ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ο Μ Α Θ Η Μ Α «Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ι Α Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ο Υ Σ Ι» Κ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ : Π Α Π Α Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ Β Α Σ Ι Λ Ε Ι Ο Σ Ξ Α Ν Θ Η 0 05

Ευχριστίες Θ ήθελ ν ευχριστήσω τους φοιτητές του τµήµτος Πολιτικών Μηχνικών κι του τµήµτος Αρχιτεκτόνων Μηχνικών που οήθησν στη συρφή των σηµειώσεων κθώς επίσης κι τη ενδηλιάρη Στέλλ κθηήτρι Μθηµτικών κι Πληροφορικής ι τον έλεχο κι τη διόρθωση των λθών.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Ι ( ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ)...6. ινύσµτ στο χώρο...7.. Ορισµός του δινύσµτος...7.. Ίσ δινύσµτ:...8.. Πρόσθεση δινυσµάτων:...9.4. Ιδιότητες της πρόσθεσης δινυσµάτων:...9.5. Κνόνς του πρλληλοράµµου:...9.6. Πολλπλσισµός πρµτικού ριθµού µε διάνυσµ:...0.7. Iδιότητες µέτρου θροίσµτος κι διφοράς δινυσµάτων:....8. Συντετµένες στον χώρο:....9. Μορφή δινύσµτος στον χώρο:....0. Γρµµικός συνδυσµός δινυσµάτων:...4.. Συντετµένες δινύσµτος:...4. Εσωτερικό Γινόµενο ινυσµάτων...7.. Γωνί δύο δινυσµάτων:...7.. Ορισµός εσωτερικού ινοµένου:...7.. Ανλυτική µορφή εσωτερικού ινοµένου µε τη οήθει των συντετµένων:...7.4. Υπολοισµός ωνίς δύο δινυσµάτων...8.5. Άλλες εφρµοές του εσωτερικού ινοµένου:...9.6. Ανάλυση ενός δινύσµτος σε κάθετες µετξύ τους συνιστώσες:....7. Προολή ενός δινύσµτος σε έν άλλο:.... Εξωτερικό Γινόµενο ινυσµάτων...4.. Ορισµός...4.. Ιδιότητες του εξωτερικού ινοµένου...4.. Γενικό συµπέρσµ:...7 4. Μικτό Γινόµενο...9 4.. Ορισµός...9 4.. Μέτρο του µικτού ινοµένου...9 4.. Ιδιότητες µικτού ινοµένου...0 5. Εξίσωση Ευθείς στον Χώρο... 5.. ινυσµτική εξίσωση:... 5.. Πρµετρική εξίσωση ευθείς:... 5.. Ανλυτική εξίσωση ευθείς:... 5.4. Τοµή δύο ευθειών:... 5.5. Απόστση σηµείου πό ευθεί:...4 6. Εξίσωση Επιπέδου...6 6.. Εξίσωση επιπέδου:...6 6.. Τοµή δύο επιπέδων:...8 7. Ευθεί κι Επίπεδο...4 7.. Τοµή ευθείς κι επιπέδου:...4 7.. Απόστση σηµείου πό επίπεδο:...4 7.. Ανλυτική µορφή της πόστσης σηµείου πό επίπεδο:...4 8. Κοινή Κάθετος υο σύµτων Ευθειών...44 Ασκήσεις Στην Γεωµετρί...46

ΜΕΡΟΣ ΙΙ (ΑΝΑΛΥΣΗ)...54. Ειδικού τύπου συνρτήσεις...55. Αντίστροφες τριωνοµετρικές συνρτήσεις...55. Οι υπερολικές συνρτήσεις...60. Γρφικές πρστάσεις τριωνοµετρικών συνρτήσεων...6.4 Πρωίσεις υπερολικών συνρτήσεων...64.5 Αντίστροφες υπερολικές συνρτήσεις...64. Προτάσεις στις πρωίσιµες συνρτήσεις...70. ιφορικό συνάρτησης...70. Τύπος του Talor ι πολυώνυµ...74. Ολοκληρώµτ...79. Το όριστο ολοκλήρωµ...79. Ιδιότητες του όριστου ολοκληρώµτος...8. Ειδικού τύπου ολοκληρώµτ...86.4 Υπολοισµός ολοκληρωµάτων µε την οήθει νωικών τύπων...88.5 Μέθοδος ντικτάστσης...90.6 Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης...9.7 Ολοκληρώµτ νόµεν σε ολοκληρώµτ ρητών συνρτήσεων...98.8 Το ορισµένο ολοκλήρωµ...0.9 Ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµτος...04.0 Πρώτο θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λοισµού...04. εύτερο θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λοισµού...04. Κτά πράοντες ολοκλήρωση ορισµένων ολοκληρωµάτων...07. Αντικτάστση στ ορισµέν ολοκληρώµτ...08.4 Εφρµοές της µεθόδου ντικτάστσης...08.5 Εφρµοές του ορισµένου ολοκληρώµτος...09 Εµδά...09 Όκοι στερεών εκ περιστροφής... Εµδόν επιφάνεις εκ περιστροφής...4 Υπολοισµός του µήκος επίπεδης κµπύλης...5.6 Γενικευµέν ολοκληρώµτ...7 ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ, ΑΡΙΘΜΙΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ, ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΣΕΙΡΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ...0 ΜΕΡΟΣ ΙV ( ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ)... 4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...4 4. Α. Στη Νευτώνει υνµική...4 Μοντελοποίηση:...4 Χώρος κι χρόνος:...5 Πράωος δινυσµτικής συνάρτησης:...6 Τχύτητ:...6 Επιτάχυνση:...8 Ολοκλήρωση δινυσµτικών συνρτήσεων....9 Αρχικές συνθήκες κι Νόµοι του Νεύτων....0 4

5

ΜΕΡΟΣ Ι ( ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) 6

. ινύσµτ στο χώρο.. Ορισµός του δινύσµτος Κάθε προσντολισµένο ευθύρµµο τµήµ ΑΒ λέετι διάνυσµ. Με ΑΒ συµολίζουµε το διάνυσµ µε ρχή το Α κι τέλος το Β, ενώ µε ΒΑ συµολίζουµε το διάνυσµ µε ρχή το Β κι τέλος το Α. Φορές ενός δινύσµτος λέετι η ευθεί στην οποί νήκει το διάνυσµ. Π.χ. στο πρκάτω σχήµ το διάνυσµ ΑΒ έχει φορέ την ευθεί ε. Γ Α ε Β ε Σχήµ. Επίσης πρτηρούµε ότι τ δινύσµτ ΑΒ κι Γ νήκουν στους πράλληλους φορείς ε κι ε. Τ χρκτηριστικά στοιχεί ενός δινύσµτος είνι: () η διεύθυνση: ύο δινύσµτ λέµε ότι έχουν την ίδι διεύθυνση ότν νήκουν στον ίδιο ή σε πράλληλους φορείς. () η φορά: ύο δινύσµτ που έχουν την ίδι διεύθυνση λέµε ότι έχουν την ίδι φορά ότν συµίνει έν πό τ πρκάτω: () ότν νήκουν στον ίδιο φορέ θ πρέπει η µί ηµιευθεί, που νήκει το έν πό τ δύο δινύσµτ ν περιέχετι () στην άλλη ηµιευθεί που νήκει το άλλο διάνυσµ. ότν νήκουν σε πράλληλους φορείς θ πρέπει το ευθύρµµο τµήµ που ενώνει τις ρχές τους ν «φήνει» τ δινύσµτ στο ίδιο ηµιεπίπεδο. Ότν δεν συµίνει κµί πό τις () κι () συνθήκες, τότε τ δινύσµτ (που έχουν την ίδι διεύθυνση) λέµε ότι έχουν ντίθετη φορά. 7

Πράδειµ : Α Β Σχήµ. Τ δινύσµτ ΑΒ κι Γ έχουν την ίδι φορά ι τον εξής λόο: Το διάνυσµ ΑΒ νήκει στην ηµιευθεί Α. Το διάνυσµ Γ νήκει στην ηµιευθεί Γ, η οποί περιέχετι στην A. Επίσης τ δινύσµτ ΑΒ κι Γ του πρκάτω σχήµτος έχουν την ίδι φορά, ιτί το τµήµ ΑΓ φήνει τ δινύσµτ στο ίδιο ηµιεπίπεδο, ενώ τ δινύσµτ ΑΒ κι ΕΖ έχουν ντίθετη φορά ιτί το τµήµ ΑΕ δεν «φήνει» τ δύο δινύσµτ στο ίδιο ηµιεπίπεδο. Σχήµ. () το µέτρο: Μέτρο δινύσµτος ΑΒ κι συµολίζετι ΑΒ. ΑΒ είνι το µήκος του τµήµτος.. Ίσ δινύσµτ: ύο δινύσµτ ΑΒ κι Γ είνι ίσ ( ΑΒ Γ ), ν κι µόνο ν τ ΑΒ κι Γ έχουν την ίδι διεύθυνση, ίδι φορά κι ίδιο µέτρο. Το σύνολο των δινυσµάτων που είνι ίσ µε έν δοθέν διάνυσµ ΑΒ συµολίζετι συνήθως µε έν µικρό ράµµ της λφήτου, π.χ.,, κ.λ.π. Το ΑΒ ή οποιοδήποτε άλλο διάνυσµ τύπου ΑΒ Γ πίζει τον ρόλο του ντιπροσώπου ι το σύνολο. Σχήµ.4 8

Μηδενικό διάνυσµ: Είνι το διάνυσµ που έχει ρχή κι τέλος έν σηµείο. ηλδή ουσιστικά κάθε σηµείο θεωρείτι ως µηδενικό διάνυσµ κι συµολίζετι µε 0... Πρόσθεση δινυσµάτων: Αν κι είνι δύο δινύσµτ, το άθροισµ ορίζετι ως εξής: Έστω ΑΒ, ένς ντιπρόσωπος του. Με ρχή το Β κτσκευάζουµε ένν ντιπρόσωπο του έστω ΒΓ. Τότε το ΑΓ θ είνι ένς ντιπρόσωπος του. Α Β Γ Σχήµ.5.4. Ιδιότητες της πρόσθεσης δινυσµάτων: () ( ) ( ) (προσετιριστική) () (ντιµετθετική) () 0 0 a a (ύπρξη ουδέτερου χώρου) (v) Γι κάθε υπάρχει το, ώστε: ( ) ( ) 0 Με συµολίζουµε το ντίθετο του δινύσµτος, δηλδή το διάνυσµ που έχει το ίδιο µέτρο, την ίδι διεύθυνση κι ντίθετη φορά µε το..5. Κνόνς του πρλληλοράµµου: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε ν προσθέσουµε δινύσµτ ΑΒ, ΑΓ µε κοινή ρχή, όπως στο πρκάτω σχήµ. Εφρµόζοντς τον κνόν της πρράφου., πό το σηµείο Β φέρνουµε έν διάνυσµ Β ίσο µε το ΑΓ. Άρ το διάνυσµ Α θ είνι το άθροισµ των ΑΒ κι ΑΓ, δηλδή: Α ΑΒ ΑΓ Άρ ι ν προσθέσουµε δύο δινύσµτ µε κοινή ρχή, κτσκευάζουµε το πρλληλόρµµο µε πλευρές τ δινύσµτ υτά κι το διάνυσµ της διωνίου του πρλληλοράµµου µε ρχή το κοινό σηµείο των δύο δινυσµάτων, θ είνι το ζητούµενο άθροισµ. 9

