ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( ) = c f( ) Έχουμε F( + h) F( ) = c f( + h) c f( ) = c[ f( + h) f( )] Για h 0 έχουμε: F( + h) F( ) f( + h) f( ) = c h h Επομένως F( + h) F( ) f( + h) f( ) lm = lm c cf ( ) h 0 h h 0 = h Άρα ( cf ( )) = cf ( ).

Ερώτηση θεωρίας α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f( ) β) Τι ορίζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; = είναι f ( ) =. α) Έχουμε f( + h) f( ) = ( + h) = h Για h 0 έχουμε: f( + h) f( ) h = = h h Επομένως f( + h) f( ) lm = lm= h 0 h h 0 Άρα ( ) = β) Την οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας ενός κινητού την ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού στη χρονική στιγμή t 0 ή απλώς ταχύτητα του κινητού στο t 0, δηλαδή υ St ( + h) St ( ) S h h = lm 0 0 = lm h 0 h 0

Ερώτηση θεωρίας 3 α) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες να δείξετε ότι: ( f( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) β) Τι εκφράζει η παράγωγος μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; α) Έστω η συνάρτηση F ( ) = f( ) + g ( ) Έχουμε F( + h) F( ) = [ f( + h) + g( + h)] [ f( ) + g( )] = ( f( + h) f( )) + ( g ( + h) g ( )) Για h 0 έχουμε: F( + h) F( ) ( f( + h) f( )) + ( g( + h) g( )) = = h h f( + h) f( ) g ( + h) g ( ) + h h Επομένως F( + h) F( ) f( + h) f( ) g( + h) g( ) lm = lm + lm = h 0 h h 0 h h 0 h f ( ) + g ( ) Άρα ( f( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) β) Η παράγωγος μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f( ) ως προς, όταν = 0. 3

Ερώτηση θεωρίας 4 α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ( ) σταθερά, ισούται με μηδέν. β) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται συνεχής; γ) Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις: f = c, όπου c πραγματική ( ) = ( + ) 3 8 3 4, g( ) = + 5, h( ) = e ηµ, ϕ ( ) = 5 + ln και s( ) f =. ηµ α) Έχουμε f ( + h) f ( ) = c c= 0 και για h 0, ( + ) ( ) f h f h = 0, οπότε και lm h 0 ( + ) ( ) f h f h = 0. Άρα ( c ) = 0. β) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A λέγεται συνεχής αν για κάθε 0 ισχύει lm f ( ) f ( ) 0 =. 0 A, γ) ( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) 3( ) 3 f = + = + + = +, ( ) ( ) ( ) ( ) 8 3 8 3 7 = + = + = +, g 5 5 8 5 ( ) ( ) ( ) ( ) h = e ηµ = e ηµ + e ηµ = e ηµ + e συν, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 + = 4 + = 4 + = 3 = 3, ϕ 5 ln 5 ln 5 0 5 4 0 ( ) ( ) ηµ ηµ ηµ συν s ( ) = = =. ηµ ηµ ηµ 4

Ερώτηση θεωρίας 5 Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A. Πότε θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει στο όταν f ( ) f ( ) για κάθε σε μια περιοχή του. A τοπικό μέγιστο, 5

Ερώτηση θεωρίας 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A; Η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A, όταν f( ) f( 0 ) για κάθε σε μια περιοχή του 0. 6

Ερώτηση θεωρίας 7 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A. Πώς ορίζεται η (πρώτη) παράγωγος της f ; Αν Β είναι το σύνολο των A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε B αντιστοιχίζεται στο f( + h) f( ) f ( ) = lm. h 0 h Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. 7

Ερώτηση θεωρίας 8 α) Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; β) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f( ) f =. = είναι ίση με ( ) α) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της αν το όριο f( 0 + h) f( 0) lm υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. h 0 h β) Έστω η συνάρτηση f( ) =. Έχουμε ( ) f( h) f( ) ( h) h h h h + = + = + + = +. Για h 0, είναι f( + h) f( ) ( + h) h = = + h. h h Επομένως, f( + h) f( ) lm = lm ( + h ) =. h 0 h h 0 Άρα ( ) =. 8

Ερώτηση θεωρίας 9 Γράψτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f( ) = ν, όπου ν φυσικός g ( ) = e, όπου πραγματικός h ( ) = ln, όπου > 0 t ( ) = συν, όπου πραγματικός =, f ( ) ν ν g ( ) = e, h ( ) =, t ( ) = ηµ 9

Ερώτηση θεωρίας 0 Γράψτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: cf ( ), f( ) g ( ), f( ) g ( ) με g ( ) 0 και c = σταθερά. ( c f( )) = c f ( ), [ ] f( ) g( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ), f( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) = g ( ) g( ) 0

ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση 4 f( ) = e +. Nα βρεθεί: α) Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f. β) Να αποδειχθεί ότι f ( ) + ( 4) f( ) = 0 γ) Να δείξετε ότι το μέγιστο της συνάρτησης f είναι το 4 e. α) f ( ) = ( e ) = e ( + 4 ) = ( + 4) e + 4 + 4 + 4 β) + 4 + 4 + = + + = f ( ) ( 4) f( ) 0 ( 4) e ( 4) e 0 4 ( + 4 + 4) e + = 0 0 = 0 που ισχύει γ) 4 = + = και επειδή f ( ) 0 ( 4) e + 0 4 e + 0, + 4= 0 = Η παράγωγος γίνεται θετική όταν + 4> 0 > 4 < και αρνητική όταν + 4< 0 < 4 > O πίνακας προσήμων της παραγώγου διαμορφώνεται ως εξής: Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση για = έχει μέγιστο το + 4 4 f() = e = e.

Άσκηση Ένα τρίγωνο ΑΒΓ μεταβάλλεται έτσι ώστε το άθροισμα της βάσης του ΒΓ και του ύψους του ΑΔ να είναι 0cm. α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της βάσης του ΒΓ= είναι E ( ) = 0. β) Να βρείτε το μήκος της βάσης του ΒΓ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να είναι μέγιστο. Στην περίπτωση αυτή να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. α) Το εμβαδόν του τριγώνου είναι E = BΓ A Αν ονομάσουμε τη βάση ΒΓ= τότε επειδή ΒΓ+ ΑΔ=0 έχουμε +AΔ=0, AΔ=0- με > 0 και A = 0 > 0 0 > άρα 0 < < 0. Οπότε το εμβαδόν γράφεται E ( ) ( ) = 0, 0,0 E ( ) = (0 ) = (0 ), άρα β) Για να βρούμε το μήκος της βάσης ΒΓ του τριγώνου για το οποίο το εμβαδόν του είναι μέγιστο, πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης Ε(). E ( ) = (0 ), E ( ) = 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση E ( ) = 0 Από την E ( ) = 0 0 = 0 = 0 cm Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου Από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο όταν η βάση του ΒΓ==0 cm. Το εμβαδόν του τριγώνου στην περίπτωση αυτή είναι E(0) = 0 0 0 = 00 50 = 50 cm

Άσκηση 3 Δίνεται η συνάρτηση 3 f( ) 6 α = + με α R. α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το α αν η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο ίσο με 5. α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R = + = 3 f ( ) ( 6 α) 3 β) f ( ) = 0 3 = 0 (3 ) = 0 = 0 ή = 4 Το πρόσημο και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Από τον πίνακα μεταβολών της f διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = 4, ίσο με f (4). Όμως f = + α = + α = + α 3 (4) 4 6 4 64 96 f(4) 3 γ) Βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι f (4) = 3 + α Αλλά f (4) = 5, οπότε 3 + α = 5 α = 37 3

Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο ( ) f = α 5+, όπου α R. ( ) α) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της, ( ) παράλληλη στην ευθεία y =, τότε να υπολογίσετε το α. β) Αν α = 3 ( ). f Να υπολογίσετε το όριο lm. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. A f είναι =. α) Η παράγωγος της συνάρτησης f ισούται με f ( ) α 5 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι f ( ) α 5 διεύθυνσης της ευθείας y = είναι ίσος με, οπότε ισχύει f = α 5 = α = 3. ( ) = και ο συντελεστής β). 3 ( ) ( ) f 3 5+ 3 lm = lm = lm = lm3 = 3 Στα προηγούμενα το τριώνυμο 3 5 + έχει ρίζες τους αριθμούς και 3 άρα 3 5+ = 3 3. παραγοντοποιείται ως εξής: ( ). Έχουμε ( ) ( ) f = 3 5+ = 6 5, 5 f ( ) = 0 6 5= 0 =, 6 5 f ( ) > 0 6 5> 0 > και 6 5 f ( ) < 0 6 5< 0 <. 6 4

5 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 6 και γνησίως αύξουσα στο 5, + 6, άρα 5 5 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το 6 f =. 6 5

Άσκηση 5 f = e, R. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο ( ) ( ) α. Να υπολογίσετε το όριο lm f ( ) 0 β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.. γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (, ( ) ) A f. α. Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) lm f = lm e = lme lm = =. 0 0 0 0 β. Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = e = e + e = ( ) e + e = e, ( ) > 0 f = 0 e = 0 = 0, ( ) e > 0 f > 0 e > 0 > 0 και ( ) e > 0 f < 0 e < 0 < 0. e Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [ ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 0, το f ( 0) =. 0, +, άρα 6

γ. Έχουμε f ( ) e( ) = = 0 και ( ) f = e= e. Η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: y= e+ β. () = λ+ β, όπου το λ ισούται με το f ( ), οπότε Επίσης οι συντεταγμένες του σημείου επαφής A(, 0) επαληθεύουν την εξίσωση (), οπότε έχουμε: 0 = e + β β = e, άρα η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: y= e e. 7

Άσκηση 6 Με ένα σύρμα μήκους 00cm κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μήκους και πλάτους y. α. Να εκφράσετε τη διαγώνιο του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. β. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε το μήκος της διαγωνίου να γίνει ελάχιστο. Έχουμε το παρακάτω ορθογώνιο Η περίμετρος ισούται με 00 cm, οπότε + y = 00 y = 50 () και επειδή τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου είναι θετικοί αριθμοί, έχουμε y > 0 50 > 0 < 50 και > 0, άρα ( 0,50). Επίσης εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και παίρνουμε d = + y () και αντικαθιστώντας το y από την () στην () έχουμε ( ) d d = + 50 = 00 + 500. Άρα η συνάρτηση της διαγωνίου του ορθογωνίου είναι d( ) = 00+ 500 με ( 0,50). β. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση της διαγωνίου και έχουμε d ( ) = ( 00+ 500) = + + Επίσης 50 00 500 00 500 d ( ) = 0 = 5,. 8

d ( ) > 0 > 5 και d ( ) < 0 < 5. (αφού 00 500 + >0 ) Έτσι η d είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, 5 ] και γνησίως αύξουσα στο [ ) 5,50, άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 5. Τότε από την () έχουμε ότι y = 5, άρα η διαγώνιος του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη όταν = yδηλαδή όταν είναι τετράγωνο. 9

Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση f( ) k, k 0 παράσταση της συνάρτησης f, τότε: α) Να δείξετε ότι k =. = + >. Αν το σημείο (, ) M ανήκει στη γραφική β) Να δείξετε ότι f ( ) = +. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. α) Αφού το σημείο M (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f θα ισχύει ( ) ( ) f() = + k = k + = k > 0 k k k + = = = β) Για k =, έχουμε f( ) = +. Πρέπει + 0, που ισχύει για κάθε R. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Η παράγωγος της f είναι f ( ) = ( + ) = =, R. + + + γ) Έχουμε: f ( ) = 0 = 0 = 0. + + > 0 f ( ) > 0 > 0 > 0 + Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: 0

Είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0]. Έχει ελάχιστο το f (0) = 0 + =.

Άσκηση 8 Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f( ) =. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και yy. f( ) γ) Να υπολογιστεί το lm. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα. α) Πρέπει 0. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το [ 0, + ). β) Για τα σημεία τομής με τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση f( ) = 0 = 0 = =. Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, 0). Για το σημείο τομής με τον άξονα yy, έχουμε f (0) = 0 =. Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B(0, ). γ) Είναι ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f( ) lm = lm = lm = + + = lm = lm = ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) = = =. 4 lm ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) δ) Το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα είναι το A (, 0) (από το β ερώτημα). Η εφαπτομένη είναι η ε : y = λ+ β, με λ = f ( 0 ) = f () ().

f ( ) = =, > 0. Η παράγωγος της f είναι ( ) Έτσι η σχέση () λ = f () = =. Επίσης το σημείο A(, 0) ε, άρα ισχύει 0 = λ + β β = λ =. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α είναι y =. 3

Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = α ln + βαβ,, R. Θεωρούμε ότι η ευθεία ε: y = +, είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της B (, ). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε την παράγωγο της f. γ) Αποδείξτε ότι α = και β =. δ) Για α = και β =, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. α) Πρέπει > 0. Άρα το πεδίο ορισμού είναι το ( 0, + ). β) Η παράγωγος της f είναι ( ) ( ) f ( ) = α ln + α ln = αln + α = αln + α, > 0. γ) Αφού η ευθεία ε : y = + είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της B (, ), θα ισχύει: λ = f () = αln + α α = και B, C f() = α ln + β = β =. ( ) f (ούτως ή άλλως το σημείο Β ανήκει στην ευθεία). δ) Αντικαθιστώντας τις τιμές των α και β που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα, έχουμε f( ) = ln +, > 0 και f ( ) = ln +, > 0. f ( ) = 0 ln + = 0 ln = =. e f ( ) > 0 ln + > 0 ln > ln > ln e >. e 4

Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f : Είναι γνησίως αύξουσα στο Είναι γνησίως φθίνουσα στο, + e. 0, e. Έχει ελάχιστο το f = ln + = +. e e e e 5

Άσκηση 0 Έστω η συνάρτηση f( ) 0 =. α) Να βρείτε το lm h 0 0 ( h) +. h β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 0 =. γ) Βρείτε το lm f ( ) 0 009. α) Η συνάρτηση f ορίζεται στο A = R. 0 Έχουμε f () = =, οπότε 0 ( + h) f( + h) f() lm = lm = f (), () h 0 h h 0 h Όμως για κάθε R είναι 00 ( ) = 0 και () 0 f f =, () Άρα η () λόγω της () γίνεται lm h 0 0 ( h) 0 + =. h β) Έστω y = λ + β η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f. Η εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη o = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f = 0 ( ) Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = 0 + β. ( ) Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο M, f ( ), δηλαδή από το M (,) σχέση = 0 + β, οπότε β = 00 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 0 00., ισχύει η γ) 009 00 009 f ( ) 0 0 0 lm = lm = 009 0 ( ) 009 lm = lm(0 ) = 0 6

Άσκηση g( ) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( ) = e, όπου g παραγωγίσιμη στο R. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο Α(0,) και η εφαπτομένη της στο Α είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): y = + 0 τότε: α) Να βρεθεί το f (0). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (0, f (0)). α) Αφού η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(0,), θα ισχύει g (0) =. Αφού η εφαπτομένη της συνάρτησης g στο Α(0,) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε), τότε g (0) = g (0) =. λ ε Για κάθε R είναι Άρα f (0) = e. () g( ) f ( ) = e g ( ) και για = 0, έχουμε = = =. g (0) f (0) e g (0) e e β) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο της με τετμημένη 0 = 0 δίνεται από τον τύπο y = α+ βαβ,, R, () Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς αβ,. Ξέρουμε ότι: () A= f (0) = e, (3) οπότε η () από (3) γίνεται: y = e + β, (4) Το σημείο επαφής είναι το ( 0, (0)) g (0) A f ή A( 0, e ) ή ( 0, ) A e. Επειδή το σημείο A ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (4), οπότε έχουμε: e= e 0 + β β = e. Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = e + e 7

Άσκηση Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο της M (, 3 ) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 30 o. α) Να βρείτε την τιμή f (). β) Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε). γ) Να υπολογίσετε το όριο lm h 0 f( + h) 3. h α) Το σημείο M (, 3 ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, άρα ισχύει: f () = 3 () β) Η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 30 o, άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης o 3 λ = f () = εϕ30 = () 3 γ) Είναι: ( ) ( ) f( + h) 3 f( + h) f() 3 lm = lm = f () = h 0 h h 0 h 3 8

Άσκηση ΘΕΜΑ Γ Ένας ποδοσφαιριστής αφού τοποθετήσει τη μπάλα στο έδαφος την κλωτσά με δύναμη προς τα πάνω. Η τροχιά που διαγράφει η μπάλα υποθέτουμε ότι δίνεται από τη συνάρτηση f( t) = 8t 5t (όπου t ο χρόνος σε sec). α) Να εκφράσετε την ταχύτητα της μπάλας συναρτήσει του χρόνου. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα της μπάλας για t = sec και t = sec. Πως ερμηνεύετε τα πρόσημα; γ) Σε ποια χρονική στιγμή η μπάλα ξαναβρίσκεται στο έδαφος; δ) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε η μπάλα; α) Η ταχύτητα u της μπάλας συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης f() t. ut () = f'() t = (8t 5 t)' ut ( ) = 8 0t () β) Από την () για t =, έχουμε u() = 8 0 = 8 m/ sec. Το θετικό πρόσημο της ταχύτητας φανερώνει ότι η μπάλα τη χρονική στιγμή t = sec κινείται στη θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). για t =, έχουμε u() = 8 0 = m/ sec. Τo αρνητικό πρόσημο της ταχύτητας φανερώνει ότι η μπάλα τη χρονική στιγμή t = sec κινείται στην αρνητική κατεύθυνση (προς τα κάτω). γ) Η μπάλα βρίσκεται στο έδαφος όταν f() t = 0. Από την f() t = 0 8t 5t = 0 t(8 5 t) = 0, t = 0sec ή 8 5t = 0 t = 3, 6sec Άρα η μπάλα βρίσκεται στο έδαφος στην αρχή του χρόνου, όταν δηλαδή από 3, 6sec. Άρα t [0,3.6] t = 0sec, και μετά δ) Για να βρούμε το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε η μπάλα πρώτα θα βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης f. Δηλαδή θα λύσουμε την εξίσωση f '( t ) = 0 8 Από την f '( t ) = 0 8 0t = 0 t = =,8sec 0 Στη συνέχεια φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι ο χρόνος που κινήθηκε η μπάλα ήταν από 0 έως 3, 6sec. 9

