Impulul mecanic 1 Impulul mecanic Impulul mecanic al punctului material ete produul dintre maa lui la viteza: p = m v. Din legea a II-a a lui Newton obtinem: F = m a = m v v 0 t F t = m v m v 0. F t poarta denumirea de impulul fortei, iar egalitatea exprima legea impulurilor: impulul fortei ete egal cu variatia impulului punctului material. Pentru un item izolat e realizeaza legea converarii impulului: uma geometrica a impulurilor corpurilor intr-un item inchi ramine contanta la orice interactiune dintre corpurile acetui item: Σm i v i = cont. Legea e atiface i pentru proiectiile impulurilor pe o anumita directie, daca uma proiectiilor fortelor pe aceata directie ete egala cu zero. O conecinta a legii conervarii impulului ete micarea reactiva. La arderea combutibilului dintr-o racheta, gazele formate in rezultatul arderii e ejecteaza din racheta cu o anumita viteza. In lipa fortelor exterioare: m 1 v 1 + m v = 0, unde m 1 i m maa rachetei i a combutibilului ar intr-un interval mic de timp; v 1 i v viteza lor. Deci, viteza rachetei ete orientata in en opu vitezei gazelor ete o micare reactiva, ete o micare care nu are nevoie de actiune din exterior. Important ete faptul ca pe maura arderii combutibilului maa m 1 a rachetei devine din ce in ce mai mica, ceea ce conditioneaza creterea vitezei rachetei. Lucrul i energia mecanica Lucrul in fizica ete produul dintre forta i deplaare: L = F S. Puterea exercitata de forta ete lucrul fortei intr-o unitate de timp: P = L t = F S t = F v, unde v ete viteza corpului la micarea rectilinie uniforma medie la micarea variata. Lucrul fortei rezultante ete: L = mv mv 0 = Ec Ec 0, unde Ec = mv ete energia cinetica a punctului material.
Impulul mecanic Deci, lucrul fortei rezultante ete egal cu variatia energiei cinetice: Lucrul fortei de greutate ete: L = Ec. L = mgh 1 mgh, unde h 1 i h unt inaltimea initiala i finala a punctului material in raport cu nivelul coniderat nul. Marimea fizica Ep = mgh poarta denumirea de energia potentiala a punctului material la inaltimea h. Deci, lucrul fortei de greutate ete egal cu variatia energiei potentiale a lui luate cu emnul minu: L = Ep 1 Ep = Ep. Nota: lucrul fortei de greutate nu depinde de forma traiectoriei i ete determinat in acet en de inaltimea initiala i finala a punctului material; lucrul fortei de greutate pe o traiectorie inchia ete egal cu zero. Lucrul fortei de elaticitate (F = kx: unde Ep = kx L = kx 1 kx = E p 1 Ep, ete energia potentiala a arcului deformat. Deci, lucrul fortei de elaticitate ete egal cu variatia energiei potentiale luate cu emnul minu i depinde numai de deformarea initiala x 1 i finala x. ( Lucrul fortei de atractie univerala F = G m 1m : r ( L = G m ( 1m G m 1m = Ep r 1 r 1 Ep, unde Ep = G m 1m r ete energia potentiala de interactiune a doua puncte materiale. Si in cazul dat lucrul nu depinde de forma traiectoriei i ete determinat de pozitia initiala i finala a unui punct material fata de altul. Fortele, lucrul carora nu depinde de forma traiectoriei, lucrul lor pe o traiectorie inchia ete egal cu zero, e numec forte conervative. Deci, forta de greutate, de elaticitate, de atractie univerala unt forte conervative. Lucrul fortei exterioare (fortelor exterioare toate fortele cu exceptia celor conervative ete L = E E 1, unde E = Ep + Ec ete energia mecanica totala. Pentru un item izolat are loc legea conervarii energiei in mecanica: E = cont