Β Α Γ Σχήµ.6.6. Πολλπλσισµός πρµτικού ριθµού µε διάνυσµ: Αν λ R κι έν τυχίο διάνυσµ, µε λ ορίζουµε το διάνυσµ που έχει τη διεύθυνση του, φορά ίδι µε του ν λ > 0 κι ντίθετη του ν λ < 0 κι µέτρο: λ λ Οι πρκάτω ιδιότητες ποδεικνύοντι πολύ εύκολ: () λ 0 λ 0 ή 0 () λ( ) λ λ () ( λ µ ) λ µ (v) ( λ) λ( ) ( λ) (v) Αν λ µ κι 0 λ µ (v) Συνθήκη πρλληλίς: Αν, είνι δινύσµτ µε 0, τότε Τ, // λ, λ R λέµε ότι είνι ρµµικώς εξρτηµέν. λέµε ότι είνι ρµµικώς νεξάρτητ ν δεν είνι ρµµικώς εξρτηµέν, δηλδή ν δεν είνι συρµµικά. Ορισµός: ύο δινύσµτ Πράδειµ :, Τ δινύσµτ, του πρκάτω σχήµτος είνι ρµ- µικώς εξρτηµέν, ενώ τ δινύσµτ,δ είνι νεξάρτητ. δ Σχήµ.7 0

Πράδειµ : Έστω τ δινύσµτ, του πρκάτω σχήµτος. Από τ δινύσµτ υτά πράοντι τ ω, υ κ.λ.π. Σχήµ.8 Πράδειµ : Έστω, δύο δινύσµτ του επιπέδου µη συρµµικά 0, 0. Τότε κάθε διάνυσµ του επιπέδου ράφετι σν ρµµικός συνδυσµός των, δηλδή υπάρχουν λ,µ R ώστε λ µ. Αντίστροφ κάθε διάνυσµ της µορφής υτής είνι διάνυσµ του επιπέδου των,. λ Α Α Γ Ο Β µ Β Σχήµ 9 Έστω Ο έν στθερό σηµείο. Θεωρούµε ΟΑ, ΟΒ κι ΟΓ. Από το Γ φέρνουµε την πράλληλη ΓΒ προς το ΟΑ που τέµνει στο σηµείο Β την ΟΒ κι την πράλληλη ΓΑ προς την ΟΒ που τέµνει την ΟΑ στο Α. Τότε θ ισχύει ότι ΟΓ ΟΒ ΟΑ. Αλλά υπάρχουν λ, µ R ώστε ΟΒ µ κι ΟΑ λ. Άρ ΟΓ λ µ. Το ντίστροφο ποδεικνύετι εύκολ.

.7. Iδιότητες µέτρου θροίσµτος κι διφοράς δινυσµάτων:, Αν τ δεν είνι συρµµικά, η πρπάνω σχέση ποδεικνύετι π, την τριωνική νισότητ στο τρίωνο ΟΑΒ. Αν τ είνι συρµµικά, η πόδειξη της πρπάνω σχέσης είνι πλή. Α Ο Β Σχήµ.0.8. Συντετµένες στον χώρο: Σκοπός µς είνι ν ντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο του χώρου µι διτετµένη τριάδ πρµτικών ριθµών κι ντιστρόφως. Γι ν το πετύχουµε υτό, θεωρούµε έν σύστηµ τριών κθέτων ν δύο ξόνων, που συνντιούντι σε έν σηµείο στον χώρο, έστω Ο, που ονοµάζετι ρχή των ξόνων. Στην ρχή Ο ντιστοιχούµε την τριάδ (0,0,0). O k j Σχήµ.

Έστω λοιπόν έν σηµείο Α του χώρου. A Α O Α (,) Σχήµ. Από το σηµείο A φέρνουµε µί κάθετο στο επίπεδο O κι έστω Α το σηµείο τοµής, δηλδή η προολή του Α στο επίπεδο. Έστω (,) οι συντετ- µένες του Α στο ορθοώνιο σύστηµ O. Επίσης πό το Α φέρνουµε την ΑΑ κάθετη στον άξον. Εστω η τετ- µηµένη του Α στον άξον O. Η τριάδ (,,) ποτελεί τις συντετµένες του σηµείου Α ως προς το ορθοώνιο σύστη- µ συντετµένων Ο..9. Μορφή δινύσµτος στον χώρο: Θεώρηµ: Κάθε διάνυσµ στον χώρο έχει τη µορφή j k όπου,, R, όπου, j, k τ µονδιί δινύσµτ στους άξονες O, O, O. Απόδειξη: Β Β Α Α Γ k Ο j Α Β Σχήµ. Έστω Α Β η προολή του ΑΒ στο επίπεδο O κι Α Β η προολή του ΑΒ στον άξον O. Έστω ΑΓ ΒΒ. Τότε ΑΒ ΑΓ ΓΒ Α Β Α Β. Επειδή όµως το Α Β ρίσκετι στο επίπεδο O θ ισχύει Α Β j,, R Αλλά Α Β ΓΒ k, R. Άρ ΑΒ j k,,, R

Ορισµός: Αν j k, τότε η τριάδ (,, ) είνι οι συντετµένες του δινύσµτος ως προς το ορθοώνιο σύστηµ συντετµένων O. Πρτήρηση: Αν Α(,, ) τότε το διάνυσµ ΟΑ j k, δηλδή το έχει συντετµένες (,, ). ΟΑ.0. Γρµµικός συνδυσµός δινυσµάτων: Αν j, j k κι λ,µ R τότε k.. Συντετµένες δινύσµτος: Αν Α (,, ), (,, ), τότε ΑΒ δηλδή το έχει συντετµένες ΑΒ, Απόδειξη: ΑΒ ΑΟ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ( λ µ ) ( λ µ ) j ( λ )k λ µ µ Β ( ) ( ) j ( )k ΑΒ ( ) ( j k ) ( j k) ( ) ( ) j ( )k, Πρδείµτ:. Έστω (,,), δηλδή (,4,6), δηλδή j k 4 j 6k Ν ρεθούν οι συντετµένες των Λύση: κι 4 () [ ( ) ] ( 4) j ( 6) k j k () δηλδή το έχει συντετµένες (,, ) [ 4( ) ] ( 4 4) j ( 4 6) k 0j 5k 4 δηλδή το 4 έχει συντετµένες 4 (, 0, 5) 4

. Έστω Α (,,4) κι Β( 5,, ) Ν ρεθούν οι συντετµένες του ΑΒ Λύση: ΑΒ [ 5 ( ) ] ( ) j ( 4) k 0 j 6 k 6 k δηλδή (,0, 6) ΑΒ. Έστω Α (,, ), Β (,, ), Μ(,, ) κι λ R ώστε ΑΜ λ ΜΒ, ( λ ) τότε λ λ λ,,. λ λ λ Απόδειξη: ΑΜ (,, ) ΜΒ(,, ) Άρ θ πρέπει λ ( ) λ ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ,,. λ λ λ 4. Αν Α (,, ), (,, ), Γ,, µη συνευθεικά, ν ρεθούν οι συντετµένες του κέντρου άρους G του τριώνου ΑΒΓ. Β ( ) Σχήµ.4 Έστω Μ το µέσο της ΒΓ. Επειδή ΒΜ ΜΓ έχουµε πό την προηούµενη άσκηση:, Μ Μ, Μ. Το κέντρο άρους G είνι έν σηµείο της ΑΜ, ώστε AG GM 5

Άρ όπως είδµε στην άσκηση θ ισχύει: Μ Μ Μ G, G, G. Άρ G, G, G, Εποµένως G, G, G. 6

. Εσωτερικό Γινόµενο ινυσµάτων.. Γωνί δύο δινυσµάτων: Έστω a, δύο δινύσµτ: Σχήµ. Ονοµάζουµε ωνί δύο δινυσµάτων τη ωνί θ, 0 θ π που σχηµτίζετι ν πό έν στθερό σηµείο Ο φέρουµε τους δύο ντιπροσώπους τους: Α Ο θˆ ωνί των, Β Σχήµ... Ορισµός εσωτερικού ινοµένου: Εσωτερικό ινόµενο δύο δινυσµάτων cosθ, ορίζετι ο ριθµός: Όπου θ είνι η ωνί των δύο δινυσµάτων,... Ανλυτική µορφή εσωτερικού ινοµένου µε τη οήθει των συντετµένων: Πρότση: Έστω j k Τότε,. j k. 7

8 Απόδειξη: Ισχύει Εφρµόζουµε το θεώρηµ των συνηµιτόνων στο τρίωνο ΟΑΒ κι έχουµε: Πρδείµτ: () Έστω τότε () Αν τότε.4. Υπολοισµός ωνίς δύο δινυσµάτων Πρότση: Αν τότε η ωνί των δύο δινυσµάτων θ είνι: Απόδειξη: Ο Α Β θ Σχήµ. ( ) ( ) ( )k j ΑΒ ΑΟ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΑΒ θ cos ( ) ( ) ( ) ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ, k j, 4 k j ( ) ( ) ( ) 8 4 j,, k ( ) 0 0, k j, k j cos θ cos θ cos θ

9 Πρδείµτ: () Ν ρεθεί η ωνί των δινυσµάτων Λύση: () Ν ρεθεί η ωνί θ που σχηµτίζει η διώνιος ενός κύου µε µί κµή. Λύση: Πρτηρήσεις: ) Από τις πρπάνω ιδιότητες συµπερίνουµε ότι Πράµτι ) Αν τότε ν κι µόνο ν.5. Άλλες εφρµοές του εσωτερικού ινοµένου: j,. k ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 cos θˆ 5 cos θˆ k j j k j θ Σχήµ.4 cos θ cos 0 0 0 0 cos.. cos0 0, a, 0 a 0 a

) Ν ρεθεί έν µονδιίο διάνυσµ που ν έχει τη διεύθυνση ενός δινύσµτος Λύση: Έστω ε το ζητούµενο διάνυσµ. Τότε πρέπει ν ισχύουν οι πρκάτω σχέσεις: κι σύµφων µε τη σχέ- () ε () ε λ Τότε πό τη σχέση () προκύπτει ση () ( λ )( λ ) Κι. ( ) λ λ λ λ ± ε Τελικά ε ± Άρ: Αν 0 διάνυσµ στον χώρο, τότε έν διάνυσµ µονδιίο που ν έχει τη διεύθυνση του είνι το ε ή ε ε ± Σηµείωση: Ο σωστός τρόπος ρφής είνι λλά ι λό ε ους πλότητος χρησιµοποιούµε τον συµολισµό Πράδειµ: Ν ρεθεί έν διάνυσµ µονδιίο που ν έχει τη διεύθυνση του Λύση: ( ) 5 8 8 ( j 5k) ± ( j 5 ) ε ± ± k 8 8 j 5k Άρ 8 8 5 8 ± j k 9 8 8 a. 0

Άρ ε 8 9 8 8 j 5 8 8 k ή ε 8 9 8 8 j 5 8 8 k.6. Ανάλυση ενός δινύσµτος σε κάθετες µετξύ τους συνιστώσες: Πρόληµ: ίνετι διάνυσµ 0. Ν νλυθεί σε κάθετες µετξύ τους συνιστώσες, πό τις οποίες η µί ν είνι πράλληλη µε δοθέν διάνυσµ 0. Σχήµ.5 Λύση: Θ πρέπει ν ρεθούν τ δινύσµτ, πρκάτω σχέσεις: () () () 0 λ, λ R, λ 0 Η σχέση () σύµφων µε τη σχέση () ράφετι Κι πό τη σχέση () θ έχουµε: ώστε ν ισχύουν οι λ, ( λ )( λ ) 0 ( λ ) 0 λ 0 λ Άρ κι Εποµένως

είνι η προ-.7. Προολή ενός δινύσµτος σε έν άλλο: Πρτηρούµε στο προηούµενο πρόληµ ότι το ολή του πάνω στο Σχήµ.6 Την προολή υτή του πάνω στο το διάνυσµ δηλδή θ το συµολίζουµε µε proj (πό την λική λέξη projecton που σηµίνει προολή). ηλδή θ ισχύει η σχέση: proj Από την πρπάνω σχέση µπορούµε ν υπολοίσουµε το µέτρο του δινύσµτος της προολής του πάνω στο δηλδή το proj proj Αλλά όπως είδµε πρπάνω το ε νυσµ που έχει τη διεύθυνση του. Άρ: είνι µονδιίο διά- proj ε Πράδειµ: Έστω F 4 j k µι δύνµη στον χώρο. Ν νλυθεί σε δύο κάθετες µετξύ τους συνιστώσες, πό τις οποίες η µί ν είνι πράλληλη µε τη διχοτόµο της ωνίς O.