Από τον πίνακα φαίνεται ότι η μπάλα έφτασε στο μέγιστo ύψος όταν ήταν f(,8) = 8(,8) 5(,8) = 3, 4 6, = 6, m t =,8sec και αυτό 30

Άσκηση Ο πληθυσμός μιας χώρας δίνεται για μια περίοδο 50 ετών από τη συνάρτηση Π(t) = - t + t + 0 00 5 χρονική στιγμή t = 0 αντιστοιχεί στην αρχή του έτους 960. (σε εκατομμύρια), όπου t [ 0,50] είναι ο χρόνος σε έτη και η α) Πόσος ήταν ο πληθυσμός στην αρχή της περιόδου και πόσος στο τέλος; β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του πληθυσμού στην περίοδο αυτή των 50 ετών. Σε ποιο έτος προέκυψε αυτή; γ) Ποιος ήταν ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού στα μέσα της χρονικής αυτής περιόδου δηλαδή όταν t = 5; α) Στην αρχή της περιόδου ( t = 0) δηλαδή το 960, ο πληθυσμός της χώρας ήταν Π(0) = - 0 + 0 + 0 = 0 εκατομμύρια κάτοικοι 00 5 Στο τέλος της περιόδου ( t = 50) δηλαδή στην αρχή του 00, ο πληθυσμός της χώρας ήταν Π(50) = - 50 + 50 + 0 = 7,5 εκατομμύρια κάτοικοι 00 5 β) Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή του πληθυσμού βρίσκουμε πρώτα την παράγωγο της συνάρτησης Π(t) Π (t) = - t + t + 0 = t + = t +, 00 5 00 5 00 5 Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου. Δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Π () = 0 00 t + = 0 t = t = = 0 έτη 00 5 00 5 5 H παράγωγος γίνεται θετική όταν t+ > 0 t > 5t > 00 t < 0 και 00 5 00 5 αρνητική όταν t > 0 Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι η περίοδος του χρόνου κατά την οποία εξετάζουμε τη μεταβολή του πληθυσμού είναι από 0 έως 50 χρόνια, δηλαδή από το 960 έως το 00. 3

Η μέγιστη τιμή του πληθυσμού προέκυψε όταν t = 0 δηλαδή, 0 χρόνια από την έναρξη της μέτρησης του χρόνου και αντιστοιχεί στην αρχή του 980. Ο πληθυσμός της χώρας τότε ήταν: Π (0) = 0 + 0 + 0 = 400 + 0 + 0 = + 4 + 0 = εκατομμύρια. 00 5 00 5 δ) Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού όταν t = 5 είναι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης Π(t) για t = 5 5 5 + 4 Π '(5) = 5 + = + = + = = 00 5 00 5 4 5 0 0 3

Άσκηση 3 Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α = 0cm εγγράφουμε ορθογώνιο ΔΕΖΗ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ΒΕ = α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΔΕΖΗ συναρτήσει του. β) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν =. γ) Να βρείτε για ποια τιμή του το εμβαδόν Ε του τριγώνου αυτού γίνεται μέγιστο. δ) Ποιές είναι τότε οι διαστάσεις του ορθογωνίου και πόσο είναι το εμβαδόν του. α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οι γωνίες του θα είναι 60 ο. Άρα εϕ60 ο Ε =, Ε = ΒΕ εϕ60 ο, Ε = 3. ΒΕ Επειδή ΒΕ = ZΓ =, ΕΖ = 0 Πρέπει > 0 είναι τo (0,0) και επειδή ΕΖ> 0 0 > 0 0 > άρα το πεδίο ορισμού To εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ΔΕΖΗ συναρτήσει του είναι: Ε ( ) = 3 (0 ) = (0 3 3 ) cm β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου για = είναι Ε '( ) = (0 3 3 )' = 0 3 4 3 άρα Ε '( ) = 0 3 4 3 () Για = είναι Ε '() = 0 3 8 3 = 3 Άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού όταν = είναι Ε '() = 3 γ) Για να βρούμε για ποια τιμή του το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο βρίσκουμε της ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης Ε ( ), δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Ε '( ) = 0. Από την Ε '( ) = 0 0 3 4 3 = 0 = 5cm Στη συνέχεια σχηματίζουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου, με την υπενθύμιση ότι 0 < < 0. 33

Από τον πίνακα προκύπτει ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο για = 5cm. δ) Αφού το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο για = 5cm, δηλαδή όταν ΒΕ = ΖΓ = 5cm, η βάση του ορθογωνίου θα είναι τότε ΕΖ = α 5 = 0 0 = 0cm, το Ε(5) 50 3 δε ύψος του ορθογωνίου Ε θα είναι Ε = = = 5 3cm. ΕΖ 0 Tο μέγιστο εμβαδόν είναι: Ε (5) = 0 3 5 3 5 = 00 3 50 3 = 50 3cm 34

Άσκηση 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f( ) = + και g ( ) =. I. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι ίσες. II. Να βρείτε το όριο lm f ( ). III. IV. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f 4 4. I. Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, το διάστημα [ 0,+ ). Επίσης ( ) ( + ) ( ) f ( ) = = = + + + = = g άρα f = g. ( ), II. III. Είναι ( ) ( ) lm f = lm = lm lm = = 0. Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης f και έχουμε: για > 0, f ( ) = ( ) = ( ) () =, άρα f ( ) > 0 για κάθε > 0, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, το διάστημα [ 0,+ ). IV. Έχουμε f = =. 4 4 35

Άρα αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f 4 4, τότε ισχύει π εφ ω =, άρα ω =. 4 36

Άσκηση 5 f = 5 + a + 4, όπου a μια πραγματική σταθερά. I. Να βρείτε το α ώστε ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς να μηδενίζεται για =. 3 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 II. Για a = 3 Να βρείτε για ποια τιμή του ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. I. Ο ρυθμός μεταβολής της f είναι η παράγωγός της, = + + = +, ( ) ( ) 3 f 5 a 4 3 0 a οπότε f '( ) = 0 3( ) 0 + α = 0 α = 3. 3 3 3 II. Έχουμε f ( ) = 3 0+ 3, οπότε για να βρούμε σε ποιο σημείο γίνεται ελάχιστος θα πρέπει να βρούμε το ελάχιστο της f. Έτσι παραγωγίζουμε την f και έχουμε: f ( ) = (3 0+ 3) = 6 0. Επίσης 5 f ( ) = 0 6 0 = 0 =, 3 5 5 f ( ) > 0 6 0 > 0 > και f ( ) < 0 6 0 < 0 < οπότε : 3 3 5 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 3 και γνησίως αύξουσα στο 5, + 3, άρα 5 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =. 3 5 Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος στο =. 3 37

Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση f( ) ln ( 3) = +. I. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. II. Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f. III. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. IV. Να βρείτε το όριο lm ( ) f. I. Για να ορίζεται η f πρέπει + 3> 0. Όμως το τριώνυμο + 3 έχει διακρίνουσα = ( ) 43 = 8< 0, άρα + 3> 0 για κάθε, επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το. II. Η συνάρτηση f προκύπτει αν στη συνάρτηση h( ) ln τη συνάρτηση g( ) = + 3, δηλαδή είναι f ( ) h g( ) παράγωγο έχουμε ( ) ( ) = αντικαταστήσουμε το με ( ) ( ) ( ) ( 3) =, οπότε για την f = h g g = + = + 3 + 3. III. Έχουμε f ( ) = 0 = 0 =, + 3 f ( ) > 0 > 0 > + 3 f ( ) < 0 < 0 <. + 3 (αφού + 3> 0 για κάθε ) και 38

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [ ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το ( ) ( ) f = ln + 3 = ln,+, άρα IV. Ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) f = = =, + 3 + 3 + + 3 + οπότε f ( ) lm = lm = =. + 3 + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 39

Άσκηση 7 3 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + 5 + +,. f( ) α) Να υπολογιστεί το lm 3 + 8. β) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. α) Παραγοντοποιούμε την f( ) με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner και έχουμε: ( ) ( ) ( + ) ( + 3+ 6) lm + 8 ( + ) ( + 4) f( ) = + + 3+ 6 και f( ) lm = = 3 + 3+ 6 ( ) + 3 ( ) + 6 4 = lm = = =. + 4 ( ) ( ) + 4 3 5 ρ = 6 3 6 0 β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε M, f( ), δίνεται από τον τύπο f ( ) = 3 + 0+,. οποιοδήποτε σημείο ( ) Συμβολίζουμε με λ ( ) = 3 + 0+, τη συνάρτηση που εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης και μελετάμε τα ακρότατα της. Η παράγωγος της συνάρτησης λ ( ) είναι λ ( ) = 6+ 0,. 5 λ ( ) = 0 6+ 0 = 0 =. 3 5 λ ( ) > 0 6+ 0 > 0 >. 3 Η μονοτονία και τα ακρότατα της λ ( ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση λ ( ) : 40

Είναι γνησίως αύξουσα στo Είναι γνησίως φθίνουσα στο 5, 3 +. 5, 3. Είναι Έχει ελάχιστο για 3 5 =. 3 5 5 5 5 5 5 6 5 + 375 34 f = + 5 + + = + 0 + = = 3 3 3 3 7 9 7 7 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f γίνεται ελάχιστος στο σημείο 5 5 M, f 3 3, δηλαδή στο 5 34 M, 3 7. 4

Άσκηση 8 Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 3 f( ) = + α β+, και α, β, στο σημείο της Μ,, είναι παράλληλη στον άξονα, ' τότε: 3 α) Να δείξετε ότι α = και β = 6. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. f( ) γ) Να υπολογίσετε το όριο lm. f ( ) + 6 α) Η παράγωγος της f είναι η f ( ) = 3 + α β,. Το σημείο Μ, ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα f ( ) = + α + β + = α + β = 9 () Αφού η εφαπτομένη στο σημείο Μ,, είναι παράλληλη στον άξονα, ' θα ισχύει f = 0 3 α β = 0 α + β = 3 (). ( ) Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων () και () προκύπτει β = 6 και 3 α =. 3 3 β) Αντικαθιστώντας τα α και β από το α) ερώτημα είναι f( ) = 6+, και f ( ) = 3 3 6,. f ( ) = 0 3 3 6= 0 = 0 = ή =. f ( ) > 0 3 3 6> 0 > 0 () Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Άρα η ανίσωση () αληθεύει για < ή >. Το ίδιο ισχύει και για την f ( ) > 0. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 4

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f : Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, + ). Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Έχει τοπικό μέγιστο το 3 3 3 3 f ( ) = ( ) ( ) 6 ( ) + = + 6+ = 7 = και τοπικό ελάχιστο 3 3 το f ( ) = 6 + = 8 6 + = 8. 3 3 3 3 + 4 γ) Παραγοντοποιούμε την f( ) = 6+ =, με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner και έχουμε: ( ) ( + 7+ 3 4 ρ = ) f( ) =. 4 4 4 7 0 Τότε είναι: f( ) ( + ) ( 7+ ) ( + ) ( 7+ ) lm = lm = lm = f () + 6 3 + 3 6 3 + ( ) 7+ ( ) 7 ( ) + 4 4 lm 6 6 8 3 = = = = ( ) ( ). ( ) ( ) 43

Άσκηση 9 λ Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) = e +, και λ. α) Να βρείτε τις f ( ) και f (). β) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει f () + f ( ) f( ) =, για κάθε. γ) Για τη μικρότερη από τις τιμές του λ που βρήκατε στο β) ερώτημα, να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. λ f ( ) = e + = λe +, και λ α) Είναι ( λ ) f ( ) e λ λ = λ λ = λ e,. ( ) β) Για κάθε, ισχύει ( ) + f f = λ e + λe + e + = λ λ λ f () ( ) ( ) ( ) λ e 0 λ λ λ λ λ e + λe + e = λ + λ e = 0 λ + λ = 0 λ = ή λ = γ) Για λ =, έχουμε f( ) = e +, και f ( ) = e +,. ln f ( ) = 0 e + = 0 e = = ln = ln =. f ( ) > 0 e + > 0 e > e < ln e < < ln < ln >. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 44

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση f : ln Είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Είναι γνησίως αύξουσα στο ln, +. Έχει ελάχιστο το ln ln ln ln ln ln f = e + = e + = + =. ln + 45

Άσκηση 0 Έστω η συνάρτηση f με τύπο = α + β + γ, με αβγ,, και α 0. f( ) α) Να βρείτε τις τιμές των αβγ,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(, ) και η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της Β(,0) να είναι ίση με 4. β) Για α =, β = 4 και γ = 0, υπολογίστε το όριο lm f( ) + f '( ) 4. α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(, ), θα ισχύει f () = α + β + γ = () Επίσης το ίδιο θα ισχύει και για το σημείο B (,0), δηλαδή f () = 0 4α + β + γ = 0 () Αφού η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στο Β (,0) είναι ίση με 4 θα ισχύει f '() = 4. Για κάθε, έχουμε f '( ) = α+ β. Άρα f '() = 4 4α + β = 4, (3). Αφαιρώντας την () από την () έχουμε 3α + β = (4) Λύνοντας το σύστημα των (3) και (4) βρίσκουμε: α = και β = 4, οπότε από την () προκύπτει 4+ γ = γ = 0. β) Για α =, β = 4 και γ = 0 ο τύπος της συνάρτησης είναι: κάθε, έχουμε f '( ) = 4 4. Τότε f( ) 4 = και για f + f + + lm = lm = lm = lm = lm ( ) '( ) 4 4 4 4 4 8 ( 4) ( )( ) ( )( + )( + ) ( )( + )( + ) = lm = lm ( )( + ) = lm[( + )( + )] = 4 = 6 46

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α) Βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης λ ( ) σημείο της Μ (, f( )). 3 f( ) = + 3 6+ 0. της εφαπτομένης της καμπύλης της f σε κάθε β) Για ποια τιμή του, ο συντελεστής διεύθυνσης λ ( ) γίνεται ελάχιστος; f( + h) f( ) γ) Υπολογίστε το όριο lm. h 0 h δ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 =. Επειδή η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική,το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α= α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f σε κάθε σημείο της Μ (, f( )) είναι ο παράγωγος αριθμός f '( ), οπότε έχουμε f 3 3 '( ) = ( + 3 6 + 0)' = ( )' + (3 )' (6 )' + (0)' = 3 + 6 6 = λ( ) β) Ζητάμε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση λ ( ) = 3 + 6 6, έχει ελάχιστο. Έχουμε λ = + = + '( ) (3 6 6) ' 6 6 Λύνουμε την εξίσωση 6 6 f() 0 6 6 0 6 6 6 6 Η μονοτονία και τα ακρότατα της λ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 47

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η λ ( ) : Είναι γν. φθίνουσα στο (, ] Είναι γν. αύξουσα στο [, ), αφού ( ) 0 +, αφού ( ) 0 Έχει ελάχιστο στο =, το λ( ) = 9. λ < για κάθε (, ) λ > για κάθε (, + ) f( + h) f( ) γ) Από τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης f έχουμε = f h f( + h) f( ) Έτσι έχουμε lm = f '( ) = 3 ( ) + 6 ( ) 6 = 9 h 0 h 0 0 lm '( 0) h 0 δ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε σημείο της με τετμημένη 0 = δίνεται από τον τύπο y = α+ β, αβ,, () Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς αβ,. ( γ ) Ξέρουμε ότι: α = f ( ) = 9, () οπότε η () από () γίνεται: y = 9+ β, (3) Το σημείο επαφής είναι το Α (, f ( )) ή Α (,09). Επειδή το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (3), οπότε έχουμε: 09 = 9 ( ) + β β = 00.Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = 9+ 00 48

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( ) = αln + β, > 0 και αβ>, 0. α) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 =. β) Βρείτε τα σημεία Α και Β που η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες ' και y' y. γ) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. δ) Αν β είναι μέγιστο. = ( α ), βρείτε το α ώστε το εμβαδόν ( α) Ε του παραπάνω τριγώνου να Πρέπει > 0, άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (0, + ) α) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε σημείο της με τετμημένη = δίνεται από τον τύπο y = κ+ λκλ,, () 0 Η συνάρτηση f έχει παράγωγο την f '( ) = ( αln + β)' = α(ln )' + β( )' = α + β Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς κλ,. Ξέρουμε ότι: y = f '() = α + β, () οπότε η () από () γίνεται: Το σημείο επαφής είναι το A, f() ήa, β. Επειδή το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (3), οπότε έχουμε: β = ( α + β) + λ λ = α. Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = α + β α β) Το σημείο τομής της ευθείας y = α + β α με τον άξονα yy βρίσκεται αν θέσουμε, όπου = 0 Το σημείο τομής της ευθείας ( ) ( ) ( ) ( ) y = α + β α με τον άξονα βρίσκεται αν θέσουμε όπου y = 0 άρα 0 = α ( α + β) α ( α + β) = α =, α β 0 α + β +, ( α + β > 0 επειδή αβ>, 0) οπότε έχουμε το σημείο A( α,0) α + β ( α β) λ,3 ( ) y = + + άρα y = ( α + β )0 α y = α οπότε έχουμε το σημείο Β ( ) ( 0, α ) 49