Impulul mecanic 3 Ep + Ec = cont. Daca in proceul micarii energia e micoreaza, atunci cea cinetica crete i inver. Exemple de rezolvare a problemelor 1. Care ete forta medie de preiune la umarul pucaului la efectuarea unor impucaturi din pitolul automat, daca maa glontelui ete de 10 g, viteza lui de 300 m/ i au loc 300 impucaturi pe minut? m = 10 g = 0,01 kg v = 300 m/ n = 300 1 min F? Cunoatem din legea impulurilor ca Proiectand pe directia vitezei, obtinem F t = m v m v 0. F t = mv mv 0. In cazul de fata v 0 = 0 (initial, glontele nu e mica, iar F ete forta ce actioneaza aupra glontelui. Conform legii a III-a a lui Newton, forta data ete egala numeric cu forta ce actioneaza aupra pitolului, deci i aupra umarului pucaului. t ete timpul mediu de efectuare a unei impucaturi i ete egal cu: t = τ n, unde τ ete timpul in care au loc n impucaturi (in cazul de fata τ = 1 min = 60, n = 300. Rezulta: F = mv t = mv τ n, 0, 01 300 F = 300 = 15 (N. 60. Un corp cu maa m e mica pe circumferinta cu viteza v. Se cere variatia impulului corpului la rotirea cu 60 o, 90 o, 180 o i 360 o. a Din deen rezulta ca Rezulta ca (m v = m v. v = v 0 in 30 o = v 0 1 = v 0 = v. m v = m v = mv,
Impulul mecanic 4 iar α = 10 o. b iar α = 135 o. c iar α = 180 o. v = v 0 + v = v m v = mv, v = v m v = m v = mv, d v = 0 m v = 0. 3. Un tingator de incendiu indrepta capul de furtun aupra focului. Viteza de ieire a apei ete de 16 m/, ectiunea tranverala a capului de furtun 5 cm. Se cere forta cu care tingatorul de incendiu tine capul de furtun. v = 16 m/ S = 5 cm = 5 10 4 m F? F t = m v m v 0. Initial in forma calara: v 0 = 0 F t = m v F t = mv F = m t v. In timpul t prin ectiunea tranverala a furtunului trece o cantitate de maa egala cu: unde ρ ete denitatea apei Prin urmare, m = ρv = ρsv t, ( ρ = 1000 kg. m 3 F = ρsv t t v = ρsv, F = 1000 5 10 4 16 = 18 (N. 4. Pe o uprafata abolut neteda e mica o lada cu niip cu viteza de 6 m/. Maa lazii ete de 9 kg. In lada cade o greutate cu maa de 1 kg de la inaltimea de 10 m, fara viteza initiala. Se cere viteza lazii dupa caderea greutatii in lada cu niip. M = 9 kg m = 1 kg v 0 = 6 m/
Impulul mecanic 5 h = 10 v? In genere, corpurile m i M nu formeaza un item izolat actioneaza uportul cu o forta de reactiune. Ina legea conervarii impulului e realizeaza pentru proiectiile lor pe axa x. Initial avem: (m u + M v 0 x = Mv 0. Final: Prin urmare, ((m + M v x = (m + Mv. Mv 0 = (m + Mv v = M m + M v 0 = 9 ( m 1 + 9 6 = 5, 4. 5. Un proiectil e deface in doua parti egale in punctul uperior al traiectoriei la inaltimea 15,9 m. Pete 3 dupa explozie una din parti cade pe Pamant ub locul unde a avut loc explozia. Cu ce viteza i ub ce unghi fata de orizont a inceput a e mite a doua parte a proiectilului dupa explozie, daca prima parte a cazut la ditanta de 636 m de la locul impucaturii? Rezitenta aerului e neglijeaza. l = 636 m H = 15,9 m t = 3 v? α? Conform legii converarii impulului, impulul pina la explozie ete egal cu uma impulurilor dupa explozie: m v = m 1 v 1 + m v. Conform conditiilor problemei: m 1 = m = m. Rezulta: m v = m v 1 + m v, de unde: v 1 + v = v. Viteza primei parti a proiectilului e determina din conditia ca ea cade pe Pamant ub locul exploziei pete t 1 = 3 : Proiectand pe axa y, obtinem: S y = v 1y t 1 + a y t 1. H = v 1 t 1 gt 1 v 1 = gt 1 H t 1 ;
Impulul mecanic 6 v 1 = 9, 8 3 15, 9 ( m = 9, 4. 3 Determinam viteza v in punctul uperior al traiectoriei din urmatoarele coniderente. Deplaarea H pe verticala ete: Deplaarea l pe orizontala ete: Dar i: de unde: H = v 0y t gt. l = v 0x t. v y v 0y a y = S y, H = v 0y g, doar v y = 0 i S y = H. Deci: v 0y = gh; v 0y = ( m 9, 8 15, 9 = 17, 7 Din prima ecuatie:. 9, 8 t 17, 7t + 15, 9 = 0 4, 9 t 17, 7t + 15, 9 = 0. t 1, = 17, 7 ± (17, 7 4 4, 9 15, 9 = 1, 8(. 4, 9 Atunci v 0x = l ; v 0x = 636 ( m t 1, 8 = 353. In enul axei x micarea ete cu viteza contanta v 0x, doar a x = g x = 0, deci ( m v 0x = v = 353. Prin urmare, v = v 1 + 4v ; v = ( m (9, 4 + 4 353 = 706, iar ( m Rapun: v = 706 tgα = v 1 v ; tgα = 9, 4 353 = 0, 0133 α = 46. ; α = 46. 6. Motoarele unei locomotive cu tractiune electrica la micarea cu viteza de 7 km/h conuma puterea de 800 kw. Randamentul motoarelor ete de 0,8. Se cere forta de tractiune