Λύση: Έν διάνυσµ j. Άρ F F πράλληλο µε τη διχοτόµο της O είνι το κι F F F Αλλά Άρ Ενώ F 4 0 5 ενώ 5 5 ( j) j 5 F 5 5 F F F 4 j k j j k

4. Εξωτερικό Γινόµενο ινυσµάτων.. Ορισµός Έστω Ορίζουµε εξωτερικό ινόµενο των δινυσµάτων το διάνυσµ: Συµολικά µπορούµε ν πρστήσουµε το εξωτερικό ινόµενο ( ) µε την πρκάτω ορίζουσ:.. Ιδιότητες του εξωτερικού ινοµένου Πρότση : Αν είνι δινύσµτ του χώρου κι τότε ισχύουν οι πρκάτω ιδιότητες: () () κι () Απόδειξη: Έστω () (), k j. k j, ( ) ( ) ( )k j k j,, R λ,µ ) ( ) ( ), ( ) ( λ λ ) ( ) ( λ λ, k j, k j k j k j k j ( ) ( ) ( )k j k j k j k j

5 Όµοι ποδεικνύετι ότι: () Άρ Όµοι ποδεικνύετι ότι: Πόρισµ: Αν είνι διάνυσµ του χώρου τότε Απόδειξη: Από το ήµ () της προηούµενης πρότσης έχουµε: Πρότση: Αν είνι δινύσµτ του χώρου, τότε το είνι κάθετο στο επίπεδο των Απόδειξη: Αρκεί ν ποδείξουµε ότι κι Πράµτι ν Τότε Όµοι κι Η πρκάτω τυτότητ πρµτικών ριθµών είνι πολύ χρήσιµη κι ονοµάζετι τυτότητ του Langrange: Αν είνι ένς πίνκς πρµτικών ριθµών ισχύει: ) ( ( ) ( ) ( )k j λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ k j k j ) ( ) ( λ λ 0 0 0 ) (,,. k j k j, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) ( )

Πρότση: Αν, είνι δύο δινύσµτ του χώρου, τότε ισχύει: snθ, τητ Langrange ι τον πίνκ όπου θ είνι η ωνί τους Απόδειξη: Αν j k, j k ( ) cos εφρµόζουµε την τυτό- Εποµένως το µέτρο του εξωτερικού ινοµένου είνι ίσο µε το διπλάσιο του εµδού του τριώνου που σχηµτίζετι πό τ δινύσµτ θ ( cos θ ) sn θ snθ, Α : Ο θ Β Σχήµ. Άρ Ε ΑΒΓ sn ( ) θ Ε ΑΒΓ ( ) 0 < θ < π είνι έν διάνυσµ κά- Συνοψίζοντς πρτηρούµε ότι το θετο στο επίπεδο των µε µέτρο, snθ που ικ- Πρτηρούµε όµως ότι υπάρχουν δύο δινύσµτ νοποιούν υτές τις συνθήκες. η, η η η η Σχήµ. 6

Πρτηρούµε ότι σύµφων µε τον ορισµό ποδεικνύετι ότι: j k, j k, k j ηλδή πρτηρούµε ότι j k κι όχι j k. Το διάνυσµ όµως k είνι το κάθετο στο επίπεδο των, j ώστε η τριάδ (, j, k) ν ποτελεί µί δεξιόστροφη τριάδ. Όµοι κι ι τις άλλες δύο σχέσεις. Εποµένως ο κνόνς του δεξιού χεριού θ µς δίνει την φορά του.. Σχήµ... Γενικό συµπέρσµ: Αν, δινύσµτ του χώρου διάφορ του 0 το εξωτερικό ινόµενό τους είνι το διάνυσµ µε τ πρκάτω χρκτηριστικ νωρίσµτ: ) µέτρο ίσο µε : snθ ) διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δινυσµάτων, ) φορά, τη φορά του δινύσµτος που προκύπτει µε τον κνόν του δεξιού χεριού, δηλδή ν τοποθετήσουµε την πλάµη του δεξιού χεριού κτά τέτοιο τρόπο ώστε τ δάκτυλ ν στρέφοντι πό το στο κτά ωνί θ. Τότε ο ντίχειρς µς δείχνει την φορά του. Πρτήρηση: Αν ξεκινήσουµε πό τον πρπάνω ορισµό, δεν είνι πολύ εύκολο ν ποδείξουµε την ισοδυνµί του µε τον ρχικό ορισµό. Η πόδειξη πρλείπετι. 7

Εφρµοές: ) Ν ρεθεί έν µονδιίο διάνυσµ κάθετο στο επίπεδο των δινυσµάτων j, k. Λύση: Έν διάνυσµ κάθετο στο επίπεδο των j 0 k 0 j k θ είνι το,. Εποµένως έν µονδιίο διάνυσµ κάθετο στο επίπεδο των θ είνι το: j k j k η j k ( ) ( ), ) Ν ποδειχθεί ότι δύο δινύσµτ, είνι συρµµικά ν κι µόνο ν 0. Απόδειξη: Αν 0, 0 είνι συρµµικά, τότε υπάρχει λ R, ώστε λ. Οπότε ( λ ) λ 0 ( ). Αν λ R : 0, τότε 0 snθ 0 snθ 0 θ 0 λ, είνι συρµµικά. 0 προφνώς ισχύ- Αν έν πό τ δύο δινύσµτ είνι το ει η ισοδυνµί. 8

9 4. Μικτό Γινόµενο 4.. Ορισµός Έστω τρί δινύσµτ του χώρου. Ονοµάζουµε µικτό ινόµενο τον ριθµό που το συµολίζουµε κι ως Πρότση: Αν Τότε Απόδειξη: Ισχύει Άρ 4.. Μέτρο του µικτού ινοµένου,, ( ) [ ].,, k j k j k j,, ( ) [ ],, k j k j ( ) ( ) θ cos θ Ο Κ cosθ Σχήµ 4.

( ) Άρ το µου των δινυσµάτων πρλληλεπιπέδου. πριστάνει το εµδόν του πρλληλοράµ, επί το ύψος ΟΚ, δηλδή τον όκο του 4.. Ιδιότητες µικτού ινοµένου ) [,, ] [,, ] ) [,, ] 0 0

5. Εξίσωση Ευθείς στον Χώρο 5.. ινυσµτική εξίσωση: Έστω έν στθερό σηµείο Ο. Ν ρεθεί η δινυσµτική εξίσωση της ευθείς που περνά πό έν σηµείο Α κι είνι πράλληλη προς έν διάνυσµ u 0. Α u Ο r Μ Σχήµ 5. Η δινυσµτική κτίν ΟΑ είνι στθερή. Έν σηµείο Μ - νήκει στην ευθεί ν κι µόνο ν: ΑΜ t u, t R ΑΟ ΟΜ tu, t R ΟΜ tu ΟΜ tu r tu () Η πρπάνω σχέση λέετι δινυσµτική εξίσωση της ευθείς. 5.. Πρµετρική εξίσωση ευθείς: Έστω Ο η ρχή ενός ορθοωνίου συστήµτος συντετµένων κι Α( 0, 0, 0 ). Αν u (,, ) κι Μ(,, ) το τυχίο σηµείο Μ, τότε µε τη οήθει της σχέσης () προκύπτει: j k 0 0 j 0 k t( j k) 0 t t, t R () 0 0 t Η πρπάνω σχέση λέετι πρµετρική εξίσωση ευθείς που περνά πό το σηµείο Α( 0, 0, 0 ) κι είνι πράλληλη µε το διάνυσµ u (,, ).

5.. Ανλυτική εξίσωση ευθείς: Ότν κµί πό τις συντετµένες του u j k 0, η σχέση () πίρνει την πρκάτω µορφή: δεν είνι 0 0 0 Πράδειµ: Ν ρεθεί η πρµετρική κι νλυτική εξίσωση της ευθείς που περνά πό τ δύο σηµεί Α(,, ), Β(,, ). Λύση: Αρκεί ν ρούµε την εξίσωση της ευθείς που περνά πό το σηµείο Α (,,) (όπου Α( 0, 0, 0 )) κι που είνι πράλληλη µε το διάνυσµ ΑΒ (,, ), δηλδή ΑΒ (,, ) (όπου ΑΒ(,, )). Άρ η πρµετρική εξίσωση της ευθείς είνι: t t, t R t Ενώ η νλυτική εξίσωση της ευθείς είνι: 5.4. Τοµή δύο ευθειών: Πρόληµ: Αφού ρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που περνούν πό τ σηµεί Α (,6,8 ), Β ( 0,, ), λλά κι πό τ Α (,,), Β (,,4 ), ν εξετσθεί ν οι δύο ευθείες τέµνοντι κι ν νι, ν ρεθεί το σηµείο τοµής τους. Λύση: Θ ρούµε πρώτ την εξίσωση της ευθείς που περνά πό τ σηµεί Α (,6,8), Β( 0,, ). Αρκεί ν ρούµε την εξίσωση της ευθείς που περνά πό το σηµείο Α(,6,8) κι η οποί είνι πράλληλη προ το διάνυσµ ΑΒ(, 8, 0). Αυτή είνι η: t 6 8t, t R 8 0t ()

Όµοι ρίσκουµε την εξίσωση της ευθείς που περνά πό τ σηµεί Α (,, ), Β (,,4 ). Αρκεί ν ρούµε την εξίσωση της ευθείς που περνά πό το σηµείο Α (,, ) κι η οποί είνι πράλληλη µε το διάνυσµ Α Β 4., Αυτή είνι η: ( ). 4t t, t R t () Λύνουµε το σύστηµ των (), () ως προς t, t εξισώνοντς τ,, κι έχουµε: t 4t 6 8t t 8 0t t t 4t 8t t 0t t 6 () (4) (5) Λύνοντς το σύστηµ των σχέσεων () κι (4) ρίσκουµε ότι: t κι t Βάζοντς τις τιµές υτές στην (5), ρίσκουµε ότι την επληθεύουν. Άρ το σύστηµ έχει λύση, που σηµίνει ότι οι δύο ευθείες τέµνοντι. Το σηµείο στο οποίο τέµνοντι ρίσκετι ν θέσουµε π.χ. στην () t/. Τότε ρίσκουµε: 6 8 8 0 Άρ οι δύο ευθείες τέµνοντι στο σηµείο Α(,,). Πρτήρηση: Όπως είνι νωστό δύο ευθείες είνι πράλληλες ν νήκουν στο ίδιο επίπεδο κι όσο κι ν τις προεκτείνουµε δεν συνντιούντι. t 0 t' 0 Οι ευθείες 0 t, t R κι 0 t', t' R είνι πράλλη 0 t t' λες ιτί η κθεµί είνι πράλληλη µε το διάνυσµ Ας θεωρήσουµε τώρ τις ευθείες: t t t, t R κι t, t R t 0 t u(,, ).