γ) Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο με τη γωνία Ο= ˆ 90, οπότε το εμβαδόν του τριγώνου α α ( ΟΑ)( ΟΒ ) α + β α ΟΑΒ = = = α και επειδή αβ>, 0 α + β ( ) θα έχουμε ( ) ΟΑΒ = δ) Για ( ) β α ( α + β) = ( α ),το εμβαδόν ΟΑΒ γίνεται Για κάθε α > 0 είναι ( ) α α α ΟΑΒ = = = + + ( ) ( ) ( ) α + ( α α + ) α ( α ) α α α ( α ) '( α α + ) α ( α α + ) ' Ε '( α) = ( ) ' = = α α + ( α α + ) ( + ) ( ) + ( α α + ) ( α α + ) α α α α α α α = = Έχουμε α + α Ε = = + = = = ( α α + ) '( α) 0 0 α α 0 α( α) 0 α 0 ή α = Επίσης '( ) 0 0 0 Ε α > α + α > < α <. Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Άρα το εμβαδόν Ε ( α) παρουσιάζει μέγιστο για α =. 50

Άσκηση 3 Μία βιομηχανία παράγει ηλιακούς θερμοσίφωνες. Το κόστος Κ ( ) σε ευρώ για την παραγωγή προϊόντων σε μία ημέρα δίνεται κατά προσέγγιση από τον τύπο 3 Κ ( ) = 50+ 00, [ 0,50]. 3 Αν οι εισπράξεις από την πώληση των προϊόντων δίνονται από τη σχέση 3 Ε ( ) = 00, να βρείτε: α) Πόσο είναι το ημερήσιο κόστος αν η βιομηχανία δεν παράγει κανένα προϊόν. β) Ποιο είναι το μέγιστο κόστος παραγωγής. γ) Το συνολικό αριθμό των προϊόντων που πρέπει να πουληθούν ώστε η βιομηχανία να έχει το μέγιστο κέρδος. α) Αν η βιομηχανία δεν παράγει κανένα προϊόν θα έχουμε = 0 προϊόντα, οπότε θα έχουμε 3 0 Κ (0) = 50 0 + 00 = 00 ευρώ 3 3 β) Η παράγωγος της Κ ( ) = 50+ 00 με [ 0,50] είναι 3 3 3 K'( ) = (50 )' + (00)' ( )' = 50 = 50 3 3 0 K ( ) = 50 = 0 = 50 = 50 = 5 = 5 0,50 K ( ) > 0 50 > 0 < 50 0 < 50 0 < 5 0 [ ] Η μονοτονία και τα ακρότατα της Κ( ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η K : Είναι γνησίως αύξουσα στο [0,5 ], γιατί K ( ) 0 Είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,50], γιατί K ( ) 0 Έχει μέγιστο το > για κάθε ( 0,5 ) < για κάθε ( 5,50) 3 (5 ) 50 500 K (5 ) = 50 5 + 00 = 50 + 00 = 00. 3 3 3 Άρα το μέγιστο συνολικό κόστος είναι 500 + 00 και πραγματοποιείται όταν = 5 3 ( ) γ) Το κέρδος δίνεται από τη συνάρτηση 3 3 3 3 3 P ( ) =Ε( ) Κ ( ) = 00 (50+ 00 ) = 00 50 00 + = 50 00 3 3 6 3 Η παράγωγος της P ( ) = 50 00 με [ 0,50] είναι 6 3 3 00 P ( ) = (50 ) ( ) (00) = 50 50 = 6 6 00 0 P ( ) = = 0 = 00 = 0 [ 0,50] Η μονοτονία και τα ακρότατα της Pφαίνονται ( ) στον παρακάτω πίνακα 5

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η P : Είναι γνησίως αύξουσα στο[0,0], αφού P ( ) > 0 για κάθε (0,0) Είναι γνησίως φθίνουσα στο[0,50] αφού P ( ) < 0 για κάθε (0,50) Έχει μέγιστο το 3 0 500 500 00 500 700 P(0) = 50 0 00 = 500 00 = 400 = =. 6 3 3 3 3 Άρα το μέγιστο συνολικό κέρδος είναι 700 και πραγματοποιείται όταν 0 3 = ( ) 53

Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f(3 + h) f(3) = h + 8h για κάθε h R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 3 με f '(3) = 8 β) Αν f (4) = 4, τότε: ) Να αποδείξετε ότι f (3) = 5 ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη 0 = 3 α) Για κάθε h 0 έχουμε: f(3 + h) f(3) h + 8 h hh ( + 8) = = = h + 8 h h h Είναι: f(3 + h) f(3) lm = lm( h + 8) = 8 h 0 h h 0 Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 3 με f '(3) = 8 β) ) Η δοθείσα σχέση ισχύει για κάθε h άρα θα ισχύει και για h =, οπότε έχουμε: f (4) = 4 (3 ) (3) 8 (4) (3) 9 4 (3) 9 (3) 5 f + f = + f f = f = f = ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f (3) = 8 0 3 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = 8+ β. Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ (3, f (3)), δηλαδή από το M (3,5), ισχύει η σχέση 5 = 8 3 + β, οπότε β = 9 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 8 9 54

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f( ) = 3. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Α (9, f (9)) της C f. β) Aν η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες στα σημεία Β και Γ να υπολογίζετε το μήκος της ΒΓ. γ) Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη στον άξονα ' η οποία τον τέμνει στο σημείο Δ. Να βρείτε το σημείο της καμπύλης y = 3 το οποίο είναι το πλησιέστερο στο σημείο Δ. α) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 0. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι: Α = [0, + ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α (9, f (9)) είναι η παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο 0 = 9. Η παράγωγος της συνάρτησης f( ) = 3 είναι: f ( ) = (3 ) = 3 για κάθε > 0 () Για = 9 από την () έχουμε: f (9) = 3 = 9 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο Α (9, f (9)) είναι λ = Η εφαπτομένη έχει εξίσωση y = + β. Επειδή όμως το σημείο Α(9, f (9)) ανήκει στην εφαπτομένη και y = f(9) = 3 9 = 9, έχουμε: 9 9= 9+ β όπου β = 9 9= Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 9 y = + β) Από την εξίσωση της εφαπτομένης - για = 0 έχουμε 9 9 y = 0 + = - για y = 0 έχουμε 9 9 0 = +, =, = 9 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ ( 9,0). Το μήκος της ΒΓ είναι: 9 Β (0, ) και 55

9 8 5 8 9 5 ΒΓ = ( 9) + = 8+ = = 4 4 γ) Η κάθετη από το Α στον άξονα τον τέμνει στο σημείο (9,0). Έστω Ε το σημείο της καμπύλης y = 3, 0 το οποίο είναι το πλησιέστερο στο σημείο Δ. Επειδή το σημείο Ε ανήκει στην καμπύλη είναι Ε (,3 ). Έχουμε ( Ε ) = ( 9) + (3 0) = 8+ 8+ 9 = 9+ 8 Για να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση d( ) = 9+ 8 έχει ελάχιστο, βρίσκουμε πρώτα την παράγωγό της. Είναι: 9 d ( ) = ( 9+ 8) = 9+ 8 Κατόπιν μηδενίζουμε την παράγωγο. Έχουμε: 9 d ( ) = 0 9= 0 = Στη συνέχεια κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων της d ( ) 9 από τον οποίο έχουμε ότι η d ( ) παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Άρα το πλησιέστερο σημείο της καμπύλης στο σημείο Δ του οριζόντιου άξονα 9 είναι το E (,9 ). 56

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f( ) = λ + ( µ ), Αν η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α(, 4) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5 6 α) Nα βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών λµ., β) Για λ = και µ = να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης. α) Αφού το σημείο Α(, 4) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f οι συντεταγμένες του θα την επαληθεύουν οπότε θα είναι: f () = 4 λ + ( µ ) = 4 4λ + µ = 4 4λ + µ = 8 () Αφού η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α (, 4) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5 6 οι δύο ευθείες θα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης C f είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο 0 = άρα λ = f () = 5. f ( ) = λ + ( µ ) f ( ) = λ + µ f () = λ + µ f () = 5 4λ + µ = 6 () Από τις () και () προκύπτει ότι: 4λ + µ = 8 4λ + µ = 8 µ = 4λ + µ = 6 4λ µ = 6 λ = β) Αν λ = και µ = τότε η συνάρτηση f γίνεται: f( ) = + ( ) f( ) = + και f ( ) = + Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες τις παραγώγου δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f ( ) = 0 + = 0 = Η παράγωγος γίνεται θετική όταν f ( ) > 0 > και f ( ) < 0 < και αρνητική όταν < Στη συνέχεια διαμορφώνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου 57

Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση για 9 4 4 f ( ) = ( ) + ( ) = = = έχει ελάχιστο το 58

Άσκηση 3 Ο διευθυντής μιας θεατρικής παράστασης έχει διαπιστώσει ότι όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 8 ευρώ τότε την παράσταση τη βλέπουν την παράσταση 500 θεατές την εβδομάδα. Κάθε φορά που το εισητήριο μειώνεται κατά 0,50 ευρώ την εβδομάδα οι θεατές αυξάνονται εβδομαδιαίως κατά 50. α) Να δείξετε ότι ο αριθμός των θεατών ως συνάρτηση της τιμής του εισιτηρίου είναι f( ) = 300 00 β) Πόσο πρέπει να είναι το εισιτήριο ώστε το θέατρο να έχει τη μέγιστη δυνατή είσπραξη την εβδομάδα; γ) Πόσοι θεατές παρακολουθούν τότε την παράσταση και πόσα ευρώ είναι μεγαλύτερη η είσπραξη τότε από την είσπραξη όταν το εισιτήριο είναι 8 ευρώ; α) Αν η μείωση του εισιτηρίου γίνει α φορές το ποσό των 0,5ευρώ, τότε η τιμή του 8 εισιτηρίου θα είναι = 8 0,50 α α =,( ) 0,5 Οι θεατές θα είναι 500 + 50α και από την σχέση () θα έχουμε ότι το πλήθος των θεατών 8 θα είναι f ( ) = 500 + 50 = 500 + ( 8 ) 00 = 500 + 800 00= 300 00 0,5 β) Επειδή: Είσπραξη = (αριθμός θεατών) (τιμή εισιτηρίου) H είσπραξη του θεάτρου είναι: Ε ( ) = f( ) = (300 00 ), Ε ( ) = 300 00 Για να βρούμε πότε η είσπραξη γίνεται μέγιστη πρώτα θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης Ε ( ). Ε ( ) = (300 00 ) = 300 00 Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Ε ( ) = 0 = 6,5 Η παράγωγος γίνεται θετική όταν 300 00> 0 < 6,5 και αρνητική όταν > 6,5 Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου με την υπενθύμιση ότι η τιμή του εισιτηρίου κυμαίνεται από 0 έως 8 ευρώ. Από τον πίνακα φαίνεται ότι είσπραξη γίνεται μέγιστη όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 6, 5 ευρώ. 59

γ) Η είσπραξη είναι τότε Ε (6,5) = 300 6,5 00 6,5 = 8400 45 = 45ευρώ. Την παράσταση την παρακολουθούν τότε 45: 6,5 = 650 θεατές την εβδομάδα. Όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 8 ευρώ την παράσταση παρακολουθούν 500 θεατές και η είσπραξη είναι: Ε (8) = 500 8 = 4000 ευρώ Άρα η είσπραξη όταν το εισιτήριο είναι 6,5 ευρώ είναι 5 ευρώ μεγαλύτερη απ αυτή όταν το εισιτήριο είναι 8 ευρώ. 60

Άσκηση4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) σταθερά. f = λ + 5+ 4 με πεδίο ορισμού το και λ μια πραγματική ( ). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f ( ) παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = + 3, τότε α) να υπολογίσετε το λ β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης.. Αν λ =, τότε α) να βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα f( ) γ) να υπολογίσετε το όριο lm 4 + 5.. f = + 5+ 4 = λ + 5. α) Η παράγωγος της συνάρτησης f είναι ( ) ( λ ) Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f ( ) είναι ( ) είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = + 3, ισχύει f ( ) = 4λ+ 5= λ =. β) Η εφαπτομένη έχει συντελεστή διεύθυνσης, άρα θα έχει εξίσωση y = + β. Επίσης το A, f ανήκει και στην εφαπτομένη, που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες ( ) σημείο επαφής ( ) του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της και ( ) ( ) ( ) f = + 5 + 4=, άρα = + β β = 0. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y =.. α) Για να βρούμε σε ποια σημεία τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση: f = 0 + 5+ 4= 0 = ή = 4 ( ) ( ) στα σημεία A(,0) και ( 4,0) τον τέμνει στο σημείο Γ ( 0,4) αφού ( ) άρα τέμνει τον άξονα Τον άξονα yy β) Έχουμε f ( ) = + 5, οπότε 5 f ( ) = 0 =, 5 f ( ) > 0 > και 5 f ( ) < 0 <. B. f 0 = 4. 6

5 Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο 5, +, 5 5 9 άρα παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f =. 4 γ) Έχουμε f( ) + 5+ 4 ( + ) ( + 4) ( + 5 + ) lm = lm = lm = 4 + 5 4 + 5 4 ( + 5 ) ( + 5+ ) ( + ) ( + 4) ( + 5 + ) lm = lm ( + )( + 5 + ) = 6. 4 ( + 4) 4 6

Άσκηση 5 λ Δίνεται η συνάρτηση ( ) µ, f = e + e όπου ο αριθμός λ είναι το όριο αριθμός µ η ελάχιστη τιμή της συνάρτηση g( ) = ln, > 0. I. Να υπολογίσετε τους αριθμούς λ και µ. 3 + lm 0 και ο II. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. ( ) III. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0, f ( 0) είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο ( 3, g( e 3 )) B e. I. Έχουμε ( ) + + + ( + ) lm 3 0 lm = lm = lm = = 0 0 ( ) 0 lm( ) 0 Επίσης g ( ) = ( ln ) = ( ) ln + ( ln ) = ln. Ισχύει g ( ) = 0 ln = 0 = ln =, ln γν. αύξουσα g ( ) < 0 ln < 0 ln < ln 0 < < και ln γν. αύξουσα g ( ) > 0 ln > 0 ln > ln >., άρα λ =. Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, ] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ), άρα παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το ( ) f = e e, οπότε II. Η συνάρτηση f γίνεται ( ) g =, άρα µ =. f ( ) ( e e ) ( e ) ( e ) e ( ) e e e ( e e ) 0, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το, οπότε δεν έχει ακρότατα. = = = = = + < για κάθε III. Έστω λ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0, f ( 0) και λ αντίστοιχα της γραφικής παράστασης της g στο σημείο ( 3, g( e 3 )) B e ( ). Για να είναι παράλληλες οι εφαπτόμενες αρκεί να δείξουμε ότι λ = λ. Έχουμε 0 0 λ = f ( 0) = e e = 3 και ( 3 λ ) ( 3 = g e = ln e ) = 3. Άρα λ = λ, οπότε αποδείχτηκε. 63

Άσκηση 6 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο = με I. Να βρείτε την τιμή f ( ). lm f( ) ( + ) = =, () II. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( ) ( 3) ( 4) α) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, ( ) ) A f, β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο. γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράστασή της f έχει τρία σημεία όπου η εφαπτομένη είναι οριζόντια. I. Έχουμε II. lm ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + + ) lm ( ) ( + + ) f f = = lm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f lm f = lm = + + + + ( ) ( ) lm f άρα = lm f ( ) = και επειδή η f είναι συνεχής στο ( ) = έχουμε f ( ) f ( ), = lm =. α) Είναι f ( ) = ( ) ( 3) ( 4) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y = 6+ β () και το σημείο επαφής A έχει συντεταγμένες A (,) οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση (), άρα = 6+ β β = 8, επομένως η () γίνεται y = 6+ 8. β) Σχηματίζουμε το πινακάκι προσήμου για την f 64

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,] και [ ] στα [,3 ] και [ 4,+ ), οπότε έχει δύο τοπικά ελάχιστα τα f ( ) και ( 4) μέγιστο το f ( 3). 3,4 και γνησίως αύξουσα f και ένα τοπικό γ) Για να βρούμε σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης της f η εφαπτομένη είναι οριζόντια, αρκεί να βρούμε σε ποια σημεία μηδενίζεται η παράγωγος, έτσι: f = 0 3 4 = 0 ( = ή = 3ή = 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα στα σημεία B, f ( ), Γ 3, f ( 3) και 4, f ( 4) ( ) παράστασης της f είναι οριζόντιες. ( ) ( ) η εφαπτόμενες της γραφικής 65

Άσκηση 7 + Δίνεται η συνάρτηση f() =,. e α) Να υπολογίσετε τις f () και f (). β) Να δείξετε ότι f () f () = f(). γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο της A ( α,f( α )) είναι η ευθεία α α +α+ ε :y= +. α α e e δ) Να βρείτε την τιμή του α> 0, για την οποία η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης του (γ) ερωτήματος, με τον άξονα y y είναι μέγιστη. α) Είναι ( + ) e ( + ) ( e ) e ( + ) e e ( ) f () = = = =, e e e e ( ) e ( e ) e e e ( ) και f () = = = =,. e e e e + + β) Έχουμε f () f () = = = = f(). e e e e γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A ( α,f( α )), α είναι ε :y=λ +β (). α α Είναι λ= f( α ) =. Έτσι η () γίνεται ε :y= +β (). e α Επίσης το σημείο A (,f( )) e α α α ανήκει στην ε, άρα ισχύει: α α+ α α +α+ f( α ) = α+β = +β β=. α α α α e e e e α α +α+ Τελικά η σχέση () γίνεται ε :y= +. α α e e δ) Στην εξίσωση της εφαπτομένης θέτουμε 0 α α +α+ α +α+ y= 0+ =. α α α e e e = και βρίσκουμε Άρα η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης με τον άξονα y y είναι ίση με α +α+. e α 66

