό Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07 Product Mix Problem Ένα σύστημα εκμεταλλευόμενο τους περιορισμένους πόρους που έχει στη διάθεσή του, παράγει διάφορα προϊόντα. Η (βέλτιστη) απόφαση που αναζητείται αφορά τον εντοπισμό του πλήθους των τεμαχίων που πρέπει να παράγονται από το κάθε προϊόν -επιλογή συνδυασμού παραγωγής προϊόντωνώστε να βελτιστοποιείται κάποιο κριτήριο επίδοσης (π.χ. μεγιστοποίηση των κερδών του συστήματος για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 1/18

Μια εταιρεία παράγει τέσσερις τύπους κορνιζών για φωτογραφίες οι οποίες διαφέρουν μεταξύ τους ως προς το σχήμα, το μέγεθος και το υλικό από το οποίο κατασκευάζονται. Για την κατασκευή τους, πέραν φυσικά του χρόνου εργασίας, απαιτείται επίσης μέταλλο και γυαλί Ανθρωποώρες Μέταλλο Γυαλί Τύπος Α 2 4 6 Τύπος Β 1 2 2 Τύπος Γ 3 1 1 Τύπος Δ 2 2 2 Για την εβδομάδα που έρχεται, ηεταιρείαέχειεξασφαλίσει4000 ανθρωποώρες, 6000 κιλά μετάλλου και 10000 κιλά γυαλιού, ενώ ξέρει ότι η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερες από 1000 κορνίζες τύπου Α, 2000 κορνίζες τύπου Β, 500 κορνίζες τύπου Γ και 1000 κορνίζες τύπου Δ. Αν το κέρδος (: τιμή πώλησης μείον κόστος εργατικών και υλικών) από την κάθε κορνίζα τύπου Α ανέρχεται στις 4 χρηματικές μονάδες, από την κάθε κορνίζα τύπου Β στις 2 χ.μ., από την κάθε κορνίζα τύπου Γ στις 4 χ.μ. και από την κάθε κορνίζα τύπου Δ στις 3 χ.μ. υποδείξτε τη γραμμή παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2/18

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 3/18

Media Selection Problem Το πρόβλημα επιλογής της (άριστης) σύνθεσης των μέσων μιας διαφημιστικής καμπάνιας αφορά τον προσδιορισμό του αριθμού των καταχωρήσεων/προβολών που πρέπει να γίνουν σε διάφορα μέσα όπως η τηλεόραση, το ραδιόφωνο, οι εφημερίδες, τα περιοδικά, κλπ. έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το πλήθος των ατόμων που θα έρθουν σε «επαφή» με το διαφημιζόμενο προϊόν. Παράγοντες που λαμβάνονται υπόψη είναι ο συνολικός προϋπολογισμός της εκστρατείας, ομέγιστος/ελάχιστος αριθμός καταχωρήσεων που μπορούν να γίνουν, τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των «ακροατών» του κάθε μέσου, κ.α. Βιομηχανία τροφίμων ήρθε σε επαφή με διαφημιστικό γραφείο προκειμένου να λανσάρει στην αγορά ένα νέο snack για παιδιά. Η διαφήμιση αποφασίστηκε να επικεντρωθεί σε τηλεοπτικά spots παιδικών προγραμμάτων του Σαββάτου, καταχωρήσεις σε οικογενειακά περιοδικά και καταχωρήσεις στα Κυριακάτικα ένθετα των εφημερίδων. Για το σκοπό αυτό το γραφείο συνέταξε ένα σχετικό πίνακα γύρω από το κόστος (ποσά σε ) της κάθε καταχώρησης και την αναμενόμενη απόδοσή της : Εκτιμήσεις έγιναν, κι αντίστοιχοι στόχοι τέθηκαν, και για την ακροαματικότητα των καταχωρήσεων σε παιδιά και γονείς : Τέλος, και προκειμένου να εξασφαλιστεί η μέγιστη δυνατή προσέγγιση του κοινού στο νέοπροϊόν, αποφασίστηκε να μοιραστούν εκπτωτικά κουπόνια μαζί με τις καταχωρήσεις. Ο κατωτέρω πίνακας καταγράφει την αναμενόμενη χρήση -κόστος- ανά καταχώρηση μαζί με το διαθέσιμο (για το σκοπό αυτό) ποσό : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 6/18