Η πρώτη ευθεί είνι πράλληλη µε το διάνυσµ (,, ) κι η δεύτερη είνι πράλληλη µε το διάνυσµ (,, ). ηλδή οι δύο πρπάνω ευθείες δεν είνι πράλληλες. Πρκάτω ελέχουµε ν υτές τέµνοντι. Εξισώνοντς τ,, έχουµε: t t t t t t () () () Λύνοντς το σύστηµ των σχέσεων (), () έχουµε t, t οι οποίες δεν επληθεύουν την σχέση (). Άρ οι ευθείες δεν τέµνοντι πρόλο που δεν είνι πράλληλες. Αυτές οι ευθείες στον χώρο είνι οι σύµτες. 5.5. Απόστση σηµείου πό ευθεί: Πρότση: Έστω µί ευθεί ε του χώρου πράλληλη µε διάνυσµ u κι διερχόµενη πό έν σηµείο Κ. Τότε η πόστση d ενός σηµείου Μ πό την ε θ είνι: ΚΜ u d u Απόδειξη: Μ d Κ θ u ε Σχήµ 5. Έστω θ η ωνί του ΚΜ µε το διάνυσµ u. Πρτηρούµε ότι: Αλλά d snθ d ΚΜ snθ ΚΜ ΚΜ u ΚΜ u sn θ ( 0 θ π ) Άρ ΚΜ u d u 4

Πρτήρηση: Αν εφρµόσουµε τον πρπάνω τύπο στην ειδική περίπτωση του δυσδιάσττου χώρου πίρνουµε νωστό ποτέλεσµ. ηλδή έστω Α Β Γ 0 µί ευθεί στο επίπεδο O κι έν σηµείο Μ (,,0 ) εκτός της ευθείς. Τότε έν διάνυσµ πράλληλο µε την ευθεί είνι το u( Β,Α,0). Έστω κι έν σηµείο που νήκει στην ευθεί Κ( 0, 0,0). Τότε: ΚΜ ( ) ( ) j 0 k Όµως u Β Α j 0 k ΚΜ u 0 Β 0 0 j 0 Α k [ Α( ) Β( )] k 0 0 0 0 [ Α Β ( Α Β )] k ( Α Β )k 0 0 Γ Άρ ΚΜ u Α Β Γ Επίσης u Α Β Εποµένως d Α Β Α Β Γ Πράδειµ: ίνετι η ευθεί ε: 4 5t Ν ρεθεί η πόστση d του σηµείου Μ(,0,-) πό την ευθεί. Λύση: Η ευθεί ε περνά πό το σηµείο Κ(,-,4) κι είνι πράλληλ µε το διάνυσµ Όµως u(,,5). t t, t R ΚΜ u Άρ d u ΚΜ 0 j 4 k j 7 ( ) ( ) ( ) k ΚΜ u j k 7 5 6j k u j 5k Άρ ΚΜ Κι τελικά u 84 d 5 ( 6) ( ) 84 u 5 5 5

6. Εξίσωση Επιπέδου 6.. Εξίσωση επιπέδου: Πρόληµ: Ν ρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που είνι κάθετο σε έν διάνυσµ n κι που περνά πό έν σηµείο Κ. Λύση: Έστω Ο µί ρχή, ΟΚ η δινυσµτική κτίν του σηµείου Κ κι ΟΜ r η δινυσµτική κτίν τυχόντος σηµείου. n Ο Κ Μ Σχήµ 6. Το Μ νήκει στο ζητούµενο επίπεδο ν κι µόνο ν: ΚΜ n ΚΜ n 0 r n () ( ) 0 Αν τώρ Ο είνι η ρχή ενός ορθοωνίου συστήµτος συντετ- µένων, Κ ( 0, 0, 0 ), n Α Β j Γk κι το τυχίο σηµείο Μ(,,), τότε σύµφων µε τη σχέση () θ έχω: ( 0 ) Α ( 0 ) Β ( 0 ) Γ 0 Α Β Γ ( Α Β Γ ) 0 () 0 0 0 Αν τώρ ως εξής: ( Α Β Γ ) 0 0 0 Α Β Γ 0 τότε η σχέση () διµορφώνετι Η πρπάνω είνι η νλυτική εξίσωση επιπέδου. Πρτηρήσεις: ) Αν λοιπόν έχουµε έν νωστό σηµείο Κ( 0, που νήκει στο 0, 0 ) επίπεδο κι έν διάνυσµ n Α Β j Γk κάθετο στο επίπεδο, τότε η εξίσωση του επιπέδου θ είνι: Α ( ) Β( ) Γ( ) 0 0 0 0 6

) Από την προηούµενη νάλυση διπιστώνουµε µέσως ότι ν δίνετι έν επίπεδο Α Β Γ 0µέσως συµπερίνουµε ότι το διάνυσµ n Α Β j Γk είνι κάθετο στο επίπεδο υτό. Πρδείµτ: ) Ν ρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περνά πό τ τρί σηµεί Α(,,), Β(-,,4) κι Γ(0,,). Λύση: Αρκεί ν ρούµε έν σηµείο του επιπέδου κι έν διάνυσµ κάθετο στο επίπεδο. Ως σηµείο του επιπέδου διλέουµε π.χ. το Α κι ως κάθετο διάνυσµ στο επίπεδο το n ΑΒ ΑΓ. Αλλά ΑΒ ( ) ( ) j ( 4 ) k ΑΒ j k ΑΓ ( 0 ) ( ) j ( ) k ΑΓ j k Όµως n ΑΒ ΑΓ 0 4j 4k Άρ η εξίσωση του επιπέδου που περνά πό το σηµείο Α(,,) κι είνι κάθετο στο n θ είνι η: 0 ( ) ( 4)( ) 4( ) 0 4 8 4 0 ) Ν ρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει τις δύο πράλληλες ευθείες: j k ε :, 4 ε : 4 4 Λύση: Οι δύο ευθείες είνι πράλληλες προς το διάνυσµ v j 4k. ε v Κ Λ ε Σχήµ 6. 7

Το σηµείο Κ(-,,-) νήκει στην ε κι το σηµείο Λ(,-,4) νήκει στην ε. Άρ το διάνυσµ n ΚΛ u είνι κάθετο στο επίπεδο. Αλλά ΚΛ j 5k Εποµένως n ΚΛ u 5 7 j 5 k 4 Άρ ι ν ρούµε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει τις ευθείες ε κι ε, ρκεί ν ρούµε την εξίσωση του επιπέδου που περνά πό το σηµείο Κ(-,,-) κι είνι κάθετο στο διάνυσµ n 7 j 5k. Η εξίσωση υτή θ είνι: ( ) ( ) 5( ) 0 7 j k 6.. Τοµή δύο επιπέδων: Θέσεις δύο επιπέδων: Ως νωστό δύο επίπεδ ή είνι πράλληλ, ή τυτίζοντι ή τέµνοντι κτά µί ευθεί. ) επίπεδ πράλληλ: ύο επίπεδ: Π: ΑBΓ 0, Π : Α Β Γ 0 Είνι πράλληλ ν κι µόνο ν n // n Όπου n Α Β j Γk, n Α Β j Γ k, ηλδή ν κι µόνο ν υπάρχει κάποιο λ R έτσι ώστε: n λn () Στην περίπτωση έι που κµιά συντετµένη του n (άρ κι του n ) δεν είνι µηδέν, τότε η σχέση () ράφετι ως εξής: Α Α Β Β Γ Γ Π Π n n Σχήµ 6. ) τυτιζόµεν επίπεδ: Τ δύο επίπεδ τυτίζοντι ν κι µόνο ν ισχύει η σχέση: Α λ Α, Β λβ, Γ λγ, λ, λ R (Η πόδειξη είνι προφνής). 8

) τεµνόµεν επίπεδ: Τέµνοντι ν κι µόνο ν n //. n Η ευθεί τοµής ρίσκετι ν λύσου-µε το σύστηµ των (Π ) κι (Π ) θέτοντς κτάλληλο ελεύθερο ά- νωστο (πράµετρος). ( Π ) n n Σχήµ 6.4 ( Π ) Πράδειµ: Ν ρεθεί η τοµή των δύο επιπέδων: 4 () 5 6 () Λύση: Πρώτος τρόπος: Επειδή 0 λύνουµε το σύστηµ των σχέσεων () κι () 4 ως προς κι κι έχουµε: 6 5 4 κι ρίσκουµε:, R ηλδή είνι η ευθεί που περνά πό το σηµείο Κ(0,-,0) κι είνι πράλληλη µε το διάνυσµ u( 4,, ). εύτερος τρόπος: Έν διάνυσµ κάθετο στο πρώτο επίπεδο θ είνι το n (,,) κι έν διάνυσµ κάθετο στο δεύτερο επίπεδο θ είνι το n (,,5) Άρ έν διάνυσµ πράλληλο µε την τοµή των δύο επιπέδων θ είνι το: n j n 4 j k 5 k Αρ- Εποµένως η ευθεί θ είνι πράλληλη µε το διάνυσµ κεί ν ρεθεί κι έν σηµείο της τοµής των δύο επιπέδων. Θέτοντς στις σχέσεις () κι () π.χ. 0, έχουµε: 4 5 6 (, ) ( 8, ) n n. 9

Άρ έν σηµείο της τοµής είνι το Κ(8,0,-) κι εποµένως η ευθεί θ είνι η: 8 4t t, t R t Η πρπάνω ευθεί προφνώς τυτίζετι µε υτή του πρώτου τρόπου. 40

7. Ευθεί κι Επίπεδο 7.. Τοµή ευθείς κι επιπέδου: Έστω έν επίπεδο (Π) Α Β Γ 0 t Κι µι ευθεί (ε) 0 t, t R t 0 0 Η (ε) κι το (Π) είνι πράλληλ ν κι µόνο ν το n( Α, Β, Γ) κι το u(,, ) είνι κάθετ, δηλδή ν κι µόνο ν Α Β Γ 0κι επίσης Α Β Γ 0 (δηλδή το (, ) ( )). 0 0 0 0, 0 0 Π Αν Κι Α Β Γ 0 Α 0 Β0 Γ0 0 ε (Π) Αν Α Β Γ 0 κοινό σηµείο. τότε η ευθεί κι το επίπεδο έχουν έν Πράδειµ: Ν ρεθεί η θέση του επιπέδου κι της κόλουθης ευθείς. 4 Λύση: Επειδή 4 0 µπορούµε ν θεωρήσουµε ότι: t t t () 4 4t Όµως ισχύει, εποµένως θ προκύψει: t t 4t 9t t Κι πό τη σχέση () θ έχουµε:,, Άρ το κοινό σηµείο θ είνι το Κ,, 7.. Απόστση σηµείου πό επίπεδο: Έστω Μ έν σηµείο έξω πό έν επίπεδο (Π). Γι ν ρούµε την πόστση του Μ πό το επίπεδο κολουθούµε την εξής διδικσί: 4