Θεωρούμε τη συνάρτηση g( α ) =, α> 0. α +α+ e α 0,+. Το πεδίο ορισμού της g είναι το ( ) ( α ) ( α α +α+ e α +α+ ) ( e ) Η παράγωγος της g είναι g( α ) = = α e α ( ) ( α ) ( α α+ e α +α+ e α+ α α ) e α + α = = =, α> 0 α α α e e e α + α α> g( α ) = 0 = 0 α +α= 0 α( α ) = 0 0 α= 0 α= α e α + α α> g( ) 0 0 0 0 0 α> α > > α +α> α α > α> 0 0 0<α< α e ( ) Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση g(α) : Είναι γνησίως αύξουσα στo ( 0, ]. Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Έχει μέγιστο για α=. Άρα η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης με τον άξονα y y γίνεται μέγιστη όταν α=. 67

Άσκηση 8 =. 4 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη σχηματίζει με 3π τον άξονα, γωνία ω=. 4 γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δίνεται η συνάρτηση f () ln ( ) δ) Να δείξετε ότι 4 4 e, για κάθε >. α) Πρέπει > 0 >. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το (, + ). β) Έστω A( 0,f( 0) ) το ζητούμενο σημείο της γραφικής παράστασης της f. ( ) Η παράγωγος της f είναι ( ) + + ( ) ( ) f () = = = =, >. Επειδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α σχηματίζει με τον άξονα 3π, γωνία ω=, θα ισχύει 4 0 > 3π 0 + 0 + f ( 0) =εφ = 0 + 0 + = 0 + 4 ( ) 0 0 > 0 0 0( 0 ) 0 3 = 0 3 = 0 = 3. 9 9 Επίσης έχουμε f (3) = ln. Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το A 3, ln 4 4. + + γ) Από το β) ερώτημα έχουμε f () =, >. ( ) + + > f () = 0 = 0 + + = 0, η οποία έχει ρίζες = ή =. ( ) Όμως ξέρουμε ότι >, οπότε μόνο η = είναι δεκτή. + + > f () > 0 > 0 + + > 0 () ( ) Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 68

Άρα η ανίσωση () αληθεύει για < < (). Όμως ξέρουμε ότι > (3). Από τη συναλήθευση των () και (3) προκύπτει ότι η ανίσωση f () > 0 αληθεύει για < <. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: Είναι γνησίως αύξουσα στο (, ]. Είναι γνησίως φθίνουσα στο [,+ ). Έχει μέγιστο το ( ) 4 f = ln =. 4 δ) Αφού η f παρουσιάζει μέγιστο το f( ) =, θα ισχύει f( ) f() ln( ) ln( ) 4 4 4 επειδή ln γν. αυξ 4 4 4 4 ln ( ) ln ( ) ln e e, για κάθε >. 4 69

Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f() = +κ,, κ. Αν η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης στο σημείο με τεταγμένη 4, είναι παράλληλη στον άξονα, ' τότε: α) Να δείξετε ότι κ= 4 και να βρείτε την εξίσωση αυτής της εφαπτομένης. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της f σε οποιοδήποτε σημείο της Α( α,f( α )), με α> 0 είναι η y= α α 4. γ) Αν η εφαπτομένη ε τέμνει την ε στο σημείο Β και τον άξονα στο Γ, να δείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τραπεζίου ΟΓΒΔ (όπου (0, 4) ), δίνεται από τον τύπο α + 4 Εα ( ) =, α> 0. α δ) Να βρεθεί το σημείο Α της γραφικής παράστασης της f για το οποίο το εμβαδό Εα ( ) γίνεται ελάχιστο. α) Η παράγωγος της f είναι f () =,. Έστω Μ(, 0 4), το σημείο επαφής. Επειδή η εφαπτομένη στο σημείο Μ είναι παράλληλη στον άξονα, ισχύει f ( 0) = 0 0 = 0 0 = 0. Το σημείο Μ( 0, 4), ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα ισχύει 4= 0 +κ κ= 4. Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα και διέρχεται από το Μ, θα είναι ε :y= 4. β) Η μορφή της εξίσωσης της εφαπτομένης είναι y=λ +β (). όπου λ= f( α ) = α. Άρα η () γίνεται y= α +β (). Επειδή το σημείο Α( α,f( α )) ανήκει σε αυτήν, έχουμε α 4= α α+β β= α 4. Τελικά η ζητούμενη ευθεία είναι η ε :y= α α 4. γ) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f, η εφαπτομένη στο σημείο Α και το τραπέζιο ΟΓΒΔ. Στην εξίσωση της ε, θέτω y= 0 και προκύπτει α> 0 α + 4 0= α α 4 = α. Άρα η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ 4,0. α α + 70

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε και προκύπτει y= α α 4 4= α α 4 y= 4 y= 4 α α α α = 0 = = α. y= 4 y = 4 α Άρα οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο B, 4. ( ΟΓ ) + ( Β ) Το εμβαδόν του ζητούμενου τραπεζίου ΟΓΒΔ είναι Ε = ( Ο ), δηλαδή είναι α + 4 α + α + 4 α + 4 Ε( α ) = α 4= 4 =, α> 0. 4α α δ) Η παράγωγος της συνάρτησης Εα ( ) είναι ( ) ( ) ( ) α + 4 α α + 4 α 4α α 4 α 4 Ε ( α ) = = =, α> 0. α α α α 4 α > 0 α> 0 Ε ( α ) = 0 = 0 α 4= 0 α = α= α α 4 α > 0 α> 0 Ε ( α ) > 0 > 0 α 4> 0 α > α > α>. α Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Εα ( ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η Εα ( ): Είναι γνησίως αύξουσα στο, + ). Είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,. Έχει ελάχιστο για α=. Είναι f( ) = ( ) 4= 4=. 7

Άρα το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται ελάχιστο αν φέρουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο της A(, ). 7

Άσκηση 0 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ( ) ( ), α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη της έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη 0 = f( ) + δ) Να υπολογίσετε το όριο lm 3 + 3 α) Για κάθε είναι: f () = ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )(3 3) = 6( )( ) [ ] Είναι: f ( ) = 0 6( )( ) = 0 = ή = f ( ) > 0 6( )( ) > 0 < < f () = και f () = 0 Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, [ ] [ ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,+ Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = με τιμή f () = Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = με τιμή f () = 0 73

β) Αναζητούμε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση λ ( ) = f ( ) = 6( )( ) παρουσιάζει ολικό μέγιστο. Για κάθε είναι: λ ( ) = f ( ) = [ 6( )( )] = 6( ) 6( ) = 6+ 6 6+ = + 8 = 6( 3) Είναι: 3 λ ( ) = 0 6( 3) = 0 = 3 λ ( ) > 0 6( 3) > 0 3< 0 < Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ( ) γίνεται μέγιστος για 3 = 3 3 3 Είναι f ( ) = ( ) ( ) = ( ) = 4 3 3 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Μ (, f ( )), δηλαδή το 3 Μ(, ) 3 γ) Η εφαπτομένη τηςc f στο σημείο της με τετμημένη 0 = έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 3 3 3 λ = f ( ) = 6 ( ) ( ) = 6 ( ) = 3 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = + β. 3 3 3 Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ (, f ( )), δηλαδή από το Μ(, ), 3 3 ισχύει η σχέση = + β, οπότε β = 4 3 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 4 74

δ) Είναι: f( ) + = ( ) ( ) ( ) = ( )[( ) ] = ( )( 3)( ) 3+ = ( )( ) Για (,) (, ) είναι: f( ) + ( )( 3)( ) ( )( 3)( ) = = = ( 3) = 3 3+ ( )( ) ( )( ) f( ) Άρα lm + = lm( 3) = 3+ 75

Άσκηση * Δίνεται η συνάρτηση f( ) = αe, α f( ) * α) Να αποδείξετε ότι f ( ) = για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία για τις διάφορες τιμές του α * γ) Να αποδείξετε ότι f ''( ) = f( ) για κάθε 4 δ) Αν α > 0 να βρείτε σε ποιο σημείο 0 > 0 η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης. * α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α= * Για κάθε είναι: f( ) f ( ) = αe ( ) = αe = f( ) = f( ) * Άρα f ( ) = για κάθε () β) Για κάθε * είναι e > 0, οπότε: (Στο html να γίνει εκθέτης) αν α > 0 είναι f( ) > 0άρα και f ( ) > 0 αν α < 0 είναι f( ) < 0άρα και f ( ) < 0 Επομένως: αν α > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) αν α < 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα και 0, + (,0) ( ) * γ) Για κάθε είναι: f( ) () f( ) f ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f f f = = = = f( ) 4 4 4 ( ) * Άρα f ( ) = f( ) για κάθε () 4 δ) Αναζητούμε την τιμή του ( 0,+ ) για την οποία η συνάρτηση f( ) λ ( ) = f ( ) = παρουσιάζει ολικό μέγιστο. 76

Για κάθε είναι: λ ( ) = f ( ) = f( ) 4 Είναι: ( ) 0,+ f ( ) > 0 4 λ ( ) = 0 f( ) = 0 = 0 = f ( ) > 0 λ ( ) > 0 f( ) > 0 > 0 < < 4 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ( ) γίνεται μέγιστος για Είναι f( ) α = αe = e Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το = α Μ (, f ( )), δηλαδή το Μ (, ) e 77

Άσκηση + Δίνεται η συνάρτηση f( ) =, e α) Να αποδείξετε ότι f ( ) + 4 f ( ) + 4 f( ) = 0για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να αποδείξετε ότι e + για κάθε δ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση f, έχει τον ελάχιστο ρυθμό μεταβολής ως προς. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής; α) Για κάθε είναι: (+ ) e (+ )( e ) e (+ ) e ( 4 ) e 4 f ( ) = = = = ( e ) ( e ) ( e ) e f ( ) = = = = ( e ) ( e ) ( e ) e ( 4 ) e ( 4 )( e ) 4e ( 4 ) e (8 4) e 8 4 Επομένως για κάθε είναι: 8 4 4 + 8 4 6+ 8+ 4 0 f ( ) + 4 f ( ) + 4 f( ) = + 4 + 4 = = = 0 e e e e e 4 β) Για κάθε είναι f ( ) = e Είναι: f ( ) = 0 4= 0 = 0 f ( ) > 0 4> 0 < 0 f (0) = Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,0] 78

Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 0,+ ) Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο για = 0 με μέγιστη τιμή f (0) = γ) Αποδείξαμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο για = 0 με μέγιστη τιμή + f (0) =, άρα f( ) f(0) για κάθε, δηλαδή e + e για κάθε δ) Αναζητούμε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση f, έχει τον ελάχιστο ρυθμό μεταβολής ως προς. 4 Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ως προς είναι ϕ ( ) = f ( ) =, e 8 4 Για κάθε είναι ϕ ( ) = f ( ) = e Είναι: 8 4 4 ϕ ( ) = 0 = 0 8 4= 0 = = e 8 8 4 4 ϕ ( ) > 0 > 0 8 4> 0 > > e 8 4 ϕ( ) = f ( ) = = = e e e Άρα ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος για = και η ελάχιστη τιμή του είναι ϕ( ) = e Ημερομηνία τροποποίησης: 05/04/0 79

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από διαδοχικά ορθογώνια παραλληλόγραμμα που έχουν βάσεις ίσες με το πλάτος των κλάσεων c και ύψη ίσα με την αθροιστική απόλυτη ή σχετική συχνότητα της κλάσης που αντιπροσωπεύουν.

Ερώτηση θεωρίας Τι ονομάζεται συχνότητα κλάσης. Συχνότητα μιας κλάσης ονομάζεται το πλήθος των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση.

Ερώτηση θεωρίας 3 α) Έστω,,..., k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ και f,f,...,f k οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των προηγούμενων τιμών. Να αποδείξετε ότι:. 0f για κάθε,,...,k.. ff... fk. β) Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας ενός δείγματος τιμών; α). Ισχύει f, όπου η (απόλυτη) συχνότητα της τιμής. Επίσης για,,...,k έχουμε 0 0. Συνεπώς 0f για κάθε,,...,k.. Ισχύει k k f f... fk, άρα αποδείχτηκε. β) Αν η μέση τιμή ενός δείγματος τιμών μιας μεταβλητής και s η τυπική απόκλιση των τιμών αυτών, τότε ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας του δείγματος για 0ορίζεται από το λόγο: s CV. Αν 0, τότε αντί της χρησιμοποιούμε την. 3

Ερώτηση θεωρίας 4 α) Έστω t, t,..., t οι τιμές ενός δείγματος και η μέση τιμή αυτών. Θεωρούμε τις τιμές με y t,,,...,. Να δείξετε ότι η μέση τιμή των τιμών y είναι y 0. β) Δίνεται ένα δείγμα παρατηρήσεων. Πως ορίζεται η διάμεσος του δείγματος; y α) Έχουμε y t t t t t t t tt 0. β) Διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται η μεσαία παρατήρηση, όταν το είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δυο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το είναι άρτιος αριθμός. 4

Ερώτηση θεωρίας 5 Αν,,..., οι τιμές μιας μεταβλητής Χ σ ένα δείγμα μεγέθους ν, τότε:. Τι λέγεται συχνότητα της τιμής,,,..., ;. Τι λέγεται σχετική συχνότητα f της τιμής,,,..., ;. Τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα N της τιμής v. Να δείξετε ότι f f... f,,,..., ;. Συχνότητα της τιμής,,,..., εμφανίζεται η τιμή λέγεται ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές της εξεταζόμενης μεταβλητής στο σύνολο των παρατηρήσεων.. Σχετική συχνότητα f της τιμής,,,..., λέγεται ο αριθμός. f,,,...,. Η αθροιστική συχνότητα N της τιμής,,,..., εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής, όταν οι τιμές,,..., έχουν τοποθετηθεί σε αύξουσα σειρά. v. Είναι... ff... f.... 5

Ερώτηση θεωρίας 6 Έστω t, t,..., t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή και τυπική απόκλιση s.. Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών t, t,..., t είναι ίσος με μηδέν.. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής CV του δείγματος;. Ο αριθμητικός μέσος των διαφορών t, t,..., t είναι ίσος με t t... t tt... t 0.. Ο συντελεστής μεταβολής είναι ο αριθμός: s CV, αν 0 ή s CV, αν 0. 6

Ερώτηση θεωρίας 7 α) Πότε μία ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; β) Αν,,... είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους και w, w,...w οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε το σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. α) Διακριτή ονομάζεται η ποσοτική μεταβλητή που παίρνει μόνο "μεμονωμένες" τιμές. Συνεχής ονομάζεται η ποσοτική μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών (α,β). β) Ο σταθμικός μέσος ορίζεται από τον τύπο: w w... w ww... w w w. 7

Ερώτηση θεωρίας 8 α) Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου ενός δείγματος, παρατηρήσεων περιττού πλήθους. β) Αν w, w,..., w, είναι οι συντελεστές βαρύτητας, ενός δείγματος παρατηρήσεων,,...,, μιας ποσοτικής μεταβλητής X, να δώσετε τον ορισμό του σταθμικού μέσου της μεταβλητής X. α) Διάμεσος ενός δείγματος, παρατηρήσεων περιττού πλήθους, που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως η μεσαία τους παρατήρηση. β) Αν w, w,..., w, είναι οι συντελεστές βαρύτητας, ενός δείγματος παρατηρήσεων,,...,, μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε ο σταθμικός μέσος, ορίζεται ως εξής: w w... w ww... w w w 8

Ερώτηση θεωρίας 9 α) Σε ένα δείγμα μεγέθους, αν,,...,, είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, με αντίστοιχες απόλυτες συχνότητες,,...,, όπου, ενώ f,f,...,f, είναι οι αντίστοιχες σχετικές τους συχνότητες, τότε να αποδείξετε ότι ισχύουν οι ιδιότητες:. 0f, για,,...,. ff... f. β) Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου ενός δείγματος, παρατηρήσεων άρτιου πλήθους. α). Για κάθε,,...,,,,...,, ισχύουν : 0, 0,...,0. Διαιρώντας κάθε μια από τις πιο πάνω σχέσεις δια (που είναι θετικός), έχουμε: 0 0 f, 0 0 f,..., 0 0f, Αφού είναι:,,,..., f Άρα, ισχύει: 0f, για,,...,.. Έχουμε:... ff... f..., Αφού είναι, f,,,..., και..., που είναι το μέγεθος του δείγματος. β) Διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων, άρτιου πλήθους, που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. 9

ΘΕΜΑ Β Άσκηση Ένα μεσιτικό γραφείο κατέταξε σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους ένα δείγμα 60 οικοπέδων ανάλογα με την τιμή πώλησης σε ευρώ του τ.μ. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα [ - ) v N [50, ) 0, 30 [, 750) Σύνολο 60 f f% F% 0 β) Να βρεθούν τα ποσοστά των οικοπέδων που έχουν τιμή. το πολύ 000 ευρώ. τουλάχιστον 500 ευρώ γ) Να βρεθεί η μέση τιμή και η διάμεσος του δείγματος. α) Η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο μιας κλάσης ονομάζεται πλάτος της κλάσης και συμβολίζεται με c. Επομένως η διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τρίτης κλάσης θα είναι 3c, δηλαδή, 3c 75050 500, οπότε c=500 και οι κλάσεις διαμορφώνονται ως εξής: [50,750),[750, 50),[50, 750) και [750,350). Η κεντρική τιμή μιας κλάσης [, ) είναι ίση με το ημιάθροισμα των άκρων της άρα 50 750 οπότε 500, 000, 3 500 και 4 3000 Επειδή 60 και f 0, από τον τύπο f f 0, 60, οπότε N. Eπιπλέον έχουμε f % 0 και F % 0. f έχουμε: Επειδή N 30 και από τον τύπο NN έχουμε: 0

N N 30 8, οπότε 8 f f 0,30, f % 30 και 60 f F % F % f % 0 30 50. Επειδή 60 και f 4 % 0 ή f 4 0,0 από τον τύπο 4 f4 4 f 4 4 0,0 60 4 6. f έχουμε: Επειδή 60, 3 60 (86) 6036, 3 4, άρα N3 N3 30 4 54, 3 4 f3 f3 f3 0, 40 60 F % F % f % 90 0 00. 4 3 4 Ακόμα N4 N34 546 60., οπότε F 3% F % f 3% 50 40 90 και Ο πίνακας συμπληρωμένος διαμορφώνεται ως εξής. [ - ) v N f f% F% [50, 750) 500 0, 0 0 [750, 50) 000 8 30 0,3 30 50 [50, 750) 500 4 54 0,4 40 90 [750, 350) 3000 6 60 0, 0 00 Σύνολο 60 00 β). Τα οικόπεδα με τιμή ανά τ.μ το πολύ 000 ευρώ είναι όσα κατανέμονται στην πρώτη κλάση [50,750) και τα μισά από αυτά που ανήκουν στην η κλάση [750,50) αφού το 000 είναι το κέντρο της ης κλάσης. Το ποσοστό των οικοπέδων με τιμή ανά τ.μ το πολύ 000 ευρώ είναι επομένως f % f % / 0 (30 / ) 35. Τα οικόπεδα με τιμή ανά τ.μ τουλάχιστον 500 ευρώ είναι τα μισά από όσα κατανέμονται στην τρίτη κλάση [50, 750) αφού το 500 είναι το κέντρο της κλάσης αυτής και όσα ανήκουν στην τελευταία κλάση [750,350). Το ποσοστό των οικοπέδων με τιμή ανά τ.μ τουλάχιστον 500 ευρώ είναι επομένως f % / f % 0% 0% 30% 3 4

γ) Η μέση τιμή δίνεται από τον τύπο, άρα η μέση τιμή πώλησης ανά τ.μ. των 60 οικοπέδων του δείγματος είναι 5008 000 4 500 6 3000 00 60 Παρατηρούμε από τον πίνακα ότι το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή κάτω από 50 ευρώ. Άρα η διάμεσος είναι 50 ευρώ.