Impulul mecanic 7 a locomotivei. v = 7 km/h = 0 m/ N = 800 kw = 8 10 5 W η = 0, 8 F tr? Puterea fortei de tractiune ete: N 1 = F tr v = ηn F tr = ηn v ; 0, 8 8 105 F tr = 0 Rapun: F tr = 3 10 3 N = 3 kn. = 3 10 3 (N. 7. De pe virful unei pante aluneca un corp i e oprete in punctul din care punctul de pornire e vede ub un unghi de 6 o. Se cere coeficientul de frecare, daca el ete contant pe intregul parcur al micarii. α = 6 o µ? Se tie ca lucrul fortelor exterioare ete egal cu variatia energiei mecanice totale, adica: F fr1 l F fr b = E E 1 (lucrul fortei de frecare ete negativ forta de frecare ete orientata in en opu deplaarii. E 1 = mgh energia initiala; E = 0 energia finala. Rezulta: F fr1 = µn 1 ; F fr = µn F fr1 = µmg co β = µmg a l, F fr1 = µmg. µmg a l l µmg b = 0 mgh, de unde Rapun: µ = 0, 105. µ = h a + b = tgα; µ = tg 6 o = 0, 105.
Impulul mecanic 8 8. Un corp cu maa de 500 g e mica cu viteza de 3 m/ pe o uprafata orizontala i e ridica pe o panta mobila de maa 7,5 kg. La ce inaltime e va ridica corpul pe panta? Frecarea e neglijeaza. m = 500 g = 0,5 kg v 1 = 3 m/ M = 7,5 kg h? Vom aplica legea conervarii impulului i legea conervarii energiei: m v 1 = (m + M v mv 1 mv 1 = (m + Mv, = mgh + (m + M v, de unde i Rezulta: mv 1 v = mv 1 m + M = mgh + m + M m v 1 (m + M. mv 1 m v 1 (m + M = mgh, v 1 mv 1 (m + M = gh, (m + Mv 1 mv 1 (m + M = gh, de unde Rapun: h = 43 cm. h = h = Mv 1 g(m + M ; 7, 5 3 9, 8(0, 5 + 7, 5 = 0, 43(m. 9. Un corp aluneca fara viteza initiala de pe virful unei fere netede de raza R, care e afla pe o maa orizontala. La ce imaltime de la uprafata meei corpul e va rupe de la fera? Frecarea e neglijeaza.
Impulul mecanic 9 Corpul e mica pe uprafata ferei, deci i cu acceleratia centripeta. Aupra corpului actioneaza fortele m g i N. Proiectand N, m g, i ac pe axa y, obtinem din legea a II-a a lui Newton: N mg co α = ma c. In momentul ruperii corpului de pe uprafata ferei, forta de reactiune N ete zero (N = 0, deci: mg co α = ma c g h R R = v R ( a c = v R g(h R = v. Viteza v poate fi determinata din legea conervarii energiei mecanice. Energia initiala (potentiala ete egala cu mg h, iar in punctul final mgh + mv. Prin urmare, mg R = mgh + mv, de unde v = g(r h. Obtinem: g(h R = g(r h h = 5 3 R. Probleme pentru rezolvare de ine tatator 1. Un carucior cu niip e mica cu viteza de 1 m/. In intimpinarea lui zboara o bila cu maa de kg cu viteza orizontala de 7 m/. Cu ce viteza i in care directie va continua micarea caruciorul cu bila oprita in niip? Maa caruciorului cu niip ete de 10 kg. (Rapun: 0,3 m/ in enul micarii initiale a bilei.. Un om incearca a coboare dintr-un aerotat pe o cara din funie. Maa aerotatului ete de 350 kg. Sa e determine lungimea minima a carii, pentru ca paind de pe ultima cara omul a atinga Pamantul. Maa omului 70 kg, inaltimea initiala a aerotatului 10 m. (m + MH (Rapun: l = = 1 m. M 3. Un glonte ce zboara orizontal lovete intr-o fera atirnata de o vergea rigida imponderabila i e oprete in ea. Maa glontelui ete de 5 g, maa ferei 0,5 kg, viteza glontelui 500 m/. Se cere ditanta minima de la centrul ferei pina la punctul de upenie pentru ca fera de la lovitura a atinga punctul uperior de u. (Rapun: l = 0, 64 m.