Μ n Ζ Ε Κ Σχήµ 7. Πίρνουµε έν τυχίο σηµείο Κ στο επίπεδο. Τότε η πόστση d του σηµείου Μ πό το επίπεδο είνι: ΜΕ ΖΚ ΚΜ n proj n ΚΜ n n άρ: d ΚΜ n proj ΚΜ n n n ΚΜ n n ΚΜ n n ΚΜ ε Τελικά d ΚΜ ε όπου ε είνι έν µονδιίο διάνυσµ που έ- χει τη διεύθυνση του n. Πρτήρηση: Ισχύει ( λ) λ( ) λ 7.. Ανλυτική µορφή της πόστσης σηµείου πό επίπεδο: Έστω O ορθοώνιο σύστηµ συντετµένων, έστω έν ση- µείο Μ(,, ) εκτός του επιπέδου κι έστω Α Β Γ 0 η εξίσωση ενός επιπέδου. Γι ν ρούµε την πόστση του σηµείου πό το επίπεδο εκτελούµε την πρκάτω διδικσί: () Πίρνουµε έν σηµείο έστω Κ( 0, 0, 0 ) το επίπεδο κι σχηµτίζουµε το διάνυσµ ΚΜ ( ) ( ) j ( ). 0 0 0 k () Θεωρούµε το κάθετο διάνυσµ n Α Β j Γk στο επίπεδο κι σχηµτίζουµε έν µονδιίο διάνυσµ που έχει τη διεύθυνση του n : ε n n ηλδή ε Α Α Β Γ Α Β Β Γ j Α Γ Β Γ k 4

() Υπολοίζουµε το εσωτερικό ινόµενο: ( ) Α ( ) Β ( ) 0 0 0 Γ ΚΜ ε Α Β Γ Α Β Γ Α Β Γ Α Β Γ ( Α0 Β0 Γ0 ) Α Β Γ Α Β Γ Α Β Γ Κι πίρνουµε την πόλυτη τιµή: ΚΜ ε Α Β Α Β Γ Γ Τελικά θ ισχύει: d Α Β Α Β Γ Γ 4

8. Κοινή Κάθετος υο σύµτων Ευθειών Ως νωστό δύο ευθείες του χώρου είνι σύµτες ν κι µόνο ν δεν ρίσκοντι στο ίδιο επίπεδο. (Εννοείτι ότι δεν τέµνοντι, ιτί ν τέµνοντν θ ρίσκοντν στο ίδιο επίπεδο). Η πρκάτω πρότση είνι πολύ χρήσιµη στον χώρο της στερεοµε-τρίς. Πρότση: Αν ε κι ε είνι δύο σύµτες ευθείες, υπάρχει µί µόνο κοινή κάθετος υτών. Το τµήµ υτής της κοινής κθέτου που περιέχετι µετξύ των σύµτων ευθειών είνι µικρότερο πό κάθε άλλο ευθύρµµο τµήµ που συνδέει δύο τυχόντ σηµεί των ευθειών υτών. Απόδειξη: Ε Β ε Π Α ε Γ Σχήµ 8. Από τυχίο σηµείο Α της ε φέρνουµε µί ευθεί Α πράλληλη µε την ε. Οι ευθείες Α κι ε ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου (Π). Προφνώς ε //(Π). Από τυχίο σηµείο Β της ε φέρνουµε την ευθεί ΒΓ, όπου ( ΒΓ) ( Π). Από το σηµείο Γ φέρνουµε την Γ //Α. Στο σηµείο φέρνουµε την κάθετη στο επίπεδο (Π), η οποί τέµνει την ε στο σηµείο Ε. Η ευθεί Ε τέµνει την ε, ιτί οι Ε κι ΓΒ ως πράλληλες ρίσκοντι στο ίδιο επίπεδο, το οποίο συµπίπτει µε το επίπεδο των ε κι A, κθώς τ δύο επίπεδ έχουν τ τρί κοινά σηµεί, Γ κι Β. Άρ η ευθεί Ε είνι η κοινή κάθετος των ε κι ε. Ε Ε ε Π Α ε Σχήµ 8. 44

Αν υπάρχει κι άλλη κοινή κάθετος, η Ε, τότε υτή θ είνι κάθετη στο επίπεδο (Π), άρ Ε //Ε. Άρ ΕΕ κι θ ρίσκοντι στο ίδιο επίπεδο, που είνι άτοπο ιτί οι ευθείες ε κι ε είνι σύµτες. Το ότι το Ε είνι το µικρότερο τµήµ µε άκρ στις ε κι ε ποδεικνύετι εύκολ. Άσκηση: ίνοντι οι ευθείες: 4 (ε ) (ε ) Αφού ποδειχθεί ότι οι ε κι ε είνι σύµτες, ν ρεθεί η ευθεί της κοινής κθέτου τους κι κολούθως το τµήµ της κοινής κθέτου µετξύ των ε κι ε. Ν κολουθηθεί η διδικσί της πρράφου υτής. 45

Ασκήσεις Στην Γεωµετρί. Ν ρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που περνάνε πό τ σηµεί Α(,0,0), Β(,,) κι επίσης πό τ Γ(,,0), (,,-). Λύση: Αρκεί ν ρούµε την εξίσωση της ευθείς που περνά πό το σηµείο Α(,0,0) κι είνι πράλληλη µε το διάνυσµ ΑΒ (,,). Αυτή είνι: t t 0 t 0 t, t R () 0 t 0 t Η πρπάνω είνι η νλυτική µορφή. Αν τώρ πλείψουµε το t στην () έχουµε: (Τοµή δύο επιπέδων) Όµοι η πρµετρική εξίσωση ι την ευθεί που περνάει πό τ σηµεί Γ κι είνι: t t. Ν ρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περνά πό τ τρί σηµεί Α(,,-), Β(,0,) κι Γ(0,-,). Λύση: Βρίσκουµε κτ ρχήν έν διάνυσµ κάθετο στο επίπεδο. Έν τέτοιο διάνυσµ θ είνι το: j k n ΑΒ ΑΓ Άρ n ΑΒ ΑΓ 7 5 j 4 k Εποµένως ρκεί ν ρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περνά πό το σηµείο Α(,,-) κι το οποίο θ είνι κάθετο στο n., t R 46

Αυτή είνι: 7( ) 5( ) 4( ) 0 7 5 4 6 Η πρπάνω είνι κι η εξίσωση του ζητούµενου επιπέδου.. Ν ρεθεί η εξίσωση της σφίρς που έχει κτίν κι κέντρο Κ(,-,). Λύση: Έν σηµείο Μ(,,) θ νήκει στην σφίρ ν κι µόνο ν ισχύει: ΜΚ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Σηµείωση: Γενικά η εξίσωση της σφίρς µε κέντρο κτίν R είνι: ( ) ( ) ( R 0 0 0 ) Κ( 0, 0, 0) κι 4. Ν ρεθεί η εξίσωση της σφίρς µε κέντρο το Κ(,0,0) που τέµνετι πό το επίπεδο στον κύκλο Λύση: p R d Κ (,0,0 ) Ο κύκλος πίρνει τη µορφή ( ) ( ) Εποµένως ρ. Η πόστση d του σηµείου Κ(,0,0) πό το ε- πίπεδο είνι προφνώς d. Μπορεί έι ν ρεθεί πό τον τύπο της πρράφου 7., όπου θ έχουµε: 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) Άρ d 0 Εποµένως εφρµόζοντς το Πυθόρειο θεώρηµ έχουµε: R ρ d R 4 R Άρ η εξίσωση της σφίρς είνι: ( ) 4 47

5. Αν j, j k, k ν ρεθεί το µήκος του δινύσµτος. Λύση: Ισχύει: 7 4 j 4k Άρ το µήκος του ζητούµενου δινύσµτος θ είνι: 7 4 ( 4 ) 8 9 6. Ν ρεθεί έν διάνυσµ µονδιίο πράλληλο µε το j 7k. Λύση: Έστω v j 7 k. Έν τέτοιο διάνυσµ θ είνι το Εδώ v Άρ ( ) ε 6 7 6 6 ε j v v 7 6 k 7. Ν ρεθεί το έτσι ώστε τ τρί σηµεί Α(,,7), Β(-,4,) κι Γ(,-,-7) ν είνι συνευθεικά. Λύση: Είνι νωστό (σύµφων µε την πράρφο.) πως ν είχµε δύο δινύσµτ, το εµδόν που περικλείουν θ είνι: Ε Αν έχουµε τρί σηµεί ντίστοιχ το εµδόν θ είνι: Ε Άρ η ικνή κι νκί συνθήκη ι ν είνι τ Α,Β,Γ συνευθεικά είνι η: ΑΒ ΑΓ 0 ΑΒ ΑΓ 0 Στην περίπτωση µς: ΑΒ ΑΓ Ε Ε Α ΑΒ j 6k, ΑΓ ( ) 4 j 4 k 48 Β Γ

Κι τελικά: j k ΑΒ ΑΓ 6 0 (546) j (9 ) k 4 4 Άρ ν ΑΒ ΑΓ τότε 0 54 6 0 κι 9 0, που συµίνει µόνο ι 9. 8. Ν εκφρσθεί το διάνυσµ v 5 j k σν ρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων, j, j k. Λύση: Πρέπει ν ρούµε τρεις πρµτικούς ριθµούς λ, µ, ν Rώστε: v λ µ ν ( λ µ ν ) ( µ ν ) j νk 5 j k Άρ πρέπει: λ µ ν 5 µ ν ν Κι τελικά λ, µ 4, ν Εποµένως v 4 9. Έστω,, νά δύο κάθετ κι µονδιί δινύσµτ. Έστω κι έν διάνυσµ δ λ µ ν. Ν ρεθεί µι έκφρση της στθεράς λ σε σχέση µε τ δινύσµτ δ,. Λύση: δ λ λ δ µ ν λ 0. Ν ρεθούν οι ωνίες κι τ µήκη των πλευρών τριώνου ΑΒΓ, µε δινύσµτ θέσεως j k, j k, j k. Α Λύση: Ο Β Γ 49

ίνετι ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ. ΑΒ ΑΟΟΒΟΒΟΑ j k( jk) j k ΑΒ j k Όµοι ποδεικνύουµε ότι: ΒΓ j κι Άρ ΑΒ ( ) ΓΑ k ΒΓ ( ) 0 ΓΑ 0 ( ) Οι ωνίες υπολοίζοντι ως εξής: Αˆ cos ΑΒ ΑΒ ΑΓ ΑΓ Αλλά ΑΒ ΑΓ ( j k ) ( 0 j k ) ( ) ( ) 0 Άρ Α ˆ cos cos 6 Οµοίως ποδεικνύουµε ότι Β ˆ 7 Γ ˆ 6 cos, cos 6. Ν ρεθεί το µήκος της προολής του j k στη διεύθυνση του k. proj ε Λύση: Από την πράρφο.7 είνι νωστό ότι k k Εδώ ε ( ) Εποµένως Κι τελικά ε proj 0 ε k 50