Άσκηση Ο πίνακας αναφέρεται στη βαθμολογία 00 φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής. Κλάσεις v [0, ) 35 [, 4) 40 [4, 6) 45 [6, 8) 50 (8, 0) 30 Σύνολο 00 N v v α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστή μεταβλητότητας γ) Ποιο βαθμό δεν υπερβαίνει το 85% των φοιτητών; α) Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι ο εξής : Κλάσεις v N v [0, ) 35 35 35 35 [, 4) 3 9 40 75 0 360 [4, 6) 5 5 45 0 5 5 [6, 8) 7 49 50 70 350 450 (8, 0) 9 8 30 00 70 430 Σύνολο 00 000 6400 v β) Η μέση τιμή της βαθμολογία του δείγματος των 00 φοιτητών είναι: 5 000 00 5 Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης εφαρμόζουμε τον τύπο: 5 s 5 3

Mε βάση τον πίνακα η διακύμανση της μεταβλητής είναι: 5 5 s 6400 6400 000 000000 00 00 00 00 64005000 400 7 00 00 και η τυπική απόκλιση s 7,65 Ο συντελεστής μεταβλητότητας δίνεται από τον τύπο s,65 CV CV 0,53 5 γ) Tο 85% των φοιτητών είναι 85% 00 70 φοιτητές N4. Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι ο βαθμός των φοιτητών αυτών δεν υπερβαίνει το 8. 4

Άσκηση 3 Μια ομάδα μαθητών ενός Γυμνασίου μετρήθηκε ως προς το βάρος και προέκυψε το παρακάτω πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι 8 μαθητές ζυγίζουν πάνω από 65 Kg, τότε: α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Κλάσεις, v f% N F% Σύνολο β. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των τιμών του δείγματος. γ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν βάρος μέχρι 68 Kg. α. Η οριζόντια απόσταση των κορυφών του πολυγώνου είναι 5, άρα και το πλάτος των κλάσεων είναι c 5. Τα άκρα λοιπόν των κλάσεων θα είναι οι αριθμοί: 5 50, 55, 60, 65, 70. ( 47,5 50, 505 55, 555 60, 605 65, 655 70.) 5

Έτσι κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό: Έτσι έχουμε: f 0,5, f 0, 4, f3 0, 5 και f 0,. 4 Επίσης 4 8, οπότε αν ο αριθμός των μαθητών έχουμε 4 8 f4 0, 0, 40. 0, Από τον τύπο f βρίσκουμε 0,5 40 6, 0, 4 40 6 και 3 0, 5 40 0. Από τα παραπάνω συμπληρώνουμε τον πίνακα: Κλάσεις, v f% N F% [ 50,55 ) 5,5 6 5 6 5 [ 55,60 ) 57,5 6 40 55 [ 60,65 ) 6,5 0 5 3 80 [ 65,70 ) 67,5 8 0 40 00 Σύνολο 40 00 6

β. Η μέση τιμή δίνεται από τον τύπο f, οπότε k 5,5 0,557,5 0, 46,5 0, 567,5 0, 60 και για τη διάμεσο σχεδιάζουμε το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων επί τοις εκατό: Φέρνουμε την οριζόντια ευθεία που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο 50% και το πολύγωνο στο σημείο Η, και από το σημείο Η την κατακόρυφη ευθεία που τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο με τετμημένη. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή για τις κατακόρυφες (άρα παράλληλες) ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Β, Η και Γ έχουμε: 55 BH 6055 B. Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα BAH και B είναι όμοια αφού έχουν κοινή την οξεία γωνία ˆB, οπότε: BH BA 55 505 55 35 59,375 B B 6055 555 5 40 Άρα η διάμεσος είναι 59,375. 7

γ. Φέρνουμε την κατακόρυφη ευθεία που τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο 68 και το πολύγωνο στο σημείο Ι, και από το σημείο Ι την οριζόντια ευθεία που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο με τεταγμένη. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή για τις κατακόρυφες (άρα παράλληλες) ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Ζ, Ι και Ε έχουμε: 6865 ZI. 7065 EZ Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα E Z και είναι όμοια αφού έχουν κοινή την οξεία γωνία Ẑ, οπότε: ZI ZK 6865 80 3 80 9. EZ Z 7065 0080 5 0 Άρα το 9% των μαθητών έχει βάρος κάτω από 68 kg. 8

Άσκηση 4 Μια μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές 3, 5, 3 6 και 4 7. Αν οι συχνότητες των τιμών,, και 4 είναι 0, 3, και 4 6 και η γωνία στο κυκλικό διάγραμμα που αντιστοιχεί στην τιμή είναι 40, τότε α. Να δείξετε ότι 3 8. β. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των τιμών του δείγματος. 8 γ. Να δείξετε ότι η διασπορά του δείγματος είναι s. 3 δ. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. α. Από τον τύπο 360 παίρνουμε 360 360 3 7, άρα το πλήθος των 40 τιμών είναι 7, οπότε 3 4 7036 8. β. Η μέση τιμή είναι 3 0 5 3 6 8 7 6 35 5. 7 7 Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό, η διάμεσος θα είναι η μεσαία παρατήρηση, δηλαδή η 4 η. Επειδή 0 3 3, έπεται ότι η 4 η παρατήρηση είναι 3 6, άρα η διάμεσος είναι 3 6. γ. Έχουμε 3 5 0 5 5 3 6 5 8 7 5 6 7 8 s. 7 7 3 δ. Η τυπική απόκλιση είναι s s, οπότε ο συντελεστής μεταβολής ισούται με: 3 8 CV 3. 5 8 8 Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε CV 3 5 75 00 0 άρα CV 0% 0 (αφού CV>0), το οποίο σημαίνει ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 8 9

Άσκηση 5 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα αποτελέσματα από μια έρευνα σ ένα δείγμα 50 ατόμων. Τιμές ( ) Συχνότητα ( ) 0 α 3 8 4 Σύνολο α) Να δείξετε ότι 8. β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις στήλες f %, N, F %. γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο δ του δείγματος. δ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. (Δίνεται :, 08, 4 ) α) Είναι 345 50 850 8. β) Για τις σχετικές συχνότητες f%, έχουμε: 8 f % 00 00, f % 00 00 6, 50 50 3 4 8 f 3% 00 00 4, f 4% 00 00 6, 50 50 5 f 5% 00 00. 50 Για τις αθροιστικές συχνότητες N έχουμε: N, N N 9, N3 N3 3, N4 N34 39, N5 50. Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F% έχουμε: F % f %, F % F % f % 38%, F 3% F % f 3% 6, F 4% F 3% f 4% 78, F 5% 00. 0

Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας Τιμές ( ) Συχνότητα ( ν ) Σχετική συχνότητα ( f%) Αθροιστική συχνότητα ( N ) Αθροιστική σχετική συχνότητα ( F%) 0 8 6 9 38 4 3 6 3 8 6 39 78 4 50 00 Σύνολο 50 00 γ) Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής συμπληρώνουμε τον πίνακα (πίνακας 3) με τη στήλη και έχουμε: 5 00 50 Επειδή το μέγεθος του δείγματος είναι 50 άρτιος, η διάμεσος θα είναι ίση με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Όπως διαπιστώνουμε από τη στήλη (πίνακας 3), αυτές είναι t 5 t 6. Άρα έχουμε t t 5 6. N δ) Πρώτα υπολογίζουμε τη διακύμανση s και στη συνέχεια την τυπική απόκλιση s. Έχουμε (πίνακας 3), 5 04 s,08 50 Ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος είναι είναι ομοιογενές. και s s, 08, 4. s, 4 CV 0, 7 0,. Άρα το δείγμα δεν Πίνακας 3 Τιμές ( ) Συχνότητα ( ν ) Σχετική συχνότητα ( f%) Αθροιστική συχνότητα ( N ) Αθροιστική σχετική συχνότητα ( F%) ( ) ( ) 0 0 4 44 8 6 9 38 8 8 4 3 6 4 0 0 3 8 6 39 78 4 8 4 50 00 44 4 44 Σύνολο 50 00 00 04 ν

Άσκηση 6 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι πόντοι που πέτυχε ένας παίκτης του μπάσκετ σε 30 αγώνες στους οποίους συμμετείχε την περασμένη αγωνιστική περίοδο. 5 3 8 0 5 7 7 8 4 9 3 4 6 4 5 5 4 0 0 7 3 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων που να περιέχει επίσης τις στήλες f %, N, F %. γ) Σε πόσους αγώνες ο παίκτης πέτυχε:. τουλάχιστον 7 πόντους. λιγότερο από 3 πόντους. το πολύ 8 πόντους; δ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο F% και να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος. α) Το εύρος του δείγματος είναι R 5 4 και ο αριθμός των κλάσεων είναι 5. Άρα R 4 το πλάτος κάθε κλάσης είναι c,8 3. 5 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι κλάσεις, οι κεντρικές τιμές καθώς και η συχνότητα κάθε κλάσης όπως προκύπτει από τη διαλογή. β) Κλάσεις αβ, [ ) Κεντρικές τιμές ( ) Διαλογή Συχνότητα ( ν ) Σχετική συχνότητα ( f%) Αθροιστική συχνότητα ( N ) Αθροιστική σχετική συχνότητα ( F%) [, 4 ),5 3 0 3 0 [ 4,7 ) 5,5 3 0 6 0 [ 7,0 ) 8,5 6 0 40 [ 0,3 ),5 9 30 70 [ 3,6 ) 4,5 9 30 30 00 Σύνολο 30 00

γ) Ο παίκτης πέτυχε:. τουλάχιστον 7 πόντους σε 345 699 4 αγώνες. λιγότερο από 3 πόντους σε N4 αγώνες. το πολύ 8 πόντους σε N3 6 8 αγώνες. Επειδή οι παρατηρήσεις θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες μέσα στις κλάσεις θεωρούμε ότι το πλήθος των αγώνων στους οποίους ο παίκτης πέτυχε από 7 έως και 8 πόντους είναι 3 3 6. 3 3 δ) Οι κορυφές του πολυγώνου αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F% είναι τα σημεία,0, 4,0, 7,0, 0,40, 3,70, 6,00 και το πολύγωνο είναι: Το σημείο Ε του πολυγώνου έχει τεταγμένη 50% και η τετμημένη του θα είναι ίση με τη διάμεσο δ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι όμοια, άρα οι πλευρές τους είναι ανάλογες. Έτσι έχουμε: AB BE 0 5040 0 0 A 30 7040 3 30 0. 3

Άσκηση 7 Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τις ημέρες άδειας που δικαιούνται 5 υπάλληλοι μιας επιχείρησης για ένα έτος εργασίας τους, ανάλογα με τα χρόνια υπηρεσίας τους. Ημέρες άδειας, Κεντρική τιμή Συχνότητα [ 0,6 ) [ 6, ) 0 [,8 ) 5 [ 8, 4 ) 5 [ 4,30 ) 0 Σύνολο 5 ( ) ( ). α) Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. β) Βρείτε τη μέση τιμή των ημερών αδείας των υπαλλήλων. γ) Πόσοι υπάλληλοι της επιχείρησης δικαιούνται άδεια λιγότερο από δεκαοκτώ (8) ημέρες τον χρόνο; δ) Βρείτε τη διακύμανση της παραπάνω κατανομής. ε) Βρείτε την τυπική απόκλιση. στ) Βρείτε τον συντελεστή μεταβολής. α) Ημέρες άδειας, Κεντρική τιμή Συχνότητα ( ) ( ) [ 0,6 ) 3 33-0 00 00 [ 6, ) 9 0 80-4 6 30 [,8 ) 5 5 75 4 0 [ 8, 4 ) 5 05 8 64 30 [ 4,30 ) 7 0 70 4 96 960 Σύνολο 5 663 370 4

β) Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής από τον συμπληρωμένο πίνακα και τη στήλη έχουμε: 5 663 5 3 γ) Οι υπάλληλοι που δικαιούνται άδεια λιγότερο από 8 ημέρες ανήκουν στις 3 πρώτες κλάσεις, οπότε θα είναι +0+5=36 υπάλληλοι. δ) Για τον υπολογισμό της διακύμανσης από τον συμπληρωμένο πίνακα και τη στήλη ( ) έχουμε: 5 370 5 s 7,9 ε) Η τυπική απόκλιση είναι: s s 7,9 8,5 στ) O συντελεστής μεταβολής είναι: s 8,5 CV 0, 654 65, 4% 3 5

Άσκηση 8 Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετ. Συχνότητα f Σχετ. Συχνότητα f% Αθροιστική Συχνότητα N 0 0 0 35 4 3 9 Σύνολο 50 00 Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Γ. Να δείξετε ότι η διακύμανση είναι (Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης 000) s 0, 49. Δίνεται ότι: s Α. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετ. Συχνότητα f Σχετ. Συχνότητα f% Αθροιστική Συχνότητα N 0 0, 0 0 0 0 5 0,5 50 35 50 4 00 3 5 0,3 30 50 45 9 35 Σύνολο 50 00 05 45 Β. Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής από τον συμπληρωμένο πίνακα και τη στήλη έχουμε: 3 05 50, Επειδή 50 άρτιος, οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις θα είναι η 5 η και η 6 η παρατήρηση, που και οι δύο αντιστοιχούν στην τιμή. Άρα η διάμεσος είναι ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων άρα. 6

Γ. Είναι 3 45 και 3 ( ) 05 Άρα 3 3 05 s 45 50 50 450,5 4,5 0, 49 50 50 7

Άσκηση 9 Έστω η μέση τιμή των τριάντα παρατηρήσεων t, t,..., t 30, ενός δείγματος. Αν οι είκοσι πρώτες παρατηρήσεις, έχουν μέση τιμή, ενώ οι υπόλοιπες έχουν μέση τιμή, τότε να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: 3 tt... t Γνωρίζουμε ότι ισχύει: t Οπότε, για 30 έχουμε: t t t... t t... t 30 0 30 30 30 0 30 t t t t... t t t... t 30 30 30 30 0 30 () Εξάλλου, ισχύoυν: 0 0 t 0 t () 0 και 30 30 t 0 t (3). 0 Επομένως η σχέση (), λόγω των () και (3), γίνεται: 0 0 30 30 3 8

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων κλάσεων ίσου πλάτους ενός δείγματος μεγέθους 00 δίνεται μόνο το ορθογώνιο της ης κλάσης [3,9). Να βρείτε: α) Το πλήθος των παρατηρήσεων της κλάσης [3,9) που είναι μικρότερες του 5. β) Το ποσοστό των παρατηρήσεων της κλάσης [3,9) οι οποίες έχουν τιμή μεγαλύτερη ή ίση του 4 και μικρότερη του 8. γ) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού ώστε στο διάστημα [3, ). να ανήκουν 6 παρατηρήσεις.. να ανήκει το 3% των παρατηρήσεων του δείγματος α) Από το ιστόγραμμα συχνοτήτων προκύπτει ότι η συχνότητα της ης κλάσης [3,9) είναι 4 όσο και το ύψος του ορθογωνίου στο ιστόγραμμα συχνοτήτων. 4 Επιπλέον η σχετική συχνότητα της κλάσης αυτής είναι f 0,, οπότε f %. 00 Οι 4 παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στην κλάση [3,9) άρα από 3 έως 4 έχουμε 4 παρατηρήσεις, από 4 έως 5 άλλες 4 κ.τ.λ. Έτσι οι παρατηρήσεις που είναι μικρότερες από 5 είναι 8. Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και με άλλο τρόπο. Αφού σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα τα ποσά πλάτος κλάση και συχνότητα κλάσης είναι ανάλογα, οπότε: 53 8 93 4 6 4 9

