Διάνυσμα του Plücker

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΥΘΕΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-17 Διδάσκων: Αναπλ. Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω M ένας χώρος και G μια ομάδα μετασχηματισμών πάνω στο χώρο M. Να αποδειχθεί, ότι η ισοδυναμία σχημάτων του χώρου M ως προς την ομάδα μετασχηματισμών G είναι σχέση ισοδυναμίας. 2. Έστω M ένας χώρος και F M ένα σχήμα του M. Να αποδειχθεί, ότι το σύνολο των F -αυτομορφισμών του M αποτελεί υποομάδα της ομάδας Aut(M) των αυτομορφισμών του M. 3. Έστω R(r) και S(s) δυο σημεία του τριδιάστατου προβολικού χώρου P 3, για τα οποία ισχύει r s = 0. Να αποδειχτεί ότι τα διανύσματα r και s είναι γραμμικά εξαρτημένα και συνεπώς τα σημεία R και S ταυτίζονται. 4. Θεωρούμε τα συντεταγμένα διανύσματα e 0 = (1, 0, 0, 0) T, e 1 = (0, 1, 0, 0) T, e 2 = (0, 0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 0, 1) T, των θεμελιωδών σημείων E i, και e = (1, 1, 1, 1) T του μοναδιαίου σημείου E ενός προβολικού συστήματος συντεταγμένων του P 3. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Ευθεία E 0 + E 1 E 0 + E 2 E 0 + E 3 E 2 + E 3 E 3 + E 1 E 1 + E 2 E + E 0 E + E 1 E + E 2 E + E 3 Διάνυσμα του Plücker 5. Να αποδειχθεί, ότι η απεικόνιση : R 4 R 4 R 6,

που απεικονίζει το ζεύγος (r, s) στο διάνυσμα α = r s είναι ομαλή, δηλαδή όταν τα διανύσματα q, r, s, t R 4 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε και τα διανύσματα είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητα. q r, q s, q t, r s, r t, s t R 6 6. Έστω ευθεία g(α) και σημείο Q(q) του P 3. Να αποδειχτεί, ότι οι επιπεδικές συντεταγμένες του επιπέδου V := Q + g είναι v 0 = q 1 α 3 + q 2 α 4 + q 3 α 5, v 1 = q 0 α 3 + q 2 α 2 q 3 α 1, v 2 = q 0 α 4 q 1 α 2 + q 3 α 0, v 3 = q 0 α 5 + q 1 α 1 q 2 α 0. Να βρεθούν στη συνέχεια ικανές και αναγκαίες συνθήκες, έτσι ώστε Q g. 7. Έστω ευθεία g(α) και επίπεδο V (v) του P 3. Να αποδειχτεί, ότι οι συντεταγμένες του σημείου Q := V g είναι q 0 = α 0 v 1 + α 1 v 2 + α 2 v 3, q 1 = α 0 v 0 + α 5 v 2 α 4 v 3, q 2 = α 1 v 0 α 5 v 1 + α 3 v 3, q 3 = α 2 v 0 + α 4 v 1 α 3 v 2. Στη συνέχεια να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες, έτσι ώστε g V. 8. Έστω δύο διάφορες τεμνόμενες ευθείες g(α), h(β) του P 3, Q(q) το σημείο τομής τους και V (v) το επίπεδο που ορίζουν. Να αποδειχθεί ότι q 0 = α 3 β 0 + α 4 β 1 + α 5 β 2, q 1 = α 4 β 5 α 5 β 4, q 2 = α 5 β 3 α 3 β 5, q 3 = α 3 β 4 α 4 β 3, v 0 = α 0 β 3 + α 1 β 4 + α 2 β 5, v 1 = α 1 β 2 α 2 β 1, v 2 = α 2 β 0 α 0 β 2, x 3 = α 0 β 1 α 1 β 0. 9. Δίνονται τα σημεία A(α) και B(β) του P 5, όπου α = (1, 2, 6, 4, 3, 0) T, β = (17, 14, 12, 2, 9, 6) T. Να αποδειχθεί, ότι η ευθεία ε = A + B τέμνει την υπερεπιφάνεια Q 4 63 του Plücker σε δυο σημεία, που παριστάνουν δυο ασύμβατες ευθείες g(α ), h(β ) G 4. Να βρεθούν επίσης δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η g και δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η h. 10. Έστω Λ και M δυο επίπεδα της υπερεπιφάνειας Q 63 4 του Plücker. Να αποδειχθεί, ότι α) αν τα Λ, M είναι του ίδιου είδους, τότε αυτά τέμνονται σε ένα σημείο. β) αν τα Λ, M είναι διαφορετικού είδους, τότε αυτά ή είναι ασύμβατα ή η τομή τους είναι μια ευθεία. 2