Blending Problem Το πρόβλημα της μείξης υλικών ήταναπόταπρώταπεδίαεφαρμογήςτου γραμμικού μοντέλου. Εδώ, δύοήπερισσότερεςπρώτεςύλεςπουπεριέχουν κάποια συστατικά αναμειγνύονται προκειμένου να δημιουργηθεί μια σειρά προϊόντων με συγκεκριμένες προδιαγραφές. Ζητούμενο (συνήθως) είναι ο καθορισμός των ποσοτήτων από τις πρώτες ύλες που πρέπει να αναμειχθούν έτσι ώστε τα προϊόντα/μείγματα να παρασκευαστούν με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Το πρόβλημα έχει τις ρίζες του στη βιομηχανία διύλισης πετρελαίου (για την παραγωγή των διαφόρων τύπων βενζίνης), αλλά εμφανίζεται πολύ συχνά στη χημική βιομηχανία (λιπάσματα, ζιζανιοκτόνα), στη βιομηχανία τροφίμων (αναψυκτικά, σούπες, ζωοτροφές), στη βιομηχανία καλλυντικών, τη μεταλλουργία, κ.α. Σ έναν αμπελώνα ετοιμάζονται να αναμείξουν τέσσερις διαφορετικές ποικιλίες σταφυλιών ώστε να παράγουν τρεις τύπους κρασιού. Στον πίνακα που ακολουθείδίνονταιοιδιαθεσιμότητεςτωνσταφυλιών(τόνοι) μαζί με κάποιους περιορισμούς που αφορούν το ποσοστό συμμετοχής τους στα τρία μείγματα (κρασιά) και οι τιμές πώλησης των κρασιών (χρηματικές μονάδες ανά τόνο). Αναζητείται ένα γραμμικό μοντέλο για την εύρεση της βέλτιστης χρήσης των υπαρχόντων σταφυλιών. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 10/18

Portfolio Selection Το πρόβλημα της επιλογής χαρτοφυλακίου αφορά την επιλογή ενός πακέτου εναλλακτικών επενδύσεων (π.χ. μετοχές, ομόλογα, καταθέσεις) για ένα προκαθορισμένο κεφάλαιο. Ο αντικειμενικός σκοπός αφορά (συνήθως) την μεγιστοποίηση της απόδοσης ή/και την ελαχιστοποίηση του επενδυτικού κινδύνου σε μια ορισμένη χρονική περίοδο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 14/18

Μεγάλη εταιρεία των Η.Π.Α. σκοπεύει να επενδύσει τα ανερχόμενα σε 1,000,000$ κέρδη της. Ο συνεργαζόμενος χρηματιστής πρότεινε να διατεθούν τα χρήματα σε μετοχές της βιομηχανίας πετρελαίων ή ατσαλιού και σε κρατικά ομόλογα. Συγκεκριμένα, κατέγραψε πέντε εναλλακτικές προτάσεις και υπολόγισε τις αναμενόμενες ετήσιες αποδόσεις από την κάθε μια από αυτές : Η εταιρεία αποφάσισε τελικά να πραγματώσει την επένδυση μέσα όμως στα εξής αυστηρά πλαίσια/κανόνες: σε καμία βιομηχανία (πετρελαίου ή ατσαλιού) να μην επενδυθεί ποσό μεγαλύτερο των 500,000$. η επένδυση σε κρατικά ομόλογα πρέπει να είναι τουλάχιστον το 25% της επένδυσης που θα γίνει στη βιομηχανία ατσαλιού. ηεπένδυσηστηνpast Oil, η πιο προσοδοφόρα αλλά και πιο ριψοκίνδυνη από όλες, δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από το 60% της συνολικής επένδυσης στη βιομηχανία πετρελαίου. Υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση του καταμερισμού των χρημάτων στις προτεινόμενε προτάσεις σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται η αναμενόμενη ετήσια επένδυση. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ & ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 15/18