β) Επειδή και το ποσοστό % όταν πρόκειται για συχνότητα f% κατανέμεται ομοιόμορφα σε μια κλάση αν θεωρήσουμε ότι οι παρατηρήσεις που είναι στο διάστημα από 4 έως 6 είναι και έχουν σχετική συχνότητα f% τότε 9 3 f% 6 8 4 f% 4 f% f% 8 Άρα το ποσοστό των παρατηρήσεων της κλάσης [3,9) οι οποίες έχουν τιμή μεγαλύτερη ή ίση του 4 και μικρότερη του 8 είναι 8%. γ). Έχουμε 3 6 3 6 6 6 96 3 347 93 4 6 4 4 4 Επομένως στο διάστημα [3, 7) ανήκουν 6 παρατηρήσεις.. Έχουμε 3 3 6 3 8 3 3 3,5 4,5 93 Επομένως στο διάστημα [3, 4,5) ανήκει το 3% των παρατηρήσεων του δείγματος. 30

Άσκηση Οι καθαρές μηνιαίες αποδοχές των εργαζομένων σε μια επιχείρηση χωρισμένες σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους, είναι από 700 έως 00 ευρώ. Αν γνωρίζουμε ότι:. Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος έχει εμβαδόν 5.. Οι εργαζόμενοι που έχουν καθαρές μηνιαίες αποδοχές τουλάχιστον 900 ευρώ είναι 80.. Η γωνία του κυκλικού τομέα στο κυκλικό διάγραμμα που αντιστοιχεί στην κλάση [800,900) είναι 7. v. Το ύψος του ορθογωνίου της κλάσης [900,000) στο ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων είναι 0,64. v. Οι εργαζόμενοι με καθαρές μηνιαίες αποδοχές από 000 έως 00 ευρώ είναι διπλάσιοι από αυτούς που έχουν καθαρές μηνιαίες αποδοχές από 00 έως 00 ευρώ. α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών) β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. α) Αφού το εύρος του δείγματος είναι R 00700 500 τότε το πλάτος των κλάσεων είναι c 500 / 5 00. Αν θεωρήσουμε ως κατώτερο όριο της ης κλάσης το 700 τότε οι κλάσεις διαμορφώνονται ως εξής: [700,800), [800,900), [900,000), [000,00), [00,00) Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων κάθε ορθογώνιο του έχει εμβαδόν ίσο με το ύψος του αφού η βάση του έχει μήκος ίσο με το πλάτος των κλάσεων c που θεωρείται μονάδα μέτρησης. Άρα το ιστόγραμμα συχνοτήτων έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων του δείγματος, ίσο δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος. Επομένως αφού το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος έχει εμβαδόν 5, τότε 5 () Αφού οι εργαζόμενοι που έχουν καθαρές μηνιαίες αποδοχές τουλάχιστον 900 ευρώ, είναι 80, τότε 345 80 () Αφού η γωνία του κυκλικού τομέα στο κυκλικό διάγραμμα που αντιστοιχεί στην η κλάση [800,900) είναι 7 0, τότε 7 αλλά f 360 άρα 0 0 f 7 / 360 0, 0, f 0, 0 (3) Επειδή το ύψος του ορθογωνίου της κλάσης [900,000) στο ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων είναι 0,64 έχουμε F3 0,64 (4) Αφού οι εργαζόμενοι με καθαρές μηνιαίες αποδοχές από 000 έως 00 ευρώ είναι διπλάσιοι από αυτούς που έχουν καθαρές μηνιαίες αποδοχές από 00 έως 00 ευρώ, τότε 4 5 (5) 3

Tέλος γνωρίζουμε ότι 345 (6) Aπό τις σχέσεις () και (3) έχουμε: f 0,0 5, 5 Aπό τις σχέσεις () και (6) έχουμε: 580 5, 0 τον τύπο f / έχουμε: f 0 /5 0,6, άρα f % 6 και F % 6. Οπότε από Από τη σχέση (3) έχουμε f % 0, οπότε από τον τύπο F% F% f % έχουμε: F % 6% 0%, F % 36%. Από τη σχέση (4) και από τον τύπο F% 3 F% f 3% έχουμε: f 3 % 64 36, f 3% 8. Από τον τύπο 3 f 3 έχουμε: 3 0,8 5, 3 35 (7) Από τις σχέσεις (), (5) και (7) έχουμε: 3555 80 35 45 5 5. Επομένως 4 30. Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι ο εξής Κλάσεις v N f f% F% [700, 800) 750 0 0 0, 6 6 6 [800, 900) 850 5 45 0,0 0 36 [900, 000) 950 35 80 0,8 8 64 [000, 00) 050 30 0 0,4 4 88 [00, 00) 50 5 5 0, 00 Σύνολο 5 00 β) Η μέση τιμή είναι: 5 750 0850 5950 35050 3050 5 5 946 Άρα οι μέσες καθαρές μηνιαίες αποδοχές είναι 946 ευρώ. Η διάμεσος μιας κατανομής είναι η μοναδική τιμή που χωρίζει τις παρατηρήσεις σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μονός αριθμός η διάμεσος του δείγματος των 5 παρατηρήσεων είναι η μεσαία παρατήρηση δηλαδή η 63 η. Από τον πίνακα 3

παρατηρούμε ότι η 63 η παρατήρηση βρίσκεται στην κλάση [900, 000). Άρα η διάμεσος είναι 950 ευρώ. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε αν κατασκευάζαμε το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και από το σημείο 50% του άξονα y y φέρναμε παράλληλη μέχρι το πολύγωνο των σχετ. αθροιστικών συχνοτήτων και από εκεί κάθετη στον άξονα. Τότε επειδή το 50 είναι στο μέσον του διαστήματος [36,64] η κάθετη στον άξονα θα κόβει το διάστημα [900,000] στο μέσον, άρα η διάμεσος είναι 950 ευρώ. 33

Άσκηση 3 Ο μέσος μισθός 50 υπαλλήλων σε έναν οργανισμό είναι 500. Η τυπική απόκλιση των μισθών είναι s 0. α. Αν οι 0 εργαζόμενοι με τον υψηλότερο μισθό έχουν μέσο μισθό 800, να βρείτε το μέσο μισθό των υπολοίπων υπαλλήλων. β. Αν οι μισθοί όλων των υπαλλήλων αυξηθούν κατά 5%, να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των νέων μισθών. γ. Ομοίως αν οι αρχικοί μισθοί όλων των υπαλλήλων αυξηθούν κατά 50, να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των νέων μισθών. α. Αν οι 0 εργαζόμενοι με τον υψηλότερο μισθό έχουν μισθούς t 3,t 3,,t 50 και οι μισθοί των υπολοίπων είναι t,t,,t 30, τότε έχουμε: t 3 t 3 t50 800 t 3 t 3 t 50 36000. 0 Επίσης ο μέσος μισθός των 50 υπαλλήλων είναι 500, άρα t t t t t t 30 3 3 50 30 50 t t t 36000 75000 500 t t t. Άρα ο μέσος μισθός των 30 30 30 t t t30 39000 300 χαμηλόμισθων υπαλλήλων είναι 300. 5 β. Κάθε μισθός γίνεται t t t, 05 t. Οπότε σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του 00 βιβλίου η νέα μέση τιμή θα είναι,05,05 500 575 και η νέα τυπική απόκλιση s είναι s,05 s,05 0 6. s, 05 0 0 Ο συντελεστής μεταβολής είναι CV 0, 08 8%., 05 500 500 γ. Κάθε μισθός γίνεται t t 50. Οπότε σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του βιβλίου η νέα μέση τιμή θα είναι 50 550 και η νέα τυπική απόκλιση s είναι s s 0. s 0 Ο συντελεστής μεταβολής είναι CV 0, 0774 7, 74%. 550 34

Άσκηση 4 Οι τιμές μιας μεταβλητής Χ είναι ομαδοποιημένες σε κλάσεις ίσου πλάτους c, όπως δίνονται στον παρακάτω ελλιπή πίνακα: Κλάσεις [, ) [3, ) 0, [,) [, ) [,) Σύνολο f f f Γνωρίζουμε επίσης ότι οι συχνότητες f, f 3, f 4 είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 3,, 4 αντίστοιχα. α. Να δείξετε ότι c 3 και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διασπορά των τιμών του δείγματος. γ. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. δ. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των τιμών του δείγματος και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. α. Η πρώτη κλάση είναι η [3,3 c), η δεύτερη [3 c, 3 c) και η τρίτη [3 c, 3 3 c). Άρα 3 3 c c 3. Επίσης f 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 34 9 f f f f f f f f f f 0,9 0, 9, άρα f 3 0, 0,3 f3 0, 0, και f 4 0, 0, 4. 4 Έτσι συμπληρώνουμε τον πίνακα Κλάσεις f f f [, ) [3, 6) 4,5 0, 0,45,05 [6, 9) 7,5 0,3,5 6,875 [9,) 0,5 0,,,05 [, 5) 3,5 0,4 5,4 7,9 Σύνολο 0, 3,85 4 35

β. Η μέση τιμή είναι 4 f 0, και η διασπορά υπολογίζεται από τον τύπο k k k k s k f οπότε s 3,850, 9,8. γ. Το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων είναι το παρακάτω δ. Ο συντελεστής μεταβολής είναι s 9,8 CV. 0, Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε 9,8 9,8, 0, 04, 04 00 CV 0, 0943 0, 0 άρα CV 0 CV CV 0%, επομένως το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 0 36

Άσκηση 5 Σε δύο τμήματα Γ, Γ της Γ τάξης ενός Λυκείου ο μέσος όρος της βαθμολογίας στο Α τετράμηνο ήταν με τυπική απόκλιση s s. Στο ο τετράμηνο όλοι οι μαθητές του Γ αύξησαν τη βαθμολογία τους κατά μονάδα, ενώ οι μαθητές του Γ αύξησαν τη βαθμολογία τους κατά 0%. α) Σε ποιο τμήμα η βαθμολογία παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια, μετά τις αυξήσεις του Β τετραμήνου; β) Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της θετικής σταθεράς c που πρέπει να προστεθεί στις βαθμολογίες των μαθητών του Γ μετά το τέλος του Β τετραμήνου, ώστε το δείγμα της βαθμολογίας τους να γίνει ομοιογενές. γ) Αν οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ στο Β τετράμηνο αποτελούν κανονική κατανομή, να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που είχαν βαθμολογία από έως 9. δ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των τετραγώνων των βαθμολογιών των μαθητών του Γ στο Α τετράμηνο. (Δίνεται: s ) α) Έστω οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ στο Α τετράμηνο για τις οποίες ισχύει και s. Οι βαθμολογίες αυτών στο Β τετράμηνο, θα είναι y, με y 3 και sy s. Άρα ο συντελεστής μεταβολής των βαθμολογιών του Γ στο Β τετράμηνο είναι sy CV. y 3 Έστω t οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ στο Α τετράμηνο για τις οποίες ισχύει και s. Οι βαθμολογίες αυτών στο Β τετράμηνο, θα είναι t 0, t, t, με,, και s, s,. Άρα ο συντελεστής μεταβολής των βαθμολογιών του Γ στο Β τετράμηνο είναι s, CV., Ισχύει, άρα CV CV. Οπότε η βαθμολογία του Β τετραμήνου στο Γ παρουσιάζει 3 μεγαλύτερη ομοιογένεια σε σχέση με τη βαθμολογία στο Γ. 37

β) Ισχύει CV, άρα το δείγμα των βαθμολογιών του Γ στο Β τετράμηνο δεν 6 0 είναι ομοιογενές. Αν στις βαθμολογίες των μαθητών του Γ στο Β τετράμηνο προσθέσουμε τη σταθερά c 0, τότε γίνονται c και θα έχουν μέση τιμή c3, c και τυπική απόκλιση s s,. Αφού το δείγμα των βαθμολογιών είναι ομοιογενές, ισχύει s, CV 3, c c 8,8 0 0 3, c 0. Άρα η μικρότερη τιμή της σταθεράς c είναι 8,8. γ) Οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ στο Β τετράμηνο αποτελούν κανονική κατανομή με y 3 και sy. Το ποσοστό των μαθητών του Γ που είχαν βαθμολογία από έως 9 είναι το ίδιο με το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα y s, y 3s μιας κανονικής κατανομής, αφού είναι ys 3 και y 3s 36 9. Το ποσοστό αυτών των μαθητών είναι 68% 99,7% 83,85%. δ) Έστω,,,..., οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ στο Α τετράμηνο για τις οποίες ισχύει και s. Τα τετράγωνα των βαθμολογιών δίνονται από τον τύπο,,,...,. Η μέση τιμή αυτών των βαθμολογιών είναι s s. Από τον τύπο που δίνεται έχουμε: s s. Άρα 444 48. 38

Άσκηση 6 3 Δίνεται η συνάρτηση f () 4 4, και μια ποσοστική μεταβλητή Χ ως προς την οποία εξετάσαμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων,,..., οι οποίες παίρνουν μόνο θετικές τιμές. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A,s είναι παράλληλη στον άξονα, τότε: α) Να δείξετε ότι 4 και s. β) Αν το δείγμα των παρατηρήσεων ακολουθεί κανονική κατανομή και γνωρίζουμε ότι 3 παρατηρήσεις έχουν τιμή μικρότερη του, τότε να υπολογίσετε:. το μέγεθος του δείγματος.. το πλήθος των παρατηρήσεων που έχουν τιμή στο διάστημα,3. α) Αρχικά βρίσκουμε την παράγωγο της f που είναι f () 3 4,. Επειδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A,s είναι παράλληλη στον άξονα, θα ισχύει f 0 3 4 0 (). 3 Η εξίσωση () έχει διακρίνουσα 48 69 και ρίζες, δηλαδή 4 ή 6. 3 Όμως οι παρατηρήσεις,,..., παίρνουν μόνο θετικές τιμές, άρα θα είναι και 0. Έτσι προκύπτει ότι 4. f s. Άρα Επειδή το σημείο A,s ανήκει στη γραφική παράσταση της f, ισχύει s f 4 64 88 6 4 s. β) Στο διπλανό άξονα βλέπουμε την αντιστοιχία των άκρων των διαστημάτων της κανονικής κατανομής με τις τιμές τους στο συγκεκριμένο δείγμα, για το οποίο έχουμε 4 και s. Έτσι είναι: 39

. Στην κανονική κατανομή το 99,7% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα 3s, 3s. Άρα το 0,3% είναι μικρότερες του 3s ή μεγαλύτερες του 3s. Συγκεκριμένα το 0,5% έχουν τιμή μικρότερη του 3s. Εδώ γνωρίζουμε ότι 3 παρατηρήσεις έχουν τιμή μικρότερη από, δηλαδή μικρότερη από 3s. Άρα έχουμε 0,5 3 0,5300 000. 00 βρίσκεται το 95% 68% 3,5% των παρατηρήσεων. Άρα το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται σ αυτό το 3,5 διάστημα είναι 3,5% 000 70. 00. Στο διάστημα,3, δηλαδή στο s, s 40

Άσκηση 7 Οι ώρες παρακολούθησης τηλεοπτικών προγραμμάτων από 50 άτομα σε διάστημα μιας εβδομάδας αναγράφονται στον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα: Ώρες παρακολούθησης ( ) 0 8 3 4 8 Σύνολο 50 Συχνότητα ( ν ) ( ν ) ( ν ) Στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων του παραπάνω πίνακα δίνεται ότι η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην παρατήρηση 0 ώρες, είναι. 0 36 Α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Β) Γνωρίζοντας ότι για την διακύμανση ισχύει ο τύπος υπολογίσετε την τυπική απόκλιση. s, να Γ) Υπολογίστε τον συντελεστή μεταβολής. Είναι το δείγμα ομοιογενές; 0 0 0 0 Α) Από τον τύπο 360 υπολογίζουμε 360 36 360 5. 50 Έχουμε 58 8 50 7. 3 4 5 4 4 4

Ώρες παρακολούθησης ( ) Συχνότητα ( ν ) ( ν ) ( ν ) 0 5 0 0 8 8 8 4 48 3 7 63 4 8 3 8 Σύνολο 50 95 57 B) Πρώτα υπολογίζουμε τη διακύμανση s και στη συνέχεια την τυπική απόκλιση s. Έχουμε (πίνακας), s 95 57 5780,5,53 50 50 50 και s s,53, 4 Γ) Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής από τον συμπληρωμένο πίνακα και τη στήλη έχουμε: 5 95 50, 9 Ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος είναι: s, 4 CV 0, 653 0,, 9 Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.. 4