11. Έστω f : P 3 Π 3 μια συσχέτιση του P 3 με πίνακα A = (a ij ), i, j = 0, 1, 2, 3. Υποθέτουμε, ότι η f έχει την ιδιότητα: Κάθε σημείο R(r) του P 3 ανήκει στην εικόνα του U(u) Π 3 μέσω της f. Να αποδειχθεί, ότι ο πίνακας A είναι αντισυμμετρικός. 12. Να αποδειχθεί, ότι κάθε μηδενικό σύστημα του P 3 ορίζει ακριβώς ένα ομαλό γραμμικό σύμπλεγμα. 13. Έστω g 1 τυχούσα ευθεία του P 3, g 2 η αντίστροφη της ως προς ένα ομαλό γραμμικό σύμπλεγμα Γ και g 1 η εικόνα της μέσω του μηδενικού συστήματος f που ορίζεται από το Γ. Να αποδειχθεί, ότι g 1 = g 2. 14. Έστω Γ ένα ομαλό γραμμικό σύμπλεγμα, g μια ευθεία του P 3 και g η εικόνα της μέσω του μηδενικού συστήματος που ορίζεται από το Γ. Να αποδειχθεί, ότι α) g = g ακριβώς τότε, όταν η ευθεία g ανήκει στο ομαλό γραμμικό σύμπλεγμα Γ. β) όταν g g, τότε οι ευθείες g και g είναι ασύμβατες. 15. Έστω Γ ένα ομαλό γραμμικό σύμπλεγμα, g τυχούσα ευθεία του P 3 που δεν ανήκει στο Γ και g η εικόνα της μέσω του μηδενικού συστήματος, που ορίζεται από το Γ. Να αποδειχθεί, ότι μια ευθεία h του P 3, η οποία τέμνει τις g, g, είναι ευθεία του ομαλού γραμμικού συμπλέγματος Γ. 16. Έστω Γ ένα ομαλό γραμμικό σύμπλεγμα, P τυχόν σημείο P 3 και U το μηδενικό του επίπεδο. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία g του U και την εικόνα της g μέσω του μηδενικού συστήματος, που ορίζεται από το Γ. Να αποδειχθεί, ότι η ευθεία g διέρχεται από το P. 17. Δίνεται το γραμμικό σύμπλεγαμα α 0 + 2α 1 α 2 + 2α 3 + α 4 + 2α 5 = 0. α) Να βρεθεί ο άξονάς του h και η παράμετρός του κ. β) Ποιες είναι οι εξισώσεις του μηδενικού συστήματος f που ορίζεται από το γραμμικό σύμπλεγμα; γ) Να βρεθεί η εικόνα του h ως προς το μηδενικό σύστημα f. 18. Έστω S το γραμμικό σμήνος με εξισώσεις α 3 = 0, α 4 = 0. α) Να αποδειχθεί, ότι το S είναι εκφυλισμένο γραμμικό σμήνος. β) Να αποδειχθεί, ότι η επιφάνεια Q 2 rq, που αντιστοιχεί στο S μέσω της απεικόνισης π : G 4 Q 4 63 των PLücker-Klein, είναι ζεύγος επιπέδων της επιφάνειας Q 4 63 του PLücker, το ένα, έστω L, α είδους, και το άλλο, έστω M, β είδους. Ποιές είναι οι τιμές των q και r; γ) Να βρεθούν τα επίπεδα L και M του (β). δ) Να βρεθούν η κεντρική δέσμη ευθειών και το επίπεδο ευθειών του S στον P 3. ε) Να αποδειχθεί, ότι εικόνα του S μέσω της απεικόνισης π είναι η διδιάστατη επιφάνεια 3

