MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα µετασχηµατισµών δεν ισχύει εδώ γιατί ενδέχεται δύο διαφορετικές τιµές του διανύσµατος ( να οδηγούν στην ίδια τιµή g( της µεταβλητής Η µέθοδος που συχνά χρησιµοποιείται στην περίπτωση αυτή για τον προσδιορισµό της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής στηρίζεται στην θεώρηση - επιπλέον µετασχηµατισµών g( - οι οποίοι µαζί µε τον µετασχηµατισµό g( οδηγούν σε έναν έναπρος-ένα µετασχηµατισµό από το διάνυσµα ( στο διάνυσµα ( Τότε µε βάση τα όσα αναπτύχθηκαν στα προηγούµενα και ανάλογα µε τον εάν οι τυχαίες µεταβλητές είναι διακριτές ή συνεχείς µπορούµε να προσδιορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ( ή την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( του τυχαίου διανύσµατος Από την προκύπτουσα από κοινού κατανοµή µπορούµε τότε να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας ( ( ή την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ( της τυχαίας µεταβλητής Παράδειγµα: Σε προηγούµενο παράδειγµα είχαµε θεωρήσει τις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές και που αναφέρονταν στις ανεξάρτητες µετρήσεις των χρόνων που απαιτούσε η ολoκλήρωση δύο παρόµοιων εργασιών Είχαµε υποθέσει εκεί ότι η από ήταν κοινού συνάρτηση κατανοµής των µεταβλητών αυτών
Χ Χ ( ( ( θ r r r- [Γ( r] θ θ αν < < < < διαφορετικά Ας υποθέσουµε ότι ενδιαφερόµαστε για την κατανοµή του λόγου / Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή αυτή ας θεωρήσουµε τον επιπλέον µετασχηµατισµό + και ας θυµηθούµε ότι στο αρχικό παράδειγµα ο διµεταβλητός µετασχηµατισµός + ήταν ένας ένα-προς-ένα µετασχηµατισµός ο οποίος οδήγησε στην από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( θ r r Γ( r θ r B( r r ( + r αν < < < < διαφορετικά Η περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ( της τυχαίας µεταβλητής µπορεί τότε να προσδιορισθεί ως εξής: ( ( d r B( r r( + d r r r θ θ Γ( r d r B( r r( + r < < Στο προηγούµενο παράδειγµα θα µπορούσαµε να ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή του συνολικού χρόνου που απαιτείται για την ολοκλήρωση των δύο εργασιών Στην περίπτωση αυτή θα µπορούσαµε να 9
προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + βρίσκοντας την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητάς της από την σχέση ( ( d θ r r Γ( r θ αν < < διαφορετικά Παρατηρούµε ότι η τυχαία µεταβλητή + έχει την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους θ και r Παρατήρηση: Θα πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι δεν είναι πάντα εύκολος ο καθορισµός των επιπλέον µετασχηµατισµών g( - οι οποίοι απαιτούνται ώστε µαζί µε τον µετασχηµατισµό g( να επιτυγχάνεται ένας ένα-προς-ένα µετασχηµατισµός Αν στο προηγούµενο παράδειγµα δεν είχαµε ήδη προσδιορίσει την από κοινού κατανοµή των µεταβλητών + και / ενδέχεται να είχαµε κάποια δυσκολία στο να βρούµε έναν µετασχηµατισµό g ( ο οποίος µαζί µε τον / θα οδηγούσε σε έναν κατάλληλο έναπρος-ένα µετασχηµατισµό για τον προσδιορισµό της περιθώριας κατανοµής της µεταβλητής Ένας τρόπος για να παρακαµφθεί αυτή η έµµεση αντιµετώπιση του προβλήµατος είναι η χρησιµοποίηση της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής Εάν g( τότε F ( ( { g( } ( d d g(
Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µία συνάρτηση h ( ; τέτοια ώστε g( τότε και µόνο τότε εάν h( ; Τότε όπου Προφανώς F q( ; ( g( h ( ; q( ; ( h( ; ( d d d d d d d q ( ; ( d h ( ; [ ( h ( ; ] Οι παραπάνω σχέσεις οδηγούν στην συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής : ( F ( h(; [ ( h( ; ] d d µε την προϋπόθεση ότι ισχύει q ( ; d d q ( ; d d Βέβαια η σχέση αυτή δεν ισχύει πάντα και απαραίτητη προϋπόθεση είναι οι συναρτήσεις q (; και συνεχείς συναρτήσεις των q( ; για < < να είναι καλώς ορισµένες 3 Παράδειγµα (Η κατανοµή t: Ένα πρόβληµα µεγάλης σηµασίας στην θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας είναι το εξής Ας υποθέσουµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες και ότι η ακολουθεί την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή ενώ η ακολουθεί την
κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας Ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Λύση: Χρησιµοποιώντας τον συµβολισµό και τα βήµατα της µεθόδου που εκθέσαµε παραπάνω έχουµε ότι g( και ότι / / / τότε και µόνο τότε αν έτσι ώστε h ( ; / Από τον ορισµό των τυχαίων / µεταβλητών και έχουµε ότι ( ( π ( / / Γ( / < < < < διαφορετικά Εποµένως / / q ( ; d π Γ(/ και q π ( / / (; / Γ(/ Επειδή και οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι καλώς ορισµένες και συνεχείς συναρτήσεις των και για όλα τα < < < έπεται ότι ( π Γ(/ Γ(/ / + Γ π ( + / ( ( + / (+ / d - < < + Η κατανοµή που ορίζεται από την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η γνωστή κατανοµή t του Studt µε βαθµούς ελευθερίας Όπως µε άλλη
µέθοδο µπορεί ν αποδειχθεί (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 η κατανοµή t µπορεί να προκύψει ως κατανοµή του τυποποιηµένου µέσου µίας κανονικής κατανοµής στο πλαίσιο προβληµάτων στατιστικής συµπερασµατολογίας Η κατανοµή αυτή είχε προταθεί από τον Αγγλο στατιστικό Wllam Sal Gosst (76-937 ο οποίος είχε χρησιµοποιήσει το ψευδώνυµο Studt Παράδειγµα (Η κατανοµή : Έστω ότι είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή δηλαδή ~ N( Ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + + + Λύση: Έστω Τότε η τυχαία µεταβλητή µπορεί εναλλακτικά να γραφεί µε τη µορφή + + + Εποµένως η συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να προκύψει από την µορφή της συνάρτησης κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Για την τελευταία έχουµε ότι F ( ( ( ( Φ ( Φ ( Φ ( Η τελευταία ισότητα είναι αποτέλεσµα του γεγονότος ότι η τυποποιηµένη κανονική κατανοµή των µεταβλητών είναι συµµετρική Εποµένως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι η ( ( π > Λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι Γ(/ π η παραπάνω συνάρτηση 3
πυκνότητας γράφεται µε την εξής µορφή: ( Γ(/ / Αυτή όµως είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανοµής Γάµµα µε παραµέτρους α και θ Κατά συνέπεια η τυχαία µεταβλητή είναι άθροισµα ανεξαρτήτων Γάµµα τυχαίων µεταβλητών κάθε µία µε παραµέτρους α και θ Όπως είναι γνωστό (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 το άθροισµα ανεξαρτήτων και ισονόµων Γάµµα µεταβλητών µε παραµέτρους α και θ αποτελεί τυχαία µεταβλητή η οποία ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους α και θ Εποµένως η τυχαία µεταβλητή + + + + + + ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους α / και θ δηλαδή την κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας Θα πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι η κατανοµή ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά από τον Γερµανό φυσικό F A Hlmrt (43-97 Αργότερα ο Karl