Άσκηση 8 Α. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ln εφαπτόμενης, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, f στο σημείο της Αν M,y. Να βρεθεί η εξίσωση της A, f., είναι 50 σημεία της εφαπτομένης της καμπύλης της f, με μέση τιμή των τετμημένων τους, 5, να βρεθεί η μέση τιμή y των τεταγμένων των σημείων αυτών. Β. Έστω ένα δείγμα παρατηρήσεων,,..., με μέση τιμή. Αν η συνάρτηση f, με: f() ( ) ( )... ( ), τότε να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή, όταν. Γ. Εκατό μαθητές ενός Γενικού Λυκείου των Αθηνών, ερωτήθηκαν για το πόσες ώρες μελετούν εβδομαδιαίως. Όμως το 0% των μαθητών δήλωσε 5 ώρες λιγότερες από τις πραγματικές, ενώ το 50% των μαθητών, δήλωσε 6 ώρες περισσότερες. Από τις δηλώσεις των μαθητών, προέκυψε ότι ο μέσος χρόνος μελέτης είναι ώρες. Αν y, είναι ο πραγματικός μέσος των ωρών της εβδομαδιαίας μελέτης των μαθητών αυτών, τότε να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: y Α. Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού ο τύπος της συνάρτησης f, πρέπει 0. Η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο A, f, δίνεται από τον τύπο: : y Είναι:, όπου ο συντελεστής f. f ln ln ln, 0; Οπότε είναι: f ln 0 Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι: (ε): y f. (). Εξάλλου είναι, f ln 0 Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο A, f δηλαδή το A,, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την (). Έχουμε: 0. Οπότε η εξίσωση () της εφαπτομένης, γίνεται: (ε): y (). 43

Τώρα, αν,,,...,50, είναι οι τετμημένες των 50 σημείων της εφαπτομένης της καμπύλης της f, με μέση τιμή 5, τότε για τη μέση τιμή y των τεταγμένων y λόγω της () θα ισχύει: y (3). Όμως μας δίνεται ότι 5. Οπότε η (3), γίνεται: 5 y 5 30 y 30 Β. Έστω η συνάρτηση f, με: f() ( ) ( )... ( ), όπου < Παίρνουμε την πρώτη παράγωγο της f ως προς : f () ( ) ( )... ( ) ( )( ) ( )( )... ( )( ) ( ) ( )... ( ) (... )... ( ) ( ) ( ) Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της f () 0, δηλαδή: () 00 Ελέγχουμε πότε είναι f () 0 και πότε f () 0, δηλαδή: f () 0 0 και f () 00 Τέλος κατασκευάζουμε πίνακα πρόσημου της f (), με τα αντίστοιχα συμπεράσματα για την f. Έχουμε: Παρατηρούμε ότι για, η f γίνεται ελάχιστη. 44

Γ. Από τους 00 μαθητές, 0 δήλωσαν 5 ώρες λιγότερες από τις πραγματικές και 50 δήλωσαν 6 ώρες περισσότερες, ενώ οι υπόλοιποι 30 είπαν αλήθεια για το χρόνο της εβδομαδιαίας μελέτης τους. Έστω,,..., 0,,,..., 50 και,,..., 30 οι αντίστοιχες ώρες μελέτης που δήλωσαν αντίστοιχα οι 0, οι 50 και οι 30 μαθητές. Τότε θα ισχύει:......... 0 50 30 00 Οι πραγματικές όμως ώρες μελέτης τους είναι αντίστοιχα: 5, 5,..., 0 5, 6, 6,..., 50 6,,,..., 30. Επομένως ο πραγματικός μέσος όρος των ωρών μελέτης των μαθητών, θα είναι: y 5 5... 5 6 6... 6... 0 50 30 00......... 0 5 50 6 00 00 0 50 30 30000 00 00 00 Άρα, y 45

Άσκηση 9 Α. Δίνονται πέντε αριθμοί με μέση τιμή, όπου είναι η διάμεσος των παρατηρήσεων 5, 3, 8, 9, 7 ενός δείγματος. Αν οι πέντε αυτοί αριθμοί, αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου και η μέση τιμή των τετραγώνων τους είναι ίση με 67, τότε να βρείτε τους πέντε αυτούς αριθμούς. Β. Μια μεταβλητή X, παίρνει επτά τιμές με αντίστοιχες συχνότητες: 5, 8, 4,,,,0. Αν γνωρίζουμε ότι το πλήθος των παρατηρήσεων είναι εκατό, τότε να προσδιορίσετε τον αριθμό. Γ. Σε ένα δείγμα 50 παρατηρήσεων t, t,..., t 50, με μέση τιμή, ισχύουν οι πιο κάτω σχέσεις: 50 50 t 500 και t 8450. Να εξετάσετε, εάν το πιο πάνω δείγμα, είναι ομοιογενές. Α. Αρχικά, προσδιορίζουμε τη διάμεσο των αριθμών 5, 3, 8, 9, 7. Τους διατάσσουμε σε αύξουσα σειρά: 3, 5, 7, 8, 9. Οπότε 7, που είναι η μεσαία παρατήρηση. Οπότε και 7. Αν ω η διαφορά της αριθμητικής προόδου, τότε οι πέντε αριθμοί γράφονται κατά συμμετρικό τρόπο ως εξής:,,,,. Οπότε έχουμε: και 7 5 Άρα προκύπτει η ισότητα: 5 7 7 7 () 5 5 Επομένως οι αριθμοί είναι: 7, 7, 7, 7, 7. Οπότε έχουμε και: 7 7 7 7 7 67 5 46

Επομένως: 7 7 7 7 7 67 5 49 4 849 449 49 4494 8335 450 335 0 90 9 Από όπου 3 ή 3. Αν 3 και 7, τότε οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: 3, 0, 7, 4, Αν 3 και 7, τότε οι ζητούμενοι αριθμοί είναι:, 4, 7, 0, 3 Β. Αφού οι 00 παρατηρήσεις της μεταβλητής X, παίρνουν επτά μόνο τιμές με αντίστοιχες συχνότητες: 5, 8, 4,,,, 0, άρα θα ισχύει: 58 4 0 00 () Όμως, όλες οι συχνότητες αυτές, είναι αριθμοί φυσικοί. Επομένως αναζητούμε φυσικούς αριθμούς ως λύσεις της εξίσωσης (). Επιλύουμε την () και έχουμε: 58 4 0 00 44 00 56 0 που έχει ως ρίζες τους αριθμούς: 8, που απορρίπτεται, γιατί είναι: 8 6 που δεν είναι φυσικός αριθμός, και 7 που είναι αποδεκτή ως λύση, γιατί 7 9. Γ. Αφού η μέση τιμή των 50 παρατηρήσεων είναι ίση με, άρα θα ισχύει η σχέση: 50 t t 500 50, όπου 50. 50 50 Εξάλλου ισχύει και: 47

50 t 8450 50 S 69 Οπότε θα είναι και Επομένως: S 3 CV 0, 6 6%. 50 S S 69 3. Επειδή CV 6% 0%, άρα το δείγμα, δεν είναι ομοιογενές. 48

Άσκηση 0 Στον πιο κάτω πίνακα έχουν ταξινομηθεί σε τέσσερεις κλάσεις, τα ύψη 00 μαθητών ενός Γενικού Λυκείου της Θεσσαλονίκης, με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες f, f, f 3, f 4. Αν γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση: Ύψη σε κλάσεις [ - ) Σχετικές συχνότητες [ 64,70 ) f [ 70,76 ) f [ 76,8 ) f 3 [ 8,88 ) f 4 f f f 0, 9 0, f 0, 4f 0,3f 3 3 Τότε: α) να υπολογίσετε τις τιμές των σχετικών συχνοτήτων f, f, f 3, f 4. β) να υπολογίσετε το μέσο ύψος των μαθητών. γ) να βρείτε πόσοι μαθητές έχουν ύψος τουλάχιστον 80 εκατοστά. α) Από τη δοσμένη σχέση έχουμε: 3 3 f f f 0, 9 0, f 0, 4f 0,3f f f f 0, f 0, 4f 0,3f 0, 9 0 3 3 f 0, f 0, 04 f 0, 4f 0,6 f 0,3f 0, 09 0 3 3 3 f 0, f 0, 4 f 0,3 0 Εξάλλου γνωρίζουμε ότι ισχύει η ισοδυναμία: 0 0 και 0 και 0. Επομένως από την προηγούμενη σχέση προκύπτει: f 0, 0 και f 0, 4 0 και f 3 0,3 0, οπότε έχουμε: f 0, και f 0, 4 και f 3 0,3. () Επειδή το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων είναι ίσο με, άρα θα έχουμε: 49

3 4 4 3 4 f f f f f f f f f 0, 0, 4 0,3 f4 0,9 f4 0, Επομένως οι σχετικές συχνότητες είναι: f 0,, f 0, 4, f3 0,3, f4 0,. β) Από τα στοιχεία που προέκυψαν από το προηγούμενο ερώτημα, συμπληρώνουμε τον πιο κάτω πίνακα: Ύψη σε κλάσεις Κεντρικές Σχετικές f [ - ) Τιμές Συχνότητες f [ 64,70 ) 67 0, 33,4 [ 70,76 ) 73 0,4 69, [ 76,8 ) 79 0,3 53,7 [ 8,88 ) 85 0, 8,5 Σύνολο 74,8 Επομένως, αν είναι το μέσο ύψος τους και ύψους, τότε θα έχουμε: οι αντίστοιχες κεντρικές τιμές των κλάσεων 4 f 67 0, 73 0, 4 79 0,3 85 0, 74,8 Άρα το μέσο ύψος τους είναι 74,8 εκατοστά. γ) Θεωρούμε ότι η κατανομή του ύψους στο εσωτερικό κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφη, οπότε το πλήθος των μαθητών με ύψος τουλάχιστον 80 εκατοστά, θα είναι: 34 f 3 f 4 0,3 000, 00 00 40, 3 3 3 όπου 3 f3 3 f 3 και 4 f4 4 f 4 Άρα με ύψος τουλάχιστον 80 εκατοστών, αριθμούν 40 μαθητές. 50

Άσκηση Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές,, 3, 4 με αντίστοιχες συχνότητες 4,, 4, και με μέση τιμή,5. Αν γνωρίζουμε ότι το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 0, τότε: α) Να υπολογίσετε τις τιμές των και. β) Να βρείτε την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής της μεταβλητής. α) Κατασκευάζουμε τον πιο κάτω πίνακα: Τιμές της Συχνότητες μεταβλητής 4 κ + 3 4 4 λ Σύνολο 0 Οπότε θα έχουμε: 4 3 4 4,5 0 4 3 4 4 50 4 48 50 440 0 Οπότε έχουμε: 0 (). Εξάλλου είναι: 4 40 440 3. Οπότε έχουμε και: 3 () Από τις () και () προκύπτει το σύστημα: 0 6 3 7. 5

Επομένως οι τιμές των και, είναι 6 και 7. β) Εφαρμόζουμε τον τύπο της διακύμανσης: S, οπότε έχουμε: S 4,5 7,5 4,53 5,54 0 4, 57 0, 54 0, 55, 5 9, 75, 5 0 0 3,5 0 Επομένως: S,5, 07 και S, 07 CV 0, 48 ή 4,8%.,5 5

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Από μια έρευνα που έγινε σχετικά με τους μισθούς των εργατών μιας επιχείρησης προέκυψε ότι το,5% των εργατών έχει μηνιαίο μισθό μικρότερο από 500 ευρώ, ενώ το 84% των εργατών έχει μισθό μικρότερο από 800 ευρώ. Υποθέτουμε ότι η κατανομή των μισθών είναι περίπου κανονική. α) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των μισθών. β) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές γ) Αν η επιχείρηση απασχολεί 400 εργάτες να βρείτε:. Πόσοι εργάτες έχουν μισθό από 500 έως 800 ευρώ.. Πόσοι εργάτες έχουν μισθό μεγαλύτερο από 900 ευρώ. Γνωρίζουμε ότι: Σε μια κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( s, s) άρα εκτός του διαστήματος αυτού βρίσκεται το υπόλοιπο 5%, από το οποίο το,5% είναι μικρότερες από s ενώ το άλλο,5% είναι μεγαλύτερες από το s. Επειδή το,5% των εργατών έχει μηνιαίο μισθό μικρότερο από 500 ευρώ, έχουμε: s 500 () Σε μια κανονική κατανομή το 84% περίπου των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από s. Επειδή το 84% των εργατών έχει μισθό το πολύ 800 ευρώ, έχουμε: s 800 () Από τη σχέση () έχουμε s 800 800 s και με αντικατάσταση στη σχέση () έχουμε 800ss 500 3s 300 s 00 άρα 80000 700, 700 Επειδή 700 και s 00 έχουμε την παρακάτω κανονική κατανομή 53

β) Για να βρούμε αν το δείγμα είναι ομοιογενές υπολογίζουμε τον συντελεστή μεταβλητότητας s 00 CV 0,43 4,3% 700 Εφόσον ο συντελεστής μεταβλητότητας ξεπερνά το 0%, το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. γ). Αν η επιχείρηση απασχολεί 400 εργάτες τότε το ποσοστό των εργατών που έχουν μισθό από 500 έως 800 ευρώ όπως παρατηρούμε από το παραπάνω διάγραμμα είναι 3,5% 34% 34% 8,5%, άρα το πλήθος αυτών των εργατών είναι: 8,5% 400 36.. Το ποσοστό των εργατών που έχουν μισθό μεγαλύτερο από 900 ευρώ, όπως παρατηρούμε από το παραπάνω διάγραμμα, είναι,5%, άρα το πλήθος αυτών των,5% εργατών είναι 400 5. 54

Άσκηση Οι βαθμοί 00 μαθητών μιας τάξης του Λυκείου ομαδοποιημένοι σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους δίνονται στον παρακάτω πίνακα Κλάσεις f% [0, 4) 35 [4, 8) [8, ) 30 [, 6) Αν ο μέσος όρος της βαθμολογίας των μαθητών αυτών είναι 7 α) Να υπολογίσετε τις συχνότητες f% και f% 4 που λείπουν β) Να υπολογίσετε τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές δ) Αν ο καθηγητής που διόρθωσε τα γραπτά ανεβάσει τη βαθμολογία όλων των μαθητών κατά μια μονάδα πόσο θα είναι τότε ο μέσος όρος της βαθμολογίας τους; α) Επειδή 00 και f % 35, f 0,35 οπότε f 0,35 00 35 Όμοια 3 f 3 0,30 00 3 30 Επειδή 34 00 έχουμε 35304 00 4 35 () Ακόμα επειδή 7 έχουμε 706 3004 4 700 6 4 4 330 () 356 0 304 70 6 300 4 00 00 4 4 7 Από τη σχέση () έχουμε 35 4 οπότε από την () προκύπτει 6(35 4) 44 330 06444 330 84 0 4 5 άρα 355 0 Άρα f 4 % 5 και f % 0. Ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: Κλάσεις ν f f% F% ν [0, 4) 35 0,35 35 35 70 4 40 [4, 8) 6 0 0,0 0 55 0 36 70 [8, ) 0 30 0,30 30 85 300 00 3000 [, 6) 4 5 0,5 5 00 0 96 940 Σύνολο 00 00 700 336 6800 v 55

β) Η διάμεσος αντιστοιχεί στην τιμή της μεταβλητής X έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες ή ίσες με δ. Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι η διάμεσος δ θα είναι ένας αριθμός της ης κλάσης [4,8) τέτοιος ώστε στο διάστημα από 4 έως να ανήκει το 5% των παρατηρήσεων ώστε 35% 5% 50%. Με βάση το παρακάτω σχήμα έχουμε: 4 5% 4 5 437 84 0% 4 0 Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης εφαρμόζουμε τον τύπο: s Mε βάση τον πίνακα η διακύμανση της μεταβλητής Χ είναι: s 700 490000 6800 6800 00 00 00 00 68004900 900 9 00 00 και η τυπική απόκλιση s 9 4,36 γ) Για να εξετάσουμε την ομοιογένεια του δείγματος θα βρούμε το συντελεστή μεταβλητότητας s 4,36 CV 0, 63 ή 6,3% 7 56

Επειδή ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι μεγαλύτερος από 0% το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. δ) Αν ο καθηγητής που διόρθωσε τα γραπτά ανεβάσει τη βαθμολογία όλων των μαθητών κατά μια μονάδα τότε ο μέσος όρος της βαθμολογίας θα ανέβει κατά μια μονάδα και θα γίνει 7 8. 57

Άσκηση 3 Οι τιμές t,t,,t μιας μεταβλητής Χ ακολουθούν την κανονική κατανομή, έχουν εύρος R 6 και το,5% αυτών είναι μικρότερες από το 0. Επιπλέον, αν ισχύει t 58000, τότε: α. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των τιμών του δείγματος και να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές. β. Να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων. γ. Να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (3,4). δ. Αν οι τιμές αυξηθούν κατά μονάδες, να δείξετε ότι ο συντελεστής μεταβολής των νέων τιμών θα γίνει ο μισός του αρχικού. α. Γνωρίζουμε ότι στην κανονική κατανομή το εύρος R είναι περίπου ίσο με 6 s, άρα 6 s 6 s. Επίσης το 95% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα s, s, οπότε λόγω συμμετρίας της κατανομής θα έχουμε ότι το,5% των παρατηρήσεων θα είναι μικρότερες από s. Άρα s 0 0. s Έτσι ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος είναι CV 0%, άρα το δείγμα 0 είναι ομοιογενές. β. Μετασχηματίζοντας ισοδύναμα τον τύπο s t t s t s t t s t 58000 400. 44 s, οπότε t t παίρνουμε: 58

γ. Το διάστημα (3,4) είναι το s, s. Επίσης γνωρίζουμε ότι το 95% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα s, s βρίσκονται στο διάστημα s, s το 95 68 % 3,5% των παρατηρήσεων θα βρίσκεται στο διάστημα s, s και το 68% των παρατηρήσεων, οπότε λόγω συμμετρίας της κατανομής θα έχουμε ότι διάστημα (3,4) θα βρίσκονται 3,5 400 54 παρατηρήσεις. 00. Άρα στο δ. Αν οι τιμές αυξηθούν κατά μονάδες, τότε σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του βιβλίου θα έχουμε ότι η νέα μέση τιμή θα είναι 4 και η νέα τυπική απόκλιση s θα είναι s s. Άρα ο νέος συντελεστής μεταβολής είναι s CV CV. 4 59

Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f () 8, 8, η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς s και, όπου s 0 η τυπική απόκλιση και η μέση τιμή των τιμών ενός δείγματος μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. α. Να δείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. β. Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f είναι η τιμή 5, να δείξετε ότι s και 8. 8 γ. Αν ισχύουν οι τιμές του ερωτήματος β, τότε να βρείτε πόσο πρέπει τουλάχιστον να αυξηθούν οι τιμές του δείγματος, ώστε να προκύψει ομοιογενές δείγμα. α. Το γινόμενο των ριζών ενός τριωνύμου γνωρίζουμε ότι δίνεται από τον τύπο P, οπότε έχουμε 8 4 4 s 0, 5, άρα ο συντελεστής μεταβολής του s s 4 δείγματος είναι CV 5% 0%, το οποίο σημαίνει ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Παρατήρηση: Η συνάρτηση είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού με διακρίνουσα 4 64 0, άρα έχει δύο ρίζες άνισες και μάλιστα διαφορετικές του μηδενός, αφού το γινόμενό τους είναι ίσο με 4. β. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση και έχουμε:. f () 8 4 Έχουμε f () 0 40, 4 f () 0 40 και 4 f () 0 40. 4 Από τα παραπάνω σχηματίζουμε τον πίνακα προσήμου: 60

Από τα παραπάνω έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, 4 και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, 4. Άρα το ελάχιστο της συνάρτησης είναι το 5 f 8. 4 8 8 Οπότε 89 7 (η αρνητική ρίζα απορρίπτεται, αφού 8 ). Έτσι η συνάρτηση γίνεται: f() 7 8 η οποία έχει ρίζες, Άρα s και 8. (αφού ) s 7 5. 4 8 γ. Αν οι τιμές αυξηθούν κατά c μονάδες, τότε σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του βιβλίου θα έχουμε ότι η νέα μέση τιμή θα είναι c8 c και η νέα τυπική απόκλιση s θα είναι s s. Άρα ο νέος συντελεστής μεταβολής είναι s CV. 8 c Πρέπει CV 8c 0 c. 0 8 c 0 Άρα οι τιμές του δείγματος πρέπει να αυξηθούν τουλάχιστον κατά μονάδες, ώστε να προκύψει ομοιογενές δείγμα. 6

Άσκηση 5 Έστω t,t,t 3,t 4,t 5 οι παρατηρήσεις ενός δείγματος, που δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους, η μέση τιμή τους και s η διακύμανση. Επίσης, θεωρούμε τη συνάρτηση 3 3 3 f() t t... t,. 5 α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Αν η συνάρτηση f () παρουσιάζει ελάχιστο το f (6) 30, τότε:. να δείξετε ότι s.. να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων των παρατηρήσεων. (Δίνεται: s t ) t α) Η παράγωγος της f είναι 3 t t f () 3 t t 3 t t... 5 5 3 t 3 t... 3 t 3 t 5, για κάθε. 3 t 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. 5 5 β). Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση g() t 5 συνάρτηση 5, έχει ελάχιστο όταν, έχει ελάχιστο για f () 3 t 3g() Επειδή η f () έχει ελάχιστο για 6, θα είναι 6.. 5 5 (). Επίσης είναι f (6) 30 f 30 3 t 30 t 0 Όμως η διακύμανση των πέντε παρατηρήσεων δίνεται απ τον τύπο. Οπότε και η 6

5 () 0 s t. Άρα s. 5 5. Από τον τύπο που δίνεται έχουμε 5 5 5 t 5 t t 5 5 5 5 s t s 5 t 5 5 s t 5s. 5 Άρα t 5 36 90. 63

Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση f () ln, 0. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν τα σημεία A, y,a, y,...,a5 5, y 5 με 0 34 5 e ανήκουν στη γραφική παράσταση της f και ισχύει 3 4 5 e, τότε:. να βρείτε τη μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f στα παραπάνω σημεία.. να υπολογίσετε το εύρος των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφικής 5 παράστασης της f στα παραπάνω σημεία, αν επιπλέον ισχύει e. 5 α) Η παράγωγος της f είναι η f () ln ln ln ln, 0. f () 0 ln 0 ln e f () 0 ln 0 ln e Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: Είναι γνησίως αύξουσα στο, e Είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, e. Έχει ελάχιστο το f ln. e e e e 64

β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A,f ( ),,,...,5 f ln., είναι. Για τη μέση τιμή των αριθμών f,,,...,5 έχουμε f ( ) f ( ) f ( 3) f ( 4) f ( 5) y 5 ln ln ln 3ln 4ln 5 5 ln 3 4 5 5 ln e 5 5 7. 5 5 5 5 f () ln 0, για κάθε 0 άρα η συνάρτηση f () ln είναι γνησίως αύξουσα. Έτσι, για 0 34 5 θα ισχύει e f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). Το εύρος των συντελεστών διεύθυνσης είναι. Ισχύει ίσο με: 3 4 5 e. 5 R 5 5 f ( 5) f ( ) ln 5 ln ln ln ln e 5 65

Άσκηση 7 Οι παρατηρήσεις t, t,..., t ενός δείγματος μεγέθους έχουν μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () ln ln s, 0. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(e,e) και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στον άξονα τότε: Α) Να βρείτε το s και το. Β) Αποδείξτε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Γ) Αν έχουμε κανονική κατανομή και 54 παρατηρήσεις βρίσκονται στο διάστημα.5, να βρείτε:. το μέγεθος του δείγματος.. το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα 0, Δ) Να βρείτε την ελάχιστη θετική τιμή του c που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία παρατήρηση t, t,..., t ώστε το δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτει να είναι ομοιογενές. Α) Αφού το A(e,e) ανήκει στη γραφική παράσταση της f θα ισχύει: f (e) e e ln e ln e s e e s e s () Έχουμε f () ln, για κάθε 0. Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στον άξονα τότε: f () 0 ln 0 () Τότε από την () έχουμε s. Β) Έχουμε s CV 0,5 50% 0%. Άρα δεν είναι ομοιογενές. 66

Γ). Στο διάστημα.5, s, s αντιστοιχεί το 3,5% των παρατηρήσεων. Άρα θα έχουμε 3,5 54 400, το μέγεθος του δείγματος. 00. Στο διάστημα 0, s, s αντιστοιχεί το 95% των παρατηρήσεων. Άρα θα έχουμε 95 400 380 παρατηρήσεις. 00 Δ) Οι νέες παρατηρήσεις προκύπτουν από τη σχέση y c, c 0 και,,..., Οπότε y c και sy s. Το δείγμα είναι ομοιογενές αν και μόνο αν ισχύει η σχέση CV 0%. Δηλαδή s y 0 CV 0% 0% 50 00c c 4. y c 00 Άρα, η ελάχιστη τιμή του c ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές είναι ίση με 4. 67

Άσκηση 8 Έστω ένα δείγμα τριάντα παρατηρήσεων t, t, t 3,..., t 30, με μέση τιμή 3. Α. Να προσδιορίσετε την τιμή του αριθμού c, που αν προστεθεί σε κάθε μία από τις παρατηρήσεις αυτές, τότε οι παρατηρήσεις y, y, y 3,..., y 30, που θα προκύψουν, να έχουν μέση τιμή y 40. Β. Αν πέντε από τις παρατηρήσεις t, t, t 3,..., t 30, μειωθούν κατά και δέκα παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 4, προκύπτουν οι παρατηρήσεις z,z,z 3,...,z 30. Να βρείτε τη μέση τιμή z των παρατηρήσεων z, z, z 3,..., z 30.. Να βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση, αν ισχύει: Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές. 30 z 3800. Γ. Δίνονται οι παρατηρήσεις,,...,, ενός δείγματος ως προς μια μεταβλητή X. Αν οι παρατηρήσεις y και t, όπου,,...,, που προκύπτουν από τις σχέσεις y και t όπου 0, 0 και, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: CV CV 0 y t όπου CV y και CV t, είναι οι συντελεστές μεταβολής των μεταβλητών Y και Τ. Α. Έχουμε: 30 t 30 () και y t c,,,3,...,30 () οπότε θα είναι: 30 y y 30 που λόγω γνωστής εφαρμογής, μας δίνει ότι: y c Οπότε, αφού y 40 και 3, η σχέση y c, γίνεται: 40 3c c 9 Επομένως ο σταθερός αριθμός είναι c 9. 68

Β.. Από τα δεδομένα έχουμε ότι, πέντε παρατηρήσεις μειώνονται κατά και δέκα παρατηρήσεις αυξάνονται κατά 4, η κάθε μια, ενώ οι υπόλοιπες δεκαπέντε παραμένουν αμετάβλητες. Οπότε θα έχουμε: 30 30 30 t 5 0 4 t 30 t 30 z 33 30 30 30 30 Αφού είναι 30 t 30 30 30 t. Άρα η μέση τιμή z των παρατηρήσεων z,z,z 3,...,z 30, είναι z 3.. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι z 3. Επομένως θα έχουμε: 30 30 z z 30 30 30, οπότε θα είναι: z 3 z 960 30 z 30 960 Sz z 3800 38003070 30 30 30 30 30 080 36 30 Επομένως, η τυπική απόκλιση S z θα είναι: Sz 36 6.Έχουμε: S 6 ή 8,75%, z 3 z CVz 0,875 οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές, αφού ο συντελεστής μεταβολής, είναι μεγαλύτερος του 0%. Γ. Από γνωστή εφαρμογή, θα έχουμε: y και t. Όμως, οπότε έχουμε: 69

y () και t (). Αν S y και S t είναι οι αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις, τότε θα έχουμε: o S S S και y S t S S. Από τις () και (), θα έχουμε: S y S CVy y και CV S t S t t S S. Επομένως θα έχουμε: S S CV y CVt 0 70

Άσκηση 9 Α. Σε ένα δείγμα, οι τέσσερεις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X, είναι, 4, 3 6, 4 8. Να εξετάσετε εάν το δείγμα αυτό είναι ομοιογενές. Β. Δίνονται,, 3,, οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X, με μέση τιμή και τυπική απόκλιση S. 3 Αν y, όπου,,3,...,, είναι οι παρατηρήσεις μιας άλλης μεταβλητής Ψ, τότε S να αποδείξετε ότι ισχύει: y. CV Γ. Έστω,, 3,,, οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X, ενός δείγματος μεγέθους, με τυπική απόκλιση μηδέν και μέση τιμή. Αν οι συναρτήσεις f και g, είναι ορισμένες στο, και για κάθε, ισχύει: f g f g f g, για κάθε. Τότε να αποδείξετε ότι είναι Α. Αρχικά υπολογίζουμε τη μέση τιμή των τεσσάρων αυτών παρατηρήσεων. Έχουμε: 34 0 5. 4 4 Υπολογίζουμε τη διακύμανση S : 4 S S 5 45 65 85 4 4 99 0 5 4 4 Άρα, θα έχουμε: S S 5, οπότε και ( S 5 CV προφανώς 5 0 5 5 5 5 0, που ισχύει) 5 0 Επομένως το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Β. Έχουμε: () 7

Εξάλλου είναι και: y... 3 3 3 y S S S... 3 3 S S S S CV Γ. Έχουμε: S 0 0... 0 0, 0,..., 0 από όπου προκύπτει:... 3 Δηλαδή: και και... και Επιπλέον, έχουμε ότι ισχύει για κάθε : f g f g f g f g 0 f g f g 0 f f g g 0 f f g 0 fg. g Άρα f g, για κάθε. Ημερομηνία τροποποίησης: /5/0 7

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε ότι: P( A ) P( A) α) Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης. β) Επειδή A A =, δηλαδή τα Α και Α είναι ασυμβίβαστα, έχουμε, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A A = P A + P A P Ω = P A + P A ( ) ( ) = PA ( ) + P A P A = PA ( ).

Ερώτηση θεωρίας α) Έστω AB, δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν A B P A P B. να αποδείξετε ότι ( ) ( ) β) Ποιο ενδεχόμενο λέγεται αντίθετο του ενδεχομένου Α; α) Επειδή A Bέχουμε διαδοχικά ( ) N( B) N A ( ) ( Ω) N A N ( ) ( Ω) N B N ( ) P( B) P A. β) Το ενδεχόμενο A που διαβάζεται «όχι Α ή συμπληρωματικό του Α ή αντίθετο του Α» και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α.

Ερώτηση θεωρίας 3 α) Έστω AB, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: ( ) ( ) PA ( B) = P A+ PB PA ( B). β) Πότε δύο ενδεχόμενα AB, ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ξένα μεταξύ τους; α) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: ( ) ( ) αφού στο άθροισμα N( A) N( B) N( A B) = N A + N B N( A B) () + το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου A B υπολογίζεται δύο φορές. Είναι N ( Ω) 0, οπότε από την () έχουμε: N( A B) N( A) N( B) N( A B) = + N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) και επομένως PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B). β) Δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ξένα μεταξύ τους όταν η τομή τους είναι το κενό σύνολο, A B=. 3

Ερώτηση θεωρίας 4. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα;. α) Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α κάποιου δειγματικού χώρου Ω. β) Να δώσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω πιθανοτήτων.. P( Ω ). P( ) 3. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να δώσετε τους ορισμούς του βέβαιου ενδεχομένου και του αδύνατου ενδεχομένου.. Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A B =.. α) Ορίζουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό: Πλήθ oς ευν o ικών πριπτ ώσεων N( Ω) PA ( ) = = Πλήθ oς δυνατ ών περιπτ ώσεων N( A) β) P( Ω ) = και P( ) = 0 ( Αφού N( Ω) P( Ω ) = = N( Ω) και 0 P( ) = 0 N( Ω) = ) 3. Βέβαιο ενδεχόμενο λέγεται το ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται πάντοτε.(ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα τέτοιο ενδεχόμενο αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω). Αδύνατο ενδεχόμενο λέγεται το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης.(το κενό σύνολο είναι αδύνατο ενδεχόμενο). 4

Ερώτηση θεωρίας 5 α) Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA ( B) = PA ( ) PA ( B) β) Να δώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. α) Είναι: ( A B) ( A B) = () και ( A B) ( A B) = A () Τα ενδεχόμενα A B και A B είναι ασυμβίβαστα (), οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( ) P( A B) ( A B) = PA ( B) + PA ( B) PA ( ) = PA ( B) + PA ( B) PA ( B) = PA ( ) PA ( B) () β) Έστω Ω= { ω, ω,..., ω ν } ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο { ω } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με P( ω ), έτσι ώστε να ισχύουν: 0 P( ω ) P( ω ) + P( ω ) +... + P( ω ν ) =. Τον αριθμό P( ω ) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου { ω }. Ως πιθανότητα PA ( ) ενός ενδεχομένου A = { α, α,..., ακ} ορίζουμε το άθροισμα P( α) + P( α) +... + P( α κ ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό P( ) = 0. 5

ΘΕΜΑ Β Άσκηση Σ ένα σχολείο το 80% των μαθητών έχουν κινητό τηλέφωνο και το 40% έχει φορητό υπολογιστή. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν Κ είναι το ενδεχόμενο: «ο μαθητής έχει κινητό τηλέφωνο» και Υ το ενδεχόμενο: «ο μαθητής έχει φορητό υπολογιστή», τότε: α) Να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Κ και Υ δεν είναι ασυμβίβαστα. 4. 5 5 β) Να δείξετε ότι P( K Y) γ) Αν επιπλέον η πιθανότητα του ενδεχομένου «ο μαθητής έχει μόνο φορητό υπολογιστή» είναι 5%, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων:. «ο μαθητής έχει μόνο κινητό τηλέφωνο ή μόνο φορητό υπολογιστή». «ο μαθητής δεν έχει κινητό τηλέφωνο ούτε φορητό υπολογιστή». α) Έστω ότι τα ενδεχόμενα Κ και Υ είναι ασυμβίβαστα. Τότε έχουμε K Y = και από τον απλό προσθετικό νόμο P( K Y) = PK ( ) + PY ( ) = 80% + 40% = 0% > (αδύνατο). Άρα τα ενδεχόμενα Κ και Υ δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύουν οι P( K Y) <b>()</b> και P( K Y) Είναι K Y K, άρα ( ) 4 5 4 P K Y PK ( ) = 80% =. 5 (). 5 5 5 Έστω ότι ισχύει η () δηλαδή, P( K Y) P( K) P( K Y) 4 P( K Y) PK ( ) = = = 40% = PY ( ), που ισχύει διότι K Y Y. 5 5 5 5 4. 5 5 Από τις () και () συμπεραίνουμε ότι P( K Y) γ) Η πιθανότητα του ενδεχομένου «ο μαθητής έχει μόνο φορητό υπολογιστή» είναι 5%, άρα ( ) ( ) P Y K = 5% PY ( ) P K Y = 5% P( K Y) = PY ( ) 5% = 40% 5% = 5%. 6

. Το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει μόνο κινητό τηλέφωνο ή μόνο φορητό υπολογιστή» είναι το K Y Y K. Από το διπλανό διάγραμμα ( ) ( ) παρατηρούμε ότι τα ενδεχόμενα ( K Y) ( Y K) και είναι ασυμβίβαστα. Από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) P K Y Y K = P K Y + P Y K = ( ) ( ) = P( K) P K Y + P( Y) P K Y = ( ) = PK ( ) + PY ( ) P K Y = = 80% + 40% 5% = 70%. Το ενδεχόμενο «ο μαθητής δεν έχει κινητό τηλέφωνο ούτε φορητό υπολογιστή» είναι το ( K Y ). Άρα έχουμε P K Y = P K Y = P( K) P( Y) + P K Y = ( ) ( ) ( ) 80% 40% + 5% = 5%. 7