ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ

1 ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Συνάρτηση f, αν ΜΑΘΗΜΑ 9.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Θεωρία Σχόλια - Μέθοδοι Ασκήσεις εύρεσης συνάρτησης από παράγωγο είναι συνεχής σε διάστηµα και f () 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε είναι σταθερή στο. Ισχύει και αντίστροφα για παραγωγίσιµες συναρτήσεις: Αν f() c σε διάστηµα, τότε f () 0. Θεώρηµα Συναρτήσεις f, g, αν είναι συνεχείς σε διάστηµα και f () g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε f() g() + c για κάθε, όπου c σταθερός αριθµός Ισχύει και αντίστροφα για παραγωγίσιµες συναρτήσεις: Αν f() g() + c σε διάστηµα, τότε f () g ()

ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Παρατήρηση Στα θεωρήµατα της παραγράφου µας, το πεδίο ορισµού είναι διάστηµα και όχι ένωση διαστηµάτων.. Μέθοδος Αυτά τα δύο θεωρήµατα µας εξυπηρετούν στην εύρεση του τύπου συνάρτησης. 3. Εφαρµογή σαν θεώρηµα Για παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει η ισοδυναµία : f () f() σε διάστηµα f() c στο Απόδειξη Για κάθε έχουµε f () f() f () f() 0 Να θυµόµαστε αυτή την ενέργεια Πολλαπλασιάζουµε µε ή ή ϕ() f () f () ( f () f() 0 + f()( ) 0 f() c ) 0 4. Μέθοδος Όταν δίνεται f() > 0, υποψιαζόµαστε ( ln f() ). f() c 5. Μέθοδος Το γινόµενο f() f () ( ) οδηγεί στη f( ) 6. Μέθοδος Η διαφορά f () f() οδηγεί στη ( ) f, αφού πρώτα διαιρέσουµε µε

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράγωγος 0 ή 1. παράγωγος παράγωγος Για τη συνάρτηση f:r R δίνεται ότι f( + y) f() + f(y) + y για κάθε, y R και f (0). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε τον τύπο της. f (0) lim h 0 ( + ) ( ) (1) f 0 h f 0 h Η υπόθεση f( + y) f() + f(y) + y () για y 0 δίνει f(0 + 0) f(0) + f(0) + 0 f(0) f(0) f(0) 0 (1) Έστω lim h 0 Άρα Άρα lim h 0 f( h) h R τυχαίο. ( ) f( ) f + h h () lim h 0 lim h 0 lim h 0 lim h 0 ( ) ( ) ( ) f + f h + h f h f( h ) + h h ( ) f h + h f( h) h f ( ) + και επειδή f () Αλλά f(0) 0 + (3) 0 + () f() + + + τυχαίο, θα είναι f () +, R f() + + c (3) 0 + c 0 c 0

4. Για παραγωγίσιµη συνάρτηση f:r R δίνεται ότι 4f() + f () 5, R και f(0) 0. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. f () ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(), R είναι σταθερή. iii) Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων f, g. i) Η υπόθεση 4f() + f () 5, R f () 5 4f() (1) f () 5 4f() Η f λοιπόν προκύπτει από πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων, άρα είναι παραγωγίσιµη. Οπότε η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη. ii) Η g είναι παραγωγίσιµη σαν λόγος παραγωγίσιµων. Αρκεί να αποδείξουµε ότι g () 0. f () f () f ()( ) g() g () Αρκεί να αποδείξουµε ότι Η υπόθεση iii) f () ( ) ( ) + f () f () + f () f () + f () 0 4f() + f () 5, R (4f() + f ()) 0, 4 f () + f () 0 f () + f () 0 g () 0 g() c στο R () (1) f () c f () c f () c, 5 4f() c 4f() 5 c Η (3) για 0 4f(0) 5 c 4 0 5 c. 1 c 5 (3) 0

5 H (3) γίνεται 4f() 5 5 f() 5 4 5 4 Και η () γίνεται g() 5 3. Η αξία ενός αυτοκινήτου µειώνεται συνεχώς µε ρυθµό που είναι ανάλογος της τιµής του. Αν το αυτοκίνητο πωλείται 16000 και η αξία του 3 χρόνια µετά είναι 1000, να βρείτε την αξία του 6 χρόνια µετά την πώλησή του. η συνάρτηση που εκφράζει την αξία του αυτοκινήτου συναρτήσει του χρόνου t (σε έτη). ίνεται A (t) k A(t), όπου k > 0 σταθερά Για t 0: A(0) 16000 Για t 3: A(3) 1000 Αναζητάµε την τιµή A(6) A (t) k A(t) A ( t) k A t Σχόλιο 4 Έστω Α A(t), t 0 (και A(t) > 0) ( ) (ln A(t)) ( kt) ln A(t) kt + c A(t) A(t) kt c + kt c (1) A(0) 16000 A(3) 1000 k 0 c 16000 k.3 c 16000 3k 16000 1000 3k 1 16 3 4 c 16000 k ( ) 3 3 4 Η (1) A(t) Άρα A(6) ( ) 1 6 3 3 4 3 4 k ( ) 1 3 kt c ( k ) t 16000 ( ) 1 t 3 3 16000 3 ( ) 4 16000 9 16 4 16000 16000 9000