arso (57-936 ένας Αγγλος στατιστικός κατέληξε στην κατανοµή αυτή στο πλαίσιο της ερευνητικής του εργασίας σχετικής µε την στατιστική ανάλυση πινάκων συναφείας Η κατανοµή αυτή επίσης χρησιµοποιείται σε σχέση µε προβλήµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας για την διασπορά ενός κανονικού πληθυσµού Παράδειγµα (Η κατανοµή F: Έστω ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες µεταβλητές Πιο συγκεκριµένα υποθέτουµε ότι ~ και ~ Ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής / / Λύση: Η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να προσδιορισθεί έµµεσα χρησιµοποιώντας έναν ένα-προς-ένα µετασχηµατισµό όπως για παράδειγµα τον µετασχηµατισµό ( / /( / + Αφού προσδιορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( των τυχαίων 4
µεταβλητών η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής προκύπτει αµέσως από την σχέση ( ( d ( Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε την έµµεση µέθοδο που στηρίζεται στην συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό που εισήχθη στο πλαίσιο της µεθόδου αυτής / έχουµε ότι g ( τότε και µόνο τότε αν / έτσι ώστε h (; ( / Από τον ορισµό των τυχαίων µεταβλητών και προκύπτει ότι ( ( ( Γ(/ Γ( / διαφορετικά Εποµένως οι συναρτήσεις q (; ( / ( + ( + Γ( / Γ( / και q ( / (; ( + Γ( / Γ( / d ( + ( + / είναι καλώς ορισµένες και συνεχείς συναρτήσεις των και για όλα τα < Τότε για 5
( ( / ( + Γ( / Γ( / + ( + ( + / d ( / Γ(( + / Γ( / Γ( / (+ / ( + ενώ ( για < Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής ορίζει την κατανοµή που είναι γνωστή στην βιβλιογραφία ως κατανοµή F µε και βαθµούς ελευθερίας Η κατανοµή αυτή χρησιµοποιήθηκε από τον Sdcor στα πλαίσια της στατιστικής µεθοδολογίας η οποία είναι γνωστή ως ανάλυση διασποράς Ο Sdcor ονόµασε την κατανοµή αυτή F προς τιµή του R A Fshr 6
ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΑ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ίσως οι πιο συχνά χρησιµοποιούµενοι µετασχηµατισµοί τυχαίων µεταβλητών της µορφής g( είναι τα σταθµισµένα αθροίσµατα α των µεταβλητών αυτών Οι εφαρµογές των αθροισµάτων αυτών είναι πάρα πολλές Ενδεικτικά αναφέρουµε τις εξής περιπτώσεις: (α Έστω ότι είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές Τότε σε σχέση µε πολλά πρακτικά προβλήµατα ενδιαφερόµαστε για τον µέσο + + + των µεταβλητών αυτών (β Έστω ότι είναι τυχαίες µεταβλητές που παριστάνουν µετρήσεις πάνω σε κάποια χαρακτηριστικά Πχ µπορεί να παριστάνει το επίπεδο λιθίου στο αίµα κάποιου ασθενούς ενώ παριστάνει το επίπεδο λιθίου στο αίµα του ιδίου ασθενούς µετά από κάποια θεραπευτική αγωγή Τότε η διαφορά Χ - είναι κεντρικής σηµασίας στο πλαίσιο του προβλήµατος αυτού αφού παρέχει ένα µέτρο της µεταβολής που προκάλεσε η θεραπευτική αγωγή (γ Έστω ότι 3 4 είναι τυχαίες µεταβλητές που παριστάνουν τους βαθµούς που ένας φοιτητής πέτυχε όσο αφορά κάποιο µάθηµα σε δύο προόδους ( µία εργασία ( 3 και στην τελική εξέταση ( 4 Ο τελικός βαθµός στο µάθηµα αυτό θα µπορούσε να προσδιορίζεται από ένα άθροισµα της µορφής 4 Υ ή από ένα σταθµισµένο άθροισµα της µορφής + + 3 3 + 3 4 Όπως είναι γνωστό (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 η κατανοµή ενός σταθµισµένου αθροίσµατος α τυχαίων µεταβλητών µπορεί να µελετηθεί µε τη χρήση της έννοιας των ροπογεννητριών Στην παρούσα ενότητα θα εξετάσουµε το ίδιο πρόβληµα στο πλαίσιο της θεωρίας των ένα-προς-ένα µετασχηµατισµών: Έστω ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές α είναι διάφορος του µηδενός Εστω δηλαδή ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας δείκτης για τον οποίο ισχύει α 7