της επιφάνειας Q 4 63 του PLücker με παραμετρική παράσταση { (u, v, 1, 0, 0, 0) α(u, v) = T, (u, v) U 1, (u, v, 0, 0, 0, 1) T, (u, v) U 2, όπου U 1, U 2 είναι υποσύνολα του R 2. 19. Έστω S το γραμμικό σμήνος με εξισώσεις α 0 α 3 = 0, ρ α 1 α 4 = 0. α) Να αποδειχθεί, ότι όταν ρ = 1, 0 ή 1, το S είναι αντίστοιχα υπερβολικό, παραβολικό ή ελλειπτικό γραμμικό σμήνος. β) Να βρεθούν οι οδηγοί ή ο οδηγός, όταν το S είναι αντίστοιχα υπερβολικό ή παραβολικό. γ) Να βρεθούν οι τιμές των q και r της επιφάνειας Q 2 rq, που αντιστοιχεί στο S μέσω της απεικόνισης π. δ) Να αποδειχθεί, ότι εικόνα του S μέσω της απεικόνισης π : G 4 Q 4 63 είναι η διδιάστατη επιφάνεια της επιφάνειας του PLücker Q 4 63 με παραμετρική παράσταση όπου U είναι υποσύνολο του R 2. α(u, v) = (u, v, 1, u, ρ v, u 2 + ρ v 2 ) T, (u, v) U, 20. Έστω S ένα ελλειπτικό γραμμικό σμήνος. Να αποδειχθεί, ότι α) Από κάθε σημείο P P 3 διέρχεται ακριβώς μια ευθεία του S. β) Δυο τυχούσες ευθείες του S είναι ασύμβατες. 21. Έστω S ευθειογενής επιφάνεια του χώρου E 3, P 0 τυχόν σημείο αυτής, ε η γενέτειρα που διέρχεται από το P 0 και T P0 (S) το εφαπτόμενο επίπεδο της S στο P 0. Να αποδειχτεί, ότι ε T P0 (S). 22. Να αποδειχθεί, ότι οι επιφάνειες και είναι ευθειογενείς. S : x(u, v) = (u 2 + 2u v) e 1 + (u + v) e 2 + (u 3 + 3u 2 v) e 3, S : x(u, v) = (u + v) e 1 + (u 2 + v 2 ) e 2 + (u 3 + v 3 ) e 3, 23. Να βρεθεί η καμπυλότητα του Gauss του εκ περιστροφής μονόχωνου υπερβολοειδούς S : x(u, v) = (R cos u v sin φ sin u) e 1 + (R sin u + v sin φ cos u) e 2 + v cos φ e 3. 24. Να αποδειχθεί, ότι η επιφάνεια x 3 = 2x 1 x 2, x 2 1 + x 2 2 (κωνοειδές του Plücker), είναι ευθειογενής, και μάλιστα, ότι οι γενέτειρές της είναι παράλληλες σε σταθερό επίπεδο. Ποιό είναι το επίπεδο αυτό; Να βρεθούν η γραμμή συσφίγξεως και η στρεβλότητα της. 4

25. Να βρεθούν οι γραμμές συσφίγξεως και η στρεβλότητα α) της κοινής ελικοειδούς, β) μια εφαπτομενικής επιφάνειας και γ) του εκ περιστροφής μονόχωνου υπερβολοειδούς της άσκησης 23. 26. Να βρεθούν η γραμμή συσφίγξεως και η στρεβλότητα της λωρίδας του Möbius όπου S : x(u, v) = r(u) + v e(u), (1) r(u) = cos u e 1 + sin u e 2 και e(u) = cos u 2 cos u e 1 + cos u 2 sin u e 2 + sin u 2 e 3, και να εξετασθεί αν είναι κωνοειδής, δηλαδή αν υπάρχει επίπεδο, προς το οποίο να είναι παράλληλες οι γενέτειρες. 27. Να αποδειχθεί, ότι για μια γενέτειρα g(u 0 ) μιας ευθειογενούς επιφάνειας με παραμετρική παράσταση την (1) ισχύει ακριβώς τότε ( ) e(u 0 ), e (u 0 ), r (u 0 ) = 0, όταν F (p (u 0 )) = 0, όπου p(u) μια παραμετρική παράσταση της εικόνας της ευθειογενούς πάνω στην υπερεπιφάνεια Q 63 4 του Plücker. 28. Να βρεθούν οι γραμμές συσφίγξεως και οι στρεβλότητες των ευθειογενών επιφανειών α) των πρώτων και β) των δεύτερων καθέτων μιας καμπύλης του E 3. 29. Να βρεθούν οι γραμμές συσφίγξεως και οι στρεβλότητες των ευθειογενών επιφανειών α) των κεντρικών καθέτων και β) των κεντρικών εφαπτομένων μια ευθειογενούς επιφάνειας του E 3. 30. Να αποδειχθεί ο τύπος δ = sin ω κ, όπου ω είναι η στρεβλότητα και κ η φυσική καμπυλότητα μιας ευθειογενούς. 5