6 4. Για συνάρτηση f: (0, + ) R παραγωγίσιµη στο (0, + ), δίνεται ότι f( ) f () + 1 για κάθε (0, + ) και η C f εφάπτεται της ευθείας y. Να βρείτε την f. Για κάθε (0, + ) είναι f () f( ) + 1 f () f() + f () f() ( ) ( ) f f 1 f( ) (ln) f( ) ln + c f() ln + c (1) Σχόλιο 6 Έστω (, f( )) το σηµείο επαφής. Θα έχουµε f( ) και f ( ) () Η (1) για f( ) ln + c Η (1) f () (ln + c) ln + 1 + c και για f ( ) ln + 1 + c H () γίνεται ln + c και ln + 1 + c ln + c και ln 1 c (1 c) + c και c + c και και ln 1 c και 0 c H (1) γίνεται f() ln, (0, + ) ln 1 c ln 1 c

7 5. Να βρείτε τον τύπο παραγωγίσιµης συνάρτησης f : (0, + ) (0, + ) τέτοια, ώστε f () f() ln f() 0 για κάθε (0, + ) και f(1). Για κάθε (0, + ) είναι f () f() lnf() 0 f ( ) lnf() 0 f ( ) Η (1) για 1 H (1) γίνεται lnf() (ln f()) lnf() 0 ( ( )) ( ) lnf ln f 0 lnf( ) 0 lnf() ln f (1) c 1 c (1) ln 1 c 1 c 1 lnf() f() Σχόλιο 6 6. Για συνάρτηση f: (0, + ) R παραγωγίσιµη στο (0, + ), δίνεται ότι f () f() συν ηµ για κάθε > 0 και f ( π ) 1. Να βρείτε την f. για κάθε > 0 είναι f () f() συν ηµ f () f() (ηµ) ηµ ( ) ( ) ( ) f f ηµ ηµ f( ) ηµ Σχόλιο 6 f( ) ηµ + c f() ηµ + c Αλλά f ( π ) 1 ηµ π + c π 1 1 + c π 1 c 0 Άρα f() ηµ

8 7. Για την παραγωγίσιµη συνάρτηση f:r R, δίνεται ότι f () f() Αν f (0) 1, να βρείτε την f. Για κάθε R είναι (ηµ συν) για κάθε R. f () f() (ηµ συν) Να θυµόµαστε. Η διαφορά f () f() απαιτεί f () f () f() ηµ συν + f() ( ) ( συν) (ηµ) (f() ) ( συν ηµ) f() συν ηµ + c (1) Για 0 η (1) f(0) 0 συν0 ηµ0 + c f(0) 1 + c 1 1 + c c 0 H (1) γίνεται f() συν ηµ f() ( συν + ηµ)

9 8. Έστω συνάρτηση f: R (0, + ) παραγωγίσιµη στο R. Για κάθε R, να αποδείξετε την ισοδυναµία : f () ( + 1) f() υπάρχει c R τέτοιο, ώστε f() c + 1 ος τρόπος Για κάθε R είναι f () ( + 1) f() f () + 1 f() (lnf()) ( + ) lnf() f() f() f() c + + α, όπου α σταθερά + + α + α θέτουµε α c + ος τρόπος Για κάθε R είναι f () ( + 1) f() 0 Σχόλιο 7 Είπαµε, να θυµόµαστε αυτή την ενέργεια f () f () ( ) + ( + 1) ( ) + + f() ( ( ) ( ) + f() 0 + ) 0 ( ) + (f() f() f() c ( ) + ) 0 ( ) + c + Παρατήρηση: Ο ος τρόπος καλύπτει και την περίπτωση, κατά την οποία οι τιµές της ανήκουν στο R και όχι µόνο στο (0, + ).