5. Ν ποδειχθεί ότι: Λύση: Έστω Όµως Κι Κι Άρ ισχύει η ισότητ, φού οι σχέσεις () κι () είνι ίσες.. Αν τ δινύσµτ είνι κάθετ, ν πλοποιηθεί η έκφρση Λύση: ) ( ) ( ) ( k j k j k j )k ( j ) ( ) ( k j ) ( ) ( k j [ ] [ ] [ ] k j ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( k j ) ( ) ( ) ( () ) )( ( ) ( ) ( k j ) )( ( k j k j ) ( ) ( ) ( (), [ ] ) ( [ ] [ ] [ ] [ ] 0 ) ( 0 ) ( ) (

5 4. Έστω Ν πλοποιηθεί η πράστση Λύση: 5. Έστω τ σηµεί Α,Β,Γ που έχουν δινύσµτ θέσεως - ντίστοιχ (ως προς µι ρχή Ο). Ν ποδειχθεί ότι το εµδόν του τριώνου ΑΒΓ είνι: Μετά ν ρεθεί συνθήκη ώστε τ Α,Β,Γ ν είνι συνευθεικά. Λύση: Ως νωστόν το εµδόν του τριώνου ΑΒΓ είνι: Άρ τ σηµεί Α,Β,Γ είνι συνευθεικά ν κι µόνο ν το εµδόν του τριώνου ΑΒΓ είνι µηδέν, δηλδή ν κι µόνο ν: 6. Ν ποδειχθεί ότι: Λύση:.,, 0 [ ]. ) ( ) ( [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, ΑΒΓ E Ο Α Β Γ ΑΒ ΑΓ ΑΒΓ ) ( ) ( E 0 [ ] [ ],,,, [ ] [ ] ) ( ) ( ) (,, [ ] [ ] [ ] ) ) ( ) ( ) (

5 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],,,,,,,,,, ) (,,,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

ΜΕΡΟΣ ΙΙ (ΑΝΑΛΥΣΗ) 54

. Ειδικού τύπου συνρτήσεις. Αντίστροφες τριωνοµετρικές συνρτήσεις π π,. A. Η συνάρτηση sn ν περιορισθεί στο διάστηµ, είνι προφνώς - κι το σύνολο τιµών της πρµένει το [ ] Άρ υπάρχει η ντίστροφη της sn, την οποί την συµολίζουµε µε sn - : [,], π π Πράωος της sn - Έστω f () sn. Τότε f (f ()), π π,. Άρ (f ) (sn ) cos. Θέτουµε sn κι έχουµε : 55

π π (f ) () () επειδή όµως,, έχουµε ότι ± sn cos > 0, άρ (f ) () (sn ), [, ] άρ (sn ) Β. Η συνάρτηση cos ν περιορισθεί στο διάστηµ [, π] προφνώς - κι το σύνολο τιµών της πρµένει το [, ]. Εποµένως υπάρχει συµολίζουµε µε cos - : [,] [ 0, π] 0 είνι η ντίστροφη της cos την οποί την. 56

Πρόµοι µε το sn -, ποδεικνύετι ότι: (cos ) π π Γ. Η συνάρτηση tan ν περιορισθεί στο διάστηµ, είνι - κι το σύνολο των τιµών της πρµένει το R. Εποµένως υπάρχει η ντίστροφή της tan - : R π π,. Θ ρούµε τώρ την πράωο (tan ). Έστω f () tan. Ισχύει : 57

f (f ()), π π, (f ) (f ())f () (f ) (tan )(tan ) f ) (tan ) cos (tan ) tan Έστω tan ( f )( ) Άρ τελικά : ( (tan ) π. Η τέµνουσ, sec, ν [ 0, π] είνι - κι sec : cos π [ 0, π ] R (, ) άρ έχει ντίστροφη την sec - µε sec - : π R (, ) [ 0, π] 58

Άσκηση : Ν ποδειχθεί ότι (sec )', όπου R (,) 59

Ασκήσεις ) Ν ποδειχθούν οι σχέσεις : ) cos (sn ) ) sn (cos ) ) cos(sn ) δ) cos( sn ) ε) sn(sn cos ) στ) tan (tan ) Λύση: Ας λύσουµε τις (), (), (ε). ) Έστω sn ω sn ω άρ cos (sn ) cos ω sn ω ) Έστω sn ω. Τότε, sn ω snω cos(sn ) cosω sn ω ε) Έστω sn ω, cos ϕ sn ω, cos ϕ sn ω cosϕ. π π π π Επειδή ω, 0 ϕ π ω ϕ ω ϕ π sn( ω ϕ) sn sn(sn cos ). Οι υπερολικές συνρτήσεις e e e e Οι συνρτήσεις cosh, snh ονοµάζοντι υπερολικό συνηµίτονο κι υπερολικό ηµίτονο ντίστοιχ. Οι όροι συνηµίτονο κι ηµίτονο δόθηκν, ιτί οι συνρτήσεις υτές πληρούν πρόµοιες ιδιότητες µε υτές του συνηµίτονου κι ηµίτονου. Η λέξη υπερολικό προέρχετι π την ιδιότητ της υπερολής που πληρούν οι cosh κι snh, η πρώτη ιδιότητ πρκάτω. 60

Οι πρκάτω ιδιότητες ποδεικνύοντι εύκολ : ) cosh snh ) cosh( ) cosh ) snh( ) snh 4) cosh snh cosh 5) cosh( ) cosh cosh snh snh 6) cosh( ) cosh cosh snh snh 7) snh( ) snh cosh cosh snh 8) snh( ) snh cosh cosh snh 9) snh snh cosh 0) cosh cosh snh snh cosh ) e cosh snh ) e cosh snh ) ( h h n ) h h Επίσης µε την οήθει των πρπάνω συνρτήσεων ορίζοντι κι οι εξής : ) snh e e Υπερολική εφπτοµένη : tanh cosh e e ) cosh e e Υπερολική συνεφπτοµένη : ctnh snh e e ) Υπερολική τέµνουσ : sec h cosh e e δ) Υπερολική συντέµνουσ : csc h snh e e Μερικές σικές ιδιότητες των πρπάνω είνι οι εξής : 4) tanh sec h cosh 5) ctnh csc h snh tanh ± tanh 6) tanh( ) tanh tanh tanh 7) tanh tanh 6

. Γρφικές πρστάσεις τριωνοµετρικών συνρτήσεων 6

6

.4 Πρωίσεις υπερολικών συνρτήσεων () [ cosh f ()] f ()snh f () () [ snh f ()] f ()cosh f () f () cosh f () f () ctnhf () csc h snh f () () [ tanh f ()] sec h f () f () (v) [ ] f () f () Οι πρπάνω ιδιότητες ποδεικνύοντι πολύ εύκολ..5 Αντίστροφες υπερολικές συνρτήσεις Α. Έστω f () snh. Είνι η f : R R. Προφνώς η f είνι νήσι ύξουσ, άρ κι -. Εποµένως υπάρχει η ντίστροφη f snh : R R Γι ν υπολοίσουµε τον τύπο της, θεωρούµε την εξίσωση, f () e e e e 0. Θέτουµε e ω > 0 κι η εξίσωση ίνετι ω ω 0, που έχει δικρίνουσ 4 4 > 0 κι έχει τις εξής δυο λύσεις : ω ±. Επειδή όµως ω > 0, η µόνη δεκτή ρίζ είνι : ω, e Άρ τελικά : ln( ) f ( ) ln( ) snh () ln( ) Πρόληµ : Ν υπολοιστεί η πράωος snh () µε δύο τρόπους. Λύση : ) Πρωίζοντς την πρπάνω σχέση έχουµε : [ snh ()] ( ) 64

) Υπολοίζουµε τώρ την [ snh ] (), χωρίς ν λάουµε υπόψη τον τύπο της snh. Έστω f () snh. Έχουµε : f (f ()), R (f ) (f ()) f () (f ) (f ()) f (). Έστω f () snh τότε έχουµε ότι, (f ) () cosh. Επειδή cosh > 0 ± snh (f ) (). snh Άρ τελικά (snh ) Η ρφική πράστση της snh είνι : 65

Β. Έστω () cosh e cosh g, g : [ 0, ) R e. Η e cosh στο [, ) e e e e 0 e > e η 0 είνι νήσι ύξουσ άρ -. Πράµτι e ( ) e e e. Αλλά > 0 0. cosh είνι νήσι ύξουσ στο [, ) Βρίσκουµε τώρ το πεδίο τιµών g ([ 0, ] ) e e cosh () Ισχύει όµως e e (ιτί e e e e 0 e ). Άρ τότε η () e e 0. Θέτουµε ( e ) 0 e ω > (ιτί > 0 ) κι έχουµε την εξίσωση : ω ω 0, 4 4 4( ) 0 που δίνει τις λύσεις : ω ±. Η ρίζ, πορρίπτετι, ιτί < Άρ τελικά : e.εποµένως ([ 0, ]) [, ) ντίστροφη την : [, ) [ 0, ) g () g() ( ) g () ln.. g κι η g έχει g µε Άρ έχουµε ότι cosh ln( ) 66

Η ρφική της πράστση είνι : Άσκηση : Ν ποδειχθεί µε δύο τρόπους ότι ( cosh ) ΑΝΤΊΣΤΡΟΦΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΉΣ ΕΦΑΠΤΟΜΈΝΗΣ tanh snh cosh e e e e tanh ( ) ln, µε ρφική πράστση την πρκάτω : Άσκηση : Ν ποδειχθεί ότι tanh : (, ) R, µε 67

Εύκολ διπιστώνετι ότι [ tanh ()] Πράδειµ : Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση cosh Λύση : ικνοποιεί την διφορική εξίσωση όπου Η κι Η, ω στθερές. ω d ω d, () d H d d d sn sn. Άρ cos. Αντικθιστώντς στην () d d έχουµε : ω cosh Η snh ω Η Άρ είνι λύση. ω cosh cosh cosh Η 68

69 Ασκήσεις ) Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις () snh, R () cosh, ( ) ( ),, () tanh ) Ν ποδειχθεί ότι cosh snh

. Προτάσεις στις πρωίσιµες συνρτήσεις. ιφορικό συνάρτησης Έστω µι συνάρτηση f() είνι πρωίσιµη σε έν σηµείο o εσωτερικό του πεδίου ορισµού της, που είνι έν διάστηµ, τότε υπάρχει το f ( o h) f ( o ) f '( o ) lm h 0 h R. Έν πλό πρόληµ είνι το εξής: Αν πό την πρπάνω σχέση φιρέσουµε το lm, η προσέιση που f '( ) προκύπτει h ρκετά µικρό). o f ( o h) h f ( ) o είνι κλή (ν έι θεωρήσουµε το Η σχέση υτή ράφετι: hf '( 0 ) f ( 0 h) f ( 0 ) f ( o h) f ( 0 ) hf '( o ) Ας δούµε ποι είνι η εωµετρική ερµηνεί της πρπάνω προσέισης: 70