και για απλότητα ας υποθέσουµε ότι αυτό συµβαίνει για δηλαδή ότι α Στην συνέχεια θεωρούµε τον ένα-προς-ένα µετασχηµατισµό για τον οποίο προφανώς ισχύει ότι α h ( και h ( α α α Μπορούµε εποµένως να προσδιορίσουµε την από κοινού κατανοµή των τυχαίων µεταβλητών και από αυτήν να προσδιορίσουµε την περιθώρια κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Αρα όταν οι τυχαίες µεταβλητές είναι διακριτές µε από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ( α ( τα παραπάνω βήµατα οδηγούν στην εξής συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής : α ( α Με όµοιο τρόπο όταν είναι συνεχείς τυχαίες µεταβλητές µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ( τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής δίνεται από την σχέση ( α - α α d d Σηµείωση: Η υπόθεση ότι α η οποία έγινε για απλότητα δεν βλάπτει τη γενικότητα Πράγµατι αν υποθέσουµε ότι α j για κάποια τιµή j τότε η ίδια επιχειρηµατολογία θα οδηγήσει στις εξής εναλλακτικές εκφράσεις για την συνάρτηση πιθανότητας και την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αντίστοιχα της µεταβλητής :
( j j j+ j j+ α j α - α j ( j j + dd j- d j+ α α j j d Παράδειγµα: Έστω ότι το διάνυσµα ( έχει την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας!!!( ( (! για κάθε + και ( διαφορετικά Τότε σύµφωνα µε τα προηγούµενα η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + είναι ( ( ( για κάθε και ( διαφορετικά Εχουµε όµως ότι Εποµένως! (! ( (!!!(! ( ( ( + ( + ( αν διαφορετικά η οποία είναι η συνάρτηση πιθανότητας της διωνυµικής κατανοµής µε παραµέτρους και + 9
Παράδειγµα: Έστω και ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή µε παράµετρο θ και µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( (+ αν > > διαφορετικά Να προσδιορισθεί η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + 3 Λύση: Σύµφωνα µε τα προηγούµενα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι ηλαδή για > ( 3 d αν > διαφορετικά ( /3-3 - d + /3 d /3 (- d 6 3 Παρατήρηση : Μερικές φορές αντί της µεθόδου που αναπτύχθηκε στην ενότητα αυτή για την εύρεση της κατανοµής σταθµισµένων αθροισµάτων τυχαίων µεταβλητών χρησιµοποιείται µία διαφορετική µέθοδος η οποία είναι περισσότερο άµεση µε την έννοια ότι δεν απαιτείται ο καθορισµός επιπλέον τυχαίων µεταβλητών για την κατασκευή ενός ένα-προς-ένα µετασχηµατισµού Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται στο παράδειγµα που ακολουθεί Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι η από κοινού κατανοµή των τυχαίων µεταβλητών και 3 ορίζεται από την εξής από κοινού συνάρτηση πιθανότητας: ( 3 ( ( ( ( ( ( ( ( 3
( 3 4 6 6 6 6 4 Για την τυχαία µεταβλητή 3 ( + + 3 έχουµε ότι ( ( ( ( ( ( 3 3 ( + ( + ( ( + ( + ( 4 6 + 6 + + + 6 6 3 Εποµένως η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι ( 3 3 3 ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ - ΣΥΝΕΛΙΞΗ (CONVOLUTION Είδαµε στα προηγούµενα ένα παράδειγµα προσδιορισµού της κατανοµής του αθροίσµατος τυχαίων µεταβλητών στην περίπτωση που Η γενική περίπτωση (> αντιµετωπίζεται όπως και η περίπτωση των σταθµισµένων αθροισµάτων όταν α Οι αντίστοιχες εξισώσεις για τη συνάρτηση πιθανότητας (όταν η είναι διακριτή και για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (όταν η είναι συνεχής παίρνουν τη µορφή ( 3