10 9. Έστω f, g παραγωγίσιµες στο R συναρτήσεις ώστε να ισχύουν : α) f () g() + f() g () f () + g () για κάθε R β) g() 1 για κάθε R γ) f (1) 1 και g(1) 0 Να αποδείξετε ότι η C f είναι η ευθεία y 1 Για κάθε R έχουµε H (1) για 1 f () g() + f() g () f () + g () [f() g()] [f() + g()] f() g() f() + g() + c (1) f(1) g(1) f(1) + g(1) + c 1 0 1 + 0 + c c 1 H (1) γίνεται f() g() f() + g() 1 f() g() f() g() + 1 0 f() [g() 1] [g() 1] 0 [g() 1] [f() 1] 0 () στο διάστηµα R Επειδή όµως, g() 1 για κάθε R, δηλαδή g() 1 0 για κάθε R, η () f() 1 0 για κάθε R Εποµένως η f() 1, R C f είναι η ευθεία y 1 Πρέπει να εξαφανίσουµε τη g

11 10. Έστω παραγωγίσιµη συνάρτηση f:r R τέτοια, ώστε να ισχύει (f() συν) ( f () + ηµ) 0 για κάθε R και f(0) 1. Να βρείτε την f. Για κάθε R είναι (f() συν) ( f () + ηµ) 0 Σχόλιο 5 (f() συν) ( f () (συν) ) 0 (f() συν) (f() συν) 0 (f() συν) (f() συν) 0 ( [f() συν] ) 0 [f() συν] c (1) Για 0 η (1) [f(0) συν0 ] c [1 1 ] c 0 c Η (1) γίνεται [f() συν ] 0 f() συν 0 f() συν, R

1 11. Συνάρτηση f: (0, + ) R είναι παραγωγίσιµη και ισχύει f() + f () ln 1 για κάθε (0, + ). Να αποδείξετε ότι f() 1 για κάθε (0, + ). Για κάθε (0, + ) έχουµε Για 1 η (Α) f() + f () ln 1 f() + f () ln 1 1 f() + f () ln 1 (ln) f() + f () ln (ln) (f() ln) (ln) f() ln ln + c f(1) ln1 ln1 + c f(1) 0 0 + c 0 c (A) H (A) γίνεται f() ln ln (Β) Για κάθε 1, δηλαδή ln 0, η (Β) γίνεται f() 1 (Γ) Για 1 η υπόθεση f() + f () ln 1 f(1) + f (1) ln1 1 Από τις (Γ), ( ) συµπεραίνουµε f() 1 για κάθε f(1) + f (1) 0 1 ( ) f(1) 1 (0, + ).

13 1. Έστω παραγωγίσιµη συνάρτηση f: (1, + ) R τέτοια, ώστε να ισχύει f() f () για κάθε (1, + ) και f(). Να βρείτε την f. Για κάθε (1, + ) έχουµε f() f () f() f () 1 Σχόλιο 5 f() f () 4 1 ( [f()] ) 4 (ln) ( [f() ] ) (4ln) H (1) για [f() ] 4ln + c H (1) γίνεται [f() ] 4ln [f()] 4ln + c (1) 4 1 + c c 0 f() ln ή f() ln, (1, + ) () Η f δε µηδενίζεται στο (1, + ), διότι αν για κάποιο ήταν f() 0, από την υπόθεση f() f () θα είχαµε 0, που είναι άτοπο. Και επειδή f συνεχής, αφού είναι παραγωγίσιµη, θα διατηρεί πρόσηµο. Έχοντας όµως f() > 0, προκύπτει f() > 0 για κάθε (1, + ). Οπότε, από τη () παίρνουµε f() ln, (1, + )

14 13. i) ίνεται συνάρτηση g, για την οποία ισχύει g () kg() για κάθε R, g( ) όπου k κάποια σταθερά. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ω() κ είναι σταθερή. ii) Έστω παραγωγίσιµη συνάρτηση f: (1, + ) R τέτοια, ώστε να ισχύει [ f () f()] ln f()(ln ln 1) για κάθε (1, + ) και f(). Να βρείτε την f. i) Αρκεί να αποδείξουµε ότι ω () 0. κ κ g ( ) g( )( ) κ g ( ) g( ) κ ω () κ κ ii) ( ) Για κάθε (1, + ) : Προσαρµογή στο (i) Κατά το (i) θα είναι Για, η (1) f() c Αλλά f(), οπότε c H (1) γίνεται f() κ ( ) κ [ g ( ) κg( ) ] κ 0 ( κ ) κ ( ) 0 [ f () f()] ln f()(ln ln 1) f () ln f() ln f() ln f() f() ln f () ln + f() ln +f() f() ln f () ln + f() ln +f() 1 f() ln f () ln + f() ln +f() (ln) f() ln (f() ln) f() ln f( ) ln c f() c (1) ln ln c 1 1 ln + 1 ln c

15 14. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f έτσι ώστε f (0) f(0) 0 και f () f(), R. Να αποδείξετε ότι f() 0, R. Για κάθε R έχουµε f () f() f () f () f() f () f () f () + f() f () ([f ()] ) + ([f ()] ) ([f ()] + [f()] ) 0 0 [ f () ] + [f()] c (1) Για 0, η (1) [ f (0) ] + [f(0)] c 0 + 0 c c 0 Η (1) γίνεται [ f () ] + [f()] 0 f () 0 και f() 0 για κάθε R f() c και f() 0 και επειδή f(0) 0 είναι c 0 άρα τελικά είναι f() 0 για κάθε R H f συνδέει την f µε την f