B ( o h,f( o h)) Α (o,f(o)) ω H Z ε ω o Ε o h Ως νωστό επειδή η f είνι πρωίσιµη στο o, θ υπάρχει η εφπτοµένη της ε στο Α(o,f(o)) κι συντελεστής διεύθυνσης της θ ΖΗ ΖΗ f '( o ) tanω ΖΗ hf '( o ). είνι: ΑΖ h Εποµένως η πρπάνω προσέιση f ( o h) f ( 0 ) hf '( o ) µπορεί ν ρφεί ως εξής: ΕΒ ΕΖ ΖΗ f ( o h) f ( o ) hf '( o ) ΕΒ ΕΗ. Άρ τελικά µπορούµε ν πούµε ότι µε την προσέιση υτή θεωρούµε την τιµή επί του ρφήµτος f(oh) περίπου ίση µε την τιµή της εφπτοµένης ε: f(o)hf (o). Πράµτι η f(o)hf ' (o) είνι η τιµή επί της εφπτοµένης. Η εφπτοµένη στο Α είνι : f ( o ) f '( o )( o ) f ( o ) f '( o )( o ). Γι ν ρούµε την τιµή της πρπάνω συνάρτησης (ευθείς) στο oh, άζουµε όπου το oh κι έχουµε f ( o ) hf '( o ). 7

Άρ η προσέιση f ( o h) f ( 0 ) hf '( o ) σηµίνει ότι η τιµή της f ι τιµές κοντά στο o µπορεί ν προσεισθούν µε τιµές επί της εφπτοµένης της f στο Α. Με την πρκάτω πρότση ποδεικνύετι ότι η προσέιση υτή είνι πολύ κλή ότν το h 0. Πρότση: Αν η f είνι πρωίσιµη στο o, τότε f ( o h) [ f ( o ) hf '( o )] lm 0 h 0 h Απόδειξη : [ f ( ) hf '( )] f ( o h) o o f ( o h) f ( o ) hf '( o ) lm lm h 0 h h 0 h f ( o h) f ( o ) lm f '( o ) f '( o ) f '( o ) 0. h 0 h Εποµένως η διφορά f ( o h) [ f ( o ) hf '( o )] τείνει στο µηδέν πολύ πιο ρήορ πό το h. Εποµένως η προσέιση υτή θεωρείτι κλή. Ορισµός: Το ινόµενο f ' (o)h το ονοµάζουµε διφορικό της f στο o κι το συµολίζουµε µε df(o,h). 7

Πρτήρηση Το o είνι σηµείο του πεδίου ορισµού ώστε ν υπάρχει η f (o) κι το h είνι τέτοιο ώστε το f(oh) ν υπάρχει. Η διφορά f(oh)-f (o) λέετι µετολή της συνάρτησης f στο σηµείο o κι συµολίζετι µε f(o,h) άρ η πρπάνω προσέιση ράφετι f (, h) df (, h) o o λλιώς ι υθίρετο o κι h ισχύει f df όπου df f '( ) Αλλά ι f ( ) df f '( ) d d Άρ µπορούµε ν ράψουµε : df f '( ) d f '( ) df d. 7

. Τύπος του Talor ι πολυώνυµ Έστω το πολυώνυµο, P() 0..nn, IR, 0,,,,n, Μπορούµε ν πρτηρήσουµε ότι : P(0) (0) P ' ()..nnn- P ' (0)! P '' ()... n(n-)n- P '' (0)! P ''' ''' () 6... n(n-)(n-)n- Κι µπορούµε ν ποδείξουµε επωικά ότι Άρ το P() πίρνει την µορφή P (0)! P (n) (0) n! n () P() P(0) P'(0)! P''(0)! P'''(0)! P n (0) n! n Ας εφρµόσουµε τώρ τον πρπάνω τύπο ι το πολυώνυµο Q() P( ), IR τότε : () Q() Q(0) Q'(0)! Q''(0)! Q'''(0)! Q n (0) n! n Αλλά Q '() () ' P ' () P ' () Q (0) P ' () ' Όµοι Q ''() () ' P '' () P '' '' () Q (0) P '' () Συνεχίζοντς ποδεικνύετι επωικά ότι Q(n)(0) P(n)() άρ η () ίνετι () P( ) P() P' ( )! P' '( )! P' ''( )! P n ( ) n n! IR 74

Θέτουµε τώρ στην () όπου το - κι έχουµε (4) P() P() P' ( )! (-) P' '( )! (-) P' ''( )! (-) P n ( ) (-) n n! που είνι ο τύπος του Talor ι τ πολυώνυµ. Πράδειµ Ν νπτυχθεί το πολυώνυµο P() 5 κτά τις δυνάµεις του Λύση P' ( ) P' '( ) P() P(-)! ()! (προφνώς P(n)() 0, IR) P' ''( ) ()! () λλά P(-) (-) (-) (-) 5 9 P ' () 4 P ' (-) 4-4 P '' () 6 4 P '' (-) - P '''() 6 P '''(-) 6 Άρ P() 9 4 () () () Τύπος του Talor Θεώρηµ Talor µε υπόλοιπο Lagrange Θεώρηµ : Έστω η συνάρτηση f() ορίζετι στο διάστηµ (, ε), όπου έχει συνεχείς πρώους µέχρι τάξεως n- κι έστω ότι υπάρχει η πράωος της τάξης σε κάθε σηµείο του πρπάνω διστήµτος. 75

Τότε ισχύει ότι : f () f () f '( )! (-) f ''( )! (-) f '''( )! (-) ( ) f n ( ) (-) n- Rn() ( n )! f n ( ξ ) Όπου Rn() n! (,) ( )n είνι το υπόλοιπο του Lagrange κι ξ Άλλη µορφή του τύπου του Talor Θέτοντς 0 h κι 0, τότε πίρνουµε : f ( 0 h) f ( 0 ) h! f ' ( 0 ) h! f '' ( 0 ) h! f '''( 0 ) h n f (n-) ( 0 ) ( n )! h n n! f (n) (ξ) Όπου ξ (0, 0h) Η πρπάνω µορφή προφνώς, ενικεύει τη προσέιση του διφορικού, h h πράµτι ι n, f (0h) f (0)! f '(0)! f ''(ξ) όπου ξ (0, 0h) Ονοµάζουµε θµό προσέισης του f(0h) τον θµό του h του δεύτερου µέλους. Εποµένως η προσέιση του διφορικού είνι προσέιση πρώτης τάξεως. 76

Πρδείµτ Ν υπολοισθεί µε την οήθει του τύπου του Talor το cos6 o χρησιµοποιώντς πρώτο κι δεύτερο θµό προσέισης. Τι σφάλµ κάνουµε σε κάθε περίπτωση; Λύση Τρέπουµε τις µοίρες σε κτίνι: π π 6ο 60ο ο 80 π π Έτσι, 0, h 80 ) Προσέιση πρώτου θµού Άρ: cos60 cos π π 80 π cos π π 80 sn h Το σφάλµ που κάνουµε είνι R -! όπου: π π π < ξ < 80 Άρ (R) π 80 cosξ < π 80 Άρ το µέιστο σφάλµ που ίνετι είνι ) Προσέιση δευτέρου θµού π cos6o cos π cos6o - 80 π R 80 π 80 π cos - π 80 π 6 sn(ξ) όπου π - 80 π < ξ < π sn - f ''(ξ) - π 80 π 80 π 80 π 80 R, όπου R! π 80, cosξ π cos R h f ()(ξ) Κι εποµένως το µέιστο σφάλµ είνι: R π 80 6 77

Πράδειµ Ν προσεισθεί η συνάρτηση f() e µε έν πολυώνυµο δευτέρου θµού. Τι σφάλµ κάνουµε ν < 0, Λύση: Εφρµόζοντς τον τύπο του Talor ι n 4, έχουµε: e!!, κι το σφάλµ που κάνουµε είνι: ξ e R! όπου ξ (0, ), ξ e Με µέιστο σφάλµ R! e <! 0, e <! 78

. Ολοκληρώµτ. Το όριστο ολοκλήρωµ Έστω ότι µς δίνετι η πράωος f () µις συνάρτησης, όπου (, ), κι έστω ότι ζητάµε την f (). Π.χ. Αν f () πρώους ότι f (), συµπερίνουµε π την εµπειρί µς στις c. ( n) Ορισµός. Κάθε εξίσωση της µορφής F(,,,,..., ) 0, όπου () ονοµάζετι διφορική εξίσωση. Σε µι διφορική εξίσωση άνωστος είνι η συνάρτηση (). Π.χ. η ( ) είνι µί διφορική εξίσωση. Ορισµός. Η λύση της διφορικής εξίσωσης f () λέετι όριστο ολοκλήρωµ της f () κι συµολίζετι µε ( ) f ( ) d. Προφνώς ν µι συνάρτηση () είνι λύση της πρπάνω διφορικής εξίσωσης τότε είνι κι κάθε άλλη συνάρτηση ( ) c. Απ τη θεωρί των πρώων άµεσ συνάοντι τ κόλουθ: Α. Α. f () f ( ) d e e c a, a a c a ln c 4 a a ln a 5 sn cos c 6 cos sn c 7 tan c 79

8 Α. Α. f () sn c f ( ) d 9 - snh l n( ) c 0 cosh ln( ) c f ( ) f ( ) e e ) c a a f ( )[ f ( )] a [ f ( )] c a f ( ) ln f ( ) c f ( ) f ( ) 4 f ( ) a a ( ) c ln a 5 f ( ) sn f ( ) cos f ( ) c 6 f ( ) cos f ( ) sn f ( ) c 7 8 9 0 f ( ) tan ( f ( )) c [ f ( )] f ( ) sn ( f ( )) c [ f ( )] f ( ) - s n h ( f()) l n [ f() [ f()] ] c [ f ( )] f ( ) - c o s h f() l n [ f() [ f()] - ] c [ f ( )] f ( ) [ f ( )] - tanh (()) f f() ln( - () ) c f 80

. Ιδιότητες του όριστου ολοκληρώµτος ) Από τον ορισµό, έχουµε ( f ( ) d) f ( ) ) Γρµµικότητ ( λ f ( ) µ g( ) ) d λ f ( ) d µ g( ) d, ι κάθε λ, µ R Απόδειξη [ λ f ( ) d µ g( ) ] λ ( f ( ) d) ( g ( ) d) d [ f ( ) µ g( )] d λ λ ( ) d µ ) Κτά πράοντες ολοκλήρωση f gd fg fg d Απόδειξη f g( ) d Ισχύει ( fg ) f g fg ( f g fg ) µ λ f ( ) µ g( ) d fg f gd fg fg d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d Λύση d d d / d / d / d d 5 / / 5 / c 5 5 7 c 8

. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d ln 5 Λύση ln 5 d 5 ln ln c 5 5 ( ) ln d 4 ln c 4. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d 5 d 5 Λύση ( 5)( 5) ( 5) c / d / 5 4. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: ( ) / c ( 5) c cos sn d Λύση: cos sn d ( sn ) sn d ( sn ) c snh ln( sn sn ) c e 5. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d e Λύση: e e d e ( e ) d ( ) e ( e ) d tanh e ln e ( e ) c c 8

sn 6. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d cos Λύση: sn cos ( cos ) d - d cos - tan ( cos ) c Οι πρκάτω σκήσεις νφέροντι στην κτά πράοντες ολοκλήρωση Η µέθοδος υτή εφρµόζετι ότν έχουµε ν υπολοίσουµε έν ολοκλήρωµ της µορφής fgd. Βρίσκουµε το όριστο ολοκλήρωµ της πιο εύκολης συνάρτησης, έστω π. χ. fd Fc. Θεωρούµε την F, που έχει την ιδιότητ F f. Άρ το προς υπολοισµό ολοκλήρωµ πίρνει τη µορφή F gd Fg Fg d κ. λ. π. Πιο εύκολες συνρτήσεις κτά σειρά που τις ράφουµε θεωρούντι οι εξής: k ) e ) sn l ( ),cosl( ) a ) 8

ln 7. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d Λύση: ln d / ln d / ln d / / ( ) / ln d ln / ( ln ) d / ln - / d / / ln - d - / ln / c / ln - / c ln / - 9 4 c 8. Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: e sn d Λύση: ( ) Έστω Ι e sn d e sn d e sn - e ( sn ) d e sn - e cos d e sn - ( e ) cos d e sn - e cos 4 ( ) cos 4 e d e sn - e cos 4-9 e sn 4 d I e sn - e cos 4-9 Ι 4 9 Ι Ι e 4 sn cos e sn cos c 84

Η κτά πράοντες ολοκλήρωση είνι πολύ χρήσιµη κι ι την εύρεση νωικών τύπων στον υπολοισµό ολοκληρωµάτων. n 9. Ν ρεθεί ο νωικός τύπος ι το ολοκλήρωµ : Ι n ln d n Λύση Ι n n n n ln d ( ) ln d ( ln ) n ln n d ln - n ln n () Ι n ln - n Ι n-, n ln - n ( ) n d ln d n ln - Αν νωρίζουµε το Ι, µπορούµε ν υπολοίσουµε όλ τ Ι n. Ι ln d ln d ln - ( ) ln d Βάζοντς στον τύπο (), n, έχουµε: Ι ln -Ι ln -( ln - ) c Βάζοντς στον τύπο (), n, έχουµε: ln - d Ι ln -Ι ln - ( ln ln ) c, κ. ο. κ. ln - c 85

. Ειδικού τύπου ολοκληρώµτ m k Α. Ολοκληρώµτ της µορφής sn cos d, ν m ή k είνι περιττός. Πράδειµ 4 Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: cos.sn d Λύση 4 4 cos.sn d.cos.sn d 4 cos ( sn ) ( sn ) sn d 4 6 ( sn ) sn d - ( sn ) sn d 5 sn 5 sn 7 c 7 Β. Ολοκληρώµτ της µορφής m k sn.cos d, όπου m κι k είνι άρτιοι. Πράδειµ Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: cos.sn 4 d Λύση 4 4 4 6.sn d sn.sn d sn d - sn d cos ( ) Υπολοίζουµε τώρ το Ι 4 sn d ως εξής : cos sn cos sn sn 4 cos ( ) cos cos 4 86

Άρ Ι 4 4 sn d 4 d - cos d cos d 4 4 4 sn sn sn 4 c 4 4 8 cos 4 d sn cos 4d 4 4 8 8 d Υπολοίζουµε τώρ το 6 Ι sn d ( sn ) d Χρησιµοποιούµε τον τύπο: sn sn 4sn sn sn sn 4 Άρ Ι Αλλά sn sn d 4 cos sn, 9 Άρ Ι ( cos ) 9 9 - sn 64 ΆρΙΙ -Ι - d 9 9 6 sn d - sn d cos6 sn - ( cos6) sn 6 c d 6 Πρόµοι διδικσί κολουθούµε κι ότν θέλουµε ν υπολοίσουµε ολοκληρώµτ της µορφής: snh m cosh k d 87

Πράδειµ Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: cosh.snh d Λύση cosh.snh d cosh.snh snh d ( ) ( cosh ) cosh d cosh ( ) ( ) cosh cosh d cosh 5-5 4 cosh cosh d - cosh 5 e c e - 5 e e c.4 Υπολοισµός ολοκληρωµάτων µε την οήθει νωικών τύπων Πράδειµ Ν ρεθεί νωικός τύπος ι τον υπολοισµό των ολοκληρωµάτων: Ι n tan n d Λύση: Θυµόµστε ότι ( tan ) cos tan n ( d : Εποµένως προσπθούµε ν φέρουµε το Ι n στη µορφή f ) [ f ( ) ] Ι n n n tan tan d ((tan ) ) tan d (tan ) tan n- d - n n tan d ( tan ) tan d- Ι n- () Ι n n tan n - Ι n-, n n tan n - Ι n- 88

Αν λοιπόν νωρίζουµε το Ι 0 κι το Ι, µπορούµε ν υπολοίσουµε οποιοδήποτε Ι n : 0 Ι 0 tan d d c Ι sn tan d d cos - d cos ( cos ) cos c - ln cos c ln Άρ το Ι υπολοίζετι ν άλουµε στην () n Ι tan - Ι0 Ι tan c Το Ι υπολοίζετι ν θέσουµε στην () n tan Ι - Ι tan - ln cos Ι c κ. ο. κ. Πράδειµ Ν ρεθεί νωικός τύπος ι τον υπολοισµό των ολοκληρωµάτων: Ι n snh n d Λύση: Σκεφτόµστε ότι, κι δισπάµε τη δύνµη (cosh ) snh n n snh snh snh n Άρ Ι n snh n snh d (cosh) snh d {κτά πράοντ ολοκλήρωση} n cosh snh n cosh snh Αλλά cosh snh n - cosh (snh ) d n n - ( n ) cosh snh (snh ) d - ( n ) cosh cosh snh, άρ snh n d 89

Ι n cosh snh - ( ) n n cosh snh n cosh snh snh snh n n ( ) d n - ( n ) snh n d - ( n ) snh d - ( n ) Ι n- - ( ) n Ι n n Ι n ( n ) Ι n cosh snh - ( ) Ι n n cosh snh n n n Ι n- n Ι n-.5 Μέθοδος ντικτάστσης Έστω ότι θέλουµε ν υπολοίσουµε το ολοκλήρωµ Ι (.Αν f ) d ντικτστήσουµε τη µετλητή µε g(t) τότε ποδεικνύετι άµεσ (πρώιση σύνθετης συνάρτησης) ότι Ι f ( g( t) ) g ( t) dt Αν g(t) τότε f ) d ( f ( g( t) ) g ( t) dt Πράδειµ Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: Λύση: e e Θέτουµε e t ln t (µε g( t) ln t ) d Άρ e e d t (lnt) t dt t dt sn ( t ) c sn ( e ) c Βέι ο υπολοισµός θ µπορούσε ν ίνει πευθείς π τον τύπο : f ( ) [ f ( ) ] d sn f ( ) c 90

Πράδειµ Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ: d Λύση: d d έστω t τότε d t t dt t dt snh t c snh c Πράδειµ Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: Ι a d, Ι d, Ι d, Ι 4 d a a a (>0) Λύση: Στ Ι, Ι, Ι, Ι 4, κάνουµε την ντικτάστση at, κι ρίσκουµε: Ι Ι snh c ln c a a a cosh c ln c a a a 9

Ι tan c a a Ι 4 sn c a Σύµφων µε το πρπάνω πράδειµ µπορούµε ν υπολοίσουµε οποιοδήποτε ολοκλήρωµ της µορφής: a d Πρδείµτ. Α) Ι d ( ) d Θέτουµε t Ι t t dt dt snh t c t snh c Β) Ι d 5 6 ( 5) d 5, έστω t άρ Ι t dt cosh t c ln ( t t ) c 5 5 ln 4 c 9

.6 Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Είνι ολοκληρώµτ της µορφής µε deg P () < deg Q () P( ) d Q( ), όπου (), P Q () πολυώνυµ Αν deg P() deg Q () κάνουµε τη διίρεση, P (): Q() κι έχουµε P () r () Q () u () P( ) Q( ) u( ) r Q( ) () P( ) d Q( ) u( ) Q( ) r ( ) d d δηλδή ο υπολοισµός του ρχικού ολοκληρώµτος νάετι στον υπολοισµό του ολοκληρώµτος ενός πολυωνύµου κι στον υπολοισµό ενός ολοκληρώµτος της µορφής r( ) d Q( ) µε deg r () < deg Q () Η πρώτη δουλειά που κάνουµε ότν πρέπει ν ολοκληρώσουµε µι ρητή συνάρτηση είνι η νάλυση της ρητής συνάρτησης σε πλά κλάσµτ. Η νάλυση υτή ίνετι όπως πρκάτω: Ανάλυση της ρητής συνάρτησης πλά κλάσµτ. P( ) Q( ) µε deg P () < deg Q () σε ) Ανλύουµε πρώτ το πολυώνυµο Q () σε ινόµενο πρώτων πρόντων. Εποµένως το Q () πίρνει τη µορφή : Q () ( ρ ) λ ρ ( ) ( ) κ λ ρ κ λ µ ( a ) ( ) ε a ε ε Όπου λ λ λ κ µ µ µ ε deg Q (). -4 <0, µε.,,,ε µ 9

Σηµειώνουµε ότι τ πολυώνυµ έχουν πρµτικούς συντελεστές µε τους όρους ( ρ) λ, δηλώνετι ότι το Q () έχει ρίζ την ρ µε θµό πολλπλότητς λ. Με τους όρους ( a ) µ έχει ρίζ τον τφ, τ, φ, δηλώνετι ότι το Q () R µε θµό πολλπλότητος µ. (οπότε κι ο τ-φ, θ είνι ρίζ του Q () µε τον ίδιο θµό πολ/τος ). Πράµτι στη ρίζ τφ ντιστοιχεί ο πράοντς στο Q (), - (τφ) -τ- φ. Στη ρίζ τ-φ, ντιστοιχεί ο πράοντς -( τ-φ) -τφ. Άρ το ινόµενο ( -τ- φ)( -τφ)( -τ) -φ, δηλδή έν τριώνυµο a, µε -4<0. Αν οι τ ± φ έχουν θµό πολ/τος µ, τότε θ υπάρχει ο πράοντς ( a ) µ. ) Σε κάθε όρο της µορφής ( ρ) λ ντιστοιχούµε έν άθροισµ κλσµάτων της µορφής : A A ρ ( ρ) A λ ( ρ) λ Σε κάθε όρο της µορφής ( a ) µ ντιστοιχούµε έν άθροισµ κλσµάτων της µορφής : A Β A Β ( ) Aµ Β µ µ ( ) 94

Πράδειµ Ν νλυθεί το κλάσµ : ( ) ( ) σε πλά κλάσµτ. Λύση: Έστω ( ) ( ) πρέπει ν προσδιορισθούν. Α Β ( ) Γ (), όπου τ Α, Β, Γ, Από την () Α( ) ( ) Β( ) ( Γ )( ), R -{} () Θ εξετάσουµε πότε η () ισχύει ι κάθε () άρ κι η (). R. Τότε θ ισχύει κι η Θεωρούµε την : A( -) ( ) Β( ) ( Γ )( ), R () Θέτουµε στην (),, κι έχουµε : Β Β Θέτουµε στην (), 0,(υθίρετ) κι έχουµε : Α A - (4) Θέτουµε στην (),, κι έχουµε : Α 4Γ 4 Α Γ 0(5) Θέτουµε στην (), : 4 7Α 7 Γ 7 Γ Α (6) Λύνοντς το σύστηµ (4), (5), (6) ρίσκουµε Άρ η () ίνετι ( ) ( ) / 5 ( ) Α, Γ 0, 5 / 5 5 95