και ( - - d d Θα έπρεπε ίσως να σηµειωθεί εδώ ότι λόγω συµµετρίας ισχύουν ανάλογοι τύποι στους οποίους το άθροισµα ή το ολοκλήρωµα εκτείνεται υπεράνω διαφορετικών συνόλων - τιµών Για παραδειγµα στην ειδική περίπτωση τυχαίων µεταβλητών Χ Χ ισχύει ότι και όπου + ( ( ( ( d ( ( d Παράδειγµα: Έστω δύο τυχαίες µεταβλητές µε από κοινού συνάρτηση κατανοµής ( π ρ ρ + ( ρ - < < ρ Είναι δηλαδή η από κοινού συνάρτηση κατανοµής των µεταβλητών αυτών η διµεταβλητή κανονική µε παραµέτρους µ µ σ σ και ρ Τότε κάνοντας χρήση του τελευταίου αποτελέσµατος έχουµε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + είναι ( π ρ - - ρ ( + ( ( ρ d 4(+ ρ π((+ ρ - ( - ( ρ/ d π( ρ/ 3
( + ρ - < < π(( + ρ η οποία είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µιας κανονικής µεταβλητής µε µέση τιµή και διασπορά σ (+ρ Οπως φαίνεται από το τελευταίο παράδειγµα η µέθοδος προσδιορισµού της κατανοµής του αθροίσµατος τυχαίων µεταβλητών που βασίζεται στις τελευταίες σχέσεις παρέχει την δυνατότητα αντιµετώπισης περιπτώσεων όπου οι τυχαίες µεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες Στην περίπτωση της ανεξαρτησίας είναι προφανές ότι οι σχέσεις που δόθηκαν παραπάνω παίρνουν την απλούστερη µορφή: και ( ( ( ( ( αντίστοιχα ( ( ( d ( ( d Παρατήρηση: Στην περίπτωση που ρ δηλαδή στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Χ είναι ανεξάρτητες η κατανοµή της µεταβλητής + εξακολουθεί να είναι κανονική Γενικότερα µπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισµα ανεξαρτήτων κανονικών µεταβλητών είναι κανονική µεταβλητή µε µέση τιµή το άθροισµα των µέσων τιµών και διασπορά το άθροισµα των διασπορών Η συνάρτηση πιθανότητας (αντίστοιχα πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + όπως αυτή προσδιορίζεται από την τελευταία µέθοδο που περιγράψαµε (τόσο στην περίπτωση εξαρτηµένων µεταβλητών όσο και στην περίπτωση ανεξαρτήτων µεταβλητών ονοµάζεται συνέλιξη (covoluto των συναρτήσεων πιθανότητας (αντίστοιχα των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών και Ο συµβολισµός που χρησιµοποιείται συνήθως στην διεθνή βιβλιογραφία για την συνέλιξη δύο συναρτήσεων πιθανότητας ή αντίστοιχα δύο συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας είναι 33
και αντίστοιχα Παράδειγµα: Εστω ότι και είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες διακριτές τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν τη γεωµετρική κατανοµή µε παράµετρο ηλαδή ( ( διαφορετικά Τότε η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + είναι η συνέλιξη των συναρτήσεων πιθανότητας και Θα έχουµε δηλαδή για ( ( ( ( ( ( + Όπως αναµενόταν η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής είναι η αρνητική + + διωνυµική µε παραµέτρους r και (Ας σηµειωθεί ότι Παράδειγµα: Έστω ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες Χ µεταβλητές µε και βαθµούς ελευθερίας αντίστοιχα ηλαδή αν < < ( Γ( διαφορετικά 34
Τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + (η συνέλιξη των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών και δίνεται από τον τύπο ( ( + Γ( Γ( ( - d ( + ( + Γ[( + /] z ( z B ( / / dz ( + ( + Γ[( + /] ηλαδή η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής είναι η Χ µε + βαθµούς ελευθερίας Το αποτέλεσµα αυτό αναµενόταν αφού η κατανοµή Χ είναι ειδική περίπτωση της κατανοµής Γάµµα και όπως ήδη έχει αποδειχθεί (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 το άθροισµα ανεξαρτήτων Γάµµα µεταβλητών µε κοινή παράµετρο θ ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα Παρατήρηση: Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσµα ισχύει εποµένως ότι αν Χ Χ Χ m είναι m ανεξάρτητες Χ µεταβλητές µε m βαθµούς ελευθερίας αντίστοιχα (Χ ~ m τότε Χ + Χ ++ Χ m ~ + + + m Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να ληφθεί είτε ως άµεση συνέπεια του αντίστοιχου αποτελέσµατος για ανεξάρτητες Γάµµα τυχαίες µεταβλητές είτε ως αποτέλεσµα πολλαπλών διαδοχικών εφαρµογών παρατηρώντας ότι της διαδικασίας της συνέλιξης Πράγµατι [[( + + ] + + ] + + + + m 3 m- m θα έχουµε σύµφωνα µε το τελευταίο παράδειγµα διαδοχικά ότι ( + ~ + 35
( + 3 + ~ + + 3 + + ~ + m + + + m Είναι δηλαδή στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής η συνέλιξη των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των µεταβλητών Χ m Συνελίξεις περισσοτέρων από δύο συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας (αντίστοιχα συναρτήσεων πιθανότητας ονοµάζονται πολλαπλές συνελίξεις και συµβολίζονται µε για την συνεχή περίπτωση και µε για την διακριτή περίπτωση Στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές Χ είναι ανεξάρτητες η συνέλιξη των περιθωρίων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας για την συνεχή περίπτωση ή των περιθωρίων συναρτήσεων πιθανότητας για την διακριτή περίπτωση ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: ( ( ( και ( ( ( d d ( ( ( d ( ( ( Σηµείωση: Αξίζει να σηµειωθεί ότι η συνέλιξη έχει πολλές από τις ιδιότητες των µαθηµατικών πράξεων όπως την αντιµεταθετικότητα και την προσεταιριστικότητα Ισχύει δηλαδή ότι (αντιµεταθετικότητα και ( ( 3 (προσεταιριστικότητα 3 36
στην διακριτή περίπτωση µε αντίστοιχους ορισµούς για την συνεχή περίπτωση Οι συνελίξεις έχουν επίσης µονάδα δηλαδή αν Χ είναι µία τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας αν ( διαφορετικά τότε για οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή Χ µε συνάρτηση πιθανότητας Χ ( ισχύει ότι Συνοψίζοντας τα αποτελέσµατα του παρόντος κεφαλαίου και λαβαίνοντας υπόψη τις ιδιότητες της µέσης τιµής και της διασποράς απαριθµούµε τις προκύπτουσες ιδιότητες διαφόρων κατανοµών οι οποίες εφαρµόζονται πολύ συχνά σε σχέση µε πρακτικά προβλήµατα: ( Κανονική Κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ N(µ σ τότε α ~ α µ α σ N ( ιµεταβλητή κανονική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι τυχαίες µεταβλητές µε από κοινού κατανοµή την διµεταβλητή κανονική κατανοµή δηλαδή ( ~ διµεταβλητή N(µ µ ; σ σ ; ρ τότε α Χ + α Χ + c ~ N(α µ + α µ + c α σ + α σ + α α ρ (3 ιωνυµική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ m είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ b(; m τότε m m ~ b ; (4 Κατανοµή osso: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ (; λ τότε 37
~ ; λ (5 Αρνητική διωνυµική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ ΝΒ(; r τότε ~ NB ; r (6 Κατανοµή Γάµµα: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε Χ ~ γ(; α θ τότε ~ γ ; α θ (7 Κατανοµή Χ : Αν Χ Χ Χ k είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ Χ k τότε k ~ Χ + + + k ( Εκθετική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ (θ τότε ~ γ ( ; ; θ (9 Γεωµετρική κατανοµή : Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ G(; τότε ~ NB ( ; ; 3